elipsiniu˛ lygciu˛ skaitiniai sprendimo metodaiˇolgas/dlssm/mfl_sm_4p.pdf · lygtis yra labai...

Elipsiniu lygciu skaitiniai sprendimo metodai5 paskaita

Olga Štikoniene

Diferencialiniu lygciu ir skaiciavimo matematikos katedra, MIF VU

2018-12-10

Olga Štikoniene (MMT MIF VU) [Elipsiniu lygciu skaitiniai sprendimo metodai 2018-12-10 1 / 33

Egzamino klausimai:16) Dvimate Puasono lygtis vienetiniame kvadrate.

Paprasciausia baigtiniu skirtumu schema „kryžius“, josaproksimavimo paklaida.

17) Dvimate Puasono lygtis vienetiniame kvadrate. 4 eilesbaigtiniu skirtumu schema.

18) Dvimate Puasono lygtis vienetiniame kvadrate. Baigtiniuskirtumu schema „kryžius“. Sprendimo metodu apžvalga.


Elipsiniu uždaviniu pagrindines savybes

Daugelis modeliu susije su operatoriumi

∆u =∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2 (erdveje R3), ∆u =

∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 (erdveje R2).

Šis operatorius vadinamas laplasianu.Elipsines lygtys:

∆u = 0 – Laplaso lygtis (aprašo magnetinius ir stacionariuosiusšilumos laukus);∆u = f (x, y) – Puasono lygtis (taikoma elektrostatikoje,tamprumo teorijoje);

Laplaso lygtis yra viena iš svarbiausiu DL dalinemis išvestinemisŠi lygtis yra Puasono lygties atskiras atvejis.Laplaso lygties sprendiniai vadinami harmoninemis funkcijomis.Laplaso lygtis turi labai daug taikymu, pavyzdžiui, šilumos laidumouždavinyje temperaturos laukas yra harmoninis, kai pasiektapusiausvyra.Lygtis yra labai svarbi mechanikoje, elektromagnetizme, tikimybiuteorijoje, kvantineje mechanikoje, gravitacijos teorijoje, biologijoje ir kt.



Biharmonine lygtis (ketvirtosios eiles )Tamprumo teorijos plokšcio uždavinio lygtis.Plonos tamprios plokšteles pusiausvyros busena aprašoamplitudes funkcija u(x, y) – plokšteles nuokrypis nuohorizontalios padeties. Funkcija u tenkina lygti

∆2u = ∆(∆u) = uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0.

Taikymai - continuum mechanics, including linear elasticity theory and the solution of Stokes flows.

Helmholtz’o lygtis (aprašo nusistovejusius svyravimus)

4u(x) +ω2

c2 u(x) = f (x),

cia ω2

c2 = k2 yra bangos vektoriaus modulio kvadratas. u ∈ Rn

(taikoma, kai n = 1, 2, 3).The Helmholtz equation often arises in the study of physical problems involving partial differential equations (PDEs) in

both space and time. The Helmholtz equation, which represents a time-independent form of the wave equation, results

from applying the technique of separation of variables to reduce the complexity of the analysis. (Wikipedia)



Nagrinekime dvieju nepriklausomu kintamuju funkcija u(x, y).Didžiaja dali teiginiu galima nesunkiai apibendrinti daugiamaciamsuždaviniams.Paprastumo delei nagrinesime kanonines lygtis, bet nebutinaihomogenines.Tegul D yra sritis plokštumoje (netušcia, atvira ir jungi aibe D ⊂ R2).

Laplaso lygtis

∆u := uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ D (1)

Apibr. Funkcija u, tenkinti (1), vadinama harmonine funkcija.Laplaso lygtis yra Puasono lygties atskiras atvejis.

Puasono lygtis

∆u = F(x, y), (2)cia F yra žinoma funkcija.

Lygti (2) Simeon Poisson (1781-1840) taike sprendžiant ivairiusuždavinius susijusius su technika, gravitacija, elektra ir magnetizmu.



Dirichle uždavinys

∆u = F(x, y), (x, y) ∈ D

u(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D

174 Elliptic equations

The Laplace equation is a special case of a more general equation:

u = F(x, y), (7.3)

where F is a given function. Equation (7.3) was used by the French mathematicianSimeon Poisson (1781–1840) in his studies of diverse problems in mechanics,gravitation, electricity, and magnetism. Therefore it is called Poisson’s equation.In order to obtain a heuristic understanding of the results to be derived below, it isuseful to provide Poisson’s equation with a simple physical interpretation. For thispurpose we recall from the discussion in Chapter 1 that the solution of Poisson’sequation represents the distribution of temperature u in a domain D at equilibrium.The nonhomogeneous term F describes (up to a change of sign) the rate of heatproduction in D. For the benefit of readers who are familiar with the theory ofelectromagnetism, we point out that u could also be interpreted as the electricpotential in the presence of a charge density −F .

In order to obtain a unique temperature distribution, we must provide conditionsfor the temperature (or temperature flux) at the boundary ∂D. There are severalbasic boundary conditions (see the discussion in Chapter 1).

Definition 7.1 The problem defined by Poisson’s equation and the Dirichlet bound-ary condition

u(x, y) = g(x, y) (x, y) ∈ ∂D, (7.4)

for a given function g, is called the Dirichlet problem. In Figure 7.1 we depict theproblem schematically.

Definition 7.2 The problem defined by Poisson’s equation and the Neumannboundary condition

∂nu(x, y) = g(x, y) (x, y) ∈ ∂D, (7.5)

D

u=g

∆u =F

∂D

Figure 7.1 A schematic drawing for the Poisson equation with Dirichlet boundaryconditions. g – žinoma funkcija.

Neumano uždavinys

∆u = F(x, y), (x, y) ∈ D

∂nu(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D

su duotaja funkcija g,~n žymi vienetine išorinenormale ant krašto ∂D

∂n žymi išvestine ~n kryptimi(t. y. ∂n = ~n · ∇).

Robino uždavinys

∆u = F(x, y), (x, y) ∈ D

u(x, y) + α(x, y)∂nu(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D

cia α ir g duotosios funkcijas.Olga Štikoniene (MMT MIF VU) [Elipsiniu lygciu skaitiniai sprendimo metodai 2018-12-10 6 / 33


Taikymuosesritis dažnai buna kampuota, pavyzdžiui, staciakampis.Prie kampo kraštas yra nediferencijojamas, todel sprendinysnevisada yra toks glodus, kaip mes noretume.nagrinesime tik klasikinius sprendinius, t.y. sprendinius,priklausancius C2(D).Kartais reikes papildomu salygu ant krašto. Kartais turi apsiribotisprendiniais iš C1(D).



Nagrinekime Neumano uždavini.Šilumos balansas: Šilumos srautas per krašta turi buti lygus šilumosšaltiniu srities viduje pagaminamam šilumos kiekiui (sekancios lemosfizine apraiška).

LemaNeumano uždavinio sprendinio egzistavimui butina salyga yra∫

∂D

g(x(s), y(s))ds =

∫D

F(x, y)dxdy, (3)

cia (x(s), y(s)) yra ∂D parametrizavimas.

Atkreipkite demesi, kad DL ∆u = f su Neumano kraštine salygasprendinys nustatomas konstantos tikslumu.



Irodymas: ∆u = ~∇·~∇u ⇒ galima užrašyti Puasono lygti kaip~∇·~∇u = F. (4)

Priminimas: Gauso teorema∫D

~∇ · udV =

∫∂D

u ·~nds.

Integruojant abi lygybes puses srityje D ir taikydami Gauso teorema,gauname ∫

∂D

~∇u ·~nds =

∫D

Fdxdy.

Lemos teiginys seka iš kryptines išvestines apibrežimo ir iš kraštiniusalygu ∂nu(x, y) = g(x, y).Pastaba: Harmoninems funkcijoms (Laplaso lygties (F = 0)sprendiniams) teisinga ∫

Γ

∂nuds = 0 (5)

bet kuriai uždarai kreivei Γ, priklausanciai D.Olga Štikoniene (MMT MIF VU) [Elipsiniu lygciu skaitiniai sprendimo metodai 2018-12-10 9 / 33


Elipsiniu uždaviniu svarbi savybe: sprendinai turi didesni glodumanegu duotosios funkcijos.

Puasono lygties sprendiniai turi dviems išvestinemis daugiau neiduotaja funkcija f .Biharmonines lygties sprendiniai turi 4 išvestinemis daugiau neiduotaja funkcija f .Laplaso lygties sprendiniai turi be galo daug išvestiniu.


Maksimumo principas

Maksimumo principas yra labai svarbus irankis antros eiles elipsiniulygciu tyrime.

Silpnas maksimumo principasTegul

D yra aprežta sritis,u(x, y) ∈ C2(D) ∩ C(D) yra harmonine funkcija srityje D.

Tada funkcijos u maksimumas D pasiekimas ant krašto ∂D.

Pastaba. Jei u yra harmonine D, tada −u irgi yra harmonine srityje D.Taciau bet kokiai A ir bet kuriai funkcijai u teisinga

minA

u = −maxA

(−u).

Todel harmonine funkcija u minimuma taip pat igyja ant krašto ∂D.


Maksimumo principas

Ši teorema dar neatmeta galimybes, kad funkcija u didžiausia(arba mažiausia) reikšme taip pat pasiekia vidiniame taške.Stipresnis rezultatas teigia, kad, jei u nera konstanta, tadamaksimumas (ir minimumas) negali buti pasiektas bet kokiamevidiniame taške.Šiam tikslui pirmiausia reikia nustatyti viena svarbia harmoniniufunkciju savybe.

Teorema [Vidutines reikšmes principas]

Tegul D yra sritis plokštumoje, u yra harmonine funkcija ir (x0, y0) ∈ D.Tarkime, kad BR ∈ D yra spindulio R diskas su centru (x0, y0). Betkuriam r > 0 pažymekime Cr = ∂Br. Tada u(x0, y0) yra funkcijos ureikšmiu apskritimo CR taškuose vidurkis:

u(x0, y0) =1

2πR

∮CR

u(x(s), y(s))ds =1

2π

2π∫0

u(x0 + R cos θ, y0 + R sin θ)dθ.

(6)


Maksimumo principas

Pastaba. Atvirkštinis teiginys taip pat teisingas, t.y.tolydi funkcija, kuri atitinka vidutines reikšmes savybe srityje D yraharmonine.

Šiek tiek silpnesnis rezultatas.

Teorema

Tegul u ∈ C2(D) funkcija, turinti vidutines reikšmes savybekiekviename srities D taške. Tada u yra harmonine funkcija D.

Kitas harmoniniu funkciju maksimumo principas seka iš vidurinesreikšmes teoremos.

Teorema [stiprus maksimumo principas]Tegul u yra harmonine funkcija srityje D (sritis nebutinai aprežta). Jei upasiekia maksimuma (minimuma) vidiniame srities D taške, tai u yrakonstanta.


Maksimumo principas

Pastaba. Stiprus maksimumo principas garantuoja, kad nepastoviosharmonines funkcijos negali igyti maksimumo arba minimumovidiniuose D taškuose.Atkreipkite demesi, kad neaprežtoje srityje funkcijos u maksimumas(minimumas) nebutinai yra igyjamas ant D.Pavyzdys: funkcija u(x, y) = ln(x2 + y2) yra harmonine ir teigiamavienetinio disko išoreje, ji išnyksta ant srities krašto, bet ji neturimaksimumo.Maksimumo principo taikymai – vienaties ir stabilumo irodymai.


Maksimumo principas

Antros eiles elipsines lygties su kraštinemis salygomis sprendinioegzistavimas ir vienatis priklauso nuo globaliu apribojimu ( pvz.,integraline salyga (3)).Puasono lygtis su Dirichle kraštinemis salygomis turi vienintelisprendini, o su Neimano kraštinemis salygomis vienintelis sprendinysbus tada ir tik tada, kai išpildyta integraline salyga (3).


Elipsiniai uždaviniai

Tarp matematines fizikos lygciu elipsines lygtys išsiskiria pagalskaitiniu metodu taikyma.Gerai išpletota elipsiniu lygciu sprendimo metodu teorija.Pakankamai lengvai elipsinims lygtims irodinejamos teoremosapie skirtumu schemu stabiluma. Daugeliui atveju sprendžiantskirtumu lygciu sistemos gaunami aprioriniai iverciai skaiciavimutikslumui ir iteraciju skaiciui.Uždavinio diskretizavimas priveda prie labai dideliu ir blogaisalygotu tiesiniu lygciu sistemu sprendimo. Reikalingi specialaipritaikyti iteraciniai metodai.



Nagrinekime dvimati Puasono lygti

uxx + uyy = f (x, y) (7)

vienetiniame kvadrate 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 su Dirichle tipo kraštinemissalygomis

u(0, y) = ϕ1(y), u(1, y) = ϕ2(y), (8)u(x, 0) = ϕ3(x), u(x, 1) = ϕ4(x). (9)

Lyginant (7) su paraboline lygtimi

ut = uxx + uyy − f (x, y),

galima pastebeti, kad jei jos sprendinys konverguoja i riba, kai t→∞,tai ši riba yra eliptines lygties sprendinys.Šis saryšys tarp elipsiniu uždaviniu ir priklausancio nuo laikoparabolinio uždavinio sprendinio dažnai naudojamas elipsiniuuždaviniu sprendime.



Diskretusis uždavinys

Tegul ω = (xi, yj) : xi = ih, yj = jh, i, j = 0, 1, . . . ,N yradiskretusis tinklas su žingsniu h = 1

N+1 , uij = u(xi, yj), fij = f (xi, yj)– tinklines funkcijos.Laikysime, kad žingsniai pagal skirtingas koordinates yra lygus.Priešingu atveju, kai žingsniai nera lygus skirtingomis kryptimis,rezultatai nesikeicia, tik lygtis užrašoma sudetingesniu pavidalu.

N = 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



Aproksimavimas

∂2u∂x2

∣∣∣x=xi,y=yj

≈ui−1,j − 2uij + ui+1,j

h2

∂2u∂y2

∣∣∣x=xi,y=yj

≈ui,j−1 − 2uij + ui,j+1

h2 .

Kryius schema

(xi−1, yj)

(xi , yj)

(xi+1, yj)

(xi , yj−1)

(xi , yj+1)

Sudedami ir gauname

∂2u∂x2 +

∂2u∂y2

∣∣∣x=xi,y=yj

=ui−1,j + ui+1,j − 4uij + ui,j−1 + ui,j+1

h2 + Ψij.

Galima parodyti, kad aproksimacijos paklaida Ψij = O(h2).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Baigtiniu skirtumu schemosšablonas „kryžius“.



Baigtiniu skirtumu schema

ui−1,j − 2uij + ui+1,j

h2 +ui,j−1 − 2uij + ui,j+1

h2 = fij,

cia h yra žingsnis. Operatoriniame pavidale ši schema užrašoma

δ2x uij + δ2

y uij = fij,

cia

δ2x uij =


h2 , δ2y uij =

ui,j−1 − 2uij + ui,j+1

h2 ,

Kraštines salygos

u0j = 0, ui0 = 0, uN+1,j = 0, ui,N+1 = 0.



Parodysime, kad schema yra antrosios eiles aproksimacijos.Užrašysime Teiloro skleidini operatoriams δk, k = 1, 2, pavyzdžiui,

δ2x ui =

ui−1 − 2ui + ui+1

h2 =

(∂2u∂x2

)x=xi

+h2

12

(∂4u∂x4

)x=xi

+O(h4).

Tada dvimaciai Puasono lygciai

δ2x uij + δ2

y uij =

[∂2u∂x2 +

∂2u∂y2

]ij

+h2

12

[∂4u∂x4 +

∂4u∂y4

]ij

+O(h4).

Nagrinekime schemos stabiluma. Evoliuciniu (priklausomu nuo laiko)lygciu stabilumo tyrimo metodai cia neveikia.Suformuluosime du teiginius, kurie palengvins skirtumu schemosstabilumo irodymo procedura.



Diskretusis maksimumo principas.

Tegul tinkline funkcija uij apibrežta tinklo ω = (xi, yj), i, j = 0, . . . ,Ntaškuose ir visuose vidiniuose taškuose tenkina lygti

ui−1,j − 2uij + uj+1,j

h2 +ui,j−1 − 2uij + ui,j+1

h2 = fij,

taip kad visuose vidiniuose tinklo taškuose fij ≥ 0 (fij ≤ 0). Tada tinklinefunkcija uij maksimuma (minimuma) pasiekia bent viename tinklokrašto taške.

Išvada.Kiekvienas Laplaso lygties baigtiniu skirtumu schemos


h2 +ui,j−1 − 2uij + ui,j+1

h2 = 0

sprendinys pasiekia savo minimuma ir maksimuma ant tinklines sritieskrašto.



Pavyzdys. Užrašykime Puasono uždaviniui

∆u = 1 (x, y) ∈ Ω, u(x, y) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω

diskreciuosios sistemos matrica, kai yra 3× 3 vidiniu tašku tinklas.

Laplaso lygties tinklelio struktura.



T3×3

U1U2U3U4U5U6U7U8U9

≡

4 −1 −1−1 4 −1 −1

−1 4 −1−1 4 −1 −1

−1 −1 4 −1 −1−1 −1 4 −1

−1 4 −1−1 −1 4 −1

−1 −1 4

U1U2U3U4U5U6U7U8U9

= h2

f1f2f3f4f5f6f7f8f9

.



Tiesine lygciu N2 × N2 sistema

TN×Nu = h2f,

cia matricos TN×N istrižajneje yra N bloku TN + 2IN

TN×N =

TN + 2IN −IN

−IN. . . . . .. . . . . . −IN

−IN TN + 2IN



9 tašku šablonas – 4-osios eiles aproksimacija

Iš Teiloro skleidinio galima gauti toki schemos pataisyma, kadpaklaidos ivertyje butu panaikinti antros eiles nariai, t.y. gautumeketvirtos tikslumo eiles Laplaso operatoriaus aproksimuojanciaschema:

∆u +1

12h2δ2

xδ2y u = f +

112

h2(δ2x + δ2

y )f .

Tada16(ui+1,j+1 + ui+1,j−1 + ui−1,j+1 + ui−1,j−1)

+23(ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1)− 10

3 ui,j

= h2

12(fi+1,j + fi−1,j + fi,j+1 + fi,j−1 + 8fi,j).



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.51D 3−pt Laplacian, O(h2)

−2 −1 0 1 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.52D box 9−pt Laplacian, O(h4)

−2 −1 0 1 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.52D wide 9−pt Laplacian, O(h4)

−1

0

1

−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

3D 7−pt Laplacian, O(h2)

−2

0

2

−2

0

2

−2

−1

0

1

2

3D wide 13−pt Laplacian, O(h4)

−1

0

1

−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

3D box 27−pt Laplacian, O(h4)

9 tašku sablonas . Aproksimuojant Laplaso operatoriu naudojamosfunkcijos u reikšmes visuose devyniuose taškuose. Funkcijos faproksimacijai naudojami 5 nekampiniai taškai. Schema tenkinamaksimumo principa. Paklaidos ivertis gaunamas analogiškai kaip iršablonui „križius“.



Daugiamaciuose uždaviniuose antros eiles (5 tašku šablonas dvimaciuatveju) ir ketvirtos eiles (9 tašku šablonas dvimaciu atveju) šablonai:

n 2 eiles 4 eiles1 3 tašk. 5 tašk.2 5 tašk. 9 tašk.3 7 tašk. 13∗/27∗∗ tašk.∗ wide-stencil; ∗∗ compact ”box.”

Vienmatis atvejis

Dvimatis atvejis

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


−2 −1 0 1 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


−2 −1 0 1 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


−1

0

1

−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


−2

0

2

−2

0

2

−2

−1

0

1

2


−1

0

1

−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5




Trimatis atvejis

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


−2 −1 0 1 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


−2 −1 0 1 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2


−1

0

1

−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


−2

0

2

−2

0

2

−2

−1

0

1

2


−1

0

1

−1

0

1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5




Metodai

(J. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra)



Pavyzdys:

0 20 40 60 80

0

10

20

30

40

50

60

70

80

nz = 14

Matrix Entries Corrsponding to BCs at x=0, and x=1

0 20 40 60 80

0

10

20

30

40

50

60

70

80

nz = 18

Matrix Entries Corrsponding to BCs at y=0, and y=1

0 20 40 60 80

0

10

20

30

40

50

60

70

80

nz = 245

Matrix Entries Corrsponding to the Interior

0 20 40 60 80

0

10

20

30

40

50

60

70

80

nz = 277

The Full Matrix A


Tiesioginiai, iteraciniai ir variaciniai sprendimo metodai

Dideliu tiesiniu lygciu sistemu Ax = b skaitiniai sprendimo metodaisuskirstyti i dvi grupes: tiesioginiai ir iteraciniai.

Tiesioginiai metodai

(< 104 nežinomuju)Tikslus sprendinysgaunamas per baigtinižingsniu skaiciu.

Gauso;Skaidos;Choleckio;Perkelties.

Iteraciniai metodai

(< 107 nežinomuju)Randamas apytikslis sprendinysbet kokiu norimu tikslumu.

Paprastuju iteraciju metodas;Jakobio;Zeidelio;Relaksacijos;Mišrusis;

Variaciniai metodai (matrica A simetrine ir teigiamai apibrežta)Jungtiniu gradientu;Didžiausio nuolydžio; Mažiausios netikties.

(> 107 nežinomuju).Olga Štikoniene (MMT MIF VU) [Elipsiniu lygciu skaitiniai sprendimo metodai 2018-12-10 32 / 33

Tiesioginiai, iteraciniai ir variaciniai sprendimo metodai

Tiesiniu lygciu sistemu (TLS) sprendimas

TLS Ax = b sprendimo metodu apžvalgaPasirinkimas tarp tiesioginiu ir iteraciniu metodu gali priklausyti nuokeliu faktoriu:

teorinis metodo efektyvumas,matricos tipas,atminties laikymo reikalavimai,kompiuteriu architektura.

Tiesioginiu metodu pavyzdžiai – Gauso metodas, diskrecioji Furjetransformacija ir jungtiniu gradientu metodas.Iteraciniu metodu taikymo ideja: iteracinis metodas TLS Ax = bsprendimui - tai vektoriu seka xk, k > 0, kuri konverguoja i tikslujisprendini x

limk→∞

xk = x

Paprastai taikymuose nereikalaujama rasti tikslu sprendini, dažniausiaireikia rasti apytikslu sprendini norimu tikslumu. Todel daugeliui atvejugalima pasirinkti viena iš iteraciniu metodu.


elipsiniu˛ lygciu˛ skaitiniai sprendimo metodaiˇolgas/dlssm/mfl_sm_4p.pdf · lygtis yra labai...

Documents