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UNIVERSITÄT SIEGEN
Theorieund Praxisfür Karrierenvon morgen
FACHBEREICH 12ELEKTROTECHNIKUND INFORMATIK
Elektrotechnik für MaschinenbauerTeil 1: Grundlagen
Vorlesungsskript
Stand: 1.03
Institut für Leistungselektronik und Elektrische AntriebeProf. Dr.-Ing. G. Schröder
Elektrotechnik für Maschinenbauer
Inhaltsverzeichnis
Elektrotechnik für Maschinenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Ladung, Elementarladung, Strom, Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Potential, Spannung, Feldstärke, Kraft auf Ladungsträger . . . . . . . . . 82.3 Ohmsches Gesetz, elektrischer Widerstand, Leitwert, Temperaturkoef-
fizient des Widerstandes, Supraleitung, elektrischer Stromkreis,Quellenspannung, Spannungsabfall, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Elektrostatisches Feld, Verschiebungsfluss, Verschiebungsflussdichte,elektrische Feldkonstante, Dielektrizitätskonstante, Dielektrikum,Kondensatoren, Kapazität, gespeicherte Energie, CoulombschesGesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1 Pole, quellenfreies Feld, Rechte-Hand-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Magnetischer Fluss und Flussdichte (Induktion) . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Durchflutung und magnetische Feldstärke, Durchflutungsgesetz . . . 293.4 Magnetische Spannung, magnetischer Widerstand, Permeabilität,
magn. Feldkonstante, Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Lorentzkraft, Induktionsgesetz, Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Selbstinduktion, Gegeninduktion, Induktivität, Transformator, Wirbel-
ströme, Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7 Energien und Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.8 Passive Bauelemente, die sich aus den bisherigen Betrachtungen
ergeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Berechnung von Stromkreisen bei Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1 Kirchhoff´sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Grundstromkreis, Kurzschluß, Leerlauf, Anpassung, Energie und
Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3 Nichtlineare Widerstände, graphische Arbeitspunktermittlung . . . . . 604.4 Widerstandsnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Vermaschte Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Berechnung von Stromkreisen bei Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.1 Erzeugung von Wechselspannung mit einer elektrischen Maschine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Zeitlicher Mittelwert, Effektivwert, Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Spannung und Strom an Kapazität und Induktivität . . . . . . . . . . . . . 805.4 Reihenschaltungen bei Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 Zeigerdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6 Parallelschaltungen bei Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.7 Komplexe Zeiger in der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . 925.8 Die komplexe Darstellung von Widerständen und Leitwerten bei
Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.9 Wirk-, Blind und Scheinleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.10 Ortskurven der Impedanz und der Admittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.11 Reihen- und Parallelschwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.12 Der Frequenzgang passiver Netzwerke, Bode-Diagramm . . . . . . . . 1055.13 Blindleistungs-Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.1 Das verkettete Drehstromsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2 Die Leistung im Drehstromsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3 Stern-/Dreieck-Umschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7 Elektrodynamische Ausgleichsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.1 Ein- und Ausschaltvorgänge mit idealen Bauteilen . . . . . . . . . . . . . 1217.2 Reale Schaltvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Einleitung
Die Elektrotechnik ist ein Teilgebiet der angewandten Physik. Sie behandelt die Wechsel-wirkungen zwischen ruhenden und bewegten Ladungen. Sie hat sich die Aufgabe gestellt,diese Wechselwirkungen zu beobachten, zu analysieren und die herrschenden Gesetzmäßig-keiten zu beschreiben. Diese Beschreibung geschieht mit Hilfe der Mathematik, d.h. in derRegel durch Formeln. Dadurch wird das Wissen auf diesem Gebiet allgemein verfügbar undanwendbar.
Physikalische Größen, Einheiten und Gleichungen:
Die in der Elektrotechnik verwendeten Basisgrößen sind
Länge, Zeit, Masse und Stromstärke.
Alle anderen Größen werden aus diesen Basisgrößen abgeleitet.
Zu jeder Basisgröße gehört eine Basiseinheit. Dies sind in unserem Falle
m (Meter), s (Sekunde), kg (Kilogramm) und A (Ampère).
Dieses System von Basiseinheiten wird häufig auch als MKSA-System bezeichnet. Aus denBasiseinheiten lassen sich weitere Einheiten ableiten. Dabei achten wir darauf, dass dasEinheitensystem kohärent bleibt. Das heißt, dass abgeleitete Einheiten nur durch Produkt-bildung aus Basiseinheiten entstehen, ohne dass von 1 verschiedene Zahlenwerte alsFaktoren vorkommen.
Definitionen:
1. Meter Seit 1960 ist das Meter als das 1.650.763, 73 - fache der Wellenlängeder von Atomen des Nuklids 86Kr beim Übergang vom Zustand 5d5
zum Zustand 2p10 ausgesandten, sich im Vakuum ausbreitendenStrahlung, definiert.
2. Kilogramm Ein Kilogramm ist die Masse eines Liters Wasser bei 4° C. (Urkilo-gramm in Sivres).
3. Sekunde Eine Sekunde ist das 9.192.673.770 - fache der Periodendauer derStrahlung, die beim Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstruktur-niveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsteht.
24. Ampère Ein Ampère ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen Stromes, der
durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von einem Meter an-geordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarkleinem Querschnitt fließend, pro Meter Leiterlänge eine elektrodyna-misch verursachte Kraft von 2!10-7 N = 2!10-7 kgm/s2 erzeugt.
Vorsatzzeichen:
Benennung Kurzzeichen Faktor
Dezi d 10-1
Zenti c 10-2
Milli m 10-3
Teile Mikro µ 10-6
Nano n 10-9
Piko p 10-12
Femto f 10-15
Atto a 1018
Deka d 101
Hekto h 102
Vielfache Kilo k 103
Mega M 106
Giga G 109
Tera T 1012
3
Q e AsE = = − ⋅ −1 602 10 19,
Einige abgeleitete Größen:
Größe Formelzeichen Bezeichnungder Einheit
Kurzzeichen Zusammenhang mitGrundeinheit
Kraft F Newton N 1N = 1 kgm/s2
Arbeit, Energie W Joule J 1J = 1 kgm2/s2 = 1Nm = 1Ws
Leistung P Watt W 1W = 1 kgm2/s3
Ladung Q Coulomb C 1C = 1 As
Spannung U Volt V 1V = 1 kgm2/As3
Widerstand R Ohm Ω 1Ω = 1 kgm2/A2s3
Leitwert G Siemens S 1S = 1 A2s3/kgm2
Groß- und Kleinschreibung der Formelzeichen:
Es gilt die Vereinbarung, dass zeitlich konstante elektrische Größen in der Regel mit großenFormelzeichen dargestellt werden; zeitlich veränderliche Größen erhalten kleine Formelzei-chen.
2 Elektrisches Feld
2.1 Ladung, Elementarladung, Strom, Stromdichte
Wenn sich Ladungsträger bewegen, sprechen wir von einem elektrischen Strom. Dabeikann es sich um die Bewegung von positiv oder negativ geladenen Teilchen (Ionen oderElektronen) oder beides handeln. Die bewegten Ladungen sind immer ein Vielfaches derElementarladung. Das Elektron ist negativ geladen und trägt eine solche Elementarladung
Die Einheit der Ladung ist As oder auch Coulomb.
Ionen können ein Mehrfaches der Elementarladung tragen und positiv oder negativ geladensein.
Der Strom in einem Leiter von einem Punkt 1 zu einem Punkt 2 wird positiv gerechnet,wenn positive Ladungsträger sich von 1 nach 2 oder negative Ladungsträger sich von 2nach 1 bewegen.
4
1 2+
-
I
-
I
--
q idtT
= ∫0
iqt
dqdtt
= =→
lim∆
∆∆0
Bild 2.1: Bewegung von Ladungsträgern
Diese Definition legt die sogenannte technische Stromrichtung fest. Wenn sich nurElektronen bewegen, wie es häufig der Fall ist, bewegen sie sich entgegen der technischenStromrichtung.
Zur Beschreibung der Bewegungsrichtung, der Geschwindigkeit und der antreibenden Kräftedefiniert man ein elektrisches Feld. Wenn die drei genannten Größen konstant sind, heißtdas Feld stationäres elektrisches Feld.
Spannt man innerhalb des elektrischen Feldes eine beliebige Fläche auf und ist man in derLage, die Anzahl der Ladungen Δq = n"e zu bestimmen, die diese Fläche innerhalb einesbestimmten Zeitintervalls Δt durchdringen, so hat man ein Maß für die Stärke der Strömunginnerhalb dieser Fläche, die Stromstärke
Bild 2.2: Technische Stromrichtung und Bewegungsrichtung der Elektronen
Kennt man die Stromstärke i(t) und möchte die innerhalb einer gewissen Zeit T transportierteLadungsmenge ermitteln, stellt man die Gleichung um und erhält
Da die Ladung q in As gemessen wird, ist die Einheit der Stromstärke das Ampère (A).
5
q / As
i / A
t / s
t / s
t1
t1
a)
b)
iddt
d q qdt
ddt
n e A xq p n= =−
= − ⋅ ⋅ ⋅( )
( )
n mm= ⋅8 43 1019 3, /
Bild 2.3: Ladungstransport bei wechselnder Stromrichtung
Die Materialeigenschaften der durchdrungenen Stoffe sind sehr unterschiedlich. Es gibt guteelektrische Leiter, weniger gute Leiter und Isolatoren, die praktisch gar nicht leiten.
Wenn man zwischen der Ladungsquelle und der Ladungssenke einen Draht aus Kupfer (guterelektrischer Leiter) mit konstantem Querschnitt anbringt und darum herum einen schlechtenLeiter (z.B. Luft), dann kann man davon ausgehen, dass über der gesamten Länge des Leitersan jeder Stelle der gleiche Strom gemessen wird und dass dieser Strom der Gesamtstromzwischen Quelle und Senke ist. Es werden keine Ladungsträger seitlich von Außen in denLeiter eintreten oder austreten.
Beispiel: Die Anzahl der beweglichen Elektronen in Kupfer ist
Die ionisierten Atomrümpfe des Kupfers können sich nicht bewegen, da sie fest in dasMetallgitter eingebunden sind.
Der gesamte in dem Leiter fließende Strom i ist dann
wobei A die Querschnittfläche des Leiters ist und x der Weg, den die Elektronenwolkezurückgelegt hat.
6
ν ~IA
i n e Adxdt
n e A
in e A
e
e
= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅
=− ⋅ ⋅
ν
ν
Aus dieser Gleichung können wir die Bewegungsgeschwindigkeit der einzelnen Elektronenbekommen:
Wir nehmen nun an, dass es sich um eine gleichförmige Strömung mit konstanter Strom-stärke I = 1 A handelt. Dieser Strom heißt übrigens Gleichstrom, weil er immer in diegleiche Richtung fließt. Der Querschnitt des Leiters sei A =1 mm2. Dann ist die Bewegungs-geschwindigkeit:
ν e
A mmAs mm
mms
=⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=−
18 43 10 1 602 10 1
0 0743
19 19 2, ,,
Diese Geschwindigkeit erscheint zunächst sehr klein. Es ist jedoch nicht diese Geschwindig-keit von Interesse sondern eher die Tatsache, dass wie bei einer Strömung einer Flüssigkeitdurch ein Rohr konstanten Querschnitts die Bewegungsgeschwindigkeit an jeder Stelle desLeiters zu jeder Zeit gleich groß ist.
In unterschiedlichen Anwendungen können die typischen Stromstärken sehr unterschiedlichsein:
Ströme in Elektronikschaltungen: 1µA bis 100 mAGlühlampe 230V / 100 W: 0,43 AHeizlüfter 230V / 2000 W: 8,7 AAnlasser im Auto: 100AAluminium-Schmelzofen: 10000A
Wenn man einem bestimmten elektrischen Strom I hintereinander angeordnete Leiter-abschnitte mit unterschiedlichen Querschnitten anbietet, dann ist dieBewegungsgeschwindigkeit der Elektronen (wie bei Flüssigkeiten in Rohrabschnitten mitunterschiedlichen Querschnitten) in den einzelnen Abschnitten unterschiedlich groß. Esbesteht offensichtlich der Zusammenhang
7
I
-
--
A1
A2
-
--
A1
v2
v1S1 S2v1
Stromröhremit Strom ∆Ι α
∆A
S
SIA
=
Bild 2.4: Geschwindigkeit der Elektronen bei wechselndem Leiterquerschnitt
Die Bewegungsgeschwindigkeit hat direkt zu tun mit den Verlusten, die beim Ladungstrans-port entstehen. Daher ist der Quotient I/A in der Elektrotechnik eine wichtige Größe. DieseGröße wird Stromdichte genannt und erhält das Formelzeichen S. Die in der Techniküblicherweise verwendete Einheit ist A/mm2. Für konstanten Strom in einem Leiter einesbestimmten Querschnittes A erhalten wir
Wenn die Stromdichte S in einem Leiter zu große Werte annimmt, werden die Atomrümpfezu solch großen Schwingungen angeregt, dass das Metallgitter zerstört wird. Der Leiterbrennt durch. Übliche Stromdichten in Kupfer liegen im Bereich 3...20 A/mm2.
Der Fall des Leiters konstanten Querschnitts zwischen Ladungsquelle und Ladungssenke istein Spezialfall. Wenn Quelle und Senke gemeinsam von leitendem Material umgeben sind, werden die Bewegungsgeschwindigkeit und die Bewegungsrichtung der Ladungsträger starkvom betrachteten Ort abhängen. Also bietet es sich an, einen Geschwindigkeitsvektor bzw.
einen Vektor der Stromdichte einzuführen. Dazu führen wir einen Flächenvektor ein. !S
!A
Sein Betrag ist gleich der Fläche selbst. Seine Richtung ist die Flächennormale.
Bild 2.5: Flächenelement im Strömungsfeld
8
+
+
s d
Q
Q
EF
F
ϕ3
ϕ2
ϕ1
ϕ0
∆ϕ = U21
I S dAA
= ⋅∫! !
∆∆
ϕ ϕ ϕ= − =2 1
WQ
Dadurch gewinnen wir die Freiheit, die Fläche beliebig in den Raum legen zu können. DieFlächennormale muß nun nicht mehr in Richtung der Leiter-Achse weisen. Wenn wirallerdings den Gesamtstrom I im Leiter erfassen wollen, muß die Fläche den Leiter voll-ständig umfassen. Tut sie dies nicht, dann ist nur der Teilstrom erfasst, der die Flächedurchdringt. Es gilt:
2.2 Potential, Spannung, Feldstärke, Kraft auf Ladungsträger
Wir sind bisher davon ausgegangen, dass ein Strom fließt, ohne nach der Ursache für denStromfluss zu fragen. Tatsächlich ist es so, dass es für den Stromfluss eine treibende Kraftgeben muß. Diese Kraft wirkt auf die Ladungsträger und es wird eine Arbeit verrichtet, wennsich die Ladungsträger unter Krafteinwirkung bewegen. Die Arbeit, die verrichtet werdenmuß, um eine Ladung vom Punkt 1 zum Punkt 2 zu bewegen, ist proportional der Ladung Q.Der Proportionalitätsfaktor zwischen beiden wird Potentialdifferenz genannt.
Bild 2.6: Äquipotentialflächen und Feldstärkevektor im homogenen Feld
Wird eine Ladung Q in einem elektrischen Feld vom Punkt 1 zum Punkt 2 bewegt, durchläuftsie eine Potentialdifferenz Δ!. Für die aufgenommene oder abgegebene Energie ist nur diePotentialdifferenz maßgebend, nicht der absolute Wert der beiden einzelnen Potentiale.Somit ist die Wahl des Bezugspunktes für das Potential frei. Dieser Zusammenhang istvergleichbar mit einer Masse m, deren potentielle Energie verändert wird, indem sie imGravitationsfeld der Erde von einer Höhe h1 auf eine Höhe h2 gebracht wird. Für die auf-zubringende Arbeit ist nur Δh interessant und nicht die absolute Höhe.
9
[ ]ϕ = = = =Joule
CWsAs
VAsAs
V
∆∆
ϕ = =⋅
= = ⋅WQ
F dQ
FQ
d E d
!!F
QE=
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ3 1 3 2 2 1 32 21 31− = − + − = + =( ) ( ) U U U
U EdsWQ12
1
2
= =∫! ! ∆
Wird eine Masse m auf gleicher Höhe (waagerecht) reibungsfrei verschoben, ist keine Arbeitnotwendig. Im elektrischen Feld gibt es analog zu den Höhenlinien Linien bzw. Flächengleichen Potentials. Diese werden Äquipotentiallinien bzw. Äquipotentialflächen genannt.Zur Lageänderung einer Ladung auf einer Äquipotentialfläche ist ebenfalls keine Arbeitnotwendig.
Die Einheit des Potentials ist das Volt.
Die Richtung der Kraft steht immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen. Wenn wir voneinem homogenen Feld ausgehen, in dem an jedem Ort die Kraft auf die Ladungsträger gleichgroß ist und in die gleiche Richtung weist, dann sind die Äquipotentialflächen ebene Flächen.Betrachten wir nun zwei Äquipotentialflächen im Abstand d. Die Potentialdifferenz zwischenbeiden ist
Die Größe E wird Elektrische Feldstärke genannt. Der Zusammenhang zwischen der Kraftauf die Ladungsträger F und der elektrischen Feldstärke E kann allgemein ausgedrücktwerden:
Die elektrische Feldstärke ist ein Vektor. Dieser Vektor zeigt in die Richtung der Kraft, dieauf eine positive Ladung ausgeübt wird. Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist V/m.
Wird eine elektrische Ladung von einer Äquipotentialfläche mit dem Potential !1 auf eineÄquipotentialfläche mit dem Potential !2 verschoben und anschließend weiter auf eine dritteFläche mit dem Potential !3, dann gilt
Die Differenz zwischen zwei Potentialen wird Elektrische Spannung genannt. Das Formel-zeichen ist U und die Einheit ist die des Potentials, also Volt.
Wird eine Ladung im elektrischen Feld bewegt, so verändert sich ihr Energieniveau. Die
größte Änderung der Energie erfährt sie dann, wenn sie sich in Richtung von bewegt.!E
Wählt man einen beliebigen Weg, so gilt für den Weg vom Punkt 1 nach Punkt 2:
10
E
ϕ1
ϕ2
U12
+
1
2
ds
+
+
+ ϕ3
ϕ2
ϕ1
E
E
E
! !E ds⋅ =∫ 0
!E grad= − ϕ
Bild 2.7: Freie Bewegung eines Ladungsträgers im elektrischen Feld
Wenn der gewählte Weg in sich geschlossen ist, verschwindet das Integral. Das ist auch leichteinzusehen, da man sich am Ende des Integrationsweges wieder auf der gleichen Äquipotenti-alfläche befindet wie zu Beginn.
Die Kraft auf die Ladungsträger wirkt immer in Richtung des größten Potentialgefälles, somitkann man schreiben
Bild 2.8: Richtung des Feldstärkevektors im inhomogenen Feld
11
+
+
+ ϕ3
ϕ2
ϕ1
v
v
v
κ>0
ρCu
mmm
= 0 0172
,Ω
Es
= −∆∆ϕ
! ! !S E E= =κ
ρ1
ρFe
mmm
= 0 12
,Ω
Wenn in einem homogenen Feld der Weg in Richtung der Kraft (senkrecht zu den Äquipoten-tialflächen) gewählt wird, wird daraus in skalarer Schreibweise
Das Fließen eines Stromes ist nicht Voraussetzung dafür, dass eine elektrischen Feldstärkeexistiert. Auch in einem Isolator kann eine elektrische Feldstärke vorhanden sein. Wennjedoch das Medium, in dem die Feldstärke vorherrscht, leitfähig ist, dann stellt sich eineStromdichte ein, die gleich der Feldstärke multipliziert mit einer Materialkonstante ist:
Bild 2.9: Bewegungsrichtung der Ladungsträger im inhomogenen elektrischen Feld
Die Materialkonstante κ wird spezifische elektrische Leitfähigkeit genannt. Der Kehrwert ρheißt demzufolge spezifischer elektrischer Widerstand. Die Einheit des spezifischen
Widerstandes ist . Die mm2 werden hier bewusst nicht gegen das m gekürzt !Ω⋅mmm
2
Der spezifische elektrische Widerstand des Kupfers ist
Der des Eisens ist dagegen höher:
12
---
--
-
-
EF
SA
l
Spannung über Länge l : UStrom durch Fläche : I
1 2
ρAl
mmm
= 0 032
,Ω
S IA
El
= = = −1 1 1 2ρ ρ
ϕ ϕ
U lA
I R I R lA12 1 2= − = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ϕ ϕ ρ ρ;
Silber leitet noch etwas besser als Kupfer, Gold dagegen etwas schlechter. Beide Metalle sindallerdings für die Anwendung in großen Mengen zu teuer. Das Aluminium hat einen spezi-fischen Widerstand von
Wegen seiner Zugfestigkeit wird es häufig bei Hochspannungs-Freileitungen verwendet.
Man erkennt aus den genannten Zahlen, warum das Kupfer in der Elektrotechnik eine sogroße Rolle spielt.
2.3 Ohmsches Gesetz, elektrischer Widerstand, Leitwert, Temperaturkoeffizient desWiderstandes, Supraleitung, elektrischer Stromkreis, Quellenspannung, Span-nungsabfall, Leistung
Wir betrachten wieder einen langgestreckten Leiter konstanten Querschnitts, an dessen Endenunterschiedliche Potentiale !1 und !2 vorherrschen. In diesem Leiter findet durch den Einflußdes elektrischen Feldes eine Ladungsträgerbewegung statt. Es gilt
Bild 2.10: Stromröhre
Nach der Potentialdifferenz aufgelöst ergibt das
Die Größe R fasst den spezifischen elektrischen Widerstand und die Geometrie des Leiterszusammen. Sie wird Elektrischer Widerstand genannt. R ist der Proportionalitätsfaktorzwischen der an einem Leiter anliegenden Spannung und dem sich daraufhin einstellendenStrom. Damit kommen wir zum Ohmschen Gesetz:
13
R a
b
c
R = f (ϑ)
ϑ
α > 0 (positiv), Kaltleiter, PTC
α = 0
α < 0 (negativ), Heißleiter, NTC
α = Temperaturkoeffizient
R R= ⋅ +20 1( )α ϑ∆
R UI
=
GR
IU
= =1
Die Einheit des elektrischen Widerstandes ist 1 Ω (Ohm). Manchmal wird auch der Kehrwertdes elektrischen Widerstandes verwendet. Er wird als elektrischer Leitwert bezeichnet.
Seine Einheit ist 1S ( Siemens) = 1A /1V = 1/Ω.
Der Begriff Ohmscher Widerstand kennzeichnet eine bestimmte Gruppe von Leitern mitlinearer Charakteristik. Wenn ein Widerstand als Ohmscher Widerstand bezeichnet wird,heißt das, dass der Widerstand unabhängig von Strom und Spannung ist (Voraussetzung istdabei eine konstante Temperatur). Betrachtet man den ohmschen Widerstand von Leitern ausverschiedenen Materialien als Funktion der Temperatur, so stellt man fest, dass in denmeisten Fällen eine Abhängigkeit besteht. Sowohl eine Erhöhung als auch eine Verringerung
des Widerstandes mit steigender Temperatur ist möglich. Wenn stark positiv ist, sprichtdRdϑ
man von einem Kaltleiter, ist es negativ, handelt es sich um einen Heißleiter.
Bild 2.11: Unterschiedliche Temperaturabhängigkeiten des elektrischen Widerstandes
Das Temperaturverhalten wird beschrieben mit Hilfe des Temperaturkoeffizienten α. DieserKoeffizient wird angegeben für 20° C.
mit Δ" = " - 20° C.
14
R
ϑ / °C20
∆ϑ
∆R = R20 ∗ α ∗ ∆ϑ
p dwdt
u i uR
i R= = ⋅ = = ⋅2
2
u dwdq
= =∆ϕ
Einige wenige Legierungen weisen ein α von nahezu 0/K auf. Das Konstantan z.B. hat daherseinen Namen.
Kupfer: α = 3,92"10-3/KAluminium: α = 4,0"10-3/K
Bild 2.12: Temperaturverhalten des ohmschen Widerstandes
Wenn man Leiter unter eine bestimmte Temperatur abkühlt, die in der Regel nahe demabsoluten Nullpunkt liegt, verlieren sie vollkommen ihren Widerstand. Diese Temperatur, diematerialabhängig ist, wird Sprungtemperatur genannt. Unterhalb der Sprungtemperaturbefindet sich ein Stoff im Zustand der Supraleitung. In diesem Zustand ist kein elektrischesFeld mehr notwendig, um einen Stromfluss aufrecht zu erhalten.
In der letzten Zeit werden immer mehr supraleitende Stoffe bekannt, die eine relativ hoheSprungtemperatur aufweisen (Größenordnung -100 °C). Je höher die Sprungtemperatur, destogeringer der Kühlaufwand, um Supraleitung herzustellen.
Wenn ein bestimmter Strom I durch einen Leiter mit dem Widerstand R fließen soll, ist dazudie Spannung U = I"R notwendig. Die Spannung U ist ein Maß für die Energie, die einebestimmte Ladungsmenge aufnimmt oder abgibt, wenn sie eine Potentialdifferenz durch-wandert.
Mit erhalten wiridqdt
=
15
W
1
2
3
4I0 = const.
I = 2I0
I = I0
t
W0
W u i dt R i dtt
t
t
t
= ⋅ ⋅ =∫ ∫1
2
1
2
2
Die an einem ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzte elektrische Leistung ist dasProdukt aus Spannung und Strom.
Die in einem ohmschen Widerstand in einem bestimmten Zeitintervall umgesetzte Energie ist
Bild 2.13: Energieumwandlung am ohmschen Widerstand
In einem ohmschen Widerstand verlieren die Ladungen Energie. Diese Energie wird in Formvon Wärme frei. Es muß nun andere Mechanismen geben, um den Ladungsträgern zunächsteinmal die notwendige Energie zu verleihen.
Dies kann z.B. auf chemischem Wege erfolgen. Im “galvanischen Element” wird denLadungen ein hohes Energieniveau verliehen, indem die positiven und negativen Ladungs-träger räumlich voneinander getrennt werden. Dies ist messbar in Form einer elektrischenSpannung zwischen den beiden Klemmen (Plus-Pol und Minus-Pol). Verbindet man die Polemit einem ohmschen Widerstand, kommt ein Stromfluss zustande. Die Batterie gibt dannelektrische Leistung ab und der Widerstand nimmt sie auf. Der Vorgang kann nicht ewigdauern, denn die in der Batterie gespeicherte chemische Energie ist begrenzt. Ist sieaufgebraucht, wird die Spannung zu null und damit auch die Leistungsabgabe. Die Batterie istleer.
16
+Fq
- Fq
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+ ++
+ +
+ +++
-
-
-
--
--
- -- -
Bild 2.14: Trennung der Ladungsträger in einem galvanischen Element
Es gibt Quellen elektrischer Energie, die in der Lage sind, durch Aufnahme elektrischerEnergie einen Vorrat an chemischer Energie zu bilden. Dazu gehören z. B. die Blei-Akkumu-latoren in den Autos. Sie werden zyklisch entladen und geladen.
Darüber hinaus gibt es Quellen elektrischer Energie, die keine Speicherfähigkeit aufweisen.Dazu gehören die Generatoren in den Kraftwerken und die Solarzellen. Sie liefern nur solange elektrische Energie, wie sie von außen mechanische bzw. Strahlungsenergie auf-nehmen. Wird die aufgenommene Leistung zu Null, wird auch sofort die gelieferte elektrischeLeistung zu Null.
Quellen elektrischer Energie treten in der Regel entweder als Spannungsquellen oder alsStromquellen auf. Damit ist im Falle der Spannungsquelle gemeint, dass sich aufgrund derinternen Prozesse an den Klemmen eine Spannung bildet. Durch Anschluss eines Verbrau-chers an die Klemmen kommt dann ein Stromfluss (und damit ein Energiefluss) zustande,wobei die Höhe des Stromes vom ohmschen Widerstand des Verbrauchers abhängt. Im Falleder Stromquelle fließt ständig ein bestimmter Strom und die sich einstellende Spannung hängtvom Verbraucher ab. Spannungsquellen sind wesentlich häufiger anzutreffen als Stromquel-len. Daher werden wir uns auch zunächst nur mit den Spannungsquellen befassen.
Die Art und Weise, wie die Spannung in der Spannungsquelle erzeugt wird, sei zunächst ohneBelang. Wir gehen aber erst einmal davon aus, dass die Spannung ständig die gleichePolarität hat, dass es sich also um eine Gleichspannung handelt.
17
+-
I
Uq UR
R1 R2 R3 R4 Rn....
Gleichspannungsquelle und ohmscher Widerstand werden mit Hilfe von Schaltungssymbolendargestellt. Zur Kennzeichnung der Klemme der Quelle, die gegenüber der anderen Klemmedas höhere Potential besitzt, wird diese Klemme durch einen längeren Strich dargestellt. Beimohmschen Widerstand verändert sich durch Vertauschen der Klemmen nichts. Daher ist auchdas Schaltungssymbol symmetrisch.
Bild 2.15: Stromkreis
Die Quelle liefert die Quellenspannung Uq. Sie ist durch sehr gut leitende Verbindungen(großer Querschnitt, kurze Länge, kleiner spezifischer Widerstand) , die durch einfacheStriche dargestellt werden, mit dem Verbraucher, dem Widerstand R verbunden. R bestimmtden nun fließenden Strom I. Die gesamte Quellenspannung ist auch direkt an den An-schlüssen des Widerstandes zu messen, wird hier jedoch als Spannungsabfall bezeichnet.
Der Strom I fließt vom Pluspol der Quelle über den Widerstand zum Minuspol und in derQuelle vom Minus- zum Pluspol. Es handelt sich also um einen geschlossenen Stromkreis.Die gerade definierte Stromrichtung ist die technische Stromrichtung. Wie wir wissen bestehtder Strom in metallischen Leitern aus bewegten Elektronen. Diese wandern als Trägernegativer Ladung genau entgegen der dargestellten Stromrichtung. Der Spannungsabfall amWiderstand wird mit einem Pfeil gekennzeichnet, der in Richtung des Stromflusses weist. Dader Spannungsabfall am Widerstand und die Quellenspannung identisch sind, weist auch derPfeil, der die Quellenspannung darstellt, vom Plus- zum Minuspol.
Schaltet man mehrere Widerstände in Reihe, also hintereinander, so gilt für jeden einzelnendas ohmsche Gesetz. Der elektrische Strom I durchfließt alle Widerstände.
Bild 2.16: Reihenschaltung ohmscher Widerstände
An jedem einzelnen Widerstand ist entsprechend seinem Widerstand ein Spannungsabfall zumessen. Die Summe aller Spannungsabfälle ist gleich der außen angelegten Spannung.
18
R1 R2 R3 R4 Rn
U R I R I R I
IU
RI I I
UR
UR
UR
R R R R
n n
gesges
nn
ges n
= ⋅ = ⋅ = = ⋅
= = + + + = + + +
= + + +
1 1 2 2
1 21 2
1 2
1 1 1 1
.......
..... .....
......
I R I R I R U U U UI R U
R R R R
n n q
ges q
ges n
⋅ + ⋅ + + ⋅ = + + + =⋅ =
= + + +
1 2 1 2
1 2
....... .....
.....
Der von der Spannungsquelle aus gesehene Gesamtwiderstand der Last ist gleich der Summeder Einzelwiderstände.
Bei der Parallelschaltung liegen alle Widerstände an der gleichen Spannung. Es mußwiederum für jeden Einzelwiderstand das ohmsche Gesetz gelten.
Bild 2.17: Parallelschaltung ohmscher Widerstände
Damit ergeben sich unterschiedliche Ströme in den einzelnen Widerständen, die in Summeden Gesamtstrom ergeben.
Der Gesamtwiderstand der Anordnung ist kleiner als der kleinste der Einzelwiderstände.
19
+- Uq
+ + + + + + + +
- - - - - - - -
E ϕ = const.
DA
QA
= =Ψ
2.4 Elektrostatisches Feld, Verschiebungsfluss, Verschiebungsflussdichte, elektrischeFeldkonstante, Dielektrizitätskonstante, Dielektrikum, Kondensatoren, Kapazi-tät, gespeicherte Energie, Coulombsches Gesetz
Zunächst einmal betrachten wir wieder wie zu Beginn ein homogenes elektrisches Feld. Es wirderzeugt, indem man zwei parallele leitende Platten mit einer Spannungsquelle verbindet. Wenndie Abmessungen der Platten ausreichend groß gegenüber deren Abstand sind, kann man davonausgehen, dass sich mitten zwischen den Platten ein homogenes Feld ausbildet. Diese Annahmetrifft an den Rändern nicht zu. Daher werden diese zunächst einmal nicht betrachten.
Bild 2.18: Plattenkondensator
Schon in Kap. 2.1 haben wir festgestellt, dass zur Entstehung einer elektrischen Feldstärke E dasFließen eines Stromes keine Voraussetzung ist. Wir sorgen nun dafür, dass im Zwischenraumzwischen den beiden Platten keine Ladungsträgerbewegung stattfindet. Wir bringen dort alsoeinen Isolator an (spezifische Leitfähigkeit κ = 0). Der Isolator wird in diesem Falle auchDielektrikum genannt. Es sammeln sich nun auf beiden Platten Ladungen an, die das Bestrebenhaben, den Isolator zu durchdringen. Das ist jedoch nicht möglich. Auf beiden Platten sammeltsich die gleiche Zahl von Ladungsträgern an, so dass das ganze Gebilde nach außen hin elektrischneutral ist. Nun stellen wir uns vor, dass sich zwischen je einer positiven Ladung auf der einenPlatte und einer negativen Ladung auf der anderen Platte eine Verbindung einstellt, einesogenannte Feldlinie. Die Gesamtheit der Feldlinien bildet den Verschiebungsfluss Ψ. Wennsich sehr viele Ladungen auf den Platten befinden, ergibt das einen großen Verschiebungsfluss.Dieser Begriff wurde in Analogie zum Fluss im magnetischen Feld gewählt. Er verwirrt etwas,da ja wegen des Isolators im stationären Zustand nichts fließt.
Die Anzahl der Ladungen pro Flächeneinheit wird Verschiebungsflussdichte D genannt.
Die Einheit der Verschiebungsflussdichte ist As/m2.
20
=
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + +
E
1
2
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
1
2
++
++
++
++-
-------
+ -
+ -
! !D E0 0= ε
Im allgemeinen Fall (inhomogenes Feld) wird die Verschiebungsflussdichte als Vektor notiert.Sie ist eine Feldgröße und auch innerhalb des Isolators definiert. Sie ist der elektrischenFeldstärke proportional. In Vakuum und näherungsweise auch in Luft gilt:
wobei ε0 als elektrische Feldkonstante oder absolute Dielektrizitätskonstante bezeichnet wird.Sie hat den Wert ε0 = 8,86"10-12 As/Vm.
Im elektrischen Feld kann man eine Erscheinung beobachten, die als Influenz bezeichnet wird.Bringt man einen ungeladenen metallischen Körper, der aus zwei trennbaren Hälften besteht, inein elektrisches Feld, so findet innerhalb dieses Körpers eine Ladungsträgertrennung statt. Dienegativen Ladungsträger auf dem Prüfkörper orientieren sich zu den positiven Ladungsträgernauf der positiv geladenen Feldplatte hin und umgekehrt. Trennt man nun die beiden Hälften undentfernt sie aus dem Feld, so sind sie positiv bzw. negativ geladen. Schafft man dann eineleitende Verbindung zwischen den beiden Hälften, so findet ein messbarer Ladungsträger-austausch statt.
Bild 2.19: Influenz
Es zeigt sich nun, dass bei einer festen Anordnung der Platten und einer festen Spannung, alsofester Feldstärke, bei unterschiedlichen Isolator-Stoffen unterschiedliche Flussdichten, alsoLadungsträgerdichten auf den Platten entstehen. Dies ist erklärbar dadurch, dass sich in denMolekülen des Isolators die Ladungen trennen und ausrichten, jedoch nicht wandern. DieserVorgang ist in unterschiedlichen Dielektrika unterschiedlich stark ausgebildet. GegenüberVakuum findet unter den genannten Bedingungen aber immer eine Erhöhung derVerschiebungsflussdichte statt, nie eine Verringerung.
Bild 2.20: Polarisation der Moleküle des Dielektrikums
21
! ! !D E Er= =ε ε ε0
U E dD
d
U E dD
d
UU
rQ
rL
rL
rQ
2 20
1 10
2
1
1 00064 2
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
= =
ε ε
ε εεε
,,
Bei gegebener Feldstärke erhöht sich D gegenüber D0. Das bedeutet, dass sich die auf den Plattenbefindliche Anzahl von Ladungsträgern erhöht. Wir führen nun eine dimensionslose Materialkon-stante ein, die diese Erhöhung beziffert: Die relative Dielektrizitätskonstante εr.
Hier wurden wie häufig üblich die absolute und die relative Dielektrizitätskonstante zurDielektrizitätskonstanten ε zusammengefasst.
Stoff εr
Glas 3,5 .... 9
Glimmer 5 ....... 8
Hartporzellan 5,5 .... 6,5
Luft 1,0006
Papier, imprägniert 2,5 ..... 4
Polyäthylen (PE) 2,3
Polyurethan (PUR) 3,1 .... 4
Quarzglas 4,2
Transformatorenöl 2,5
Tab. 2.1: Relative Dielektrizitätskonstante verschiedener Stoffe
Ein einfaches Experiment zeigt die Auswirkung unterschiedlicher Dielektrika in einer gegebenenAnordnung. Wir trennen den Plattenkondensator aus Bild 2.18 von seiner Spannungsversorgung,nachdem die Platten geladen wurden. Die Anzahl der Ladungsträger auf den Platten kann sichnun nicht verändern. Jetzt tauschen wir das Dielektrikum aus. Zum Beispiel verwenden wir stattLuft eine Quarzglasscheibe. Die Verschiebungsflussdichte kann sich nicht ändern. Also muß dieFeldstärke kleiner werden. Die Feldstärke wiederum ist über den Plattenabstand mit derSpannung zwischen den Platten verknüpft.
Durch Einschieben der Quarzglasscheibe verringert sich die Spannung zwischen den Platten umden Faktor 4,2!
22
CQU
D AU
Adr= =
⋅= ε ε0
idqdt
Cdudt
C= =
W u i dt udqdt
dt u dq u Cdu CUC C C
Q
C
U
C= ⋅ = = = =∞ ∞
∫ ∫ ∫ ∫0 0 0 0
212
Unter der Annahme, dass sich während des Versuchs die Anzahl der Ladungsträger auf denPlatten nicht verändert, ist der Vorgang reversibel. D. h. nachdem die Glasplatte wieder entferntwurde, ist wieder die ursprüngliche Spannung zwischen den Platten messbar.
Die Geometrie, d.h. die Fläche A der Platten und ihr Abstand d, und das verwendete Dielektri-kum bestimmen die Speicherfähigkeit eines Kondensators. Mit Speicherfähigkeit oder KapazitätC ist gemeint, wie viele Ladungsträger sich auf den Platten ansammeln, wenn eine bestimmteSpannung angelegt wird.
Die Einheit der Kapazität ist 1F = 1 As/V (Farad). In der Praxis wird eine Kapazität von 1 Fselten erreicht. Gebräuchlich sind daher Kondensatoren mit Kapazitäten im Bereich nF, µF odermF.
In den Zuleitungen des Kondensators muß ein Strom fließen, um Ladungsträger auf die Plattenaufzubringen oder von ihnen abzuziehen. Wenn sich die Ladung auf den Platten verändert, ändertsich auch die Spannung zwischen den Platten.
Werden die Klemmen eines geladenen Kondensators über einen ohmschen Widerstandmiteinander verbunden, so entsteht ein Ladungsausgleich zwischen den Platten, solange bis beidePlatten wieder neutral sind. Dann wird die elektrische Feldstärke E zu Null und damit auch dieSpannung U zwischen den Platten. Ladungsausgleich heißt aber nichts anderes, als dass einelektrischer Strom fließt. Dieser erwärmt den Widerstand. Die dabei in Wärme umgewandelteEnergie war vorher in dem Kondensator, genauer in dessen elektrischem Feld, gespeichert.Ebenso muß (oft nur kurzzeitig) ein Strom zwischen Spannungsquelle und Kondensator fließen,um diesen zu laden. Dadurch wird Energie im elektrischen Feld gespeichert.
Nun betrachten wir die Reihenschaltung bzw. Parallelschaltung von Kondensatoren.
Parallelschaltung bedeutet, dass zwei oder mehrere Kondensatoren mit möglicherweiseunterschiedlicher Kapazität an der gleichen Spannung liegen.
23
C1 C2 C3 C4 Cn
C1 C2 C3 C4 Cn....
U QC
QC
QC
n
n= = = =1
1
2
2....
Q Q Q Qges n= + + +1 2 ......
Q Q Q Qn1 2= = = =......
C C C Cges n= + + +1 2 .....
U U U Uges n= + + +1 2 .....
Bild 2.21: Parallelschaltung von Kondensatoren
Es gilt dann:
Die auf den Kondensatoren gespeicherte Gesamtladung ist die Summe der Einzelladungen:
Damit muß ebenso gelten:
Das bedeutet, dass bei Parallelschaltung die Gesamtkapazität immer größer ist als die größteEinzelkapazität.
Bei Reihenschaltung von Kondensatoren muß die Ladung auf den mit der Spannungsquelleverbundenen beiden äußersten Platten umgekehrt gleich groß sein. Die verbundenen Plattenzweier miteinander verbundener Kondensatoren bilden ein isoliertes System. Dort können sichdie Ladungsträger nur trennen. Sie können aber nicht abfließen. Der Gleichgewichtszustand isterreicht, wenn sich in jedem Einzelkondensator auf den beiden Platten gleichviele Ladungsträgerunterschiedlicher Polarität befinden. Damit ist die Ladung aller Kondensatoren gleich groß.
Bild 2.22: Reihenschaltung von Kondensatoren
Es gilt also:
Die Spannung über allen Kondensatoren muß gleich der Summe der Einzelspannungen sein.
24
F Q EQ Q
d= ⋅ =
⋅ 2 1
1 224π ε
1 1 1 1
1 2C C C Cges n= + + +....
ED Q
d11 1
24= =
ε πε
Damit gilt:
Das bedeutet, dass die Gesamtkapazität immer kleiner ist als die kleinste Einzelkapazität. Ebensogilt, dass der Kondensator mit der kleinsten Kapazität die größte Spannung aufnehmen muß.
Die Reihenschaltung wird z. B. angewendet, wenn die Durchschlagsfestigkeit eines einzelnenKondensators kleiner ist als die Gesamtspannung.
Abschließend betrachten wir noch das Feld einer Punktladung Q1. Diese Punktladung erzeugteinen Verschiebungsfluß Ψ, der gleich der Ladung selbst ist. Die Feldlinien sind radial nachaußen gerichtet. Das bedeutet für die Verschiebungsflußdichte D, dass diese mit dem Quadratdes Abstandes abnehmen muß. Das gleiche gilt für die Feldstärke.
Bringt man nun eine zweite Punktladung Q2 in das Feld der ersten, so entsteht eine Kraft:
Diese Kraft ist eine Anziehungskraft, wenn die Ladungen ungleichnamig sind. Sind dieLadungen gleichnamig, stoßen sie sich ab. Die obige Gleichung wird als Coulombsches Gesetzbezeichnet.
253 Magnetisches Feld
3.1 Pole, quellenfreies Feld, Rechte-Hand-Regel
Anwendungen von Magnetfeldern sind aus dem Alltagsleben wesentlich bekannter alsAnwendungen elektrischer Felder. Sie erstrecken sich von der Kompaßnadel über magnetischeSchnellverschlüsse, Hubmagnete, Massenspeicher in PC´s bis hin zur Magnetschwebebahn.
Aus dem Schulunterricht kennen wir das Experiment, bei dem mit Hilfe von Eisenfeilspänen aufeiner Glasplatte das Magnetfeld eines Stabmagneten sichtbar gemacht wird.
Bild 3.1: Feldlinien dargestellt durch Eisenfeilspäne bei einem Stabmagneten
Man erkennt, dass sich die Späne im Magnetfeld ausrichten. Sowohl die Orientierung der Späneals auch deren Dichte ist ortsabhängig. Das deutet schon darauf hin, dass wir es wieder mit einemVektorfeld zu tun haben. Am dichtesten liegen die Späne an den Enden des Stabes, die als Polebezeichnet werden. Die Feldlinien, die durch den Versuch sichtbar gemacht werden, treten ausdem einen Pol aus und in den anderen wieder ein. Eine willkürliche Definition legt fest, dass sieaus dem Nordpol austreten und in den Südpol eintreten. Dies kann dadurch sichtbar gemachtwerden, dass man eine Magnetnadel in das Feld bringt und sie um den Stabmagneten herumbewegt.
In der einfachsten Anordnung (wie hier beim Stabmagneten) gibt es genau einen Nord- und einenSüdpol. Die Pole treten immer paarweise auf. Wenn es einen Nordpol gibt, muß es auchirgendwo einen Südpol geben und umgekehrt. Später werden wir sehen, dass es auchAnordnungen mit mehr als zwei Polen gibt. Die Anzahl ist aber immer durch zwei teilbar.
Betrachtet man nur den Stabmagneten, so könnte man zu dem Schluß kommen, dass die Pole dieQuellen und Senken der Feldlinien sind. Dieser Eindruck entsteht aber nur deshalb, weil man inden Stabmagneten nicht hinein schauen kann. Tatsächlich ist es so, dass magnetische Feldlinien
26immer in sich geschlossen sind. Innerhalb des Magneten ist die Orientierung der Feldlinien vomSüdpol zum Nordpol.
Wir haben es hier also mit einem quellenfreien Feld zu tun. Daher ist die mathematische undphysikalische Beschreibung des elektrischen Feldes nicht auf das magnetische Feld übertragbar.
Der Stabmagnet und die Kompaßnadel sind sogenannte Permanentmagneten. Sie sindirgendwann einmal magnetisiert worden und haben sich den Magnetismus sozusagen gemerkt.Eine andere Klasse von Magneten sind die Elektromagneten. Sie zeigen nur dann magnetischeErscheinungen, wenn eine sogenannte Erregung existiert. Wird die Erregung abgeschaltet,verschwindet der Magnetismus. Wir werden uns nun die Grundlagen des magnetischen Feldeserarbeiten, indem wir elektrisch erregte Magnete betrachten.
Oersted und Ampère haben schon im 19. Jahrhundert herausgefunden, dass sich bewegteLadungsträger mit einem Magnetfeld umgeben. Wird der Strom zu Null, d.h. kommen dieLadungsträger zur Ruhe, verschwindet auch das Magnetfeld.
Wir betrachten nun einen geraden zylindrischen Leiter, der senkrecht auf der Zeichenebene steht.Wenn in diesem Leiter ein Strom fließt, umgibt er sich mit konzentrischen Feldlinien.
Bild 3.2: Stromdurchflossener Leiter und sein Magnetfeld
Der Punkt in der Darstellung des Leiters soll anzeigen, dass der Strom auf den Betrachterzufließt. Das Kreuz bedeutet, dass der Strom vom Betrachter wegfließt.
Zur einfachen Richtungszuordnung der magnetischen Feldlinien und des elektrischen Stromesfinden die Rechtsschraubenregel bzw. die Rechte-Hand-Regel Verwendung.
27
I
Φ = ∫! !BdA
A
Bild 3.3: Rechte-Hand-Regel
Wenn der Daumen der rechten Hand in Richtung des fließenden Stromes weist, zeigen diegekrümmten Finger die Richtung der Feldlinien an.
3.2 Magnetischer Fluss und Flussdichte (Induktion)
Die Gesamtheit aller magnetischen Feldlinien bezeichnen wir als magnetischen Fluss Φ. Da dieFeldlinien an bestimmten Stellen dichter verlaufen als an anderen, ist es sinnvoll, eineFlussdichte zu definieren. Da die Feldlinien eine ortsabhängige Orientierung besitzen wird dieFlussdichte allgemein als Vektor definiert. Synonym zum Begriff magnetische Flussdichte
!B
wird auch häufig der Begriff magnetische Induktion verwendet.
Die Einheit des magnetischen Flusses ist 1Vs, die der Flussdichte ist demzufolge1Vs/m2 = 1 Tesla = 1T.
Es gilt:
Umfaßt die Fläche A alle Feldlinien, so ergibt die Integration den Gesamtfluss. Wird nur ein Teilder Feldlinien von der betrachteten Fläche erfaßt, so erhält man einen Teilfluss. Die Flächennor-
male muß dabei nicht parallel zu den Feldlinien stehen.dA!
28
A2, Φ
A1, Φ
A
B
Φ = ⋅B A
Bild 3.4: Fluss und Flussdichte
Wenn das Feld in bestimmten Abschnitten homogen ist, vereinfacht sich die Berechnung zu
Bild 3.5: Homogenes magnetisches Feld
Wie ein Vergleich des elektrischen Strömungsfeldes, des elektrostatischen Feldes und desMagnetfeldes ergibt, werden der elektrische Strom I, der elektrische Verschiebungsfluß Ψ undder magnetische Fluss Φ auf ganz ähnliche Art beschrieben. Das gleiche gilt für die StromdichteS, die Verschiebungsflussdichte D und die magnetische Flussdichte B. Allerdings fließt nur beimelektrischen Strom wirklich etwas, nämlich die Ladungsträger.
Im elektrischen Strömungsfeld und im elektrostatischen Feld haben wir als Ursache für dieEntstehung eine Potentialdifferenz bzw. eine elektrische Spannung identifiziert. Auch immagnetischen Feld untersuchen wir nun die Ursache.
29
i1
Feldlinie
B
i2
i3
Θ = = ⋅∫! !SdA N i
A
Θ = ∫! !SdA
A
Θ = + −i i i1 2 3
3.3 Durchflutung und magnetische Feldstärke, Durchflutungsgesetz
Wir haben schon einmal festgestellt, dass ein Magnetfeld immer dann entsteht, wenn sichLadungsträger bewegen, d.h. wenn ein elektrischer Strom fließt. Wir betrachten nun eine Flächeim Raum, durch die Ladungsträger in einer beliebigen Richtung und Intensität hindurchtreten.Das Integral der Stromdichte über dieser Fläche nennen wir nun nicht Strom, wie in Kapitel 2,sondern wir führen die Durchflutung Θ ein:
Wir gehen nun einen Schritt weiter und nehmen an, dass die Fläche A nur an ganz bestimmtenStellen von elektrischen Leitern durchdrungen wird. In diesen Leitern fließen Strömeunterschiedlicher Richtung und Stromstärke.
Bild 3.6: Durchflutung einer Fläche im Raum
Außerhalb der Leiter ist die Stromdichte Null. Die Integration der Stromdichte über derLeiterfläche liefert den Strom im jeweiligen Leiter. Dabei muß das Vorzeichen beachtet werden.
Man sieht, dass die Durchflutung der Fläche in diesem Beispiel auch zu Null werden kann,nämlich dann, wenn i3= i1+i2. Andererseits kann man einen einzigen Leiter mehrfach durch dieFläche führen, indem man eine Spule wickelt. Dann ist die mit Hilfe eines einzigen Stromeserzeugte Durchflutung gleich
mit der Windungszahl N. Rein formal ist damit die Einheit der Durchflutung die des Stromes,also Ampère. Viel gebräuchlicher ist allerdings der Begriff Ampèrewindungen.
Die Intensität des Magnetfeldes nimmt mit dem Abstand vom verursachenden Strom ab. Wirführen nun den Begriff Magnetische Feldstärke H ein. Sie entsteht aufgrund des Stromes.
30
HI
ds
H
dA
S
! ! ! !Hds SdA
A
= = ∫∫ Θ
Die Feldstärke ist ein Vektor, da die Feldlinien an unterschiedlichen Orten in unterschiedlicheRichtungen zeigen. Wir betrachten zunächst wieder einen einzelnen stromdurchflossenen Leiter.
Bild 3.7: Magnetische Feldstärke
Da es sich um ein ebenes Problem handelt, nimmt die Feldstärke außerhalb des Leiters mit 1/rab. Anders ausgedrückt ist das Produkt aus der Feldstärke und der Länge der Feldlinien für alleFeldlinien konstant.
Diese Tatsache kann man auch allgemeiner formulieren: Wenn man einen Weg definiert, dereinen Leiter oder eine Gruppe von Leitern umschließt, dann muß die Integration der Feldstärkeauf diesem Weg die Ursache, also die Durchflutung ergeben. Dabei muß der Weg nichtkreisförmig sein, sondern er kann beliebig sein. Er muß auch nicht entlang einer Feldlinieverlaufen, muß aber in sich geschlossen sein.
Aus der Gleichung, die als Durchflutungsgesetz bezeichnet wird, ist zu ersehen, dass diemagnetische Feldstärke die Einheit A/m besitzt.
Bild 3.8: Beliebiger Integrationsweg zur Ermittlung der Durchflutung aus der Feldstärke
31
HH0
1
0,5
R 2R 3R 4R r
H0
H
H r Ioder
HIr
⋅ =
=
2
2
π
π
H rIR
r
oder
HIR
r
⋅ =
=
2
2
22
2
ππ
π
π
Als Beispiel wenden wir nun auf einen einzelnen stromdurchflossenen Leiter das Durchflutungs-gesetz an. Außerhalb des Leiters gilt für jede Feldlinie:
Innerhalb des Leiters ist immer nur der Anteil des Stromes erfaßt, der vom Integrationswegumschlossen wird.
Bringt man nun in der graphischen Darstellung der beiden Ergebnisse noch die Richtung dermagnetischen Feldstärke ein, ergibt sich folgendes Bild:
Bild 3.9: Feldstärke innerhalb und außerhalb eines vom Strom I durchflossenen Ein-zelleiters
32
rra
ri
rD
I
I
SI
r rMa i
=−π( )2 2
Wir erweitern jetzt das Beispiel auf eine sogenannte Coax-Leitung. In dieser Leitung fließt derStrom I im Innenleiter hin und im Mantel zurück.
Bild 3.10: Koaxialkabel
Für den Innenraum gelten die Ergebnisse von oben. Interessant ist nun, was innerhalb desMantels und im Außenraum passiert.
Die Stromdichte im Mantel ist ebenfalls konstant, jedoch eine andere als im Innenleiter. Also giltinnerhalb des Mantels:
Das Durchflutungsgesetz liefert hier
! !Hds H r I
Ir r
dA Ir rr ra i
i
a iA
A
i
a
= ⋅ = = −−
= ⋅ −−−
∫∫ 2 12 2
2 2
2 2ππ
Θ( )
33
H
r
I
I
Die Durchflutung wird am Außenrand des Mantels zu Null. Außerhalb des Mantels fließt keinStrom. Damit ist das Ergebnis für den gesamten Außenraum ebenfalls Null. Der Feldstärkever-lauf ist damit
Bild 3.11: Verlauf der magnetischen Feldstärke bei einer Coax-Leitung
Dieses Ergebnis bedeutet, dass in einer Coax-Leitung ein beliebig großer Strom fließen kann,ohne dass außen eine magnetische Wirkung meßbar ist. Das ist eine wichtige Eigenschaft derLeitung im Hinblick auf EMV (Elektromagnetische Verträglichkeit). Die Coax-Leitung störtkeine anderen elektromagnetischen Bauteile in ihrer Nähe durch äußere magnetische Felder.Voraussetzung ist allerdings, dass im Mantel immer genau der Strom zurückfließt, der imInnenleiter hin fließt.
34
! ! !B H Hr= =µ µ µ0
! !B H= µ0
µ π07 64 10 1 2566 10= ⋅ = ⋅− −Vs
AmVsAm
,
3.4 Magnetische Spannung, magnetischer Widerstand, Permeabilität, magn. Feldkon-stante, Hysterese
Sowohl die Durchflutung Θ als auch die magnetische Feldstärke H sind unabhängig vomMaterial, in dem sich die Feldlinien ausbreiten. Dies illustriert auch das obige Beispiel. Dermagnetische Fluss Φ und dessen Dichte sind jedoch bei gegebener Durchflutung davon abhängig.Es gibt magnetisch schlecht leitende und magnetisch gut leitende Stoffe.
Im Vakuum gilt:
Die Beträge der Vektoren sind über die magnetische Feldkonstante oder Permeabilitätskon-stante µ0 miteinander verknüpft. Die Richtungen beider Vektoren sind immer gleich.
Die besten magnetischen Leiter sind die ferromagnetischen Stoffe. Aus dem Namen ergibt sichschon, dass das Eisen dazu gehört. Nickel, Kobalt und manche Legierungen gehören ebenso zudieser Stoffgruppe. Bei ihnen ist der Faktor µ zwischen B und H wesentlich größer als µ0. Ganzähnlich wie im elektrostatischen Feld formuliert man allgemein
Die relative Permeabilität µr liegt bei Eisen im Bereich einige 1000 bis 50000.
Der Ferromagnetismus besteht bei allen betroffenen Werkstoffen nur bis zu einer bestimmtenTemperatur, der Curie-Temperatur. Wird diese Temperatur überschritten, verschwindet derFerromagnetismus schlagartig. Die Curie-Temperatur ist werkstoffabhängig. Bei Eisen z.B.beträgt sie 760 °C.
Wenn den Feldlinien ein zumindest teilweise geschlossener Weg durch Eisen angeboten wird,konzentriert sich ein großer Teil des Flusses im Eisen. Nur noch wenige Feldlinien wählen einenWeg mit höherem magnetischen Widerstand am Eisen vorbei, z.B. durch die umgebende Luft.
Wickelt man einige Windungen eines isolierten Leiters auf einen Eisenkern, so kann man imInneren der so entstandenen Spule mit dem gleichen Strom eine wesentlich höhere Induktionerreichen als wenn man den Eisenkern entfernt. Ist der Eisenkern so geformt, dass er einengeschlossenen Weg für die Feldlinien anbietet, so konzentriert sich fast der gesamte Fluss imEisen. Selbst wenn eine kurze Luftstrecke zu überwinden ist, gilt dies immer noch.
35
I, Θ
Spule (Windungszahl N)
LuftspaltA
B
Kern (Eisen)
Φ
! !Hds Hds H ds H ds N i
H l H l V V
E Lll
E E L L E L
LE
= = + = = ⋅
⋅ + ⋅ = + =
∫∫∫∫ Θ
Θ
RV H l
B Al
AR
V H lB A
lAmE
E E E E
EmL
L L L L= =⋅
⋅=
⋅= =
⋅⋅
=⋅Φ Φµ µ
;0
Bild 3.12: Magnetkreis mit geringem magnetischen Widerstand
Wir haben bisher analog zum elektrischen Widerstand schon mehrmals den Begriff Magneti-scher Widerstand benutzt, ohne ihn genau zu definieren. Das soll jetzt geschehen.
Im obigen Bild verlaufen alle Feldlinien im Eisen und überwinden die Luft nur in dem kleinendargestellten Spalt. Damit ist der gesamte Fluss Φ im Eisen konzentriert. Wenn man davonausgeht, dass der Luftspalt sehr klein ist ( im Bild ist er zur Verdeutlichung recht großdargestellt), dann werden die Feldlinien auch in der Luft parallel verlaufen und sich nicht nachaußen ausbeulen. Damit ist die Fläche A, innerhalb derer sich der Fluss ausbildet, überallkonstant. Ohne Berücksichtigung der Ecken und Kanten des Eisens nehmen wir an, dass dannauch die Flußdichte B überall konstant ist. Da jedoch die Permeabilität in Eisen und Luft starkunterschiedlich ist, muß die Feldstärke in Eisen und Luft unterschiedlich sein.
Um die Feldstärke zu bestimmen, integrieren wir entlang der “neutralen Faser” im Eisen. IhreLänge ist ein Mittelwert der Länge aller Feldlinien. Es gilt:
VE und VL werden als magnetischer Spannungsabfall bezeichnet. Die Summe aus beiden ergibtdie magnetische Urspannung, die gleich der Durchflutung ist. Für beide Stoffe getrennt kannjetzt der Quotient aus dem individuellen Spannungsabfall und dem Fluss (der für beide gleich ist)gebildet werden:
36
B
H
Br
Hc
ASättigung
Entmagne-tisierung
Neukurve
Θ Φ= + = + ⋅V V R RE L mE mL( )
Damit sind die magnetischen Widerstände der Eisen- und der Luftstrecke definiert. Mit ihrerHilfe wird aus dem Durchflutungsgesetz für die obige Anordnung
Untersucht man ferromagnetische Werkstoffe genauer, stellt man fest, dass die Permeabilitätkeine Konstante ist. Vielmehr ist sie abhängig von der magnetischen Feldstärke. Bei kleinerFeldstärke ist die Permeabilität recht groß und wird mit wachsender Feldstärke kleiner. Andersausgedrückt heißt das, dass die Funktion B=f(H) für Luft linear (allerdings mit sehr kleinerSteigung), für ferromagnetische Stoffe jedoch nicht linear ist.
Bild 3.13: Hystereseschleife
Bei steigender Feldstärke stellen wir eine Sättigung des Materials fest. Das heißt, man muß eineimmer größere Steigerung der Feldstärke ΔH aufbringen, um die Induktion um einen bestimmteBetrag ΔB zu steigern. Hat man eine bestimmte Feldstärke eingestellt und reduziert sie wiederauf Null, indem man den verursachenden Strom zu Null macht, bleibt ein Restmagnetismus.Dieser Restmagnetismus wird als Remanenzinduktion Br bezeichnet. Um die Induktion zu Nullzu machen, muß nun eine Feldstärke mit umgekehrter Richtung erzeugt werden. Das Materialwird dadurch entmagnetisiert. Die Feldstärke, die notwendig ist, um das Material vollständig zuentmagnetisieren, heißt Koerzitivfeldstärke Hc. Die Neukurve wird nur ein einziges Maldurchfahren. Man kommt nicht wieder in den Ursprung zurück.
Dieses Verhalten kann dadurch erklärt werden, dass sich innerhalb des Materials Atom- bzw.Molekülverbände bilden, die sich nach und nach magnetisch ausrichten. Es bilden sichKreisströme aus, die die von außen eingeprägten Feldlinien umschließen und so den Magnetis-mus verstärken. Die Ausrichtung der einzelnen Bereiche (Weiß´sche Bezirke) geschieht nach undnach. Sind alle Bereiche ausgerichtet, ist eine weitere Feldverstärkung nicht mehr möglich. DieAusrichtung bleibt zum Teil erhalten, wenn die äußere Durchflutung wieder entfernt wird. Es istein Magnet entstanden.
37
B
HHc
B
HHc
Verstellt man die Feldstärke zwischen zwei absolut gleichen positiven und negativen Werten,erhält man die oben dargestellte Hysteresekurve. Jedes ferromagnetische Material hat einecharakteristische Hysteresekurve. Die Unterschiede liegen im wesentlichen in Br und Hc . EinMaterial mit geringer Koerzitivfeldstärke heißt weichmagnetisch. Es ist besonders gut fürAnwendungen geeignet, wo die Feldstärke ständig ihre Polarität wechselt. HartmagnetischesMaterial mit großem Hc ist gut für Dauermagnete geeignet.
Bild 3.14: Hysteresekurven eines hartmagnetischen und eines weichmagnetischenWerkstoffs
Erzeugt man bei einem bestimmten Werkstoff unterschiedliche Hysteresekurven, indem man dieExtremwerte der Feldstärke nach und nach steigert und trägt man die Wertepaare in den Spitzenauf, erhält man die Magnetisierungskurve des Materials.
38
H
H
B
[T]
B
[T]
1 = kornorientiertes Blech in Walzrichtung magnetisiert 3 = legiertes Blech2 = Dynamoblech und Stahlguß 4 = Gußeisen
[A/m]
[A/m]
Bild 3.15: Magnetisierungskurven unterschiedlicher Materialien
39
B-Feldlinie
B
v
Fm
Bahnkurveeines
Ladungsträgers
q
! ! !F Q B= ⋅ ×( )ν
3.5 Lorentzkraft, Induktionsgesetz, Generator
Bringt man eine elektrische Ladung Q mit Hilfe eines elektrischen Feldes E auf eine bestimmteGeschwindigkeit v und schießt sie in ein magnetisches Feld mit der Induktion B, so stellt manfest, dass sich dort die Bewegungsrichtung der Ladung ändert. Dieser Effekt wird ausgenutzt beider Elektronenstrahlröhre. Dort werden die Elektronen mit Hilfe einer Hochspannung (einige kV)in Vakuum von der Kathode in waagerechter Richtung zum Bildschirm hin beschleunigt. DieZielrichtung ist dabei genau der Mittelpunkt des Bildschirms. Treffen die Elektronen dort auf,erzeugen sie in der Beschichtung des Bildschirms eine Leuchterscheinung. Die Röhre ist mitzwei Spulen bewickelt, die als Ablenkspulen bezeichnet werden. Eine ist dabei für diehorizontale, eine für die vertikale Ablenkung zuständig. Fließt in diesen Spulen ein Strom, soentsteht in einem bestimmten Bereich des Weges, den die Elektronen zurücklegen, einMagnetfeld. Durch geschickte koordinierte Veränderung der Ströme in den beiden Spulen wirderreicht, dass der Elektronenstrahl zeilenweise vom linken oberen Rand der Bildröhre bis zumrechten unteren Rand wandert. Wenn dieser Vorgang häufiger als 80 mal pro Sekunde wiederholtwird, bekommt das menschliche Auge davon nichts mit und sieht nur ein vom Elektronenstrahlerzeugtes Bild. Die Helligkeit der einzelnen Bildpunkte kann über die elektrische Feldstärke, alsoüber die Kathodenspannung verändert werden. Bei der Ablenkung handelt es sich um dietechnische Nutzung der Lorentzkraft.
Bei gegebener Geschwindigkeit und gegebener Induktion wird die Kraft dann maximal, wenndie Bewegungsrichtung der Ladungsträger senkrecht auf der Richtung der magnetischen
Feldlinien steht. Die Kraftrichtung wiederum steht senkrecht auf der von und aufgespann-!ν
!B
ten Fläche.
Bild 3.16: Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld
Zwingt man die Ladungsträger, sich entlang einer Geraden zu bewegen, indem man einenlinienhaften Leiter in ein Magnetfeld bringt und in ihm einem Strom fließen lässt, so ist dieSumme aller Kräfte auf die bewegten Ladungsträger als Kraft auf den Leiter messbar.
40
l
B
Fli
i
I I
F
dF dq B dq dsdt e B
dqdt
ds e B I ds e B
! ! ! ! !
! ! ! !
= ⋅ × = ⋅ ⋅ ×
= ⋅ ⋅ × = ⋅ ⋅ ×
( ) ( )
( ) ( )
ν ν
ν ν
! ! !F I l B= ⋅ ×( )
Die Anzahl der Ladungsträger, die zur Kraftbildung beiträgt, ist dabei proportional der Länge ldes Leiterabschnitts, der sich im Magnetfeld befindet. Wir betrachten zunächst infinitesimalkleine Kräfte und Ladungen
Dabei ist der Einheitsvektor der Bewegungsgeschwindigkeit. Er zeigt in Richtung des Leiters.!ev
Die Integration dieser Gleichung über die Länge l liefert
Hier wird die Kraft maximal, wenn der Leiter senkrecht auf den Feldlinien steht. Die Kraftversucht, den Leiter zur Seite hin auszulenken.
Bild 3.17: Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
Wir haben hiermit eines der Grundprinzipien elektromechanischer Energiewandler kennenge-lernt. In Elektromotoren wird auf diese Art eine Kraft bzw. ein Drehmoment erzeugt.
Wie wir wissen umgibt sich jeder stromdurchflossene Leiter mit einem eigenen Magnetfeld. Dasfremd erzeugte Magnetfeld und das eigene überlagern sich nun.
Bild 3.18: Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld: Resultierendes Magnetfeld
41
-
+++ +++
- -- -
lS
N
B v
!! ! !F
QE B= = ×ν
u Eds B ds B lill
= = ⋅ = ⋅ ⋅∫∫! ! ν ν
Man kann den Ladungsträgern auch dadurch, dass man den Leiter bewegt, innerhalb desMagnetfeldes eine Geschwindigkeit verleihen. Wir nehmen an, dass der Leiter quer zu seinerAchse und quer zum Magnetfeld bewegt wird. Ein Stromfluß im Leiter ist nicht notwendig. Diedurch die Bewegung entstehende Kraft auf die Ladungsträger wirkt nun in Richtung derLeiterachse. Die Elektronen werden in Bewegungsrichtung gesehen nach rechts gedrängt. Aufder linken Seite bleiben positiv geladene Ionen zurück.
Bild 3.19: Bewegter Leiter im Magnetfeld
Durch die Ladungsträgerverschiebung entsteht eine elektrische Feldstärke im Leiter.
Stehen Leiterachse, Magnetfeld und Geschwindigkeit senkrecht aufeinander und ist l die Längedes Leiters, die sich im Magnetfeld befindet, so kann zwischen den Leiterenden folgendeSpannung gemessen werden:
Diese Spannung wird als induzierte Spannung bezeichnet. Damit ist das zweite Grundprinzipelektromechanischer Energiewandler formuliert. Mit Hilfe dieses Effektes kann man einenGenerator bauen, der eine elektrische Spannung liefert.
Beide Effekte kann man auch überlagern, indem man den Leiter bewegt und gleichzeitig in ihmeinen Strom fließen läßt. Auf der mechanischen Seite existieren dann Geschwindigkeit v undKraft F. Auf der elektrischen Seite existieren eine Spannung U und ein Strom I. Die mechanischaufgebrachte Leistung wird dem System auf der elektrischen Seite entnommen oder umgekehrt.
42
dA ds
Ui
v
l
Schleifdraht
FqB
P F U I= ⋅ = ⋅ν
d B dA
u B l B ldsdt
ddti
ΦΦ
= ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =ν
dA l ds= ⋅
Wickelt man den Leiter zu einer Spule und setzt alle Windungen der Spule dem Magnetfeld aus,so kann man bei gegebener Geschwindigkeit und gegebenem Strom die Kraft und die Spannungvervielfachen. Der Multiplikator ist die Windungszahl N.
Das Phänomen der induzierten Spannung werden wir jetzt noch einmal betrachten, um einallgemeines Induktionsgesetz aufzustellen.
Bild 3.20: Messanordnung für die induzierte Spannung
Das bewegte Leiterstück und die Messleitungen bilden eine Leiterschleife. Wenn man dasbetrachtete Leiterstück quer zum Magnetfeld bewegt, verändert man die von der Leiterschleifeumschlossene Fläche.
Damit ändert sich auch der von der Leiterschleife umschlossene magnetische Fluss
Die induzierte Spannung ist der Änderung des Flusses in der Leiterschleife proportional. Damiteröffnet sich eine weitere Möglichkeit, eine Spannung zu induzieren. Es ist nicht notwendig, eineBewegung auszuführen. Wenn man durch einen veränderlichen Strom in der Erregerspule dafürsorgt, dass sich der Fluss in der Leiterschleife ändert, entsteht ebenfalls eine induzierte Spannung.Auch hier gilt, dass man die induzierte Spannung vervielfachen kann, indem man statt einerLeiterschleife eine Spule verwendet, die die Windungszahl N hat und an deren Leiterenden misst.
43
F I F
ifUI
Uf
u R i u R i Nddtf f f if f f f
f= ⋅ + = ⋅ +Φ
u Nddt
ddti = ⋅ =
Φ Ψ
u Nddt
NAl
ddt
NAl
didt
NR
didt
Ldidti r r
m= = = = =
Φ Θµ µ µ µ0
20
2
Bild 3.21: Feld- und Induktionsspule
Dieser Zusammenhang wird als Induktionsgesetz bezeichnet. Die Größe Ψ hat den NamenVerkettungsfluß. Sie ergibt sich rein rechnerisch durch Multiplikation der Windungszahl N mitdem Fluss Φ.
3.6 Selbstinduktion, Gegeninduktion, Induktivität, Transformator, Wirbelströme,Skineffekt
Betrachtet man wiederum das obige Bild genauer, dann kommt man zu der Erkenntnis, dass derVorgang der Induktion nicht nur in der Induktionsspule sondern auch in der verursachendenFeldspule auftreten muß. Im stationären Fall, d. h. bei konstantem Strom If und damit konstantemFluss Φf ist eine konstante Spannung Uf notwendig, um den Strom durch den ohmschen Wider-stand Rf der Feldspule aufrecht zu erhalten. Wird allerdings der Fluss geändert, dann entsteht einezusätzliche Spannung uif.
Die Spannung uif entsteht durch Selbstinduktion. Sie entsteht auch dann, wenn die Induktions-spule im obigen Bild gar nicht vorhanden ist, da diese sich rein passiv verhält und den Fluss nichtverändert. Wir drücken nun den Fluss in der Feldspule durch den erregenden Strom aus. Dabeilassen wir den Index f weg, weil nur noch eine einzige Spule betrachtet wird.
Die induzierte Spannung in der Spule ist der zeitlichen Änderung des Stromes proportional. DerProportionalitätsfaktor L wird als Induktivität der Spule bezeichnet.
44
t
t
uL
i1
i0
t0 t1
i
L i Ni
RN
RN
m m⋅ = = = =2 Θ
Φ Ψ
i iL
u t dtLt
t
1 0
1
0
1
− = ∫ ( )
Die Einheit der Induktivität ist das Henry. 1 Henry = 1H = 1 Ωs = 1 Vs/A.
Die Induktivität und der Fluss sind über folgende Gleichung verknüpft:
Die Induktivität erzeugt bei Stromänderung eine Spannung, die der verursachenden außenanliegenden Spannung entgegen wirkt.
Zur Aufrechterhaltung eines konstanten Stromes in einer Induktivität ist eine verhältnismäßigkleine Spannung zur Überwindung des kleinen ohmschen Widerstandes notwendig. Will man denStrom in einer Induktivität ändern, muß man eine zusätzliche Spannung anlegen. Je größer dieseSpannung, desto schneller ändert sich der Strom. Zur Verringerung des Stromes ist eine negativeSpannung notwendig. Bei der idealen Induktivität (R = 0) geht der Strom linear gegen unendlich,wenn an den Klemmen eine konstante Spannung anliegt.
Legt man für eine bestimmte Zeit an eine ideale Induktivität eine Spannung uL an, so ändert sichder Strom von einem Anfangswert i0 auf einen neuen Wert i1. Die Spannung uL muß währenddieser Zeit nicht konstant sein.
Zur Änderung des Stromes ist also eine Spannungszeitfläche notwendig.
Bild 3.22 Spannung und Strom an der idealen Induktivität
Wird eine ideale vom Strom I durchflossene Spule über einen Widerstand kurzgeschlossen, soentsteht in dem Widerstand durch den Strom Wärmenergie. Diese Energie war vorher imMagnetfeld der Spule gespeichert. Nach theoretisch unendlicher Zeit kommt der Stromfluss zumerliegen.
45
L1 L2 L3 L4 Ln....I
i
L1 L2 L3 L4 Lni1 i2 i3 i4 in
didt
didt
didt
didt
UL
UL
UL
UL
L L L L
n
n ges
ges n
= + + + = + + + =
= + + +
1 2
1 2
1 2
1 1 1 1
.... ....
....
W u i Ldidt
i dt Li di LIL LL
L L
I
L= ⋅ = = =∞∞
∫ ∫∫0 0
2
0
12
L L L Lges n= + + +1 2 .....
Wenn man in einer Spule einen Strom erzeugt, kann man demzufolge auch vom Laden der Spulesprechen. Man speichert auf diese Art eine magnetische Energie im Magnetfeld der Spule, dieman anschließend wieder in elektrische und dann in andere Energieformen umwandeln kann.
Schaltet man mehrere Spulen in Reihe, so erzeugt man mit dem gleichen Strom I in allenSpulen ein individuelles Magnetfeld. Die dabei gespeicherte Gesamtenergie ist die Summe derEinzelenergien. Also gilt:
Bild 3.23: Reihenschaltung von Induktivitäten
Schaltet man mehrere ideale Spulen parallel, so liegen alle Spulen an der gleichen Spannung.Für die Änderungsgeschwindigkeit des Gesamtstromes gilt:
Bild 3.24: Parallelschaltung von Induktivitäten
Bei der Parallelschaltung ist die Gesamtinduktivität kleiner als die kleinste Einzelinduktivität.
Wir kommen jetzt noch einmal zurück auf ein System aus zwei Spulen, die magnetischmiteinander gekoppelt sind (siehe Bild 3.21). Wir hatten gesehen, dass sich immer dann, wennder Fluss in der Induktionsspule sich ändert, an deren Klemmen eine induzierte Spannung zumessen ist.
46
i1
u1
R1
i2
u2
R2
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ1σ
2σ
1
2h
N1 N2
Φ Φ Φf i= =
u Nddt
u Nddt
uu
NN
i i
f f
i
f
i
f
=
=
=
Φ
Φ
Bei genauerer Betrachtung dieser Anordnung stellt man fest, dass der magnetische Fluss in derErregerspule und in der Induktionsspule nicht identisch sein müssen. Es kann nämlich durchauseinige wenige Feldlinien geben, die von der Erregerspule erzeugt werden, aber nicht dieInduktionsspule durchsetzen. Alle Feldlinien, für die dies zutrifft, zählen zum sogenanntenStreufluß. Der Flussanteil, der beide Spulen durchsetzt, wird Hauptfluss genannt. Bei gutgewählter Anordnung ist der Hauptfluss immer wesentlich größer als der Streufluss.
Wir nehmen zunächst an, dass die Verkettung der beiden Spulen ideal sei. Es existiert keinStreufluss.
Bild 3.25: Haupt- und Streufluß bei gekoppelten Spulen
Damit gilt:
Wenn sich nun der Fluss ändert, wird in der Erregerspule eine andere Spannung induziert als inder Induktionsspule.
Die Spannungen verhalten sich zueinander wie die Windungszahlen. Diese Tatsache wird alsTransformatorprinzip bezeichnet. Der Transformator wird uns später noch beschäftigen.
47
σ
σ
= −⋅
= − ⋅ = ⋅
1
1
2
1 2
1 2 1 2
ML L
oder
M L L k L L
u Nddt
NAl
ddt
N NR
didt
Mdidti i i r
f i f
m
f f= = = =Φ Θ
µ µ0
M M M L L12 21 1 2= = = ⋅
Nun ist es ebenso leicht möglich, einen Zusammenhang zwischen der Stromänderungs-geschwindigkeit in der Erregerspule und der induzierten Spannung in der Induktionsspule zuformulieren.
Der Koeffizient M wird Gegeninduktivität genannt.
Eine bekannte Anwendung ist die Zündspule. Auch hier handelt es sich um ein System vonzwei gekoppelten Spulen. Die eine Seite (Primärseite), die über einen Schalter von der Batteriegespeist wird, also mit U = 12 V, hat eine kleine Windungszahl N1 # 200. Die zweite Seite(Sekundärseite, Hochspannungsseite) hat eine sehr hohe Windungszahl N2 # 25000. Schließt manden Schalter, so wird das Magnetfeld aufgebaut. Dabei liegt an der Primärseite 12V an, an derSekundärseite eine entsprechend höhere Spannung, die aber noch nicht ausreicht, um an derZündkerze einen Funken zu erzeugen. Wird jetzt der Schalter wieder geöffnet, so wird der Stromdort innerhalb von 1 oder 2 Millisekunden abgebaut (großes negatives di/dt, viel größer als daspositive di/dt beim Aufladen). Damit bricht auch der Fluss zusammen. Auf der Seite, an der dieZündkerze angeschlossen ist, entsteht dabei eine Spannung von mehreren kV. Diese Spannungreicht aus, um die Durchschlagsfeldstärke der Luft zwischen Mittelelektrode und Masseelektrodeder Zündkerze zu erreichen. Der Zündfunke entsteht. Von den älteren mechanischen Zünd-anlagen wissen wir, dass auch der Unterbrecherkontakt auf der Primärseite durch die hoheSpannung zum Zeitpunkt des Öffnens beansprucht wird. Auch dort können gelegentlich Funkenentstehen, die zu Materialabbrand führen. Neuere elektronische Zündungen sind dagegen sokonstruiert, dass sie auf der Primärseite wartungsfrei arbeiten.
Werden nun die Verhältnisse umgekehrt, d. h. in der Sekundärspule ändert sich der Strom undin der Primärspule wird dadurch eine Spannung induziert, so ist die Gegeninduktivität diegleiche.
Ist die Kopplung nicht ideal und bilden sich Streuflüsse, so muß ein Koppelfaktor eingeführtwerden. Dazu definieren wir zunächst einen Streufaktor σ. Er beschreibt die relative Abweichungder Gegeninduktivität vom Ideal.
Bei der idealen Kopplung ist der Streufaktor gleich 0. Wenn überhaupt keine Kopplung derSpulen besteht, ist er gleich 1. Der Faktor k heißt Koppelfaktor. Für ihn sind die Verhältnisseumgekehrt.
48
a) k = 0 b) k = 1
Eine magnetische Kopplung ist nicht immer erwünscht. In elektrischen und elektronischenSchaltungen lautet häufig die Forderung, dass durch Stromänderungen in Spulen keineSpannungen in benachbarten Leiterschleifen induziert werden sollen (EMV). Dann ist durchgeeignete Maßnahmen dafür zu sorgen, dass der Koppelfaktor möglichst klein wird.
Geeignete Maßnahmen sind z.B.:
- Die aufgespannte Fläche muß klein sein, damit der Fluss, der sie durchsetzt, klein ist
- Spulenachsen so anordnen, dass sie 90° zueinander gedreht sind. Die durchdrungeneFläche wird dann Null.
- Verdrillen von Hin- und Rückleiter einer gefährdeten Leitung. Dadurch heben sich dieinduzierten Spannungen in den einzelnen Leitungsabschnitten gegenseitig auf.
- ferromagnetische Abschirmung, die die Feldlinienausbreitung verhindert
Bild 3.26: Geringe (a) und maximale Kopplung (b) von Spulen oder Leiterschleifen
Wird ein elektrisch leitfähiges Gebilde (das kann eine geschlossene Leiterschleife oder auch einmassives Stück Eisen sein) von einem sich ändernden magnetischen Fluss durchdrungen, dannwird dort eine elektrische Spannung induziert. Da ein geschlossener Weg für einen Stromflußvorhanden ist, kommt dann aufgrund der Spannung dieser Stromfluss auch zustande. Der sichaufbauende Strom erzeugt nun selbst eine Magnetfeldänderung , die die ursprüngliche zum Teilkompensiert. Wie stark die Kompensation ist, hängt vom ohmschen Widerstand ab, der denStromfluss hemmt.
Auf diese Art entstehen in massiven Eisenteilen, die von einem sich ändernden magnetischenFluss durchsetzt sind, die sogenannten Wirbelströme. Sie erzeugen am ohmschen Widerstanddes Materials Wärmeverluste.
49
Wirbelstrom iwmassiver Eisenkern
B + dB
iw
B + dB
I + dI
Bild 3.27: Wirbelströme in einem Eisenkern
Man versucht die Wirbelströme, wenn erforderlich, zu unterdrücken, indem man elektrischschlecht leitendes Eisen verwendet und indem man den Eisenkern aus vielen dünnen Blechenaufbaut, die gegeneinander elektrisch isoliert sind.
Im verursachenden Leiter selbst tritt ebenfalls ein häufig unerwünschter Effekt auf. Wir wissen,dass sich auch innerhalb eines Leiters eine magnetische Feldstärke und damit letztendlich einmagnetisches Feld aufbaut, wenn Strom in ihm fließt. Ändert sich dieser Strom und damit dasFeld, so entstehen Ströme im Leiter, die durch Überlagerung mit dem ursprünglichen Strom dieStromdichte in der Mitte des Leiters verringern. Die Stromdichte wird am Rand viel größer alsinnen. Man spricht hier von Stromverdrängung von innen nach außen oder vom Skineffekt.
Bild 3.28: Stromverdrängung bzw. Skineffekt
50
Tiefe bl
N
UI
s v
F
B
lE
uddt
LI IdLdt
LdIdt
IdLdt
Iddt
NR
INddt l
b lsb l
IN b lddt l s
m E
E
E
E
= = + = = =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅+
22
0
2
0
1
1µ µ
µ µ
Der Skineffekt wird wie die Wirbelströme mit steigender Frequenz der Stromänderung immerausgeprägter. In der Mikrowellentechnik, wo mit sehr hohen Frequenzen gearbeitet wird, läßtman das Leiterinnere sogar weg und verwendet sogenannte Hohlleiter, weil im Inneren sowiesokein Strom fließen würde.
3.7 Energien und Kräfte im Magnetfeld
Ein Magnet ist, wie allgemein bekannt, in der Lage, ein Eisenstück anzuziehen. Wir wollen nundie Kraft berechnen, mit der das geschieht. Dazu betrachten wir folgende Anordnung:
Bild 3.29: Entstehung einer Anziehungskraft auf ein Eisenstück
Die Kraft ist immer so gerichtet, dass der magnetische Widerstand minimiert und damit dieInduktivität maximiert wird. Im obigen Beispiel wirkt die Kraft so, dass durch eine durch dieKraft hervorgerufene Verschiebung der Luftspalt verkleinert wird.
Wir nehmen an, dass sich das Eisen zu keinem Zeitpunkt in der Sättigung befindet. Weiternehmen wir an, dass die Spule mit einem konstanten Strom I betrieben wird und dass derohmsche Widerstand der Spule gleich Null ist. Durch die Änderung der Induktivität wird in derSpule eine Spannung u induziert.
51
uIN b ll s
dsdtE
EE
= −⋅ ⋅
+−
2
0
2 0
1 1
( )( )
µ µµ µ
∆∆
WL s s
IL s
Imagn =+
−( ) ( )0 2 0 2
2 2
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
W W W WW W
el magn magn mech
magn mech
= = +
=2
uIN b ll s
vEE
= −⋅ ⋅
+⋅
2
0 0
2µ µ µ( )
( )
∆
∆ ∆
∆
∆∆
∆
W u Idt I N b l l sdsdt
dt
I N b l l sds
I N b l l s s s l s
L s s L s
elEE
Et
t t
t
t t
EE
s
s s
E
EE
EE
= ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅+
−
= − ⋅ ⋅ ⋅+
−
= ⋅ ⋅ ⋅ −+
+ −+
= + −
++
+
∫∫
∫
2 2
0
2 0
2 2
0
2 0
2 2
0
0
0
0
0 0
1 1 1
1 1 1
1 1
0
0
0
0
0
0
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
µ µµ µ
µ µµ µ
µ µ µ µ
⋅ I 2
Die induzierte Spannung ist dann
Wenn sich s vergrößert, verkürzt sich lE. Daher die Klammer im Zähler. Der Subtrahend in derzweiten Klammer kann allerdings vernachlässigt werden. Bewegt sich das Eisenstück mit derGeschwindigkeit v und vergrößert den Luftspalt, so ist
Wir nehmen nun an, dass sich der Luftspalt in der Zeit Δt um Δs verändert. Eine Vergrößerungdes Luftspalts erzeugt eine negative Spannung. Die von der Stromquelle in die Induktivitätgelieferte Energie ist
Man beachte hier, dass die Induktivität bei kleinem Luftspalt größer ist als bei großem. Bei einerVergrößerung des Luftspalts wird die aufgenommene Energie negativ. Das bedeutet, dass dieSpule Energie abgibt!
Die in der Induktivität gespeicherte elektrische Energie hat sich während dieses Vorganges umΔWmagn geändert.
Dies ist genau die Hälfte der elektrisch aufgewendeten Energie. Die andere Hälfte ist inmechanische Energie übergegangen.
52
F A= ⋅0
212µ
Β
F s I N b l l s
b l l s
b l R ss
b lB s b l
E
EE
EE
m
( )( )
( )
( )( )
( )
= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
+
= − ⋅ ⋅+
=⋅
⋅ = −⋅
= − ⋅ ⋅
12
1 1
12
1
12
1 12
12
2 2 0
0
2
0
2
0
2
0
2
20
2
0
2
µ µ
µ µ
µµ µ
µ µ µ
Θ
Θ Φ
∆∆∆
W F sdsdt
dt I N b l l sdsdt
dtmechEE
Et
t t
t
t t
= = − ⋅ ⋅ ⋅+
−++
∫∫ ( )( )
( )12
1 1 12 2
0
2 00
0
0
0
µ µµ µ
Für die mechanische Energie gilt
und damit durch Koeffizientenvergleich und anschließende Vernachlässigung von 1/µE
Allgemein gilt also:
Das Vorzeichen der Kraft entsteht durch das gewählte Bezugssystem. Die Kraft auf dasEisenstück wirkt immer in Richtung des Luftspaltes.
53
i
u
i
u
i
u
R C L
t t
t t
t t
t t
i = UR
u = i⋅R
i = ∫1L ⋅ u⋅dt
u = ∫1C ⋅ i⋅dt
i = C dudt⋅
u = L didt⋅
u
i
3.8 Passive Bauelemente, die sich aus den bisherigen Betrachtungen ergeben
Wir haben bisher den ohmschen Widerstand, den Kondensator und die Induktivität kennenge-lernt. Hier soll noch einmal kurz zusammengefaßt werden, wie sich diese Bauelemente in einemStromkreis verhalten, wenn sie für eine gewissen Zeit mit einer konstanten Spannung bzw. einemkonstanten Strom beaufschlagt werden.
Tabelle 3.1: Verhalten der passiven Grundbauelemente