elipse
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Elipse
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ndiceLa Elipse.La Elipse como lugar geomtrico.Elementos de la elipse.Ecuacin analtica de la elipse.Ejemplo.Propiedades de reflexin de la elipse.
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ElipseLa elipse, se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vrtice del cono y cuyo ngulo de inclinacin respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono.VrticeEjePlanoElipseGeneratriz
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La Elipse como lugar GeomtricoElipse es el lugar geomtrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
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Elementos de la ElipseEn toda elipse convine considerar:
F y F: Son los puntos fijos llamados focos.
2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos.
P: Cualquier punto de la elipse.
PF y PF: Son los radio vectores de la elipse.
2a: Es la suma de los radio vectores.BBAAFFP2a2c
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Elementos de la ElipseEje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF.
C: Es el centro de la Elipse.
B y B A y A : Son los vrtices de la elipse.
AA: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2a.
BB: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b. BBAAFFP2a2cC2b
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Ecuacin Analtica de la Elipse Para simplificar la explicacin ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' ( c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitgoras tenemos que:
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Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las races y desarrollamos los cuadrados
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A partir del dibujo y aplicando Pitgoras podemos obtener que:a2 = b2 + c2 b2 = a2 c2
Piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c
Reemplazando en la ecuacin tenemos que:b2x2 + a2y2 a2b2 = 0 b2x2 + a2y2 = a2b2
Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:
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Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuacin debera de ser: Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 2xpb2 2yqa2 + p2b2 + q2a2 a2b2 = 0
Si hacemos:A = b2B = a2 C = 2pb2D = 2qa2E = p2b2 + q2a2 a2b2
Tendremos la ecuacin: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los trminos A y B no necesitan ser iguales. Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
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EjemploEsbcese la elipse 9x2 + 25y2 = 225.
Al dividir entre 225 se obtiene:
Como el denominador de x2 es mayor que y2, el eje mayor esta a lo largo de el eje x.
Adems a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por consiguiente los vrtices estn en ( 5, 0), los extremos del eje menor en ( 0, 3) y los focos en ( 4, 0).Haz click y observa la grfica
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Propiedad de reflexin de la elipse:Apolonio demostr que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.