UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIČKI FAKULTETODJSEK ZAJEDNIČKIH OSNOVA

ELEKTROMAGNETIKA 1TEORIJA

PROF. DR BOŽIDAR KRSTAJIĆ

ISTOČNO SARAJEVO, FEBRUAR 2013

Elektromagnetika 1

3. Definicija elektromagnetskog polja, izraz za Lorencovu silu.

Elektromagnetsko polje je posebno fizičko stanje sredine u okolini naelektrisanih tijela, pro-vodnika sa strujom i stalnih magneta koje se manifestuje pojavom sile na naelektrisana tijela, provod-nike sa strujom i stalne magnete kada se unesu u polje, kao i pojavom indukovanog polja u tijelima koja se nalaze u polju koje se mijenja u vremenu ili se kreću kroz prostor u kome postoji polje.

Ako u nekom prostoru postoji elektromagnetsko polje, onda ono, na malo probno naelektrisanje koje se kreće u tom prostoru, u opštem slučaju, djeluje silom:

(1.1.1)

Polje u prostoru postoji nezavisno od naelektrisane čestice, ali je za dokaz da polje postoji ova čestica neophodna.

Jednačina (1.1.1) je poznati izraz za Lorencovu silu, u kome su: – vektor jačine električnog polja, – vektor magnetske indukcije (u opštem slučaju funkcije koordinata i vremena) i – brzina relativnog kretanja naelektrisanja u odnosu na posmatrača.

4. Prva Maksvelova jednačina (Faradejev zakon) u integralnom obliku (slučaj statičke ili transformatorske indukcije)?

Prva Maksvelova jednačina predstavlja Faradejev zakon elektromagnetske indukcije. Iz njega slijedi da svako vremenski promjenljivo električno polje stvara vremenski promjenljivo magnet-sko polje i obrnuto:

(1.2.3)

Ako kontura C miruje a vektor magnetske indukcije se mijenja u vremenu (slučaj takozvane statičke ili transformatorske indukcije) promjena fluksa će biti:

(1.2.4)

odnosno Faradejev zakon ima oblik:

(1.2.5)

Vlastimir Hršum 1

t¶¶B

E

Elektromagnetika 1

5. Druga Maksvelova jednačina (Amperov zakon) u integralnom obliku.

Druga Maksvelova jednačina izražava uopšteni Amperov zakon iz koga slijedi da magnetsko polje stvaraju kako kondukcione tako i konvekcione struje i struje dielektričnog pomjeraja:

(1.2.6)

Zbir vektora gustina struja u izrazu (1.2.6) naziva se vektorom gustine ukupne ili totalne struje:

(1.2.7)

Kondukcionu struju obrazuju naelektrisane čestice koje se kreću pod dejstvom električnog polja: (1.2.8)

što predstavlja Omov zakon i u njemu je specifična provodnost sredine, . Konvekcionu struju obrazuju naelektrisane čestice koje se kreću pod dejstvom sila neelektromagnetske prirode.

(1.2.9)Gustina struje dielektričnog pomjeraja sadrži dvije komponente:

(1.2.10)

Prva komponenta predstavlja struju dielektričnog pomjeraja u slobodnom prostoru. Ova struja postoji samo zbog toga što se elektromagnetsko polje mijenja u vremenu. Dakle, nju ne obrazuju naelektrisa-ne čestice u pokretu. Druga komponenta u (1.2.10) je gustina struje polarizacije.

6. Treća Maksvelova jednačina (Gausov zakon) u integralnom obliku.

Treća Maksvelova jednačina ili Gausov zakon polja vektora električne indukcije ima oblik:

(1.2.11)

Ova jednačina pokazuje da električnu indukciju stvaraju slobodna opterećenja, odnosno da je polje vektora izvorno polje. Konvencija je da se izvorima smatraju pozitivna, a ponorima negativna slo-bodna opterećenja. Ova jednačina je poznata pod nazivom zakon o održanju (konzervaciji) magnetskog flksa.

(1.2.12)

Konačno, sve četiri Maksvelove jednačine u integralnom obliku su:

,

, . (1.2.13)

Vlastimir Hršum 2

Elektromagnetika 1

8. Kako nazivamo prostore u kojima je divE<0, divE>0, divE=0?

9. Maksvelove jednačine u diferencijalnom obliku.

, , . (1.3.7)

15. Jednačina kontinuteta (opšti oblik i oblik za stacionarne struje).

Jednačinu kontinuiteta izvešćemo iz druge Maksvelove jednačine (1.3.3) koristeći se poznatom relaci-jom iz teorije polja:

(1.4.1)

Primjenom teoreme Gaus-Ostrogradskog dobija se odgovarajući integralni oblik:

(1.4.2)

Izvedimo odgovarajući oblik jednačine kontinuiteta za kondukcionu struju:

,

, . (1.4.3)

Odgovarajući integralni oblik je: (1.4.4)

Pošto je divergencija polja gustine kondukcione struje različita od nule zaključujemo da je ovo polje izvorno.

Ako je riječ o stacionarnim strujama vremenski izvod je jednak nuli, pa je:

. (1.4.5)

Vlastimir Hršum 3

Elektromagnetika 1

30. Elektrodni sistemi (jednačine preko potencijalnih i koeficijenata indukcije).

Posmatrajmo linearnu sredinu, u kojoj se nalazi N+1 provodno tijelo. Neka je N tijela opterećeno naelektrisanjima respektivno, a N+1 tijelo je referentno, sa opterećenjem

. Referentno tijelo može biti provodna ravan ili zamišljena provodna sfera u beskonač-nosti ili sferni ili cilindrični provodnik unutar kojeg se nalaze ostale elektrode. Potencijali svakog tije-la (elektrode) u odnosu na referentno tijelo zavisiće od svih opterećenja u sistemu, pa možemo pisati:

(2.3.6)

(2.3.7)

gdje je matrica potencijalnih koeficijenata.:

za = 0, pri m = 1,2,3,……..N; (2.3.8)

za = 0, pri m = 1,2,3,……..N; (2.3.9)

Ako iz (2.3.7) izrazimo opterećenja preko potencijala u odnosu na referentno tijelo, dobijamo:

(2.3.10)

Matrica sadrži koeficijente indukcije, :

za m = 1,2,3,……..N; (2.3.11)

za m = 1,2,3,……..N; (2.3.12)

. (2.3.13)

Vlastimir Hršum 4

Elektromagnetika 1

37. Objasnite polje paralelnih beskonačnih el. osa naelektrisanih sa τ i –τ.

Analizirati elektrostatički sistem dvije beskonačno duge, ravnomjerno podužno naelektrisane ose u homogenom dielektriku. Neka su naelektrisanja jednaka i suprotnog znaka. Pokazati da postoji kružna linija u odnosu na koju su tačke, u kojima ose prodiru ravan crteža, inverzne jedna drugoj i da je ta kružna linija ekvipotencijalna, [ ].

Slika 2.41

Polje u okolini duge naelektrisane niti ima samo radijalnu komponentu. Potencijal u tački M, slika 2.41 dobija se superpozicijom:

. (1)

Očigledno je da konstanta C mora imati vrijednost nula, jer je za , tj. u ravni u odnosu na koju su naelektrisane niti simetrične, potencijal jednak nuli. Iz izraza (1) je očigledno da su jednačine ekvi-potencijalnih linija (polje je planparalelno, odnosno isto u svakoj ravni okomitoj na naelektrisane niti):

, (2)

gdje je k parametar familije ekvipotencijalnih linija. Sa slike 2.41 je očigledno:, , (3)

Uzimajući u obzir (2), dobijamo:

, (4)

Ova jednačina predstavlja familiju kružnica čiji su centri na x-osi, u tačkama:

, (5)

sa poluprečnicima:

. (6)

Vlastimir Hršum 5

Elektromagnetika 1

39. Analizirajte polje 2 beskonačno duga paralelna cilindrična provodna nekoaksijalna plašta na potencijalima φ1, φ2 (slučaj: rastojanje.....)

Neka poluprečnici nekoaksijalnih cilindara budu i a rastojanja njihovih geometrijskih osa d. Neka je rastojanje električnih osa 2a. Pošto su provodni plaštovi ekvipotencijalne površine, to će elek-trične osovine biti međusobno inverzne u odnosu na te površine. Odredimo nepoznate , , a i .

Slika 2.48Za primjer na slici 2.48 očigledno je:

.

;

,

Vlastimir Hršum 6

Elektromagnetika 1

38.

Slika 2.49

Za drugi slučaj, slika 2.49, analogno važi:

Iz (2) slijedi:

;

,

Podužna kapacitivnost nekoaksijalnih provodnih plašteva je:

Vlastimir Hršum 7

Elektromagnetika 1

40. Elektrostatičko polje u homogenom dielektriku.

Označimo sa: – polje u okolini provodnih tijela u vakuumu, – polje indukovanih opterećenja i – rezultantno polje.

Posmatrajmo sistem naelektrisanih provodnih tijela u vakuumu. Unutar provodnih tijela polje je jednako nuli, a u okolnom prostoru postoji polje . Zamislimo da prostor između provodnih tijela is-punimo homogenim dielektrikom. Dielektrik će se polarizovati pa će se na površinama dielektrika uz površinu provodnih tijela pojaviti površinska vezana naelektrisanja:

. (2.4.1)

Unutar provodnih tijela polje je i dalje jednako nuli. Uukupna raspodjela površinskih naelektrisa-nja (slobodnih i vezanih) na granicama između provodnih tijela i homogenog dielektrika, moraju biti slična ranijoj raspodjeli slobodnih naelektrisanja , te i konfiguracija rezultantnog polja u dielek-triku ostaje ista kao i kad dielektrika nema. Mijenja se samo vrijednost polja u svakoj tački.

Relaciju (2.4.1) možemo napisati u obliku:

(2.4.2)

Opterećenja koja stvaraju polje su puta manja od prethodne gustine slobodnih naelektrisanja , što znači da je rezultantno polje puta manje od polja u vakuumu , tj.:

. (2.4.3)

Nakon množenja sa , iz prethodne jednačine dobijamo:

(2.4.4)

Zaključujemo da se polje vektora neće promijeniti kada se vakuum sa poljem ispuni homoge-nim dielektrikom.

Uzimajući u obzir relacije (1.6.1) i (2.4.3), dobijamo:

, ,

. (2.4.5)

Pošto je polje u homogenom didelektriku puta manje od polja u istoj tački u vakuumu, za-ključujemo da isti odnos mora važiti i za potencijale:

. (2.4.6)

Vlastimir Hršum 8

Elektromagnetika 1

44. Izvedite izraz za kapacitivnost 2-žičnog voda sa podužnim τ1 i –τ2, h1≠h2

49. Odrediti podužnu kapacitivnost koaksijalnog kabla (poluprečnika a i b).

Vlastimir Hršum 9

Elektromagnetika 1

52. Odrediti rješenja Puasonove jednačine u elektrostatici u slučajevima kada je problem jednodimenzionalan i odgovara mu pravougli koordinatni sistem.

Puasonova jednačina u pravouglom Dekartovom ima oblik, respektivno:

(2.7.6)

Pravougli koordinantni sistem. Ako potencijal zavisi samo od -koordinate:

(2.7.9)

(2.7.10)

Ekvipotencijalne površine su ravni Takvo rješenje opisuje polje idealnog pločastog konden-zatora.

53. Odrediti rješenja Puasonove jednačine u elektrostatici u slučajevima kada je problem jednodimenzionalan i odgovara mu sferni koordinatni sistem.

Sferni koordinantni sistem. Ako potencijal zavisi samo od r-koordinate:

, (2.7.14)

. (2.7.15)

ekvipotencijalne površine predstavljaju koncentrične sfere. Ovaj oblik rješenja srećemo u polju naelektrisane lopte, sfernog kondenzatora, itd. U slučajevima kada potencijal zavisi samo od koordinate ,

. (2.7.16)

ekvipotencijalne površine predstavljaju površine koaksijalnih polukonusa od kojih se jedan degeneriše u ravan (za ).

Vlastimir Hršum 10

Elektromagnetika 1

55. Dvije provodne neograničene poluravni sijeku se pod α0 ali se ne dodiruju. Jedna od ravni je na potencijalu 0 a druga na φ0 . Polazeći od Laplasove jednačine, odrediti polje i potencijal između ploča.

Biramo cilindrični koordinantni sistem. Zbog neograničenosti poluravni u i smjeru, biće:

Slika 2.78

, . , .

, , , ,

, .

63. Definicija i jednačine stacionarnog strujnog polja.

Stacionarno strujno polje definišemo kao polje u kome je struja nepromjenljiva u vremenu. Posmatramo nepokretne provodnike i nepokretne provodne sisteme.

(3.1)

(3.2)

Vlastimir Hršum 11

Elektromagnetika 1

64. Osobine stacionarnog strujnog polja (fizikalni smisao gustine naelektrisanja, granični uslovi i zakon prelamanja, slobodna naelektrisanja, Laplasova jednačina, analogija sa elektrostatičkim poljem, pojam tačkastog strujnog izvora).

Fizikalni smisao gustine naelektrisanja. Bitna razlika između električnog polja u elektrostatici i stacionarnog električnog polja u provodnoj sredini je u fizikalnom smislu gustine naelektrisanja Ranije smo definisali kao gustinu makroskopski nepokretnih naelektrisanja. U elektrostatičkom po-lju ima upravo takvo značenje. U stacionarnom električnom polju predstavlja gustinu naelektri-sanja koja se kreću. Jedna naelektrisanja u kretanju smjenjuju druga tako da im makroskopska gustina u svakoj tački polja ostane nepromijenjena.

Granični uslovi i zakon prelamanja. Iz jednačine kontinuiteta dobijamo uslov koji moraju zadovoljiti normalne komponente gustine struje na prelazu iz jedne provodne sredine u drugu:

, (3.3)

što se, s obzirom na Omov zakon u diferencijalnom obliku , svodi na uslov:

(3.4)

Računajući cirkulaciju vektora po konturi koja obuhvata razdvojnu površ, dobijamo da su tangencijalne komponente jačine električnog polja jednake:

(3.5)

Slika 3.1 Slika 3.2

Ako sa i označimo uglove koje vektori gustine struje zaklapaju sa normalom na razdvojnu površ i uzmemo u obzir granične uslove (3.4) i (3.5), dolazimo do zakona prelamanja strujnih linija na raz-dvojnoj površi:

(3.6)

Iz zakona prelamanja zaključujemo da u slučajevima kada je vrijedi odnos . Ovo je čest slučaj u praksi. Kada je riječ o uzemljivačima, odnos provodnosti čelika i zemlje je reda , što praktično znači da strujne linije koje dolaze tangentno na površinu uzemljivača u zemlju izlaze pod uglom od , slika 3.2.

Vlastimir Hršum 12

Elektromagnetika 1

Slobodna naelektrisanja u stacionarnom strujnom polju. Kada se Gausov zakon primijeni na površinu koja obuhvata razdvojnu površinu, dobija se: . Obzirom na granični uslov (3.3) i diferencijalni oblik Omovog zakona važiće:

. (3.7)

Ovim izrazom određena je gustina slobodnog površinskog naelektrisanja na razdvojnoj površini dvije provodne sredine različitih provodnosti , koja u opštem slučaju nije jednaka nuli. Ove raspodjele očigledno neće biti ako parametri sredina ispunjavaju uslov: .

Ako pretpostavimo da je provodnik linearan, ali nehomogen, možemo pisati:

(3.8)

U opštem slučaju, ova gustina nije jednaka nuli. Za linearne, homogene sredine pa je gustina slobodnih zapreminskih naelektrisanja jednaka nuli bez obzira na vektor gustine struje .

Primjećujemo da, bez obzira na to što za stacionarno strujno polje važe jednačine: i , one ne mogu biti polazište za analizu polja jer raspodjela slobodnih naelektrisanja zavisi od

raspodjele struje. Kada odredimo raspodjelu struje, iz tih jednačina moguće je odrediti raspodjelu slo-bodnih naelektrisanja.

Laplasova jednačina u stacionarnom strujnom polju. Električno polje stacionarnih struja je potencijalno pa potencijal mora da zadovoljava Laplasovu jednačinu kao u elektrostatičkom polju. Za-to ima smisla pitanje – pod kojim uslovima je moguće dobiti slične slike polja u dielektriku i provod-niku? Odgovor daje teorema jednoznačnosti, prema kojoj potencijalna funkcija u obje sredine ima isti oblik ako zadovoljava Laplasovu jednačinu i iste granične uslove. Prvi uslov je da u dielektriku nema slobodnih naelektrisanja a u provodnoj sredini nema stranog polja . Slične granične uslove do-bijamo iz zakona prelamanja u elektrostatici i strujnim poljima:

. (3.9)

Podrazumijeva se da same granice imaju isti oblik i dimenzije.

Vlastimir Hršum 13

Elektromagnetika 1

Analogija između stacionarnog strujnog i elektrostatičkog polja. Već smo vidjeli da je sta-cionarno strujno polje u dijelu gdje nema izvora opisano istim jednačinama kao i elektrostatičko polje. U prethodnom pasusu odredili smo uslove koje treba zadovoljiti da u provodnoj sredini bude ista sli-ka polja kao u dielektričnoj sredini istog oblika i dimenzija.

Odredimo koje veličine ovih polja su analogne jedna drugoj?

Slika 3.3

Posmatrajmo provodno tijelo u homogenoj sredini provodnosti . Neka se tom tijelu pomoću tankog izolovanog provodnika dovodi struja , slika 3.3 a). Iz jednačine kontinuiteta slijedi:

.

Ako je površina dobijamo:

(3.10)

Kada isto tijelo posmatramo u dielektričnoj sredini iz treće Maksvelove jednačine, slijedi:

(3.11)

Očigledno je da su sledeće veličine dualne jedna drugoj:

i (3.12)

Pretpostavimo da su potencijalne funkcije jednake u stacionarnom strujnom i elektrostatič-kom polju. Tada će ekvipotencijalne površine i linije vektora u provodnoj sredini i u dielektriku biti jednake. Isti oblik će imati i linije vektora električne indukcije i gustine struje . Veličina (gusti-na linija) ovih vektora biće jednaka ako su konstante i brojno jednake. Ako ove karakteristike ni-su međusobno brojno jednake, gustina linija vektora biće onoliko puta veća od gustine linija vek-tora koliko je puta apsolutna dielektrična propustljivost veće od specifične provodnosti .

Tačkasti strujni izvor. Pod tačkastim strujnim izvorom podrazumijevaćemo sferu veoma malih dimenzija kojoj se dovodi struja veoma tankim izolovanim provodnikom i iz koje je vektor gu-stine struje radijalan u odnosu na njen centar.

Vlastimir Hršum 14

Elektromagnetika 1

75. Magnetski vektor-potencijal.

Na početku prethodnog poglavlja pokazali smo da stacionarno magnetsko polje određuju jednačine:

i (4.1.1)

Iz prve jednačine u (4.1.1), zaključujemo da se magnetska indukcija može predstaviti kao rotor ne-ke vektorske funkcije. Iz vektorske analize je poznato da je Zato možemo pisati:

(4.2.1)

je je vektor funkcija koordinata. Pokažimo da vektor zadovoljava Amperov zakon. Pomnožimo jednačinu sa permeabilnošću i uzmimo u obzir (4.2.1):

(4.2.2)

Poznato je da se izraz na lijevoj strani može razviti na sledeći način:

(4.2.3)

U poslednjoj jednačini možemo proizvoljno izabrati. Ako se mijenja divergencija vektora, onda se mijenja samo njegova potencijalna komponenta, a njen rotor je uvijek jednak nuli. Pošto nas inte-resuje samo rotor vektora , zaključujemo da možemo nametnuti uslov:

(4.2.4)

Iz jednakosti (4.2.2) i (4.2.3) konačno slijedi:

(4.2.5)

Jednačina (4.2.5) je Puasonova vektorska jednačina. U oblastima bez struje vrijedi Laplasova vektor-ska jednačina Svaku od ovih jednačina moguće je razložiti na tri skalarne jednačine:

(4.2.6)

Analogno rješenju za potencijal u elektrostatici, za bilo koju od navedenih komponenti važi:

, (i = x, y, z)

odnosno,

(4.2.7)

Rastojanje R u poslednjem izrazu predstavlja rastojanje elementa zapremine dV od tačke u kojoj

određujemo vektor ,

Vlastimir Hršum 15

Elektromagnetika 1

Slika 4.2 Smjer i pravac vektora

Vektor nazivamo magnetski vektor-potencijal. U polju jednosmjernih struja ovaj vektor je jedno-značno određen iz i

80. Modifikovana teorema lika u ravnom feromagnetnom ogledalu

Posmatrajmo slučaj pravolinijskog provodnika sa strujom I koji je paralelan razdvojnoj površini dva homogena magnetika. Neka se provodnik nalazi u magnetiku propustljivosti . Druga sredina neka ima propustljivost , slika 4.20 a).

Slika 4.20

Vlastimir Hršum 16

Elektromagnetika 1

Pokažimo da se polje koje postoji u stvarnim uslovima može odrediti kao superpozicija polja koja se dobijaju iz uslova prikazanih na slici 4.20 b) i c). Uzmimo na graničnoj površini proizvoljnu tačku. Prema slici 4.20 d), normalna i tangencijalna komponenta vektora iznose:

Za slučaj prikazan na slici 4.20 e) analogno imamo:

Granični uslovi koje treba zadovoljiti su: i Konačno se dobija:

(4.8.1)

Dakle, ako struje i odaberemo prema (4.8.1), polje u tačkama koje pripadaju sredini “1” odre-đujemo na način prikazan na slici 4.20 b), a za tačke iz sredine “2” na način prikazan na slici 4.20 c).

89. Kada se unutrašnja induktivnost provodnika u odnosu na spoljašnju može zanemariti? Kada se površinski efekat ne može zanemariti, struja u provodniku je lokalizovana uz površinu

provodnika, zbog čega se polje unutar provodnika može zanemariti, te se i unutrašnja induktivnost u odnosu na spoljašnju može zanemariti.

90. Energija kvazistacionarnog magnetnog polja.

U linearnim sredinama gustina energije lokalizovane u magnetskom polju iznosi . Ukupna energija unutar neke oblasti V iznosi:

(5.4.1)

,

. (5.4.2)Izraz za energiju, uzimajući u obzir teoremu Gaus-Ostrogradskog, dobija oblik:

(5.4.3)

Vlastimir Hršum 17

Elektromagnetika 1

Ako obuhvatimo čitav prostor, površina S postaje površina koja raste sa pri čemu podintegralna

funkcija opada sa , tako da će drugi integral težiti nuli. Iz (5.4.3) konačno dobijamo:

. (5.4.4)

Zapremina V obuhvata čitav prostor, ali se računanje energije svodi na računanje integrala po oblasti-ma u kojima je .

U slučaju tankog provodnika, izraz (5.4.4) može se napisati u sljedećem obliku:

(5.4.5)

Ako u sistemu ima N tankih strujnih kontura, energija magnetskog polja će biti:

.

92. Induktivnost dvožičnog voda

Posmatrajmo sistem veoma dugih paralelnih provodnika kružnog poprečnog presjeka, polu-prečnika a, sa strujama i međuosovinskim rastojanjem d, slika 5.4.

Slika 5.4

U primjeru 4.1 izveli smo izraze za magnetski vektor-potencijal usamljenog provodnika kružnog pre-sjeka:

, za , (5.5.1)

, za . (5.5.2)

Vlastimir Hršum 18

Elektromagnetika 1

Uzimajući ove izraze u obzir, ukupni magnetski vektor-potencijal za tačke presjeka prvog provodnika će biti:

. (5.5.3)

Odredimo energiju magnetskog polja posmatranog sistema koristeći izraz (5.4.4):

. (5.5.4)

Postavimo cilindrični koordinantni sistem u centar presjeka prvog provodnika, sa osom z u pravcu ose provodnika. Tada možemo pisati:

, ,

.

Izraz za magnetski vektor potencijal (5.5.3) dobija oblik:

. (5.5.5)

Pošto magnetski vektor-potencijal i gustina struje u ovakvom koordinantnom sistemu imaju samo z-komponente važi:

, . (5.5.6)

Uvrštavanjem izraza za i u izraz za energiju i prilagođavanjem elemenata zapremine pojedinim sabircima za energiju oba provodnika dobijamo:

Posljednji integral u ovom izrazu je jednak nuli obzirom na odnos pa se za energiju dobija:

. (5.5.7)

Konačno, tražena induktivnost voda je:

(5.5.8)

Vlastimir Hršum 19

Elektromagnetika 1

91. Odrediti uzajamnu energiju dvije strujne konture.

Neka imamo dva strujna kruga sa strujama i . Ukupno polje koje stvaraju ove struje jednako je zbiru polja pojedinih struja. Ukupna energija polja je tada:

(5.4.7)

Prva dva sabirka predstavljaju sopstvenu energiju magnetskog polja posmatranih strujnih kontura, dok je treći sabirak njihova uzajamna energija:

(5.4.8)

Sličnim transformacijama ovaj izraz se dovodi na oblik:

(5.4.9)

51. Odrediti rješenja Puasonove jednačine u elektrostatici u slučajevima kada je problem jednodimenzionalan i odgovara mu cilindrični koordinatni sistem.

Puasonova jednačina u cilindričnom sistemu, ima oblik:

(2.7.7)

Cilindrični koordinantni sistem. Ako potencijal zavisi samo od -koordinate:

(2.7.11)

(2.7.12)

Ekvipotencijalne površine predstavljaju koaksijalne cilindre.U slučajevima kada potencijal zavisi samo od koordinate ,

. (2.7.13)

ekvipotencijalne površine imaju oblik ravni koje prolaze kroz -osu, ali se ne sijeku. Puasonova jednačina u sfernom koordinantnom sistemu, ima oblik:

. (2.7.8)

Vlastimir Hršum 20