EL

1. Trofa

Trofaznnapona i snaponi svestepeni. Uzadržati pa

Neka je

1( )u t U=

tada su, pre

2 ( )u t U=

Ovakav sielektrično međusobnoosovine u h

Stvarni tako što se(rotoru), kosmešteni sprethodnim

Ako naokarakterisstruja i. ZaZ=R), kasn(pretežno induktivno

1( ) 2i t I=

Navedene

LEKTRIČNE M

ELEK

fazni simetr

ni sistem je struje i fazne tri faze su

Ukoliko nekažnju samo ne trenutna vr

2 sin( )tω ⋅ ,

ema gore da

2 sin( tω ⋅ −

stem naponizolovana,

o pomerenahomogenom

trofazni gee elektromaoga obrće psu na nepom izrazima. a krajeve sano impedavisno od vrniti za ugakapacitivno

om impedan

2 sin( tω ϕ⋅ −

napone i str

U

UU

MAŠINE (redu

KTRIČNE

rični sistem

skup tri faznim pomerapo intenzite

ki od ovih na trofaznimriednost nap

,

atoj definici

2 / 3)π− i 3u

na može se, mehanička za ugao odm magnetno

Sl. 1

nerator radiagneti napajpogonska mkretnom de

svakog oddansom Z, tarste opterećao ϕ (preteo opterećennsom, tada ć

2) , ( )i tϕ =

ruje možem

1U U= 2 /

2jU Ue π−=4 /3

3jU Ue π−=

ukovana pred

E MAŠIN

ze (tri jednoajem izmeđetu jednaki,uslova nije

m simetričnpona u prvoj

iji trofaznog

3( ) 2 st U=

e ostvariti pki čvrsto pd 1200, koji

om polju ind

1 Idealni „te

i na istom pani iz pobu

mašina, a naelu (statoru

namotaja ada će, podenja, ove stežno induktnje). Pretpoće trenutne v

2 sin(I ω ⋅

mo predstavi

3 3

davanja sa n

NE ZA NA

ofazna kolađu napona, a fazno su e ispunjen,

nim sistemimoj fazi data i

g simetrično

sin( 4tω π⋅ −

pomoću „tepovezana ni se obrću sdukcije B.

eorijski“ tro

principu, saudnog uređaamotaji, prou), i u njim

generatorad uticajem ntruje će: bititivno opterostavimo dvrednosti st

2 /t ϕ π− −

iti u fazorsk

1I =

2I =

3I =

numeričkim p

AIZMENI

a). Svaka fai struje. Kopomereni ztrofazni si

ma. izrazom:

og sistema,

/ 3)π , respe

eorijskog“ gnamotaja (1stalnom uga

ofazni gener

amo što se, aja (tzv. bu

ostorno međma se induk

a povežemnapona, kroi u fazi sa nrećenje), ilida smo pritruje u pojed

3/ 3) , ( )i t =

koj (komplekjIe ϕ−

( 2 /3)jIe ϕ π− +

( 4 /3)jIe ϕ π− +

primerima) K

IČNU ST

aza je okaraod trofaznoza po 2π/3 ristem je ne

naponi drug

ektivno

generatora, 1-1'; 2-2'; aonom brzin

rator

kod njega, udilice) nalađusobno pomkuju elektro

o jednako oz svaki namaponom (či će prednjaključili optdinim fazam

2 sin(I ω=

ksnoj) inter

KANDIĆ-STO

TRUJU

akterisana inog simetričnradijana, odesimetričan

ge i treće fa

koji se sa3-3', sl.1),

nom ω oko

magnetno paze na pokrmereni za 1omotorne s

opterećenjmotaj (i poisto omsko ačiti za neterećenje s

ma biti:

4 /t ϕ π⋅ − −

rpretaciji:

JIĆ 1

ntenzitetomnog izvora,

dnosno 120°. Mi ćemo

aze:

astoji od tri, prostornozajedničke

polje obrće,retnom delu120 stepeni,sile opisane

je, koje jeotrošač) tećiopterećenjeki ugao ϕ

sa pretežno

/ 3).

m , ° o

i o e

, u , e

e i e

o

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 2

ili grafički na fazorskom dijagramu. Na sl. 2 prikazan je fazorski dijagram simetričnog trofaznog generatora opterećenog simetričnim trofaznim pretežno induktivnim prijemnikom.

Pri predstavljanju naizmeničnih veličina fazorima, pozitivan smer rotacije je smer suprotan smeru kazaljke na satu. Redosled faza kod trofaznog sistema je isto tako važan kao što je kod jednosmerne struje označavanje pozitivnih i negativnih polova.

Zbir sva tri fazna napona simetričnog trofaznog sistema u svakom trenutku jednak je nuli, što se može lako dokazati primenom adicine teoreme:

[ ]0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin( ) sin( 2 / 3) sin( 4 / 3) 0u t u t u t u t U t t tω ω π ω π= + + = + − + − = ,

ili vektoskim sabiranjem fazora na sl.2 Ovo je vrlo važna osobina trofaznog simetričnog sistema. Naime, ako vežemo namotaje generatora tako da kraj prvog namotaja 1' vežemo sa početkom drugog namotaja 2, kraj drugog namotaja 2' sa početkom trećeg namotaja 3 i kraj trećeg namotaja 3' sa početkom prvog namotaja 1, ukupan napon u ovako povezanom kolu će uvek biti jednak nuli. To dalje znači da će ukupna struja u ovakvom kolu biti jednaka nuli, iako u kolu svaki namotaj ima svoj napon i svoju struju čija je vrednost različita od nule. Ovakva veza namotaja naziva se veza u trougao. Znači, vezivanjem namotaja generatora u trougao, rad generatora, tj. rad svakog namotaja posebno, uopšte se ne menja, kao da imamo tri jednofazna generatora. Međutim, napajanje potrošača se ne mora obavljati sa šest provodnika, za svaku fazu po dva, kao što je slučaj sa tri jednofazna generatora, nego samo sa tri provodnika.

Kako su struje u trofaznom uravnoteženom sistemu pomerene za isti fazni ugao φ u odnosu na korespodentni napon, to je fazorski dijagram za struje isti kao za napone, samo što je pomeren za ugao φ. Prema tome, i zbir struja u svakom trenutku takođe je ravan nuli. Ovaj važan podatak praktično znači da kada sva tri početka (ili kraja) namotaja povežemo u jedan čvor (kojeg nazivamo zvezdište), tada je zbir struja u tom čvoru jednak nuli. Ovaj način vezivanja naziva se veza u zvezdu.

Iz navedenih osobina trofaznog simetričnog sistema, jasno je da postoje dva specifična načina vezivanja namotaja, i to, kako kod generatora, tako i kod potrošača; veza u zvezdu i veza u trougao.

1.1 Trofazno simetrično kolo spregnuto u zvezdu

Na sl. 3 prikazano je trofazno simetrično kolo kod koga su i izvor i prijemnik vezani u zvezdu. Čvor 0 (0') je zvezdište, a 1, 2 i 3 (1', 2', 3') su izlazi namotaja faza generatora (potrošača). Svaki namotaj generatora, kao nosilac jedne faze, naziva se fazni namotaj. Struja u svakom namotaju je fazna struja If. U svakom namotaju generatora indukuje se elektromotorna sila Ef, a na njegovim krajevima je prisutan fazni napon Uf .

Pomoću tri provodnika, koji idu od krajeva namotaja generatora, ostvarena je veza generatora sa potrošačem - prijemnikom, koji se uvek sastoji od tri impedanse, koje su vezane u zvezdu (kao na slici) ili u trugao. Ovi provodnici se nazivaju linijski vodovi, a sva tri zajedno sačinjavaju trofazni vod kojim se prenosi električna snaga. U linijskim vodovima teku linijske struje Il, a između linijskih vodova vladaju linijski naponi Ul. Ako su sve tri impedanse potrošača jednake, tada je

Sl. 2

EL

struja u linizmeđu gen

Da bismpotrebno jeObično se,potrošaču, zvezdište. određen taizlaz drugeDa bi se istriktno pri

Po svojPrimenom

Za linijski

12 1U U= −

12 [1fU U=

12 fU U=

Analognim

31 fU U=Očigledno,naponima zod faznog n

Dakle, vfaznih veli

Linijske i 3 puta v Kod ve

(„nula“). TNapon izmdva fazna

LEKTRIČNE M

niji 0-0' (nuneratora i p

mo našli vee usvojiti p, za generaa time je oLinijske st

ako da je izle je pozitivazbegla grešidržavati naoj konstrukII Kirhofov

12 1U U− +

napon 12U

2 fU U U= −

1 cos( 2 /π− −

3( 3 / 2 ј+

m postupkom5 / 63 je π⋅ i p

, linijski nza 30 stepenapona. veza izmeđčina kod sp

fazne strujveći od faznieze u zvezduTo je čest

među nultogprovodnika

MAŠINE (redu

ulti vod) jedotrošača.

ezu između pozitivne smator, kao ponda određetruje imaju laz generatoan u odnosuška pri odreavedenih ozkciji, veza uvog zakona,

2 0 U+ = ⇒

dobija se: 2 /3j

fU e π− =

/ 3) sin(ј− −

1/ 2) fј U=

m mogu se

predstaviti naponi faznoni. Po vredn

đu efektivnihprege u zvez

i l fI I=

e međusobih napona. u ponekada

slučaj kodg i bilo kojea je međufa

ukovana pred

dnaka nuli,

faznih i linmerove emsozitivne uzimn i fazni nasmer od g

orovog namu na izlaz tređivanju fanaka.

u zvezdu jas, uz oznake

12 1 =U U −

2(1 jfU e π−−

2 / 3)] Uπ− =/ 63 .je π⋅

odrediti i fa

na fazorskomo prednjačenosti, linijsk

h (a i trenutzdu je:

3lU U= ⋅

no su jedn

a se koristi id gradskih

eg faznog prazni ili linijs

davanja sa n

te se ovaj

Sl. 3

nijskih strujs-a, struja i maju struje

apon na krajgeneratora

motaja prve reće i izlaz

aznog stava

sno ukazujesa Sl. 3, sle

2 U i analog

/3) [1fUπ = −

[1 1/ 2fU + +

azori preost

m dijagrame odgovaraki napon je

utnih) vredn

fU

ake, a linij

i četvrti (nuh niskonaporovodnika jski napon U

numeričkim p

vod u prin

ja i naponanapona u n

e koje teku jevima namka potrošačfaze pozitivtreće pozitizmeđu fa

e da su linijede veze izm

gno 23U U=

(cos( 2 /π− −

3 / 2]ј U=

tala dva lini

u na sl. 4. ajućim fazn

3 puta v

nosti linijski

ski naponi

ulti) provodnonskih mreje fazni napUl. Ovakva

primerima) K

ncipu i ne k

a, kao i faznnamotajima

iz zvezdištmotaja, koji ču, a linijskvan u odnosivan u odnoznih i linijs

ska i fazna među linijsk

2 3U U− i U

/ 3) sin(ј+ −

(3 / 2fU ј+

ijska napon

nim eći

ih i

su

nik ža.

pon Uf , a namreža rasp

KANDIĆ-STO

koristi, tj. n

ni odnos mi linijskim

ta (nulte tase računa uki naponi isu na izlaz osu na izlazskih veličin

struja jednkih i faznih

31 3U U U= −

2 / 3))]π− ,

3 / 2) ,

na 23 fU U=

apon izmeđpolaže sa dv

Sl. 4

JIĆ 3

ne postavlja

među njima,vodovima.čke) prema

u odnosu naimaju smerdruge faze,

z prve faze.na, treba se

nake l fI I= .napona:

1U .

/ 23 je π−⋅ i

đu bilo kojava napona -

a

, . a a r , . e

.

i

a -

EL

faznim i lUl=400[V]frižideri, tepotrošači. Tu nultom vtj. morali bKako to obod linijskiprovodnika

1.2 T

Na sl.

Namotaji gfaza (namonaponi jedn

Primenoi faznih str

Primjenjujuza vezu u z

LEKTRIČNE M

linijskim. O]. Na fazni elevizori i dTrofazni po

vodu gradskbi biti prikljbično nije slh struja, paa.

Trofazno si

6 prikazan generatora iotaja) genernaki linijski

om I Kirhofruja:

zzz

ući istu prozvezdu, dob

MAŠINE (redu

Oni su stannapon prik

drugi kućni otrošači su ske mreže biljučeni jednlučaj, i kroza poprečni

Sl. 5

imetrično k

je simetriči impedanseratora, a sa 1im naponim

fovog zakon

za čvor 1' : Iza čvor 2' : Iza čvor 3' : I

oceduru kaobija se za sp

ukovana pred

ndardizovanključuju seaparati, a n

simetrični pla jednaka naki jednofa

z nulti provopresek nul

Veza u zve

kolo spregnu

čni trofazne prijemnik1', 2' i 3' kon

ma:

12 1 , U U=

Sl. 6 Spreg

na dobijamo

1 12 3I I I= −

2 31I I I= −

3 23I I I= −

o kod određiegu u troug

davanja sa n

ni i u nisk potrošači

na linijski japotrošači (imnuli, mora bazni potrošaodnik će tećltog provod

ezdu sa nult

uto u troug

ni prijemnikka spregnutintakti faza p

23 2 i U U=

ga u trouga

o vezu izme

31

23

12

ivanja linijsgao, 3lI =

numeričkim p

konaponskimmanje snagači potrošačmaju iste imbiti jednaka ači između sći izvesna stdnika može

tim provodn

gao

k povezani su u trougprijemnika.

31 3 U U= .

o

eđu linijskih

skih napona3 fI⋅ .

3U

primerima) K

m mrežamage: sijalice,či: šporeti, m

mpedanse poraspodela o

svakog fazntruja, koja je biti manj

nikom

na simetričgao. Sa 1, 2

Sa slike je

h

a

2U

KANDIĆ-STO

a iznose U, razne mašmotori i osto fazama). Dopterećenja nog provodne obično zni od presek

čni trofazni i 3 označe očigledno

1U

JIĆ 4

Uf=231[V] išine alatke,tali trofazniDa bi strujapo fazama,nika i nule.

natno manjaka linijskih

i generator.eni su izlazida su fazni

i , i a , . a h

. i i

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 5

Dakle, veza između efektivnih (a i trenutnih) vrednosti linijskih i faznih veličina kod sprege u trougao je:

3 i l f l fI I U U= ⋅ = .

Linijski i fazni naponi su međusobno jednaki, a linijske struje su 3 puta veće od faznih struja. Linijske struje fazno kasne za 300 za odgovarajućim faznim strujama.

1.3 Snage u trofaznom simetričnom kolu

Trenutna snaga trofaznog sistema jednaka je zbiru trenutnih snaga svake faze ponaosob:

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )p t p t p t p t= + + .

Za simetričan trofazni sistem i simetričan prijemnik trenutne snage po fazama su:

1 1 1( ) ( ) ( ) 2 sin( ) 2 sin( ) [cos cos(2 )]f f f fp t u t i t U t I t U I tω ω ϕ ϕ ω ϕ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − = − − ,

2 2 2( ) 2 sin( 2 / 3) 2 sin( 2 / 3) [cos cos(2 4 / 3)]f f f fp t u i U t I t U I tω π ω ϕ π ϕ ω ϕ π= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − − = − − −

3 3 3( ) 2 sin( 4 / 3) 2 sin( 4 / 3) [cos cos(2 8 / 3)]f f f fp t u i U t I t U I tω π ω ϕ π ϕ ω ϕ π= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − − = − − −

gde je ϕ ugao između napona i struje u svakoj fazi prijemnika. Zbir drugih članova u prethodnim izrazima je nula u svakom trenutku, pa je trenutna snaga trofaznog sistema konstantna i nezavisna od vremena, ( ) 3 cosf fp t U I ϕ= , iako se trenutna vrednost snage svake faze menja u vremenu sa učestanošću 2ω. Takođe, trenutna snaga trofaznog simetričnog sistema ujedno je i njegova srednja, odnosno aktivna snaga P, pošto je srednja vrednost konstante sama ta konstanta, tj.

( ) 3 cosf fp t P U I ϕ= =

Prethodni izraz je izveden ne vodeći računa o načinu vezivanja potrošača (ili generatora), pa važi i za spregu u trougao i za spregu u zvezdu.

Uobičajeno je da se srednja snaga izražava preko linijskih struja i napona, jer se njihove veličine lakše mogu meriti. Da bismo ovo učinili, pretpostavimo prvo slučaj veze u zvezdu. Tada važi

i 3l f l fI I U U= = ⋅ , pa izraz za srednju snagu zvezde postaje:

3 cos 3( / 3) cos 3 cosf f l l l lP U I U I U Iϕ ϕ ϕ= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ .

Za vezu u trougao važi 3 i l f l fI I U U= ⋅ = , pa se ponovo dobija:

3 cos 3 ( / 3)cos 3 cosf f l l l lP U I U I U Iϕ ϕ ϕ= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

Dakle, izraz za srednju snagu je isti i za vezu u zvezdu i za vezu u trougao, bez obzira da li se snga izražava preko faznih ili linijskih veličina. To, međutim, ne znači da je snaga jednog potrošača ista, ako je on vezan u zvezdu ili u trougao. Naprotiv, snaga nekog potrošača tri puta je veća ako je on vezan u trougao, nego kada je vezan u zvezdu. Treba poći od toga da je struja kroz određenu fazu potrošača jednaka odnosu faznog napona i impedanse u toj fazi. Kod veze u trougao fazni napon jednak je linijskom i on je 3 puta veći od faznog napona kada bi ta impedansa bila vezana u zvezdu. Dakle, i fazna struja (struja kroz impedansu) je 3 puta veća kod veze u trougao. Dalje, kod veze u trougao, linijska struja je 3 puta veća od fazne, dakle, tri puta veća od one koja bi tekla da je impedansa vezana u zvezdu, tako da je i snaga, koju potrošač uzima iz mreže pri vezi u trougao, tri puta veća nego pri vezi u zvezdu, jer je napon mreže konstantan.

Ukupna kompleksna snaga trofaznog simetričnog sistema može se dobiti kao zbir kompleksnih snaga pojedinih faza, što daje:

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 6

3 cos 3 sin ,f f f fS U I j U I P jQϕ ϕ= + = + pri čemu je

3 cos 3 cos [W]f f l lP U I U Iϕ ϕ= = ⋅ ⋅ ⋅ ukupna aktivna snaga,

3 sin 3 sin [VAr]f f l lQ U I U Iϕ ϕ= = ⋅ ⋅ ⋅ ukupna reaktivna snaga,

2 23 [VA]f fS U I P Q= = + ukupna prividna snaga trofaznog sistema.

Navedeno važi samo za trofazni simetrični sistem, dakle kada su impedanse sve tri faze iste, pa, shodno tome, isti su i intenziteti struja sve tri faze kao i fazni pomeraji φ između faznih napona i faznih struja. Kod nesimetričnih trofaznih sistema aktivna, reaktivna i prividna snaga se moraju odrediti za svaku fazu posebno, a ukupna snaga biće jednaka njihovom zbiru. 2. Transformatori Ekonomičan prenos električne energije na velika rastojanja ne bi se mogao ostvariti bez uređaja kao što su električni transformatori. Transformatori mogu biti monofazni i polifazni (a najčešće su trofazni). Trofazni naizmenični naponi efektivne vrednosti 10÷15 [kV], koji se u električnim centralama produkuju u statorskim namotajima obrtnih električnih generatora, pretvaraju se pomoću trofaznih transformatora u napone od 110, 220 ili 380 [kV] i kao takvi prenose putem dalekovoda. Glavni cilj povećavanja napona do blizu granice izdržljivosti izolacije, pri određenoj prenetoj električnoj snazi, jeste minimizacija struja provodnika kako bi se maksimalno redukovali energijski gubici u prenosu usled Džulovog efekta i postigla velika ušteda u količini upotrebljenog bakra. Sa druge strane, na mestima prijema električne energije, odnosno na mestima gde se nalaze krajnji korisnici energije (razni potrošači: aparati u domaćinstvu, motori i drugi uređaji u industrijskim pogonima itd.), napon zbog bezbednosti korisnika ne bi smeo da bude veliki. Zato se za snižavanje velikih dalekovodnih napona od 110, 220 i 380 [kV], takođe, koriste odgovarajući transformatori. Smanjivanje dalekovodnih napona obično se odvija stepenasto u sledeća tri koraka: napon dalekovoda → 35 [kV] → 6 ili 10 [kV] → 400/231 [V]. Dakle, električni transformatori koji se koriste u energetici predstavljaju uređaje koji povećavaju napon na mestu gde je generator priključen na transmisioni vod, a smanjuju ga blizu mesta gde se nalaze krajnji potrošači. Svaki transformator radi na principu statičke elektromagnetske indukcije, bez čije primene bi navedena naponska konverzija bila jako složena i skupa. Primetimo da statička indukcija nastaje sàmo u sistemima sa vremenski promenljivim naponima i strujama, pa se električnim transformatorima ne može ostvariti konverzija vremenski konstantnih, već samo vremenski promenljivih napona. U opštem slučaju, transformatori uvek istovremeno konvertuju struje, napone i impedanse i mogu raditi: (a) u približno linearnom prostoperiodičnom režimu, što je slučaj kod velikih mrežnih transformatora u industrijskim pogonima i kod malih transformatora u uređajima u domaćinstvu i (b) u impulsnom režimu, što je slučaj kod nekih tipova modulatora u telekomunikacionim uređajima i u kolima energetske elektronike. Primene transformatora su mnogobrojne ⎯ ne samo u energetskoj elektrotehnici pri prenosu električne energije ⎯ već i u drugim oblastima elektrotehnike: u elektronskim cevima za zagrevanje katode; za galvansku izolaciju kola i sklopova, kao i prilagođenje prijemnika na prostoperiodične električne izvore; u industrijskim indukcionim pećima za toplenje metalnog praha i komada rude; u elektronskim kolima kao mrežni transformatori sa jednim ili više sekundara (recimo, kod ispravljača za bipolarne izvore napajanja); za zavarivanje; kod neonskih cevi za povećaje napona... Transformator se obično sastoji od jezgra (to je, u stvari, njegovo magnetsko kolo) ⎯ koje ponekad može biti vazdušno, a najčešće je feromagnetsko ⎯ i dva izolovana namotaja (na jezgru). Jedan namotaj, tzv. primar ili primarni namotaj sa N1 zavojaka vezuje se za dati napon, a drugi, tzv. sekundar ili sekundarni namotaj sa N2 zavojaka vezuje se za prijemnik, odnosno potrošač. Da bi se

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 7

smanjili gubici u transformatoru usled vrtložnih struja jezgro se pravi od tankih i međusobno izolovanih transformatorskih limova, ili u novije vreme, od ferita za visoke frekvencije. Rasipni fluks primarnog i sekundarnog namotaja postoji uvek ali se u praksi najčešće može zanemariti. Energijski gubici u transformatoru su trojaki: (a) Džulovi u namotajima, (b) u jezgru zbog vrtložnih struja i (c) u jezgru zbog histerezisa usled naizmeničnog magnećenja. Svi gubici zajednički dovode do zagrevanja jezgra i namotaja na jezgru. Ipak, kod realnih transformatora ukupni gubici su relativno mali u odnosu na energiju koja se prenosi preko transformatora: kod transformatora male snage gubici su manji od 10%, dok su kod velikih gubici manji od 1÷2%. Koeficijent induktivne (elektromagnetne) sprege između namotaja, k kreće se u opsegu 0,95÷0,99. Transformator kod koga ne postoji rasipni magnetski fluks i kod koga se svi gubici mogu zanemariti u odnosu na energiju koja se preko njega prenosi zove se savršeni transformator. Savršeni transformator magnetske permeabilnosti jezgra μFe → ∞ zove se idealni transformator.

u t1( )u t2 ( )

i t e t1 1( ), ( )

i t e t2 2( ), ( )

RL

1

11

RL

2

22

Z 2 (j )ω

Prije

mni

k

N1 N2

Φ0 ( )t

SFe

μFe

lFe

1

1'

2

2'

Primar Sekundar L12 0<

Φλ2

Φλ1

Stub 1 Stub 2 Sl. 7

Na sl. 7 prikazan je monofazni transformator sa feromagnetskim jezgrom, čija je električna šema data na sl. 8a. Kod ovog transformatora Φ0 je zajednički magnetski fluks svih zavojaka pri-mara i sekundara, Φλ1 je rasipni magnetski fluks primara, a Φλ2 sekundara. Ukupan magnetski fluks primara je Φ1=N1⋅Φ0+Φλ1, pa je indukovana ems u njemu e1(t) = -dΦ1/dt. Slično, magnetski fluks sekundara je Φ2=-(N2⋅Φ0+Φλ2), a indukovana ems u njemu je e2(t) = -dΦ2/dt. Na sl. 8b prikazana je električna šema monofaznog transformatora sa vazdušnim jezgrom. Prema obliku jezgra (magnetskog kola) transformatori mogu biti stubni (kao onaj na sl. 7) i oklopni. Stubni transformatori imaju namotaje na oba dela jezgra, a ovi su često zbog smanjenja rasipnog magnetskog fluksa raspodeljeni tako da se na svakom stubu nalazi po jedna polovina svakog od namotaja. Kod oklopnog transformatora namotaji su smešteni sàmo na središnjem delu jezgra (sl. 8c). Sami namotaji transformatora mogu biti cilindrični i koturasti. Oklopni transformatori mogu imati obe vrste namotaja, dok stubni obično imaju cilindrične. Redosled elemenata na transformatorskom jezgru je sledeći: jezgro → izolacija → namotaj nižeg napona → izolacija → namotaj višeg napona. Analiza rada savršenog transformatora:

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 8

R1Z g

Z g

Z 2

Z 2

u1

R1

R2

R2

N N1 2: L12 0<

L11 L22

Visokonaponski namotaj

Niskonaponski namotaj

(a)

(b) (c)

e

N N1 2:

1

1

1'

1'

2

2

2'

2'

eu1

i1 i2

u2

i1 i2

u2

L12 0<

L11 L22

Sl. 8

1o Slučaj: Savršen, linearan, monofazni transformator sa feromagnetskim jezgrom koji radi u praznom hodu. U ovom slučaju se, dakle, pretpostavlja da Z2 → ∞ (⇔ i2=0 [A]), dok se napon primara u1(t) usvaja kao prostoperiodičan. Pošto je transformator savršen pretpostavlja se da R1 i R2→0[Ω] i da Φλ1 i Φλ2→0[Wb]. Pod dejstvom napona u1(t) u primarnom kolu transformatora postoji struja praznog hoda i1

0(t), koja je vrlo mala čak i kod velikih transformatora i obično se zove struja magnećenja, a označava se i sa iμ(t). Ona nosi energiju koja je potrebna za uspostavljanje magnetskog polja u jezgru trnsformatora. Struja magnećenja proizvodi magnetski fluks Φ0

0(t) kroz svaki poprečni presek jezgra i kroz svaki zavojak primara. Zbog promene magnetskog fluksa Φ0

0(t), u primarnom namotaju indukuje se ems e1

0(t) = -N1⋅dΦ00/dt koja se u svakom trenutku nalazi u dinamičkoj ravnoteži sa naponom -u1(t).

Dakle, pošto je u1(t)=L11⋅di10(t)/dt= -e1

0(t)=N1⋅dΦ00/dt, to fluks Φ0

0(t) zavisi sàmo od primarnog napona u1(t) (L11 je induktivnost primara). Zbog načina namotavanja i usvojene orijentacije primarnog i sekundarnog namotaja (sl. 7) zaključuje se da je fluks po navojku sekundara -Φ0 (međusobna induktivnost primara i sekundara je L12 < 0 ⎯ obratiti pažnju na položaj tačaka!; kada je fluks kroz navojke primara pozitivan, tada je fluks kroz navojke sekundara negativan, i obrnuto). Zbog toga je indukovana ems sekundara u praznom hodu, e2

0(t) = -[-N2⋅dΦ00/dt]=N2⋅dΦ0

0/dt=u2(t). Iz prethodnog odmah sledi da za savršeni transformator u praznom hodu, koji radi u prostoperiodičnom režimu, važe sledeće relacije:

uu

UU

NN

1

2

1

2

1

2

= = , (1)

iz kojih sledi da se izborom prenosnog odnosa transformatora N1/N2, napon u1(t) može transformisati u viši napon u2(t) kada je N2 > N1, odnosno u niži napon kada je N1 > N2.

2o Slučaj: Savršen, linearan, monofazni transformator sa feromagnetskim jezgrom koji radi sa prijemnikom konačne impedanse u kolu sekundara (sl. 7). Kružna frekvencija prostoperiodičnog napona u1(t) je ω, a konačna kompleksna impedansa prijemnika je Z2(jω). Kada je u kolo sekundara priključen prijemnik konačne impedanse Z2(jω), tada njegova struja i2(t) generiše komponentu magnetomotorne sile N2⋅i2 koja teži da smanji fluks u jezgru proizveden od strane komponente magnetomotorne sile primarnog namotaja N1⋅i1. Međutim, pošto je u1(t)=N1⋅dΦ0

0/dt, to se fluks magnetskog kola, koji zavisi sàmo od primarnog napona, ne može promeniti zbog postojanja sekundarne struje, a to znači da se mora povećati intenzitet struja primara sa i1

0(t) na i1(t)=i10(t)+i1'(t), tako da ukupan magnetski fluks kola Φ0 ostane nepromenjen (Φ0=Φ0

0). To se može postići ako i samo ako je N1⋅i1'-N2⋅i2=0, odnosno ako je:

ii

II

NN

1

2

1

2

2

1

' '= = .

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 9

S obzirom da je kod transformatora obično i10(t) ≤ 0,05⋅i1(t), to se može smatrati da je i1(t) ≈ i1'(t),

pa se tada za savršeni transformator mogu napisati sledeće približne relacije:

ii

II

NN

1

2

1

2

2

1

= ≈ . (2)

Relacije (1) i (2) zovu se jednačinama savršenog transformatora i kao takve mogu se koristiti za približnu analizu čak i realnih transformatora. I na kraju, za idealni transformator ⎯ to je savršeni transformator koji zadovoljava sledeće uslove: (1) R1=R2=0 (u namotajima nema termogenih gubitaka), (2) |L12|= = L L11 22⋅ (⇔ k=1, ne postoje rasipni fluksevi primarnog i sekundarnog namotaja), (3) μFe → ∞ i Bm → 0 (⇔ Φ0 → 0, ni u jezgru ne postoje energijski gubici) ⎯ važe sledeće jednačine:

uu

ii

UU

II

NN

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

= = = = , (3)

koje pokazuju da idealni transformator ne konzumira snagu, pošto je trenutna vrednost ulazne snage transformatora p1=u1⋅i1 jednaka trenutnoj vrednosti izlazne snage p2=u2⋅i2 ⎯ sa smerovima struja i napona kao na sl. 7. Jednačine (3) mogu se približno primenjivati i kod realnih transformatora, a iz njih sledi da je ulazna impedansa transformatora eksitovanog prostoperiodičnim naponom u1(t), u čijem je sekundaru prijemnik kompleksne impedanse Z2(jω), data sledećom relacijom:

Z UI

UU

II

UI

NN

NN

UI

NN

Z11

1

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2(j ): (j )ω ω= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =FHGIKJ ⋅ ,

pa je odatle jasno da transformatori pored napona i struja konvertuju, takođe i impedanse, što se može iskoristiti kod rešavanja određenih problema iz optimalnog prilagođenja prijemnika na generator u ustaljenom prostoperiodičnom režimu. Transformatori sa vazdušnim jezgrom rade u linearnom režimu (⇔ ne generišu nelinearna izobličenja ⎯ to znači da ako je na ulazu u transformator prostoperiodičan napon, takav napon je i na njegovom izlazu). Međutim, to nije slučaj kod transformatora sa feromagnetskim jezgrom, a pogotovo kod onih velike snage u sistemima za prenos električne energije. Kod takvih transformatora manje-više javljaju se nelinearna izobličenja, mada se u mnogim slučajevima aproksimativno može uzeti da je radni režim i tih transformatora približno linearan. Transformatori koji pri radu unose zanemarljiva nelinearna izobličenja ulaznog napona zovu se linearni transformatori. Poseban oblik transformatora sa jednim namotajem i jednim kliznim kontaktom zove se auto-transformator ili štedni transformator, koji može biti monofazni kada se preko njega ostvaruje prenos manjih snaga i trofazni kada je potreban prenos većih snaga. Kod autotransformatora za snižavanje napona, pobudni napon se priključuje između krajeva 1-1', a sekundar 2-2' (na koji se priključuje prijemnik) predstavlja deo primara. Priključivanjem pobudnog napona na krajeve 2-2', a prijemnika na krajeve 1-1', dobija se autotransformator za povećavanje napona kod kojeg je primar deo sekundara. Odredimo sada stepen korisnog dejstva η monofaznog transformatora sa feromagnetskim jezgrom prikazanog na sl. 7 u ustaljenom prostoperiodičnom režimu. Srednja snaga Džulovih gubitaka PCu u transformatoru (to su "gubici u bakru"), pri efektivnim vrednostima napona primara U1, sekundara U2, struje primara I1 i struje sekundara I2 je:

Klizač

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 10

2 2 22 2 2 2 2 21 2 2

Cu 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 e2 2 e2 2n2 1 2n

I N IP R I R I R R I R R I R I R II N I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

22 2Cun e2 2 1 Cun e2 2n 2 2 2 2n 2 2n

2n 1

; S N

P R R R , P R I , S U I , S U IS N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = + ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

gde je Re2-ekvivalentna otpornost transformatora svedena na sekundar, PCun-nominalna snaga Džulovih gubitaka u namotajima, S2-prividna snaga sekundara i S2n-nominalna vrednost prividne snage sekundara. Pretpostavljena je stalnost efektivnih vrednosti napona primara i sekundara. Neka je cosϕ2 faktor snage prijemnika u sekundaru sa kompleksnom impedansom Z2=Z2⋅exp(j⋅ϕ2). Aktivna snaga prijemnika je P2=S2⋅cosϕ2. Pored gubitaka u bakru, u jezgru transformatora postoje i dve vrste gubitaka u gvožđu: usled histerezisa i usled vrtložnih struja. Ako je radna frekvencija f, zapremina jezgra V i maksimalna indukcija u njemu Bm, tada je snaga gubitaka u jezgru usled histerezisa Ph=kh⋅f⋅Bm

2⋅V, a usled vrtložnih struja Pv=kv⋅f2⋅Bm2⋅V. Dakle, ukupna snaga gubitaka u

jezgru transformatora ("gubici u gvožđu") je PFe=Pv+Ph=kv⋅f2⋅Bm2⋅V+kh⋅f⋅Bm

2⋅V=(kh+kv⋅f)⋅f⋅Bm2⋅V i

pod određenim uslovima, odnosno pod određenim radnim režimom transformatora ona je praktično konstantna i nezavisna od prijemnika u sekundaru. Nominalna snaga gubitaka u bakru PCun predstavlja snagu Džulovih gubitaka u oba namotaja kada su intenziteti struja primara i sekundara nominalni. Ta snaga se obično određuje eksperimentalno, ogledom kratkog spoja. I snaga gubitaka u gvožđu određuje se eksperimentalno, ali ogledom praznog hoda. Aktivna snaga primara (to je snaga koju generator ulaže u primar) je P1=P2+PFe+PCu, pa je stepen korisnog dejstva transformatora:

ηϕ

ϕ

ϕ

ϕ= =

+ +=

⋅

⋅ + + ⋅FHGIKJ

=+ + ⋅

PP

PP P P

S

S P P SS

PS

PS

S2

1

2

2

2

22

2

22

Fe Cu

2

2 Fe Cun2n

2

2Fe Cun

2n2

cos

cos

cos

cos.

S obzirom na činjenicu da je PS

PS

SP P

SFe Cun

2n2

Fe Cun

n22

2

2+ ⋅ ≥ ⋅⋅

⎯ gde znak "=" važi ako i samo ako je

PS

PS

SFe Cun

2n2

22= ⋅ , odnosno ako je P P S

SPFe Cun

2nCu= ⋅

FHGIKJ =2

2

, tj. kada su gubici u bakru jednaki gubicima

u gvožđu ⎯ to konačno sledi:

2 2 2max

Fe Cun Fe Cun Fe Cun2 22 2 2

2 2n 2n 2n

cos cos cos

cos cos 2 cos 2P P P P P PSS S S S

ϕ ϕ ϕη = ≤ ∧ η =

⋅ ⋅ϕ + + ⋅ ϕ + ⋅ ϕ + ⋅

,

čime je pokazano da je stepen korisnog dejstva transformatora najveći (η=ηmax) kada je radni režim transformatora podešen tako da gubici u bakru budu jednaki gubicima u gvožđu. 3. Motori za naizmenične struje Motori za naizmenične struje rade tako što se propuštanjem vremenski (fazno) pomerenih struja kroz prostorno pomerene namotaje na statoru formira obrtno magnetno polje unutar statora. Unutar statora nalazi se rotor koji se okreće ili sinhrono, kada je brzina obrtanja rotora jednaka brzini rotacije magnetnog polja statora, ili asinhrono, kada je brzina obrtanja rotora nešto manja od brzine rotacije obrtnog magnentog polja. Električni motori pretvaraju električnu energiju uzetu iz mreže ili iz izvora napajanja u mehaničku energiju obrtanja rotora.

3.1 Obrtno magnetno polje

ELE

Jednaobrtno maKako ostvaPo unutrašPostavimo njegova ospomerena udrugi namo

Ako namot

Ove tri stru

Dakle, u srnajpre njeg

Daklprostoperiofazama „udijagramu.kruga poluIntenzitet r

2xB B= +

a ugao tgα

Unutvektor indfrekvencija

EKTRIČNE MA

a od osnovgnetno poljariti obrtno

šnjem obodunamotaje n

sa poklapa sunazad za 2otaj. Presek

taje priključ

uje stvaraju

redištu statogovu x i y ko

( )xB t

yB

le, komponodične funku kvadratu Prethodne

uprečnika Bm

rezultantne

2 (3/yB+ =

/y xB Bα = =

tar statora dukcije B oba struje kroz

AŠINE (redu

nih osobinaje koje je u

o magnetno u statora su na sledeći nsa x-osom, d2π/3 (−120o

k statora sa o

čimo na trof

tri magnetn

ora postoje omponentu

1 2( )B t B= +

2( ) ( )y t B t=

nente rezultkcije vreme

uri“, kao še dve jednam. indukcije B

2 2 22) [sin (mB

( )tg t tω− =

postoji obrbrće ugaonz namotaje.

kovana pred

a Teslinih pu stanju da

polje? Statžlebovi. U ačin: prvi ndrugi namoto), osu trećeovako posta

fazni simetr1-1’ →

2-2’ → 2 (i

3-3’ → 3(i t

na polja, čij

1( )i t →

2 ( )i t → 2 (B

3( )i t → 3(B t

tri magnetn:

2 ( )cos(4 /t π

sin(4 / 3)π +

tantne induena, sa istimšto je prikačine su pa

x y=B B + B

2( ) cos (tω +

( )tg tω− , tj.

rtno magnenom brzinom

Brzina obrt

davanja sa nu

polifaznih sobrće prov

tor motora žlebove se

namotaj, čijitaj, čiji su k

eg namorajaavljenim nam

Sl. 9 rični sistem

→ 1( ) cmi t I=

( ) cos(mt I ω=

) cos(mt I ω=

e su indukc→ 1( ) cmB t B=

( ) cos(mt B=

) cos(mt B ω=

na polja. Da

3/ 3) ( )cB t+

3( )sin(2B t+

ukcije, Bx m amplitudkazano na arametarske

je

( )] (3/ 2tω =

tα ω= − .

etno polje, m ω, gde jrtanja magne

y

umeričkim pr

sistema je štvodno telo predstavlja postavljaju

i su krajevi krajevi 2-2',a 3-3', pomemotajima pr

m, kroz namocos( )tω

2 / 3)tω π−

4 / 3)tω π−

cije srazmercos( )tω

( 2 / 3)tω π−

4 / 3)tω π−

a bismo odr

cos(2 / 3)π =

2 / 3) (3π = −

i By, sudama Bm, a

fazorskome jednačine

2) mB ,

u kome see ω kružnaetnog polja

x

rimerima) K

to se pomoako se onošuplji valja

u namotaji iz1−1’ (sl. 9)postavimo

erimo unazarikazan je n

otaje će teći

.

rne strujama

.

redili rezult

(3/ 2) comB=

/ 2) sin(mB ω

u a

m e

e a naziva se s

KANDIĆ-STOJ

oću njih moo nalazi u oak od livenzolovane ba), postavimotako da je n

ad za 2π/3 una sl. 9.

i struje:

a, i u fazi sa

tantno polje

os( )tω

)tω

sinhrona brz

-ωt

JIĆ 11

ože ostvaritiovom polju.nog gvožđa.akarne žice.o tako da senjegova osau odnosu na

a njima:

e, odredimo

zina.

i . . . e a a

o

EKTRIČNE MA

na obrtanja2 / 60n π= ⋅ ,

ne faze krozora. rona brzinai (p=1), tj. svake faze

Sinhroni m

or sinhronoga jednim ili rom polova)

va). Kod ma

gneti (namootora. Kadastatora protpolje. Mag

jedno sa njitom sinhronehanička bropterećenja reoptereti, k

roni motor (60 ) /sn f=

eko maksimmehaničkoj

motor može t opterećenjreko pogona energija režu. re strane rtanja od je faktora

a)

AŠINE (redu

a često se , gde je n bz namotaj dr

a obrtnog msa jednim nalazi p na

motor

g motora jeviše pari po) ili sa istakalih motora

otaji) na rota se stator tiču fazno gnetni poloim. Kako senom brzinomrzina obrtanna osovini

kada se mag

će se, dak/ p , ili ak

malnog optej karakterisraditi i kao

ja negativannskog momrotacije se

sinhronog promene osnage mo

kovana pred

označava sroj ortaja u ruge faze i

magnentog namotajemmotaja (p-p

6sn =

e u obliku šolova po svknutim mag

rotor može

oru pobuđumotora prpomerene n

ovi rotora se magnentom. Dakle, knja rotora protora nećegnetni polov

le, ili okretko momenerećenja Mmstici može

o sinhroni gn, M<0. U gmenta na o

pretvara u

motora suopterećenja otora, cosϕ

davanja sa nu

sa n i izrau minuti. Pro

obrnuto, pr

polja koje m u svakoj pari polova)60 [ . /f obrt

p⋅

šupljeg valjvakoj fazi. Rgnetnim poloe biti perman

Sl. 10uju se jednoriključi na naizmeničnse onda „zao polje statokada se poloostaje jedna

e dovesti dovi rotora „o

tati sinhronnt optereće

Mmax , motorse uočiti

generator, kageneratorskosovini rotou električnu

u nezavisni mogućn

ϕ , promen

umeričkim pr

ažava u obomenom bilromeniće se

se ostvarujfazi iznosi

) onda je sin

/ min] .

ka sa žleboRotor može ovima, kao nentni magn

0

smernom sttrofaznu m

ne struje i akače“ za

ora obrće sinovi rotora „zaka brzini o promene botkače“ od

nom enja r će

da ada

kom ora, u i

nost nost nom

b)

-

rimerima) K

brtajima po lo koje dve e i smer obr

je sa po jed60 [sn f= ⋅

nhrona brzin

ovima u kojbiti cilindrina sl. 10.b

net.

trujom prekmrežu, krozunutar statoobrtno magnhronom brzakače“ za oobrtanja ma

brzine obrtanobrtnog ma

-n

KANDIĆ-STOJ

o minuti, p faze, tj. prranja magn

dnim parom[ / min]obrtna

jima se nalični kao na (prikazan j

ko kliznih pz prostornoora se formgnetno poljrzinom, to ćobrtno magagnetnog ponja motora,agnetnog po

ns

M

JIĆ 12

ri čemu jeopustanjem

netnog polja

m polova u. Ako se u

azi trofaznisl. 10.a (sae rotor sa 2

rstenova nao pomerenemira obrtnoje statora iće se i rotorgnetno poljeolja statora. sve dok se

olja i motor

n

Mmax

e m a

u u

i a 2

a e o i r e . e r

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 13

pobudne struje. Može se podesiti da faktor snage motora bude cos 1ϕ = , kada motor ne „troši“ (ne razmenjuje) reaktivnu snagu sa mrežom. Može se čak postići da sinhroni motor kao kapacitivno opterećenje vrši popravku snage nekog drugog potrošača. Mana sinhronog motora je što se mora obezbediti da se magnetni polovi rotora obavezno „zakače“ za obrtno magnetno poje statora, jer samo tada motor ima moment M različit od nule. Takodje, napajanje pokretnog rotora strujom je generalno loša osobina, jer dolazi do varničenja i trošenja kontaktnih prstenova, a i cena sinhronog motora je znatno viša od cene asinhronog motora.

3.3 Asinhroni motor Asinhrone mašine su energetski, reverzibilni uređaji naizmenične struje, koji vrše konverziju električne energije u mehaničku asinhroni motori, ili konverziju mehaničke energije u električnu asinhroni generatori. Asinhroni motor, a posebno trofazni asinhroni motor, zbog svoje jednostavne konstrukcije i velike pogonske pouzdanosti, danas je najčešće korišćeni motor u industriji. Prvi asinhroni motor kontruisao je i napravio Nikola tesla. Konverzija električne energije u mehaničku ostvaruje se zahvaljujući tzv. transformatorskom dejstvu; električna energija sa nepokretnog dela, statora, prenosi se na pokretni deo, rotor, bez galvanske veze između njih, zahvaljujući elektromagnentoj indukciji. S obzirom na konstrukciju rotora asinhroni motori mogu biti sa kratkospojenim rotorom (najčešća realizacija) i sa namotanim rotorom (motori velikih snaga). Asinhroni motor sa kratkospojenim rotorom

Stator trofaznog aisnhronog motora se ne razlikuje od statora sinhronog motora. Tri namotaja sa jednim ili više pari polova, međusobno prostorno pomerena, nalaze se u žlebovima statora u obliku šupljeg valjka. Kada se kroz namotaje propuste fazno pomerene naizmenične struje, unutar statora se formira obrtno magnetno polje. Rotor se najčešće realizuje od metalnih šipki koje su na oba kraja kratko spojene metalnim prstenovima (sl. 11) formirajući tzv. veveričji kavez, pa se ovakav motor još naziva i Teslin indukcioni motor sa veveričjim kavezom. Obrno magnetno polje indukuje elektromotornu silu u provodnicima rotora, e lvB= , gde je l dužina šipke, B intenzitet magnetske indukcije, a v relativna brzina provodnika u odnosu na magnetno polje, ( )Sv r= Ω − Ω , gde je r poluprečnik rotora, SΩ sinhrona ugaona brzina obrtnog magnetskog polja, a Ω mehanička ugaona brzina rotora. Oznaka Ω se koristi da bi se izbegla eventualna zamena sa kružnom frekvecijom struje 2 fω π= . Kako je SΩ različito od Ω , jačina magnetske indukcije u kojoj se nalazi posmatrani provodnik menja se tokom vremena po prostoperiodičnom zakonu,

( ) cos[ ( ) ]m sB t B p t= Ω − Ω ,

gde je p broj namotaja (pari polova) po fazi. Relativno zaostajanje rotora u odnosu na obrtno magnetno polje naziva se klizanje rotora i definiše se kao:

( ) 1 1S

S S S

nsn

Ω − Ω Ω= = − = −

Ω Ω.

Tipično klizanje asinhronog motora iznosi 2-7% u radnom, motornom režimu. Zamenom prethodnih relacija u izraz za indukovanu elektromotornu silu u jednom štapu rotora dobija se:

( ) ( ) cos[ ( ) ] = cos( )r s m s s m se t l v B l r B p t l r s B s p t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Ω − Ω ⋅ Ω − Ω ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ .

Sl.11 Rotor

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 14

Intenzitet indukcije obrtnog magnetnog polja B može se izračunati koristeći se relacijama koje smo izveli kod transformatora. Naime, u odnosu na namotaje statora, obrtno magnento polje se okreće brzinom Ωs, pa u N namotaja statora indukuje elektromotornu silu koja, uz zanemarivanje padova napona u namotajima statora, mora biti jednaka naponu napajanja statora.

( ) cos( ) = cos( ) cos( )s s m s s m s sm se t N l v B N l r B t N l r B t E t= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ Ω ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ Ω = Ω , sledi

2sm s mE N l r B U= ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ = ⋅ .

Dakle, amplituda obrtnog magnetnog polja direktno je srazmerna naponu napajanja:

2m

s

UBN l r

⋅=

⋅ ⋅ ⋅Ω.

Neka je 2 2( )Z R s Lω= + impedansa jednog štapa rotora, gde je R termogena otpornost štapa, L rasipna induktivnost štapa, ω =2π·f kružna učestanost mreže, s klizanje rotora. Pod dejstvom indukovane ems ( )re t u posmatranom štapu rotora će teći naizmenična struja:

( ) 2( ) cos( )rr

e t s Ui t s tZ NZ

ω ϕ⋅= = − , čija je efektivna vrednost r

s UINZ⋅

= .

Na štap rotora kroz koji teče struja ( )ri t i koji se nalazi u stranom magnentom polju delovaće mehanička sila čiji moment obrće rotor. Trenutna vrednost ovog momenta je:

1( ) ( ) ( )rm t l i t B t r= ⋅ ⋅ ⋅ Zamenom i sređivanjem dobija se

2

1 2

1( ) [cos cos(2 )].s

sUm t s tN Z

ϕ ω= +Ω

Srednja vrednost momenta jednog štapa rotora je 2

1 2

1 coss

sUMN Z

ϕ=Ω

, a kako rotor ima qr štapova

(ili faza), to je ukupan srednji moment svih sila koje deluju na rotor: 2

2 cos .r

s

q sUMN Z

ϕ=Ω

Kao i kod transformatora, broj amperzavojaka rotora i statora mora biti približno jednak, pa važi 3 S r rNI q I= , pa je efektivna vrednost struje statora:

2 .3r

Sq s UI I

N Z⋅ ⋅

= =

Kako se motor napaja isključivo sa strane statora, tj. nema dovođenja struje pokretnom rotoru, to se struja statora naziva strujom motora pa je SI I= . Stvarna struja statora je za oko 30% veća, jer treba dodati struju magnećenja motora, koja je zbog relativno velikog magnetnog zazora između rotora i statora, veća nego kod transformatora. Napišimo izraze za struju motora (struju statora) i moment motora na sledeći način:

2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 13 3 3 3( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )r r r rq s U q s U q s U q UIN Z N N s NR s L R s L R s Lω ω ω⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = =+ + + ,

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

/cos( ) ( / ) ( )

r r r r

s s s s

q q q qsU U s R U R U R sM sN Z N Z Z N R s L N R s L

ϕω ω

= = = = ⋅ ⋅Ω Ω Ω + Ω + .

ELE

Dakle, stru

Polaziznose:

Moment mobeležiti smnaći izjedn

Makmaksimalnrežimu rad

gde su kIod klizanjastruje. Nom

nI nazivaju

Kadamotora je magnetno pštapove ropotekla rot Sa poprilagođavmehaničke

0s ≈ , mo

EKTRIČNE MA

uja i momen

zna struja i

I

motora rastem , a zatim onačavanjem

simalni moni moment da isključivo

/(3rq U N=a (brzine) rminalno klizu se nomina

a se rotor oktakođe nul

polje, u njimtora. Dakletorska strujaorastom me

vajući se oe karakterisoment je pr

AŠINE (redu

nt motora su

i polazni m

23r

pqIN

= ⋅

e sa povećaopada da bi prvog izvo

oment zavizavisi i od

o funkcije k

2 )Lω i KMrotora prikzanje sn se

alni moment

kreće sinhrola, 0M = . ma se ne ine, asinhroni a i stvorio seehaničkog oopterećenju.tike motoraraktično lin

Mp

s=

kovana pred

u : 23rq UIN⋅

=

moment moto

2( ) (U

R Lω+

njem brzinepri n= ns , tjda moment

mRsLω

= i

isi od rasiotpora R.

klizanja roto

1 (

KIIss

=+

2 /(K rq U= Ωazani su nabira u opset i nominaln

onom brzinoKako se p

dukuje elekmotor se m

e motorni, popterećenja Radna taa i karakternearno zavi

=1

Ip

davanja sa nu

2 2

1( / )

UR s +

ora dobijaju

2) i pM =

e, dostiže mtj. pri s=0 bta po klizanj

i rm

s

qM =Ω

ipne induk Struja i m

ora i mogu s

2

i )m

Mss

2 )s N LωΩ koa sl. 12 uegu do 5%, na struja mo

Sl. 12

om sn n= =provodnici ktromotornamora okretapogonski mmotora, ras

ačka sistemristike opteisan od kli

umeričkim pr

2( )Lω+ i M

u se za s=1

2

2 (r

s

q UN

= ⋅ ⋅Ω

maksimalnubio jednak nju sa nulom

2

2

12

UN Lω

⋅ ⋅

ktivnosti L,moment motse izraziti ka

K

m

m

Ms ss s

=+

,

onstante. Zau funkciji no

a njemu ootora.

60 /f p= ⋅ , rotora okre

a sila, nema ati brzinom

mehanički mste klizanje

ma motor-oerećenja. U izanja M ≈

sm sn

Mm

rimerima) K

r

s

q UMN

= ⋅Ω

1, jer je tad

2 2( ) ( )R

R Lω+

u vrednost pnuli. Maksim

m, /M s∂ ∂ =

.

, a klizanjtora su u nao:

,

avisnost moominalnog

odgovarajuć

klizanje je eću istom bni struje, pnešto manj

oment. rotora, pa rpterećenje blizini sin

/K mM s s≈ ⋅

0

KANDIĆ-STOJ

2

2 2

/( / )

U RN R s

⋅+

da n=0 ( s =

2 .

pri klizanju malni mome0 , kada se

je pri komnormalnom,

omenta i strmomenta ići moment

nula, 0s =brzinom ka

pa ni mehanjom od sinh

raste i momnalazi se

nhrone brzin. Sa daljim

JIĆ 15

2

/( )s

Lω+.

1 / Sn n= − ) i

koje ćemoent se možedobija:

me nastupa motornom

ruje motoranominalne

nM i struja

, a momentao i obrtno

ničke sile nahrone da bi

ment motorau preseku

ne, kada jem porastom

i

o e

a m

a e a

t o a i

a u e

m

ELEKTRIČNE MAŠINE (redukovana predavanja sa numeričkim primerima) KANDIĆ-STOJIĆ 16

opterećenja, moment motora dostiže maksimalnu vrednost mM , posle koje njegova vrednost opada, uprkos porastu klizanja i indukovane ems. Ova pojava se objašnjava porastom induktivnog otpora (reaktanse) rotora rX s Lω= i promenom faznog ugla rotorske struje. Polazni moment motora Mp je manji od maksimalnog, a polazna struja Ip je višestruko (obično oko 6 puta) veća od nominalne struje. Kako su Džulovi termički gubici srazmerni kvadratu struje,

2JP RI= , to je zagrevanje motora pri polasku čak 36 puta veće nego u nominalnom, radnom

režimu. Zato asinhroni motor nakon priključivanja napajanja mora odmah krenuti i vrlo brzo dostići brzinu blisku sinhronoj, što znači da se stabilna, mirna radna tačka mora nalaziti na veoma uskom i strmom delu karakteristike sa klizanjem 0 ms s< < . Podsetimo se da je maksimalno klizanje sm

uobičajeno do 7% (eventualno 9%). U protivnom, ako motor ne dostigne radnu brzinu, doći će do pregorevanja namotaja. Na primer, nominalne brzine motora su za dvopolni motor (dva pola=jedan par polova, dakle p=1) oko 2800[obr/min], za četvoropolni motor (p=2, dva para polova) oko 1480[obr/min], za šestopolni motor (p=3, tri para polova) oko 980[obr/min], itd. Veza između sinhrone brzine, broja pari polova i frekvencije naizmenične struje motora je 60 /sn f p= ⋅ . Moment motora je srazmeran kvadratu napona napajanja, pa ako mrežni napon opadne za 10%, i polazni i maksimalni moment će se smanjiti za 20%. Veći padovi mrežnog napona mogu dovesti do toga da se motor uopšte ne pokrene, kada zbog velikog zagrevanja dolazi do pregorevanja motora. Na slici 12 je prikazana karakterisitka motora u motornom režimu. Međutim, trofazni asinhroni motor može, kao i većina obrtnih električna mašina, da radi i kao generator i kao električna kočnica. Ako je brzina motora n<0, motor radi kao električna kočnica. Negativna brzina znači da se rotor obrće u suprotnom smeru od smera rotacije obrtnog magnetnog polja, najčešće pod dejstvom neke mehaničke (ili inercijalne) sile. Moment motora se tada suprotstavlja mehaničkom momentu na osovini rotora i teži da zaustavi rotor. Zbog velike struje koja tada teče kroz namotaje, motor može samo kratkotrajno raditi u režimu kočenja. Ako je brzina motora n>ns , motor radi kao asinhroni generator. Zbog n>ns u provodnicima rotora se indukuje struja suprotnog smera od struje u motornom režimu, pa je nastali mehanički moment negativan, tj. zakočni. Ako je brzina obrtanja malo veća od sinhrone, motor može stabilno raditi u generatorskom režimu. Kod asinhronih motora većih snaga obavezno se vrši kompenzacija reaktivne snage. Motor je pretežno induktivni prijemnik i tokom rada razvija pozitivnu reaktivnu snagu, QM>0. Ovu snagu motor mora „uzimati“ iz napojne mreže, što povećava i struju u napojnim vodovima i potrošnju električne energije. Da bi se to izbeglo, najčešće se paralelno namotajima statora motora, vezuju 3 kondenzatora odgovarajuće kapacitivnosti. Kako je reaktivna snaga kondenzatora QC<0, to će sa strane mreže ukupna reativna snaga sistema biti Q=QMQC, dakle znatno manja nego bez kompenzacije. Pri kompenzaciji između motora i kondenzatora se vrši razmena reaktivne snage, a samo manji, nekompenzovani deo se trazmenjuje sa napojnom mrežom. Kao i svaki trofazni potrošač, motor se na mrežu može povezati spegom u trougao ili spregom u zvezdu. Podsetimo se da je snaga trofaznog potrošača spregnutog u trougao 3 puta veća od snage tog istog potrošača spregnutog u zvezdu. Smer obrtanja motora se može promeniti promenom mesta bilo kojim dvema fazama.