PRORAČUN SAVITLJIVIH TEMELJNIH NOSAČA

Pojam elastičnog temeljnog nosača:

- približna procjena 3

Sb

Ld

E12Ek ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=α

za ⇒> 4.0kα KRUTA TEMELJNA KONSTRUKCIJA

(linearna raspodjela reaktivnog pritiska tla) za ⇒< 4.0kα SAVITLJIVA TEMELJNA KONSTRUKCIJA

(raspodjela reaktivnog pritiska nije jednoznačno određena)

Temelj je "popustljivi ležaj" kod kojeg slijeganje ovisi o:

opterećenju

dimenzijama temelja

raspodjeli naprezanja na dodirnoj površini temelj-tlo

deformacijskim svojstvima tla

PRETPOSTAVAKA: slijeganje tla = progib grede ⇒ rješenje problema

Rješenje u analitičkom (zatvorenom) obliku u većini složenijih problema nije moguće naći, te se primjenjuje diskretizacija i problem se rješava:

- MKE

- MKR

U rješavanju problema tlo se modelira:

- Winkler-ova teorija

- elastičan ili elasto-plastičan poluprostor

OSNOVE PRORAČUNA SAVITLJIVOG NOSAČA

Diferencijalna jednadžba ravnog savitljivog nosača opterećenog u jednoj ravnini:

( ) xpdx

wdEI 4

4=∗

E - modul elastičnosti materijala nosača, I - moment inercije presjeka nosača, w - progib nosača, p - vanjsko opterećenje po jedinici duljine nosača u smjeru pozitivnog progiba.

x

w (x)

p (x)

A B

L

x=0 ⇒ w(0) = 0 x=L ⇒ w(L) = 0

Q(0) = A Q(L) = B, (A i B su ležajne reakcije)

Kod savitljivih temeljnih nosača vanjsko opterećenje je nepoznato.

d

xL

q(x)w(x)

g

p(x)

Temeljni nosač sa opterećenjima i odgovorom podloge

( ) ( ) ( )xqgxpxp −+=

gdje su :

w(x) - uspravni pomak (slijeganje) nosača q(x) - nepoznati reaktivni pritisak tla po jedinici duljine p(x) - poznato "korisno" opterećenje nosača po jedinici duljine g - vlastita težina nosača po jedinici duljine,

g)x(p)x(qdx

wdEI 4

4+=+∗

x=0 ⇒ M(0)=0 x=L⇒ M(L)=0

Q(0)=0 Q(L)=0

Moguće rješenje samo ako je uspostavljena veza između slijeganja i reaktivnog pritiska tla oblika q=f(w) ili w=f1 (q)

Metoda obrnute grede

Ova se metoda može koristiti za proračun nosača manjih duljina i jednostavnih,

točkastih (stupovi), nepomičnih opterećenja.

Reaktivni pritisak nepoznata veličina, to je za ovaj proračun pretpostavljeno kao

kontinuirano opterećenje koje na rubovima ima vrijednost:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

∗= ∑

Le61

LBP

q Li2,1

dodirni pritisak (reakcija podloge)

sile u stupovima

L

qq

R R R

L

PΣ

L/2

eL

1 2

STATI^KA SHEMA

R = PR = PR = P

q

P P P1 2 3

321i

1 12 23 3

OKRENUTA GREDA

Rješenje za Winklerov prostor

Winklerov prostor samo približno opisuje deformacijske osobine temeljnog tla.

Stišljivo tlo zamjenjujemo sustavom elastičnih pera, tako da je pomak točke na

površini Winklerovog prostora linearno proporcionalan reaktivnom pritisku :

K

)x(q)x(w =

K = modul reakcije tla (kN/m2/m’).

g)x(p)x(wKdx

wdEI 4

4+=∗+

Uz korištenje rubnih uvjeta moguće riješiti u zatvorenom obliku.

Q w(x)

Q

w(x)

a)

b)

c)

w

pw

1

pK

w =

w=w(p)

0

w = 2,5 cm1

K=

p1

pw

1

1

Winklerov model (a), stvarni nosač (b) i određenje Winklerovog koeficijenta iz

rezultata ispitivanja probnom pločom (c) sa kriterijem određivanja “K “po Vesiću

Nedostaci ovog modela:

- opterećenje skraćuje samo ona pera na kojima greda izravno leži

- na tlo se može prenijeti kako pritisak tako i zatezanje

- određivanje modula reakcije tla (K) koji ovisi o intenzitetu opterećenja, obliku i

veličini opterećene plohe, krutosti grede, svojstvima materijala grede, svojstvima

temeljnog tla ispod grede.

Koeficijent reakcije (odgovora) podloge

Koeficijent reakcije podloge K je odnos između dodirnog naprezanja q kojim tlo

odgovara na vanjsko opterećenje i slijeganja w, koje to isto naprezanje izazove u

tlu.

wqK = [kN/m3]

Vrijednost koeficijenta K ovisi o elastičnim svojstvima podloge i o veličini

opterećene površine. Pri tom se misli na probnu ploču kojom se praktično ovaj

podatak nastoji izmjeriti na terenu.

Izraz koji je predložio Vesić (1961. god.) :

2s

4s

1E

EIBE

B65.0K

ν−∗=

gdje je:

Es ⎯ modul elastičnosti tla;

E ⎯ modul elastičnosti grede;

I ⎯ moment inercije presjeka grede;

ν ⎯ Poissonov koeficijent tla;

B ⎯ širina grede (temelja).

Winklerov model se može poboljšati korištenjem "iterativnog postupka":

pretpostavi se neka raspodjela reaktivnog pritiska ⇒ na osnovu nje "točnim

metodama" izračuna slijeganje ⇒ pomoću ovog slijeganja odredi modul reakcije

tla (K) koji će dati upravo tu veličinu slijeganja ⇒ sa dobivenim modulom reakcije

tla izvrši se proračun grede koji će dati neku novu raspodjelu reaktivnog pritiska.

RJEŠENJE ZA WINKLEROV PROSTOR METODOM KONAČNIH ELEMENATA

Prikazati će se pojednostavljeni postupak proračuna linijskog elementa.

Podijelimo temeljnu gredu na "n" konačnih elemenata, te vanjsko opterećenje na

gredu kao i utjecaj unutarnjih sila, prenesimo na čvorove između ovih elemenata.

P - vanjsko opterećenje u općem smislu (sila i moment) F - unutrašnje (rezne) sile u općem smislu (sila i moment) X - vanjski pomak čvora e - unutrašnja deformacija u čvoru u općem smislu (vertikalni pomak i kut zaokreta) a - duljina konačnog elementa

L

1 2 3 4 5 6

P8 P

P8

P8P7

P 9 P10

P11 P12-X 7-X -X -X -X -X

9 11

6

8 10

P2P1

P 3 P4

P 5 P 6-X 1 -X -X -X -X -X3 52 4

12

a b c d f

F1-e1 F2-e2F3-e3

F4-e4F5-e5

F6-e6F7-e7

F8-e8F9-e9

F10-e10

F -e F12-e12F13-e13

F14-e14F15-e15

F16-e16

a=b=c=d=const.=L/5

P10 P11

11 11

a b

1 2F + Fa

1 2F + Fa

1 2F + Fa

3 4F + Fb

PP

PP

7

1

8

2F F11

F2 2F F3 F3F4

GREDA SA ZADANIM OPTERE]ENJEM

ZAMJENJUJU]I MODELKONA^NIH ELEMENATASA PERIMA KOJAZAMJENJUJU TLO

VANJSKE SILE (P)

UNUTARNJE SILE (F) IPOMACI (e)

RAVNOTE@A SILA U^VOROVIMA

P2

1 2 3

P2

I POMACI ( X)

Primjer grede pripremljene za primjenu MKE

Možemo uspostaviti matričnu vezu oblika:

{P}=[A]{F} {P} - vektor vanjskog opterećenja u čvorovima [A] - matrica konstanti proporcionalnosti {F} - vektor unutrašnjih sila u čvorovima

Također možemo napisati i vezu oblika:

{e}= [B] {x}

{e} - vektor "unutrašnje" deformacije u čvoru {x} - vektor "vanjskog" pomaka čvora [B] - matrica konstanti proporcionalnosti

Može se dokazati da vrijedi [B]=[AT]

Ako uvedemo u općem matričnom obliku i vezu između unutrašnjih sila i unutrašnje deformacije u čvoru:

{F}=[S]{e}

gdje je [S] također neka matrica proporcionalnosti, između ovih veličina možemo, koristeći prethodne izraze, uspostaviti veze oblika

{F}=[S][AT]{x}

{P}=[A][S][AT]{x}

Ovako uspostavljeni odnosi nam omogućuju, da ukoliko poznajemo matrice veze između pojedinih veličina ([A]; [B]; [S]) možemo odrediti vektor vanjskih pomaka u čvorovima: =([A][S][A{ }x T])-1 { }P

a time je zadani problem riješen, jer vektor P je unaprijed zadano, dakle poznato, vanjsko opterećenje. Odredimo matrice veze između pojedinih veličina.

Matrica [A]

Ako smo temeljnu gredu podijelili na "n" elemenata, tada smo znači uspostavili "n+1" čvorova u kojima vršimo zahtijevanu analizu. Na gredu u čvorovima djeluje N=2(n+1) vanjskih sila (n+1 vertikalnih koncentriranih sila i n+1 momenata; slika 3.20), te M=3n+1 unutrašnjih sila (2n unutrašnjih momenata i n+1 unutrašnjih vertikalnih sila; slika 3.20).

Za promatrani primjer n=5 ⇒ N=12; M=16. Statički uvjeti ravnoteže trebaju biti zadovoljeni u svakom presjeku grede, pa tako i u

čvorovima promatranog sustava. Ako postavimo uvjete ravnoteže ΣV=0 i ΣM=0 u svakom čvoru dobiti ćemo sustav jednadžbi iz kojih možemo odrediti traženu matricu [A].

ČVOR 1: ΣM=0 ⇒ P1-F1=0 ⇒ P1=F1

ΣV=0 ⇒ PF F

aF7

1 211 0−

++ =

⇒ PFa

Fa

F71 2

11= + −

ČVOR 2: ΣM=0 ⇒ P2=F2+ F3

ΣV=0 ⇒ P Fa

Fa

Fa

Fa

F81 2 3 4

12= − − + + −

Matrica [B]

Matricu [B] odredit ćemo iz uvjeta da vanjski pomaci čvorova moraju biti jednaki unutrašnjoj deformaciji, pa dobijamo (promatramo samo vertikalni pomak i rotaciju):

rotacija čvora ⇒

e X

X Xa

e XX X

a

1 17 8

2 27 8

= +−

= +−

i td.

vertikalni pomak (odgovara deformaciji pera) ⇒

e11 = - X7

e1 2= - X8 i td.

Matrica [S]

Određujući reakcije obostrano upete grede (promatra se konačni element), nastale zbog jedinične rotacije grede u čvoru, možemo uspostaviti vezu između unutrašnjih deformacija (rotacije) i unutrašnjih sila (moment):

F Fe1 213 6

L EI

LEI

− =

− + =F F

e1 226 3

L EI

LEI

L

L

F L6EI2

F L3EI1

F L3EI2

F L6EI1e1

e2F

F

1

2

Interpolacijske funkcije

Riješimo li prethodni sustav od dvije jednadžbe dobivamo po dvije veze između sila i deformacija, koje možemo napisati za svaki konačni element:

element br. 1.:

F

F

1

2

4 2

2 4

= +

= +

EIa

e EIa

e

EIa

e EIa

e

1 2

1 2

element br. 2.:

F

F

3

4

4 2

2 4

= +

= +

EIa

e EIa

e

EIa

e EIa

e

3 4

3 4

i td. za sve elemente Po Winklerovoj teoriji za uspravne sile jednostavno pišemo:

F=k e

gdje je ⇒ k=a B K,

DIFERENIČNI POSTUPAK (METODA KONAČNIH RAZLIKA)

Ako temeljnu gredu (područje definicije funkcije) diskretiziramo, te se za svaku diskretnu točku diferencijalna jednadžba temeljnog nosača zamijeni difereničnom, dobivamo sustav linearnih algebarskih jednadžbi rješavanjem kojeg dobivamo rješenje promatranog problem.

d

a a

P

i

i

qi

i1 2 ni+2i+1i-1i-2 n-1

w

b

Greda podijeljena na elemente

( )EI d wdx

x∗ =4

4 p

Za svaku diskretnu točku možemo napisati difereničnu jednadžbu oblika:

gpq)ww4w6w4w(aEI

ii2i1ii1i2i4 +=++−+− ++−−

a - dužina elemenata na koje smo podijelili nosač,

aPp i

i =

osim za krajnje čvorove (prvi i posljednji) gdje je a5.0

Pp ii ∗= .

Uočimo da ako želimo napisati difereničnu jednadžbu za čvor 1 i 2, onda moramo uvesti fiktivne čvorove koje ćemo označiti sa (0) i (-1).

Da bi rješili problem sa dvije nove nepoznanice (dva pomaka čvora), potrebno je u sustav uvesti dvije dodatne jednadžbe. Ove fiktivne pomake odrediti ćemo iz rubnih uvjeta: M1 =0 i Q1 =0

1 20-1

1

3 4 5 6

w w w w w w w w2 3 4 5 60-1

Neutralna os nakon zavr{enog slijeganjafiktivna slijeganjakojima se zadovoljavaju

rubni uvjeti Greda sa fiktivnim čvorovima

Moment savijanja u proizvoljnom presjeku određen je izrazom:

2

2

xwEI)x(M

δ

δ−=

ili u difereničnom obliku :

21ii1i1a1)ww2w( EIM +− +−−=

Za točku 1 uz rubni uvjet slijedi:

210

2i0

21021

ww2w 0)ww2w(

0)ww2w(aEIM

−=⇒=−+−

=−+−=

Poprečna sila u proizvoljnom presjeku određena je izrazom :

xwEI)x(Q 3

3

δ

δ−=

ili u difereničnom obliku

a21)ww2w2w(EIQ 32i1i1i2ii ++−− +−+−−=

Za točku 1 uz rubni uvjet:

3201

3201

32013i

ww2w2w 0)ww2w2w(

0)ww2w2w(a2EIQ

+−=⇒=−+−−

=−+−−=

−

−

−

Iz prethodnih izraza

3211 w4w4ww +−=−

Koristeći izraze za w-1 i w0, diferenična jednadžba za čvor 1 ima oblik :

g21P

a1q

21)w2w(w

a

EI1113214

+=+−−∗

analogno za čvor 2:

gPa1q)ww4w5w2(

a

EI22243214 +=++−+−∗

Ako isti postupak primijenimo za čvorove (n-1) i (n) uz korištenje rubnih uvjeta na tom kraju dobivamo sustav jednadžbi koji možemo napisati u matričnom obliku:

[ ]{ } [ ]{ } { }f q w D aEI

4 =λ+

gdje je:

{w} ⎯ vektor progiba u čvorovima

[λ] ⎯ dijagonalna matrica čiji su članovi izvan dijagonale jednaki nuli, a na dijagonali λ1 =λn = 0.5, te λi =1,

{q} ⎯ vektor reaktivnog pritiska tla

{f} ⎯ vektor vanjskog djelovanja

g+aP= f ii

ii η

1 ;5.0 in1 =η=η=η (i=2,......, n-1)

te matrica [D]:

[ ]D =

−− −

− −− −

− −

− −

− −− −

− −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 12 5 4 11 4 6 4 1

1 4 6 4 11 4 6 4 1

1 4 6 4 1

1 4 6 4 11 4 6 4 1

1 4 5 21 2 1

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

.

USPOSTAVLJANJE VEZE IZMEĐU SLIJEGANJA I REAKTIVNOG PRITISKA TLA

Prethodno je napomenuto da sustav nije moguće riješiti bez uvođenja (n) jednadžbi funkcije veze između slijeganja i reaktivnog pritiska tla. U ovom slučaju ćemo ih odrediti iz uvjeta jednakih pomaka (progib grede jednak je slijeganju tla) na dodirnoj površini, i to na slijedeći način : - slijeganje svake točke na dodiru grede i tla je funkcija kako ukupnog opterećenja tako i njegove raspodjele duž grede. - reaktivni pritisci qi u okolini svake diskretne točke (čvora) su konstantni (jednoliko raspodijeljeno kontinuirano opterećenje).

1 2 3 4 i-1 i i+1 n-2 n-1

1 3 4 i-1 i i+1 n-2 nn-1

a a/2aaaaaaaaa

aaaa aaaa aaa

a/2

A

B

2

2 3 4 i-1 i i+1 n-2 nn-11q q q q q q q q q q

q = 1,00 kN/m'

q = 1,00 kN/m'

1A

B2

2 3 41 i-1 i i+1 n-2 nn-1

α2 3 41 i-1 i i+1 n-2 nn-1α α α α α α α α α

2 3 41 i-1 i i+1 n-2 nn-1β β β β β β ββ β β

n d

b

b

Slijeganje tla u proizvoljnoj točki (i) sada možemo izraziti na način:

w si ijj

n=

=∑

1 q j

sij - slijeganje točke (i) uslijed jediničnog, jednoliko raspodijeljenog opterećenja u okolini točke (j) (tzv. utjecajno slijeganje), q - je stvarno specifično opterećenje na površini oko točke (j).

Ukoliko je tlo homogeno i horizontalno uslojeno u svim točkama ispod nosača, utjecajno slijeganje (sij) nije potrebno odrediti za svaki (j), tj. uslijed jediničnog opterećenja oko svake točke, nego samo uslijed jediničnog opterećenja oko točke 1 i 2 budući da ovim točkama pripadaju različite površine kao njihov okoliš.

Ako se okolina točke 1 (to je površina veličine A=0.5 ∗ a∗ b) optereti sa jediničnim jednoliko raspodijeljenim opterećenjem (q= 1.0 kN/m2), mogu se izračunati slijeganja svake točke (i). Ova slijeganja označimo sa α1, α2,.., αi,.., αn.

Ako se okolina točke 2 (to je površina veličine B = a*b) optereti sa jediničnim jednoliko raspodjeljenim opterećenjem mogu se ponovo izračunati slijeganja svake točke (i). Ova slijeganja označimo sa β1, β2,.. , βi,.., βn.

Pomoću ovih utjecajnih slijeganja mogu se izraziti slijeganja tla u svakoj od (n) točaka na dodiru :

w1=α1q1+β3q2+β4q3+β5q4... βiqi-1+βi+1qi+βi+2qi+1 ...+ βn-1qn-2+βnqn-1+αnqn

w2=α2q1+β2q2+β3q3+β4q3... βi-1qi-1+ βiqi +βi+1qi+1...+ βn-2qn-2+βn-1qn-1+αn-1qn

w3=α3q1+β3q2+β2q3+β3q4... βi-2qi-1+ βi-1qi +βiqi+1...+ βn-3qn-2+βn-2qn-1+αn-2qn

wi =αiq1+βiq2+βi-1q3+βi-2q4... β3qi-1+β2qi+β3qi+1...+ βn-iqn-2+βn-i+1qn-1+αn-i+1qn

wn = αnq1+βn q2 +βn-1q3 ... βn-i+3qi-1+βn-i+2qi+βn-i+1qi+1 ...+ β4qn-2+β3qn-1+αn-1qn

ili općenito :

w = q i i 1 +j=2

n-1α β αi j j n i nq q− + − ++∑ 2 1

u matričnom obliku :

{w}=[U]{q}

[U] matrica utjecajnih slijeganja.

Proračun utjecajnih slijeganja (αi i βi.)

Utjecajna slijeganja određujemo na način da okolinu svakog čvora (i) (i=1...n) opteretimo jediničnim jednoliko raspodijeljenim opterećenjem te proračunamo vrijednosti vertikalnog naprezanja u svim okolnim čvorovima, uslijed tog opterećenja.

Proračun dodatnih vertikalnih naprezanja vršimo jednom od poznatih metoda, (Boussinesq, Westergaard, Newmark i sl.).

L

B

0.29B

0.21B

0.37B

0.13B

0.37L0.13L 0.29L 0.21L

GRASSHOF(KANY)

WAN HAMME(JELINEK)

Položaj karakteristične točke

Kad su poznata dodatna vertikalna naprezanja, te geostatička naprezanja u karakterističnim točkama mogu se, poznavajući deformacijska svojstva pojedinih slojeva tla ispod grede, odrediti vrijednosti utjecajnih slijeganja αi i βi. Deformacijska svojstva pojedinih slojeva tla mogu se odrediti laboratorijskim pokusima (edometarski pokus itd.) ili terenskim pokusima "in situ" (standardni penetracijski pokus itd.).

Proračun reaktivnih pritisaka u čvorovima

Kada su elementi matrice utjecajnih slijeganja [U] određeni, možemo jednadžbu slijeganja tla:

{w}=[U] {q}

uvrstiti u difereničnu jednadžbu grede

[ ]{ } [ ]{ } { }fqwDaEI

4 =λ+

te dobivamo

[ ][ ] [ ] { } { } fqUDaEI 4 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λ+

a to je sustav jednadžbi u kojem se kao nepoznanica javljaju samo reaktivni pritisci tla na gredu.