elementi di matematica equazioni e disequazioni prof. paolo peranzoni
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Elementi di Matematica
Equazioni
e
disequazioni
prof. Paolo Peranzoni
Equazioni Si dice equazione una uguaglianza fra
due espressioni algebriche che sia verificata (soddisfatta) per alcuni valori attribuiti alle variabili (ma non per tutti!) 3x – 2 = x + 4 (è vera solo per x = 3)
Le variabili (una o più) presenti in una equazione vengono chiamate solitamente incognite
Identità Si dice identità una uguaglianza fra
due espressioni algebriche che sia verificata (soddisfatta) per tutti i valori attribuiti alle eventuali variabili (potrebbero anche non essercene!) 3x – 2 = 3x – 2 (è vera per qualsiasi x) (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 (vera per qualsiasi a) 3 +2 = 5 (qui non ci sono nemmeno
variabili: quindi è sempre vera!)
Risolvere le equazioni Risolvere una equazione significa
trovare quei valori (uno o più) che, sostituiti alle incognite rendono vera l’uguaglianza
I valori trovati vengono detti soluzioni (o radici) dell’equazione
Per raggiungere questo obiettivo si utilizzano, fra l’altro, alcuni metodi standard
Regole del trasporto Esistono due regole del trasporto,
da non confondere assolutamente fra loro: Regola del trasporto di un addendo (o
termine) Regola del trasporto di un fattore
Le regole del trasporto discendono dalle proprietà invariantive delle uguaglianze
Prima proprietà invariantiva
La prima proprietà invariantiva dell’uguaglianza afferma: Un’uguaglianza (o un’equazione) si
trasforma in una equivalente (cioè con le stesse soluzioni) se si somma (o sottrae) ad ambo i membri la stessa quantità
Ad esempio, da 3a = 2a + a si ottiene 3a + 5 = 2a + a + 5
Prima regola del trasporto
Consideriamo l’esempio: 2x + 5 = 3 2x + 5 – 5 = 3 – 5
ossia 2x = 3 – 5 In pratica il termine (addendo) +5 è stato
trasportato nell’altro membro cambiato di segno
Questa viene chiamata prima regola del trasporto: Se in un'equazione si trasporta un termine
(addendo) da un membro all'altro cambiandolo di segno, si ottiene un'equazione equivalente
Seconda proprietà invariantiva
La seconda proprietà invariantiva dell’uguaglianza afferma: Un’uguaglianza (o un’equazione) si
trasforma in una equivalente (cioè con le stesse soluzioni) se si moltiplicano (o si dividono) ambo i membri per la stessa quantità diversa da zero
Ad esempio, da 3a = 2a + a si ottiene 7 3a = 7 (2a + a)
Seconda regola del trasporto
Consideriamo l’esempio:
2x = 8
In pratica il fattore 2 è stato trasportato nell’altro membro portandolo al denominatore
Questa viene chiamata seconda regola del trasporto: Se in un'equazione si trasporta un fattore (non
nullo) da un membro all'altro facendone il reciproco, si ottiene un'equazione equivalente
2
8
2
2
x4
2
8 xx
Attenzione! Bisogna fare molta attenzione a non
confondere la prima regola del trasporto con la seconda: la prima si applica al trasporto di un
addendo (termine di una somma/differenza) la seconda si applica al trasporto di un
fattore (elemento di un prodotto/quoziente) Applicare una regola al posto dell’altra
porta a risultati disastrosi!
Invece delle regole... Per evitare le insidie connesse con lo scambio
erroneo fra le due regole del trasporto, conviene non usarle affatto, se si ha qualche dubbio, e basarsi direttamente sulle proprietà invariantive
Nell’esempio considerato sopra 2x + 5 = 3 2x = 3 – 5
anziché trasportare il termine 5 nel secondo membro cambiandolo di segno, possiamo sottrarre 5 da entrambi i membri 2x + 5 = 3 2x + 5 – 5 = 3 – 5 2x = 3 – 5
L’effetto è lo stesso, ma è meno facile sbagliare!
Esempio
Risolviamo l’equazione lineare (cioè di primo grado) già vista sopra, applicando le regole del trasporto: 2x + 5 = 3 2x = 3 – 5 2x = –2
Abbiamo applicato la prima regola del trasporto
2x = –2 x = –1
Abbiamo applicato la seconda regola del trasporto
2
2x
Formalizzare i problemi...
Equazioni e disequazioni sono la traduzione matematica di problemi che vogliamo risolvere
Prendiamo ad esempio il noto problemino ingannevole: Un mattone pesa un chilo più mezzo
mattone: quanto pesa un mattone? Detto x il peso di un mattone, si ottiene
l’equazione:
21
xx
... e risolverli Con successive applicazioni delle regole
del trasporto, l’equazione si trasforma:
La risposta al nostro problema è quindi:
Il mattone pesa due chili
21
xx 1
2
xx 1
2
2
xx
12
x
221 x
Un altro esempio... Risolviamo il problema:
L’età di Giovanna è minore del triplo della sua stessa età diminuito di 13 anni: quanti anni può avere al minimo Giovanna?
Questo problema si formalizza con una disequazione lineare (avendo chiamato x l’età di Giovanna):
133 xx
... e la risoluzione La disequazione si risolve con le stesse
regole del trasporto valide per le equazioni, tranne per un dettaglio (che esamineremo nella prossima diapositiva):
133 xx 133 xx
132 x2
13
x
2
13x 5,6x
Un dettaglio fondamentale
Giovanna dunque deve avere almeno 7 anni Notiamo che nel terzo passaggio risolutivo della
disequazione, quando abbiamo diviso ambo i membri per –2, abbiamo contestualmente cambiato il verso della disuguaglianza Una disuguaglianza (o disequazione) si trasforma
in una equivalente se si moltiplicano (o si dividono) ambo i membri per la stessa quantità positiva
Se invece si moltiplicano (o si dividono) ambo i membri per la stessa quantità negativa, è necessario cambiare il verso della disuguaglianza
Definizione Si dice disequazione una disuguaglianza
fra due espressioni algebriche che sia verificata (soddisfatta) per alcuni valori attribuiti alle variabili (ma non per tutti!) 3x – 2 > x + 4 (è vera solo per x > 3)
Le variabili (una o più) presenti in una disequazione vengono chiamate solitamente incognite
Come si può notare, questa definizione è molto simile a quella di equazione
Salire di grado Oltre alle equazioni (e disequazioni) di primo grado (lineari),
vi sono naturalmente anche quelle di grado superiore Noi ci limiteremo qui a studiare le equazioni di secondo
grado in una incognita; ad esempio: 3x2 – 2x – 5 = 0
Vedremo che essa ha due soluzioni:
e x = –1
3
5x
Tipi particolari Prima di vedere come si risolvono le
equazioni di secondo grado, esaminiamo i loro diversi casi particolari: Un’equazione del tipo ax2 + bx + c = 0
si dice completa del tipo ax2 + bx = 0 viene detta spuria del tipo ax2 + c = 0 viene detta pura del tipo ax2 = 0 viene detta monomia
La formula risolutiva Per risolvere un’equazione di secondo grado
completa si utilizza una formula (f. risolutiva) di cui non daremo qui la dimostrazione:
La quantità sotto radice viene chiamata discriminante e indicata col simbolo (delta):
a
acbbx
2
42
acb 42
Cosa discrimina? Dato che non esistono radici quadrate
(reali) dei numeri negativi, la formula risolutiva fornisce soluzioni solo se il discriminante è non negativo ( )
Se invece il discriminante è negativo ( ), l’equazione non ha soluzioni: si dice in tal caso che essa è impossibile
Se il discriminante è nullo ( ) l’equazione ha una sola soluzione (o due coincidenti, che è lo stesso!)
00
0
Esempio L’equazione vista sopra:
3x2 – 2x – 5 = 0
applicando la formula risolutiva, ha le soluzioni:
6
82
6
6042
32
53422 2
x
1
3
5
Casi particolari Le equazioni incomplete di
secondo grado si possono anche risolvere con la formula risolutiva, ma non ne vale la pena!
Oltre tutto, così facendo si rischiano insidiosi errori di calcolo...
Si usano perciò metodi particolari
Equazione spuria... Abbiamo detto che un’equazione del
tipo ax2 + bx = 0 viene detta spuria
Per risolverla, raccogliamo x a fattor comune: x(ax + b) = 0
Applichiamo ora il principio di annullamento del prodotto: Il prodotto di due fattori è nullo se e solo se
almeno uno dei fattori è nullo
... equazione spuria (seguito)
Nel nostro caso, dunque, dovrà essere x = 0 oppure ax + b = 0
Risolvendo la seconda equazione lineare, otteniamo:
per cui le due soluzioni dell’equazione sono:
x = 0 e
a
bx
a
bx
Esempio L’equazione spuria:
3x2 – 2x = 0
si risolve come illustrato sopra:
x(3x – 2) = 0
per cui le due soluzioni dell’equazione sono:
x = 0 e 3
2x
Equazione pura... Abbiamo detto che un’equazione del tipo
ax2 + c = 0 viene detta pura Per risolverla, trasportiamo c nel secondo
membro e poi dividiamo ambo i membri per a:
Se risulta possiamo estrarre la radice quadrata di entrambi i membri (che sono non negativi!)
a
cx
2
0a
c
... equazione pura (seguito)
Otteniamo così:
ossia
(dato che )
Otteniamo in questo caso due soluzioni
fra loro opposte (solo se ,
ovviamente!)
a
cx
a
cx
0a
c
xx 2
Esempio L’equazione pura:
3x2 – 5 = 0
si risolve come illustrato sopra:
Constatato che il secondo membro è non negativo, si ottiene:
3
52 x
3
5x
Possibile o impossibile Se un’equazione non ha nessuna
soluzione, si dice impossibile Se invece essa ha un numero finito di
soluzioni (una, due, tre, ....) essa si dice determinata Le equazioni algebriche determinate di grado
n hanno (al massimo) n soluzioni Se ha infinite soluzioni, si dice invece
indeterminata
Esempi L’equazione:
3x2 + 7 = 0 è impossibile, perché la somma di due numeri, uno non negativo e l’altro positivo, non può essere uguale a zero!
L’equazione:
è indeterminata (ma non è una
identità!), perché (per definizione!)
e è vera per ogni
xx 2
xx 2
xx 0x
Esercizi 1 Risolvere le seguenti equazioni:
a) 15x – 4 = 16 b) –7x + 25 = –10 c) (x + 2) / 3 = 3 d) 20 + 5x = 10 e) 3x – 20 = x f) 2x – 7 = x – 2 g) 5x + 1 = 3x – 4 h) 8x + 4 = 9x – 7 i) 2,3x – 4,5 = 5,4 – x j) 199 + 225x = 270x + 169
Esercizi 2 Risolvere le seguenti equazioni:
a)
Esercizi 3 Risolvere le seguenti equazioni:
a)
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa f)
Esercizi 4 Risolvere le seguenti
disequazioni:
c) d)
e)
f)