ELECTROMAGNETISMO Departamento de Física Taller A (primer corte) Docente: Alexánder Contreras Físico/Physicist (El presente taller es únicamente una guía de estudio para los estudiantes)

(No se conformen con la limitación de los presentes ejercicios, recuérdese que la Física es un

Universo de infinitas particularidades; siempre habrá algo nuevo que aprender…)

“Los grandes logros son efecto de los grandes riesgos o sacrificios; simplemente, el Final depende del Principio”

Ley de Coulomb [1] En las esquinas de un triángulo equilátero existen tres cargas puntuales, como se observa

en la figura. Vectorialmente, calcule la fuerza eléctrica total sobre la carga de valor 7𝜇𝐶.

[2] En las esquinas de un cuadrado de lado 𝑎, como se muestra en la figura, existen cuatro

partículas con carga. a) Algebraicamente, determine el vector fuerza sobre la carga 4𝑞 en

términos de 𝑎. b) Hallar el valor numérico del anterior, magnitud y dirección, cuando 𝑞 = −2𝜇𝐶 y 𝑎 = 12𝑐𝑚.

[3] Hay cinco cargas idénticas −𝑞 en los vértices de un pentágono regular de lado 𝑑. a) ¿Cuál

es la fuerza vectorial eléctrica neta debida a esas cinco cargas, sobre una sexta carga +𝑞 en el centro del pentágono?, b) Cuál es la magnitud de dicha fuerza cuando 𝑑 = 10𝑐𝑚 y 𝑞 = 4𝜇𝐶.

[4] Hay dos cargas iguales de +𝑄 en los vértices inferiores de un triángulo equilátero de lado 𝑎;

una tercera carga −𝑞 está en el otro vértice. A una distancia de 𝑎/2 , fuera del triángulo y sobre la mediatriz de las cargas +𝑄, está una carga 𝑞0 (véase la figura), sobre la cual aplica una

fuerza neta igual a cero. Calcúlese el valor de la relación 𝑞/𝑄.

[5] Cuatro cargas puntuales idénticas 𝑞 están en los vértices de un tetraedro regular de lado 𝑎. ¿Cuál es la fuerza vectorial experimentada por una carga con respecto a las demás? (Sugerencia: Desprecie la atracción gravitacional. Adicionalmente, recuérdese que con los triángulos equiláteros de la figura se realiza un tetraedro regular).

[6] Una carga 𝑞1 = 4𝜇𝐶 ubicada en el punto 𝑃1(2,2, −2) experimenta una fuerza con respecto a

las cargas 𝑞2 = 2𝜇𝐶 ubicada en el punto 𝑃2(4,8,7) y 𝑞3 = −6𝜇𝐶 ubicada en el punto 𝑃3(4, −7,5).

Hallar la fuerza vectorial eléctrica resultante sobre la carga 𝑞1 y la dirección. (Sugerencia: una

buena forma de realizarle, es tomar la gráfica individual para los pares de cargas implicados y

tomar en primera instancia el vector posición de cada carga con respecto al origen de

coordenadas 𝑃0(0,0,0)).

[7] Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con una masa de 4 × 10−2𝑘𝑔, cuelgan en equilibrio como se muestra en la figura. La longitud de cada cuerda es 𝐿 = 0.12 𝑚 y el

ángulo 𝜃 = 7º. Encuentre: a) la expresión algebraica de la carga explícita en términos de los demás parámetros, b) el valor numérico para dicha carga.

[8] Dos esferas idénticas tienen una masa 𝑚 y una carga 𝑞. Cuando se les coloca en un tazón

de radio 𝑅 y de paredes no conductoras y libres de fricción, las esferas se mueven, y cuando

están en equilibrio se encuentran a una distancia 𝑅 (véase la figura). Demuestre que el valor de

cada carga es: 𝑞 = 𝑅√𝑚𝑔

√3𝐾𝐸

[9] Tres esferas idénticas colgantes de masa 𝑚 y de carga 𝑞, están unidas desde un punto

común a través de tres hilos de longitud 𝑙, respectivamente. Después de ser soltadas, en el aire

adquieren un equilibrio como consecuencia de las interacciones eléctrica y gravitacional,

formando un triángulo equilátero de lado 𝑑 (en el plano XY). Demostrar que la expresión

algebraica de la carga 𝑞 para cualquier esfera es: (Sugerencia: Utilice para los lados del

triángulo las direcciones 𝑖̂ 𝑦 𝑗̂, y para la altura del triángulo con respecto al punto común utilice

la dirección �̂�).

𝑞2 =4

3𝜋𝜖0𝑚𝑔𝑑3 (𝑙2 −

𝑑2

3)

−1/2

Cinemática de cargas eléctricas en campos eléctricos uniformes

[10] Se proyectan varios protones con una rapidez inicial 𝑣𝑖 = 9.55 km/s en una región donde

está presente un campo eléctrico uniforme �⃗� = −720𝑗̂ N/C, como se muestra en la figura. Los protones deben alcanzar un objetivo que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto por donde los protones atraviesan el plano y entran en el campo eléctrico. Determine: (a) los dos ángulos de proyección 𝜃 que logren el resultado esperado y (b) el tiempo de vuelo (intervalo de tiempo durante el cual el protón pasa por encima del plano en la figura) para cada una de las trayectorias.

[11] En la figura, se lanza electrón con una velocidad inicial de 2 × 107𝑚/𝑠 en la dirección de

un eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme

entre placas, tiene una intensidad de 20000𝑁/𝐶 y está dirigido hacia arriba. (a) ¿Qué distancia

perpendicular al eje ha recorrido el electrón cuando pasa por el extremo de las placas?, (b)

¿qué ángulo con el eje forma su velocidad cuando abandona las placas?, (c) ¿A qué distancia

por debajo del eje choca con la pantalla S?

[12] Suponga que se lanzan electrones con una velocidad inicial 𝑣0 = 4 × 106𝑚/𝑠 con un

ángulo de 35° con respecto a la placa inferior. Si el campo eléctrico es 𝐸 = 3000𝑁/𝐶. Calcule la

distancia a la cual chocan los electrones sobre la placa inferior.

[13] Entre dos placas planas y paralelas de magnitud de carga igual pero de signos opuestos,

existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón de la superficie de la placa negativa y

choca en la superficie de la placa opuesta, distante 2cm de la primera, en un intervalo de 1,5 ×

10−3𝑠 . (a) Calcular el campo eléctrico; (b) calcular la velocidad del electrón al chocar con la

placa.

Campo Eléctrico de cargas puntuales

[14] La distancia entre el núcleo del oxígeno y cada uno de los núcleos de hidrógeno en una

molécula de agua (𝐻2𝑂) es 9,58 × 10−11𝑚. El ángulo entre las líneas de los dos núcleos de

hidrógeno es 105° como se muestra en la figura. Calcule el campo eléctrico producido por los

núcleos en el punto P a una distancia de 1,2 × 10−10𝑚.

[15] Hallar el campo eléctrico en términos de 𝑞 y 𝑎 en el centro del triángulo equilátero

generado por las tres cargas puntuales.

[16] Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo de una línea recta. La primera carga 𝑞1 =

15𝜇𝐶 está separada 2m de la última carga 𝑞3 = 6𝜇𝐶. Si la carga 𝑞2 está en cierto lugar

intermedio entre las dos cargas y en el cual su fuerza eléctrica neta es igual a cero, ¿qué

distancia posee con respecto a la primera carga?

[17] De acuerdo a la figura, hallar: a) algebraicamente una expresión vectorial del campo

eléctrico en el punto superior provocado por todas las cargas implicadas; b) Hallar un valor

escalar de dicho campo si 𝑞 = 4𝜇𝐶 y 𝑎 = 0,1𝑚.

[18] Demostrar que las componentes cartesianas del campo eléctrico producido por una carga

𝑞 a la distancia 𝑟 son:

𝐸𝑥 =𝑞𝑥

4𝜋𝜖0𝑟3 ; 𝐸𝑦 =

𝑞𝑦

4𝜋𝜖0𝑟3 ; 𝐸𝑧 =

𝑞𝑧

4𝜋𝜖0𝑟3

[19] Siete partículas con carga, cada una de magnitud q, están situadas en las esquinas de un cubo de arista s, como se observa en la figura. (a) Determine las componentes en x, y y z del campo eléctrico total (vector campo) ejercida por las demás cargas sobre la carga ubicada en el punto P. b) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de éste campo total?

Campo Eléctrico de cuerpos de distribución de carga continua

[20] Hallar el campo eléctrico generado por un alambre infinito, con densidad de carga

uniforme 𝜆, en el punto medio de él a una distancia perpendicular

[21] Una barra uniformemente cargada de longitud 𝐿 es doblada en forma de semicírculo, así

como se muestra en la figura. Si la barra posee una carga total 𝑄, hallar el campo eléctrico en

el centro del semicírculo. Después halle el valor numérico vectorial de éste cuando 𝐿 = 15𝑐𝑚 y

𝑄 = 7𝜇𝐶.

[22] Se tiene un alambre de longitud 𝐿 con una densidad lineal de carga 𝜆, véase la

figura. (a) probar que el campo eléctrico en un punto a una distancia 𝑅 del alambre

está dado por:

𝐸⊥ = (𝜆/4𝜋𝜖0𝑅)(𝑠𝑖𝑛𝜃2 − 𝑠𝑖𝑛𝜃1) y 𝐸∥ = (𝜆/4𝜋𝜖0𝑅)(𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑐𝑜𝑠𝜃1)

[23] Una línea de carga forma un semicírculo de radio 𝑅, la carga por unidad de longitud está

dada por 𝜆 = 𝜆0𝑐𝑜𝑠𝜃. Calcule la fuerza sobre una carga 𝑞 colocada en el centro de la

curvatura.

[24] Con un alambre de carga 𝜆 por unidad de longitud se forma un cuadrado de lado 𝐿.

Calcular el campo en puntos situados sobre la perpendicular al centro del cuadrado.

[25] A través del método de distribución de carga continua, calcular el campo eléctrico de un

anillo, disco y lámina infinita.

[26] A través del método de distribución de carga continua, hallar el campo eléctrico en forma

vectorial generado por un cascaron cilíndrico de radio 𝑎 en puntos perpendiculares al centro de

una de sus tapas. Véase la figura.

Ley de Gauss

[27] Hallar el campo eléctrico generado por dos planos paralelos y simétricos cargados con

densidad de carga uniforme superficial, en un punto ubicado en el centro de un agujero circular

centrado en la placa superior. Véase la figura.

[28] Hallar el campo eléctrico generado por tres filamentos idénticos y de densidad de carga

uniforme lineal, en puntos entre la cavidad y equidistantes a las placas superior e inferior.

Véase la figura.

[29] Calcule el campo eléctrico para cada situación mostrada:

a) Dos líneas con distribución de carga 𝜆. Calcular �⃗� en P;

b) Dos planos infinitos cruzados con la distribución de carga 𝜎. Calcular �⃗� en P;

c) Dos alambres infinitos con distribución de carga 𝜆 que se cruzan formando un ángulo 𝛼.

Calcular �⃗� en puntos a lo largo de una bisectriz del ángulo.

d) Dos planos cruzados perpendiculares con distribución de carga 𝜎. Calcular �⃗� en un punto

(𝑥, 𝑦) de cualquier cuadrante.

e) Un plano con distribución de carga 𝜎 atravesado por un alambre infinito con distribución de

carga 𝜆. Calcular �⃗� dentro de la lámina infinita a una distancia 𝑑 del alambre.

f) Tres láminas paralelas infinitas idénticas con distribución de carga +𝜎. Calcular �⃗� en todos

los puntos fuera de las láminas.

[30] Usando la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por una distribución

volumétrica de una esfera sólida cargada de radio 𝑎, en puntos interiores y exteriores a ella.

[31] Una esfera de radio 2𝑎 está hecha de un material no conductor con una densidad de carga

volumétrica uniforme 𝜌, (suponga que el material no afecta al campo eléctrico al interior). Se

efectúa en seguida una cavidad de radio 𝑎 en la esfera, así como se muestra en la figura.

Demuestre que el campo eléctrico dentro de la esfera es uniforme y está dado por:

�⃗� = 0�̂� +𝜌𝑎

3𝜖0𝑗̂

[32] Una esfera maciza de radio 𝑅 tiene una carga 𝑄 distribuida uniformemente en su volumen.

Se hace un orificio de radio 𝑅/2, tal que el centro del hueco esférico esté a una distancia 𝑅/2

del centro de la esfera maciza. Demuestre que el campo eléctrico a una distancia 𝑟 > 𝑅 del

centro de la esfera maciza es:

[33] Suponga que se tiene una esfera hueca conductora de carga 𝑞 y radios interno y externo

𝑅1 y 𝑅2, respectivamente. a) Calcule el campo eléctrico en todas las regiones; b) si se introduce

una carga puntual 𝑞 dentro de la esfera hueca, calcular en este caso el campo eléctrico en

todas las regiones y la carga inducida sobre la superficie interna de la esfera.

[34] Una cilindro de radio 𝑅 está hecho de un material no conductor con una densidad de carga

volumétrica uniforme 𝜌. Se efectúa en seguida una cavidad cilíndrica de radio 𝑅/2 dentro del

cilindró original, así como se observa en la figura. Hallar el vector campo eléctrico resultante en

un punto al interior del cilindro original que intercepte el cilindro hueco (𝑅

2< 𝑟 < 𝑅).

[35] De acuerdo a la figura, por medio de la ley de Gauss determine el campo eléctrico

producido por una esfera aislante hueca de radio interno 𝑎 y radio externo 𝑏 con carga total 𝑄

en las regiones:

a) 𝑟 < 𝑎 b) 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 c) 𝑟 > 𝑏.

[36] Una esfera aislante sólida, de radio 𝑎, tiene una carga positiva 𝑄 neta distribuida de

manera uniforme por todo su volumen. Un cascarón esférico conductor, de radio interior 𝑏 y

radio exterior 𝑐, es concéntrico con la esfera sólida y tiene una carga neta −2𝑄. Ahora, con la

aplicación de la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico en las regiones marcadas como: 1,

2, 3 y 4 en la figura. Finalmente, analice el caso para el campo eléctrico cuando el cascarón

conductor tuviese carga neta cero; y qué sucedería si la esfera sólida de radio 𝑎 no estuviese.

[37] Considérese un cilindro aislante de radio 𝑎 y carga 𝑄 distribuida en todo su volumen.

Concéntricamente al primer cilindro, considérese un cascarón cilíndrico conductor de radio

interno 𝑏 y radio externo 𝑐 con carga −𝑄. Hallar el campo eléctrico en:

a) 𝑟 < 𝑎 b) 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 c) 𝑏 < 𝑟 < 𝑐 d) 𝑟 > 𝑐 .

[38] Una superficie cerrada de dimensiones 𝑎 = 𝑏 = 0.4𝑚 y 𝑐 = 0.6𝑚 está ubicada de la forma

en que se muestra en la figura. La cara izquierda de la superficie cerrada está posicionada en

𝑥 = 𝑎. El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y se varía de la forma �⃗� =(3 + 2𝑥2)𝑖̂ [𝑁/𝐶], donde 𝑥 está expresado en metros. Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta que se encuentra dentro de la superficie? (RTA: q=2,378pC)

[39] Considérese una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo eléctrico horizontal

con una magnitud 𝐸 = 7.8 × 104𝑁/𝐶, como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico a través de: a) Superficie rectangular vertical, b) La superficie inclinada, c) La superficie total de la carga.

[40] Una pirámide tetraédrica está formada por triángulos equiláteros de lado 𝑎. La pirámide

descansa con una cara sobre un plano infinito con distribución de carga 𝜎. Calcule el flujo eléctrico a través de la cara que descansa sobre el plano. Cuál es el flujo a través de cada una de las otras caras?

[41] Una carga lineal infinitamente larga tiene carga uniforme por cada unidad de longitud 𝑙 y se

localiza a una distancia 𝑑 del punto O, como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R con centro en O como resultado de la

carga lineal. Tome en cuenta cuando el caso cuando 𝑅 < 𝑑 y el caso cuando 𝑅 > 𝑑.

[42] Una esfera de radio 𝑅 rodea una partícula con carga 𝑄, ubicada en su centro, véase la

figura.

a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de semiángulo 𝜃 es:

Φ𝐸 =𝑄

2𝜖0(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)

b) cuál es el flujo para 𝜃 = 90 y 𝜃 = 180.

___________________ Cultura General:

Un magnetar o magnetoestrella es una estrella de neutrones alimentada con un campo

magnético extremadamente fuerte. Se trata de una variedad de púlsar cuya característica

principal es la expulsión, en un breve período (equivalente a la duración de un relámpago),

de enormes cantidades de alta energía en forma de rayos X y rayos gamma.

Bien se dice: él éxito consta de 10% de habilidad y 90% de transpiración. ¡¡ÉXITOS!!...