el tensor de deformación 4.1. introducción · para pequeños desplazamientos, tal como ocurre en...

Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo IV Tensor de deformación

Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 4 - 1

El Tensor de Deformación

4.1. Introducción

Además de describir los esfuerzos de un cuerpo, la mecánica de los sólidos continuos

aborda también la descripción de las deformaciones.

La deformación puede quedar completamente descrita dando el desplazamiento de cada

punto en el cuerpo, desde su posición de equilibrio hasta la deformada. Esto significa

que al dar las tres componentes del vector desplazamiento u

para cada punto, la

deformación queda completamente definida.

Para pequeños desplazamientos, tal como ocurre en muchos problemas elásticos, es

conveniente usar la deformación elástica lineal, definida en términos de la derivada de

los desplazamientos.

AA'

. .u

Figura 1. Representación esquemática del proceso de deformación.

4.2. Definición:

1

111

x

u

2

222

x

u

3

3

33x

u

1

2

2

11221

2

1

x

u

x

u 32

2

3

3

223

2

1

x

u

x

u 13

3

1

1

3

312

1

x

u

x

u

En general: ijji

i

j

j

i

ij uux

u

x

u,,

2

1

2

1

iu = desplazamiento en la dirección i

La combinación de derivadas usadas en la definición de la deformación son elegidas así

para que los movimientos del cuerpo rígido den una deformación cero.

Ejemplo:


4 - 2 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH

kzjyxixu ˆlnˆcosˆ3 2

xx

u6

1

111

yx

x

usen

2

222

zx

u 1

3

3

33

2

coscos0

2

1

2

1

1

2

2

11221

yy

x

u

x

u

02

132

2

3

3

223

x

u

x

u

02

113

3

1

1

3

31

x

u

x

u

z

yxy

yx

ij

100

0sen2

cos

02

cos6

4.3. Interpretación geométrica de la deformación ii

Figura 2. Interpretación geométrica de la deformación

B

A

C

D

x2

x1

B' C'

D'A'

dx2

dx1

2

2

22 dx

x

uu

1u

2u

1

1

11 dx

x

uu



1

1

1 dxx

u

= Diferencia de desplazamiento en dos caras separadas por una pequeña

distancia velocidad de cambio del desplazamiento 1 por la distancia que separa

dichas caras.

Las deformaciones normales dan los cambios relativos en longitudes de líneas paralelas

a los ejes coordenados.

1

111

1

11

1

11

0

11

1x

u

x

uxx

uu

limx

4.4. Interpretación geométrica de la deformación )( jiij

B

A

C

D

x2

x1

B'C'

D'A'

u2

u1

q1

q2

2

2

11 dx

x

uu

1

1

22 dx

x

uu

Figura 3. Distorsión angular de un sólido deformado.

1

1

21tg qq

x

u

2

2

12tg qq

x

u



jiijx

u

x

u

x

u

x

u

qq

12

1

2

2

121

1221

2

1

1

212

2

1

222

1

en que es la deformación angular total en el plano 12

4.5. Matriz de rotación

Figura 4. Rotaciones de un sólido en torno a x3.

Para pequeñas rotaciones en la dirección x1

1

21

x

u

q

en la dirección x2

2

12

x

u

q

la rotación promedio del elemento 1 – 2 puede definirse como:

22

1 21

2

1

1

221

qq

x

u

x

u

El conjunto de componentes de rotación pueden representarse como:

x2

x1

dx1

dx2

1

1

2 dxx

u

2

2

1 dxx

u

1q

2q



02

12

1

210

21

21

210

0

0

0

3

2

2

3

3

1

1

3

2

3

3

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

3231

2321

1312

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

rotacióndeMatrizij

4.6. Matriz de desplazamiento

Al sumar la matriz de deformación ij con la matriz de rotación ij se obtiene la

matriz desplazamiento ije

j

i

i

j

j

i

i

j

j

iijijij

x

u

x

u

x

u

x

u

x

ue

2

1

2

1

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

eij

4.7 Deformación cizallante ij

: Cambio angular total

x2

x1

2

1tgx

u

1

2tgx

u

Figura 5.Cambio angular por deformación de cizalle.



Cambio angular total = 12

1

2

2

1

x

u

x

u

pero 1212

1

2

2

112 2

2

1

x

u

x

u

En general ijij 2 además jiij

Matriz deformación en términos de la deformación cizallante:

333221

3121

2321

222121

1321

1221

11

ij

4.8 Interpretación geométrica de la matriz de rotación ij

Corresponde a una rotación rígida sobre un eje coordenado en el plano perpendicular a

dicho eje.

Por ejemplo:

zx

u

x

uq

2

1

1

221

2

1

Figura 6. Interpretación geométrica de la matriz de rotación.

21 corresponde a la rotación de la diagonal 12OP en el plano 12, alrededor del eje x3, de

tal forma que dicha diagonal coincida con la bisectriz del cuadrante.

1

2

x

u

2

1

x

u

x2

x1

2

45°

qzP

12

O



1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

422 x

u

x

u

x

u

x

u

Si la diagonal se gira un ángulo zq , para llevarla a 45º de los ejes :

2

1

24 x

uz

q

con lo cual

2

1

1

2

2

1

x

u

x

uzq

Por lo tanto, 21 efectivamente corresponde a la rotación de la recta OP para hacerla

coincidir con la bisectriz del plano x1 x2.

4.9 Ecuaciones de Compatibilidad

Se precisan 6 términos para describir completamente el estado de deformación en

un punto.

Las componentes de la deformación no son todas cantidades independientes, por

lo tanto:

Las componentes de la deformación no pueden ser definidas en forma arbitraria, deben

por lo tanto satisfacer ciertas relaciones, llamadas ecuaciones de compatibilidad.

Conocido el vector desplazamiento, se puede calcular el tensor deformación ij

derivando convenientemente dicho vector.

Dado ij ¿es posible calcular u

?

1

111

dx

du (1)

2

222

dx

du (2)

3

3

33dx

du (3)

1

2

2

112

2

1

x

u

x

u (4)

1

3

3

113

2

1

x

u

x

u (5)

2

3

3

223

2

1

x

u

x

u (6)

El número total de ecuaciones es 6

El número total de incógnitas es 3

Incógnitas : 3 deben cumplirse condiciones adicionales para ij

Estas condiciones adicionales, se denominan Ecuaciones de Compatibilidad



Se puede demostrar que:

0221

12

2

2

1

22

2

2

2

11

2

xxxx

0231

13

2

2

1

33

2

2

3

11

2

xxxx

0232

23

2

2

2

33

2

2

3

22

2

xxxx

021

13

2

31

12

2

2

1

23

2

32

11

2

xxxxxxx

021

23

2

32

12

2

2

2

13

2

31

22

2

xxxxxxx

031

23

2

32

13

2

2

3

12

2

21

33

2

xxxxxxx

4.10 Invariantes del tensor deformación

Para pequeñas deformaciones, el cambio en el volumen específico de un cuerpo

distorsionado es igual a la suma de las tres deformaciones normales

332211

V

V

El cambio de volumen de un cuerpo puede ser medido sin referencia a un sistema

coordenado, por tanto la suma de las deformaciones normales debe ser un invariante.

3322111 I

También son invariantes

2

31

2

23

2

121133332222112 I

2

1233

2

3122

2

23113123123322113 2 I



4.11 Descomposición del tensor deformación

El tensor deformación puede descomponerse en un tensor asociado al cambio de

volumen y uno asociado a la distorsión

3

'

'

ijijij Deformación deviatórica

300

03

0

003

3

3

3

333231

232221

131211

333231

232221

131211

Matriz deviatórica de la Matriz asociada al

Deformación cambio de volumen

Cambio de volumen = 0 Distorsión = 0



Ejercicios propuestos

1) En un punto de un sólido elástico en el que existe un estado tensionado plano, la

matriz de tensiones, referida a un sistema de ejes ortogonales, es:

2/200325

325100cmKgf

a) Determinar las deformaciones principales

0

200325

325100

0325200100)300(22

0181253002

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtienen los esfuerzos principales

2

1 /84 cmKgf

2

2 /216 cmKgf

Ahora aplicando las leyes de Hooke, los alargamientos unitarios principales son:

6

6211 106,92163,084102

11

E

6

6122 104,95843,0216102

11

E

5

6213 105,421684102

3,01

E

Calcular la variación angular experimentada por la dirección a la que corresponde la

deformación transversal unitaria máxima (en grados) e indicar la dirección o direcciones

correspondientes

La deformación transversal unitaria máxima es:

G

n22

1 máx

máx



siendo 22máx /108

2cmKgf

256

/107,73,012

102

12cmKgf

EG

Luego º104º3602107,72

108

107,72

108

2

1 3

55

máx

radn

Como se trata de ángulos muy pequeños

º1042

1

12

1tg 3

n

n

n

qq

º104 3q

P

1 q

n

n2

1

45º

45º

3

2

1

Plano director

2

1



1.- Las posiciones de un cuerpo ABCD son:

A(0,0) A´(0,0)

B(4,0) B´(5; 1.5)

C(4,5) C´(4,5;3)

D(0,2) D´(-0.2;2)

a) Determine los tensores deformación, rotación y desplazamiento.

b) ¿Cuál es el cambio de volumen porcentual?.

2.- (a) Demostrar que para pequeñas deformaciones el cambio de volumen unitario

viene dado por

zzyyxxV

V

en que ii es la deformación normal a la cara i y en la dirección i

b) Demostrar que todo tensor se puede escribir como la suma de un tensor simétrico más

otro antisimétrico.

3.- En un punto de un sólido elástico en el que existe un estado tensional plano, la matriz

de tensiones referida a un sistema de ejes cartesianos ortogonales es:

200325

325100

(Kgf/cm2)

Hallar las deformaciones principales

Calcular la variación angular experimentada por la dirección a la que corresponde la

deformación transversal unitaria máxima (en grados) e indicar la dirección o direcciones

correspondientes.

el tensor de deformación 4.1. introducción · para pequeños desplazamientos, tal como ocurre en...

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