Collection des sciences appliques de FINSA de Lyon

Elments de mathmatiques discrtes

Louis Frcon

PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES

DPARTEMENT D'INFORMATIQUE

Le Dpartement d'Informatique de l'INSA de Lyon, fond en 1969, a t l'une des premires coles d'ingnieurs en informatique, cre en France. Ce dpartement forme 120 diplms par promotion. Les lves ingnieurs acquirent une formation de gnraliste en informatique leur permettant de matriser la fois la diversit des techniques informatiques (architecture, gnie logiciel, systmes d'information communicants, intelligence artificielle, systmes temps rel, architectures multi-tches et gestion du paralllisme, rseau et tlinformatique...) et la varit des domaines d'application (applications dites de gestion, mise en uvre d'ERP, systmes de production, systmes industriels, intgration de la dimension multimdia, ingnierie des connaissances...). Ces domaines, aussi bien au niveau technique qu'applicatif, voluent en permanence depuis la naissance de nouvelles techniques (apprhendes grce une veille technologique), leur dclin, puis leur disparition ; leur dveloppement est conditionn conjointement par leur maturit et celle du domaine auquel on les applique (intranets, systmes embarqus...), La formation des lves ingnieurs du dpartement est en permanence adapte ce contexte volutif. Elle est complte par des stages en entreprise constituant des ouvertures vers les futurs mtiers. Le contenu de ce livre correspond un enseignement dispens durant la formation des lves ingnieurs informaticiens du dpartement. Il se propose de couvrir les mathmatiques discrtes en se concentrant sur ce qui est utilis dans les divers domaines de la science informatique. Le choix des matires abordes est adquat et convaincant. Il se situe la convergence entre la thorie et les applications. Ce livre sera un outil prcieux non seulement pour les lves du Dpartement Informatique, mais aussi pour les ingnieurs et les informaticiens souhaitant parfaire leurs connaissances. Les exercices, problmes et pistes de rflexion proposs en fin de chapitre sont la fois trs originaux et d'un grand intrt pdagogique. L'originalit de cet ouvrage rside dans l'esprit et dans la forme de la prsentation. Son contenu est d'une grande qualit ; il est le fruit de trente annes de rflexion et d'exprience pdagogique dans le domaine toujours d'actualit, relatif aux outils pour la modlisation et la rsolution des problmes. Ce sont des mathmatiques discrtes pour l'ingnieur, l'informaticien et le chercheur. Nous tions nombreux attendre la parution de cet ouvrage et sommes reconnaissants l'auteur, enseignant au Dpartement d'Informatique de l'INSA, de l'avoir crit. Nous le recommandons fortement aux lves ingnieurs du Dpartement et aux anciens lves. Professeur Jean-Marie PINON Directeur du Dpartement d'Informatique de l'INSA de LYON

SOMMAIRE

I - Fondements Mmento de logique Ensembles Relations binaires Fonctions Relations binaires internes Calculabilit et rcursivit Notion de complexit

II-Graphes 7. 8. 9. 10. 11. Des points et des flches Chemins et circuits Fermetures transitives Arbres et connexits Graphes multipartis

12. 13. 14. 15. 16.

O12.Oprateuset algbres Monodes et langages Diodes et algbres de chemin Algbre de Boole Algbre de Kleene et automates tats finis

TABLE DES MATIRES

DEPARTEMENTD'INFORMATIQUE.. . . . . . . . . ............................V SOMMAIRE.......................................................... ..........................VII

P r e m i r epartie Chapitre0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Chapitre lMEMENTO DE LOGIQUE.................................. ..............................3

Logique des propositions ................................ ..............................3 Logique des prdicats....................................... .............................11 Exercices ............................................................... .............................15 Problmes...........................................................................................17 Piste de rflexion.............................................................................18 Lectures..............................................................................................18

ENSEMBLES & LMENTS..................................................... .............................21 1.1 Prsentation.......................................................... .............................21 Inclusions .............................................................. .............................23 1.2 Parties d'un ensemble...................................................................25 1.3 1.4 Union...................................................................................................26 Intersection........................................................................................27 1.5 Diffrence ensembliste..................................................................28 1.6 Couvertures .......................................................... .............................29 1.7 Diffrence symtrique...................................... .............................31 1.8 Partitions.............................................................................................32 1.9 1.10 Paires & produits cartsiens........................................................34 1.11 Exercices ............................................................................................35 1.12 Problmes...........................................................................................37 1.13 Lectures...............................................................................................40 RELATIONS BINAIRES ...................................................................................41 Vue en extension .............................................................................41 2.1 Vue en comprhension................................................................44 2.2 2.3 Relation inverse ...............................................................................45 Union, intersection, finesse.........................................................46 2.4 Composition......................................................................................46 2.5 Exercices............................................................................................47 2.6 Problmes...........................................................................................48 2.7 2.8 Lectures...............................................................................................48

Chapitre 2

FONCTIONS..................................................................... ...............51

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

Relations binaires rgulires.......................................................51 Fonctions .....................................................................................51 Surjection ...........................................................................................53 Image & inverse..............................................................................54 Injection & bijection......................................................................54 Synoptiques .......................................................................................56 Composition de fonctions............................................................57 Ensembles dnombrables et finis............................................58 Relations n-aires..............................................................................59 Fonctions gnralises..................................................................61 Exercices ............................................................................ ................63 Problmes...........................................................................................64 Lectures............................................................................... ................65

RELATIONS BINAIRES INTERNES............................................... ................67 4.1 Prsentation....................................................................... ................67

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.115.1

Proprits des relations binaires internes............... ................68 Restriction.......................................................................... ................72 Equivalence.......................................................................................72 Ordres ..................................................................................................75 Prordre...............................................................................................79 Rcapitulatifs.....................................................................................84 Exercices .............................................................................................85 Problmes........................................................................... ................87 Thmes de rflexion....................................................... ................92 Lectures............................................................................... ................94.......................................95

FONCTIONS, CALCULABILIT, RCURRENCE

5.2 5.3 5.4

5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Calculabilite, decidabilit............................................................95 Calculabilit e trcursivit.. Rcursivits convergente, divergente, stationnaire......... 101 Ensembles rcursifs et rcursivement numrables........ 103 Aux sources de l'arithmtique et de l'algbre...................104 Exercices................................................................................ .........106 Problmes............................................................................... .........107 Pistes de rflexion........................................................................108 Lectures................................................................................... 109

NOTION DE COMPLEXIT............................................................. .........111 6.1 Premier exemple...........................................................................111

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Rgles d'estimation de la complexit...................................112 Prordre de complexit .............................................................. 1 15 Classes de complexit.................................................................115 Optimisation du calcul d'une fonction.................................117 Reprsentations d'une table creuse.......................................121 Exercices.........................................................................................123 Problmes........................................................................................124 Lectures............................................................................................125

Deuxime partie Chapitre 7

Graphes..................................................................................................... 127 DES POINTS ET DES FLCHES................................................................... 129 7.1 Prsentation.................................................................................... 129 7.2 Degrs & demi-degrs............................................................... 129 7.3 Prdcesseurs, successeurs, adjacents.................................. 130 7.4 Sommets initiaux, terminaux, isols..................................... 130 7.5 Sous-graphe.................................................................................... 130 7.6 Graphe partiel................................................................................ 131 7.7 Graphe complet, cliques............................................................ 131 7.8 Reprsentations............................................................................. 131 7.9 Proprits des relations binaires et graphes associs...... 133 7.10 Proprit faible / proprit forte............................................. 135 7.11 Graphe valu.................................................................................. 135 7.12 Exercices......................................................................................... 136 7.13 Problmes........................................................................................ 136 7.14 Thmes de rflexion....................................................................137 7.15 Lectures............................................................................................ 137 CHEMINS & CIRCUITS................................................................................ 139 8.1 Les chemins.................................................................................... 139 8.2 Circuits et boucles dans un graphe........................................ 141 8.3 Chemins lmentaires dans un graphe................................. 141 8.4 Recherche de chemins dans un graphe................................ 143 8.5 Mthodes matricielles................................................................ 145 8.6 Mthode locale 1 : recherche par niveaux.......................... 152 8.7 Mthode locale 2 : mthode du meilleur d'abord............ 155 8.8 Mthode locale 3 : recherche en profondeur..................... 158 8.9 Problmes hamiltoniens............................................................. 161 8.10 Problmes eulriens.................................................................... 162 8.11 Exercices......................................................................................... 164 8.12 Problmes........................................................................................ 165 8.13 Thmes de rflexion.................................................................... 169 8.14 Lectures............................................................................................ 169 FERMETURES TRANSITIVES ..................................................................... 171 9.1 Fermeture transitive et descendance stricte........................ 171 9.2 Fermeture rflexo-transitive et descendance large.......... 171 9.3 Interprtation des relations quelconques............................. 172 9.4 Accessibilit dans les systmes tats................................. 174 9.5 Exercices......................................................................................... 179 9.6 Problmes........................................................................................ 179 9.7 Lectures............................................................................................ 181 ARBRES & CONNEXIT.............................................................................. 183 10.1 Chanes & cycles.......................................................................... 183 10.2 Graphe (fortement) connexe.................................................... 184 10.3 Composante connexe d'un graphe......................................... 184

Chapitre 8

Chapitre 9

Chapitre 10

10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 Chapitre 11

Composantes fortement connexes .........................................185 Centres, rayon, diamtre d'un graphe.................................. 185 Arbres, forts, hirarchies, arborescences.......................... 187 Arbre couvrant.............................................................................. 188 Arbre couvrant minimal............................................................ 189 Points, ensembles d'articulation............................................. 190 Isthme............................................................................................... 191 k-Connexit et robustesse structurelle................................. 191 Multi-graphes................................................................................ 192 Exercices......................................................................................... 196 Problmes........................................................................................ 197 Pistes de rflexion........................................................................ 198 Vocabulaire.................................................................................... 198 Lectures............................................................................................200

GRAPHES MULTIPARTIS ............................................................................201 11.1 Prsentation....................................................................................201 11.2 Tests de multipartisme...............................................................202 11.3 Jeux & fonctions de Grundy....................................................204 11.4 Coloriage de graphes ..................................................................207 11.5 Graphes bipartis............................................................................212 11.6 Graphes et hypergraphes...........................................................214 11.7 Exercices .........................................................................................218 11.8 Problmes........................................................................................ 19 11.9 Pistes de rflexion........................................................................220 11.10 Lectures............................................................................................220 Algbres....................................................................................................221 OPRATEURS & ALGBRES......................................................................223 12.1 Oprateurs & signatures............................................................223 12.2 Syntaxe des expressions ............................................................224 12.3 Smantique formelle des expressions ..................................225 12.4 Algbres...........................................................................................225 12.5 Proprits des oprateurs ..........................................................227 12.6 Elments remarquables pour un oprateur......................... 228 12.7 Dparenthsages...........................................................................231 12.8 Proprits inter-oprateurs....................................................... 236 12.9 Morphismes....................................................................................237 12.10 Formes normales & canoniques.............................................239 12.11 Exercices .........................................................................................240 12.12 Problmes........................................................................................241 12.13 Pistes de rflexion........................................................................242 12.14 Lectures............................................................................................243 MONODES & GROUPES.............................................................................245 13.1 Prsentation....................................................................................245 13.2 Semi-Groupe..................................................................................248 13.3 Groupe..............................................................................................249

Troisime partie Chapitre 12

Chapitre 13

Table des matires 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 Monode finiment engendr.....................................................251 Langages formels.........................................................................254 Grammaires.................................................................................... 254 Exercices.........................................................................................256 Problmes........................................................................................258 Pistes de rflexion........................................................................260 Lectures............................................................................................261

DIODES..........................................................................................................263 14.1 Prsentation....................................................................................263 14.2 Semi-anneau...................................................................................264 14.3 Anneau.............................................................................................264 14.4 Corps.................................................................................................265 14.5 Graphe valu..................................................................................265 14.6 Calculs matriciels........................................................................^? 14.7 Thse centrale................................................................................267 14.8 Taille illimite...............................................................................267 14.9 Taille limite..................................................................................269 14.10 Exemples.........................................................................................270 14.11 Graphes multivalus............................................................-......273 14.12 Exercices.........................................................................................274 14.13 Problmes.......................................................................................277 14.14 Pistes de rflexion........................................................................277 14.15 Lectures............................................................................................279 14.16 Famille des diodes......................................................................279 ALGBRE DE BOOLE..................................................................................281 15.1 Intrt................................................................................................281 15.2 Algbre de boole lmentaire..................................................282 15.3 Modlisation boolenne de technologies............................283 15.4 Fonctions boolennes .................................................................285 15.5 Gomtrie boolenne..................................................................286 15.6 Bases d'une fonction...................................................................289 15.7 Des sommes de monmes aux produits de clauses.........300 15.8 Approches dichotomiques ........................................................305 15.9 Equations boolennes................................................................. 308 15.10 Anneau de Boole..........................................................................309 15.11 Equivalences majeures...............................................................312 15.12 Exercices.........................................................................................313 15.13 Problmes........................................................................................313 15.14 Piste de rflexion..........................................................................314 15.15 Lectures..................,.........................................................................314ALGBRE DE KLEENE & AUTOMATES TATS FINIS.................317

16.1 Notion d'automate tats finis..............................................317 16.2 Grammaires de Kleene...............................................................321 16.3 Algbre de Kleene.......................................................................322 16.4 Proprit centrale......................................................................... 325

Elments de mathmatiques discrtes

16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10

Des expressions rgulires aux graphes de transition....328 Synoptique...................................................................................... 333 Exercices.........................................................................................333 Problmes........................................................................................335 Pistes de rflexion........................................................................ 336 Lectures............................................................................................337

INDICATIONS SUR LES EXERCICES & PROBLMES............................ 339

Chapitre 0 Memento de logique......................................................... 339 Chapitre 1 Ensembles & lments.................................................... 341 Chapitre 2 Relations binaires.............................................................. 344 Chapitre 3 Fonctions.............................................................................. 345 Chapitre 4 Relations binaires internes............................................. 348 Chapitre 5 Fonctions, calculabilit, rcurrence............................ 352 Chapitre 6 Notion de complexit.....................................................354 Chapitre 7 : Des points et des flches............................................... 355 Chapitre 8 Chemins & circuits...........................................................356 Chapitre 9 Fermetures transitives...................................................... 357 Chapitre 10 Arbres & connexit........................................................ 359 Chapitre 11 Graphes multipartis........................................................359 Chapitre 12 : Oprateurs et algbres.................................................361 Chapitre 13 Monodes...........................................................................361 Chapitre 14 Diodes................................................................................363 Chapitre 15 Algbre de Boole............................................................364 Chapitre 16 Algbres de Kleene & automates tats finis .....364 INDEX .............................................................................................................367

PREMIERE PARTIE

FONDEMENTS

CHAPITRE 0

MEMENTO DE LOGIQUE

Ce chapitre peut tre saut en premire lecture : il ne constitue qu' un bref aidemmoire et n' a pour mission que de lever certains doutes que pourrait avoir le lecteur en thorie des ensembles et dans diverses dmonstrations.

0.1 LOGIQUE DES PROPOSITIONSOn dfinit les propositions comme des noncs, phrases dcrivant une situation, une proprit, une relation, un jugement, auxquelles on serait susceptible d'associer dans des circonstances prcises une valeur vrai/faux. La logique se place essentiellement sous le signe de la non-contradiction. Pour bien contraster le vrai et le faux et viter les paradoxes, on s'interdit les phrases autorfrence telles que cette phrase contient cinq mots ou quand je ne suis pas lue, je suis crite en latin . Sous cette rserve, on suppose les propositions lmentaires traites en bloc, sans attention aux sujets, complments... comme pour l'nonc il fait beau . C'est pourquoi ce niveau peut tre mis en rapport direct avec l'algbre de Boole. 0.1.1 Formalisation des propositions DFINITION 0.1 - Les noncs lmentaires seront reprsents par des variables, dites variables propositionnelles. Les noncs composs seront forms d'un ou plusieurs noncs (lmentaires ou composs) combins par des connecteurs: L'nonc compos ABC XYZ D A D A D est une conjonction adjonction ngation implication (matrielle) double implication qui dnote un nonc vrai si et seulement si A et B et C sont tous vrais vrai ds que l'un des X ou Y ou Z est vrai vrai si D est faux, et rciproquement vrai sauf si A est vrai et D faux vrai si A et D sont tous deux vrais, ou tous deux faux

Des combinaisons plus complexes pourront tre formes par parenthsage. Ainsi : ((A D) -> (D B))(AB) se lira si A alors D implique que si D alors B, alors A implique B.

Le terme usuel est disjonction, mais il n'est pas appropri, et j'en dconseille l'usage.

0.1.2 Substitutions DFINITION 0.2 - Soit E un nonc contenant une variable propositionnelle p. L'nonc obtenu en remplaant dans E chaque occurrence de p par un nonc F sera dit substitu de E, et not E(p | F). On pourra procder plusieurs substitutions d'un seul coup s'il n'y a pas d'ambigut. EXEMPLE. E = p(qp) donne E(p | ab) =(ab)(q(ab)). 0.1.3 Rgles d'infrences DFINITION 0.3 - Toute logique possde des mcanismes gnrateurs, qui doivent permettre d'ajouter un nonc un contexte. Ces figures de raisonnement licites sont dites rgles d'infrence. REMARQUES Les rgles d'infrence sont notes X , Y , Z=>T, pour signifier que l'nonc de forme T, ou consquent, est valablement dduit d'noncs de forme X, Y, Z, les antcdents. Pour viter les confusions, on rserve en gnral les majuscules aux (mtavariables des) rgles d'infrence, et les minuscules aux (variables des) noncs spcifiques du problme.

0.1.4 Dmonstrations DFINITION 0.4 - Soit E1, E2, ..., En une suite d'noncs. On dira qu'il s'agit d'une dmonstration de germe E1, ... Ek; si : E1, ..., Ek sont des noncs au sens prcdent, chaque nonc Ei de la sous-suite d'noncs Ek+1, ..., En est driv de la sous-suite E1, ..., Ei-1 au sens suivant : - il existe une rgle d'infrence note X, Y, Z => T, - il existe une substitution d'noncs s telle que les substitus s(X), s(Y), s(Z) soient prcisment des noncs de E1, ..., Ei-1 ; - et enfin, Ei = s(T). Alors, chacun des Ek+1, ..., En est vrai si chacun des E1, ..., Ek est vrai. 0.1.5 Systmes et dmonstrations Soit un certain systme tudier. Nous connaissons au moins certaines de ses lois, causales ou empiriques, et au moins partiellement son tat. Avec cela, on peut constituer un germe : en associant des noncs lmentaires aux caractristiques de l'tat, une situation du systme sera dfinie par une suite de ces noncs ou de leurs ngations ; les lois connues du systme (causales ou factuelles) mneront en gnral des implications. Dans ces conditions, une dmonstration au sens ci-dessus fournit des noncs vrais, applicables au systme ds lors que le systme vrifie les lois et l'tat dfinis par le germe.

Mmento de logique Si le germe se limite des lois du systme, les dmonstrations (ne) produisent (que) des lois secondaires. Les rsultats seront d'autant plus concrets que le germe comprendra une dfinition plus fine de l'tat du systme. 0.1.6 Principales rgles d'infrence Rgles d'infrences positives, sans ngation Ces rgles sont essentiellement celles des tableaux 0.1 et 0.2. Tableau 0.1 Rgles d'infrence positive. Nom recopie dtachement conjonction ventilation conj + vent Notation XX X,XZZ X , YX Y XYX,Y X YX , Y si on a X, et X implique Z, alors on aZ si X, et Y, (isolment) alors X et Y (ensemble) si X et Y(ensemble) alors X, et aussi Y (isolment) X et Y est vrai (ensemble) si et seulement si X et aussi Y sont vrais isolment X quivaut Y si, et seulement si X implique Y et Y implique X si X est vrai, X ou Y l'est. si X ou Y, et X implique R, et Y implique R, alors R (sans avoir dterminer lequel, de X, ou Y, est vrai) Signification

quivalence

(XY) (XY) (YX)

adjonction (introduction) dilemme

XXY (XY), (XR), (YR) => R

Tableau 0.2 Rgles d'articulation des dmonstrations. Nom composition Notation ( XY, YZ ) ( XZ ) Signification si X entrane Y, et si Y entrane Z alors X entrane Z Si X entrane Y (par quelque raisonnement valide), alors le fait X implique Y est vrai

dduction

( XY) ( XY )

La rgle de dduction engendre une implication comme trace utile d'une dmonstration auxiliaire imbrique localement dans la dmonstration principale, ou faite sparment comme dans certains lemmes ou thormes techniques.

Rgles d'infrence avec la ngation Le rle de l'adjonction se prcise. S'introduisent galement des rgles sur le thme si la prsence de A entrane toujours celle de B, l'absence de B entrane celle de A. On dtecte les contradictions, notes 1, et toute cause de contradiction est rfute (tab. 0.3).Tableau 0.3 Rgles exploitant la ngation.

Nom adjonction limination contraposition rfutation /

Notation (XY) => (XY), (YX)

Signification si X ou Y, alors si l'un est faux l'autre est vrai

(XZ) => (Z X) si un effet Z a une cause X, alors l'absence de l'effet implique l'absence de la cause (XZ), Z => X si un effet a une cause, et si l'effet est absent, alors la cause est absente par contraposition + dtachement ^ dnote la contradiction ce qui mne une contradiction est faux

contradiction / dtection / limination

Z, Z ^ (X ^) X

Ces rgles suffiront tablir au paragraphe 0.1.8 le principe de noncontradiction (ex. 6). Rgles aristotliciennes Avec l'involution, la ngation se durcit ; la possibilit d'effacer les doubles ngations dorme des rsultats plus forts car plus simples ; la contraposition est symtrise, la rfutation engendre la reductio ad absurdum . Ces rgles, anciennes et efficaces, sont classiques en mathmatiques, o la droite coupe ou non le plan. Elles ont t isoles car elles sont inadquates pour modliser les systmes o les attributs ne sont pas bipolaires (X n'est ni pauvre ni riche...) ; o la double ngation est une forme faible de l'affirmation (ce n'est pas inintressant < c'est intressant).Tableau 0.4 Rgles aristotliciennes.

Nom involution contraposition absurdit

Notation X X (XZ) (Z X) X^ X

Signification double ngation vaut affirmation symtrisation par effacement des doubles ngations si nier une hypothse entrane une contradiction, l'hypothse est tablie (par rfutation + involution)

Mmento de logique 0.1.7 Infrences fondamentales et secondaires

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Lorsqu'on rencontre plusieurs fois une mme suite d'infrences ayant des effets globaux simples et caractriss, on peut considrer ce strotype comme constituant une nouvelle rgle d'infrence, ou rgle d'infrence secondaire, qui peut se rvler plus commode que les rgles fondamentales. Un raisonnement est valide s'il emploie des rgles d'infrence valides, fondamentales ou secondaires. En pratique, l'homme a tendance multiplier les strotypes pour aller plus vite. Cependant, certains raisonnements sont faux (ou plutt invalides) du fait de strotypes invalides. En cas de doute, expliciter un raisonnement facilite sa vrification. 0.1.8 Exemples Nous numrotons les noncs dans un style niveau.rang qui permet d'imbriquer des dmonstrations. A chaque niveau, un trait horizontal sparera le germe (ou l'hypothse) de sa drivation. Une barre verticale commune marquera les noncs d'une mme dmonstration locale. Sans ngation EXEMPLE 1. Soit un systme formellement rgi par : 0.1 : 0.2: 0.3: h(rvp) Tm pm / / / noncs initiaux

Qu'en tirer ? h semble tre la cl du systme. Posons : on en dduit puis d'o la proprit 1.0 : h 1.1 : rp 1.2: m 0.4 : hm / / / / hypothse pour une sous-dmonstration dtachement 0.1, 1.0 (X | h , Y | rp) dilemme 1.1,0.2,0.3 (X| h, Y| r p , R| m) dduction 1.0-1.2 (X| h, Y| m)

EXEMPLE 2. Montrer que l'on a toujours (X(XY)). Partant d'un germe vide, nous tentons une sous-dmonstration sur une proposition quelconque : 1 .0 x xy 0.1 x(xy) / / / hypothse niveau 1 adjonction 1.0 (X|x, Y|y) dduction 1.0, 1.1 (X|x, Y|y )

Cette dmonstration est correcte quelles que soient les propositions substitues x et y, elle peut donc tre vue comme tout fait gnrale, et on retient son abstraction :X (XY)

Ce rsultat a la forme d'un nonc, mais n'utilise que des mtavariables : c'est un mta-nonc qui vient d'tre tabli. Il constitue un mtathorme ou modle de tautologie, fournissant des noncs vrais pour toute substitution d'nonc X et/ou Y.

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Fondements

Un modle de tautologie est assimilable une rgle d'infrence sans antcdent : tout substitu est une tautologie ou nonc universellement vrai, i.e. indpendamment de la vrit de ses variables ; ces tautologies peuvent toujours tre utilises comme tape d'une dmonstration. Une tautologie est une cheville ou un lieu commun de la logique : n'apportant rien en elle-mme, elle permet de relancer une dmonstration, par combinaison avec des noncs spcifiques au problme, et/ou en facilitant l'application de rgles d'infrence plus constructives. Ainsi peut-on, si ncessaire, insrer dans une dmonstration un nonc tel que 1.17 : ((ab)c) (((ab)c)(pa)) comme tautologie obtenue par substitution de ((ab)c) X, et de (pa) Y, dans le modle de tautologie X(XY). En remplaant l'adjonction en 1.1 par d'autres figures, on obtiendra d'autres modles de tautologies, tels que : (X X) (X (X X)) (X Y) X (X X) X par simple recopie, par conjonction, par ventilation, par dilemme...

EXEMPLE 3. Montrer que X(XY) XY. 0.1 1.0 1.1 1.2 0.2 (x( xy )) x (xy) y (xy) hypothse initiale hypothse niveau 1 dtachement 0.1,1.0 (X | x, Y| (x y)) dtachement 1.1, 1,0 (X x, Y y) dduction 1.0, 1.2 (X | x, Y | y)

Cette dmonstration n'a rien de circonstanciel. Pouvant supporter toute substitution de proposition aux variables prpositionnelles x et y, elle peut tre considre comme faisable en toute gnralit. L'infinit des dmonstrations possibles se rsume par l'abstraction obtenue en substituant des mta variables aux variables : (X(XY)) ( XY ) Cette rgle introduit un procd de simplification d'nonc, et aussi le modle de tautologie((X(XY))( XY ))

EXEMPLE 4. SYLLOGISME. Montrer que (AB), (BC) (AC). La dmonstration ci-aprs pouvant supporter toute substitution de proposition aux variables a, b, c, elle pourra tre considre comme faisable en toute gnralit.

0.0 0.1 1.0 1.1 1.2 0.3

(ab) (bc) a b c (ac)

germe germe hypothse d t a c h e m e n t dtachement 0.1,1.1 d d u c t i o n 1.0, 1.2 0.0, 1.0

On pourra admettre comme rgle d'infrence son abstraction : (AB), (BC) (AC) Le procd s'tend aux sorites ou syllogismes en chane (AB), (BC), (CD), (DE), (EF) (AF) (cf. Lewis CAROLL et 0.3.10). Des dmonstrations semblables engendrent des tautologies apparentes : ((AB)(BC))(AC) ((AB)((BC)(AC)))... Avec ngation, sans involution EXEMPLE 5. Montrer que (A A) A. 0.1 1.0 1.1 1.2 0.2 0.3 (aa) a a ^ (a^) a germe hypothse dtachement 0.1, 1.0 (X|a,Y|-,a) dtection contradiction 1.0, 1.1 dduction 1.0 1.2 limination contradiction

Cette dmonstration, supportant toute substitution sur a, peut tre considre comme faisable en toute gnralit, et on peut admettre son abstraction : (AA) A Plus directement, on pourrait crire la mta-dduction : 0.1 1.0 1.1 1.2 0.2 0.3 (AA) A A ^ (A^) A germe hypothse dtachement 0.1, 1.0 dtection contradiction 1.0, 1.1 dduction limination contradiction (A A) A ((A A) A)

Rsume par : qui mne au schma de tautologie :

EXEMPLE 6. PRINCIPE DE NON-CONTRADICTION (LUKASIEWICZ). Le principe une proposition et sa contraire ne sont jamais simultanment vraies s'tablit en supposant une telle conjonction, qui entrane une contradiction et se trouve ainsi rfute. 1.0 1.1 1.2 1.3 0.0 (A A) A A ^ (A A) hypothse v e n t i l a t i o n v e n t i l a t i o n c o n t r a d i c t i o n rfutation 1.0, 1.3 1.1 1.1, 1.2 1.0

Ceprincpefondamental dcoule de la seule rfutation. EXEMPLE 7. PREMIRE RGLE DE DE MORGAN (XY)(XAY)

X 0.0 1.0 0.1 1.0 1.1 1.2 1.3 0.2 X(X Yh X Y(X X Y (X)(Y)y p

Y Y )o t h

a d j o n c t i o n d d u c t i o n s e

1.0 1.01.1 1.0 1.0 1.1 0.0, 1.0 0.1, 1.0 1.2 1.3

Y Y )

a d j o n c t i o n d d u c t i o n

(X Y )h y p o t h s e c o n t r a p o s i t i o n c o n t r a p o s i t i o n conjonction dduction 1.0 1.3

(X Y)((X)(Y))

EXEMPLE8. PRINCIPE DU TIERS EXCLUS tertium

non

datur

Le principe d'une proposition et sa contraire, au moins l'une est vraie , not A

A A 0.0 1.0 0.1 A(A A) A A A(A A)

adjonction dduction adjonction 1.0 dduction 1.0 1.1

1.0 1.0 1.1

Ah y p o t h s e

1.0 1.1 1.2 1.3 0.2 0.3

(A A)h y p o t h hypothse s e A A ^ (A A) (A A) cont contraposition 0.0, 1.0 contraposition 0.1, 1.0 cont cont contradiction sur -.A, 1.1 1.2 rfut rfutation 1.0, 1.3 invo involution 0.2, ou absurdit 1.0 1.3

EXEMPLE 9. SECONDE RGLE DE DE 1S 1.0 1.1 0.0 1.0 1.1 0.1 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.2 0.3 0.4 X XY X (X Y) Y XY X (X Y) (X Y) X Y X Y XY (X Y)( XY) hypothse adjonction 1.0 dduction 1.0 1.1 hypothse adjonction 1.0 dduction 1.0 1.1 hypothse contraposition 0.0, 1.0 contraposition 0.1, 1.0 involution 1.1 involution 1.2 conjonction 1.3 1.4 dduction 1.0 1.5 contraposition 0.2 involution 0.3

(XY) (XY) (XY) (X Y)

0.2 LOGIQUE DES PRDICATSC'est la logique la plus utilise, ni trop simpliste, ni trop complexe. 0.2.1 Prdicats On s'intresse toujours aux phrases auxquelles on devrait pouvoir associer dans des circonstances prcises une valeur vrai/faux. Les noncs lmentaires ou prdicats portent maintenant sur la vrit/le jugement d'une relation entre des objets ou termes, correspondants aux sujets, complments.. . de la phrase. Ainsi, Pierre est au jardin pourra tre ici not estEn(Pierre, jardin) o estEn dsignera une relation entre un objet (ici Pierre) et son emplacement (ici jardin).

12 0.2.2 Formalisation des termes

Fondements

DFINITION 0.5 - Un terme est un objet ou individu dnot : soit par une constante ; ex : Pierre, jardin, soit par une variable ; ex : x, y... soit par une notation fonctionnelle f(t1, t2, ..., tk, o festun symbole fonctionnel ou nom de fonction, et o les t1, t2, ..., tk sont des termes ; ex : pre(Pierre), premier(enfants(Pierre, Marie)). On appelle terme clos un terme n'utilisant pas de variables, et qui dnote ainsi indirectement des constantes. 0.2.3 Formalisation des noncs Enoncs lmentaires DFINITION 0.6 - En logique des prdicats, un nonc lmentaire ou prdicat atomique est une criture fonctionnelle p(t1, t2, ..., tk) o p est un symbole prdicatif ou nom de prdicat, et dont les arguments t1, t2, ..., tk sont des termes. Un tel nonc dnote une relation prcise par le symbole prdicatif, et portant sur les termes mentionns ; a pour valeur non un terme mais une valeur de vrit associe cette relation, satisfaite ou non par ce jeu de termes. EXEMPLES estEn(pre(Pierre), jardin) plus(X, 0, X ) Enoncs composs DFINITION 0.7 - Plus gnralement on appellera nonc : tout nonc lmentaire, si E, E1, E2 sont des noncs, l'une des notations du tableau 0.5. Tableau 0.5 noncs composs. Notation (E1 E2) (E1 E2) (E1 E2) (E1 E2) E "x E(x) $x E(x) Signification E1 et E2 E1 ou E2 E1 implique E2 E1 quivaut E2 ; E1 si et seulement si E2 en abrg E1 ssi E2 non E pour tout x, E(x) il existe au moins un x tel que E(x), / o x est une variable muette / o x est une variable muette pour le pre de Pierre est au jardin (vrai/faux), pour X + 0 = X (vrai/faux).

Les symboles , , , , sont des connecteurs, les nouveaux symboles ", $ sont dits quantificateurs.

Mmento de logique Les deux dernires formes, dites quantifies, gnralisent l'nonc interne. Les noncs "x plus(x,0,x) "x $y plus(x,y,0) "x (homme(x)mortel(x)) s'interprtent

13

pour tout x, x + 0 = x pour tout x, il existe au moins un y tel que x + y = 0 pour tout x, si x est un homme alors x est mortel, ou : tout homme est mortel.

Lexiques Pour viter toute confusion, on utilise des lexiques disjoints pour les variables, les fonctions, les prdicats. Arits DFINITION 0.8 - On appelle arit d'une fonction ou d'un prdicat, le nombre de termes qu'il faut associer son nom. Le lexique des constantes symboliques s'identifie au lexique des fonctions d'arit 0. On appelle souvent propositions les prdicats d'arit 0, et proprits les prdicats d'arit 1.

0.2.4 Systmes et dmonstrations Comme prcdemment on modlise un systme en exprimant sous forme logique ses lois et son tat. Ceci constituera le germe de dmonstrations exploitant les rgles d'infrence. Si le germe est rduit aux lois du systme, la dmonstration tablit des lois secondaires du systme. Si le germe contient des noncs sur l'tat du systme, on obtient des rsultats factuels.

0.2.5 Rgles d'infrence Comme dans la section 0.1, elles sont notes antcdents consquent, et signifient : si le contexte satisfait les antcdents une substitution s prs, alors on peut, dans la logique considre, ajouter au contexte le consquent soumis la mme substitution s, o le contexte dsigne les noncs du germe, augment des consquents dj tablis. Les nouveauts sont relatives aux quantificateurs, et la ncessit pour les substitutions d'accorder entre eux les noncs d'une part, les termes de l'autre. Pour viter une dfinition trop complexe des ces rgles, commenons par celles qui permettent de faire apparatre ou d'liminer les connecteurs, les quantificateurs (en rapport avec les termes). Nous pouvons utiliser le systme du tableau 0.6, o le symbole ^ dnote une contradiction, complt par les tableaux 0.7 et 0.8.

14

Fondements Tableau 0.6 Rgles d'infrence sur les connecteurs.

Nom implication conjonction quivalence contradiction involution adjonction

Introduction (AB)(AB) A, B (A B)

Elimination A, (A B) B (A B) A, B

(AB)(BA) (AB) (AB) (A B)(BA) B, B ^ AA A (AB), (BA) rfutation (A^) A absurdit (A^) A AA par dilemme (A B), (A C), (BC) C par implications (A v B) (A B), (BA)

Tableau 0.7 Rgles sur les quantificateurs. Quantification universelle existentielle Gnralisation A(t) "x A(x), o t est une variable libre A(a) $x A(x), o a est un terme clos Spcification "x A(x) A(t), o t est un terme quelconque $x A(x) A(a), o a est une nouvelle constante, ajoute au lexique

Tableau 0.8 Rgles globales.

Nom dualit

Enoncs "x E(x) "x E(x) $x E(x) $x E(x) $x E(x) "x E(x)

rcurrence 0.2.6 Exemples

E(0), "n (E(n)E(n+l)) "n E(n)

EXEMPLE 10. Prouver que si un entier a n'est pas divisible par 3, alors a2-1 est divisible par 3. Notons mod(a, p, r) le prdicat a divis par p a pour reste r . 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 "a"b"p mod(a, p, 0) mod(a b, p, 0) "a mod(a, 3, 0)mod(a-l, 3, 0)vmod(a+l, 3, 0) "a"b"p mod((a-l), p, 0) mod((a-l )-b, p, 0) "a"pmod((a-l),p,0)mod((a-l)- (a+l),p,0) "a"p mod((a-l ), p, 0) mod(a -1, p, 0) "a"b"p mod((a+l,p,0)mod((a+l)-b,p,0) VaVpmod((a+l),p,0)mod((a+l)-(a-l),p,0) "a"pmod((a+l), p, 0) mod(a2-1, p, 0) "amod(a,3,0)(mod(a-l,3,0)0)mod(a-lmod(a+l,3,0))2

def mod spec mod 3 0.1 (a | a-1) 0.3(b|a+l) proprit de 0.1(a|a+l) 0.6 (b| (a-1)) proprit de lim. adj.0.2

Mmento de logique

15

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.10 0.11

mod(a,3,0) mod(a, 3, 0) (mod a-1, 3, 0)mod(a+l, 3, 0)) (mod(a-l, 3, 0) mod(a+l, 3, 0)) mod((a-l), 3, 0) mod(a -1, 3, 0) mod((a+l), 3, 0) mod(a2-1, 3, 0) mod(a -l,3,0) -, mod(a,3,0) mod (a -1 ,3,0) Va (-,mod(a,3,0) mod(a -1 ,3,0))2 2 2 2

hypothse spec 0.9 dtachement 1.0, 1,1 spec 0.5 spec 0.8 dilemme 1.2-1.3-1.4 dduction 1.0-1.5 gnralisation 0.10

EXEMPLE 11. Montrer qu'une relation R intransitive est irrflexive. Argument : si un lment a est en relation avec lui-mme par R, il l'est autant de fois que l'on veut ; or s'il l'est deux fois, l'intransitivit interdit une troisime, d'o contradiction. 0.1 0.2 0.3 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 0.4 0.5 "a"b"c (R(a, b)AR(b, c) )R(a, c) "a"b (R(a, b)AR(b, b) ) R(a, "a (R(a, a)AR(a, a) ) R(a, R(a, a) R(a, a)R(a, a) (R(a, a)R(a, a) ) R(a, R(a, a) 1 R(a, a) "a R(a, a) a) a) b) def. intransitivit 0.1 spec univ (c| b) 0.2 spec univ (b| a) hypothse locale conjonction 1.0, 1.0 spec.univ. 0.3 dtachement 1.1, 1.2 contradiction 1.0, 1.3 rfutation 1.0,1.4 gnralisation univ. 0.4 = dfinition irrflexivit attendue

0.3 EXERCICES0.3.0 Montrer que (AB)(AB). 1 0.3.1 Montrer que AB, BC, CA A. A est-il condition ncessaire ou suffisante de B ? 0.3.2 Montrer que AP, BP (AB)P et que PX, PY P(XY). Quelles sont les conditions suffisantes de P ? Ses conditions ncessaires ?

16 Montrer que

Fondements

A P, B P, P X, P Y, (XY) (AB) (XY) P, P (AB), (XY) (AB).0.3.3

On suppose que AB signifie que A est une condition suffisante de B. Que signifie la contraposition de cette implication ? Peut-on dire que B est condition ncessaire de A ?0.3.4

La rgle exfaiso quodiibet sequitur , qu'on peut transcrire ^A, caractrise les systmes tolrant la contradiction. Montrer que, si la contradiction est admise, on obtient par rfutation, 1 => A (toute proposition est fausse), par absurdit, ^ => A (toute proposition est vraie), et que le fait qu'une proposition soit drivable n'est plus informatif. En dduire les comportements adopter si un germe et une hypothse locale entranent une contradiction, si un germe entrane une contradiction sans hypothse locale particulire, si une contradiction est drivable ex nihilo.0.3.5

Montrer que A, AB B.0.3.6

Montrer que AB, BC, CD, DA A, B.0.3.7

Trois personnes de trois nationalits diffrentes habitent les trois premires maisons d'une rue. Chaque maison a une couleur diffrente, et chaque personne un mtier diffrent. On constate que : Le Franais habite la maison rouge. L'Allemand est musicien. L'Anglais habite la seconde maison. La maison rouge est ct de la verte. L'crivain habite la premire maison. Quelle est la nationalit de l'crivain ? Qui habite la maison jaune ? O habite le peintre ? Dresser maintenant un bilan gnral de la situation.0.3.8

On considre la suite de Fibonacci dfinie par : f(0) = 0 ; f(l) = 1 ; au-del, f(i) = f(i-l) + f(i-2) Montrer par rcurrence que l'on a toujours "I N, f(i) N, "I N, f(i) exp(i/2), "i N, f(i) = a' + b', o a et b sont les deux solutions de x2 - x - 1 = 0.

0.3.9

Partant de P(0) = 1 = 2 - 1 , montrer par rcurrence le prdicat P(n) = 1 + 2 + 4 + ... +2 n - l +2"=2" + l - 1. Jadis, aux Indes, l'inventeur du jeu d'checs en fit une dmonstration un puissant radjah. Celui-ci demanda l'inventeur quelle rcompense il voulait pour avoir invent un jeu aussi divin. L'inventeur demanda seulement 1 grain de bl pour la premire case, 2 pour la seconde, 4 pour la troisime en doublant ainsi de suite jusqu' la 64e. A raison de 0,1 gramme par grain, combien cela reprsente-t-il en tout de millions de tonnes de bl ? 0.3.10 Sachant que a. Les dentistes font les meilleurs rugbymen. b. Les Ecossais portent des chaussettes rouges. c. Ceux qui lvent des taureaux ne portent rien de rouge. d. Les meilleurs rugbymen sont Ecossais. e. f.g.

Montrer que : Les Ecossais n 'lvent pas de taureaux. Les meilleurs rugbymen portent des chaussettes rouges.Les meilleurs rugbymen n 'lvent pas de taureaux.

h. i. j.

Les dentistes sont Ecossais. Les dentistes portent des chaussettes rouges. Les dentistes n 'lvent pas de taureaux.

0.4 PROBLEMES0.4.0

En tendant par rcurrence l'exemple 10 du paragraphe 0.2.6, montrer que pour n1 : si un entier a n'est pas divisible par 3, alors a2" - 1 est divisible par 3 ; si un entier a est congru 1 module p, alors a" - 1 est divisible par p . 0.4.1 Montrer par l'absurde que 2 est irrationnel (Euclide).0.4.2

Montrer par l'absurde que l'ensemble des nombres premiers n'est pas born, i.e. qu'il n'y a pas de plus grand nombre premier (Euclide).0.4.3

Montrer que toute proposition est logiquement encadre par l'adjonction de ses conditions suffisantes, la plus forte de ses dfinitions par dfaut, la conjonction de ses conditions ncessaires, la plus faible de ses dfinitions par excs.0.4.4

Une fonction sera dite callimorphe si elle atteint son maximum sur la frontire F de son domaine D. On supposera dmontr que si festcallimorphe, - f l'est aussi. En dduire que si f est callimorphe, elle atteint son minimum la frontire F de son domaine D.

18

Fondements

Aussi, que si une fonction callimorphe est constante sur la frontire F de son domaine D, elle est constante dans tout le domaine D (Lejeune-Dirichlet).0.4.5

Sur l'Ile aux Chevaux, les chevaux dtiennent la parole, la sagesse, la vrit et la vertu, tandis que les humains y sont des btes de somme rpugnantes et muettes. Comment Gulliver, l'trange humain-qui-parle va-t-il justifier aux Principaux des chevaux son arrive sur l'le ? Son naufrage conclut un voyage improvis du fait de la trahison d'un ami. Et les chevaux sont ici de redoutables logiciens, qui ignorent cependant tout de l'erreur et du mensonge (d'aprs Jonathan Swift).0.4.6

A Ivanbourg, le Camarade Premier Secrtaire, du fait de ..., est ncessairement le plus intelligent de tous les habitants. D'autre part, du fait de ..., le Camarade Premier Secrtaire est ncessairement le moins intelligent de tous les habitants. En dduire que tous les habitants sont aussi intelligents les uns que les autres (d'aprs Zinoviev, Les Hauteurs Bantes, Ed. L'Age d'Homme).0.4.7

Dans ce lointain pays, on s'accorde dans les milieux gouvernementaux penser que: pour gagner les lections, il faut rduire le chmage ; pour rduire le chmage, il faut dvelopper l'enseignement professionnel etrduire les impts ;

pour dvelopper l'enseignement professionnel, il faut plus de fonds publics ; pour disposer de plus de fonds publics, il faut privatiser les firmes nationalises, ou augmenter les impts. Formaliser ces rgles en posant : g = gagner les lections, r = rduire le chmage... Ce gouvernement ayant l'intention de gagner les lections, en dduire qu'il va privatiser les firmes nationalises. Revoir d'un il critique les diffrents stades : nonc phras des rgles, formalisation des rgles, dmonstration. Examiner l'impact d'un changement dans l'une des 4 rgles nonces. Rduire et augmenter les impts sont-ils la parfaite ngation l'un de l'autre?

0.5 PISTE DE RFLEXIONComment discuter dans une langue o il est extrmement impoli de dire non? O il n'y a pas de ngation ?

0.6 LECTURESAHO A., ULLMAN J., Concepts fondamentaux de l'informatique, chap. XII et XIV, Dunod, Paris,1993. BENZAKEN C., Systmes formels, Masson, Paris, 1991.

Mmento de logique

19

FEJER P.A., SIMOVICI D.A., Mathematical Foundations ofComputer Science, vol. I, chap. IV.8, Coll. Texts and Monographs on Computer Science, Springer Verlag, NY& Berlin, 1991. GRIZE J.B., Logique moderne, 3 fascicules, Mouton & Gauthier-Villars, 1973. PABION J.F., Logique mathmatique, Hermann, Paris, 1972. REINHARDT R.& SOEDER H., Atlas des mathmatiques, chap. I, La Pochothque, Le Livre de Poche, Paris, 1997 ; traduction de DTV-Atlas der Mathematik, Deutscher Taschenbuch Verlag Gmbh, Munich, 1974. VELU J., Mthodes mathmatiques pour l'informatique, chap. 13, Dunod, Paris, 1994. Collectif, Petite encyclopdie des mathmatiques, chap. 15, Edition Pagoulatos, Paris, 1980 ; traduction de Kleine Enzykiopadie der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, 1975. Curiosit : CAROLLL. (DODGSON Ch. dit), Logique sans peine, Hermann, Paris, 1966 ; slection de textes de logique des annes 1890 ; normalisation des noncs textuels, sorites, paradoxes...

CHAPITRE 1

ENSEMBLES & ELEMENTS

Par la suite, un grand nombre de notations ou de concepts seront introduits par l'criture : Nouveau concept ou nouvelle notation s dveloppement 1.1 PRSENTATION DFINITION 1.1 - Un ensemble est un regroupement en une entit d'objets distincts. Cette dfinition, considre comme premire, ne sera pas autrement justifie. Les objets appartenant un ensemble sont dits lments ou membres de l'ensemble. 1.1.1 Extension, appartenance DFINITION 1.2 - Un ensemble est dit ensemble dfini en extension s'il est dfini par la liste de ses lments. On notera : ClubDesAmandiers = (Julie, Marcel, Andr, Sophie } = Julie, Marcel, Andr et Sophie forment le Club des Amandiers ClubDesAmandiers dsigne Y ensemble des personnages. Les membres du club Julie, Marcel, Andr, Sophie appartiennent chacun au club, et forment ensemble son extension. ei E z E 1.1.2 Cardinalit DFINITION 1.3- Pour un ensemble E dfini en extension, on appelle cardinalit le nombre d'lments de sa liste, note |E|. Ainsi, E = {e1, e2, e3, e4) entrane |E| = 4. 1.1.3 Identit DFINITION 1.4 - Les deux ensembles A et B sont des ensembles identiques, si tout lment de A est lment de B et, rciproquement, si tout lment de B est lment de A ; autrement dit, si A et B ont mme extension (Leibniz). On pose : A = B "x (xA xB) et A B si les extensions diffrent. PROPOSITION 1.1 - A = B |A| = B. ei appartient E , ainsi Sophie ClubDesAmandiers. z n 'appartient pas E , ainsi Zo ClubDesAmandiers.

1.1.4 Diagramme d'Euler Pour raisonner sur de tels ensembles, on peut utiliser un diagramme d'Euler, figure plane dans laquelle un ensemble E est reprsent par une tache plus ou moins rgulire, et, s'il y a lieu, les lments par des points.

Fig. 1.0 Ensemble E et ses lments.

1.1.5 Abstraction L'numration peut tre lassante ou impossible. DFINITION 1.5 - La notation E = { x | K(x) } dfinit E comme ensemble des x tels queK(x). La notation peut tre associe un procd constructif, K caractrisant les objets construits. Cette notation est formelle et non factuelle : c'est seulement si K n'est pas faux pour tout x que le procd sera productif, et E effectif. 1.1.6 Comprhension II sera souvent plus commode ou intressant de stipuler un ensemble E comme restriction qualitative d'un ensemble U plus vaste. DFINITION 1.6- On dira un ensemble E ensemble dfini en comprhension si E est dfini comme l'ensemble des x d'un ensemble de rfrence U tels que p(x), o p(x) est un prdicat dfini dans U, et on notera E = { xU | p(x)}. L'appartenance cet ensemble U d'objets peut tre vue comme condition ncessaire d'appartenance E, le raffinement de U par p menant l'ensemble E vis. Le diagramme d'Euler de la figure 1.2 reprsente E par une tache plus ou moins rgulire interne celle reprsentant l'ensemble U dont E est une restriction. PROPOSITION 1.2 E = { x U | p ( x ) } | E | | U | 1.1.7 Ensemble vide DFINITION 1.7 - L'ensemble vide ou ensemble 0 lment, est not . PROPOSITION 1.3 - {} et || = . En termes d'abstraction / comprhension, 0 est Y ensemble des objets ralisant un prdicat toujours faux.Fig. 1.1 Ensemble en comprhension.

NOTE. Logique et thorie des ensembles classiques reposent sur un principe de noncontradiction. Aucun objet ne peut satisfaire une proposition contradictoire, ou si l'on prfre, seuls les 0 objets de l'ensemble vide le font. 1.1.8 Autres ensembles remarquables Certains ensembles sont si remarquables qu'on leur a attribu un nom (en fait, une lettre) qui bnficie d'une typographie spciale pour viter toute confusion avec des homonymes. Par la suite, nous noterons donc : 18 = {0, 1}, N, Z, Q, R, C, l'ensemble des boolens ; l'ensemble des entiers naturels ; il contient 0, et s'il contient n, il contient n+ 1 ; l'ensemble des entiers algbriques ou signs ; il contient N, et s'il contient x et y, alors il contient x - y ; l'ensemble des rationnels ; il contient Z, et s'il contient p, et q non nul, alors il contient la forme irrductible de la fraction p/q. l'ensemble des rels, qui contient Q et les limites des suites convergentes valeurs dans Q; l'ensemble des complexes (x + iy), o x et y sont des rels.

1.2 INCLUSIONS1.2.1 Inclusion large DFINITION 1.8 - L'ensemble E est inclus au sens large dans l'ensemble F (resp. F contient E) ssi tout lment de E est lment de F. Ce qu'on note : E F F E " X (xE) (xF) Avec E F, E est encore dit sous-ensemble (au sens large), ou partie de F. Dans le cas contraire, on notera E F.Fi g. 1.2 Inclusion de E dans F. PROPOSITIONS

1.4 - Pour tout ensemble E, E E E

/rflexivit

PREUVE. Toute proposition fausse implique toute autre, au moins aussi vraie ! Donc "x x x E. D'autre part, E E dcoule directement de la dfinition 1.8. 1.5 - Pour tous les ensembles E, F : E F E |F|. 1.6- Pour tous les ensembles E, F, G : EF,FGEG, EF,FEE=F 1.7 est un ordre large entre ensembles. /transitivit /antisymtrie

24

Fondements NOTE. Rflexivit, transitivit, antisymtrie, ordre large signals ici seront vus au chapitre 4.

1.2.2 Ensemble rfrentiel DFINITION 1.9 - On appelle (ensemble) rfrentiel, ou, parfois, univers du discours, un ensemble U ou R (ou Ref) contenant tous ceux dont on parie (Venn, ~1860). Pour raisonner sur des ensembles ayant un rfrentiel commun, on utilise un diagramme de Venn. Ce diagramme se prsente comme un diagramme d'Euler dlimit par un rectangle qui figure alors l'univers du discours , englobant tous les ensembles spcifiques. La thorie se symtrise. PROPOSITION 1.8 - Tout ensemble E est inclus dans le rfrentiel : E R. Le principe de comprhension ( 1.1.5) permet de passer d'un ensemble au rfrentiel par une suite d'inclusions ; c'est en particulier le cas dans un formalisme objet, la classe la plus gnrale tenant lieu de rfrentiel, et toute sous-classe spcifique dfinissant un (sous-)ensemble inclus dans sa classe-mre.

Fig. 1.3 Classes d'objets imbriques par inclusion.

Cette descente du gnral au particulier s'interprte, en extension, comme une rarfaction progressive des individus ; en comprhension, comme un cumul de proprits. A la limite, une collection surabondante, voire contradictoire, de proprits (n') est satisfaite (que) par 0 individu. 1.2.3 Inclusion stricte DFINITION 1.10 - L'ensemble E est inclus au sens strict dans l'ensemble F, ou encore E est sous-ensemble strict de F si tout lment de E est lment de F, et si au moins un lment de F n'appartient pas E. Ce qu'on note: Sinon, E F EF ( E F ) ($x(x F) (x E)) (E F) (F E) (E c F)

Ensembles & lments PROPOSITIONS 1.9- pour tout ensemble E : 1.10- pour tous les ensembles E, F : 1.11- pour tous les ensembles E , F , G : EE E F |E |< [F| EF,FGEG E F F E

25

/irrflexivit

/transitivit /asymtrie

1.12 - est un ordre strict entre ensembles. NOTE. Irrflexivit, asymtrie, ordre strict points ici seront dfinis au chapitre 4.

1.3 PARTIES D'UN ENSEMBLE DFINITION 1.11- On appelle ensemble des parties d'un ensemble E la collection i?(E) de tous les sous-ensembles possibles de E. Ce qu'on note : P(E) { A | A E }

PROPOSITION 1.13 - Si un ensemble E possde n lments, P(E) possde 2n lments. Ces derniers sont les sous-ensembles de E, dont exactement C'n i lments. Ainsi : P(E) =2lEI. EXEMPLE. Soit E = {a, b, c, d} ; alors, P (E) = {, {a}, {bj, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, (b, c}, (b, d}, {c, d, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d} } / 1 ensemble 0 lment / 4 ensembles 1 lment / 6 ensembles 2 lments / 4 ensembles 3 lments / 1 ensemble 4 lments Soit les 16= 24 sous-ensembles de E

NOTES Avec l'approche en comprhension, un sous-ensemble F tait la rduction d'un ensemble E aux seuls lments de E satisfaisant une proprit PF dite proprit caractristique de F, d'o l'ensemble F { xE | PF(x) }. Rciproquement, une proprit PF pourra tre dfinie dans E par l'extension de l'ensemble F E des objets de E qui la satisfont, en posant : Pp (x) = x F Bien distinguer les proprits d'individus des proprits d'ensemble. Si A est l'ensemble des Anglais, et que l'on considre les proprits : - tout Anglais est mortel : alors tre mortel est une proprit gnrique pour tous les individus de A, qui peut tre associe A ; on note : " xA mortel(x) ; - des Anglais sont bruns : alors il y en a au moins un, et tre brun pour un individu est me proprit spcifique ; on note : $ xA brun(x) ; - les Anglais sont roux : en voulant seulement dire que les roux sont majoritaires parmi les Anglais, ou simplement qu'ils sont plus nombreux que les blonds ou les bruns, tre roux pour un individu est alors une proprit

26

Fondements typique ; ce cas, important en matire de formalisation des connaissances empiriques, attend encore une formalisation logique adquate. Les noncs du genre les A sont B seront donc ramens selon les cas - tous les A sont B , chaque A est B , noncs gnriques, absolus, l'usage bien formalis, - ou des noncs typiques plus vagues comme la plupart des A sont des B , les A sont le plus souvent des B ou tous les A sont plus ou moins des B , d'exploitation nettement plus dlicate.

1.4 UNION DFINITION 1.12 - Soit C ={ X, Y, Z, ... } une collection d'ensembles. Leur union est l'ensemble form des objets de chacun d'eux. On note: C{x|$ACxA} Si C = { X, Y}, on utilise la notation X Y plutt que {X,Y}.Tableau 1.1 Union, dfinition logique.

aX non non oui oui

aY non oui non oui

aXY non oui oui ouiFig. 1.4 Diagramme d'une union XY.

PROPOSITIONS

1.14 - Quels que soient les ensembles E, F, G, on a : E (F G) = (E F) G = {E, F, G} = E F G EF=FE EE=E E=E=E 1.15 Si les ensembles E et F sont finis : max(|E|,|F|)|EF||E|+[F|. 1.16 - Si on a un rfrentiel R : E F R, et si R est fini : |E F| |R|. 1.17-EFEF=F. COROLLAIRE. Avec un rfrentiel R : ERER=R. NOTE. On dit alors que le rfrentiel est un lment absorbant pour l'union. /associativit' /commutativit /idempotence / lment neutre

1

Ces proprits (associativit, commutativit, idempotence, lments neutres et absorbants...) seront dfinies au dbut de la partie Algbre (chap. 12) ; pour une meilleure accoutumance, elles sont signales au fur et mesure des rencontres, sans exclure un rappel en illustration de leur dfinition.

Ensembles & lments 1.5 INTERSECTION 1.5.1 Prsentation

27

DFINITION 1.13 - Soit C ={ X, Y, Z, ... } une collection d'ensembles. Leur intersection C est l'ensemble form des objets communs tous : C {x V E C:x E } Pour deux ensembles on utilisera le plus souvent : X Y { X , Y } Tableau 1.2 Intersection. aX non non oui oui aY non oui non oui aXY non non non ouiFig. 1.5 Intersection et diffrences.

\

X - Y XY

PROPOSITIONS

1.18 - Quels que soient les ensembles E, F, G : E (F G) = (E F) G = {E, F, G} = E F G /associativit E F=FE /commutativit EE=E /idempotence E = / lment absorbant 1.19 - Pour les ensembles E, F finis : 0|EF|min(|E|,|F|), |E|+|F|=|EF|+|EF|. 1.20 - Pour tous les ensembles E, F partageant un rfrentiel fini R : max(0, |E] + |F| - R ) |E F| min (|E|, |F|). 1.21-EFEF=E. 1.22 - Pour tous les sous-ensembles E d'un rfrentiel Ref : ERefERef=E. Le rfrentiel est alors dit lment neutre de l'intersection. 1.5.2 Ensembles disjoints DFINITION 1.14 - Deux ensembles E, F sont disjoints si leur intersection est vide : E et F ensembles disjoints E F = REMARQUE. On note parfois additivement l'union d'ensembles disjoints : E + FE Fs s iE F = 0

1.5.3 Distributivits Soit C = {X, Y, Z, quelconque. On montre : PROPOSITIONS 1 . 2 3 - ( C ) A = { X A XC }. 1.24 - ( C ) A = { XA | XC }. 1.25 - Pour 3 ensembles A, B, C quelconques on a : (B C) A = (B A) (C A), (B C) A = (B A) (B C), ... et et sont dits mutuellement distributifs. } une collection d'ensembles, et A un ensemble donn

1.6 DIFFRENCE ENSEMBLISTE1.6.1 Prsentation DFINITION 1.15 - Soient X, Y deux ensembles. Leur diffrence X - Y est l'ensemble des objets de X qui n'appartiennent pas Y : X-Y {xX|xY} (voir diagramme figure 1.5, dfinition logique tableau 1.3).Tableau 1.3 Diffrences, dfinition logique.

aX

aY non oui non oui

aX-Y non non oui non

aY-X non oui non non

non non oui oui 1.6.2 Complment

DFINITION 1.16 - Lorsque, dans une diffrence A - B, A n'a plus tre nomm, tant par convention le rfrentiel, l'univers du discours, incluant toutes les combinaisons des ensembles en cause, on parle de complment de B (sous-entendu : au rfrentiel A), qu'on note B surlign ou prim B' { xAref | x B} = Aref- B On peut considrer une diffrence A - B comme le complment de B relatif A pris comme rfrentiel. 1.6.3 Proprits PROPOSITION 1.26 - Pour tout ensemble E : -E= E-=E / lment absorbant gauche / lment neutre droite

Ensembles & lments

29

PROPOSITION 1.27 - Soient C = {X, Y, Z, ...} une collection d'ensembles, et A un ensemble quelconque. A-(C) = {A-P|PC} A-(C) = {A-P|PC} COROLLAIRE 1.28 - Pour 3 ensembles A, B, C quelconques A - ( B C ) = (A-B)(A-C) A - ( B C ) = (A-B)(A-C) soit, en termes de complment : ( B C )' ( B C )' B'C B'C' (G. d'Occam / A. de Morgan)

Rfrentiel (AuB)'

Fig. 1.6 Ensembles et complment (diagramme d'Euler-Venn).

1.7 COUVERTURES1.7.1 Prsentation DFINITION 1.17 - Soit C = {x, y, z, ...} une collection d'lments et G = {X, Y, Z, ...} une collection de sous-ensembles de C. Alors, G couvre C C G PROPOSITION 1.29 - Si G couvre C, VxC ($AG (xA)). EXEMPLES Si C est un ensemble d'individus membres d'associations, une couverture de C est une liste d'associations telle que chaque individu soit membre d'au moins l'une d'elles. Si C est un ensemble d'achats faire, on considrera comme couverture une liste de magasins ou de fournisseurs suffisante pour pouvoir tous les faire. 1.7.2 Finesse DFINITION 1.18 - Soient G = {X, Y, Z...} et G* = {X*, Y*, Z*...} deux couvertures de C. On dira G* plus fine que G, et on notera G* G si tout ensemble de G* est inclus dans un ensemble de G. Soit : G* G = " X*G* ($XG ( X * X))

1.7.3 Redondance / irredondance DFINITION 1.19 - Soit une couverture G et A un de ses ensembles; A est dit ensemble redondant (pour G) s'il est inclus dans l'union des autres. A redondant pour G A (G - {A}) Alors, aucun lment couvert ne lui est propre, et : PROPOSITION 1.30 - Si A redondant pour G, (G -{A}) = G DFINITION 1.20 - Une couverture G est dite couverture irredondante si aucun de ses ensembles n'est redondant pour elle. PROPOSITION 1.31 - A toute couverture finie G correspond au moins une couverture irredondante plus fine que G. PREUVE. Dmonstration par descente rcursive : Toute couverture forme d'un ensemble non vide est irredondante. Toute couverture G form d'un nombre fini d'ensembles : soit est irredondante, soit comporte au moins un ensemble A redondant : alors, la couverture G* = G-{A} couvrira les mmes points que G avec un ensemble de moins ; cette nouvelle couverture G* son tour, soit sera irredondante (par exemple parce qu'elle ne comporte plus qu'un ensemble), soit comportera au moins un ensemble redondant B... A chaque tape, la nouvelle couverture forme comprend un ensemble de moins que la prcdente, ce qui mne ncessairement une couverture irredondante en moins de |G| tapes. NOTE. Dans de nombreux problmes de couverture optimale, l'irredondance sera une condition ncessaire de l'optimalit. 1.7.4 Exemple Soit C = {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z }; F = {q, r}; G = {r, s, t}; H = {s, t, u, v}; I = { u , v , w } ; J = { w , x } ; K = { x , y , z } e tG = { F , G , H , I , J , K } . C = G, et G est donc couverture de C. Partant de G, quelles sont les couvertures irredondantes de C ? Les donnes sont rsumes par le tableau 1.4 ci-aprs, qui confronte les ensembles couvrants (1 par ligne) et les points couverts (1 par colonne). La dernire ligne indique par combien d'ensembles chaque point est couvert. Observons les points couverts 1 fois : la couverture de q exige F et celle de y et z exige K ; F et K seront ncessaires toute couverture de C. A contrario, G, H, I, J sont des ensembles redondants de cette couverture, car chacun des points qu'ils couvrent est couvert au moins 2 fois. Les couvertures irredondantes associes G comprennent donc F et K, et de quoi couvrir C - F - K = { s, t, u, v, w, x}. Pour couvrir s et t, il faut G ou H ; pour couvrir u et v, il faut H ou 1 ; enfin, w exige 1 ou J. D'o 3 couvertures irredondantes : G1 = {F, H, I, K} ; G2 ={F, H, J , K} ;G3,={F, G, I, K}.

Ensembles & lments Tableau 1.4 Ensembles couvrants et points couverts. Points Ensembles F G H 1 J K Nb. d'ensembles couvrants q

31

x r

s

t

u

v

w

x

y

z

x x x x x x x x x x x x

1

2

2

2

2

2

2

2

1

1

: points critiques ; gris : ensembles ncessaires ; rectangle : problme rsiduel.

Fig. 1.7 Diagramme d'Euler de la couverture G.

1.8 DIFFRENCE SYMTRIQUE 1.8.1 Prsentation DFINITION 1.21 - La diffrence symtrique de deux ensembles A et B est l'ensemble not A D B des objets appartenant soit A soit B, mais pas aux deux : A D B (A B ) - (A B) Tableau 1.5 Comparaison logique des diffrences, union, intersection. aX non non oui oui aY non oui non oui aX-Y non non oui non aY-X non oui non non aXDY non oui oui non aXY non oui oui oui aXY non non non oui

Fig. 1.8 Diagramme diffrence symtrique et intersection.

1.8.2 Proprits PROPOSITIONS 1.32 - Pour tous les ensembles A, B : ADB ADB ADB A B (A - B) (B-A) BDA (A - B) D (B - A) (A - B) D (B - A) D t A B ) ; A D B /commutativit (A B)

1.33 - Pour tout ensemble E : ED EDE DEE / lment neutre

1.34 - Pour tous les ensembles A, B, C : (ADB)DC ADB=ADC BDA=CDA ADB=C =AD(BDC)=ADBDC B = C B = C B = A D C /associativit /simplifiabilit gauche /simplifiabilit droite /changement de membre

1.35 - Avec un rfrentiel Ref : RefDA = A'

1.9 PARTITIONS 1.9.1 Prsentation DFINITION 1.22 - On appelle partition d'un ensemble E, une couverture de E par une collection d'ensembles disjoints deux deux. Une partition peut tre plus fine qu'une autre. La plus fine des partitions est la partition discrte qui isole chaque lment de E ; la moins fine des partitions est la partition universelle {E} qui rassemble tous les lments de E dans leur ensemble commun. Si chaque lment d'un ensemble E fini a reu un numro, on forme une partition P de E par la collection des En, ensemble des lments de E de numro n. Cette partition P est la plus fine possible si chaque lment de E a reu un numro distinct.

Ensembles & lments

33

(1)(2)

(5) (4) (3) (6) (7) (8)

Fig. 1.9 Partition d'un ensemble E en 8 sous-ensembles.

1.9.2 Partitions & couvertures

PROPOSITIONS1.36 - Toute partition est une couverture irredondante. 1.37 - A toute couverture finie, on peut associer une partition plus fine (au sens du 1.7.2). PREUVE. Soit C une couverture d'un ensemble X. Si elle ne comporte qu'un ensemble, c'est une partition (la moins fine). Si elle comporte au moins deux ensembles : - s'ils sont tous disjoints deux deux, c'est une partition ; - sinon, soient F et G deux ensembles non disjoints de C ; on les remplace par les 2 ensembles disjoints F et G - F, qui couvrent les mmes points ; on obtient ainsi une couverture C+ strictement plus fine que C ; ou C+ est une partition, ou il existe dans C+ deux ensembles F+ et G+ non disjoints... Le processus est convergent pour un ensemble fini X, car le nombre de ses couvertures est fini, la couverture la plus fine d'un ensemble X tant prcisment sa partition discrte. Le processus peut tre appliqu soit la couverture traiter, soit une couverture irredondante associe. EXEMPLE. Reprenons le cas de la couverture traite prcdemment. Soit C = {q,r,s,t,u,v,w,x,y,z} ; F = {q, r}; G ={r, s, t}; H = {s, t, u, v } I = {u, v, w}; J = {w, x}; K = [x, y, z}; et G= {F, G, H, I, J, K} une couverture associe. Quelle partition plus fine peut-on driver de G ? Dans G, F et G ne sont pas disjoints, G - F = {s, t}. On pose G1 = {{q,r},{s,t},H, I, J, K} ; {s, t} et H = {s, t, u, v} ne sont pas disjoints ; H (s, t} = {u, v} ; On poseG2={{q, r}, {s,t}, {u,vj, I, J, K} ; {u, v} et I = {u, v, w} ne sont pas disjoints ; I - {u,v} = {w} ; O nposeG3={{q, r},{s,t}, {u,v}, { w },J,K}; {w} et J ne sont pas disjoints. On forme G4 = {{q, r},{s,t}, {u,v}, {w}, {x}, K} ; en considrant le couple ({x}, K) on obtient enfin la partition : ={{q,r}, {s,t}, {u,v},{w}, {x},{y,z}}; qui satisfait G4 G3 G2 G1 G En partant de la couverture irredondante G+ = {F, H, I, K} on obtient plus rapidement + ={{q,r}, {s,t,u,v},{w}, {x,y,z}}, partition plus proche de G puisque +G.

1.9.3 Finesse entre partitions La finesse entre couvertures peut tre restreinte une finesse entre partitions. On appelle chane de finesse une liste de partitions dont chacune est plus fine que la suivante. Une chane de finesse entre partitions d'un mme ensemble s'interprte comme l'observation d'une mme classification arborescente diffrents niveaux de finesse, de la partition la plus fine, qui isole chaque lment, la partition la plus grossire, qui rassemble tous les lments en une mme classe. Tableau 1.6 Partitions successives d'une classification arborescente. niveau 0 1 2 3 4 5 6

(abcdefgh) (abcde) (abcde) (ab) (a) (a) (a) (b) (b) (b) (c) (c) (cde) (cde) (de) (d) (e) (fgh) (i) (0 (0 (0 (0 (gh) (gh) (g) (g) (g) (h) (h) (h)

Chane de finesse d'une classification arborescente Le tableau 1.6 nous donne P6 = {{a}, {b}, {c}. {d}, {e},{j}. {g),{h}}= partition la plus fine P5={{a},{b},{c},{d,e},{f},{gj,{h}} P4={{a},{b},{c,d,e},{f},{g},{h}} P3={{a,b},{c,d,e},{f},{g,h}} P2={{a,b,c,d,e},{f},{g,h}} P1={{a,b,c,d,e},{f,g,h}} P0 = {{a, b, c, d, e, f , g, h) = partition la moins fine. La suite P6, P5, P4, P3, P2, P1, P0 est dite chane de finesse pour ces partitions : c'est une squence totalement ordonne, de la plus fine, ou partition discrte la moins fine, ou partition universelle (fig. 1.10).

1.10 PAIRES & PRODUITS CARTSIENS1.10.1 Paires ordonnes Par dfinition des extensions, {a, b} = {b, a}, et {a, a} = {a}. Par opposition, DFINITION 1.23 - On appellera paire ordonne des couples nots (a, b) o le rang (1er pour a, 2nd pour b) est impos et significatif2. POSTULAT 1.38 - (a, b) = (c, d) si et seulement si a = b et c = d.

Certains auteurs posent (a, b) = {a,{a, b}}, pour dcrire prcisment (a, b) comme une paire {a, b) dont un lment a est distingu.

012345 i

Fig. 1.10 Partitions successives d'une classification arborescente, diagramme ensembliste. 1.10.2 Produit cartsien DFINITION 1.24 - Soient A, B deux ensembles. Leur produit cartsien est l'ensemble des paires ordonnes formes d'un objet de A et d'un objet de B. On note : A B={ ( a , b a Ab B } EXEMPLE, {al, a2}{bl, b2, b3} = {(al, bl), (al, b2), (al, b3), (a2, bl), (a2, b2), (a2, b3)}. Cet ensemble est symbolis par les cases d'un tableau rectangulaire dont les lignes sont relatives aux lments de A et les colonnes ceux de B (tab. 1.7). Tableau 1.7 Produit cartsien AB. A\B al a2 bl (al,bl) (a2,bl) b2 (al,b2) (a2,b2) b3 (al,b3) (a2,b3)

PROPOSITIONS 1.39-|AB|=|A|- B 1.40 - Soient 4 ensembles A, B, C, D quelconques A B, C D => AC BD 1.11 EXERCICES 1.11.0 Complter le tableau 1.8 (au crayon d'abord !). /monotonie

36

Fondements Tableau 1.8 Points et ensembles.

PointsensemblesAB

Aa b c d e fx x

B

Ref

A-B B-A

ADB

ABA' B'

A'B' C ; la relation compose h = f g est une fonction de A dans C. PREUVE. Par ftout lment a de A a au plus une image b dans B ; si ce b existe, il a au plus par g une image c dans C : donc chaque a de A a au plus une image c dans C, et h = f g est une fonction. PROPOSITION 3.12 - Soient les applications f : A->B et g : B->C ; la relation compose h = f g est une application h : A->C. PREUVE. Par f tout lment a de A a exactement une image b dans B, qui par g a exactement une image c dans C : donc chaque a de A a exactement une image c dans C, et h = f g est une application. NOTE. Si h = f g, o h est une fonction, x (f g) y se note y = h(x), et signifie y = g(f(x)). // est classique en thorie des fonctions de noter une telle fonction compose h = g o f(au lieu de h = f* g en thorie des relations). EXEMPLE. Soit f : x > x+1 et g : x > x2. Si x vaut successivement 0, 1, 2, 3, 4... f(x) vaut successivement 1, 2, 3, 4, 5... et h(x) = g(f(x)) vaut successivement 1, 4, 9, 16, 25... d'o h = g o f = x -> (x+1)2. 3.7.2 Proprits PROPOSITION 3.13 - Quelles que soient les fonctions f : A->B, g : B->C, h : C>D g o (fo h) = (g o f) o h /associativit de la composition

PROPOSITION 3.14 - L'identit I, qui tout lment x d'un ensemble A associe le mme lment x, est neutre pour la composition.IAf=fIB=f=

foIA=lBOf

58

Fondements

3.8 ENSEMBLES DENOMBRABLES ET FINIS3.8.1 PrsentationDFINITIONS

3.10 - On dit un ensemble dnombrable s'il peut tre mis en bijection avec N. 3.11 - On dit un ensemble fini s'il peut tre mis en bijection avec un sous-ensemble born de N ; ses lments se trouvent ainsi numrots. EXEMPLES On prouve que l'ensemble Z des entiers signs, l'ensemble N2 des paires d'entiers, l'ensemble des fractions, l'ensemble Q des rationnels sont dnombrables ; il n'en est pas de mme de R ni de C. B, un ensemble de chiffres, l'ensemble des caractres d'une criture alphabtique, d'une criture syllabique sont finis, et donc codables par des entiers borns. COROLLAIRE 3.15 - Tout ensemble qui peut tre mis en bijection avec le sousensemble des entiers de 1 n est un ensemble fini de cardinalit n. PREUVE. Par la proposition 3.8. PROPOSITION 3.16 - Soient A, B deux ensembles de cardinalit n : il existe une bijection fpourles mettre en correspondance. PREUVE. Par la dfinition 3.11 et le corollaire 3.15, les lments de A (resp. B) sont numrotables de 1 n. Ces lments ayant t numrots, festdfinie en posant : "i l i n f ( a i ) = b i 3.8.2 Suites indexes, suites finies Soit D un ensemble quelconque, et 1 un ensemble dnombrable. Une application s : ID dfinit une suite d'lments de D indexe par 1 ; on dit cette suite finie si 1 est fini. Avec iI, s(i) sera maintenant not si. On a alors : im(s) = { si | i l }

ou, frquemment, im(s) ={ E(i) | i l}, o E(i) dnote quelque expression algbrique en i valeur dans D. Ainsi notera-t-on { 2n+1 | n N } l'ensemble des impairs, au lieu de : { s, | i N } o s: NN avec s(n) = 2n+l "n N . (!). 3.8.3 N-uples N-uples homognes DFINITION 3.12 - On appelle n-uple sur D une squence finie s = (s0, s 1 S2, ... Sn-1) telle que pour chaque i de I on ait si D. N-uples htrognes Soit F = { Di | i I } une suite finie d'ensembles indexe par I.

Fonctions

59

DFINITION 3.13 - On appelle n-uple sur F une suite finie s = (S0, S i , S2, ... Sn-1) telle que pour chaque i de I on ait si D i NOTE. On considrera comme 0-uple l'ensemble vide, 1-uple les singletons, 2-uples les paires ordonnes, 3-uples / 4-uples, les triplets et quadruplets... ; tuple sera rserv aux n-uples de taille n inconnue. 3.8.4 Produit cartsien gnralis DFINITION 3.14 - On appelle produit cartsien gnralis des D, de F l'ensemble Di0Di...Din-1 = { s "i Isi Di} = Di. NOTES C'est le modle des articles Pascal (sans variante) ou des structures C (sans union). Quand "i I, Di, = D, et si n = |I|, on pose D n=D i .iI EXEMPLES

Bm est l'ensemble des valeurs que peut prendre un vecteur boolen de m bits ; en programmation on assimilera un mot de m bits un tel vecteur . Soit V un ensemble de notes ; Vm est l'ensemble des valeurs que peut prendre un vecteur de m notes. Si chaque note du vecteur a une dfinition prcise lie son rang, alors les vecteurs assigns un individu, un systme, une solution... pour les reprsenter, sont dits profils de ces entits.

PROPOSITIONS 3.17 - La cardinalit d'un produit cartsien gnralis D est le produit des cardinalits des ensembles composants : D=Di|D|=|Di|iI iI

3.18 - Pour un ensemble D, |Dn = |D|n.

3.9 RELATIONS N-AIRES3.9.1 Prsentation DFINITION 3.15 - Soit F = (Di0, Di1, Di2, ..., Din-1) = { Di | i I } une suite finie d'ensembles indexe par I. Tout R Di0Di1...Din-1, collection de n-uples de F est dit relation n-aire sur F, relation dont les Di sont les dimensions. EXEMPLES On note m n mod k et on dit m et n sont congrus modulo k si k divise exactement m - n : c'est une relation ternaire entre entiers. En physiologie, psychologie, conomie... on utilise une relation ternaire dite de vicariance : un triplet (X, Y, F) la satisfait ssi X supple Y dans la fonction F. En analyse de donnes, on rencontre une relation quaternaire entre objets classer (x, y ) plus similaires que (z, t). Plus gnralement, une relation R n-aire peut tre reprsente en extension par une table double entre, raison : d'une ligne par n-uple (ou fait lmentaire) satisfaisant R,

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Fondements d'une colonne par dimension de la relation, ou ensemble Di membre de F.

|R| est alors donn par le nombre de lignes, tandis que le nombre n de colonnes correspond l'arit de la relation. C'est le modle fondateur des bases de donnes relationnelles.Tableau 3.3 Dfinition tabulaire d'une relation quinaire (ou d'arit 5).

Relation CLIENT-5d imensions Nom *** DUPONT DURAND MARTIN DE WERRA *** Adresse *** 20, Impasse du Progrs 25, Place d'Armes 3, Rue Sans-Souci 25, Rue Einstein Code Postal *** F 69684 L035 F 69425 CH 0456 Ville *** Pontcharra sur Turdine Bertrange Millery Ecublens Numroclient *** U017 Z043 W452 Z018

3.9.2 Projection DFINITION 3 1 . 6 -On oteproji(R)={ dD i | $ r R r i = d }. La i-me projection d'une relation n-aire, ou projection sur la i-me dimension, regroupe les lments de la i-me colonne de la table. 3.9.3 Dcomposition canonique PROPOSITION 3.19 - Toute relation n-aire R dfinie sur une suite finie d'ensembles indexe par I se ramne une suite Ri de n relations binaires indexes par I, o chaque Ri exprime alors la relation entre les n-uples ou lignes de la table s, et leur ime colonne ou composante : "i 1 "s R Ri(s, si) Cette proposition permet de transformer une table de relation n-aire en n tables de relations binaires, souvent fonctionnelles, entre les lignes s et leur i-me attribut : ici Client(nom, adresse, codePostal, ville, numCIient ) $ client Nom(client, nom) Adresse(client, adresse) CodePostal(client, codePostal) Ville(client, ville) NumroClient(client, numCIient). L'clatement d'une table de relation n-aire en n tables de relations binaires est notamment utile lorsqu'une dimension est elle-mme produit cartsien de sousdimensions. 3.9.4 Jointure ... Cn-1 Soient F1 = (A0, A1, ... Ak-1, ; B0, B1, ... B m-1 ) e tF2=(B0, B1, ... Bk-1 deux suites d'ensembles indexes non disjointes. ; C0, C1,

Fonctions A une relation R (k + m)-aire de F1,et associe une jointure R tx) S dfinie par : R t X S = {(a 0 ,a k -1, ... ak-1,b0, bk-1, ... b k - 1 ,Co,C1,... C n - 1 ) | (a 0 ,a 1 , ... ak-1, b0,b 1 ,... bk-1 ) R (b0, b1, ... b k - 1 ,c 0 ,c 1 , ... C n-1 ) S} REMARQUES Si F1 = F 2 la jointure se ramne l'intersection.

61 une relation S (m + n)-aire de F2o n

La jointure est idempotente ; elle peut tre considre comme commutative, et, sous certaines conditions, comme associative (Aho, VIII.9). Chaque relation R peut tre considre comme la jointure de ses relations binaires associes, vues comme partageant un index des n-uples de R.

3.9.5 Schmas de relation et relations En matire de bases de donnes, un schma de relation S = (I, F) est un couple o I, dit ensemble des attributs, indexe une suite finie F d'ensembles, tout a 6 1 ayant pour domaine l'ensemble Da correspondant dans F. Une relation n-aire R apparat alors comme un couple(S, T) associant un schma S, dont l'ensemble des attributs est de cardinalit n, une table T comportant exactement - une colonne par attribut de S, de mme nom et de mme domaine, - une ligne par n-uple de R. 3.10 FONCTIONS GNRALISES 3.10.1 Prsentation Tout ce qui a t dit des relations R AB qui, ds lors qu'elles sont rgulires droite, peuvent tre vues en tant que fonctions, applications, surjections, injections, bijections, reste vrai si A=D 0 D 1 ...D n-1 e tB=E 0 E 1 ...E k - 1 Une fonction f dfinie sur A et valeur dans B a maintenant un domaine dom(f) Di et une image im(f) E j . Cette fonction est d'arit n si A possde n composantes Di : elle peut alors tre considre comme ayant soit n arguments distincts, soit un n-uple de A comme argument unique. EXEMPLES Soit D l'ensemble des droites d'un plan ; l'angle entre deux de ces droites peut tre considr comme donn par une fonction angle : DD R. Considrons un certain volume rempli d'un fluide, et, tout instant, en chaque point, les vecteurs vitesse et acclration du fluide en ce point : on peut les considrer globalement comme donns par une fonction R4 R6. Les fonctions gnralises pourront associer au n-uple descriptif d'un objet, d'une solution, le k-uple l'valuant du point de vue de k critres. Ces profils permettront :

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Fondements - d'valuer la proximit de profils-type (reconnaissance de formes, identifications et classifications diverses, diagnostics), si les critres correspondent des prfrences, des classements en vue de choix...

3.10.2 Distances Ce concept fonde la gomtrie, et aussi le concept de similarit. DFINITION 3.17 - La fonction d : AAR+est dite distance pour A ssi : 1 . " x , y A d(x, y) = 0 x = y 2. " x, y A d(x, y) = d(y, x) /symtrie 3. " x, y, z A d(x, z) d(x, y) + d(y, z) /ingalit du triangle PROPOSITION 3.20 - Si d est une distance pour A, " x, y, z A| d(x, y) - d(y, z) | d(x, z) Distance discrte PROPOSITION 3.21 - Pour tout ensemble A, la fonction d : AANdfinie par d(x,y) = (si x = y alors 0 sinon l ) est toujours une distance, dite distance discrte. NOTE. Cette distance est vraiment grossire, et on utilise le plus souvent en mathmatiques discrtes, des distances valeur entire ( 3.11.8). Famille de distances dans Rk PROPOSITION 3.22 - Pour A = Rk , les fonctions dn,(x,y)=n ki=1xi-y i nconstituent une famille de distances. Pour tout couple x, y de points, on a toujours n m dn(x, y) d m (x, y). NOTES. Une distance dn est dite urbanistique ou de Manhattan si n = 1 : c'est la longueur du plus court chemin form seulement de segments parallles aux axes, ce qui voque les dplacements dans une ville avec plan en grille ; est dite euclidienn