elemente de teoria grafurilor Şi analiza …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/curs-grafuri-drum...
TRANSCRIPT
![Page 1: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/1.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
1
ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA DRUMULUI CRITIC
• Concepte fundamentale.Modelarea prin grafuri a proceselor economice.
• Drumuri de valoare optimă.• Arbori minimali.• Analiza drumului critic.
– graful coordonator asociat unei acţiuni complexe; – reprezentarea şi calculul termenelor activităţilor;– alocarea şi nivelarea resurselor.
![Page 2: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/2.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
2
Elemente de teoria grafurilor- concepte fundamentale
• Un graf este un cuplu G=(V,M) format dintr-o mulţime nevidă V de vârfuri (noduri) şi o mulţime M de muchii (arce) cu proprietatea că fiecărui element m∈M îi sunt asociate două vârfuri x,y ∈V numite extremitătile muchiei m.
• O muchie în care x=y (are o singură extremitate) se numeşte buclă.
![Page 3: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/3.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
3
Elemente de teoria grafurilor- concepte fundamentale
• Un graf G se numeşte simplu dacă oricare două noduri ale sale sunt extremităţi pentru cel mult o muchie.
• Un graf G este finit dacă V şi M sunt finite.
![Page 4: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/4.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
4
Elemente de teoria grafurilor- concepte fundamentale
• Fie m={x,y} o muchie în graful G=(V,M) poate fi:– orientată (x,y) cu x vârf iniţial şi y vârf final, caz în
care arcul (y,x) este blocat;– orientată (y,x) cu y vârf iniţial şi x vârf final, caz în
care arcul (x,z) este blocat;– neorientată {x,y}.
• Un graf G=(V,M) în funcţie de tipul muchiilor sale poate fi:– orientat;– parţial orientat;– neorientat.
![Page 5: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/5.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
5
Elemente de teoria grafurilor- concepte fundamentale
• Un lanţ în graful G=(V,M) este o succesiune de noduri λ=(x0, x1, … ,xp-1, xp) cu proprietatea că {x0,x1},{x1,x2},...{xp-1, xp}, sunt muchii în G. Nodurile x0şi xp sunt extremităţile lanţului λ.
• Lanţul λ se numeşte simplu dacă nu trece de două ori prin acelaşi nod.
• Lungimea lanţului λ. este dată de numărul muchiilor sale componente.
• Un ciclu este un lanţ ale cărui extremităţi coincid.
![Page 6: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/6.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
6
Elemente de teoria grafurilor- concepte fundamentale
• Un drum în graful G=(V,M) este o succesiune de noduri δ=(x0, x1, … ,xp-1, xp) cu proprietatea că {x0,x1},{x1,x2},...{xp-1, xp}, sunt arce permise în G. Nodurile x0 şi xp sunt extremităţile drumului δ.
• Un graf G=(V,M) se numeşte conex dacă oricare două noduri ale sale sunt extremităţile unui lanţ.
• Un graf G=(V,M) se numeşte bipartit dacă mulţimea nodurilor sale poate fi descompusă în două submulţimi nevide şi disjuncte S şi D astfel încât orice muchie din G are o extremitate în S şi calaltă în D.
![Page 7: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/7.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
7
Drumuri de valoare optimă
• Fie graful G=(X,Γ ). O rută orientată u=(i,j) este un arc (i,j)∈G. Ruta se numeşte permisă dacă orientarea saeste în concordanţă cu orientarea muchieicorespunzătoare din graful G.
• Fiecărei rute u=(i,j) cu i,j∈ X i se asociază o valoarenumerică c(u) cu semnificaţia de cost, distanţă, timpetc.
![Page 8: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/8.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
8
Drumuri de valoare optimă
• Dacă s şi f sunt două noduri fixe din G problemaconstă în determinarea unui drum de la s la f de valoare optimă (minimă), adică:
• unde este mulţimea drumurilor dintre s şi f cu s,f∈G.
*µ
)( min)( * µµ ccD(s,f)µ∈
=
),( tsM
![Page 9: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/9.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
9
Drumuri de valoare optimă
• Algoritmul Bellman-Kalaba– este un algoritm general prin care se determină
drumurile de valoare minimă dintre un nod final şitoate celelalte vârfuri (noduri) ale grafului;
– fie G=(X, Γ ) graful problemei;• fiecărei muchii orientate u=(i,j) cu i,j∈ X i se
asociază o valoare numerică c(u)=cij
• fiecărei muchii neorientate u={i,j} cu i,j∈ X i se asociază valoarile numerice cij = cji = c(u) corespunzător celor două arce (i,j) şi (j,i).
),( tsM
![Page 10: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/10.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
10
Drumuri de valoare optimă -algoritmul Bellman-Kalaba
START
Pasul 0: se asociază grafului G o matricea V construităpornind de la valorile vij ale arcelor grafului
Este îndeplinită condiţiade oprire a algoritmului?
Pasul k: se adaugă la matricea Vliniile V(k+1) şi succ(k+1)
Se extrag din V rutele de costminim spre nodul xf
NU
DA
STOP
![Page 11: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/11.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
11
Drumuri de valoare optimă -algoritmul Bellman-Kalaba
Pasul 0:• se asociază grafulul G matricea unde n
este numărul nidurilor grafului astfel:
• se adaugă la matricea V linia unde:
{ }njiijvV
,1, ==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞==∃
=rest.in
; daca 0; daca
j i(i,j) mc
vij
{ } niivV ,1)0()0(
==
⎩⎨⎧
=≠
=. daca 0; daca )0(
fifiV
V ifi
![Page 12: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/12.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
12
Drumuri de valoare optimă -algoritmul Bellman-Kalaba
Pasul k (k=1,2,3,….):• se determină şi se adaugă matricei V existente la etapa
k-1 două linii:– linia cu:
– linia unde reprezintă nodul spre care, din nodul i, există arce de lungime minimă
{ } nik
ik vV ,1
)()(==
⎩⎨⎧
=≠+
=−
; daca 0; daca )min( )1(
)(
fifivv
v ijk
iki
⎩⎨⎧
∞=Φ≠=∀+=
=−
. daca ; ,1 | )1()(
)(ki
ijk
ik
iki v
finjvvvjsucc
nik
ik succsucc
,1)()( }{
== )(ksucc
![Page 13: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/13.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
13
Drumuri de valoare optimă -algoritmul Bellman-Kalaba
Condiţia de oprire a algoritmului
• algoritmul se încheie în momentul în care prin trecerea de la un pas (k) la pasul următor (k+1) valorile drumurilor minime rămân nemodoficate:
.,1 )1()( nivv ki
ki =∀= +
![Page 14: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/14.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
14
Drumuri de valoare optimă -algoritmul Bellman-Kalaba
Extragerea rutelor de cost minim• Fiind îndeplinită condiţia
– valorile minime ale rutelor se deduc din linia
– rutele de valoare minimă de la fiecare nod spre nodul f se deduc din linia
.,1 )1()( nivv ki
ki =∀= +
sau )1()( +kk VV
)1()( sau +kk succsucc
![Page 15: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/15.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
15
Arbori minimali
• Un arbore este un graf conex neorientat şi fără cicluri.
• Un arbore are următoarele proprietăţi:– orice arbore cu p noduri are p-1 muchii.– între oricare două noduri ale unui arbore există un
unic lanţ de muchii.– dacă între două noduri ale unui arbore adăugăm o
muchie se obţine un ciclu.– dacă dintr-un arbore scoatem o muchie, graful se
disconectează.
![Page 16: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/16.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
16
Arbori minimali
• Fie graful G=(X,Γ ) un graf neorientat fint şi conexconţinând n noduri.
• Un arbore conţinut în graful G este un subgraf al luiG cu n-1muchii.
• Dacă muchiilor unui arbore i se asociază valorinumerice (reprezentând costuri, profituri, distanţeetc.) atunci suma acestora constituie valoareaarborelui respectiv.
• Determinarea arborilor minimali dintr-un graf G constă în identificarea arborelui (arborilor) de valoare minimă conţinuţi în G.
![Page 17: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/17.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
17
Arbori minimali - algoritmul lui Kruskal
START
Pasul 1: se alege din mulţimea Γ a lui G muchea u1 de valoare minimă;muchea u1 constitue primul element al mulţimii muchiilor alese.
S-au ales n-1 muchii?
Pasul k+1:din mulţimea muchiilornealese se alege o nouă muchie uk+1 devaloare minimă şi care nu formeazăciclu cu muchiile deja alese; se adaugăuk+1 la mulţimea muchiilor alese;Graful parţial obţinut constituie
un arbore minimal în G
NU
DA
STOP
![Page 18: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/18.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
18
Arbori minimali - variantă a algoritmului lui Kruskal
START
Pasul 1: se selectează din mulţimea X a lui G un nod oarecare xi(1≤i ≤n unden este numărul nodurilor lui G)
S-au conectattoate nodurile?
Pasul k+1:se selectează din mulţimeanodurilor neconectate nodul cel maiapropiat de unul din nodurileconectate şi se conectează la acesta; se adaugă nodul respectiv la mulţimea nodurilor alese;
Graful parţial obţinut constituieun arbore minimal în G
NU
DA
STOP
![Page 19: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/19.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
19
Analiza drumului critic.
• Principalele metode utilizate în managementul proiectelor (Project Management) sunt:– metoda CPM (Critical Path Method)– metoda MPM (Metra Poential Method)– metoda PERT (Program Evaluation and Review
Tehnique).
• Aceste metode permit identificarea drumului critic şi a activităţilor care îl compun dintre evenimentul începerii proiectului şi evenimentul finalizării lui.
![Page 20: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/20.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
20
Analiza drumului critic. Metoda CPM
Fie un proiect (proces) P compus din n activităţi:
• O activitate Ak de durată dij =d(Ak ) este reprezentată prin perechea (i,j) unde:– i reprezintă evenimentul începerii activităţii;– j reprezintă evenimentul terminării activităţii;
• Grafic, activitatea Ak se reprezintă astfel:
{ } nkAP k ,1 ==
**jjii tttt
kAi jijd
![Page 21: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/21.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
21
Analiza drumului critic. Metoda CPM
Fiecărei activităţi i se asociază:• termenul minim de începere - reprezintă
termenul cel mai devreme posibil de terminare a tuturor activităţilor incidente în nodul i:
• termenul minim de terminare
⎩⎨⎧
Γ∈+= −1),( unde ))(max
inceput de nod este daca 0)(
iqiqim
kim iqdA(t
iAt
)()()( kkimk
tm AdAtAt +=
)( kim At
)( ktm At
kA
![Page 22: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/22.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
22
Analiza drumului critic. Metoda CPM
• termenul maxim de terminare - reprezintă termenul cel mai târziu posibil de începere a tuturor activităţilor incidente dinspre nodul j spre nodurile:
• termenul maxim de incepere⎩⎨⎧
Γ∈−=
jjpptM
nk
tM pjdA(t
jtAt
),( unde ))(min terminalnod este daca
)(
)()()( kktMk
iM AdAtAt −=
)( ktM At
)( kiM At
jΓ
![Page 23: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/23.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
23
Analiza drumului critic. Metoda CPM
• rezerva totală - reprezintă intrvalul maxim cu care poate fi amânată o anumită activitate fără a afecta termenul final al proiectului:
Dacă activitatea se numeşte critică.• rezerva liberă - reprezintă intrvalul maxim cu
care poate fi amânată o anumită activitate fără a consuma din rezerva activităţilor care o succed
)()()()( kkimk
tmkl AdAtAtAR −−=
)( kt AR
)()()()( kkimk
tMkt AdAtAtAR −−=
)( kl AR0)( =kt AR
![Page 24: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/24.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
24
Analiza drumului critic. Metoda MPM
Fie un proiect (proces) P compus din n activităţi:
• Fiecărei activitaţi Ak i se asociază un tabel de forma:
{ } nkAP k ,1 ==
imt
iMt
tmt
tMt
kA
)( kAd
![Page 25: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/25.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
25
Analiza drumului critic. Metoda MPM
• Activităţile critice sunt activităţile cu rezerva totală egală cu 0:
• Totalitatea activităţilor critice alcătuiesc drumul critic în proiectul P.
)()( kimk
iM AtAt =
)()( ktmk
tM AtAt =
![Page 26: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/26.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
26
Analiza drumului critic. Metoda PERT
• Metoda PERT permite planificarea activităţilor şi determinarea probabilităţii de realizare a duratei planificate pentru un anumit proiect atunci când duratele activităţilor nu se cunosc cu certitudine.
• Fie un proiect (proces) P compus din n activităţi:
• Atât durata fiecărei activitaţi d(Ak ) cât ăi durata totală a proiectului sunt considerate variabile aleatoare.
{ } nkAP k ,1 ==
![Page 27: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/27.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
27
Analiza drumului critic. Metoda PERT
• Dutata unei activităţi este o variabilă aleatoare de distribuţia BETA cu:– durata mediie de execuţie a acivităţii
– dispersia
6)()(4)(
)( 0 kpkmkk
AdAdAdAd
++=
)( kAd
)(2kAσ
22
6)()(
)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= kokp
k
AdAdAσ
kA
![Page 28: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/28.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
28
Analiza drumului critic. Metoda PERT
• Dutata totală de execuţie a proiectului P este variabilă aleatoare cu distribuţie normală. Dacă este mulţimea actvităţilor neparalele de pe drumul critic atunci avem:– durata totală medie a proiectului
– dispersia
∑∈
=ck DA
kn Adt )(
cD
2nσ
∑∈
=ck DA
kn A )(22 σσ
![Page 29: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/29.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
29
Analiza drumului critic. Metoda PERT
• Probabilitatea de realizare a duratei planificate a proiectului se determină astfel:– se determină factorul de probabilitate z:
– se deduce, utilizândtabelul funcţiei Laplace probabilitatea
2n
np tTz
σ
−=
np tT >
)( pn Ttp ≤
![Page 30: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/30.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
30
Analiza drumului critic. Metoda PERT
• Valorile probabilităţii de realizare a duratei planificate a proiectului au următoarele semnificaţii:– risc foarte mare de nerealizare în
termen a proiectului;– există şanse de realizare a
proiectului în termenul stabilit;– programarea activităţilor
proiectului este justă;– sunt şanse foarte mari de
realizare în timp a proiectului.
25,0)( ≤≤ pn Ttp
)5,0;25,0()( ∈≤ pn Ttp
)8,0;5,0[)( ∈≤ pn Ttp
8,0)( ≥≤ pn Ttp
![Page 31: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/31.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
31
Analiza drumului critic. Alocarea resurselor
• Algoritmul de alocarea resurselor (Project Scheduling under multiple Resurce Contraints) permite alocarea resurselor pe activităţi astfel încât durata de execuţie a proiectului să fie minimă.
• Rezlvarea problemelor de alocare a resurselor presupune ca primă etapă determinarea drumului critic fără restricţii de resurse aplicând una din metodele CPM sau MPM.
![Page 32: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/32.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
32
Analiza drumului critic. Alocarea resurselor
• Fie un proiect (proces) P compus din n activităţi:
• Pentru realizarea activităţilor proiectului sunt necesare m resurse disponibile în cantităţile:
• Vestorul intensităţii utilizării resurselor pentru actvitatea este:
{ } nkAP k ,1 ==
))(),...,(),(()( 21 kmkkk ArArArAr =
kA
mDDD ,...,, 21
![Page 33: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/33.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
33
Analiza drumului critic. Alocarea resurselor
Pentru soluţionarea problemei se definesc mulţimii:• mulţimea activităţilor candidate la momentul t:
• mulţimea activităţilor programate la momentul :
⎩⎨⎧
≥≤≤=
=final
finalkikt tt
tt tAtAC
daca 0 daca })(|{
φ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥−=∆∧∈=
=∪∈∑
mjPEAkjjtkkt
ttk
ArDjCAAP,1
0)(|
0≥t
![Page 34: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/34.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
34
Analiza drumului critic. Alocarea resurselor
• mulţimea activităţilor amânate la un alt momentul de timp :
• mulţimea activităţilor în execuţie la momentul
))()((min
\
kkimPEA
tt
AdAt
PCA
ttk
+=
=
∪∈σσ
tE
t>σ
![Page 35: ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA …web.rau.ro/mycourses/2004-2005/im_co/Curs-Grafuri-Drum Critic.pdf · • Drumuri de valoare optim](https://reader037.vdocuments.mx/reader037/viewer/2022100302/5a78a4287f8b9a7b698dfc61/html5/thumbnails/35.jpg)
4. Elemente de teoria grafurilor si analiza drumului critic
35
Analiza drumului critic. Alocarea resurselor
START
Se determinăEt şi Ct
Ct=φşiEt= φ
Se determină Pt, σ şi Aσ
NU
DA
STOP Aσ = φ?NU
Se determină implicaţiileasupra duratei proiectului
t = σ
DA