elettronica dello stato solido lezione 3: la radiazione di...

Elettronica dello Stato Solido

Lezione 3: La radiazione di corpo

nero

Daniele Ielmini

DEI – Politecnico di Milano

[email protected]

mailto:[email protected]

Outline

2 D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03

• Crisi della fisica classica

– Radiazione del corpo nero

– Effetto fotoelettrico

– Diffrazione da particelle

• Conclusioni

Limiti della fisica classica

• Oggi sappiamo che le leggi della fisica classica (e.g. equazioni di Newton, di Maxwell) non sono adatte a descrivere la fisica dell’ultrapiccolo: qui abbiamo bisogno della meccanica quantistica

• Analogia con la teoria relativistica per l’ultraveloce

• Entrambe sono teorie generalizzate che includono la meccanica classica come limite alle grosse dimensioni/basse velocità

• Nuova costante universale: h (costante di Planck) simile a c (relatività)

• Ma la meccanica classica non si rivela necessariamente solo andando nell’ultrapiccolo, ci sono alcune manifestazioni macroscopiche come la radiazione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico

D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03 3

Storia di una rivoluzione

• Attorno al 1900-1910, queste osservazioni

erano rompicapi che menti come Planck

ed Einstein alla fine risolsero battendo la

strada per la teoria quantistica

• Questa fu sviluppata negli anni 20-30 da

Schrödinger e Heisenberg


La radiazione termica

• Radiazione termica (RT) = radiazione elettromagnetica emanata da un corpo a temperatura T

• RT dipende da T: RT occupa più alte frequenze e più corte lunghezze d’onda all’aumentare di T

• Bassa temperatura: i corpi sono visibili per riflessione/diffusione

• Alta temperatura: i corpi emettono luce propria, e.g. filamento a incandescenza @2000 K, o ferro incandescente rosso @1000K

• La RT viene sfruttata nei pirometri per misure di T (e.g. una stella, o il corpo umano)


Il corpo nero

• Lo spettro della radiazione dipende dalla

composizione della superficie del corpo

• Caso speciale è quello di corpi che

assorbono tutta la radiazione incidente:

questi corpi appaiono neri quando la loro

temperatura è bassa

• Per i corpi neri, la RT ha carattere universale

• A causa di questo carattere universale, questi

corpi sono stati oggetto di intenso studio


Esempi di corpi neri

• Oggetti con colorazione nera/scura

• Il sole, le stelle e l’universo

• Corpi neri per esperimenti pratici: cavità con una piccola apertura: una volta che la luce vi entra, è molto difficile che riesca a uscire. In altre parole, tutta la radiazione incidente è assorbita l’apertura ha le proprietà del corpo nero


Radianza spettrale di un corpo nero

• RT(n)dn = radianza spettrale = energia

emessa per unità di tempo, per unità di area

della superficie di un corpo a temperatura T,

nell’intervallo di frequenze da n a n+dn


0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

0 1E+14 2E+14

RT (

n)

[Wm

-2H

z-1

]

n [Hz]

1000 K

1500 K

2000 K Legge di

Wien:

nmax T

x

x

x

Radianza e legge di Stefan

• RT = radianza =

• Legge di Stefan (1879): RT = sT4

• Costante di Stefan-Boltzmann

s=5.67 x 10-8 Wm-2K-4


0

T TR R dn n

Teoria del corpo nero

• Cavità all’equilibrio a temperatura T delle pareti

• La radiazione uscente dall’apertura è un campione della radiazione termica nella cavità

• Possiamo definire una densità di energia di radiazione termica, data da rT(n) RT(n)

• Descrizione della black-body radiation (BBR) è possibile studiando la RT nella cavità


Cavità all’equilibrio termico

• Le pareti emettono RT a seguito del moto accelerato di portatori

• RT nella cavità può essere descritta da onde stazionarie, cioè con il campo elettrico costantemente nullo sulle pareti


-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-25 25 75 125 175 225

Numero di onde stazionarie

• Consideriamo una cavità 1D virtuale con lunghezza = a

• Ci sono solo modi discreti con lunghezza d’onda data da :

l/2 = a

l = a

3l/2 = a

…

l=2a/n oppure


2

1 2 3, , ...

cn

a

n

n

Radiazione elettromagnetica

• Frequenza n [Hz]

• Lunghezza d’onda l [m]

• Relazione: ln = c


-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Posizione x [nm]

l t=0 2 fs

Onde stazionarie 1D


http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html

Numero di modi in 1D

• Valori permessi di frequenza in 1D:

• Nota: ogni punto corrisponde a due modi,

associati alle due polarizzazioni trasversali

del campo elettrico

• Quanti modi per Hz? Due per ogni c/2a


n

2

2a

N d dc

n n n

c/2a

Onde stazionarie 2D


• Funzioni che descrivono oscillazione di

membrana stazionaria:

• E(x,y,t) = E0 sinkxx sinkyy sinwt

http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html

Condizione di stazionarietà


• Identica a quella in 1D:

lx/2 = a

lx = a

3lx/2 = a

…

lx=2a/nx

2 2

2

1 2 3, , ...

x x x

x

x

k n na a

n

l

ly/2 = a

ly = a

3ly/2 = a

…

ly=2a/ny

2 2

2

1 2 3, , ...

y y y

y

y

k n na a

n

l

Modi stazionari 2D

• Come si determina w, n? D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03 18

0

0

0

0

0

4

4

2

2

sin sin sin

sin

sin

cos cossin

cos cos 'sin

y yx x

x y x y x y x y

x y

ik y ik yik x ik x

i k x k y i k x k y i k x k y i k x k y

x y x y

E E k x k y t

e e e eE t

e e e eE t

k x k y k x k yE t

k r k rE t

w

w

w

w

w

k

k’

kx

ky

-ky

Determinazione di n

• Vettore d’onda k = kx + ky, modulo k =

(kx2+ky

2)1/2

• Il vettore d’onda e la frequenza risultanti sono:


2 2

2 2

2 2

2 2 2

x y

x y

x y

n nk k k

a

c n nc kc cn

a a

nl

1 2 3, , , ...

x x

y y

x y

k na

k na

n n

(non è intero!) 2 2 x yn n n


• Quanti modi tra n e n +dn? Sono N(n)dn = N(n)dn, dato dal numero di nodi nella corona circolare tra n = (nx

2+ny2)1/2 e n+dn

• Area dello shell = 2ndn, la densità di modi è 2 (polarizzazioni) in ogni ‘cella unitaria’


nx

ny

22

4( )

nN n dn dn

2

2 2

2

,

( )

a a

n dn dc c

aN d d

c

n n

n n n n

Solo n positivi!


• Lo stesso, ma considerando un guscio sferico tra n = (nx

2+ny2+nz

2)1/2 e n+dn

• Volume della shell = 4n2dn, densità di modi = 2 (polarizzazioni) in ogni cella (cubo) unitario


242

8( )

nN n dn dn

Solo n positivi!

3

2

2 2

2

,

( )

a a

n dn dc c

aN d d

c

n n

n n n nnx

ny

nz

Normalizzazione sul volume

• 1D [m-1]

• 2D [m-2]

• 3D [m-3]


2

3

2

22

2

2

( )

( )

N d dc

N d dc

N d dc

n n n

n n n n

n n n n

… e la densità di modi in 4D?

Energia media per modo

• Abbiamo ricavato la densità di modi per unità di volume tra n e n +dn

• Per calcolare la densità di energia dobbiamo assegnare un’energia media per modo

• Fisica classica: principio di equipartizione dell’energia. Ad esempio, in un gas ogni atomo ha, in media, un’energia cinetica pari a kT/2 per grado di libertà 3kT/2 per un gas mono-atomico

• Il singolo modo RT ha due gradi di libertà (campo magnetico + elettrico, o equivalentemente energia cinetica + potenziale dell’oscillatore armonico) <E> = kT

• k = costante di Boltzmann = 1.38 x 10-23 JK-1

• Fisica classica ogni modo ha la stessa energia indipendentemente dalla sua frequenza


Principio di equipartizione

• Le energie sono tutte possibili e hanno

probabilità esponenzialmente decrescente


2 2

2 2

2 22 2 2

2 0 0

2

2 2

0 0

1

2 2 21

2

2

x x

x x

mv mv

x xkT kTx x

x mv mv

kT xkTx

mv mvmv e dv e d

kT kTmv kT

mve dv e d

kT

2 2 2 2

2 2 2

2

00 0 0

0 0 0

1

2 2 2

2

d d de d e e ekT

kT kT kT

e d e d e d

Formula di Rayleigh-Jeans

• Densità di energia = densità di modi x energia media


3

22( ) ( )

T d N E d kTd

cr n n n n n n

0,00E+00

5,00E-06

1,00E-05

1,50E-05

2,00E-05

0 1E+14 2E+14

Catastrofe ultravioletta fisica

classica è incapace di spiegare

la BBR

RJ

BBR misurata

rT (

n)

[Jm

-3H

z-1

]

n [Hz]

Postulato di Planck

• Planck osservò che, se <E> non fosse

costante (e.g. kT) ma variasse con la

frequenza, la BBR potrebbe essere riprodotta

• A bassa frequenza: <E> = kT (limite classico)

• Ad alta frequenza: <E> 0

• Come possiamo ottenere questo risultato?

Quantizzazione dell’energia

• Invece di assumere un continuo di E, Planck

postulò che E = nDE, n = 1, 2, 3, …


Calcolo dell’energia media

• Il principio di equipartizione deriva dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann: all’equilibrio termico, la probabilità per un’entità (e.g. un atomo in un gas o un oscillatore in una cavità) di avere energia tra E ed E+dE è:

• Quindi <E> è:

(equipartizione)


0

0

0

1( )

( )

E

kT

EP E dE

E Ee dE kTkT

P E dE

1

E

kTP E dE ekT

Energia media classica


0

1

E

kTE Ee dEkT

0,00E+00

5,00E+17

1,00E+18

1,50E+18

2,00E+18

2,50E+18

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

E

kTEe

kT E [eV]

Energia media quantistica: piccolo DE

• L’integrale è ancora circa pari al caso

continuo


0,00E+00

5,00E+17

1,00E+18

1,50E+18

2,00E+18

2,50E+18

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

E [eV]

E = nDE

2

00

D

D

E n E

kT kT

n

Ee dE n E e

Energia media quantistica: grande DE

• L’integrale è diverso, l’area è minore del caso continuo l’energia media <E> 0 per DE > kT

• Per riprodurre la BBR (<E>=kT per piccola n, <E>=0 per grande n) dovremmo postulare DE = hn

E = nhn con n = 1, 2, 3, … e h = costante di Planck


0,00E+00

5,00E+17

1,00E+18

1,50E+18

2,00E+18

2,50E+18

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

E [eV]

E = nDE

2

00

D

D

E n E

kT kT

n

Ee dE n E e

Energia media quantistica – 1

• La discussione precedente è solo qualitativa per rappresentare il ragionamento di Planck

• Vediamo ora la sua ipotesi in termini analitici:


0

0

( )

( )

EP E dE

E

P E dE

0 0

0 0

( )

( )

nh

kT

n n

nh

kT

n n

EP E nh e

E

P E e

n

n

n

0

0 0

0

log log

nx

nnx xn

nx n n

n

nxed d

kT kTx e h edx dx

e

n

x=hn/(KT)

Energia media quantistica – 2


1

11 1

1

log log

xx

hx x

kT

d d e hE h h e h

dx e dx ee

n

nn n n

0,00E+00

5,00E-03

1,00E-02

1,50E-02

2,00E-02

2,50E-02

3,00E-02

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

hn [eV]

<E

> [e

V]

Classical = kT

Quantum

kT

Densità di energia


3 22

3

2 8

1 1

( ) ( )

T h h

kT kT

h hd N E d d d

c ce e

n n

n n nr n n n n n n n

• La densità di energia quindi è data da:

0,00E+00

5,00E-06

1,00E-05

1,50E-05

2,00E-05

0 1E+14 2E+14

RJ

Planck

rT (

n)

[Jm

-3H

z-1

]

n [Hz]

2n

h

kTen

Intepretazione della densità di energia

• La densità di energia può essere letta in un modo alternativo: densità di modi X energia del modo X statistica di occupazione

• Useremo lo stesso approccio per la densità di elettroni/lacune in metalli/semiconduttori


2

3

8 1

1

( )

T h

kT

d h dc

en

nr n n n n

Densità di modi

per unità di

volume tra n e

n+dn

Energia del modo

Numero medio <n> di

fotoni che popolano il

modo: distribuzione di

Bose-Einstein

Note

• Calcolate la densità di energia spettrale per unità di lunghezza d’onda, non frequenza

• Postulato di Planck: ogni entità fisica che può essere descritta da un oscillatore armonico (radiazione EM, vibrazione termiche nel reticolo, particelle confinate nel potenziale parabolico) può solo possedere un’energia totale E = nhn

• Come vedremo in una delle prossime lezioni, l’esatta legge di quantizzazione dell’oscillatore armonico dice E=(n+1/2)hn: cambia il nostro risultato?


Conclusioni

• La BBR causa un empasse nella comunità

scientifica: le leggi classiche non possono

spiegarla

• Il postulato di Planck basato sulla

quantizzazione dell’energia permette una

spiegazione

• Risultato rivoluzionario che stimola la

transizione ad una nuova era scientifica


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