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Elementare Geometrie Vorlesung 9
Markus Rost
6.5.2019
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Rechtwinkliges Dreieck I
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Rechtwinkliges Dreieck II
Notationen (Winkel in A: ∠CAB =∠BAC =∢CAB):
α =∠CABβ =∠ABCγ =∠BCA = 90○
Wegen der Winkelsumme im Dreieck gilt
α + β = 90○
Die dem rechten Winkel gegenuberliegende Seite heißtHypotenuse. Die anderen beiden Seiten heißen Katheten.
a = BC (Gegenkathete zu α)
b = AC (Ankathete zu α)
c = AB (Hypotenuse)
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Rechtwinkliges Dreieck III
Satz
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Umkreismittelpunkt derMittelpunkt der Hypotenuse:
∠BCA = 90○ Ô⇒ U = C ′
Beweis.
Wir betrachten die Mittelsenkrechte ma und den Schnittpunkt Mvon ma mit der Hypotenuse.
Dann giltma ∥ AC
Nach dem 1. Strahlensatz ist M der Mittelpunkt von AB.
Der Schnittpunkt U der Mittelsenkrechten mc der Hypotenuse mitma ist also M .
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Rechtwinkliges Dreieck IV
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Rechtwinkliges Dreieck V
Es sei M der Mittelpunkt einer Strecke AB und K der Kreis mitRadius
∣AM ∣ = ∣BM ∣ = ∣AB∣2
K ist also der Kreis mit Durchmesser AB.
K wird auch “Thaleskreis” von AB genannt.
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Rechtwinkliges Dreieck VI
Der Umkreis im rechtwinkligen Dreieck ist also der Thaleskreis derHypotenuse.
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Satz des Thales I
Satz (Satz des Thales)
Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte Winkel.
Oder: Im Kreis mit Durchmesser AB (dem Thaleskreis von AB)sind alle Winkel 90○.
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Satz des Thales II
Beweis des Satz des Thales:
Es sei K der Halbkreis mit Durchmesser AB und Mittelpunkt M .
Nun sei P ein beliebiger Punkt auf K.
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Satz des Thales III
Wir betrachten die Winkel in P
α =∠MPA
β =∠MPB
γ = α + β =∠APB
und in A bzw. B
α′ =∠MAP
β′ =∠MBP
Zu zeigen istγ = 90○
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Satz des Thales IV
Wegen
∣MA∣ = ∣MP ∣ = ∣MB∣ (= Radius von K)
liegen zwei gleichschenklige Dreiecke vor. Deren Basiswinkel sindgleich:
α = α′β = β′
Wegen der Winkelsumme im Dreieck gilt
α′ + γ + β′ = 180○
Zusammen mitα′ + β′ = α + β = γ
folgt2γ = 180○
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Satz des Thales V
Satz (Umkehrung Satz des Thales)
Errichtet man uber einer Strecke AB ein rechtwinkliges Dreieckmit Ecke P , so liegt der neue Punkt P auf dem Kreis mitDurchmesser AB.
Beweis.
Dies ist eine Umformulierung des ersten Satzes: Der Mittelpunktdes Umkreises von ABP ist der Mittelpunkt der Strecke AB.
Satz von Thales (beide Richtungen):
Ist M der Mittelpunkt von AB, so gilt fur jeden Punkt P(irgendwo in der Ebene, P ≠ A,B):
∠APB = 90○ ⇐⇒ ∣MP ∣ = ∣MA∣
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Der Feuerbachkreis A-I
Notationen:
ABC ein Dreieck.
H Schnittpunkt der Hohen in ABC.
A′B′C ′ das Mittendreieck.
A′′, B′′, C ′′: die Mittelpunkte der sogennanten “oberenHohenabschnitte” AH, BH, CH.
Erinnerung:
Wir wollen zeigen, daß diese 9 Punkte auf einem Kreis liegen (demFeuerbachkreis).
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Der Feuerbachkreis A-II
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Der Feuerbachkreis A-IIa
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Der Feuerbachkreis A-III
Parallelitat im Mittendreieck von ABC bzw. ABH zeigt:
A′B′ ∥ AB ∥ A′′B′′
Parallelitat im Mittendreieck von ACH bzw. BCH zeigt:
A′′B′ ∥HC ∥ B′′A′
Also ist B′A′B′′A′′ ein Rechteck.
Aus dem gleichen Grund ist C ′′B′′C ′B′ ein Rechteck.
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Der Feuerbachkreis A-IV
Die beiden Rechtecke haben die gemeinsame Diagonale B′B′′.
Der Thaleskreis F zu B′B′′ enthalt also alle 6 Punkte
A′,B′,C ′,A′′,B′′,C ′′
der beiden Rechtecke.
Der Kreis F ist insbesondere der Feuerbachkreis (Umkreis desMittendreiecks A′B′C ′).
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Der Feuerbachkreis A-V
In einem Rechteck haben die beiden Diagonalen den gleichenThaleskreis.
Daher ist F auch Thaleskreis von allen 3 Diagonalen
A′A′′,B′B′′,C ′C ′′
der beiden Rechtecke.
Insbesondere ist F der Thaleskreis von C ′C ′′. Wegen
∠C ′FCC′′ = 90○
liegt FC auf F (Umkehrung des Satzes von Thales).
Aus dem gleichen Grund liegen auch FA und FB auf F .
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Der Feuerbachkreis A-VI
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Der Feuerbachkreis A-VII
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Der Feuerbachkreis A-VIa
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Der Feuerbachkreis A-VIIa