elementos de mÁquinas-engrenagens - cÁlculo bÁsico
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRENAGENSCÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO BÁSICO
PROFESSOR: JOSÉ MARIA NASCIMENTO
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRENAGENSCÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
Em uma empresa, o setor de manutenção mecânica desenvolve um
importante papel na continuidade do fluxo da produção. Após o
diagnóstico do defeito, realizam-se a desmontagem, limpeza dos
componentes, substituição dos elementos danificados, montagem,
lubrificação e ajustes finais da máquina. No entanto, muitas vezes não
existem peças de reposição disponíveis para consertar a máquina,
principalmente quando ela é antiga. Por causa disso, o setor de
manutenção de muitas empresas possui algumasmáquinas operatrizes
destinadas a produzir elementos mecânicos para a reposição de peças de
máquinas sob manutenção.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRENAGENSCÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
Para a sua construção é necessário considerar uma série de
dados, a saber:
l número de dentes (Z)
l diâmetro externo (de)
l módulo (m)
l diâmetro primitivo (dp)
l diâmetro interno (di)
l altura do dente (h)
l altura da cabeça (a)
l altura do pé do dente (b)
l passo (p)
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO MÓDULO
O módulo (m) de uma engrenagem é a medida que representa a relação
entre o diâmetro primitivo (dp) dessa mesma engrenagem e seu número
de dentes (Z). Essa relação é representada matematicamente do seguinte
modo:
m = dp / z ; dp = m. z ; z = dp / m
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO( de )
O diâmetro externo é igual ao diâmetro primitivo (dp) mais duas vezes a
altura da cabeça do dente (a) que, por sua vez, é igual a um módulo. Isso é
fácil de verificar, se você observar o desenho a seguir.
de = dp + 2.m
dp = de – 2.m
m= (de – dp) / 2
de = m( z + 2 ) em Função de m e z
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
1 - Calcular o diâmetro primitivo de uma engrenagem cilíndrica de dentes
retos, sabendo que m = 3 e Z = 90.
2 - Calcule o número de dentes da engrenagem que tenha um diâmetro
primitivo (dp) de 240 mm e um módulo igual a 4.
3 - Calcular o módulo de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos cujo
diâmetro externo (de) é igual a 45 mm e o número de dentes (Z) é 28.
4 - Qual é o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos
cujo módulo (m) é igual a 3,5 e o número de dentes (Z) é igual a 42.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA ALTURA TOTAL DO DENTE
A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos é igual
a 2 módulos mais 1/6 de um módulo. O desenho a seguir ilustra esta definição.
Observe
Isso pode ser representado matematicamente:
h = 1 m+1 m+1/6m
h = 6/6 m+ 6/6 m+ 1/6 m
h = 13/6 m
h = 2,166 · m
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA ALTURA TOTAL DO DENTE
A altura total do dente da engrenagem é, também, a soma da altura da
cabeça do dente (a) mais a altura do pé do dente (b), ou seja,
h = a + b
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
5 - Calcule a altura total (h) dos dentes de uma engrenagem cujo módulo é 1,75.
6 - Calcule o módulo de uma engrenagem cuja altura total (h) do dente é 4,33 mm.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA ALTURA DO PÉ DO DENTE
A altura do pé do dente da engrenagem (b) é 1m+1/6 m, ou seja:
b = 1 m+1/6m
b = 6/6 m + 1/6 m
b = 7/6 m
b = 1,166.m
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
7 - Calcule a altura do pé dente (b) de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que
o módulo é igual a 1,5.
8 - Calcule o módulo de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que a altura do pé do
dente (b) é de 3,498 mm.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO DIÂMETRO INTERNO
O diâmetro interno (di) é igual ao diâmetro primitivo (dp) menos 2 vezes a altura
do pé do dente (b).
Matematicamente isso é o mesmo que: di = dp - 2b
Como b é igual a 1,166 · m, podemos escrever: di =
dp - 2 · 1,166 · m
Portanto: di =
dp - 2,33 · m
Como dp = m · Z, também é possível fazer a
substituição: di =
m · Z - 2,33 · m
Reescrevendo,temos: di =
m (Z - 2,33)
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
9 - Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica que tem um
diâmetro primitivo de 75 mm e um módulo igual a 1,5.
10 - Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica com 50 dentes e
módulo igual a 1,5.
11 - Calcule o módulo de uma engrenagem da qual você conhece o diâmetro interno (di = 37,67 mm) e o número de dentes (Z = 40).
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO PASSO
O passo é a medida do arco da circunferência do diâmetro primitivo que
corresponde a um dente e a um vão da engrenagem.
Ele é calculado a partir do perímetro da
circunferência do diâmetro primitivo (dp ·
p) dividido pelo número de dentes da
engrenagem, porque o número de dentes
corresponde ao número de passos.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO PASSO
Matematicamente isso dá:
p = (dp · pi)/Z Como dp = m · Z, podemos
escrever:
p = (m· Z · pi)/Z
P = m . pi
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
12 - Calcule o passo de uma engrenagem cujo módulo é 3.
13 - Sabendo que o passo de uma engrenagem é 12,56 mm, calcule seu módulo.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA DISTÂNCIA ENTRE EIXOS
Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo isso em mente, dá para perceber
que, além das medidas que já calculamos, precisamos conhecer também a
distância entre os centros dos eixos que apóiam as engrenagens. Essa medida se
baseia no ponto de contato entre as engrenagens. Esse ponto está localizado na
tangente das circunferências que correspondem aos diâmetros primitivos das
engrenagens.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA DISTÂNCIA ENTRE EIXOS
Assim, a distância entre os centros (d) é igual à metade do diâmetro primitivo da
primeira engrenagem dp1 mais a metade do diâmetro primitivo da segunda
engrenagem dp2, divido por dois.
d= (dp1 + dp2)/2
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
14 - Sabendo que o número de dentes da engrenagem 1 é 60 e o da engrenagem
2 é 150 e que seus módulos são iguais a 2, calcule a distância entre seus centros.
15 - Calcule dp, de, di, h, a, b e p de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos
com 45 dentes e módulo 4.
16 - Sabendo que o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica é de 88 mm e
que ela tem 20 dentes, calcule m, dp, di, h, a, b e p.
17 - Calcule a distância entre centros das duas engrenagens dos exercícios 15 e 16.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CONCEITUAÇÃO
Engrenagens com dentes helicoidais são usadas em sistemas mecânicos, como
caixas de câmbio e redutores de velocidade, que exigem alta velocidade e baixo
ruído.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CARACTERÍSTICAS E CÁLCULOS ENGRENAGENS COM DENTES HELICOIDAIS
Esta engrenagem tem passo normal (Pn) e passo circular (Pc), e a hélice apresenta
um ângulo de inclinação (b).
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CARACTERÍSTICAS E CÁLCULOS ENGRENAGENS COM DENTES HELICOIDAIS
Para identificar a relação entre o passo
normal (Pn), o passo circular (Pc) e o
ângulo de inclinação da hélice (b), você
deve proceder da seguinte forma: retire
um triângulo retângulo da última
ilustração, conforme segue.
A
B
C
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CARACTERÍSTICAS E CÁLCULOS ENGRENAGENS COM DENTES HELICOIDAIS
A
B
C
Neste triângulo temos:
Cos c = Pn / Pc ( 1 ); mas Pn = Mn . pi ( 2 ) e Pc = Mf . Pi ( 3 )
Substituindo as equações ( 2 ) e ( 3 ) na equação ( 1 )
Teremos: Mn = Mf . Cos c e Mf = Mn / cos c
C = ângulo beta, ângulo de inclinação da hélice;
Mn = módulo normal;
Mf = módulo frontal;
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DO DIÂMETRO PRIMITIVO
O diâmetro primitivo (Dp) da engrenagem helicoidal é calculado pela divisão do
comprimento da circunferência primitiva por p (3, 14). O comprimento da
circunferência primitiva (Cp) é igual ao número de dentes (Z) multiplicado pelo
passo circular (Pc).
Assim, Cp = Z · Pc.
Logo, o diâmetro primitivo é dado por Dp = Cp / pi.
Como Cp = Z · Pc podemos escrever DP = Z×Pc / pi
Como Pc = Mf · pi, temos Dp = Z×Mf ×pi / pi. Simplificando, temos:
Dp = Z · Mf ou Dp = Mf · Z ; Como Mf = Mn / cos c ( c = ângulo de hélice ) teremos
Dp = Z . Mn / cos c
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO
O diâmetro externo (De) é calculado somando o diâmetro primitivo a dois módulos
normais.
De = Dp + 2 . Mn
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DE Mn EM FUNÇÃO DE De, d,
d = dp1 + dp2 / 2; De = dp + 2 . Mn
Mn = (De1 + De2 - 2d ) / 4
Com essa fórmula podemos calcular o módulo
normal. Os valores de De1 (diâmetro externo da
engrenagem 1), De2 (diâmetro externo da
engrenagem 2) e d (distância entre os centros)
podem ser medidos.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
PRÁTICA ORIENTADA
1 - Calcular o módulo normal (Mn), o diâmetro primitivo (dp), o ângulo de inclinação
da hélice (b), módulo frontal ( Mf ), passo normal ( Pn ) e o passo circular ( Pc ) de
uma engrenagem helicoidal, sabendo que o diâmetro externo medido é De1 =
206,54 mm e tem 56 dentes, o diâmetro externo da engrenagem acoplada é De2 =
125,26 mm e a distância entre os centros é d = 160,4 mm.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DA ALTURA DO PÉ DO DENTE
A altura do pé do dente (b) depende do
ângulo de pressão (A) da engrenagem.
Veja, a seguir, a localização do ângulo de
pressão .
A
A
ba
h
Os ângulos de pressão mais comuns
usados na construção de
engrenagens
são: 14º30', 15º e 20º.
Para A = 14º30' e 15º, usa-se a
fórmula b = 1,17 · Mn
Para A = 20º, usa-se b = 1,25 · Mn
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DO DIÂMETRO INTERNO
A
A
ba
h
Di = dp – 2 . b
Di = dp – 2,50 . Mn ( para A = 20º
Di = dp – 2,34 . Mn ( para A = 14º30´
e A = 15º
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DA ALTURA TOTAL DO DENTE
A
A
ba
h
h = a + b
a = 1 . Mn
Para A = 20ºh = Mn + 1,25 . Mn = 2,25 . Mn
Para A = 14º30´e A = 15ºh = 1. Mn + 1,17 . Mn = 2,17 . Mn
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
PRÁTICA ORIENTADA2 – Calcular a altura do pé do dente (b) para a engrenagem helicoidal de módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão  = 15º.
3 – Calcular o diâmetro interno (Di) para a engrenagem helicoidal de módulo normal Mn = 2,75, diâmetro primitivo Dp = 201,04 mm e ângulo de pressão  = 14º30'.
4 – Calcular a altura total do dente (h) de uma engrenagem helicoidal de módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão  = 20º.
5 – Calcular Mf, dp, De, Pn, Pc, Di, b e h de uma engrenagem helicoidal com 32 dentes, Mn = 3, ângulo de inclinação da hélice C = 19º30' e ângulo de pressão A = 20º.
6 – Calcular Mf, dp, De, Pn,Pc, Di, b e h de uma engrenagem helicoidal com 44 dentes, Mn = 3, ângulo de inclinação da hélice C = 30º e ângulo de pressão A = 15º.
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CÔNICAS
INTRODUÇÃO
Para grandes problemas, grandes soluções.
Por exemplo: qual a saída para o setor de projeto e construção de uma
empresa em que o setor de manutenção necessita fazer a
manutenção de uma máquina importada, cujo reparo exige a compra
de uma engrenagem que não está disponível no mercado. A saída é
construir a peça. Vamos conhecer os cálculos para a construção de
engrenagens cônicas.
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
INTRODUÇÃO
Numa engrenagem cônica, o diâmetro externo (De) pode ser medido, o número de
dentes (Z) pode ser contado e o ângulo primitivo (d) pode ser calculado. Na figura a
seguir podemos ver a posição dessas cotas.
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO( de ) Â
O diâmetro externo (de) é dado pela fórmula
de = dp + 2 · m · cos Â, onde dp é o
diâmetro primitivo e m é o módulo.
De =dp + 2 . m . cos Â
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO DIÂMETRO PRIMITIVO - dp Â
O diâmetro primitivo (dp) é dado por
Dp = m . z
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO ÂNGULO PRIMITIVO ÂÂ
O ângulo primitivo  é dado pela fórmula
tan  = z / za
Onde z é o número de dentes da
engrenagem que será construída e za
é o número de dentes da engrenagem
que será acoplada.
Ângulo Â
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
PRÁTICA ORIENTADAÂ
1 - Calcular o módulo de uma engrenagem cônica
a ser construída, de 30 dentes, sabendo que seu diâmetro
é igual a 63,88 e o número de dentes da engrenagem
que será acoplada nesta é igual a 120 dentes
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULOS DOS ÂNGULOS DA CABEÇA DO DENTE E DO PÉ DO DENTE
Â
Â
B
C
B
C
ÂNGULO DA CABEÇA DO DENTE
tan c = 2. sen  / z
ÂNGULO DO PÉ DO DENTE
tan B = 2,33 . sen B / zPara ângulo de pressãoigual 14º30´ou 15º
tan B = 2,50 . Sen B / zPara ângulo de pressão igual20º
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
PRÁTICA ORIENTADA
Â
Â
B
C
B
C
2 – Conhecendo o ângulo primitivo  calculadono exercício 1, calcular o ângulo da cabeça dodente( C ) e o do pé do dente( B ).
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO ÂNGULO EXTERNO( Ê )
ÊÂ
Mais dois ângulos são necessários para a
construção da engrenagem cônica. Um deles é o
ângulo Ê , que será utilizado para o torneamento
da superfície cônica do material da
engrenagem.
O ângulo Ê é o ângulo de inclinação do carro
superior do torno para realizar o torneamento
cônico do material.
Ê = Â + C
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO ÂNGULO INTERNO( Î )
ÂÎ
Î = Â - B
 = ângulo primitivoB = ângulo do pé do dente
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DE h, a e b
h = a + b
a = m
b = 1,25 . m; para ângulo de
pressão igual 20º
B = 1,17 . m; para ângulo de
pressão 14º30´e 15º
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
PRÁTICA ORIENTADA
3 – Calcular as dimensões para construir uma engrenagem cônica de módulo 2, número de dentes Z = 120, número de dentes da engrenagem que será acoplada Za = 30, ângulo de pressão a= 14º30' e ângulo dos eixos a 90º.Dimensões: dp, de, Â, a, b, h, ângulo C, Ê e Î.
4 – Calcular as dimensões de uma engrenagem cônica, módulo 4, com eixos a 90º, com número de
dentes Z = 54, número de dentes da engrenagem que será acoplada Za = 18 e ângulo de
pressão a = 14º30'.
Dimensões: dp, de, Â,a, b, h, ângulo C, Ê e Î.