El solido prismatico

Ignacio Romeroignacio.romero@upm.es

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politecnica de Madrid

Resistencia de Materiales, Curso 2015/16

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1. Modelos

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Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas

Objetivos

1. El comportamiento (mecanico) de los cuerpos reales es muycomplejo.

2. Desde siempre, el hombre ha formulado modelos que permitenpredecir la respuesta de los cuerpos ante estımulos externos (conmenor o mayor exito)

3. Los modelos mas precisos son mas complejos.

Modelos intuitivos

La partícula

El sólido rígido

El sólido deformable

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El solido deformable

• Un modelo muy exacto para predecirla deformacion de los cuerpos

• Basado en ecuaciones en derivadasparciales

∇ · σ + ρb = 0

σ = Cε

ε =1

2

(∇u+∇Tu

) Ω

Γu

Γt

fv

fs

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El modelo del solido prismatico

• El modelo de solido prismatico es muy complejo

• Cuando la geometrıa del solido es sencilla, se pueden obtenersoluciones bastante exactas con un esfuerzo mucho menor ←objeto de la Resistencia de Materiales

• Un solido prismatico es el generado por una seccion plana cuandosu centro de masa recorre una curva llamada directriz y la secciones ortogonal a la curva.

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Ejemplos

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El triedro principal de la seccion

En cada seccion trasversal de un solido prismatico se puede definirun triedro:

• El origen en el centro de masa

• El eje x normal, saliente

• Los ejes y, z en las direcciones principales de la seccion, formandoun triedo directo

x y

z

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2. Equilibrio

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Equilibrio estatico

Un solido se encuentra en equilibrio estatico cuando la resultantede todas las fuerzas que actuan sobre el y el momento de estas

respecto de cualquier punto son cero, es decir,∑i

Fi = 0 ,∑j

Mj +∑i

ri × F i = 0.

Observaciones:

• El momento es respecto de cualquier punto.

• Cuando un solido esta en equilibrio estatico, tambien loesta cualquier region del mismo.

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Fuerza interna y momento interno

Al considerar solo una parte de un solido en equilibrio

• Ha de estar en equilibrio estatico

• Las acciones exteriores sin embargo pueden no estarlo

• Hay que considerar las fuerzas y momentos que la parte eliminadaefectua

• La fuerza y el momento resultante de esta interaccion tienen elvalor necesario para que se cumplan las ecuaciones del equilibrioestatico en la parte considerada y son la fuerza y el momentointernos.

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Esfuerzos

Los esfuerzos son las componentes de la fuerza y el momentointerno en el triedo de la seccion

N

Mz

Mt

Ty

Tz

My

• N : esfuerzo normal

• Tx, Ty: esfuerzoscortantes

• Mt : Momento torsor

• My,Mz : Momentosflectores

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Reacciones

Para impedir a un cuerpo/estructura que se desplace, se puedesujetar, restringiendo su movimiento.

Las restricciones son las fuerzas/momentos que una restriccionejerce sobre un cuerpo para evitar que este se desplace

Observaciones:

• Las reacciones nunca son conocidas a priori. Hay que calcularlas.

• Las reacciones tendran el valor necesario para cumplir lasrestricciones, pero siempre garantizando que el cuerpo este enequilibrio estatico.

• En los cuerpos prismaticos, se consideran solo los movimientos delas secciones: el vector desplazamiento y el vector giro. En 2D:dos desplazamientos y un giro.

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Restricciones en 2D

Apoyo

• Restriccion: uX = uY = 0

• Posibles reacciones: RX , RY

Y

X

RY

RX

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Restricciones en 2D-2

Apoyo movil

• Restriccion: uN = 0

• Posibles reacciones: R

Y

X

R

Y

X

R

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Restricciones en 2D-3

Empotramiento

• Restriccion: uX = uY = θ = 0

• Posibles reacciones:RX , RY ,MR

Y

X

RY

RXMR

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3. Calculo de reacciones y esfuerzos

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Libertades

Una libertad mecanica es una union que anula el valor de uno omas esfuerzos en una seccion

EN 2D hay tres tipos

1. Deslizadera: anula N .

2. Rotula o articulacion: anula Mz o My

3. (Libertad a cortante): anula Ty o Tz

y sus combinaciones.En 3D hay un tipo mas: libertad torsional.

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Grado de indeterminacion estatica

El grado de indeterminacion estatica o hiperestaticidad es elnumero de incognitas en una estructura (reacciones y/o esfuerzos)

cuyo valor no podemos conocer unicamente a partir de lasecuaciones del equilibrio estatico

NH = NR− 3 + 3×NC −NL

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Ejemplos

!

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Cortes

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4. Diagramas

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Leyes y diagramas

Las leyes de esfuerzos son expresiones matematicas que indican deforma unıvoca el valor (y sentido) de los esfuerzos en un solido a lolargo de su directriz.

Los diagramas de esfuerzos son representaciones graficas de lasleyes, y deben de estar acotados de forma que el valor numerico ysentido de los esfuerzos este unıvocamente determinado.

Hay varias notaciones validas, pero siempre se debe de indicar elsentido!.

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Sentidos

En problemas 2D los esfuerzos tienen los siguientes sentidos:

N T M

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Funciones definidas a trozos

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Notacion compacta

Corchete de Macaulay:

〈x〉 =

x si x ≥ 0

0 si x < 0

x a1

M1

a2

M2

F1

b1

F2

b2c1 d1

q1

c2 d2

q2

M(x) =

Nm∑i=1

Mi〈x−ai〉0+Np∑i=1

Pi〈x−bi〉1+Nq∑i=1

qi2(〈x−ci〉2−〈x−di〉2),

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