elasticità della domanda

5/10/2018 elasticit della domanda - slidepdf.com

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1. Introduzione – L’elasticità della domanda è uno dei primi concetti che uno studente apprendenei corsi base di Economia politica, laddove l’elasticità è definita come la misura di come varia la

domanda al variare del prezzo. L’assunto appare talmente chiaro e limpido nella sua definizioneche sembrerebbe non dover dar luogo ad ulteriori spiegazioni….eppure non sono pochi glistudenti (e talvolta anche qualche docente forse dimentico degli studi di analisi infinitesimale…)che franano miseramente di fronte all’impostazione di un calcolo apparentemente così banale…I

motivi di ciò sono a nostro avviso molteplici: in primo luogo perché spesso si tende a confondereil concetto di elasticità con quello di pendenza di una curva; poi perché non sembra troppocomprensibile il fatto che l’elasticità in un punto di una curva di domanda (ossia una volta fissati

prezzo e quantità) possa cambiare se varia il suo luogo geometrico di appartenenza (in altre parolese varia la curva di domanda pur mantenendo il punto le stesse coordinate); infine c’è una terzaconsiderazione, ed è forse quella che ingenera le maggiori confusioni: ovvero il fatto che, dopoMarshall, la variabile prezzo viene rappresentata in ordinata e dunque il calcolo della derivatainsito nella formula dell’elasticità deve essere fatto sulla funzione inversa di domanda (dalmomento che si parla di elasticità della domanda rispetto al prezzo e non viceversa…)…In questo

breve lavoro tenteremo pertanto di fare chiarezza su questo argomento, tentando anche di fornirequalche esempio che ci auguriamo possa risultare utile al riguardo.

2.- Brevi richiami sul significato geometrico di derivata e del rapporto incrementale – Approfondiamo in questo paragrafo un concetto che dovrebbe far parte del bagaglio essenziale dichiunque abbia fatto un corso di analisi matematica, ma che purtroppo viene sovente dimenticatononostante è su di esso che si basa l’intera costruzione del calcolo differenziale sin dai tempi di

Newton e Leibniz che ne furono, l’uno indipendentemente dall’altro, e con approcci diversi, gliindiscussi fondatori: quello di derivata in un punto di una funzione.

2.1 - Sia dato un punto P sulla traiettoria descritta dalla curva f(x) come rappresentata infigura 1.Tracciata in P la retta tangente alla curva è noto dagli studi di trigonometria piana che la

tangente trigonometrica dell’angolo A P C ˆ (in figura i punti A e C sono stati presi sulla verticalecondotta dal punto di ascissa 0,5 con A avente stessa ordinata di P) è data dal rapporto tra i catetiAC (seno di A P C ˆ ) e AP (coseno di A P C ˆ ). È noto che tale rapporto (che è un numero reale, e

può assumere qualsiasi valore compreso tra ∞− e ∞+ ) è anche detto coefficiente angolare

della retta in questione e ne rappresenta l’inclinazione o pendenza (positiva se la retta è orientatanella direzione III-I quadrante, negativa in caso contrario). È evidente, per un banale teorema disimilitudine fra triangoli, che ove avessimo preso i punti A e C sulla verticale di un qualsiasi altro

punto di ascissa, anche assai prossimo all’ascissa di P, il rapporto anzidetto non varierebbe affatto,dato che la retta ha una pendenza costante. Ebbene, immaginando allora che la nostra figura sia

1

Figura 1



ingrandita milioni di volte rispetto all’originale, non avremo difficoltà a definire i segmenti AP eAC come delle quantità infinitesime, nel seguito indicate rispettivamente con dx (differenzialedella x) e dy (differenziale della y)1.

Prende il nome di derivata in un punto di una funzione, e si indica con il simbolo )( 0

' x f

oppure'

)( o x y il rapporto tra il differenziale della y e il differenziale della x (confluente in quel

punto, sia pure da una distanza infinitesima)2

.In formule:

dx

dy

A P C

A P senC

AP

AC A P tgC x f ====

ˆcos

ˆˆ)( 0

' (2.1)

Riassumendo: la derivata in un punto di una funzione è il coefficiente angolare della

retta tangente alla funzione in quel punto ed è data dal rapporto tra il differenziale della

funzione e il differenziale della x

2.2 – Riguardiamo ora nuovamente alla figura 1 non più come un ingrandimento rispettoall’originale (come al comma precedente) ma nella sua scala normale: AP è visto adesso come unincremento di ascissa, solitamente indicato con ∆ x , rispetto al quale corrisponde, sulla verticalecondotta da A, l’ulteriore punto B sulla curva. Il segmento AB è l’incremento ∆ y che ha subito lafunzione nel tratto di ascissa da P ad A (nella figura da 0,2 a 0,5). È fondamentale, per leconsiderazioni che faremo nel seguito, osservare che ∆ y non coincide affatto con dy mentre, alcontrario, ∆ x e dx sono congruenti, ossia uguali o sovrapponibili.

Il rapporto tra i due incrementi, che prende il nome di rapporto incrementale, non èquindi la derivata nel punto P, ma è l’inclinazione della retta secante ( e non tangente)3 la curvain P e in B; in formule:

x

y

A P B

A P senB

AP

AB A P tgB

∆

∆===

ˆcos

ˆˆ (2.2)

Posta in tal modo la questione, proviamo ora a diminuire progressivamente l’inizialeincremento ∆ x da A verso P come in figura 2:

1 Le notazioni usate sono dovute a Leibniz, che le coniò nel 1676, tre anni dopo aver avutol’intuizione improvvisa, durante la lettura delle opere di Pascal, che la determinazione dellatangente ad una curva dipendeva dal rapporto tra le differenze delle ordinate e delle ascissequando queste diventano infinitamente piccole (Boyer, Storia della matematica, Mondatori)2 Del tutto involontariamente abbiamo usato quasi la stessa terminologia di Newton quando,qualche anno prima di Leibniz, scoprendo quello che chiamava il suo metodo, ovvero il calcoloinfinitesimale, rifletteva sulle flussioni, ossia sulla velocità con cui variano grandezze capaci divariare con continuità e, appunto, sui fluenti.3 Non confonda il lettore il concetto di tangente geometrica (che è una retta) con quello ditangente trigonometrica (che è invece un numero, funzione di un angolo, e identifica

l’inclinazione rispetto all’asse x di una retta geometrica, sia essa tangente, secante o esternaa qualsivoglia luogo di punti): al proposito si osservi appunto che nella formula (2.2) il

simbolo A P tgB ˆ sta ad indicare la tangente trigonometrica della secante.

2



Figura 2

Si vede chiaramente (nella figura 2 sono state soltanto tracciate in rosso altre due linee verticali

rispetto alla figura 1) che mentre l’angolo A P C ˆ non muta (dunque la derivata nel punto Primane la stessa), aumenta progressivamente l’angolo A P B ˆ di inclinazione della retta secante,che man mano tende a sovrapporsi a quello della retta tangente in P. Da quanto esposto risulterà

chiaro che quando l’incremento di ascissa ∆ x tende a zero, ossia ad annullarsi, la secante evolvenella tangente.

Ciò sta ad indicare che per calcolare la derivata di qualsivoglia funzione sarà sufficientefare il limite del rapporto incrementale per ∆ x che tende a zero4.

In formule avremo pertanto:

x

x f x x f

x

y

dx

dy x f

x x ∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→∆

)()(limlim)(

00

' (2.3)

Volendo dimostrare, ad esempio, che la derivata generica5 della funzione y = x2 è y’ = 2x basterà porre:

x x x x y x f

x ∆

−∆+==

→∆

22

0

' )(lim')( ottenendo immediatamente

x x x x

x x x

x

x x x x x y

x x x2)2(lim

)2(lim

)()(2lim'

00

222

0=∆+=

∆

∆+⋅∆=

∆

−∆+∆+=

→∆→∆→∆

4 Per le considerazioni che faremo in seguito appare opportuno sottolineare che nel caso diuna retta rapporto incrementale e derivata ovviamente coincidono, data la congruenza tra∆ y e il differenziale della funzione.5 Anche qui non si confonda la derivata generica di una funzione (che è ancora una funzione,con le eccezioni dei casi y = k , ove la derivata è 0, e y = mx+q, con derivata pari a m,ovvero al coefficiente angolare della retta, giusto quanto più volte richiamato, compresa la

precedente nota 4) con la derivata in un punto della funzione, per calcolare la quale èsufficiente sostituire nella derivata generica l’ascissa del punto desiderato ottenendol’inclinazione della retta tangente alla funzione in quel punto.

3



Analogamente, per la funzione x y = la cui derivata, come noto, è x

y2

1'= avremo:

x

x x x y

x ∆

−∆+=

→∆ 0lim'

da cui, razionalizzando si perviene a:

=

+∆+

⋅∆

−∆+=

+∆+

+∆+⋅

∆

−∆+=

→∆→∆ x x x x

x x x

x x x

x x x

x

x x x y

x x

1limlim'

00

x x x x x 2

11lim

0=

+∆+

=→∆

3. Derivata della funzione inversa di una funzione – Una funzione si dice inversa di unafunzione (tralasciamo qui le considerazioni sull’invertibilità) quando è possibile esprimere in unintervallo la x come funzione di y in maniera che ad un valore di y ne corrisponda uno ed uno solodi x.

In parole povere, data una funzione nella forma y = f(x), la funzione inversa si ottieneesplicitando la x e portandosi nella forma x = g(y).

Sono ad esempio funzioni inverse delle funzioni:a) y = mx+q b) y = x2 c) y = ln x d) y = sen x e) x y =

rispettivamente6:

a-1)m

q y x

−= b-1) y x = c-1) x = e y d-1) x = arcseny e-1) x = y2

La derivata di una funzione inversa è espressa dalla relazione:

'

1)(' '

ydy

dx y g x === (3.1)

ed è quindi data dal reciproco della derivata della funzione iniziale.

Come esempi valgano i seguenti:

• la funzione y = 2x+3 ha per derivata y’ =2; la sua funzione inversa è2

3−=y

x la cui

derivata è2

1'= x

• la funzione y = x2 ha per derivata generica y’ =2x; la sua funzione inversa è y x = la

cui derivata generica è x x y x

2

1

2

1

2

1'

2=== . Nel punto x = 3 si avrà y’ = 6 ed

6

1'= x

• la funzione y = senx ha per derivata generica y’ =cosx; la sua funzione inversa è

x = arcseny la cui derivata è x senx y x

cos

1

)(1

1

1

1'

22=

−

=

−

=

• la funzione y = ln x ha per derivata generica x

y1

'= ; la sua funzione inversa è x = e y

la cui derivata generica è xee xx y===

ln' . Nel punto x = 5 si avrà x’ = 5 ed

5

1'= y

6 Si badi bene al fatto che nella simbologia usata per indicare una funzione inversa, come adesempio a-1, l’esponente -1 non sta ad indicare il reciproco della funzione, come si è soliti

invece fare in Italia dove, ad esempio, (sen x) -1 sta ad indicare la cosecante senx

y 1= . Nella

simbologia anglosassone (e nelle calcolatrici tascabili) l’esponente -1 identifica l’inversa.

4



4. Elasticità della domanda rispetto al prezzo – Come accennato in introduzione,definiamo elasticità della domanda di una merce rispetto al prezzo della stessa il rapporto trala variazione relativa della quantità domandata e la variazione relativa del prezzo7:

p

q

q

p

p p

q

q

e D∆

∆⋅=

∆

∆

=

(4.1)

È opportuno sottolineare alcuni aspetti della (4.1): a) normalmente una curva di domanda èrappresentata da una funzione non crescente, per cui ad una diminuzione di prezzo corrispondein genere un aumento della domanda (e viceversa) e quindi le due (eventuali) variazioni sonodi segno opposto; questo comporta che il coefficiente di elasticità è sempre negativo (o almenofino a quando la curva si mantiene decrescente); si è soliti pertanto impiegare il simbolo divalore assoluto in ossequio ad un rigore non soltanto formale della questione, ma proprio per sottolineare la circostanza che una elasticità pari, ad esempio, a -1,5 è da considerarsimaggiore di una elasticità pari a -1 cosa che risulterebbe esattamente all’opposto oveconsiderassimo i valori algebrici, b) poiché il coefficiente di elasticità considera variazionirelative esso è un numero puro e quindi indipendente dalle unità di misura con cui sonoespressi il prezzo e le quantità domandate, c) nella formula p e q rappresentano prezzo equantità iniziali, ossia prima della variazione.

Assumendo che le quantità ∆ q e ∆ p denotino variazioni infinitesime in un intorno di un punto di coordinate (q0; p0) giacente su una curva di domanda, così come fatto per la derivatain un punto di una funzione, potremo dunque riguardare alla (4.1) nel modo seguente:

'

)(

0

0

0

0

0 p D qq

p

dp

dq

q

pe ⋅=⋅= (4.2)

da cui discende chel’elasticità in un punto di una curva di domanda è il prodotto di due fattori: il primo

costituito dal rapporto prezzo-quantità in quel punto, e il secondo dal valore assoluto

della derivata della funzione inversa del prezzo rispetto alla domanda in quel punto

(ossia dal valore assoluto del reciproco del coefficiente angolare della retta tangente alla

curva nel punto considerato).

Così concepita, l’elasticità della domanda, mutuandone il concetto dalla fisica newtoniana,

può definirsi la reattività in un punto della curva di domanda ad adeguarsi ad una variazioneinfinitesima del prezzo mediante una altrettanto infinitesima variazione in senso opposto dellaquantità di merce domandata, quasi cioè, una sorta di predisposizione istantanea della

domanda a reagire alle variazioni del prezzo lungo una traiettoria insita nella legge chesottende la mutua dipendenza tra le due grandezze. Si noti al riguardo, tuttavia, che il concettodi elasticità è riferibile ad una curva di domanda statica, vale a dire ad una ipotetica e

supposta relazione tra prezzo e quantità; del resto è superfluo sottolineare che se una curva didomanda descrivesse una sequenza temporale dell’andamento prezzi-quantità, non avrebbealcun interesse calcolare l’elasticità (che in tal caso andrebbe peraltro riferita ad un intervallo enon ad un punto) perché questa rifletterebbe allora un caso a posteriori, forse adatto a scopidescrittivi ma non certo di natura investigativa.

Rinviando ai testi di economia politica gli ulteriori approfondimenti sul concetto dielasticità (in particolare sulle disquisizioni riguardanti i suoi diversi gradi afferenti allevariegate tipologie di beni) concluderemo l’argomento occupandoci di delineare nel prossimo

7 Cozzi-Zamagni, Principi di economia politica, edizioni Il Mulino

5



paragrafo alcuni esempi che ci auguriamo possano meglio rispondere ai quesiti più consueti, ea volte intriganti, sul grado di elasticità.

5. Elasticità in un punto: caso generale e casi particolari – Occupiamoci per iniziare dalcaso banale di una curva statica di domanda lineare come quella riportata in figura 3 e diequazione y = -2x+18. Nel punto A di coordinate (4; 10) l’elasticità, applicando la formula

(4.2) sarà data da 25,145

21

410 ==

−⋅= Ae essendo

2

1

−

il reciproco del valore assoluto

della derivata y’ = 2.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

A

B

C

Naturalmente, trattandosi di una retta, avremmo ottenuto lo stesso risultato se anziché usarevariazioni infinitesime avessimo usato grandi variazioni, come ora verificheremo, ricalcolandol’elasticità di A dapprima rispetto alla variazione in B, di coordinate (6;6) e poi ancora rispettoa C, di coordinate (8; 2) servendoci della formula (4.1) anziché della (4.2) come visto nella

nota 4.

25,14,0

5,0

10

6104

64

/ =−

=−

−

= B Ae

25,18,0

1

10

2104

84

/ =−

=−

−

=C Ae

Calcoliamo ora l’elasticità in B e in C:

5,021

21

66 ==

−⋅= Be 125,0

81

21

82 ==

−⋅=C e

notiamo che man mano che il punto si muove scendendo lungo la retta la sua elasticitàdiminuisce al punto che da una valore maggiore dell’unità nel punto A, tende a diventaresempre meno elastica, ossia ad irrigidirsi (si noti che nel punto C il suo valore è appena0,125).

L’esempio mostra comunque, inequivocabilmente, che in generale l’elasticità è diversa

nei vari punti della curva di domanda e chiarisce che per un giudizio sul grado di elasticitàil soffermarsi solo sulla pendenza in un punto di una curva di domanda (che è uno degli aspettidi quella confusione che sottolineavamo nell’introduzione) è ingannevole, dal momento cheuna tipica informazione quantitativa come la pendenza dipende dalle unità di misura dei

fenomeni osservati, e quindi necessita di essere, per così dire, affiancata da uno strumentoulteriore, nel caso in questione il rapporto prezzo/quantità che, moltiplicato per il reciproco

6

Figura 3



della pendenza, affranca, come più volte richiamato, il concetto di elasticità dalle unità dimisura adoperate. Al riguardo, è appena il caso di osservare che negli esempi fatti è proprio ilrapporto tra il prezzo e la quantità a determinare la variazione dell’elasticità, dal momento chela pendenza della curva è costante in ogni punto, circostanza che potrebbe indurci a sospettareche l’elasticità è diminuita forse proprio perché la domanda (ci riferiamo al punto C) haraggiunto livelli di soddisfazione tali che una nuova diminuzione di prezzo comporta nel

consumatore una tendenza ad una sorta di indifferenza…ma queste considerazioni esulanodalle finalità di queste brevi note e le lasciamo volentieri ai colleghi più esperti di noi inmaterie economiche.

5.1 – Un attento esame della figura 3 suggerisce anche un metodo geometrico (dovuto aMarshall e ad Abba Lerner) di misurazione dell’elasticità in un punto A che, ancora graziead un teorema di similitudine fra triangoli rettangoli, è dato dal rapporto tra i segmenti TR e OR (figura 4), dove T è l’intercetta con l’asse delle ascisse della retta

tangente alla curva nel punto considerato e R è l’ascissa del punto.

Per la figura 3 si ritrova infatti: 25,14

5

4

49==

−= A

e . Volendo esprimere il metodo

descritto in formule, detta y = mx+q la retta tangente alla curva nel punto A, si ottieneimmediatamente:

1−⋅

−=

A

A xm

qe (5.1)

ed infatti, ancora una volta, ritroviamo: 25,18

101

42

18==−

⋅−

−= Ae

5.2 – Esaminiamo adesso il caso proposto nella figura 5, nella quale la curva di domanda è

costituita dall’iperbole di equazione1

50

+= x

y , la cui derivata è 2)1(

50'

+

−=

x y ; la curva passa

per lo stesso punto A della figura 3 di coordinate (4;10); si verifica facilmente che in tale punto la derivata vale -2 e dunque la derivata dell’inversa è pari a 0,5. La retta della figura 3 el’iperbole sono dunque tangenti nel punto A, che pertanto mantiene la stessa elasticità pur giacendo su una curva di equazione diversa.

7

Figura 4

a

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

A

TR



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figura 5

La stessa cosa non può invece dirsi per il punto di ascissa 6 (che sulla retta aveva ordinata6, mentre sull’iperbole ha ora ordinata più elevata, pari a

7

50, mentre la derivata dell’inversa

vale ora50

49−); il rapporto prezzo/quantità è aumentato, come pure è aumentato il valore

della derivata dell’inversa (essendo diminuita la pendenza, che è il suo reciproco).

Anche l’elasticità pertanto è aumentata, ed è ora pari a 2147,149

50

67

50' =

−⋅

⋅= Be come è

del resto evidente anche dal grafico della figura 6 ove il metodo geometrico di Marshall-Lerner mostra tutti i suoi vantaggi rispetto ai metodi analitici.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figura 6

5.3 – Esaminiamo adesso il caso inverso al precedente, ossia quello di una iperbole passante per il punto B della figura 3 e tangente alla retta y = -2x+18. È evidente chel’elasticità in B dovrà risultare pari a 0,5, ossia a quella calcolata in precedenza. L’iperbole in

questione, riportata nella figura 7, ha infatti equazione 3

18

−= x y e derivata 2)3(

18

' −

−=

x y dunque nel punto x = 6 tale derivata vale ancora -2.

8

A



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figura 7

È però diminuita, e di molto, l’elasticità nel punto di ascissa 4, la cui ordinata è ora 18: sinoti che pur essendo cresciuto dell’80% il rapporto prezzo/quantità (che adesso è

4

18, pari a

4,5 mentre nel caso della retta era4

10, ossia 2,5), è diminuita del 900% la derivata

dell’inversa (che ora è18

1in valore assoluto mentre, ricordiamo, era

2

1 per la retta).

Nel punto considerato l’elasticità vale ora 25,04

1

18

1

4

18' ==

−⋅= Ae ed è piuttosto rigida.

5.4 - Da quanto esposto appare chiaro che l’elasticità della domanda in un punto è quindifunzione della curva di domanda (oltre che del rapporto prezzo/quantità) e dunque ogni volta

un giudizio sul grado di elasticità puntuale va quindi ben ponderato prima di essere formulato:non è detto infatti che l’elasticità tenda a diminuire all’aumentare dei valori di ascissa pur nelcaso di curve decrescenti, come gli esempi forniti nei paragrafi precedenti hanno dimostrato ecome ora verrà chiarito definitivamente con l’ulteriore esempio che desumiamo dalla figura 8,

per i cui calcoli si rimanda al lettore come esercitazione.In questo ultimo esempio esaminiamo ancora una iperbole che passa per entrambi i punti

di coordinate (4;10) e (6;6) e la cui equazione è1

30

−= x

y .

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nel grafico sono state tracciate le rette tangenti nei due punti presi in esame unitamente allaconsueta retta di equazione y = -2x+18 (che adesso è ovviamente secante dell’iperbole). Noti

9

Figura 8



il lettore, servendosi del metodo geometrico, che pur non essendo variati i rispettivi rapporti prezzo/quantità, sono però variate le inclinazioni delle due rette tangenti, per cui nel punto(6;6) l’elasticità è maggiore di quella del punto (4,10).

6. Elasticità costante – Per finire, diamo un rapido sguardo all’unico caso di elasticità

costante e uguale a 1 in ogni punto che, come è noto dai corsi di economia politica, è quellodell’iperbole equilatera di equazione

x

k y = e derivata

2'

x

k y

−= riportata in figura 9.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4

figura 9

Per la dimostrazione è sufficiente osservare che il rapporto tra il prezzo (y) e la quantità (x)

è in ogni punto, qualunque sia k, pari a 2

1

x

k

x x

k

q

p=⋅= e che la derivata della funzione inversa

èk

x x

2

'−

= ossia proprio il reciproco del rapporto tra prezzo e quantità, pertanto l’elasticità è,

in modulo, sempre uguale a 1.

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elasticità della domanda

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