elektrostatica magnetostatica elektromagnetisme Þ...

Elektromagnetisme Elektromagnetisme ⇒⇒ LichtLicht

Elektrostatica

MagnetostaticaMagnetostatica

Inhoud Inhoud MagnetostaticaMagnetostaticaMagnetostatica (5 colleges)

I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)II. Wet van AmpereIII. Veldvergelijkingen nader bekeken:IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. Toepassingen/Practikum: Hall effect, Toroide met spleet.

00 =⋅∇=⋅∫ BIldBrrrr

&µ

Griffiths:

Ø Lorentz Foce Law: §5.1 t/m §5.2 (Niet stroomdichtheden K, J)

Magneet: experimentMagneet: experiment

nieuwe kracht: Fmagnetisch >> Fgravitatienoord: “N” & zuid: “Z”

NN & ZZ: afstotendNZ & ZN: aantrekkend

geen monopolen!

N ZN Z N Z

N Z N Z N Z N Z

N Z N Z N Z N Z N Z N Z N Z N Z

geen monopolen!dipolen: “kleinste”

noord/zuid

N ZN Z

N ZN ZF

Anders dan elektrostatica:1. beweging lading q in B-veld2. B-veld als gevolg van stroom I

Eenheden:- Stroom [I]: Ampère A=C/s- Magneetveld [B]: Tesla T=N/Am=Ns/Cm=kg/Cs

Een stilstaande positieve lading bevindt zich in de getekende positie boven de noordpool van een

magneet. Op de lading zal:

+

N

Z

A Een afstotende kracht werken

B Een aantrekkende kracht werken

C Geen kracht werken

D Een kracht naar achteren werken

In twee draden lopen stromen, in dezelfde richting.Er geldt:

A De draden stoten elkaar af

B De draden trekken elkaar aan

C Er zijn geen krachten tussen de draden

LorentzkrachtLorentzkrachtDe Lorentzkracht

VoorbeeldenHet Hall effect

Kracht op stroomdraadMoment op stroomlus

Constant B-veld ⇒ Lorentzkracht⇒ bewegingsvergelijking voor q

LorentzkrachtLorentzkracht

Experiment

BvqFrrr

×=

• F ∝ veld B

• F ∝ lading q

• F ∝ sinus ∠( v , B )

• F ⊥ v en F ⊥ B

q<0

q>0

⇒ F∝sinϑ

F

ϑ90o 180o

ϑ

⇒ F∝vF

v

vy

xBq

• F ∝ snelheid v

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap21/cd533capp.htm

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/emField /emField.html

V.b. kracht op een stroomdraadV.b. kracht op een stroomdraadSituatie:• uniform B-veld• draadstuk L stroom IGevraagd:• kracht F op draadstuk

I

B

z

y

x

L

[ ][ ]

===

m/sv

C/m

vIjIIkBB

snelheid : lijnlading :

:met

en

r

rrrr

λ

λˆ,ˆ

IBLFBlIF =×∆=∆rrrr

en :ndSamenvatte

( )

( ) ( ) IBLivBLidlvBiFivBlBvl

BvqF

lijnstuk

ˆˆˆˆ ==∫=⇒∆=×∆→

×∆=∆

λλλλrrr

rrr

Fr

∆

V.b. draaimoment stroomlusV.b. draaimoment stroomlusSituatie:• uniform B-veld• draadlus L∗L stroom IGevraagd:• Kracht op draadlus• moment τ op draadlus

I

ϑ

z

y

xB

Bovenaanzicht

B

ϑ

FL

FR

ϑ

F

/2cos( )L ϑ

m

FR

*m I≡r oppe

rvla

k st

room

lus

2

ˆ0

ˆ

2| |( / 2 cos ) cos

LL R

R

BILzFF F

BILzF

F L BI Lτ ϑ ϑ

=+ + = =−= =

r rr rrr

Krac

ht:

Dra

aim

omen

t:

Magnetisch moment:

Formeel:2 2 1cos sin( ) | |

2BI BI m BL Lτ ϑ π ϑ= = − = ×

rr

ToepassingToepassing

Galvano (stroom) meterm Bτ = ×

rr r

B FL

m

FR

0

Spoeltje wil loodrecht op B veld staan

TV (elektrisch principe)TV (elektrisch principe)

Hoe maak je een TV met een magnetisch principe?

Hoog-spanning

Ontdekking elektron Ontdekking elektron (1897 J.J. (1897 J.J. ThomsonThomson))

E B⊥r r

Gee

n af

buig

ing

voor

d

l L

v0 v∞X

Y

E

t=0 t=l/v0 t=(l +L)/v0B

E

Zelf doen: bereken uitwijking d

, 0, 0 ,0

0

0

(0) 0y t yx t x

E

B

v vv v ==

≠

=

≡ = =

rrrr

(be

gin sn

elheid

)Af

buigi

ng v

oor

,0

0 0 ,020

,0 ,0

/ x

t tyy

x

y l l Lx x

t l v

F eE eE lv dt dt

m m mv

dveEl L ed v tm m ElLv v

∆ ∆

→ +

∆ =

= = =∫ ∫

≡ ∆ = ⇔ =tij

d vo

or s

tukj

e in

E-v

eld:

F=mdv/dt

000

Ee E e B vv

B⇒ = + × ⇔ =

rr r rr r0 ?v H

oe b

epaa

l je

Combinatie levert e/m voor het elektron!

E B⊥r r

Gee

n af

buig

ing

voor

Voorbeeld: deeltje in uniform BVoorbeeld: deeltje in uniform B--veldveld

Nadenken: Lorentzkracht zorgt voor centripetale kracht: F=qvB=mv2/R

Dus deeltje beschrijft cirkelbaan met (v⊥B):straal R=mv/|q|B •periode T= 2πm/|q|B

Leidt dit nu zelf formeel x(t) en y(t)af, uitgaande van F=ma=mdv/dt

Zie de animatie van een deeltje in een uniform magnetic field, 2Dhttp://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/

z

yx

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

kBB ˆ=r

OPGAVE: deeltje in uniform BOPGAVE: deeltje in uniform B--veldveld

qBmv

mqBt

qBmvty

mqBt

qBmv

tdtvtxm

qBtvtvv

mqB

dt

vdx(t)

vmqB

dt

vd

vmqB

dtvd

jdt

vdmi

dtvd

mjvqBivqB

Bvvv

kjiqBvqF

dtvd

mamFivv

rt

t

xxxx

xy

yx

yxxyzyx

−

=

=∫ ′′≡⇒

=⇒

−=

−=

+=⇒+=−==×=

==

≡

≡=

cos)(

sin)()(cos)(

ˆˆˆˆ

00

ˆˆˆ

ˆ0

:0

0

2

2

2

: b.v.

:Newton

rrr

rrrr

rr

X(0)=0

ivv tˆ

0==r

)(trr

Deeltje met:• lading q, massa m en snelheid v.•Bepaal x(t) en y(t)

Voorbeeld: deeltje in E,Voorbeeld: deeltje in E,BB--veldveld

Bespreek/begrijp de baan van het deeltje t.g.v. het electrische en magnetische veld

Zie de animatie van een deeltje in een E/B veldhttp://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/

Wet van Wet van BiotBiot--SavartSavart

De elektrische stroom IHet verband tussen stroom I en veld B

Voorbeelden

I=constant gegeven ⇒ B-veld

Experiment A Experiment B

V.b. kracht tussen stroomdradenV.b. kracht tussen stroomdraden

I

I

Observatie:• afstotingUitleg:• elektrisch?

FF

I

IObservatie:• aantrekking!Uitleg:• niet elektrisch!• Magnetisch? Ja!

F

Wet van Wet van BiotBiot--SavartSavart: experiment: experiment

rrI

dlr

rldIB

lijnlijnP 2

02

0 ˆ4

ˆ4

×∫→∫

×=

rrrπ

µπ

µ

I

Prr

dl

AN

27

0 104 −∗≡ πµ

– permeabiliteit: Samenhang: • elektrostatica: ladingen• magnetostatica: stromen

1/ε0µ0=c2 [m2/s2]mN

Cc 2

2

2701041

−∗≡

πε

– permittiviteit:

Elektrische stroom ⇒ magnetisch veld!

V.b. BV.b. B--veld veld ∞∞ lange draadlange draadI

O

z

xy

[ ]

[ ]

rI

rI

zrr

zI

zr

rzr

dzI

zrdzI

BdBlijn

P

πµ

πµ

πµ

πµ

απ

µϕ

242

|4

4

sin4

0022

0

22220

220

==+

=

∫+

=

∫=∫=

∞+

∞−

∞+

∞− +

∞+

∞− +

rrRekenen:

Berekening B-veld:Nadenken:•Cilindersymmetrie: (rϕz)

z

r P

ϕπ

µˆ

20

rI

B=r

ϕ

BP•B in azimuthale (ϕ) richting

( )

zr

r

+=

−=

22

sinsin απα

α

http://home.a-city.de/walter.fendt/phe/mfwire.htm

V.b. kracht tussen stroomdradenV.b. kracht tussen stroomdraden

RR

LIIld

RII

RI

ldIBldIFdraaddraaddraad

ˆˆˆ12

12

210

212

210

2 12

102

2122 222 π

µϕ

πµ

ϕπµ

−=∫ ×=∫ ×=∫ ×=rrrrr

:Eleganter

Situatie:• stroomdraden met I1 en I2

• afstand R12, draadlengten L>>R12

Gevraagd:• kracht op draad 2

I1

I2O

z

xy

F1

F2

R12

Slim/snel antwoord:• B-veld draad 1 op draad 2:

B1=µ0I1/2πR12• kracht op draad 2 door B1

F2= B1I2L=µ0I1I2L/2πR12

B1

B1

B2

V.b. BV.b. B--veld 1 stroomkringveld 1 stroomkring

[ ] zzR

RIBP ˆ

2 22 2/3

20

+=

µr

[ ]

[ ]

[ ] [ ]zR

RI

zR

RI

zR

RzR

RdI

zRRdI

BdBkring

zP

22 2/3

20

2

022 2/3

20

2

02222

0

2

0 220

2|

4

4

cos4

++

+

+

==

∫+

=

∫=∫=

µϕπ

µ

ϕπ

µ

αϕπ

µ

π

π

πr

Rdϕ = dl

cosα

Berekening B-veld:Nadenken:

– Cilindersymmetrie

P

R

I

O

x

yz

– B // as stroomkring

Bz =Bcosα

α

B

90o

90o-α

αIzR 22+

z

zR

R

+= 22cosα

dϕ

Rdϕ

Rekenen:

I Wat heb ik geleerd?I Wat heb ik geleerd?Kracht, B-veld

rrI

dlr

rldIB

BldIdlBIF

stroomstroom

stroomstroom

20

20 ˆ

4ˆ

4×

∫→∫×

=

∫ ×→∫ ×=

rrr

rrrrr

πµ

πµ

Magneet N of Z

N ZLorentzkracht

BvqFrrr

×=

IB

ϕπ

µˆ

20

rI

B=r

stroomdraad

[ ] zzR

RIB asz ˆ

2 22 2/3

20

+− =

µrstroomkring

IBz-as

Ontdekking positron Ontdekking positron (1932 C.D. Anderson)(1932 C.D. Anderson)Spoorreconstructie:• In deeltjes fysica wordt energie

bepaald uit kromming van spoor!

loodplaat

Bellenvat

≈30cm

BB≈1T

ν µνµ ee+→+

R

e+

≈10c

m

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] )60107.2106.1

107.2103101.9

106.1106.111.0

22

2022831

2019

≈∗∗

≈∗≈∗∗∗≈≈

∗=∗∗∗≈

−

−

−−

⊥

−−

===⊥

γ:Dussm kgm/skg:danve(Indien

sm kgCkg/CsNs/mCN/mATm

c p

pliefhebbers

iedereen

)foutje! dus eid;lichtsnelh x (6m/skg ][108.1101.9106.1

][101.9 1031

2031 ∗≈

∗∗

≈⇒∗≈ −

−

⊥− vme


I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)II. Wet van AmpereIII. Veldvergelijkingen nader bekeken:IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.


&µ

Griffiths:

Ø Currents: §5.1.3 (stroomdichtheden K, J)Ø Divergence of B: §5.3.1, §5.3.3

Stroomelementen: I,K en JStroomelementen: I,K en J

vdl

IdK r

rrσ=≡

⊥

Oppervlak:[K]=A/m

∫∫ ×=×=oppervlakoppervlak

doBKdoBvFrrrrr

σdl⊥

Ir

σ

vdo

IdJ r

rrρ=≡

⊥

∫∫ ×=×=volumevolume

dVBJdVBvFrrrrr

ρ

Volume:

[J]=A/m2

do⊥

Ir

ρ

Ir

λ[I]=C/s≡A (Ampère)

∫∫∫ ×→×=×=lijnlijnlijn

BldIdlBIdlBvFrrrrrrr

λvI rr

λ=

Lijn:

WetWet van Ampvan Ampèèrere

De wet van AmpèreVoorbeelden

Wet van Wet van AmpAmpèèrereVergelijk E-veld: wet van Gauss

B-veld: wet van Ampère

∑=∫ ⋅omsloten

iOoppervlak

QodEε 0

1ˆ

r

rrQ

E ˆ4

12

0επ=

rpuntlading

E+Q

∫ ⋅==

∫=⋅∫

schijf

kring

odJI

rdr

IldB

rr

rr

µµ

ϕπ

µ π

00

2

0

0 12

IB

ϕπ

µˆ

20

rI

B=r

stroomdraad z

yx

r

V.b. AmpV.b. Ampèèrere dunnedunne draaddraad ((flauwflauw))Dunne draad:

– stroom: I [A≡C/s]– symmetrie: B // ϕ– “Ampère lus”: cirkeltje

r

B

ϕπ

µˆ

20

rI

B=r

rI

BrB

BrdldBIkring

πµ

π

ϕµπ

22 0

2

00

=⇔=

∫=∫ ⋅=rr

z

ϕr

Br

Ι

V.b. AmpV.b. Ampèèrere dikkedikke draaddraadDikke draad, ∅=2R

– stroomdichtheid: J=I/πR2 [A/m2=C/sm2]– symmetrie: B // ϕ– “Ampère lus”: cirkeltjes

=⇒>

=⇒<

=

=∫ ⋅

rI

BIRr

R

IrB

Rr

IRr

rBldBkring

πµ

µ

πµ

µ

π

2:

2:

2

00

20

2

2

0

rr

z

ϕr

Br

Ι

r

R

r

B

R

We We beschouwenbeschouwen eeneen holleholle metalenmetalen buisbuis met met straalstraal R. In de wand R. In de wand looptloopt eeneen stroomstroom. . WelkeWelke figuurfiguur geeftgeeft hethet magnetischmagnetisch veldveld alsals

functiefunctie van de van de afstandafstand tot de as van de tot de as van de buisbuis??

R

B

r R

B

r

R

B

r R

B

r

A B

C D

BB

KX=0

V.b. AmpV.b. Ampèèrere vlakkevlakke plaatplaatVlakke plaat:

– stroomdichtheid: K [A/m=C/sm]– symmetrie: B // vlak, B ⊥ K– “Ampère lus”: rechthoekje

22 0

00

KBaB

KaaBaBIldBkring

µ

µµ

=⇔=

=+⇒=∫ ⋅rr

a

z

x

+>

−<=

zK

x

zK

xB

ˆ2

:0

ˆ2

:0

0

0

µ

µr

x

B

X=0

Overzicht toepassingenOverzicht toepassingenwetwet van Ampvan Ampèèrere

∫ ⋅==⋅∫oppervlak

omslotenrand

odJIldB rrrrµµ 00

Plaat

KB B

Essentie:Symmetrie!

Toroïde

I

Solenoïde

I

Komen nog!

Draad

I

B

Wat heb ik geleerd?Wat heb ik geleerd?

∫ ⋅==⋅∫oppervlak

omslotenrand

odJIldB rrrrµµ 00

vdo

IdJ r

rrρ=≡

⊥

∫∫ ×=×=volumevolume

dVBJdVBvFrrrrr

ρ

Volume:

[J]=A/m2

do⊥

Ir

ρ


I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)II. Wet van AmpereIII. Veldvergelijkingen nader bekeken:IV. Magnetische velden in materie: magnetisatieV. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.


&µ

Griffiths:

Ø Vektor: §1.2.5 en §1.3.5ØDivergence of B: §5.3.2 tot vergelijking 5.48 doorlezenØ Comparison E, B: §5.3.4

Stelling van Stelling van StokesStokes(wiskunde)(wiskunde)

De rotatieDe stelling van Stokes

Voorbeeld

Rotatie: Rotatie: kyE

x

Ej

xE

zE

iz

E

yE

E xyzxyz ˆˆˆ

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

≡×∇rr

∂∂

−∂

∂=

∂

∂−

∂∂

=

∂

∂−

∂

∂=⇔

∂∂

−∂

∂=⇔

−−+≈ ++

xE

zE

dzdxz

E

yE

dydz

yE

x

Edxdy

yE

dxdyx

Edydx

dyEdxEdyEdxE

zxyz

xyxy

yxydyyxxydxxyyxx

0

00

0 ),(),(),(),(

:XZ en YZ

“rotatie”:EEE

kji

yE

x

Ek

xE

zE

jz

E

yE

iE

zyx

zyxxyzxyz ∂∂∂=

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

≡×∇

ˆˆˆˆˆˆ

rr

00rrrrr

=×∇⇒=∫ ⋅ EldEkring

Dus:

XY

dx

dy

E(x+dx,y,z)E(x,y,z)

x

y

0=∫ ⋅kring

ldErr

Beschouw lokaal de uitdrukking:

RotatieRotatie van van vectorveldenvectorveldenvoorbeelden/discussievragenvoorbeelden/discussievragen

Je fietst naar het café en via een andere weg weer terug bijgelijke windsterkte en richting. Heeft het windsnelheids-vectorveld rotatie?

Je fietst een rondje Ijselmeer, waar een lagedrukgebied zichbevindt. Heeft het windsnelheids-vectorveld rotatie?

x

y

z

Wel of geen rot?Wel of geen div?

x

y

z

A(x,y,z)

Stelling van Stelling van StokesStokes (wiskunde)(wiskunde)Er volgt meer!

∫ ⋅×∇∑ =∫ ⋅×∇=∑ ∫ ⋅=∫ ⋅== oppervlaki ii irand

odAodAldAldA rrrrrrrrrr ......

11

A

odAldAoppervlakrand

r

rrrrr

gewillekeuri :op Let

:Stokes van Stelling

∫ ⋅×∇=∫ ⋅

( )

∫ ⋅×∇=∫ ⋅⇒

⋅×∇≡×∇=

∂

∂−

∂∂

=∫ ⋅

oppervlakrand

zyx

rand

odAldA

odAAdox

A

yA

dxdyldA

rrrrr

rrrrrrr

dx

dy

A(x+dx,y,z)A(x,y,z)

do Opmerking:consistentie keuze oriëntaties vereist!

Willekeurige kromme:

randi

globaal lokaal

n n+1

n+2

V.b. rotatie en V.b. rotatie en StokesStokesexpliciet voorbeeld:

Rdrdrr

odA

RdlldA

R

schijf

cirkelcirkel

πϕ

π

π2

1

2

2

0 0=∫ ∫=∫ ⋅×∇

=∫=∫ ⋅

rrr

rr

rk

yx

k

yx

yyyx

xx

k

yx

x

yx

y

kji

AAA

kjiA zyx

zyx

zyx

ˆˆˆ

0

ˆˆˆˆˆˆ

222222

2222

≡+

=+∂

∂+

+∂∂

=

++

−∂∂∂=∂∂∂=×∇

rr

rekenen: yx

xyzyxA 22

)0,,(),,(

+

−=

r

x

y

z

A(x,y,z)

∫ ⋅×∇

=∫ ⋅

oppervlak

rand

odA

ldA

rrr

rrStokes:x

y

z

∇×A(x,y,z)

RotatieRotatie van van vectorveldenvectorveldenvoorbeelden/discussievragenvoorbeelden/discussievragen

Er drijven kurkjes (met orientatiepijltje) in wild stromend water. Hoe kun je zien of het (snelheids)vectorveld rotatie ongelijk nulheeft?

Heeft het snelheids vectorveld op een grammofoonplaat rotatie?

Heeft het snelheids vectorveld van een leeglopende wasbak (v radieel) rotatie?

Heeft het snelheids vectorveld van een draaikolk rotatie? Heeftdit veld divergentie?

Veldvergelijkingen voor BVeldvergelijkingen voor B

De rotatie van BDe divergentie van BVoorbeeld: solenoïde

∇×∇×B=B=µµ00JJ via:via:stellingstelling van Stokes & wet van Amperevan Stokes & wet van Ampere

∫ ⋅=⋅∫oppervlakrand

odJldB rrrrµ0

Wet van Ampèère

∫ ⋅×∇=∫ ⋅oppervlakrand

odBldB rrrrr Stelling van Stokes:

BJ

odBldBodJoppervlakrandoppervlak

rrr

rrrrrrr

×∇=⇒

∫ ⋅×∇=⋅∫=∫ ⋅

µ

µ

0

0

Dus: Wiskunde:Stokes

Natuurkunde:Ampère

∇×∇×B=B=µµ00JJ alsals::voorbeeldvoorbeeld bijbij eeneen dikkedikke stroomdraadstroomdraad

+−

==<0

2ˆ

2: 2

02

0 xy

RI

RIr

BRrπµ

ϕπ

µr

JkR

I

xy

kji

R

I

R

IrB zyx

rrrrµ

πµ

πµ

ϕπ

µ02

02

02

0 ˆ22

0

ˆˆˆ

2ˆ

2≡=

+−∂∂∂=×∇→×∇

RkI

J 2

ˆ

π=⇒

rz

yx

I

B

=

010

ϕ̂

=

001

ϕ̂

∇.∇.B=0B=0 alsals::voorbeeldvoorbeeld bijbij eeneen dikkedikke stroomdraadstroomdraad

Vraag:Waarom dikke stroomdraad?

( ) 02

ˆ2 2

02

0 =∂+∂−=⋅∇→⋅∇ xyRI

RIr

B yxπµ

ϕπ

µrrr

Antwoord:Omdat B-veld voor dunne stroomdraad in r=0 singulier is!

ϕπ

µˆ

20

rI

B =r

+−

==<0

2ˆ

2: 2

02

0 xy

R

I

R

IrBRr

πµ

ϕπ

µr I

B

z

yx

+−

==>0

2ˆ

2: 2

00 xy

rI

rI

BRrπµ

ϕπ

µr0

2ˆ

2 2200 =

∂+∂−=⋅∇→⋅∇

rx

ryI

rI

B yxπµ

ϕπ

µrrr

Maar: ook in r=0geldt ∇.B=0

0=∫ ⋅oppervlak

odB rr

∇.∇.B=0B=0 via:via:stellingstelling van Gauss & van Gauss & magnetischemagnetische flux flux ΦΦB B

∫ ⋅≡Φoppervlak

B odB rrMagnetische flux:

∫ ⋅∇=∫ ⋅volumeoppervlak

dvBodBrrrr

Gebruik nu: stelling van Gauss:

I

0=⋅∇⇒ Brr

I I FiguurFiguur I is I is mogelijkmogelijk patroonpatroon van van magnetischemagnetische veldlijnenveldlijnenII II FiguurFiguur II is II is mogelijkmogelijk patroonpatroon van van elektrischeelektrische veldlijnenveldlijnen

A I en II zijn juist

B alleen I is juist

C alleen II is juist

D I en II zijn onjuist

I

II

R

L

I

z

x

y

BB--veld solenoveld solenoïïde de Solenoïde- diameter: 2R- lengte: L>>R- stroom: I- windingen/m: N

=⇒>

=⇒<=∫ ⋅

=⇒=∫ ⋅

00:

00:

00

BRr

BRrldB

BodB

cirkel

rjepillendoos

rr

rr

rrr

ϕ

ϕ

1. 2.

1.

2.

=⇔

=⇒

=⇒

=∫ ⋅

µ

µ

0

00

00

NIB

NIlBl

B

ldB

z

z

z

rechthoek:binnen:buitenrr

3.

lr=r

r=∞

3.

Wat heb ik geleerd?Wat heb ik geleerd?

JBodJldBodBoppervlakkringoppervlak

rrrrrrrrrrµµ 00 =×∇⇒∫ ⋅=∫ ⋅=∫ ⋅×∇

Wiskunde:Stokes

Natuurkunde:Ampère

Rotatie∫ ⋅×∇=∫ ⋅

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

≡×∇

oppervlakkring

xyzxyz

odAldA

kyA

x

Aj

xA

zA

iz

A

yA

A

rrrrr

rr

:Stokes van Stelling

ˆˆˆ

00 =⋅∇⇔=∫ ⋅ BodBoppervlak

rrrr

Detector voor deeltjesfysica Detector voor deeltjesfysica

Moderne spoordetectie Moderne spoordetectie


I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)II. Wet van AmpereIII. Veldvergelijkingen nader bekeken:IV. Magnetische velden in materie: magnetisatieV. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.


&µ

Griffiths:

Ø Magnetization: §6.1Ø Bound currents: §6.2.2, §6.2.3ØAuxiliary Field H: §6.3ØLinear and NonLinear Media: § 6.4

MagnetisatieMagnetisatie

Magnetisatie microscopisch bekekenMagnetisatie en “gebonden” stroom

Het veld “H”Lineaire materialen

Voorbeelden

Elektron tolt=spint om zijn as!Elektron tolt=spint om zijn as!

e-

m Elektron: - lading qe=-1.6∗10-19 C- spint om zijn as

⇒ magnetisch dipoolmoment:

0rr

=B 0rr

≠BB

mAm

qm

e

e 223102

−≈≡h

Dit leer je later!

Voor B=0: oriëntatie m willekeurigVoor B≠0: oriëntatie m // B

( ) Bmrr +∝∑∆⇒

Elektron draait rond kern (I)Elektron draait rond kern (I)Elektron: - lading qe = -1.6∗10-19 C

- draait rond kern; R ≈ 10-10 m- snelheid ve ≈ 107 m/s

⇒ magnetisch dipoolmoment:

mARRvq

RIm ee 22222 102

−≈≅≡ ππ

π

Voor B=0: oriëntatie m randomVoor B≠0: oriëntatie m // B0

rr=B 0

rr≠B

B

( ) Bmrr +∝∑∆⇒

me-

kernR

ve

Elektron draait rond kern (II)Elektron draait rond kern (II)

( ) Bmrr −∝∑∆⇒

m

e-

Maar, er gebeurt meer!

Elektron snelheid neemt af ⇒magnetisch moment kleiner

(kwalitatieve redenering;berekening zeer lastig)

ve

B≠0: FC+FL houdt elektron in baan

BFL

B=0: FC houdt elektron in baan

FC

Elektron snelheid neemt toe ⇒magnetisch moment groter

∆m t.g.v. ∆ve > ∆m t.g.v. mxB

BFL

FC

m

e-ve

DiaDia-- & para& para--magnetismemagnetismeElektron baan beweging: ( ) Bm

rr −∝∑∆( ) Bm

rr +∝∑∆Elektron spin beweging:

Wie wint: baan of spin?

Dia-magnetisch:• # elektronen even• baan component wint• ∆ m // -B

Heliummspin

mspin

e- e-

mbaan

Afhankelijk van # elektronen!

e-

mspin Waterstof

Para-magnetisch:• # elektronen oneven• spin component wint• ∆m // +B

mbaan

DiaDia-- & & parapara--magnetismemagnetisme

Hoef je niet numeriek te weten; slechts als illustratie dater twee soorten magnetisme bestaan

Brok materie (para-magnetisch)

Karakteristieken in B-veld:

Bextern

Macroscopisch: magnetisatieMacroscopisch: magnetisatie

Originele B-veld verandert!

- deze stroom genereert B-veld:tegengesteld externe B-veld

Bmagnetisatie

- magnetiseert d.w.z.atomaire dipooltjes m

m

- magnetisatie op te vatten als:oppervlakte stroom K

MicroscopischMicroscopisch→→MacroscopischMacroscopisch(analoog elektrische polarisatie)

m [m] = Ampère∗meter2 M [M] = Ampère/meter

dipoolmoment/volume ≡ Magnetisatie M

ˆmag

M nK = ×rr

( )BMm

mrr

χµχ+

=10

“Eenvoudige” lineaire relatie tussen:magnetisatie M en resulterend veld B

De ‘gebonden’ stroom t.g.v. magnetisatie is gegeven door:

Controle relatie:

Magnetisatie en Gebonden stroomMagnetisatie en Gebonden stroomˆ

magM nK = ×rr

KL

Oppervlak A

m

K

We gaan uit van (constant) gemagnetiseerde cilindermet oppervlakte stroom K

/( )M m LA=r r

Dus gemagnetiseerde materie in cilinder

-Magnetisatie=dipoolmoment/Volume

-Voor het dipoolmoment schrijven we m=IA

| | /( ) / | |M IA LA I L K= = =r r

‘Magnetisch’ equivalent aan oppervlakte stroom K in ‘lege’ ruimte

Spoel met kern van lineair materiaalSpoel met kern van lineair materiaal

Een gemagnetiseerde cilinder van lineair materiaal

magBr

Mr

Kmag

r

LINK vrij /=Stroom I, lengte L, N windingen

zKB vrij)r

00 µ=Ampere’s law:

Veld in lege spoel:

Kern wordt gemagnetiseerd en er gaat dus een gebonden stroom lopen, dus:

0

0 ˆ( )mag

vrij mag

B B B

K K zµ

= +

= +

r r r

Gevolgen(en) kern:

Volgende stap: Wat is Kmag?

0Br

Kvrij

r

Spoel met kern (vervolg)Spoel met kern (vervolg)

( )BMm

mrr

χµχ+

=10

nMK magˆ×=

rr

Door (in feite eenvoudig) invullen en combineren vinden we veld in spoel:

zKB magmag)r

0µ= 0BB mmag

rrχ=

Wat is Kmag?

We weten en

0

0 ˆ( )mag

vrij mag

B B B

K K zµ

= +

= +

r r rWe hebben

00 1 BBBB mmag

rrrr)( χ+=+= leegkernmet BB

rr100≈

Ga na!

Het veld H Het veld H B-veld wordt bepaald door totale stroomverdeling. Gebruik daarom i.p.v. magnetisatie equivalente oppervlakte Kmag en volume Jmag dichtheden!

Voor B-veld (via rotatie):

( ) ( )( ) HMBJ

MJJJJB

vrij

vrijmagvrij

rrrrrr

rrrrrrrr

×∇≡−×∇=⇒

×∇+=+→=×∇

µµ

µµµ

00

000

1

→ 0

IvrijR

H=I/2πrB=µ0H B≠µ0H

Para

dia

Kmag(Jmag)

Veld H=B/µ0 - M

IodJldH

JH

omslotenvrij

oppervlakvrij

rand

vrij

=∫ ⋅=∫ ⋅

=×∇rrrr

rrrAmpere van Stelling

Voor H-veld:

Extra stof

Lineaire materialenLineaire materialen

==<

=>

RIrHMRr

MRr

mm 22:

0:

πχχ

==<

==>

RIrHBRr

rI

HBRr

2

00

2:

2:

πµµ

πµ

µ

J=I/πR2IR

H=I/2πr

=⇒=<

=⇒=>

RIr

HRrIrHRr

rI

HIrHRr

22

2

22:

22:

ππππ

ππ

H=Ir/2πR2

Lineaire relatie tussen M en H: HMHM mrrrr

χ=⇒∝

paraχm

M

Nu volgt overal B uit H: ( ) ( )χµµµχµ

χµµµµ

mm

m

HH

HHMHB

+≡≡+=

+=+≡

11 00

0000

metrr

rrrrr

Extra stof

ParaPara-- en diamagnetischeen diamagnetische materialen materialen PARA-MAGNETISCH

χm > 0

Element Z χm -------------------------Helium 2 ?Zuurstof 8 +2x10-6

Neon 10 ?Aluminium 13 +21x10-6

Argon 18 ?

Terminologie: ( )( )

≡+

≡+

>

<

teitpermeabili

teitpermeabili relatieve

paradia

liteitsusceptibi

µµ0

0

0

1

1

?

K?

?

m

mm

?m

?mm

DIA-MAGNETISCHχm < 0

Element Z χm -------------------------Waterstof 1 ≈0Koper 29 -10x10-6

Zilver 47 -25x10-6

Goud 79 -30x10-6

In de (In de (oneindigoneindig doorlopendedoorlopende) ) rechterplaatrechterplaat looptloopt eeneenoppervlaktestroomoppervlaktestroom in de in de aangegevenaangegeven richtingrichting. De (. De (oneindigoneindig

doorlopendedoorlopende) ) linkerplaatlinkerplaat is van is van paramagnetischparamagnetisch materiaalmateriaal. In punt . In punt P P geldtgeldt voorvoor hethet magnetischmagnetisch veldveld::

A dat is groter dan in Q

B dat is kleiner dan in Q

C dat is even groot als in Q

D dat is gelijk aan nul

P Q

FerromagnetismeFerromagnetisme

Principe & hysterese

Permanente magneet?Permanente magneet?Para-magnetismedia-magnetisme

N Z

“Weiss”gebiedjes

T<TCurie: ordeT>TCurie: chaos

Voor ferro-magneet:spontane alignering atomaire

dipool momenten!

Ferro-magnetisme(temperatuur afhankelijk!)

ijzerII

Hysterese:

µ0H≡µ0NI

µ0M≡B-µ0H≈B

10-3 T

1 T maximaalgealigneerd

SpontaneSpontane aligneringalignering

SpoelSpoel met met ijzerenijzeren kernkern

Curie punt Curie punt NikkelNikkel

HystereseHysterese

Materialen

– Magnetisatie

m

VI Wat heb ik geleerd?VI Wat heb ik geleerd?

– Mogelijkheden:• Dia-magnetisme M // - B• Para-magnetisme M // + B• Ferro-magnetisme M permanent (hysterese)

( )BMm

mrr

χµχ+

=10

nMK magˆ×=

rr

zKB magmag)r

0µ= 0BB mmag

rrχ=

00 1 BBBB mmag

rrrr)( χ+=+=

Voor gemagnetiseerdmateriaal t.g.v. een eenextern veld B0

(I) Magnetisatie M(I) Magnetisatie M““gebondengebonden”” stroomstroom

Md

IK

MdII

randrand

plakrand

==⇔

=≡

d

M

d

MJ

nMK

M

mag

mag

rrr

rrr

×∇=

×=

:algemeen

ˆequivalent

M

nImag=0

Dipoolmoment/“plakje”:

MdI

oppIoppMd

plak

plak

=⇒

∗≡∗

Iplak

M

n

Kmag=Mxn

Voor liefhebbers

O

z

xy

dydx

dz(x,y+dy,z)

(x,y,z+dz)

(x,y,z)

(II) Magnetisatie M(x,y,z)(II) Magnetisatie M(x,y,z)““gebondengebonden”” stroomstroom

Voorliefhebbers!

MJnMKM magmag

rrrrrr×∇=×= en:equivalent ˆ

My

Mz

( )

z

MJdzdy

y

M

dyMMI

yx

y

dzzyxyzyxyx

∂

∂−≈⇒

∂

∂−≈

−= + ),,(),,(

Ix

t.g.v. My

( )

yM

Jdydzy

M

dzMMI

zx

z

zyxzzdyyxzx

∂∂

≈⇒∂

∂≈

−= + ),,(),,(

Ix t.g.v. Mz

( )Mz

M

yM

J xyz

x

rr×∇≡

∂

∂−

∂∂

=

PnPP polpol

rrrr⋅∇−=⋅=⇔ ρσ envergelijk ˆ MJnMKM magmag

rrrrrr×∇=×=⇔ en :dus ˆ


I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)II. Wet van AmpereIII. Veldvergelijkingen nader bekeken:IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V.V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.


&µ

Hall effect Hall effect (ter voorbereiding (ter voorbereiding practikumpractikum))

NqaIB

EdVqB

NadI

Bqqv

E

dBqvdEqFF

HallHallHall

Hallmagnelec

==⇒==⇒

−=+= ˆˆrrr0

Voor q=+/-:- dichtheid: N- lading: q - snelheid: v⇒ I=Nq∗adv [C/s]

I

B

VHalld

a

d̂- pool

+ pool

-

Bv-

BvqFrrr

×−=⇒ afbuiging q=+/- ⇒ E-veld: EHall

+

Bv+

BvqFrrr

×+=

Waarom beweegt stroomdraad?Waarom beweegt stroomdraad?Niet FLorentz:

elektronen zwemmen vrijelijk door draad!

I

⇒ E-veld:E-veld trekt rooster ionen

(+) en daarmee de draad naar beneden!

I

FE

E

IB e-

FL

Hall effect:Elektronen naar onderkant draad!

I

* stroom I* N windingen* straal R

VoorVoor labjournaallabjournaal: : ToroToroïïdede met met spleetspleet

} ( )sprs

NI

sprsNIBB

NIBsBB

spr

s

ss

−+=

−+==

⇔=+=

−

22

)2(

0

0

0

0

µµµ

µµ

µ

µµ

=⇒=

=⇒

=

0022

2

0

0

BprB prNIµ

B

NIµprB

:buiten""

:binnen""

(cirkel):Ampere

zonder materiaal:B

=⇒=

=+−

002

)2(

HprH

NIHsHspr s

:buiten"":binnen""

:Ampere

met materiaal: µ≡ µ0( 1+χm) & spleet s

s

H

Hs

BB

odB B

HBHB

s

oppervlak

ss

=⇒

=∫ ⋅⇒=⋅∇

==

ecilindertj

en :B Voor

00

0

rrrrr

µµ

Zelf doen (kan zonder H veld)


I. Lorentz kracht en magnetisch veld (Biot-Savart)II. Wet van AmpereIII. Veldvergelijkingen nader bekeken:IV. Magnetische velden in materie: magnetisatie V.V. Toepassingen: Hall effect, Toroide met spleet.


&µ

Einde

ElectroElectro-- & & magnetostaticamagnetostatica in vacuin vacuüümm

Magnetostatica: Biot-Savart

Pr’

r-r’

r

J(r’)

Gevraagd: B(r)

O

x

y

z

Electrostatica: Coulomb

Pr’

r-r’

r

ρ(r’)

Gevraagd: E(r)

O

x

y

z

ElectroElectro-- & & magnetostaticamagnetostatica in vacuin vacuüümmElectrostatica: Coulomb

( )

( )∫

−−=

∑−

−=≡

=

volume

N

ii

iiP

dvrr

rrr

rr

rrqrEE

''

')'(4

1

41

)(

30

1 30

rrrrr

rrrrrrr

ρεπ

επ

⇓

=∫ ⋅≡Φ

=∫ ⋅

(Gauss)ε 0

0

QodE

ldE

omsloten

oppervlakE

kring

rr

rr

⇓

ερ

0&0 =⋅∇=×∇ EE

rrrrr

Magnetostatica: Biot-Savart( )

( ) ''

')'(4

''

'4

)(

30

30

dvrr

rrrJ

dlrr

rrIrBB

volume

lijnP

∫−

−×=

∫−

−×=≡

rrrrrrrr

rrrrrr

πµ

πµ

⇓

=∫ ⋅≡Φ

=∫ ⋅

0

0

oppervlakB

omsloten

kring

odB

IldB

rr

rr(Ampere)µ

⇓

0&0 =⋅∇=×∇ BJBrrrrr

µ

ElectroElectro-- & & magnetostaticamagnetostatica metmet mmaterieaterie

PEDrrr

+≡ ε 0

:hulpveld"" rIntroducee

EePrr

εχ0=:medium Lineair

( )QodD

PED

omslotenvrij

oppervlak

vrijpolpolvrij

=∫ ⋅⇒

=−+=

⋅∇+⋅∇≡⋅∇

rr

rrrrrr

ρρρρ

ε 0

MBHrrr

−≡ µ 0/

:hulpveld"" rIntroducee

HM m

rrχ=:medium Lineair

( )IldH

JJJJ

MBH

omslotenvrij

lijn

vrijmagmagvrij

=∫ ⋅⇒

=−+=

×∇−×∇≡×∇

rr

rrrrrrrrrr

µ0/

⋅∇−=

⋅=

P

nP

P

pol

pol rrr

r

ρ

σ ˆ

:met equivalentPolarisatie: P

×∇=

×=

MJ

nMK

M

mag

mag rrrrr

r

ˆ

:met equivalentMagnetisatie: M

InhoudInhoudElektrostatica

I. Elektrische kracht, - veld en - potentiaalII. Veldvergelijkingen nader bekeken:III. Elektrische velden in materie: polarisatie

MagnetostaticaIV. Lorentz kracht en magnetisch veldV. Veldvergelijkingen nader bekeken:VI. Magnetische velden in materie: magnetisatie

ElektromagnetismeVII. Parallel Elektrostatica & MagnetostaticaVIII. InductieIX. Maxwell vergelijkingen X. Elektromagnetische golven

00 =⋅∇=×∇ BJBrrrrr

&µ

ερ 0/0 =⋅∇=⋅∫ EldErrrr

&

GrafischGrafisch: : rotatierotatie en en divergentiedivergentie

Elektrisch veld

rrQ

E 204ˆ

επ=

rQ

00

11

00

=×∇⇒=∫ ⋅

=⋅∇⇒∫=∫ ⋅

EldE

EdvodE

kring

volumeoppervlak

rrr

rrrρ

ερ

ε

JBodJldB

BodB

oppervlakkring

oppervlak rrrrrr

rrr

µµ 00

00

=×∇⇒∫ ⋅=∫ ⋅

=⋅∇⇒=∫ ⋅

Magnetisch veld

rI

Bπ

ϕµ2

ˆ0=r

I

E: rotatie vrij B: divergentie vrij

GrensvlakkenGrensvlakken

De velden B & HDe velden E & D

BB-- and and HH--fields at interfacefields at interface

LA

HB

LA

HB

22

2

11

1

tan1

tan1

αα=

2

1

2

1

tantan

αα

µµ

=r

r

Given: B1 ; µ1 ; µ2

Question: Calculate B2B1

B2

α1

α2

1

2

Gauss box : B1.Acos α1 - B2.Acos α2 =0 ⇒ B1⊥ = B2⊥

Circuit: : no I : H1.Lsin α1 - H2.Lsin α2 =0 ⇒ H1// = H2//

Needed: “Interface-crossing relations”:

Relation H and B: B = µ0 µr H

0 and =•=•∫ ∫∫ dABdlH freeI

EE--field at interfacefield at interfaceGiven: E1 ; ε1 ; ε2 εεQuestion: Calculate E2

Needed: “Interface-crossing relations”:

Relation D and E: D = ε0 εr E

., and 0 enclfreeQ=•=•∫ ∫∫ dADdlE

Gauss box (empty!): D1.Acos α1 - D2.Acos α2 =0 ⇒ D1⊥ = D2⊥

Circuit: E1.Lsin α1 - E2.Lsin α2 =0 ⇒ E1// = E2//

LA

ED

LA

ED

22

2

11

1tan

1tan

1αα

=

2

1

2

1tantan

αα

εε

=r

r

E1

E2

α1

α2

1

2

ElectretElectret and Magnetand MagnetE D

H B

Electret P

- - -

+++E = (D-P)/ ε0D = ε0 E + P

∫∫∫

==•

=•

0

0

fQdSD

dlE

Magnet MH = B / µ0 -MB = µ0 H + M

0

0

=•

==•

∫∫∫

dSB

dlH fI

0rrr

=×∇ E

rrQ

E ˆ4

12

0επ=

rQ

r

P

Puntlading:

0ˆˆˆ4

ˆˆˆ

44ˆ

4

3333330

333

03

02

0

r

rrrrr

=

∂−∂+

∂−∂−

∂−∂=

∂∂∂=×∇=×∇=×∇

rx

ry

krx

rz

jry

rz

iQ

rz

ry

rx

kjiQ

rrQ

rrQ

E

yxzxzy

zyx

επ

επεπεπ

0rrr

=×∇ E

rrQ

E ˆ4

12

0επ=

rQ

r

P

Uniform geladen bol:

0ˆˆˆ4

ˆˆˆ

44ˆ

4

3333330

333

03

02

0

r

rrrrr

=

∂−∂+

∂−∂−

∂−∂=

∂∂∂=×∇=×∇=×∇

rx

ry

krx

rz

jry

rz

iQ

rz

ry

rx

kjiQ

rrQ

rrQ

E

yxzxzy

zyx

επ

επεπεπ

elektrostatica magnetostatica elektromagnetisme Þ...

Documents