5.A 5.A

1

5.A Egyenáramú hálózatok alaptörvényei – Nevezetes hálózatok

Vezesse le az ellenállások soros, párhuzamos és vegyes kapcsolásainál az eredı ellenállás kiszámítására vonatkozó összefüggéseket! Definiálja és igazolja a feszültségosztás törvényét! Definiálja és igazolja az áramosztás törvényét! Értelmezze a változtatható és a beállítható ellenállások gyakorlati felépítését (potenciométer, trimmer)! Vezesse le a csillag-delta átalakítást! Vezesse le a Wheatstone-híd kiegyenlítésére szolgáló összefüggést!

Soros kapcsolás

Egy összetett áramkör az alkotóelemek soros, párhuzamos vagy - az ezekbıl kialakított - vegyes kapcsolásából áll.

Soros kapcsolásról beszélünk, ha az áramköri elemeken ugyanaz az áram folyik keresztül. Ez akkor keletkezik, ha az

egyik ellenállás végéhez a másik kezdetét kötjük, és mindezt az utolsó ellenállásig megismételjük.

A gyakorlatban legtöbbször ellenállások kapcsolódnak össze, amelyek együttes, eredı áramkorlátozó hatását egyetlen

ellenállással helyettesíthetjük. Ezt eredı ellenállásnak nevezzük.

Soros kapcsolás

Soros kapcsolásban nincs elágazás, ezért ugyanakkora áram folyik át minden ellenálláson. Kirchhoff huroktörvényének értelmében: U=U1+U2+U3+...Un Minden ellenállásra külön-külön Ohm törvényét alkalmazva:

U1=I·R1, U2=I·R2, U3=I·R3,... Un=I·Rn, Ezeket behelyettesítve a huroktörvénybe, majd a közös mennyiséget kiemelve:

U=I·R1+I·R2+I·R3+...+I·Rn

U=I·(R1+R2+R3+...+Rn)

Mindkét oldalt elosztva a közös mennyiséggel: nRRRRI

U++++= ...321 , ahol

I

U a kapcsolás eredı

ellenállása.

5.A 5.A

2

Re=R1+R2+R3+...+Rn Ez azt jelenti, hogy a sorosan kapcsolt ellenállások eredıjét az ellenállások összegzésével kapjuk, ami mindig nagyobb bármely a kapcsolást alkotó ellenállás értékénél. Párhuzamos kapcsolás

Párhuzamos kapcsolásnál a kapcsolás közös mennyisége a feszültség, azaz minden ellenálláson azonos nagyságú feszültségesés mérhetı, ami megegyezik a generátor feszültségével.

Párhuzamos kapcsolás

A fıágban folyó áramot, vagyis az eredı áramot a csomóponti törvény segítségével határozhatjuk meg:

I=I1+I2+I3+...+In

Ohm törvénye alapján az egyes ágakban folyó áramok:

nn

e R

UI

R

UI

R

UI

R

UI

R

UI ===== ...,,,

3

3

2

2

1

1

Ezt behelyettesítve a csomóponti törvénybe: nR

U

R

U

R

U

R

U

R

U++++= ...

321

A közös feszültséget kiemelve, és egyszerősítve vele:

ne RRRRR

1...

1111

321

++++=

Ez az eredı ellenállás reciprokát adja meg.

Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredıje mindig kisebb a kapcsolást alkotó legkisebb ellenállásnál is.

Két ellenállás esetén az eredı képlete könnyebben kezelhetı alakra hozható:

21

21

21

12

21

1

21

2

21

111

RR

RR

RR

RR

RR

R

RR

R

RRR ⋅

+=

⋅

+=

⋅+

⋅=+=

21

21

RR

RRR

+

⋅=

A reciprokos számítási mőveletet replusz jellel jelöljük:

21 RRR ×=

Ellenállások vegyes kapcsolása Egy áramkörben az alkatrészeket nemcsak sorosan vagy párhuzamosan kapcsolhatjuk össze, hanem a két módszer együttes használatával keletkezı vegyes kapcsolással is.

5.A 5.A

3

A vegyes kapcsolások jellegzetessége, hogy nincs olyan összefüggés, amelynek segítségével az összes ilyen kapcsolás eredıje kiszámítható lenne. Ezért az áramkör átalakítása után, a soros és a párhuzamos kapcsolásoknál tanultakat alkalmazva, több lépésben lehet eredményre jutni. A vegyes kapcsolásokat a sorosan vagy párhuzamosan kapcsolódó elemek összevonásával belülrıl kifelé haladva egyszerősítjük.

Egyszerősítés

Figyeljük meg, milyen átalakítások után jutunk el az áramkör eredı ellenállásának meghatározásához! Az R2 és az R3 jelő ellenállás párhuzamosan kapcsolódik egymáshoz, az eredıjük: RA=R2×R3

Vegyes kapcsolás egyszerősítése1

Ha a két ellenállást ezzel az eredıjükkel helyettesítjük, akkor észrevehetjük a soros kapcsolódást az R4 jelzéső

ellenálláshoz: RB=RA+R4

Vegyes kapcsolás egyszerősítése2

Az újabb helyettesítés után pedig már csak két ellenállás párhuzamos kapcsolata marad, tehát a teljes vegyes kapcsolat

eredı ellenállása ennél az ellenállás hálózatnál: Re=R1×RB

Vegyes kapcsolás egyszerősítése 3

A feszültségosztás törvénye Ha felrajzoljuk két ellenállás soros kapcsolatát, és Ohm törvényének segítségével meghatározzuk a rajtuk átfolyó áram értékét (feszültségeséseik és ellenállásaik függvényében), a következı két egyenletet kapjuk:

1

1

R

UI = és

2

2

R

UI =

Mivel mindkét ellenálláson ugyanaz az áram folyik keresztül:

2

2

1

1

R

U

R

U= , amelybıl

2

1

2

1

R

R

U

U= .

5.A 5.A

4

Soros kapcsolásban az egyes ellenállásokon fellépı feszültségek úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellenállások értékei. Ez a feszültségosztás törvénye. A feszültségosztó

A feszültségosztó egy olyan négypólus, amelyet legegyszerőbb esetben két sorba kapcsolt ellenállás alkot. Ha az osztóra feszültséget kapcsolunk, akkor az ellenállásokon átfolyó áram azokon feszültségesést hoz létre. A két feszültség összege megegyezik a bemenı feszültséggel. Az osztó kimeneti feszültségét a két ellenállás bármelyikérıl levehetjük, jelen esetben az R2 -es ellenállásról.

A feszültségosztó

Ha az osztóra nem kapcsolunk terhelést, akkor

2Rki UU = , 22 RIU R ⋅= , 21 RR

UI be

+= , 2

21

2 RRR

URIU be

ki ⋅+

=⋅= ,

átrendezve:

21

1

RR

RUU beki

+⋅= .

A képlet számlálójában mindig annak az ellenállásnak kell szerepelnie, amelyrıl az osztó kimeneti feszültségét levesszük,

a nevezıben pedig mindig a kapcsolás eredı ellenállását tüntetjük fel.

Ha a feszültségosztóra terhelést kapcsolunk, például egy ellenállást Rt, akkor ez az R2 ellenállással párhuzamosan

kapcsolódik.

A feszültségosztó

Emiatt a nevezıben az elıbb felírt képlet annyiban módosul, hogy az eredı ellenállás értéke: R1+(R2×Rt)

összefüggéssel lesz kiszámítható, míg a számláló R2×Rt értékőre változik. Mivel a számláló értéke jobban csökken, mint a nevezıé, ezért a terhelt osztó kimeneti feszültsége mindig kisebb, mint az ideális (terheletlen) érték.

( )t

tbeki RRR

RRUU

×+

×⋅=

21

2.

Ez azt is jelenti, hogy feszültség mérésekor - a mőszer véges nagyságú belsı ellenállása miatt - a kapott feszültség mindig kisebb a valóságos értéknél. A feszültségosztás elvén mőködnek például a változtatható értékő ellenállások (potenciométerek) is. Potenciométerek A feszültségosztók gyakorlati alkalmazásának egyik területe a változtatható értékő ellenállások, vagy más néven potenciométerek. Ez az eszköz a rendelkezésünkre álló feszültség csökkentésére (esetleg szabályozására) használható oly módon, hogy a potenciométer osztásarányát egy csúszóérintkezı segítségével változtathatjuk. A rendelkezésünkre álló feszültség Ube, a szabályozott feszültség pedig Uki. A csúszóérintkezı helyzetétıl függıen az

osztó elemeinek megfelelı R1, R2 ellenállások értéke változik, de összegük mindig állandó marad.

5.A 5.A

5

A potenciométer mőködése

A potenciométerek csoportosítása ellenálláspálya szerint Az ellenálláspálya kialakítása szerint beszélünk

• huzal-potenciométerrıl vagy • rétegpotenciométerrıl.

A réteg rendszerint szén, valamilyen fém vagy cermet (fémoxidok, szilikátok és oldószerek keveréke). A hordozótest bakelit, vagy nagyobb teljesítmények esetén kerámia. A csúszóérintkezı anyaga általában grafit vagy fém. Az érintkezı elmozdulása lehet tengelyirányú vagy vertikális.

Huzalpotenciométer Rétegpotenciométer Tolópotenciométer

Forgópotenciométer A potenciométerek csoportosítása szerkezeti felépítés szerint

Szerkezeti felépítésük alapján megkülönböztetünk:

• beállító (trimmer) potenciométereket (az ellenállás idıszakos beállítását teszi lehetıvé),

• szabályozó potenciométereket (például a rádió hangerı és hangszín szabályozása),

• finombeállító potenciométereket (jellegzetessége, hogy beállításuk csavarhúzóval vagy kézzel történhet),

• többfordulatú (helikális) potenciométereket (nagy pontosságú beállításra alkalmas, a mozgó érintkezı

csigavonal mentén halad, követve az ellenálláspálya menetemelkedését),

• többszörösen különfutó potenciométereket (például a televízió három alapszínének szabályozása).

Trimmer potenciométer

Többfordulatú

potenciométer (helipot)

Többszörösen különfutó

potenciométer

5.A 5.A

6

Potenciométerek katalógusadatai Potenciométerek mechanikai paraméterei Egy elektronikai alkatrész katalógusban a következı adatokat találhatjuk meg, ha például 470 Ω-os, lineáris (A) típusú, egypályás (mono) kivitelő 6 mm-es mőanyag tengellyel ellátott potenciométert választunk:

Elforgatási szög: 300°±5°

Mőködtetı forgató nyomaték: 0,4 – 1,5 Ncm

Maximális forgató nyomaték: 80 Ncm

Maximális tengelyirányú erı: 100 N (max: 5 s)

Súlya tengellyel együtt: ~11 g

Potenciométerek elektromos paraméterei Maximális disszipáció (40 °C): 0,4 W Maximális kapocsfeszültség: 500 V, DC Szigetelési ellenállás: >5 GΩ Átütésifeszültség: 1000 V, AC Névleges ellenállás tőrés: ±20%

5.A 5.A

7

Potenciométerek fontos villamos tulajdonságai A potenciométerek további fontos villamos tulajdonságai Névleges ellenállásérték: Az alkatrészen gyárilag feltüntetett adat. Tényleges ellenállás: A potenciométer végkivezetései között mérhetı ellenállásérték. Névleges ellenállás tőrés: A tényleges ellenállásnak a névleges értékhez képest megengedett legnagyobb eltérése százalékban kifejezve. Kezdeti ellenállás: A mozgó érintkezı véghelyzete és a végkivezetés között mérhetı ellenállásérték. Hatásos ellenállás: A teljes ellenállás azon része, amelyen belül az ellenállás értéke az elıírt jelleg szerint változik. A potenciométer típusa: Megkülönböztetünk lineáris jellegőt (a jele: A), logaritmikus jellegőt (B) és fordított logaritmikus jellegőt (C). A lineárist a méréstechnikában, a logaritmikust hangszínszabályozásra, a fordítottan logaritmikust pedig a hangerı szabályozására szokták alkalmazni. Névleges terhelhetıség (maximális disszipáció): A névleges üzemi hımérsékleten tartósan megengedett legnagyobb villamos igénybevétel. Potenciométer típusa A potenciométer típusa: megkülönböztetünk lineáris jellegőt (a jele: A), logaritmikus jellegőt (B) és fordított logaritmikus jellegőt (C).

Potenciométerek

Az áramosztás törvénye Az áramosztás törvényét párhuzamos kapcsolások esetén értelmezhetjük. A párhuzamosan kapcsolt ellenállásokon a közös mennyiség a feszültség, míg a rajtuk átfolyó áram áramkorlátozó hatásaik függvénye. Áramaikat az

1

1 R

UI = ,

2

2 R

UI =

összefüggésekkel határozhatjuk meg. Az egyenletekbıl a közös mennyiséget kifejezve

U=I1·R1=I2·R2 és átrendezés után az

1

2

2

1

R

R

I

I=

összefüggésre jutunk. Ez szövegesen kifejtve azt jelenti, hogy párhuzamos kapcsolás esetén az áramerısségek fordítottan arányosak az ágak ellenállásaival. Vagyis a csomópontba befolyó áram az ellenállásokon megoszlik, nagyobb ellenálláson kisebb, kisebb ellenálláson nagyobb áram folyik.

Az áramosztó

5.A 5.A

8

A delta-csillag átalakítás Vezessük le a delta-csillag átalakításnál használható összefüggéseket! A kapcsolás három pontja legyen A, B és C. Ezek

közé kapcsolódik háromszög alakban RAB, RAC és RBC az indexeiknek megfelelı, és az ábrán látható módon.

A delta és a csillag kapcsolás helyettesíthetıségének feltétele, hogy a megfelelı kivezetéseik között mindkét kapcsolási

formában ugyanakkora legyen az ellenállás.

AB pontok között:

deltakapcsolásban RAB× (RAC+RBC), míg csillagkapcsolásban RA + RB,

AC pontok között:

deltakapcsolásban RAC × (RAB+RBC), míg csillagkapcsolásban RA + RC,

BC pontok között:

deltakapcsolásban RBC × (RAB+RAC), míg csillagkapcsolásban RB + RC

az ellenállás eredıje

A delta-csillag átalakítás

A megfelelı eredı ellenállások egyenlısége miatt: RA + RB = RAB × (RAC + RBC) RA + RC =RAC × (RAB + RBC) RB + RC =RBC × (RAB + RAC) Az RA, RB és RC értékének kifejezése érdekében alakítsuk át ezeket az összefüggéseket, és helyettesítsük be, hogy

Σ R=RAB + RBC + RAC!

1. ,R

RR

R

RR

R

RRRR

RRR

RRRRRR BCABACABBCABACAB

ACBCAB

BCABACABBA

Σ

⋅+

Σ

⋅=

Σ

⋅+⋅=

++

⋅+⋅=+ ,

2. R

RR

R

RR

R

RRRR

RRR

RRRRRR BCACABACBCACABAC

ACBCAB

BCACABACCA

Σ

⋅+

Σ

⋅=

Σ

⋅+⋅=

++

⋅+⋅=+ ,

3. R

RR

R

RR

R

RRRR

RRR

RRRRRR ACBCABBCACBCABBC

ACBCAB

ACBCABBCCB

Σ

⋅+

Σ

⋅=

Σ

⋅+⋅=

++

⋅+⋅=+ .

Vonjuk ki az elsı egyenletbıl a másodikat:

R

RR

R

RRRR BCACBCAB

CBΣ

⋅−

Σ

⋅=− .

5.A 5.A

9

Ehhez az eredményhez adjuk hozzá a harmadik egyenletet:

R

RRR BCAB

BΣ

⋅⋅=⋅ 22

ebbıl pedig

R

RRR BCAB

BΣ

⋅=

Ezután már csak ezzel kell behelyettesíteni az elsı és a harmadik egyenletbe, és megkapjuk mindhárom ellenállás értékét:

R

RRR ACAB

AΣ

⋅= ,

R

RRR BCAB

BΣ

⋅= ,

R

RRR BCAC

CΣ

⋅= .

Megállapíthatjuk, hogy csillagkapcsolásban az eredeti hálózat valamely pontjához csatlakozó ellenállás értékét úgy kapjuk meg, ha a deltakapcsolásban ugyanezen ponthoz csatlakozó két ellenállás szorzatát osztjuk a deltakapcsolás ellenállásainak összegével. A csillag-delta átalakítás

Alakítsuk át az ábrán látható csillagkapcsolást úgy, hogy a hálózat többi részén a feszültség és az áramviszonyok ne változzanak meg, tehát az AB, az AC és a BC pontok közötti ellenállás értéke se változzon meg.

A csillag-delta átalakítás

Az átalakításnak akkor is helyesnek kell lennie, ha a három pont közül kettıt összekötünk.

A csillag-delta átalakítás

Elıször kössük össze a B és a C pontot. Mindkét kapcsolásnál azonosnak kell lennie az A és az összekötött B és C pontok közötti ellenállásnak, tehát a vezetıképességnek is. az A és a B-C pontok között: csillagkapcsolásban GA× (GB+GC), míg deltakapcsolásban GAB + GAC, a B és az A-C pontok között: csillagkapcsolásban GB× (GA + GC), míg deltakapcsolásban GAB + GBC, a C és az A-B pontok között: csillagkapcsolásban GC× (GA + GB) , míg deltakapcsolásban GAC + GBC a vezetıképesség. A megfelelı vezetıképességek egyenlısége miatt: GAB + GAC = GA × (GB + GC), GAB + GBC = GB × (GA + GC), GAC + GBC = GC × (GA + GB).

5.A 5.A

10

Az GAB, GBC és GAC értékének kifejezése érdekében alakítsuk át ezeket az összefüggéseket, és helyettesítsük be, hogy

ΣG = GA + GB + GC!

1. G

GG

G

GG

G

GGGG

GGG

GGGGGG CABACABA

CBA

CABAACAB

Σ

⋅+

Σ

⋅=

Σ

⋅+⋅=

++

⋅+⋅=+ ,

2. G

GG

G

GG

G

GGGG

GGG

GGGGGG CBABCBAB

CBA

CBABBCAB

Σ

⋅+

Σ

⋅=

Σ

⋅+⋅=

++

⋅+⋅=+ ,

3. G

GG

G

GG

G

GGGG

GGG

GGGGGG BCACBCAC

CBA

BCACBCAC

Σ

⋅+

Σ

⋅=

Σ

⋅+⋅=

++

⋅+⋅=+ .

Vonjuk ki az elsı egyenletbıl a másodikat:

G

GG

G

GGGG CBCA

BCACΣ

⋅−

Σ

⋅=− .

Ehhez az eredményhez adjuk hozzá a harmadik egyenletet:

G

GGG CA

ACΣ

⋅⋅=⋅ 22 ,

amibıl már következik, hogy GAC=GA· GC∑G

G

GGG CA

ACΣ

⋅=

Ezután már csak ezzel kell behelyettesíteni az elsı és a harmadik egyenletbe, és megkapjuk mindhárom vezetıképesség

értékét:

G

GGG BA

ABΣ

⋅= ,

G

GGG CB

BCΣ

⋅= ,

G

GGG CA

ACΣ

⋅= .

Deltakapcsolásban az eredeti hálózat valamely két pontjához csatlakozó ellenállás vezetıképességének értékét úgy

kapjuk meg, ha a csillagkapcsolásban ugyanezen két ponthoz csatlakozó két ellenállás vezetıképességének szorzatát

osztjuk a deltakapcsolás vezetıképességeinek összegével.

Alakítsuk át ezeket az összefüggéseket, hogy az ellenállás értékeket is ki tudjuk fejezni:

A G

GGG BA

ABΣ

⋅= egyenletet átalakítva a

RG

1= összefüggés alapján:

BA

CBAAB

RR

RRRR

⋅

++

=1

111

Ha bevezetjük az 0

1111

RRRR CBA

=++ jelölést, akkor

0

1

RRRR BAAB ⋅⋅= .

Ennek alapján:

0

1

RRRR CBBC ⋅⋅= és

0

1

RRRR CAAC ⋅⋅= .

Deltakapcsolásban az eredeti hálózat valamely két pontjához csatlakozó ellenállás értékét úgy kapjuk meg, ha a

csillagkapcsolásban ugyanezen két ponthoz csatlakozó két ellenállás szorzatát szorozzuk a három ellenállás reciprok

értékének összegével.

5.A 5.A

11

A Wheatstone-híd

Hídnak nevezzük azokat a négypólusokat, amelyekben az egyes áramköri elemek értékeit úgy kell megválasztani, illetve beállítani, hogy a kimeneti feszültség nulla legyen. Ez a híd kiegyenlített, azaz egyensúlyi állapota. A hídkapcsolásokat a felhasználási módnak megfelelıen többféle alkatrészbıl is elkészíthetjük, de most csak az ellenállásokkal felépített ún. Wheatstone-híd felépítését és mőködését ismerjük meg.

A Wheatstone-híd

Ha megvizsgáljuk és átalakítjuk a Wheatstone-híd kapcsolását, akkor azt vehetjük észre, hogy két, azonos feszültségrıl táplált feszültségosztóból áll. Az R1 és R2, illetve R4 és R3 ellenállásokból felépített osztókra kapcsoljuk a négypólus

bemeneti feszültségét (Ube).

A Wheatstone-híd

A Wheatstone-híd kiegyenlítése A feszültségosztás törvényének ismeretében vezessük le a Wheatstone-híd kiegyenlítésére szolgáló összefüggést! Ha a híd kiegyenlített állapotban van, akkor a kimenetére kapcsolt mőszeren nem folyik áram, tehát az osztók terheletlenek. Ebben az esetben felírhatjuk, hogy: Uki = UA−UB = 0. A négypólus kimeneti feszültsége csak akkor nulla, ha a két osztó kimeneti feszültsége azonos: UA = UB. Írjuk fel a két osztóra a feszültségosztás törvényét!

43

3

RR

RUU beA

+⋅= , illetve

21

2

RR

RUU beB

+⋅=

Ha figyelembe vesszük, hogy a két feszültség azonos, akkor:

21

2

43

3

RR

RU

RR

RU bebe

+⋅=

+⋅

Egyszerősítsünk a bemeneti feszültséggel, és szorozzuk mindkét oldalt R3+ R4 −gyel és R1+ R2 −vel.

21

2

43

3

RR

R

RR

R

+=

+

amely a szorzás elvégzése után az

R3·R1 + R3·R2 = R2·R3 + R2·R4 alakban írható fel.

Ha kivonjuk mindkét oldalból az R2· R3-at, akkor eljutunk a híd kiegyenlítésére szolgáló összefüggéshez:

R1· R3 = R2·R4.

5.A 5.A

12

A kapcsolási rajz ismeretében elmondhatjuk, hogy a Wheatstone-híd kiegyenlített (a kimeneti feszültsége nulla), ha az egymással szemben lévı hídágak ellenállásainak szorzata nulla. A Wheatstone-híd alkalmazása

A Wheatstone-hidat elsısorban alkatrészek és nem villamos mennyiségek (hımérséklet, kis elmozdulás, nyúlás, stb.) mérésére alkalmazhatjuk.

Ellenállás mérése

Az ellenállás mérésére alkalmas Wheatstone-híd kapcsolási rajzán láthatjuk, hogy RX ismeretlen ellenállás hídágában egy RP hitelesen, és kis fokozatokban állítható normál ellenállást tartalmaz, amellyel a kimeneti feszültséget tudjuk nagyon pontosan nullára beállítani. RPértéke a fokozatkapcsolók állásain vagy egy skálán olvasható le. Kiegyenlített állapotban:

RX·R2=RP·R1. Az ismeretlen ellenállást pedig ebbıl az összefüggésbıl kifejezve:

RX=RP·R1R2. A hídáttétel

Az R1/R2 hányadost hídáttételnek vagy hídviszonynak nevezzük, és minden értéke 10-nek valamilyen egész hatványa,

10−2, 10−1,1,10,102, stb. A mérés elvégzése után az ismeretlen ellenállás értékének kiszámításához a kiegyenlítéskor leolvasott RP értéket a hídáttétellel kell megszorozni. A galvanométer A kimenetre egy nagyon érzékeny mőszert, egy galvanométert kell kapcsolni. Ez a mőszer kiegyenlítéses rendszerő, ami azt jelenti, hogy akkor kell a beállított értékeket leolvasni, amikor a mőszer egyensúlyi, vagyis nulla állapotot jelez.

Wheatstone-híd