El problema de Procusto y la distinguibilidad de estados cuánticos

Mariela PortesiJavier Sparacino

PWL

Preliminares

•Un ensemble cuántico es un conjunto de estados cuánticos, cada

uno de ellos ocurriendo aleatoriamente con probabilidad ( , )x xp x

xp

•Los ensembles cuánticos son necesarios para describir situaciones con información a priori incompleta. Por ejemplo:

la salida de un canal cuántico estocástico

•Los estados de los sistemas clásicos pueden ser confiablemente distinguidos; mientras que dos estados cuánticos genéricos NO pueden ser distinguidos con precisión arbitraria (por cualquier medio operacional).

•Para estados puros una medida natural de similitud es la proyección(probabilidad de transición)

y

2

•Para estados mezclas no hay una generalización natural de esta prob. de transición. Una propuesta es la fidelidad

( , )F Tr , estados mezclas

A partir de la Fidelidad se introducen distintas distancias :

( , ) 1 ( , )B F • Bures

•Ángulo de Bures ( , ) arccos ( , )A F

•La distancia traza†1

( , ) ;2

O Tr O O

También

•Divergencia de Jensen-Shannon cuántica

1

222JSSS

)()()2

( 21

21

NNNHHH

Para un estado puro 0NH 2NH

,( , ) min

2N Nd H

Nuestra propuesta

donde el mínimo es tomado sobre todas las purificaciones de y .

Entropía y purificaciones

Entropía de Shannon

Entropía de von Neumann

2( ) logS i ii

H P p p

( log )NH tr

Fuente de mensajes

clásicosMensaje a con probabilidad p(a) 2( ) ( ) log ( )S

a

H fuente p a p a

Fuente de mensajes

cuánticos

Se codifica cada mensaje con un estado a alos cuales ocurren

con prob. ( )p a

La fuente tiene matriz densidad ( )a

p a a a

( ) ( ( )N SH H p a ( ) ( )N SH fuente H fuente

2NH

Además

,

Da el menor número de qubits por estado que Alicia necesita para comunicar la informacióncuántica con precisión arbitraria.

Purificación:

Un estado mezcla sobre H

Una purificación de es un estado puro sobre unespacio ampliado

auxH H

Tal que

auxtr

( , )2N Nd H

Para estados puros, nuestra propuesta queda

Alternativamente

( , )Nd

2 2

1 1 1 1( ) log log 0 1

2 2 2 2

x x x xx x

donde

Propiedades: •Es simétrica;•Se anula si y solo si•Es acotada•Verifica la desigualdad triangular

ie

0 1Nd

,( , ) min

2N Nd H

Para estados mezclas

Se puede demostrar que la fidelidad ( , )F Tr

se puede escribir como ,( , ) maxF

( , ) ( , )Nd F

( , ) min ( )2N Nd H

Una expresión más sencilla para la métrica ( , )Nd es

mín sobre todas las purificaciones de y

una purificación fija de

Conceptualmente cambiamos el problema de medir la distinguibilidad de dos estados por el problema de medir la distinguibilidad de todos los ensembles construidos con las purificaciones de y .

Evaluación para estados mezclas de 1-qubit

2 .

2

I r

urur

4 2 2,

1

2 i i i i ij i ji i i j

P I r I I A

TA r r r

31 (#)T TAA r I rr uurr r

2

det( ) 1A r r

Toda purificación de es de esta formacon , con S un elemento delgrupo de Lie SO(3,R) y

una solución particular del sistema (#)

°A AS°A

Representación de Bloch

La búsqueda del mínimo sobre las purificaciones es equivalente a unproblema de extremización sobre el espacio de los parámetros delgrupo de Lie SO(3,R)!!

2( ) (1 ) 0 12p

pIE p p

Ejemplo: Canal de depolarización

El canal de depolarizacióntiene el efecto de cambiarr por r´=(1-p)r en la representación deBloch

Queremos calcular la distancia ( , ( ))N pd E p

Estrategia: sea la solución de (#) correspondiente a r´.pA

2

( )

det det ( ) (%)

T Tp p

p

A A AA f p

A A f p r

r donde

2

2

3

( ) 1 (1 )

T

f p p

r I rr

uurr r

Tomamos una purificación fija de caracterizada por A yevaluamos una matriz que satisface (%).°

pA

Toda purificación de puede expresarse de la forma ( )pE

° (3, )ppA A S con S SO ¡

Entonces: Encontrar el mínimo sobre las purificaciones es

equivalente a encontrar S SO(3,R) tal que minimiza la norma

°p

HSA S A

Una vez que tenemos la purificación de que minimiza ()( )pE

( )

2pEP P ( )

2pE

N

P PH

Comentarios finales:

•Podemos extender este procedimiento a varios q-bits•Nuestra propuesta se basa en dos conceptos muy naturales en Información cuántica:

Purificación y Entropía

Esto puede ser importante en el estudio de decoherencia cuántica