Elementy

1. Nawiasy

Dopisz nawiasy jak w przykładzie: ln cos2 4x+ 1 = ln((cos(4x))2) + 1

1. sin 2x, 2. ln 3x+ 1, 3. tg ctg x,

4. sin2 x, 5. log3 4x, 6. arcsin sinx,

7. tg4 x3, 8. log22 2x, 9. 2cos 2x+3,

10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cosx, 12. arcctg x ctg 2x,

13. ln ln ln 6x, 14. log4 sinx− log 14

4x, 15. arccosx

x− 2x− 2x

,

16. tg3 cos5 x+ 2, 17. 234, 18. earctg

2 x − arctg ex,

19. cos arccos 2x− 4, 20.arcsin(2x− 1)arcsin 2x− 1

, 21. sin2√x2 − 1,

22. ln3 2x2 + 2 ln3 x2, 23. tg arcctg sinx, 24. ln 3 sinx,

25. 4xsin 4x − sin 4x, 26. coscosx2

cos2 x, 27. sin cos tg ctg x,

28. arcsin3 3√

9x3, 29. tg 4x sin4 x, 30. log3 ln2 x− 1,

31. arctg sin3 8x, 32. cosx sin 2, 33. cos4 lnx2 + 3,

34. x2 log x, 35.√x2 + 1, 36.

arccos 3(2x+ 1)arcsin 2x+ 1

,

37. tg sin√x3 + 2x, 38. cos cos cosx, 39. sin4 tg6 x,

40. 32x , 41. arctg3

x+ 3+x+ 1x− 3

, 42. log42 3x− log2 3x4,

43. arcctg arctg x, 44. arccos1 + sin 4x1−√x, 45. arcsinx

x+ 1x− 2

,

46. 5log5 x2, 47. sin arcsin2 x, 48. lnx4x3 + x2,

49. tg3√

ctg 2x, 50. cosx+ x3

2 + x

x

x2 + 5, 51. arccos cos arccosx,

52. 4sin 2x + sin4 2x, 53. ln2x− ln2 1

x, 54. arcctg cos3 5x− 2,

55. 2 ctg3 arcsin 4x, 56.√

sin2 cosx, 57. 4√

tg x4 + arcsinx,

58. cos ln sinx, 59. ln2 ln3 4x, 60. arcsin sin6 3x.

Elementy

Odpowiedzi - Nawiasy

1. sin(2x), 2. ln(3x)+1, 3. tg(ctg(x)), 4. (sin(x))2, 5. log3(4x), 6. arcsin(sin(x)), 7. (tg(x3))4, 8. (log2(2x))2,9. 2cos(2x)+3, 10. arccos(3) + 4x, 11. tg(sin(cos(x))), 12. (arcctg(x)) · (ctg(2x)), 13. ln(ln(ln(6x))),14. log4(sin(x)) − log 1

4(4x), 15. (arccos( x

x−2 )) · x−2x , 16. (tg(cos(x))5)3 + 2, 17. 2(34), 18. e(arctg(x))2 −

arctg(ex), 19. cos(arccos(2x)) − 4, 20. arcsin(2x−1)arcsin(2x)−1 , 21. (sin(

√x2 − 1))2, 22. (ln(2x2))3 + 2(ln(x2))3,

23. tg(arcctg(sin(x))), 24. (ln(3))·(sin(x)), 25. 4(xsin(4x))−sin(4x), 26. cos( cos(x2)(cos(x))2 ), 27. sin(cos(tg(ctg(x)))),

28. (arcsin( 3√

9x3))3, 29. (tg(4x)) · ((sin(x))4), 30. log3((ln(x))2)−1, 31. arctg((sin(8x))3), 32. (cos(x)) ·(sin(2)), 33. (cos(ln(x2)))4 + 3, 34. x2 · log(x), 35.

√x2 + 1, 36. (arccos(3))·(2x+1)

arcsin(2x)+1 , 37. tg(sin(√x3 + 2x)),

38. cos(cos(cos(x))), 39. (sin((tg(x))6))4, 40. 3(2x), 41. arctg( 3x+3 ) + x+1

x−3 , 42. (log2(3x))4 − log2(3x4),43. arcctg(arctg(x)), 44. arccos( 1+sin(4x)

1−√x

), 45. (arcsin(x)) · x+1x−2 , 46. 5log5(x

2), 47. sin((arcsin(x))2),

48. (ln(x4))·x3+x2, 49. (tg(√

ctg(2x)))3, 50. (cos(x+x3

2+x ))· xx2+5 , 51. arccos(cos(arccos(x))), 52. 4sin(2x)+

(sin(2x))4, 53. ln( 2x )− (ln( 1

x ))2, 54. arcctg((cos(5x))3)−2, 55. 2(ctg(arcsin(4x)))3, 56.√

(sin(cos(x)))2,57. 4

√tg(x4) + arcsin(x), 58. cos(ln(sin(x))), 59. (ln((ln(4x))3))2, 60. arcsin((sin(3x))6).

Elementy

2. Wzory skróconego mnożenia

Przekształć wyrażenia używając przynajmniej raz wzoru skróconego mnożenia

1. (x− 2)(x+ 2), 2. (√

3−√

2)2, 3. 1982 − 2 · 198 · 196 + 1962,

4. (5 + b)2, 5. (a− 1)(a2 − 2a+ 1), 6. ( 3√

3 + 3√

2)( 3√

32 − 3√

2 · 3 + 3√

22),

7. (x− y)3, 8. (c+√

2)(c−√

2), 9. (301− 1)(3012 + 301 + 1),

10.1000 + d3

10 + d, 11. (a+ 4)2 − (a− 4)2, 12.

1( 3√

5− 3√

4)( 3√

52 + 3√

5 · 4 + 3√

42),

13.a2 + b2 − 2ab

a− b, 14. 1005 − 2 · 105 + 1, 15.

10003 + 9993

10002 − 999 · 1000 + 9992,

16.1

a+ b− 1a− b

, 17. (√a+ b−

√a− b)2, 18. (

√a−√b)(√a+√b),

19.a2 + b2

a− b, 20.

(c+ d)(c2 − cd+ d2)c3 + d3

, 21. ( 3√a− 3√b)( 3√a2 + 3

√a

3√b+ 3√b2),

22. a3 − b3, 23. ( 3√

3− 3)3, 24. 2892 − 2 · 289 · 288 + 2882,

25. 5012 − 5002, 26. 9x − 2 · 15x + 25x, 27. (√a−√b)(a+ b)(

√a+√b),

28. a3 + b3, 29.(a+ b)2(a2 − b2)

(a+ b)(a− b), 30. 10312 − 2 · 1031 · 1030 + 10302,

31. 9x + 2 · 3x + 1, 32. ln2 x− 2 lnx+ 1, 33. (sin π3 − cos π3 )(sin2 π

3 + sin π3 cos π3 + cos2 π

3 ),

34.x− y√x+√y, 35.

1a2 + ab+ b2

+1

a− b, 36. 103 − 3 · 102 · 9 + 3 · 10 · 92 − 93,

37. (ln z + 2)3, 38. (cos π6 − 1)(cos π6 + 1), 39. (√

log 3−√

log 2)(√

log 3 +√

log 2),

40. (√

2−√

3)3, 41.(b− 10)2

b2 − 20b+ 100, 42. ((

√5)2 −

√3√

5 + (√

3)2)(√

5 +√

3),

43. (4x − 1)3, 44. (log x− 1)(1 + log x), 45. 5553 + 3 · 5552 · 444 + 3 · 555 · 4442 + 4443,

46. 81− x2, 47. 1000 + 3 · 100 + 3 · 10 + 1, 48. (( 3√

5)2 + 3√

5 3√−5 + ( 3

√−5)2)( 3

√5− 3√−5),

49.a2 − b2

a+ b, 50.

(a2 + ba+ b2)(a− b)a3 − b3

, 51. (sin π4 + cos π4 )(sin π

4 − cos π4 ),

52. 103 + 83, 53.(√

19 +√

18)(√

19−√

18)19 + 18

, 54. (( 3√

5)2 + 2 3√

5 3√−5 + ( 3

√−5)2)( 3

√5− 3√−5),

55.a2 − 2√a−√

2, 56.

1√3 +√

2+

1√3−√

2, 57. ( 3

√2 + 3√

1)( 3√

22 − 2 3√

2 · 1 + 3√

1),

58.19812 + 19792

1981 + 1979, 59. 1982 − 1962, 60.

20093 − 20083

20092 + 2 · 2008 · 2009 + 20092.

Elementy

Odpowiedzi - Wzory skróconego mnożenia

1. x2 − 4, 2. 5 − 2√

6, 3. 4, 4. 25 + 10b + b2, 5. (a − 1)(a − 1)2 = (a − 1)3, 6. ( 3√

3)3 + ( 3√

2)3 = 5,7. x3−3x2y+3xy2−y3, 8. c2−2, 9. 3012−1, 10. 100−10d+d2, 11. ((a+4)+(a−4))((a+4)−(a−4)) = 16a,12. 1, 13. a − b, 14. (105 − 1)2, 15. 1999, 16. −2b

a2−b2 , 17. 2a − 2√a2 − b2, 18. a − b, 19. (a+b)2−2ab

a−b ,20. 1, 21. a − b, 22. (a − b)(a2 + ab + b2), 23. 3 − 9 3

√9 + 27 3

√3 − 27, 24. (289 − 288)2 = 1, 25. 1001,

26. (3x − 5x)2, 27. a2 − b2, 28. (a+ b)(a2 − ab+ b2), 29. (a+ b)2, 30. 1, 31. (3x + 1)2, 32. (lnx− 1)2,33. sin3 π

3 −cos3 π3 , 34.

√x−√y, 35. a−b+a

2+ab+b2

a3−b3 , 36. 1, 37. ln3 z+6 ln2 z+12 ln z+8, 38. cos2 π6 −1 =

− 34 , 39. log 3 − log 2 = log 3

2 , 40. 11√

2 − 9√

3, 41. 1, 42. 5√

5 + 3√

3, 43. 64x − 3 · 16x + 3 · 4x − 1,44. log2 x − 1, 45. 9993, 46. (9 − x)(9 + x), 47. (10 + 1)3 = 113, 48. ( 3

√5)3 − ( 3

√−5)3 = 10, 49. a − b,

50. 1, 51. sin2 π4 − cos2 π

4 = 0, 52. (10 + 8)(102 − 10 · 8 + 82), 53. 137 , 54. ( 3

√5 + 3√−5)2( 3

√5 − 3√−5),

55. (a−√

2)(a+√

2)√a−√

2, 56. 2

√3

3−2 = 2√

3, 57. ( 3√

2 + 1)( 3√

2− 1)2, 58. (1981+1979)2−2·1981·19791981+1979 , 59. 2 · 394 = 788,

60. (2009−2008)(20092+2009·2008+20082)20092+2·2008·2009+20092 .

Elementy

3. Potęgi i pierwiastki

Przekształć używając wzorów na potęgi lub pierwiastki

1. a3b3, 2.4233

43, 3.

√6√

23 ,

4. 6423 , 5.

√a+ b, 6. 3

√√a,

7. (c4)6, 8.√

253, 9. 3√a4,

10. x−5, 11. (√

3)3, 12.3√x

3√y,

13. 242−326, 14. 3695, 15. 3√b

4√b+ b,

16.42√

43√

4, 17. 34 − 32, 18. (a3

√bc−3)(ab−1c3),

19. a13 a3, 20. 4

√0, 21. 3

√(x2 + 1)2,

22. 90 − 09, 23. (−2)4 + (−3)3, 24. 1101 + 1011,

25.√x2, 26.

42312

23√

4√

33, 27.

4√

3√

16,

28.(−4)923

√16

(−2)846, 29.

√ag2√ah2, 30.

√−9,

31. − 34 + (−3)4, 32. 4323−2, 33.

√√√x,

34. 5√a5 + 6

√b6, 35. − 45 + (−4)5, 36.

32√

3 3√

33−2 4√

9,

37.√

5 · 42√

5 · 32, 38.a43b4c

a3b4−c, 39.

a−3b−4c−5

d−1e−6f−2,

40. 3√−27 + 5

√−32, 41.

√a2b3c

b 4√c, 42. (−5)555 + 15,

43.√

1 +√

0−√

2, 44. ( 911 )−1, 45. (xy)8 + z8,

46.3√

2003√

25, 47. 853

− (85)3, 48.1x−2

,

49. (ab)c2(ab)c, 50.

√0 3√

0 + 02, 51.4243 + 42

454−1,

52. 4√√

x 3√x, 53.

85(−6)5

535−1, 54. ( 1√

12)−2,

55.137, 56. aaaa, 57.

4√

54√

25,

58. (√a)2, 59.

√45 − ( 3

√5)2, 60.

√3 4√

3 +√

4√

3.

Elementy

Odpowiedzi - Potęgi i pierwiastki

1. (ab)3, 2. 274 , 3. 2, 4. 16, 5. nie ma wzoru, 6. 6

√a, 7. c24, 8. 125, 9. a

43 , 10. 1

x5 = ( 1x )5, 11.

√27,

12. 3

√xy , 13. 27, 14. 316 = 98, 15. b

712 + b, 16. 4

136 , 17. nie ma wzoru, 18. a4b−

12 , 19. a

103 , 20. 0,

21. (x2 +1)23 , 22. 1−0 = 1, 23. −11, 24. 102, 25. |x|, 26. 1

3 , 27. 3√

2, 28. −8, 29. |agh|, 30. nie istnieje,31. 0, 32. 4, 33. 8

√x, 34. a+ |b|, 35. −2 · 45, 36. 3

134 , 37. 60, 38. a342c, 39. de6f2

a3b4c5 , 40. −5, 41. |a|√bc

14 ,

42. −255 + 1, 43. 1 −√

2, 44. 119 , 45. x8y8 + z8, 46. 2, 47. 8125 − 815, 48. x2, 49. (ab)c

2+c, 50. 0,51. 4 + 1

16 , 52. x103 , 53. 32

25 , 54. 12, 55. 3−7 = ( 13 )7, 56. a2a, 57. 1

4√5, 58. a, 59. 32− 3

√25, 60. 3

34 + 8√

3.

Elementy

4. Wykresy

Narysuj wykresy funkcji

1. y = −2x+ 2, 2. y =x− 22x+ 1

, 3. y = lnx,

4. y = ( 12 )x, 5. y = sinx, 6. y = tg x,

7. y = − cosx, 8. y = log(−x), 9. y = |x2 − 4x|,

10. y = sin |x|, 11. y = − ctg x, 12. y = | tg x|,

13. y = ex + 1, 14. y = 2x−1, 15. y = ctg(x+ π2 ),

16. y = 2 sinx, 17. y = arcsin 3x, 18. y = | 2x−1 |,

19. y = 3−x, 20. y = −x2 − 2x− 1, 21. y = ln |x|,

22. y = ( 13 )|x|, 23. y = | ctg x|, 24. y = tg(−x),

25. y = ex+1, 26. y = arctg x, 27. y = ln(x− 2),

28. y = − arcsinx, 29. y = sin(x− π2 ), 30. y = | arcctg x|,

31. y = sinx+ 1, 32. y = arccos(−x), 33. y = lnx− 2,

34. y = 4|x|, 35. y = −ex, 36. y =3x+ 22− x

,

37. y = − lnx, 38. y = |x2 − 3x+ 2|, 39. y = cos 2x,

40. y = e−x, 41. y = 2arctg x, 42. y = −( 13 )x,

43. y = 2|x|, 44. y =x− 2x+ 1

, 45. y = − arctg x,

46. y = | log x|, 47. y = ( 12 )x−2, 48. y = ctg x− 1,

49. y = arctg(x+ 3), 50. y = −2x+ 3x+ 4

, 51. y =1x2,

52. y = ctg(−x), 53. y = | cosx|, 54. y = − 1x,

55. y = log2 |x|, 56. y =1x3, 57. y = ex − 1,

58. y = arcsin(−x), 59. y = arcctg |x|, 60. y = − log 13x.

Elementy

Odpowiedzi - Wykresy

1. , 2. , 3. , 4. ,

5. , 6. , 7. , 8. ,

9. , 10. , 11. , 12. ,

13. , 14. , 15. , 16. ,

17. , 18. , 19. , 20. ,

21. , 22. , 23. , 24. ,

25. , 26. , 27. , 28. ,

29. , 30. , 31. , 32. ,

33. , 34. , 35. , 36. ,

37. , 38. , 39. , 40. ,

41. , 42. , 43. , 44. ,

45. , 46. , 47. , 48. ,

49. , 50. , 51. , 52. ,

53. , 54. , 55. , 56. ,

57. , 58. , 59. , 60. .

Elementy

5. Dziedzina funkcji

Wypisz założenia

1. y =1

x+ 3, 2. y =

√x2 − 5, 3. y = log 1

3(x2 − 4),

4. y = sin 2x− tg x, 5. y =4√

8− x3, 6. y = arcsin

1x+ 2

,

7. y = |x|+ 2x, 8. y = tg 3x− ctg x2, 9. y =1

3√x4 + x

,

10. y = ln cosx, 11. y = x3 − 2x+ 1, 12. y = arccosx+ 1x− 1

,

13. y = cos log x, 14. y = |x− 2|+ 1|x+ 3|

, 15. y =

√x2 − 3x+ 2

x− 2,

16. y =sinx

1− cos2 x, 17. y =

√x−√

2x, 18. y =3√x+ 4√

3x,

19. y = sin tg x, 20. y = tg(log 12x), 21. y =

√arccos(x+ x3),

22. y = ln lnx, 23. y = arctg√x− 1, 24. y =

√x− 2

x2 − 3x+ 2,

25. y = lnx− 34− x2

, 26. y =ln(x− 3)ln(4− x2)

, 27. y = 2x2 − 3x+4x− 5x2,

28. y =3√

4− x5√x2 − 2

, 29. y =√

ln(cosx), 30. y = arcsin

√1

x2 − 1,

31. y = 0, 32. y = cos(ln(tg x)), 33. y = 5

√1x− 1x+ 2

,

34. y =tg x− 5√sinx+ 5

, 35. y = e3x−1 ctg(1 + 3x ), 36. y =

1 + arcsin(x+ 3)arccos(x− 2)

,

37. y = logx+2(x+ 1), 38. y = arccos(ln(−x)), 39. y = log(x− 2) +1

log(x+ 4),

40. y = log(4x+ ex)− |x|, 41. y = arcctg1

3x − 6, 42. y =

1x2 + x

+ arcsin2x,

43. y =1

5

√x− 1

x

+ |x|, 44. y =1

4x + 16+ ln

x− 2x+ 1

, 45. y = 2√x−2 + log2

√x− 3,

46. y = 4√

tg x−ctg x + 2, 47. y = arcsin 3√x2 − 4, 48. y = 6

√1

x+ 2+√

sinx,

49. y = log 14(arctg

√x), 50. y = ln

(arcsin

22 + x

), 51. y =

3

√x− 4

√x+ 5√

2 + x,

52. y = arcctg

√2x, 53. y =

√x+ 2−

√cosx√

x2 − 8, 54. y = 2tg x − x− 2

(x+ 3)(x+ 4),

55. y = ln(log(log3 2x)), 56. y =1

|x− 2|3+ 4e−2x, 57. y =

14√x+ 3

− ln(2x+ 4x2 − 1),

58. y = sin(cos 3x) + 5x+1, 59. y =x+ 2x+ 3

− 9√

cosx− 4, 60. y =1

9√

lnx+ arctg(cosx).

Elementy

Odpowiedzi - Dziedzina funkcji

1. x + 3 6= 0, 2. x2 − 5 ≥ 0, 3. x2 − 4 > 0, 4. x 6= π2 + kπ, 5. 8 − x3 > 0, 6. −1 ≤ 1

x+2 ≤ 1, x + 2 6= 0,7. x ∈ R, 8. 3x 6= π

2 +kπ, x2 6= kπ, 9. x4 +x 6= 0, 10. cosx > 0, 11. x ∈ R, 12. −1 ≤ x+1x−1 ≤ 1, x−1 6= 0,

13. x > 0, 14. x + 3 6= 0, 15. x2−3x+2x−2 ≥ 0, x − 2 6= 0, 16. 1 − cos2 x 6= 0, 17. x −

√2x ≥ 0, 2x ≥ 0,

18. 3x ≥ 0, 19. x 6= π2 + kπ, 20. log 1

2x 6= π

2 + kπ, x > 0, 21. arccos(x + x3) ≥ 0, −1 ≤ x + x3 ≤ 1,22. lnx > 0, x > 0, 23. x−1 ≥ 0, 24. x−2 ≥ 0, x2−3x+2 6= 0, 25. x−3

4−x2 > 0, 4−x2 6= 0, 26. x−3 > 0,

4− x2 > 0, ln(4− x2) 6= 0, 27. x 6= 0, 28. x2 − 2 6= 0, 29. ln(cosx) ≥ 0, cosx > 0, 30. −1 ≤√

1x2−1 ≤ 1,

x2 − 1 6= 0, 31. x ∈ R, 32. tg x > 0, x 6= π2 + kπ, 33. x 6= 0, x+ 2 6= 0, 34. x 6= π

2 + kπ,√

sinx+ 5 6= 0,sinx + 5 ≥ 0, 35. 1 + 3

x 6= kπ, x 6= 0, 36. −1 ≤ x + 3 ≤ 1, arccos(x − 2) 6= 0, −1 ≤ x − 2 ≤ 1,37. x + 2 > 0, x + 2 6= 1, x + 1 > 0, 38. −1 ≤ ln(−x) ≤ 1, −x > 0, 39. x − 2 > 0, log(x + 4) 6= 0,x + 4 > 0, 40. 4x + ex > 0, 41. 3x − 6 6= 0, 42. x2 + x 6= 0, −1 ≤ 2

x ≤ 1, x 6= 0, 43. x − 1x 6= 0, x 6= 0,

44. 4x+16 6= 0, x−2x+1 > 0, x+1 6= 0, 45. x−2 ≥ 0,

√x− 3 > 0, x−3 ≥ 0, 46. tg x−ctg x ≥ 0, x 6= π

2 +kπ,x 6= kπ, 47. −1 ≤ 3

√x2 − 4 ≤ 1, 48. 1

x+2 +√

sinx ≥ 0, x + 2 6= 0, sinx ≥ 0, 49. arctg√x > 0, x 6= 0,

50. arcsin 22+x > 0, −1 ≤ 2

2+x ≤ 1, 2 + x 6= 0, 51. x + 5√

2 + x ≥ 0, 52. 2x ≥ 0, x 6= 0, 53. x + 2 ≥ 0,

cosx ≥ 0, x2− 8 ≥ 0,√x2 − 8 6= 0, 54. x 6= π

2 + kπ, (x+ 3)(x+ 4) 6= 0, 55. log(log3 2x) > 0, log3 2x > 0,56. x− 2 6= 0, 57. x+ 3 > 0, 2x+ 4x2 − 1 > 0, 58. x ∈ R, 59. x+ 3 6= 0, 60. lnx 6= 0, x > 0.

Elementy

6. Wielomiany i funkcje wymierne

Podziel wielomiany

1. (x3 + 2x− 1) : (x+ 2), 2. (x4 + x) : (x2 − 1), 3. (x4 + 3x2 + 1) : (x− 1),

4. (x3 − 2) : (x2 + x+ 1), 5. (x4 + 1) : (x− 2), 6. x4 : (x+ 2),

7. (x3 − 2x− 1) : (x− 1), 8. x5 : (x+ 1), 9. (x4 − 2x+ 1) : x,

10. (x4 − 2x) : (2x− 3), 11. (x3 − 4x+ 6) : (x+ 2), 12. (−x3 + 2x+ 3) : (x2 + 1),

13. (−x2 + 1) : x, 14. (x2 − 1) : (x3 − 2x+ 2), 15. (2x2 + 2) : (x2 + 1),

16. (x5 − 1) : (x− 1), 17. (x2 − 3x+ 1) : (2x+ 2), 18. (x3 − 2x2 + x+ 1) : (x4 + x− 1),

19. (x3 − 2x+ 5) : (x− 1), 20. (x3 + 1) : (x+ 1), 21. (x4 + 2x+ 1) : (x2 + 3x− 1),

22. (x4 − 2) : (x+ 2), 23. (−x3 + 2x+ 4) : (x2 + x), 24. (x4 − 2x3 + 3x2 + 4x− 1) : (x+ 1).

Rozwiąż nierówności wielomianowe

25. (x− 2)(x− 1)(x+ 3) ≥ 0, 26. (x− 2)(x− 1)2(x+ 3)3 < 0, 27. − (x+ 2)3(x+ 1)3 > 0,

28. − 2x4(x+ 5) ≥ 0, 29. − x(1− x)(3− x)2 ≤ 0, 30. 2x(x+ 1)(x+ 3)3 < 0,

31. x(1− x)(2− x) > 0, 32. x3(x+ 2)(x− 4)2 > 0, 33. − x(x+ 1)(x+ 2)3 ≤ 0,

34. − x2(1− x)(2 + x)3 ≥ 0, 35. − (4− x)2(x+ 1) ≤ 0, 36. (1− x)2 ≥ 0,

37. (x− 1)(x− 2)(x− 3) > 0, 38. (x− 2)10(x+ 3)20 ≥ 0, 39. − x(x+ 2) < 0,

40. x(2x− 1)5(3x− 1) > 0, 41. x2(x− 2) > 0, 42. 2x2(x+ 1)3 > 0,

43. 2x+ 3 ≤ 0, 44. x3 < 0, 45. x2 > 0.

Rozwiąż równania i nierówności wymierne

46.x− 2x+ 3

= 0, 47.x

(x+ 1)2= 0, 48.

1x2 − 1

= 0,

49.(x+ 2)(x− 1)

x+ 3≥ 0, 50.

5x− 2

≥ 0, 51.x+ 2

4< 0,

52.x

(x− 1)(x− 2)≥ 0, 53.

(x+ 4)3

x− 1> 0, 54.

x(x− 2)x

≤ 0,

55.x+ 3x− 2

< 0, 56.(x+ 3)(x− 1)(1− x)(x+ 3)

> 0, 57.x+ 3

(x+ 3)2≤ 0,

58.5

x+ 1> 0, 59.

x− 1(x+ 4)(x+ 3)

≤ 0, 60.x

1 + x> 0.

Elementy

Odpowiedzi - Wielomiany i funkcje wymierne

1. x2 − 2x + 6, reszta −13, 2. x2 + 1, reszta x + 1, 3. x3 + x2 + 4x + 4, reszta 5, 4. x − 1, reszta −1,5. x3+2x2+4x+8, reszta 17, 6. x3−2x2+4x−8, reszta 16, 7. x2+x−1, reszta −2, 8. x4−x3+x2−x+1,reszta −1, 9. x3 − 2, reszta 1, 10. 1

2x3 + 3

4x2 + 9

8x+ 1116 , reszta 33

16 , 11. x2 − 2x, reszta 6, 12. −x, reszta3x+ 3, 13. −x, reszta 1, 14. nie dzielimy, 15. 2, reszta 0, 16. x4 + x3 + x2 + x+ 1, reszta 0, 17. 1

2x− 2,reszta 5, 18. nie dzielimy, 19. x2 + x − 1, reszta 4, 20. x2 − x + 1, reszta 0, 21. x2 − 3x + 10, reszta−31x + 11, 22. x3 − 2x2 + 4x − 8, reszta 14, 23. −x + 1, reszta x + 4, 24. x3 − 3x2 + 4, reszta −5,25. x ∈ [−3, 1] ∪ [2,∞), 26. x ∈ (−3, 1) ∪ (1, 2), 27. x ∈ (−2,−1), 28. x ∈ (−∞,−5] ∪ {0}, 29. x ∈[0, 1]∪{3}, 30. x ∈ (−∞,−3)∪(−1, 0), 31. x ∈ (0, 1)∪(2,∞), 32. x ∈ (−∞,−2)∪(0, 4)∪(4,∞), 33. x ∈[−2,−1] ∪ [0,∞), 34. x ∈ (−∞,−2] ∪ {0} ∪ [1,∞), 35. x ∈ [−1,∞), 36. x ∈ R, 37. x ∈ (1, 2) ∪ (3,∞),38. x ∈ R, 39. x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,∞), 40. x ∈ (0, 1

3 ) ∪ ( 12 ,∞), 41. x ∈ (2,∞), 42. x ∈ (−1, 0) ∪ (0,∞),

43. x ∈ (−∞,− 32 ], 44. x ∈ (−∞, 0), 45. x ∈ R \ {0}, 46. zał. x 6= −3, rozw. x = 2, 47. zał. x 6= −1,

rozw. x = 0, 48. zał. x 6= 1, x 6= −1, rozw. sprzeczność, 49. zał. x 6= −3, rozw. x ∈ (−3,−2] ∪ [1,∞),50. zał. x 6= 2, rozw. x ∈ (2,∞), 51. x ∈ (−∞,−2), 52. zał. x 6= 1, x 6= 2, rozw. x ∈ [0, 1) ∪ (2,∞),53. zał. x 6= 1, rozw. x ∈ (−∞,−4) ∪ (1,∞), 54. zał. x 6= 0, rozw. x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 2], 55. zał. x 6= 2,rozw. x ∈ (−3, 2), 56. zał. x 6= 1, x 6= −3, rozw. x ∈ ∅, 57. zał. x 6= −3, rozw. x ∈ (−∞,−3), 58. zał.x 6= −1, rozw. x ∈ (−1,∞), 59. zał. x 6= −4, x 6= −3, rozw. x ∈ (−∞,−4) ∪ (−3, 1], 60. zał. x 6= −1,rozw. x ∈ (−∞,−1) ∪ (0,∞).

Elementy

7. Logarytmy i funkcje wykładnicze

Uprość wyrażenia korzystając ze wzorów na logarytmy

1. log4 8 + log4 2, 2. log 12

16− log 12

9, 3. log3 4 + 2 log3 5,

4. log2 28, 5. 3 log4 9− log4 81, 6. log 14

14 + log3 1,

7. log2 5 · log5 3, 8. log 100− ln e2, 9. (log3 6− log3 2) ln e,

10. 4log2 9, 11. 2log4 25, 12. log3

√3− log4

√4,

13. log2 3− log2 1, 14. log414 − log2 2, 15. log(log 1000),

16. (ln e3 + log 10)3, 17. log4 0, 18. log3 6(log6 20− log6 5),

19.log5 6log5 3

, 20.log6 5log3 5

, 21. log 12

1− 2 log4 2,

22.log6 5log6 3

, 23. log2 42, 24. (log3 72− log3 6) log12 3,

25. (ln(ln ee))2, 26. 9log3 6, 27. (log3 72− log3 6) log3 12,

28. 4log2 3, 29. ln 1 + log 1, 30. log√3 3 · log2

√2,

31. ln(log(ln e10)), 32. ln e10 · log 10e, 33. log2 23,

34. 2log16 3, 35.log3 2log 1

32, 36. ln 1

e − log 110 ,

37. log3(1 + log2 4), 38. ln e · log 10 · log212 , 39. log3 5 + log3 6,

40. 20log400 100, 41. (ln e+ log 100)log4 1, 42. 2log2

√2.

Rozwiąż równania i nierówności

43. 2x = 4, 44. log 14x = 16, 45. log4 x = −3,

46. ( 13 )x = 9, 47. 2x = 1, 48. ( 1

2 )x = 0,

49. ( 13 )x = −1, 50. 2x = 1

16 , 51. ( 12 )x = − 1

2 ,

52. log3 x = 2, 53. log 12x = −4, 54. log 1

3x = 0,

55. 4x > 42, 56. log2 x ≤ log2 3, 57. log 12x > log 1

24,

58. log4 x ≥ 0, 59. ( 13 )x < ( 1

3 )5, 60. lnx > 2.

Elementy

Odpowiedzi - Logarytmy i funkcje wykładnicze

1. 2, 2. log 12

169 , 3. log3 100, 4. 8, 5. log4 9, 6. 1, 7. log2 3, 8. 0, 9. 1, 10. 81, 11. 5, 12. 0, 13. log2 3,

14. −2, 15. log 3, 16. 43, 17. nie istnieje, 18. log3 4, 19. log3 6, 20. log5 3log5 6 = log6 3, 21. −1, 22. log3 5,

23. 4, 24. 1, 25. 1, 26. 36, 27. log3 12 · log3 12 = log23 12, 28. 9, 29. 0, 30. 1, 31. 0, 32. 10e, 33. 3,

34. 314 = 4

√3, 35. log2

13

log2 3 = −1, 36. 0, 37. 1, 38. −1, 39. log3 30, 40. 10, 41. 30 = 1, 42.√

2, 43. 2,44. zał. x > 0, rozw. x = (1

4 )16 = 4−16, 45. zał. x > 0, rozw. x = 4−3 = 164 , 46. x = −2, 47. x = 0,

48. sprzeczność, x ∈ ∅, 49. sprzeczność, x ∈ ∅, 50. x = −4, 51. sprzeczność, x ∈ ∅, 52. x = 9, 53. zał.x > 0, rozw. x = ( 1

2 )−4 = 24 = 16, 54. zał. x > 0, rozw. x = 1, 55. x ∈ (2,∞), 56. zał. x > 0, rozw.x ∈ (0, 3], 57. zał. x > 0, rozw. x ∈ (0, 4), 58. zał. x > 0, rozw. x ∈ [1,∞), 59. x ∈ (5,∞), 60. zał.x > 0, rozw. x ∈ (e2,∞).

Elementy

8. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

Oblicz

1. (cos π4 − sin π4 )2, 2. (sin π

3 − cos π6 )4, 3. (tg π3 − ctg π

3 )3,

4. (ctg π4 − tg π

4 )5, 5. sin π2 + sinπ + sin 3

2π, 6. tg 0 + tg π + tg 2π,

7. sin 2π − cosπ + ctg 32π, 8. ctg π + tg π

2 , 9. sin 0 + cos π2 + tg 0 + ctg π2 ,

10. cos( 23π), 11. sin( 4

3π), 12. cos(−π6 ) + sin(−π3 ),

13. tg(−π4 )− ctg(−π6 ), 14. tg(− 76π) + sin(− 2

3π), 15. sin(− 76π) + cos(− 2

3π),

16. tg 56π, 17. ctg 2

3π, 18. cos 10003 π,

19. tg 20006 π, 20. sin(− 997

3 π), 21. sin(− 10003 π),

22. arctg 1, 23. arcsin 12 , 24. arccos

√3

2 ,

25. arcsin(−√

32 ), 26. arcctg(−1), 27. arctg(−

√3

3 ),

28. sin(arcsin(− 12 )), 29. tg(arctg

√3), 30. cos(arcctg

√3

3 ),

31. sin 76π − cos 9

4π, 32. (cos π3 − sin π3 )9, 33. sin 3

2π − cosπ,

34. − ctg(4π + π2 ), 35. arcsin

√3

2 , 36. arccos(− 12 ),

37. cos 2474 π, 38. tg(− 246

8 π), 39. arctg(−√

3),

40. arcsin 0, 41. − arccos 12 , 42. tg(− 3

4π) + ctg(− 54π),

43. arccos(−1), 44. sin 134 π + cos 11

3 π, 45. arccos(cos 53π),

46. arcctg(−√

3), 47. tg 123 π − cos 15

5 π, 48. sin 2613π + cos 33

11π,

49. arcctg 0, 50. (tg π6 + ctg(−π3 ))6, 51. ctg(− 2

3π) + cos π3 ,

52. arccos 1, 53. tg(− 76π) + cos 4

3π, 54. sin 53π + sin 7

3π,

55. cos2 π5 + sin2 π

5 , 56. 2 cos π8 sin π8 , 57. cos π

12 sin 512π + sin π

12 cos 512π,

58. cos2 π12 − sin2 π

12 , 59. cos 113 π + sin(− 4

3π), 60. cos π12 cos 5

12π + sin π12 sin 5

12π.

Elementy

Odpowiedzi - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

1. 02 = 0, 2. 04 = 0, 3. ( 23

√3)3 = 8

9

√3, 4. 05 = 0, 5. 0, 6. 0, 7. 1, 8. nie istnieje (2 razy), 9. 0, 10. − 1

2 ,11. −

√3

2 , 12. 0, 13. −1+√

3, 14. − 56

√3, 15. 0, 16. −

√3

3 , 17. −√

33 , 18. cos(332π+ 4

3π) = cos 43π = − 1

2 ,19. tg(333π + π

6 ) = tg π6 =

√3

3 , 20. sin(−332π − π3 ) = −

√3

2 , 21. sin(−332π − 43π) =

√3

2 , 22. π4 , 23. π

6 ,24. π6 , 25. −π3 , 26. π− π

4 = 34π, 27. −π6 , 28. sin(−π6 ) = − 1

2 , 29. tg π3 =√

3, 30. cos π3 = 12 , 31. − 1

2−√

22 ,

32. ( 12 −

√3

2 )9 = (1−√

3)9

512 , 33. 0, 34. 0, 35. π3 , 36. 2

3π, 37. cos(60π + 74π) =

√2

2 , 38. tg(−30π − 34π) = 1,

39. −π3 , 40. 0, 41. −π3 , 42. 0, 43. π − 0 = π, 44. −√

22 + 1

2 , 45. arccos 12 = π

3 , 46. 56π, 47. 1, 48. −1,

49. π2 , 50. 06 = 0, 51.√

33 + 1

2 , 52. 0, 53. −√

33 −

12 , 54. 0, 55. 1, 56. sin π

4 =√

22 , 57. sin( 5

12π+ π12 ) = 1,

58. cos π6 =√

32 , 59. 1

2 +√

32 , 60. cos( 5

12π −π12 ) = 1

2 .

Elementy

9. Granice

Wyznacz granice korzystając z wykresów funkcji

1. limx→3

2x− 14x+ 3

, 2. limx→∞

lnx, 3. limx→0+

1x,

4. limx→∞

ex, 5. limx→0

3√x, 6. lim

x→0+log 1

4x,

7. limx→∞

cosx, 8. limx→1−

x+ 3x− 1

, 9. limx→−∞

1x2,

10. limx→0

3x, 11. limx→1−

arcsinx, 12. limx→−∞

arcctg x,

13. limx→0−

log2 x, 14. limx→−∞

ex, 15. limx→π

4

ctg x,

16. limx→−π2 +

tg x, 17. limx→0−

1x3, 18. lim

x→π2

arcsinx,

19. limx→−1+

arccosx, 20. limx→∞

( 12 )x, 21. lim

x→π2

sinx,

22. limx→∞

√x, 23. lim

x→0ex, 24. lim

x→∞arctg x.

Wyznacz symbole i ich wartość (jeśli się da) jak w przykładzie: limx→∞

(x2 + lnx)[∞+∞]

= ∞

25. limx→0+

( 1x2 − x3), 26. lim

x→∞x lnx, 27. lim

x→−∞(ex + x4),

28. limx→∞

(x− lnx), 29. limx→∞

ex log 12x, 30. lim

x→∞(x+ arctg x),

31. limx→0

sinxx

, 32. limx→0+

(cosx)ctg x, 33. limx→π

2

(sinx)cos x,

34. limx→3

|x− 3|cos 3

, 35. limx→−∞

x arcctg x, 36. limx→0+

sinx lnx,

37. limx→2−

−4|x− 2|

, 38. limx→π

4

(cosx− tg x), 39. limx→π

2−

tg xctg x

,

40. limx→−∞

x3( 13 )x, 41. lim

x→∞

3x

x2, 42. lim

x→1−(log x+ arccosx),

43. limx→∞

(lnx)1x , 44. lim

x→∞ex(x+ 1), 45. lim

x→2+( 12 )x x+3

2−x ,

46. limx→−∞

x2

4, 47. lim

x→1( 1x − ( 1

2 )x), 48. limx→0

(arcsinx)tg x,

49. limx→−∞

(x+ 3√x), 50. lim

x→0+

ctg xlnx

, 51. limx→0+

tg x lnx.

Wyznacz granice złożeń funkcji jak w przykładzie: limx→∞

cos 1x

[cos 0]= 1, bo lim

x→∞1x = 0, lim

x→0cosx = 1

52. limx→∞

ln 1x , 53. lim

x→∞e

2x , 54. lim

x→−∞arctg(x2 + 1),

55. limx→0+

e1x , 56. lim

x→0−e

3x , 57. lim

x→∞cos(sinx),

58. limx→∞

log 12(log3 x), 59. lim

x→0−2ctg x, 60. lim

x→∞cos(arcctg x).

Elementy

Odpowiedzi - Granice

1. 12 , 2. ∞, 3. ∞, 4. ∞, 5. 0, 6. ∞, 7. nie istnieje, 8. −∞, 9. 0, 10. 1, 11. π

2 , 12. π, 13. nie istnieje,14. 0, 15. 1, 16. −∞, 17. −∞, 18. nie istnieje, 19. π, 20. 0, 21. 1, 22.∞, 23. 1, 24. π2 , 25. [∞−0] =∞,26. [∞·∞] =∞, 27. [0+∞] =∞, 28. [∞−∞], nieoznaczony, 29. [∞· (−∞)] = −∞, 30. [∞+ π

2 ] =∞,31. [ 00 ], nieoznaczony, 32. [1∞], nieoznaczony, 33. [10] = 1, 34. [ 0

cos 3 ] = 0, 35. [−∞ · π] = −∞,36. [0 · ∞], nieoznaczony, 37. [−4

0+ ] = −∞, 38. [√

22 − 1] =

√2

2 − 1, 39. [∞0+ ] =∞, 40. [(−∞) · ∞] = −∞,41. [∞∞ ], nieoznaczony, 42. [0 + 0] = 0, 43. [∞0], nieoznaczony, 44. [∞ · ∞] = ∞, 45. [ 14 · ∞] = ∞,46. [∞4 ] = ∞, 47. [1 − 1

2 ] = 12 , 48. [00], nieoznaczony, 49. [−∞ −∞] = −∞, 50. [−∞∞ ], nieoznaczony,

51. [0 ·(−∞)] = [−0 ·∞], nieoznaczony, 52. [ln 0+] = −∞, 53. [e0] = 1, 54. [arctg∞] = π2 , 55. [e∞] =∞,

56. [e−∞] = 0, 57. nie istnieje, 58. [log 12∞] = −∞, 59. [2−∞] = 0, 60. [cos 0] = 1.

Elementy

10. Pochodne

Oblicz pochodne funkcji

1. y = x2 − 3x+ 4, 2. y = x43 + x−

23 , 3. y = 3

√x,

4. y = log2 x, 5. y = 3x, 6. y =1x,

7. y = cosx, 8. y = ctg x, 9. y = arcsinx,

10. y = x sinx, 11. y = x2ex, 12. y =√x lnx,

13. y =x2 − 14x+ 1

, 14. y =sinxx

, 15. y =ex + 1sinx

,

16. y = cos 2x, 17. y = e5x, 18. y = arctg 3x,

19. y = ln1x, 20. y = sin2 x, 21. y = arctg2 x,

22. y = (x2 + 1)6, 23. y = cos5 x, 24. y = sin1x,

25. y =√

2x, 26. y = ln3 x, 27. y = 2arccosx,

28. y =1x2, 29. y =

1x3, 30. y = ctg 4x,

31. y = x lnx, 32. y = ( 14 )x, 33. y = log x,

34. y = arcctg x, 35. y = 2, 36. y =sinx

2,

37. y =2

x− 1, 38. y =

√1x, 39. y =

√x2 − 1,

40. y = ln(cosx), 41. y = sin(8x+ 1), 42. y = arcsin√x,

43. y = e+ π, 44. y = 4√x, 45. y = x2 arctg x,

46. y = ln 4x+ ln 3, 47. y = cos 2− 4√x, 48. y =

√sinx,

49. y = arccos2 x, 50. y = x3 cosx, 51. y = ex lnx,

52. y =x2 + 5xx3 + 1

, 53. y =1

tg x, 54. y =

1lnx

,

55. y = (x2 + 3x) lnx, 56. y = sinx ctg x, 57. y = lnx+ 2

3,

58. y = cos(lnx), 59. y = earcsin x, 60. y = ln lnx.

Elementy

Odpowiedzi - Pochodne

1. 2x − 3, 2. 43x

13 − 2

3x− 5

3 , 3. 1

33√x2

, 4. 1x ln 2 , 5. 3x ln 3, 6. − 1

x2 , 7. − sinx, 8. − 1sin2 x

, 9. 1√1−x2 ,

10. sinx + x cosx, 11. 2xex + x2ex, 12. ln x2√x

+ 1√x, 13. 2x(4x+1)−(x2−1)4

(4x+1)2 = 4x2+2x+4(4x+1)2 , 14. x cos x−sin x

x2 ,

15. ex sin x−(ex+1) cos xsin2 x

, 16. −2 sin 2x, 17. 5e5x, 18. 31+9x2 , 19. x(− 1

x2 ) = − 1x , 20. 2 sinx cosx = sin 2x,

21. 2 arctg x1+x2 , 22. 12x(x2 + 1)5, 23. −5 cos4 x sinx, 24. − 1

x2 cos 1x , 25. 1√

2x, 26. 3 ln2 x

x , 27. − 2√1−x2 ,

28. − 2x3 , 29. − 3

x4 , 30. − 4sin2 4x

, 31. lnx + 1, 32. ( 14 )x ln 1

4 , 33. 1x ln 10 , 34. − 1

1+x2 , 35. 0, 36. 12 cosx,

37. − 2(x−1)2 , 38. − 1

2√x3 , 39. x√

x2−1, 40. − sin x

cos x = − tg x, 41. 8 cos(8x + 1), 42. 1√1−x

12√x

= 12√x−x2 ,

43. 0, 44. − 1

44√x3

, 45. 2x arctg x+ x2

1+x2 , 46. 1x + 0 = 1

x , 47. 0− 2√x

= − 2√x, 48. cos x

2√

sin x, 49. − 2 arccos x√

1−x2 ,

50. 3x2 cosx−x3 sinx, 51. ex(lnx+ 1x ), 52. (2x+5)(x3+1)−(x2+5x)(3x2)

(x3+1)2 = −x4−10x3+2x+5(x3+1)2 , 53. − 1

cos2 x tg2 x ,

54. − 1x ln2 x

, 55. (2x + 3) lnx + x + 3, 56. cosx ctg x − 1sin x , 57. 1

x+2 , 58. − sin(ln x)x , 59. earcsin x 1√

1−x2 ,60. 1

x ln x .

Elementy

11. Podstawowe całki

Oblicz zapisując jak w przykładzie:∫

3 cosx dx = 3∫

cosx dx = 3 sinx+ C, bo (3 sinx)′ = 3 cosx

1.∫x dx, 2.

∫2 sinx dx, 3.

∫1x3

dx, 4.∫

1xdx,

5.∫ √

x dx, 6.∫

41 + x2

dx, 7.∫−9

cos2 xdx, 8.

∫3√

1− x2dx,

9.∫

3√x dx, 10.

∫5

sin2 xdx, 11.

∫6√x5 dx, 12.

∫−1√

5− 5x2dx.

Oblicz korzystając z liniowości całki

13.∫

1x2− x 3

2 +1xdx, 14.

∫sinx+ 4x− x2 dx, 15.

∫x3 + 2x

xdx,

16.∫

2√x+

3√xdx, 17.

∫ √x− 3 4

√x3

xdx, 18.

∫x2 + 6x

54

√x

dx.

Oblicz stosując metodę podstawiania

19.∫

5√

(3x− 8)4 dx, 20.∫

dx

2x− 1, 21.

∫cos 3x dx, 22.

∫2x√x2 + 1 dx,

23.∫e−3x+1 dx, 24.

∫tg x dx, 25.

∫2

x lnxdx, 26.

∫5 sinx

3− 2 cosxdx,

27.∫

arctg x1 + x2

dx, 28.∫

lnxx

dx, 29.∫

ex

ex + 1dx, 30.

∫2√

1 + 4xdx.

Oblicz stosując całkowanie przez części

31.∫xe−x dx, 32.

∫x3x dx, 33.

∫3x cosx dx,

34.∫

4x lnx dx, 35.∫xe2x dx, 36.

∫(5x+ 2) sinx dx,

37.∫

sinx cosx dx, 38.∫ex sin 2x dx, 39.

∫cos2 x dx.

Oblicz całki

40.∫

cos√x√

xdx, 41.

∫(2x− 1)ex dx, 42.

∫x2 3√x3 − 1 dx,

43.∫

2 dx, 44.∫

ln 2x dx, 45.∫

(2− 4x)7 dx,

46.∫x2ex dx, 47.

∫(x+ 2)3

xdx, 48.

∫arctg x dx,

49.∫

ctg x dx, 50.∫

ex

e2x + 1dx, 51.

∫9− x dx,

52.∫e−x sin 3x dx, 53.

∫x lnx dx, 54.

∫x3 − 1x− 1

dx,

55.∫

3cos2 x

dx, 56.∫

sin2 x dx, 57.∫x3 + 3

√x2 − 1√x

dx,

58.∫x2 cos 3x dx, 59.

∫1x3− 2x

√x dx, 60.

∫ √1 + lnxx

dx.

Elementy

Odpowiedzi - Podstawowe całki

1. 12x

2 + C, 2. −2 cosx + C, 3. − 12x2 + C, 4. ln |x| + C, 5. 2

3x32 + C, 6. 4 arctg x + C, 7. −9 tg x + C,

8. 3 arcsinx = −3 arccosx + C, 9. 34

3√x4 + C, 10. −5 ctg x + C, 11. 5

11x116 + C, 12. − 1√

5arcsinx =

1√5

arccosx+C, 13. − 1x−

25x

52 +ln |x|+C, 14. − cosx+2x2− 1

3x3+C, 15. 1

3x3+2x+C, 16. 4

3x32 +6√x+C,

17. 2√x− 4x

34 +C, 18. 2

5x52 + 8x

74 +C, 19. podst. t = 3x− 8, 5

27 (3x− 8)95 +C, 20. podst. t = 2x− 1,

12 ln |2x− 1|+ C, 21. podst. t = 3x, − 1

3 sin 3x+ C, 22. podst. t = x2 + 1, 23

√(x2 + 1)3 + C, 23. podst.

t = −3x + 1, − 13e−3x+1 + C, 24. podst. t = cosx, − ln | cosx| + C, 25. podst. t = lnx, 2 ln | lnx| + C,

26. podst. t = 3−2 cosx, 52 ln |3−2 cosx|+C, 27. podst. t = arctg x, 1

2 arctg2 x+C, 28. podst. t = lnx,12 ln2 x + C, 29. podst. t = ex + 1, ln |ex + 1| + C, 30. podst. t = 1 + 4x, 1

2

√1 + 4x + C, 31. części,

−xe−x−e−x+C, 32. części, 1ln 3 (x3x− 3x

ln 3 )+C, 33. części, 3x sinx+3 cosx+C, 34. części, 2x2 lnx−x2+C,35. części, 1

2xe2x − 1

4e2x + C, 36. części, −(5x+ 2) cosx+ 5 sinx+ C, 37. części i równ, − 1

2 cos2 x+ C,38. części i równ, − 2

5ex cos 2x+ 1

5ex sin 2x+C, 39. części i równ, 1

2x+ 12 sinx cosx+C, 40. podst. t =

√x,

2 sin√x+ C, 41. części, (2x− 3)ex + C, 42. podst. t = x3 − 1, 1

4 (x3 − 1)43 + C, 43. 2x+ C, 44. części,

x ln 2x− x+C, 45. podst. t = 2− 4x, − 132 (2− 4x)8 +C, 46. części, (x2 − 2x+ 2)ex +C, 47. podzielić,

13x

3 +3x2 +12x+8 ln |x|+C, 48. części, x arctg x− 12 ln |1+x2|+C, 49. podst. t = cosx, ln | sinx|+C,

50. podst. t = ex, arctg ex +C, 51. − 12x

2 + 9x+C, 52. części i równ, − 310e−x cos 3x− 1

10e−x sin 3x+C,

53. części, 12x

2 lnx− 14x

2+C, 54. x3−1 = (x−1)(x2+x+1), 13x

3+ 12x

2+x+C, 55. 3 tg x+C, 56. częścii równ, 1

2x−12 sinx cosx+C, 57. 2

7x43 + 6

7x76 −2

√x+C, 58. części, 1

3x2 sin 3x+ 2

9x cos 3x− 227 sin 3x+C,

59. − 12x2 − 4

5x52 + C, 60. podst. t = 1 + lnx, 2

3 (1 + lnx)32 + C.

Elementy

12. Całki wymierne i różne

Zapisz funkcje w postaci sumy ułamków prostych (bez obliczeń)

1.3x

(x+ 6)2(x2 + 5), 2.

4x− 1(x− 1)(x+ 2)(x− 4)

, 3.1

(2x− 3)4,

4.−5x+ 8

x2(x2 + x− 1), 5.

x− 1(x− 8)(x2 + 4x+ 4)

, 6.2x3 − x2 + 4

(3x2 − 2x+ 7)3,

7.3x+ 1

(x2 + 4)2, 8.

3x2 + 2(x− 2)(x+ 4)2

, 9.x4 + 6x− 2

(x2 + 9)(x− 1)3.

Oblicz całki z funkcji wymiernych

10.∫

1x− 3

dx, 11.∫

5x2 + 16

dx, 12.∫

3(4− x)2

dx,

13.∫

1x2 − 2x+ 5

dx, 14.∫

3x3

dx, 15.∫

6x(x− 1)

dx,

16.∫

2x+ 2x2 + 9

dx, 17.∫

−2x2 − 1

dx, 18.∫x2 + 3x− 4x2(x+ 4)

dx,

19.∫

x− 4(x− 3)2

dx, 20.∫

x− 2x3 + 8

dx, 21.∫

3x+ 6x(x2 + 4x+ 5)

dx,

22.∫

x2

x+ 1dx, 23.

∫x3

x2 + 1dx, 24.

∫5x+ 1

(x2 + 2x+ 3)(x+ 2)dx,

25.∫

(x− 2)(x− 3)x− 3

dx, 26.∫

38 + 2x2

dx, 27.∫

6x+ 53x2 + 5x− 1

dx,

28.∫

x2 − 9x4 − 81

dx, 29.∫

2x+ 1x2 + 4x+ 4

dx, 30.∫

9(3− 5x)10

dx,

31.∫

(x− 3)(x− 2)x2 − 5x+ 6

dx, 32.∫x4 − 16x2 + 4

dx, 33.∫

x+ 7x2 − 4x+ 20

dx.

Oblicz całki

34.∫x2 sinx dx, 35.

∫x sinx2 dx, 36.

∫x sin 2x dx,

37.∫xex

2dx, 38.

∫x2ex dx, 39.

∫x2e dx,

40.∫

x

x2 + 1dx, 41.

∫x2 + 1x

dx, 42.∫

4x2 − 1

dx,

43.∫x2 dx, 44.

∫1x2

dx, 45.∫

1xdx,

46.∫

8x2 + 9

dx, 47.∫

8√9− x2

dx, 48.∫

8√x2 − 9

dx,

49.∫

8x√x2 − 9

dx, 50.∫

arcsinx dx, 51.∫

arcsinx√1− x2

dx,

52.∫

lnx dx, 53.∫x lnx dx, 54.

∫lnxx

dx,

55.∫

cos2 x dx, 56.∫

cos 2x dx, 57.∫

cos3 x dx,

58.∫

1√1 + x

dx, 59.∫

11 +√xdx, 60.

∫1 +√x√

xdx.

Elementy

Odpowiedzi - Całki wymierne i różne

1. Ax+6+ B

(x+6)2 +Cx+Dx2+5 , 2. A

x−1+ Bx+1+ C

x−3 , 3. 1(2x−3)4 , ułamek prosty, 4. Ax+ B

x2 + Cx+Dx2−x+1 , 5. −x−1

(x−8)(x+2)2 =Ax−8 + B

x+2 + C(x+2)2 , 6. Ax+B

3x2−2x+7 + Cx+D(3x2−2x+7)2 + Ex+F

(3x2−2x+7)3 , 7. 2x+1(x2+4)2 , ułamek prosty, 8. A

x−2 +Bx+4 + C

(x+4)2 , 9. Ax+Bx2+9 + C

x−1 + D(x−1)2 + E

(x−1)3 , 10. ln |x − 3| + C, 11. 54 arctg x

4 + C, 12. 34−x + C,

13. 12 arctg x−1

2 + C, 14. − 32x2 + C, 15.

∫ −6x + 6

x−1 dx = 6 ln |x−1x | + C, 16.

∫2xx2+9 + 2

x2+9 dx =

ln |x2 + 9| + 23 arctg x

3 + C, 17.∫ 1

2x+1 + − 1

2x−1 dx = 1

2 ln |x+1x−1 | + C, 18.

∫1x + −1

x2 dx = ln |x| + 1x + D,

19.∫

1x−3 + −1

(x−3)2 dx = ln |x−3|+ 1x−3 +C, 20.

∫ − 13

x+2 +13x−

13

x2−2x+4 dx = − 13 ln |x+2|+ 1

6 ln |x2−2x+4|+D,21.

∫1x + −x−2

x2+4x+5 + 1x2+4x+5 dx = ln |x| − 1

2 ln |x2 + 4x+ 5|+ arctg(x+ 2) +D, 22.∫x− 1 + 1

x+1 dx =12x

2−x+ln |x+1|+C, 23.∫x+ −x+1

x2+1 dx = 12x

2− 12 ln |x2 +1|+arctg x+C, 24.

∫3x+3

x2+2x+3 + 2x2+2x+3 +

−3x+2 dx = 3

2 ln |x2+2x+4|+√

2 arctg x+1√2−3 ln |x+2|+C, 25.

∫x−2 dx = 1

2x2−2x+C, 26. 3

4 arctg x2 +C,

27. ln |3x2 + 5x− 1|+C, 28.∫

1x2+9 dx = 1

3 arctg x3 +C, 29.

∫2

x+2 + −3(x+2)2 dx = 2 ln |x+ 2|+ 3

x+2 +C,30. 1

5(3−5x)9 + C, 31.∫dx = x + C, 32.

∫x2 − 4 dx = 1

3x3 − 4x + C, 33.

∫x−2

x2−4x+20 + 9x2−4x+20 dx =

12 ln |x2 − 4x + 20| + 9

4 arctg x−42 + C, 34. części, −x2 cosx + 2x sinx + 2 cosx + C, 35. podst. t =

x2, − 12 cosx2 + C, 36. części, − 1

2x cos 2x + 14 sin 2x + C, 37. podst. t = x2, 1

2ex2

+ C, 38. części,x2ex−2xex+2ex+C, 39. e

∫x2 dx = 1

3ex3 +C, 40. podst. t = x2 +1, 1

2 ln |x2 +1|+C, 41.∫x+ 1

x dx =12x

2 + ln |x| + C, 42.∫

2x−1 + −2

x+1 dx = 2 ln |x−1x+1 | + C, 43. 1

3x3 + C, 44. − 1

x + C, 45. ln |x| + C,46. 8

3 arctg x3 + C, 47. 8 arcsin x

3 + C, 48. 8 ln |x+√x2 − 9|+ C, 49. podst. t = x2 − 9, 8

√x2 − 9 + C,

50. części, x arcsinx+√

1− x2 + C, 51. podst. t = arcsinx, 12 arcsin2 x+ C, 52. części, x lnx− x+ C,

53. części, 12x

2 lnx− 14x

2 +C, 54. podst. t = lnx, 12 ln2 x+C, 55. części i równ, 1

2x+ 12 sinx cosx+C,

56. podst. t = 2x, 12 sin 2x+ C, 57. jedynka trygonometryczna, podst. t = sinx, − 1

3 sin3 x+ sinx+ C,58. podst. t = 1 + x, −2

√1− x+ C, 59. podst. t2 = x, 2

√x− 2 ln |1 +

√x|+ C, 60. 2

√x+ x+ C.