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Eletromagnetismo Newton Mansur
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Organização do curso de Eletromagnetismo I
1 – Análise Vetorial: Álgebra Vetorial, Sistemas e Transformações de
Coordenadas, Cálculo Vetorial (parte apresentada a medida que for
necessária);
2 – Campo Elétrico Estacionário: Lei de Coulomb e Lei de Gauss;
3 – Energia e Potencial elétrico;
4 – Campo elétrico em meio material;
5 – Dielétricos e Capacitância;
6 – Equações de Poisson e Laplace;
7 – Campo Magnético Estacionário: Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère;
8 – Força, Materiais e Dispositivos Magnéticos e Indutância;
9 – Campos variantes no tempo e Equações de Maxwell;
Livros de Referência:
Eletromagnetismo - Willian H. Hayt, Jr. e John A. Buck
Elementos de Eletromagnetismo – Matthew N. O. Sadiku
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História da Eletricidade
História Eletricidade – A Faisca - BBC
TV Escola - http://tvescola.mec.gov.br
Documentários online- http://www.xn--documentriosonline-5rb.blog.br/2015/09/a-historia-da-eletricidade-episodio-01.html
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x
y
z
𝑉
𝑊
3
2
−2
1
𝑉 = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
𝑉 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
14
𝑉 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 + 2𝑦
13
𝑊 = 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
𝑊 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
14
𝑊 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 − 2𝑦
13
𝑟
𝜌
𝜌
𝑟
-
x
y
z
R
R
z0
𝑧 = 0
𝑟 = 𝑅 𝜃 =𝜋
2
𝜌 = 𝑅 𝑧 = 0
𝑧 = 𝑧0
𝑟 = 𝑅2 + 𝑧02 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑅
𝑧0
𝜌 = 𝑅 𝑧 = 𝑧0
𝜃
𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2
-
Lei de Coulomb
rr
qqkF ˆ
2
21F
F
k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2
x
y
z
r̂
kzjyixr ˆˆˆ
r
r
rr
ˆ
Suponha um corpo carregado num
determinado ponto do espaço, tão pequeno
que podemos considerá-lo um corpo pontual
Estabelecemos um sistema
referencial, de tal forma que o corpo
fique na origem
Colocamos uma outra carga num
determinado ponto do espaço, cujo
vetor posição é definido pelo vetor r
e pelo versor r̂Sendo as duas cargas de mesmo
tipo, haverá uma força de repulsão
entre elas
F
Podemos definir o vetor posição em
função do sitema de coordenadas
definindo também o versor da forma
Desta forma, a lei de Coulomb
pode ser definida como
Onde k é a constante (no SI)
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Lei de Coulomb
rr
qqkF ˆ
2
21
k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2
x
y
z
r̂
kzjyixr ˆˆˆ
r
r
rr
ˆ
F
F
Se a carga for de tipo diferente
Haverá então uma força de
atração entre elas.
Uma delas será negativa e outra
positiva, fazendo com que a força
possua o sentido contrário ao
versor.
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Algebra Vetorial
▪ Vetor Precisa de no mínimo duas informações para defini-lo.
x
y
𝐴
x
𝐴
vx
x
v 0
a
a
v
a
b
𝐴
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
𝐴 𝑎
𝐴 𝑏
𝐴 = 𝐴 𝑎 + 𝐴 𝑏 𝐴 = 𝑎𝑥 + 𝑣𝑣 𝑥
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Álgebra Vetorial
▪ Versor Vetor unitário, adimensional, que define direção e sentido de um vetor
x
y
𝐴
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑎 𝐴
𝑎 𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝐴 𝑥 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥
𝐴 𝑦 = 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝐴𝑎 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦
𝐴
𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝐴
𝑎 𝑥 +𝐴𝑦𝐴
𝑎 𝑦 𝜃
𝑎 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑦
𝑎 𝐴 =𝐴
𝐴
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Álgebra Vetorial
▪ Representação vetorial
x
y
𝐴
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
𝑎 𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
z
𝑎 𝑧 𝐴 𝑧
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Álgebra Vetorial
▪ Soma e subtração de vetores
x
y
𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
z
𝑎 𝑧
𝐵
𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧
𝐶 = 𝐴 +𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 𝑎 𝑧
𝐶
𝐷 = 𝐴 -𝐵 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 − 𝐵𝑧 𝑎 𝑧 𝐷
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Álgebra Vetorial
▪ Produto Escalar
x
y
𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵
z
𝑎 𝑧
𝐵
𝐵𝐴 𝐵⊥
𝐸 = 𝐴𝐵𝐴 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 ∙ 𝐵 = 0
𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐵𝑦+𝐴𝑦𝐵𝑦
𝜃
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Álgebra Vetorial
▪ Produto Vetorial
x
y
𝐴
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝑉 = 𝐴 × 𝐵
z
𝑎 𝑧
𝐵
𝐵𝐴 𝐵⊥
𝑉 = 𝐴𝐵⊥ = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵
𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 0
𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶
𝑉
O sentido do vetor 𝑉 pode ser obtido pela regra da mão direita
𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑥 = 0 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑦 = 0 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑧 = 0
𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 1 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = 1 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 1
𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦
𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦 = −𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = −𝑎 𝑦
𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧
𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧
𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑎 𝑧 𝑉 =
𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧