el plano coordenado - … · también se lo rec onoce con otros nombres: plano xy, plano real,...

Walter Orlando Gonzales Caicedo

www.goncaiwo.wordpress.com

EL PLANO COORDENADO

Sea el conjunto de los números reales . Es de gran interés y utilidad matemática el

producto cartesiano , esto es, el conjunto de todos los pares ordenados que

tienen como primera componente un número real, y como segunda componente también un número real.

}/);{( yxyx

Como tiene infinitos elementos, resulta que está compuesto por 2 pares

ordenados de números reales. La representación geométrica más usual para este conjunto tan especial es el plano resultante de considerar un sistema de ejes coordenados ortogonales (perpendiculares), como el de la figura: y x

Los ejes representan a sendos conjuntos y cada uno de los infinitos puntos de este

plano representa a cada uno de los infinitos pares ordenados del conjunto .

También se lo reconoce con otros nombres: plano xy, plano real, plano cartesiano (en memoria a su creador, el filósofo y matemático francés Renato Descartes, o Cartesius).

El símbolo se designa también con 2 . Por ello, el plano real también es

conocido como plano 2 .

= 2

Algunos conceptos importantes relacionados con el plano real, son los siguientes: El punto de intersección de ambos ejes coordenados representa al par (0;0). Es llamado el origen del sistema. Algunos conceptos importantes relacionados con el plano real, son los siguientes: El punto de intersección de ambos ejes coordenados representa al par (0;0).

Es llamado el origen del sistema. El eje horizontal se conoce con los nombres de eje x, o eje de las abscisas. El eje vertical se conoce con los nombres de eje y, o eje de las ordenadas. Los puntos situados en el eje de las abscisas tienen segunda componente

nula. Responden al modelo (a;0), donde a es cualquier número real. Los puntos situados en el eje de las ordenadas tienen primera componente

nula. Responden al modelo (0;b), donde b es cualquier número real. Los pares ordenados (a;b), con a > 0 y b > 0, se ubican en el ángulo recto

superior derecho, llamado el primer cuadrante. Los pares ordenados (a;b), con a < 0 y b > 0, se ubican en el ángulo recto

superior izquierdo, llamado el segundo cuadrante. Los pares ordenados (a;b), con a < 0 y b < 0, se ubican en el ángulo recto

inferior izquierdo, llamado el tercer cuadrante. Los pares ordenados (a;b), con a > 0 y b < 0, se ubican en el ángulo recto

inferior derecho, llamado el cuarto cuadrante.

y y (a;0)

(0;b)



x x

(0;0)

b b

a>0 a<0

b>0 b>0

a a

ECUACIÓN DE LA RECTA

1. LA FUNCIÓN LINEAL La funciones lineales de ecuaciones de la forma y = mx, donde m es constante de proporcionalidad, contienen dos variables; sean x e y, las cuales son directamente proporcionales. Los puntos (representados por pares ordenados), obtenidos de una tabla de doble

entrada para la función y = mx, con m 0, pertenecen a una recta que contiene el punto (0,0).

Variaciones de la pendiente Grafiquemos las siguientes funciones y = 0,5x, y = 1,5x, y = 2,5x, y = 3x.

Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente: 1.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 1er y 3er cuadrante. 1.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo agudo con el eje x, tendiendo a 90°. 1.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo agudo con el eje X, tendiendo a cero hasta confundirse con éste. 1.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente. Grafiquemos ahora y = -x, y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

X

Y



Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente: 2.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 2do y 4to cuadrante. 2.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo obtuso con el eje x, tendiendo a 180°. 2.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo obtuso con el eje X, tendiendo a 90° hasta confundirse con el eje Y. 2.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.

Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx, denominada función lineal. 2. Propiedades de la función lineal En la función y = mx, m constante, el conjunto de todos los valores posibles para x se denomina “dominio de la función”, en este caso corresponde al conjunto de números reales (R).

Si m=0; y=0 para cada x R, entonces es una función constante y se confunde con el eje X. Si m= 0, entonces y = mx. Si m > 0, entonces y = mx es una función creciente. Además, la recta L que representa a la función y = mx con m>0, forma un ángulo agudo con el eje de las x. Si m<0, entonces y = mx es una función decreciente. El valor de m nos indica la orientación de la recta. 3. Concepto de Recta Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una línea recta. La x y la y son las variables de la ecuación, siendo x la variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x. Si un par de valores (x,y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7,2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 lo que resulta verdadero. Cada punto (x,y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas IR x IR, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

X

Y



(x,y) = (Abscisa , Ordenada) Ejemplo: El punto (-3,5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5. La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:

Forma General: ax + by + c = 0

Forma Principal: y = mx + n

4. Pendiente de una Recta En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). OBSERVACION: Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea:

12

12

xx

yym

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0. En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

B

Am

B

Cn

Demostración: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal. Ax + By + C = 0 Ax + By = -C By = -Ax - C

B

CAxy

B

C

B

Axy

Donde se demuestran los valores de m y n antes dado. Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0? Solución:

m = -4/-6 = 2/3

n = -3/-6 = ½



5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea:

12

12

xx

yymPQ y

1

1

xx

yymPR

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

que también se puede expresar como:

12

1211 )(

xx

yyxxyy

Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) Solución:

13

24

1

2

x

y

2

2

1

2

x

y

1

1

2

x

y

y - 2 = x - 1 x - y + 1 = 0 6. Ecuación de la recta dado punto-pendiente La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

Pero:

12

12

xx

yym

Luego: reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:

1

1

xx

yym

Despejando, obtenemos que: y - y1 = m(x - x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3). Solución: y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = -4(x - 5) y + 4 = -4x + 20 Luego: la ecuación pedida es:



4x + y - 16 = 0.

FUNCIONES

1. DEFINICIONES:

Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).

Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.

Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen:

1) f AxB.

2) (x,y) f (x,z) f y = z ó x Df; ! y Rf / (x,y) f y = f(x).

De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada.

Dominio de f: Df = {x A/ ! y B y = f(x) }

Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x) B/ x A}

OBSERVACION: 1) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir

sólo y sólo una flecha hacia B. 2) Una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, se dice que es función, si

cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto. 3) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

4) f: A B. y = f (x) “Regla de correspondencia”. Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional. 2. NOTACIÓN FUNCIONAL Es un operador que emplea la variable x para indicar el dato que ingresa y f(x) para indicar el resultado. Se denota por f(x) y se lee “f de x”.

Ejemplo: Si . Calcular: E = f(1) + 1 f(2)

Solución: Si x = 1 entonces: f(1) = 1 (1+1)/ 2= 1 Si x = 2 entonces: f(2) = 2 (2+1)/ 2= 3 Luego:

E = f(1) + 1 f(2) = (1 + 1)3 = 8 3. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES: Si f es una función real de variable real si y solamente si todo recta vertical corta a su grafica a lo mas en un punto. Ejemplo:



De acuerdo a esta propiedad se tiene que las circunferencias y las rectas verticales no corresponden a funciones.

FUNCIONES ESPECIALES

1. F. LINEAL:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=ax+b

a, b son constantes. Df = R Rf = R

2. F. CONSTANTE:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=b Df = R Rf = {b}

3. F. IDENTIDAD:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=x

Es una función lineal donde a=1, b=0

Df = R Rf = R

4. F. VALOR ABSOLUTO:

Regla de Correspondencia: y=f(x)= x

0 xsi x;

0 xsi x;f(x)y

5. F. RAÍZ CUADRADA:

Regla de Correspondencia:

y=f(x)= x

Df = 0R

Rf = 0R

6. F. CUADRÁTICA:



EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. 2 2 2, / 9f x y R y x

2 3 4, /g x y R y x

2, / 3h x y R x y

2, / 4j x y R x

Solución: Tenemos:

2 2 2, / 9f x y R y x

Donde:

2 29y x

Como “y” esta elevado a una potencia par Luego: f no es función

2 3 4, /g x y R y x

Tenemos:

3 4y x

Donde: “g” si es función porque la potencia de la variable y es impar.

2, / 3h x y R x y

Tenemos:

3x y

22

3x y

23x y

Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c.

La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k



Entonces:

2

2

2

2

2

3 , 03

3 , 0

3 , 0

3 , 0

x y yx y

x y y

y x y

y x y

Luego: Para cada “x”, “y” tiene dos valores por lo tanto “h” no es función.

2, / 4j x y R x

Tenemos:

4x Luego: j no es función

3. Hallar el Dominio de: 3/ 2

2

2

2 3( ) 5 6

5 6

xf x x x

x x

Solución:

3/ 22

2

3/ 2 22

2 35 6

5 6

1 2 3

5 65 6

xf x x x

x x

xf x

x xx x

2 223

1 2 3

5 65 6

xf x

x xx x

Donde: Para:

2 5 6 0

3 2 0

x x

x x

+ - + - -∞ - 3 -2 +∞

Entonces:

, 3 2,

Para:

22 5 6 0x x



2

2 2

3 2 0

3 2 0

x x

x x

+ + + - -∞ - 3 -2 +∞

Entonces:

R- {-3,-2}

Luego: el dominio de la función es: Dom(f)= {(-∞,-3)U(-2,+∞)}∩[R- {-3,-2}] Dom(f)= (-∞,-3)U(-2,+∞)

4. Graficar las siguientes funciones:



ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Sea la función F = {( x, y ) / y = x + 2 }, hallar el dominio, el rango de F y

graficar.

2. Para la función F = {(x,y)/ y = }, hallar el dominio, el rango de F y graficar.

3. Hallar el dominio, el rango y esbozar la gráfica de las siguientes funciones con

valores en R.

a) 23)( xxf

b) 142)( 2 xxxg

c) 53)( xxh

4. La utilidad por fabricar una cantidad x de cierto producto viene dada por la

función:

1610)( 2xxxf , 0x . Graficar f

5. Sea la función f definida por 13122)( 2 xxxf , ]3,1[x . Hallar el

Ran( f )

6. Graficar la función:



)(xh

7. Hallar la regla de correspondencia de en cada caso que se presenta:

a)

b) c)

d) II. Hallar el dominio, rango y graficar cada uno de las siguientes funciones:

8. 3y

9. 2y

10. 3

xy

11. xy

12. 3xy

13. 33

xy

14. 2

2xy

15. 5

)4( 2xy

16. 25 2 xxy

17. 5

23

x

xy

18. 2)3(xy

III. Resolver los siguientes ejercicios.

19. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (2,1). 20. Dada la recta x+y-1=0, escribe las distintas formas que conozcas. ¿El punto

(1,2) pertenece a la recta? ¿y el punto (3,-2)? 21. Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los

puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1) 22. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada

par de puntos: a) (3, -2) y (9, 6) b) (4, -3) y (-1, 9) c) (8, -4) y (-7, 4) d) (5, -8) y (-7, 8)

23. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a) A(x1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar x1. b) A(6, -1), y, B(10, y1) es 2/3, encontrar y1.

24. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de 6x - 2y + 8 = 0 con 4x - 6y + 3 = 0, sea perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0

25. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. Graficar

-2x si x < -1

x2 si 1x 1

1 si 1< x < 3

4x si 3x



26. En cada uno de los siguientes casos, encuentre la ecuación de la familia de rectas que cumple la condición dada: a) Pendiente -3. b) Intercepto con el eje X en 2. c) Intercepto con y en 6. d) Pasan por el punto (-3, 2). e) Paralelas a la recta: 4x -3y + 20 = 0. f) Perpendiculares a la recta 4x - 5y + 7 = 0

27. Encuentre la ecuación de la recta que: a) pasa por la intersección de las rectas: 2x - 3y + 7 = 0 y x + y - 7 = 0 y contiene

al origen. b) Pasa por la intersección de x - y + 6 = 0; 2x + y = 0 y tiene intercepto 2 con el eje y. c) Pasa por la intersección de 5x - 2y = 0; x - 2y + 8 = 0 y corta el primer

cuadrante determinando un triángulo de área 36. d) Pasa por el punto de intersección de y - 10 = 0, 2x - y = 0 y dista 5 unidades del

origen.

LAS FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

FUNCION LINEAL

1. Función Oferta:

Si confeccionamos una tabla donde se relacionen los diferentes precios con las cantidades que un productor está dispuesto a ofrecer en cada unidad de tiempo, obtenemos una relación a la que llamaremos "Oferta individual" de un determinado bien. La suma de las ofertas individuales para cada productor, se conoce como "Oferta global o de Mercado". Qué sucede si los precios son muy bajos? Los productores no ofrecerán nada, debido a que no se cubren los costos de producción. Pero si los precios aumentan, la situación cambia y empezarán a ofrecer sus productos en el mercado, en forma creciente, porque a mayor precio del producto, mayor será la oferta del mismo. Función Creciente

Tabla de Oferta.

Cantidades ofrecidas del bien X a distintos precios:

p q

2 0

3 2

4 4

5 6

6 8

Representamos gráficamente los valores de la tabla y obtenemos una curva, donde a cada precio le corresponde una cantidad ofrecida determinada. La unión de todos los puntos conforma la "Curva de la Oferta".

http://www.fce.unam.edu.ar/pma/Modulo1/109.htm



A cada precio ¨p¨ le corresponde una cantidad ofrecida ¨q¨, si unimos los distintos puntos (p , q) , obtenemos la curva de oferta del bien A.

La gráfica corresponde a una función lineal q = f(p) es la representación de la relación que existe entre la cantidad ofrecida de un bien (q) en un determinado momento y el precio de dicho bien (p), manteniendo constante todos los demás factores que puedan afectar a la cantidad ofrecida, por ejemplo: tecnología. Se caracteriza por tener pendiente positiva, ya que al aumentar el precio aumentará también la cantidad ofrecida.

Ejemplo de función de Oferta lineal: en donde se relaciona las cantidades mensuales ofrecidas de un bien (q), y su precio de venta (p), dado por:

q =f(p)= 3 p - 1

¿Cuál es el Dominio y el conjunto de las imágenes de esta función?

= [ 1/3,+∞)

= [0, +∞)




Nos enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad ofrecida depende del precio, y no el precio de la cantidad ofrecida, y para graficar ubicamos la variable independiente precio, sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la función inversa de la oferta.

Para reflexionar:

1. ¿Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 4? 2. ¿Habrá oferentes para un precio de US$ 0,25 por unidad? Justifique. 3. ¿Cuál es el menor precio que el mercado acepta? 4. ¿Por qué la pendiente de la función es positiva?. Indique si la función es

creciente o decreciente.

Solución:

1. ¿Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 4?

Tenemos: q =f(p)= 3 p - 1

Entonces para: p = 4

2. ¿Habrá oferentes para un precio de $0,25 por unidad? Justifique.

Una oferta de (-0,25) unidades carece de sentido económico, las cantidades pertenecen al conjunto de los números enteros positivos.

3. ¿Cuál es el menor precio que el mercado acepta?

(Ordenada en el origen)

Para precios inferiores a $1/3, los comerciantes no ponen sus productos a la venta. (Oferta cero). 4. ¿Por qué la pendiente de la función es positiva?. Indique si la función es creciente o decreciente.




La pendiente de la función es positiva, (a = 3). Al aumentar el precio de venta, los comerciantes están dispuestos a ofrecer mayores cantidades de sus productos. Función Creciente. EJEMPLO: Si conocemos que la oferta de un determinado producto mensual es lineal, y que cuando su precio es de S/6.00 no hay unidades ofrecidas, pero cuando el precio es S/8.00, se ofrecen 56 unidades de este producto. Se desea formular la función Oferta del determinado producto. Solución: Tenemos:

p=x q=y

6 0

8 56

Una forma de obtener la función es a partir de la ecuación de la recta que

pasa por dos puntos, es decir:

Otra de las formas es mediante la ecuación lineal, es decir:

Cuando x=6, entonces:

Cuando x=8, entonces:

Resolviendo el sistema, tenemos:

y

Luego:

2. Función Demanda: Analicemos la demanda del atún de marca A, a diferentes precios y por un determinado consumidor, bajo la condición "ceteris paribus". A partir de la recolección de datos reales de la demanda individual de un comprador, se confecciona la tabla de Demanda. Observamos que la relación empírica entre el precio del bien y la cantidad demandada es inversa, a medida que aumenta el precio del bien disminuye la cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a adquirir.









Tabla de demanda:

Precio (p) Cantidad demandada (q)

S/2.00 10

S/4.00 8

S/6.00 6

S/8.00 4

S/10.00 2

Con los datos obtenidos se confecciona el gráfico de la curva decreciente de la demanda.

Curva de demanda del atún de marca X

Cada punto del plano de coordenadas (p,q), muestra un precio p y una cantidad q que será demandada; al unirlos se obtiene la curva de la demanda del atún de marca A en un determinado período de tiempo para cada uno de los posibles precios.

Función Demanda y su representación gráfica: A partir de ahora trabajaremos con la relación matemática que vincula la forma en que varía la cantidad requerida de un bien, según el precio que tenga en el mercado, aplicando la condición "ceteris paribus"; lo que nos origina la función reducida de demanda y que designaremos "Función Demanda", y la simbolizaremos como:

Las funciones Demanda se suponen continuas definidas en el conjunto de los números reales, es decir que consideramos precios y cantidades como variables continuas. Aunque en la realidad puedan experimentar saltos, ya que los precios pertenecen al conjunto de los Números Racionales Positivos y las cantidades al conjunto de los Números Enteros Positivos ( ).

Para evitar las discontinuidades, que no son objeto de este curso se considerará que

el precio pertenece al conjunto de los números Reales positivos ( )




En general, la demanda es una función decreciente que se representa gráficamente en el primer cuadrante. Ejemplo de función lineal de demanda, en donde se relaciona las cantidades mensuales demandadas de cierta calidad de enlatado de mangos (q), y su precio de venta (p): q = f(p) = 360 - 20 p ¿Cuál es el Dominio y el Conjunto de las imágenes de la función? Nos enfrentamos aquí con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad demandada depende del precio, y no el precio de la cantidad demandada. Desde el punto de vista matemático es indiferente considerarlo de una u otra forma, y desde la óptica económica el análisis se simplifica al suponer que el precio está determinado por el mercado, o sea el conjunto de todos los oferentes y demandantes, por lo tanto, para cada uno individualmente el precio es un dato. Observe en la gráfica que la variable independiente precio se mide sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad se mide en el eje horizontal. Esta forma responde a una convención entre los economistas para poder comparar gráficos, siempre los valores monetarios se representan en el eje "y", y como tal lo mantendremos en este curso, pero desde el punto de vista matemático, en realidad no

graficamos a la función oferta o demanda, sino, sus funciones inversas.

Mercados de competencia perfecta: Tipo de mercado donde el precio se fija por la interacción de muchos compradores y vendedores y ninguno de ellos puede influir sobre el precio, lo único que se pueden modificar son las cantidades demandadas u ofrecidas. Para obtener el Dominio de la función buscamos los límites del precio p. Cuál es el precio para el cual el mercado ya no comprará más productos: f(p) = 360 - 20 p

Hallamos la función inversa, es decir:

Donde: 360 - 20p > 0 => 360 > 20p => 360/20 > p => p < 18 Es decir que:

Si el precio es 18, nadie está dispuesto a comprar enlatado de mangos. Para obtener el Conjunto de las Imágenes de la función, buscamos los límites de las cantidades demandadas, para un precio cero: f(0) = 360 - 20p => f(0) = 360 – 20(0) f(0) = 360 Es decir que:

Si el precio es cero, el producto se regala y la demanda es de 360 enlatados de mango. Recordemos que generalmente las variables económicas son no negativas. Así tenemos gráficamente:






Para reflexionar:

1. ¿Cuál es la demanda de enlatado de mango para un precio p = 10? 2. ¿Habrá consumidores dispuestos a pagar S/ 25 por enlatado de mango? 3. ¿Cuál es el mayor precio que la demanda acepta? 4. ¿Cuál es la raíz de la función? 5. ¿Qué significa la ordenada al origen de la función en términos de precio? 6. ¿Porqué la pendiente de la función es negativa?

Solución: 1. ¿Cuál es la demanda de enlatado de mango para un precio p = 10? Tenemos para: p = 10 f(p) = 360 - 20 p f(10) = 360 - 20 . 10 = 160 Si el precio es diez, la demanda es de 160 enlatados de mango, es decir: q(10) = 160 2. ¿Habrá consumidores dispuestos a pagar S/ 25 por enlatado de mango? Tenemos para: p = 25 f(25) = 360 - 20 . 25 = - 140 Si el precio es veinticinco, no hay demanda de enlatado de mango, porque no existe ningún comprador dispuesto a pagar ese precio. 3. ¿Cuál es el mayor precio que la demanda acepta? El mayor precio que el mercado acepta es S/ 18, para el cual la demanda es de cero unidades, es decir que cuando el precio sea inferior a dicho monto, el mercado comenzará a demandar por enlatado de mango. Punto de coordenadas (0,18). 4. ¿Cuál es la raíz de la función?

Es p=18 5. ¿Qué significa la ordenada al origen de la función en términos de precio?

Significa que la cantidad de demanda es de 18 enlatados de mango a un precio de S/0.0

6. ¿Porqué la pendiente de la función es negativa? La pendiente de la función demanda es negativa, porque al aumentar los precios del bien, disminuyen las cantidades demandadas. Es una función decreciente.

FUNCIÓN CUADRÁTICA



1. Función Oferta:

EJEMPLO: En un sondeo de opiniones, se les preguntó a los proveedores de un determinado producto sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer en relación a distintos precios. Los datos obtenidos se volcaron en la tabla siguiente:

Precio (p) Cantidad ofrecida(q)

10 95

20 395

30 895

A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la oferta

Si consideramos los valores del dominio que tienen sentido económico, definimos a la

oferta como una función biyectiva con raíces . Descartamos

x2, y el Dominio restringido de la función Demanda será:

Los vendedores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado a precios

superiores a . Por debajo de dicho valor, no habrá productos en el mercado.

Para poder graficar buscamos su función inversa, representamos a la variable independiente precio en el eje vertical, y la variable dependiente cantidad en el eje horizontal como acuerdan los economistas.

http://www.fce.unam.edu.ar/pma/Modulo1/110.htm/

http://www.fce.unam.edu.ar/pma/Modulo1/108.htm/



Para reflexionar:

1. ¿Cuál es el Dominio de la función Oferta, y cuál el Dominio restringido? Compárelos.

2. ¿Cuál es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 28? 3. ¿Habrá oferentes para un precio de $2 por unidad? Justifique. 4. ¿A partir de qué precio los vendedores están dispuestos a colocar sus

productos en el mercado? 5. ¿Es una función creciente o decreciente? Interprete este concepto desde el

punto de vista económico.

Solución: 1. El dominio de la función Oferta es el conjunto formado por los números reales positivos incluidos el cero. Es decir:

Dominio restringido, se refiere a los posibles valores que puede tomar la variable independiente con un sentido económico.

Para precios inferiores a , las cantidades ofrecidas son negativas, y la expresión no tiene sentido económico.

Si:

Donde:

Relación de inclusión:

2. En: . Para un precio de S/28, se ofrecerán 779 unidades del bien. 3. , y una cantidad negativa carece de sentido económico. .

4. A partir de un precio los productores estarán dispuestos a colocar sus productos en el mercado. 5. La oferta es una función creciente en los rangos restringidos, a medida que aumenta el precio aumentan las cantidades ofrecidas por los productores en el mercado. 2. Función Demanda: Hasta ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda, donde la variable dependiente cantidad, experimenta cambios que son directamente proporcionales a los que sufre la variable independiente precio. Pero en la realidad, en la mayoría de los casos la relación puede estar representada por una función no lineal, donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción directa con los cambios de la variable independiente. En algunos casos la función de demanda puede expresarse como una función

polinómica de grado dos o función cuadrática., cuya representación gráfica es una

parábola. Simbólicamente se expresa:

EJEMPLO: Una empresa encuestadora sondeó a los posibles compradores de un modelo de gorros sobre los precios que estarían dispuestos a pagar. Así se obtuvo una función cuadrática de Demanda.

Los datos de campo se muestran en la siguiente tabla:

Precio (p) Cantidad demandada (q)




10 280

11 270

15 190

A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuación de la demanda, que responde a la función cuadrática q = -2p2 +32p +160, y en lenguaje matemático la identificaremos como:

Para graficar, respetamos las convenciones de los economistas, y ubicamos la variable independiente precio en el eje vertical y a la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la función inversa de la Demanda. A partir de la Ecuación Canónica de la función cuadrática, buscamos la inversa:

Graficamos la función inversa.

Para reflexionar:

1. Identifique el Dominio y el Dominio restringido.




2. ¿Cuál será la cantidad demandada a un precio de $15 por unidad? 3. ¿Habrá demandantes para un precio de S/ 30 por unidad? Justifique. 4. ¿A partir de qué precios los compradores están dispuestos a adquirir los

productos en el mercado? Solución:

1. }208/{ 00 xRxDRD orestringid

2. f(15) = 190 3. f(30) = - 680. Carece de sentido económico. p = 30 no pertenece al

Dominio restringido de la Demanda del bien en cuestión. 4. A partir de precios inferiores a S/ 20.

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I. Resolver los siguientes ejercicios. 1. Una empresa de productos químicos determina que, su producción de x

unidades de un artículo sus funciones de ingreso y de costo son, respectivamente:

I(x) = 3x2 + 60x C(x) = 2x2 + 550

Calcular:

a) La función utilidad (U); dada por U(x) = I(x) - C(x) b) Qué clase de función es U(x), indicar su dominio, su rango y graficar. c) La función casto medio (Q), dada por Q(x) = C(x) / x

2. Una empresa exportadora determina que en la fabricación y venta de x unidades de un producto, sus funciones de ingreso y de costo son:

I(x) = x(800 + 2x) C(x) = x2 + 750x - 600

Calcular: a) La función utilidad (U); dada por U(x) = I(x) - C(x) b) Qué clase de función es U(x), indicar su dominio, su rango y graficar. c) La función casto medio (Q), dada por Q(x) = C(x) / x

3. Analice lo siguiente: Supongamos ahora el mercado de carne de pollo de un

supermercado es el siguiente: cuando el precio del kg. es de S/ 7.00 no hay demanda, y cuando el precio es S/ 3.00, la demanda es de 200. Identifique las coordenadas de los puntos a los que hace referencia el

enunciado. Determine la función demanda. ¿Qué precio dará por resultado una demanda de 45 unidades?. Interprete la pendiente de la función. Grafique.



4. Un fabricante puede vender cierto producto a US$ 110 la unidad. El costo total equivale a costos indirectos fijos de US$ 7 500 más costos de producción de US$ 60 por unidad. ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para alcanzar el punto de

equilibrio? ¿Cuál es la utilidad o la pérdida del fabricante si se venden 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener una utilidad de

US$1 250? 5. Hallar el precio de equilibrio y la cantidad correspondiente de unidades

ofrecidas y demandadas si la función de oferta para un determinado articulo es

y la función de demanda es . 6. Considere la relación 8p +20q – 25000 = 0, donde p es el precio de un

producto. a) Determine la función explícita q = f(p). b) ¿Es la recta oferta o demanda?. ¿Por qué?. c) Interpreta la pendiente.

7. Considere la relación – 20p + 8q + 2000 = 0 para un determinado producto. a) Determine la función q = f(p). b) ¿Es ofertas o demanda? ¿Por qué? c) Interpreta la pendiente.

8. Una fábrica de zapatos observa que cuando el precio de cada par es de S/ 50 se venden 30 pares por día. Si el precio aumenta en S/ 10, sólo se venden 15 pares. Obtener la forma explícita de la ecuación de la demanda.

9. En la misma fábrica de zapatos, cuando el precio es de S/ 50, hay disponibles 50 pares. Cuando el precio es de S/ 75, hay disponibles 100. Obtener: a) La ecuación de la oferta. b) Determina el punto de equilibrio del mercado. c) Grafica ambas funciones.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Pendiente de una Recta Tangente

Sea f una función que es continua en 1.x Para definir la pendiente de la recta tangente

a la gráfica de f en el punto 1 1; ,P x f x consideremos un intervalo abierto I que

contiene a 1.x Sea 2 2;Q x f x otro punto sobre la gráfica de f tal que 2x esté

contenido en I. La recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.



Figura 1

x

y

x1 x2

Q(x2; f (x2))

x = x2 - x1

Δy = f (x2) - f (x1)

y = f (x)

T

P(x1; f (x1))

Observe que x es el cambio del valor x de 1x a 2 ,x llamado incremento de x, y y

es el cambio del valor de y f x de 1f x a 2 ,f x llamado incremento de y.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q de la curva de la figura 3.1, está determinada por:

2 1

PQ

f x f xm

x

Como 2 1 ,x x x la pendiente puede escribirse así:

1 1

PQ

f x x f xm

x

Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo

largo de la curva hacia P. Esto es igual a decir que x tiende a cero. Si esto sucede la

recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente ecuación:

1 1

10

lím Ax

f x x f xm x

x

“La notación 1m x nos indica que la pendiente que calculemos con la ecuación (A) es

la de la recta tangente a la gráfica de la función y f x en el punto 1 1,x f x ”.

Ejercicios:

1. Calcule la pendiente de la recta tangente a la parábola 23 4f x x en el

punto 3;1 .



Solución:

Es evidente que 1 3,x por lo tanto, aplicando la ecuación (A) tenemos:

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

3 3 4 31 3 9 6 273 33 lím lím lím

27 18 3 27 18 3lím lím lím 18 3 18

x x x

x x x

x x xf x fm

x x x

x x x xx

x x

Luego, la pendiente exigida es: 18.m

2. Determine la pendiente de la recta tangente a la curva senf x x en el punto

12

,1 .

Solución:

Apliquemos la ecuación (A), con 11 2

:x

1 12 21

20

sen senlímx

xm

x

1 1 12 2 2

0

1 12 2

0

1 12 2

0 0

1 12 2

0 0

sen cos sen cos senlím

sen cos 1 sen coslím

sen cos 1 sen coslím lím

1 cos sensen lím cos lím

x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x

Ahora, cuando

2

0, 1 cos y sen ,2

xx x x x entonces,

2

2

0 0 0 0 0 0

1 cos sen0lím lím lím 0 y lím lím lím 1 1,

2 2

x

x x x x x x

x xx x

x x x x por consiguiente:

1 1 1 1 12 2 2 2 2

0 0

12

1 cos sensen lím cos lím sen 0 cos 1

cos 0.

x x

x xm

x x



Por lo tanto, la pendiente buscada es: 0.m

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función f, es una función denotada por ,f tal que para cualquier x

del dominio de f está dada por:

0lím Bx

f x x f xf x

x

si este límite existe.

Si 1x es un número del dominio de f, entonces:

1 1

10

lím Cx

f x x f xf x

x

si este límite existe. El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el

cual se obtiene f a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se

dice que es una función diferenciable. Ejercicios

1) Determine la derivada de 3 ,f x x aplicando la ecuación (B).



2) Determine la derivada de la función 3.g x x

Solución: Apliquemos la ecuación (B),

3 3

0 0lím límx x

g x x g x x x xg x

x x

2 3 2 33 2 3 2

0 0

22

22 2 2

0 0

2

2

3 3 3 3lím lím

3 3lím lím 3 3 3 3 0 0

3

En conclusión,

3

x x

x x

x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x xx x x x x x

x

x

g x x

3) Determine la derivada de la función tg .h x x

Solución: Aplicando la ecuación (B), tenemos,

0 0

2

0 0

2

2 2 2

0 0

tg - tg lím lím

tg tgtg

1 tg tg tg tg tg tg tglím lím

1 tg tg tglím 1 tg lím 1 tg 1 sec

Por consiguiente :

x x

x x

x x

h x x h x x x xh x

x x

x xx

x x x x x x x

x x

x x xx x x

x x

2 sech x x

Otras notaciones para la derivada de una función f son: d

f xdx

y .xD f x



Teorema 1.

Si una función f es diferenciable en un punto 1 ,x entonces, f es continua en 1.x

Una función f puede no ser diferenciable en c por alguna de las siguientes razones:

1. La función es discontinua en .c (Ver figura 2)

2. La función es continua en ,c pero la gráfica de f tiene una recta tangente

vertical en el punto donde .x c (Ver figura 3)

3. La función f es continua en ,c pero la gráfica de f no tiene recta tangente en el

punto donde .x c (Ver figura 4). La continuidad no implica diferenciabilidad.

Figura 2

(c; f (c))

y

x

Figura 3

(c; f (c))

y

x

Figura 5

(a; f (a)) (b; f (b))

T1 T2 T3 T4

Y

X

La figura 5 muestra la gráfica de una función que no es diferenciable en los puntos

donde x a y .x b La gráfica está compuesta por tres curvas. En el punto ( ; ( ))a f a

se han trazado las siguientes rectas: T1 tangente a la curva de la izquierda y T2 tangente a la curva central, las cuales evidentemente tienen pendientes diferentes.

Igualmente se han trazado en el punto ( ; ( ))b f b las rectas tangentes T3 y T4 que

igualmente tienen diferentes pendientes. Esta experiencia nos conduce a pensar en derivadas laterales, lo que estudiaremos a continuación.

Figura 4

(c; f (c))

y

x



DERIVADAS LATERALES

i) Si f es una función definida en 1 ,x entonces, la derivada por la derecha de f en 1 ,x

denotada por 1 ,f x está definida por:

1

1 1 1

1 10

1

lím límx x x

f x x f x f x f xf x f x

x x x

si el límite existe.

ii) Si f es una función definida en 1 ,x entonces, la derivada por la izquierda de f en

1 ,x denotada por 1 ,f x está definida por:

1

1 1 1

1 10

1

lím límx x x

f x x f x f x f xf x f x

x x x

si el límite existe. Ejemplos:

1. Determine si la función f es diferenciable en 1.x

1

2 si 44

6 si 4

x xf x x

x x

Solución:

Puesto que f está definida por trozos, se calculan las derivadas laterales en 4.

4 4 4 4

4 4 4 4

4

4 2 2 44 lím lím lím lím 1 1

4 4 4

4 6 2 4 44 lím lím lím lím

4 4 4 4

lím 1 1

x x x x

x x x x

x

f x f x xf

x x x

f x f x x xf

x x x x

Como 4 4 ,f f entonces, f no es diferenciable en 4.

2. Decida si la función 2 4g x x es diferenciable en 2.

Solución:

Puesto que: 2 4 si 2

2 4 , entonces,4 2 si 2

x xx

x x



0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

4 2 4 22 lím lím

4 2 2 4 2 2lím lím lím 2 2

2 4 2 42 lím lím

2 2 4 2 4 2lím lím lím 2 2

x x

x x x

x x

x x x

x x xg x x g xg

x x

x x x x

x x

x x xg x x g xg

x x

x x x x

x x

Ahora, siendo 2 2 ,g g entonces, g no es diferenciable en 2.

3. Determine si la función cosh x x es diferenciable en 13

.

Solución:

1 13 31

30

1 1 13 3 3

0

1 13 3

0

1 13 3

0 0

cos coslím

cos cos sen sen coslím

cos cos 1 sen senlím

1 cos sencos lím sen lím

x

x

x

x x

xh

x

x x

x

x x

x

x x

x x

Ahora, cuando

2

0 , 1 cos y sen ,2

xx x x x entonces,

2

2

0 0 0 0 0 0


2 2

x

x x x x x x

x xx x

x x x x

Luego:



1 1 13 3 3

0 0

1 1 13 3 3


3cos 0 sen 1 sen

2

x x

x xh

x x

1 13 31

30

1 1 13 3 3

0

1 13 3

0

1 13 3

0 0

cos coslím

cos cos sen sen coslím

cos cos 1 sen senlím


x

x

x

x x

xh

x

x x

x

x x

x

x x

x x

Cuando

2

0 , 1 cos y sen ,2

xx x x x entonces,

2

2

0 0 0 0 0 0


2 2

x

x x x x x x

x xx x

x x x x

Luego:

1 1 13 3 3

0 0

1 1 13 3 3


3cos 0 sen 1 sen

2

x x

x xh

x x

Puesto que, 1 13 3

,h h entonces, h es diferenciable en 13

.

El proceso del cálculo de la derivada de una función aplicando la fórmula (B) es muy largo y laborioso, por lo tanto, a continuación se proporcionan algunos teoremas que permiten determinar las derivadas con mayor facilidad; con la finalidad de familiarizarnos con las notaciones, la derivada se expresará con alguna de las tres

expresiones equivalentes ,f x ,xD f xdy

dx ó

df x

dx.

Teorema 2. Derivada de una función constante.



Si ,f x c donde c es una constante, entonces:

0f x

Ejemplo:

Si 6,f x entonces, 0.f x

Teorema 3. Derivada de una función potencial.

Si ,nf x x donde n es un número racional, entonces:

1n n

xD x nx

Ejemplo:

Si 6 ,f x x entonces,

56 .f x x

Teorema 4. Derivada del producto de una función por una constante.

Si g es una función definida por ,g x c f x donde f es una función y c una

constante, entonces:

g x c f x

Ejemplo:

Si 84 ,f x x entonces,

8 8 7 74 4 4 8 32 .x xD x D x x x

A partir del resultado obtenido en el ejemplo anterior, podemos enunciar el siguiente teorema. Teorema 5. Derivada del producto de una función potencial por una constante.

Si ,nf x c x donde n es un número entero positivo y c una constante, entonces:

1n n n

x xD c x c D x c n x

Teorema 6. Derivada de una adición de funciones.

Si 1 2 3 4, , , , , nf f f f f son funciones y si f es una función definida por:

1 2 nf x f x f x f x y si 1 2 3 4, , , , , nf x f x f x f f x existen,

entonces:

1 2 3 4 nf x f x f x f x f x f x

Ejemplo:

Determine f x si 4 34 3 5.f x x x x



4 3 4 3

4 3 3 1 3 1 1 1

3 2

4 3 5 4 3 5

4 3 5 4 4 3 3 0

16 9 1

x x x x x

x x x x

f x D x x x D x D x D x D

D x D x D x D x x x

x x

Teorema 7. Derivada de un producto de funciones.

Si f y g son funciones y h una función definida por ,h x f x g x y si f x y

g x existen, entonces:

d d d dh x f x g x f x g x g x f x

dx dx dx dx

Ejemplo:

Sea 3 22 2 ,h x x x x determine .h x

Apliquemos el teorema 7:

3 2 2 3 3 2 2

4 3 4 3 4 3

2 2 2 2 2 2 2 1 6

4 2 4 2 6 6 10 8 4 2

x xh x x D x x x x D x x x x x x

x x x x x x x x

Teorema 8. Derivada de un cociente de funciones.

Si f y g son funciones y h una función definida por ,f x

h xg x

donde 0g x y si

f x y g x existen, entonces:

2

x x

x

g x D f x f x D g xf xD

g x g x

Ejemplo: Calcule

23.

3x

xD

x

Debemos aplicar el teorema 8:

2 2 22 2 2

2 2 2

2

2

3 3 3 3 3 6 3 13 6 18 3

3 3 3 3

3 18

3

x x

x

x D x x D x x x xx x x xD

x x x x

x x

x

Para determinar la derivada de una función compuesta, se aplica uno de los teoremas más importantes del Cálculo llamado “Regla de la Cadena”. Teorema 9. Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena).



Si g es una función diferenciable en x y la función h es diferenciable en ,g x

entonces, la función compuesta f x h g x es diferenciable en x, y su derivada

es:

f x h g x h g x g x

Ejemplo.

Sean 3f x x y

23 4 9.g x x x Determinar .f g

La función f g está definida por 3

23 4 9 .f g x f g x x x

Para aplicar la regla de la cadena necesitamos calcular f g x y .g x

Como 3,f x x entonces,

23 ,f x x y así:

22 23 3 3 4 9 .f g x g x x x Además, como 23 4 9,g x x x luego,

6 4.g x x

Por lo tanto, 2

23 3 4 4 6 4 .f g x f g x g x x x x

Calcular la derivada de numerosas funciones aplicando la fórmula (B) es muy laborioso y complicado, por tal razón, a continuación se suministra la siguiente tabla:



TABLA DE DERIVADAS



Ejemplos:

1. Calcule la derivada de la función

3

2

ln.

2 1

xf x

x

Solución: Debemos aplicar el teorema 8 y la regla de la cadena, así:

3 2 3 23

2 22

2 2

32 2 3

2 22 2

2 2 2 3 2 2 2 2 3

2 22 2

2 2 2 2 2

22

ln 2 1 ln 2 1ln

2 1 2 1

3ln 2 12 ln3ln ln 2 1 ln 2

2 1 2 1

3ln 2 1 2 ln 6 ln 3ln 2 ln

2 1 2 1

ln 6 3 2 ln ln 2 3 ln 3

2 1

x x x xxf x

x x

x xx xx x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x2

2

2 2

22

2 1

Por ende,

ln 2 3 ln 3

2 1

x

x x xf x

x x

2. Dada la función 22 5 3 58 cos 4 3 ,x xg x x determine .g x

Solución: Apliquemos la regla de la cadena en cada sumando. En efecto,



3. Derive la función

2 7 12ln .

4

x xh x

x

Solución: Apliquemos la fórmula para derivar el logaritmo neperiano de una función y resolvamos las derivadas indicadas. Efectivamente,

1

22 2 2

122

2 2

2 2

2 2

2 22 2

7 12 7 12 7 12

4 4 47 12ln

4 7 12 7 12

4 4

7 12 4 7 12 4

2 7 4 7 12 14

7 127 12 2 424

x x x x x x

x x xx xh x

x x x x x

x x

x x x x x x

x x x xx

x xx x x

x

2

3 2

4

22 16

2 6 32 96

x

x x

x x x

2

3 2

Por lo tanto,

22 16

2 6 32 96

x xh x

x x x

4. Determine la derivada de la función 3 2tg .xf x e x

Solución:



Apliquemos el teorema 7 y resolvamos las derivadas señaladas, así,

3 2 3 2 3 2 3 2 3

3 2 3 2

3 2 3 2

tg tg tg 3 tg 2tg tg

3 tg 2 tg sec

En conclusión,

3 tg 2 tg sec

x x x x x

x x

x x

f x e x e x e x e x e x x

e x e x x

f x e x e x x

5. Calcule la derivada de la función

21 1arctg .

xf x

x

Solución: Aplicando la fórmula que aparece en tabla de derivadas usuales, tenemos que,

1

2

1

2

2

2

22

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 212 2

2 2

1 1

1 1arctg

1 11

1 1 1 1

1 2 1 1

1 11 1 0 1 1 1

1

2 1 2 2 1 1

x

xxf x

xx

x

x x x x

x

x x x

x

x x xx x x x

x

x x

2

22 2

2

1 1 1

2 12 1 1 1

Por lo tanto,

1

2 1

x

xx x

f xx



6. Dada la función

2

4

2 3 2 3ln ,

3

x x xg x

xcalcular .g

Solución: En efecto,

2

2 4

4

2 4

2 4 3

2 4 2 4

2 3

2 3 2 3ln ln 2 3 ln 2 3 ln 3

3

ln 2 3 ln 2 3 ln 3

2 3 32 3 2 2 2 12

2 3 2 32 3 3 2 3 3

2 2 2 4

2 3 2 3

Consecuentement

x x xg x x x x x

x

x x x x

x x xx x x

x xx x x x x x

x

x x x x

2 3

e,

2 2 2 4

2 3 2 3

xg x

x x x x

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ECONOMIA

Las derivadas en sus distintas presentaciones (Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.) son un excelente instrumento en Economía, para toma de decisiones, optimización de resultados (Máximos y Mínimos). COSTOS:

Si el número de unidades de un bien es x; entonces el Costo Total puede expresarse

como: CT

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

COSTO PROMEDIO:

Cp = C (x) / x = y

COSTO MARGINAL:

Cm = C„(x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm = dy /dx = xC‟(X) – C(x) / x^2 d/dx * Cp

Ejemplo: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a, b son constantes



Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x

Costo Marginal: Cm = C‟(x) = a

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2

INGRESOS:

Si el número de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda: y = f(x);

donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:

I(x) = xy = x-f(x)

A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

INGRESO PROMEDIO

Ip = r(x) / x

INGRESO MARGINAL:

Im = I„(x)

Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que

es equivalente a la demanda del bien.

Ejemplo: Una función de Demanda es:

y = 12 – 4x

El Ingreso: I(x) = xy = x(12 -4x)

El Ingreso Marginal: I‟(x) = 12 -8x

Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir

a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas (Derivar e igualar a Cero)

Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien

cuya función de demanda es y = 60 - 2x.

Solución:

La demanda: y = 60 – 2x

El Ingreso: I(x) = xy = x(60 – 2x) = 60x – 2x2

El Ingreso Marginal: I‟(x) = 60 – 4x

Maximizando la ecuación de Ingreso Total:

Si:

I(x) = 60x – 2x2

I‟(x) = 60 – 4x = 0

Entonces: x=15

Luego:

Imax = 60(15) – 2(15)2 = 450



En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada

igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo

las condiciones de cada problema (de todas maneras la verificación es simple

utilizando la segunda derivada).

GANACIAS:

Si x es el número de Unidades; siendo I(x) el Ingreso Total ; C((x), el costo total; la

ganancia entonces es:

G(x) = I(x) – C(x)

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e

igualar a cero esto significa:

G‟(x) = I‟(x) – C‟(x) = 0

I‟(x) = C‟(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo

Marginal.

Ejemplo:

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de

Costo total es: C(x) = 20 + 14x; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x

El costo total:

C(x) = 20 + 14x

La Demanda:

y = 90-2x

El ingreso Total:

I(x)= xy = x(90-2x)

La Ganancia:

G(x) = I(x) – C(x)

= x(90-2x) – (20 + 14 x)

= -2x2 +76x – 20

Maximizando:

G‟(x) = -4x + 76 = 0 x = 19

GMax= 2(19)2 + 76(19) – 20 = 702

Se supone que las unidades del ingreso; Costo, Ganancia son unidades monetarias

iguales.

Similarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la Demanda y

Costo son iguales.



Hasta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya

conocidas de Demanda, costo, etc.

Sin embargo en la práctica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las

situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las Derivadas como aplicación

económica.

Para obtener las funciones de costo demanda, etc. Es conveniente ordenar datos, que

provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables

auxiliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos

equivalentes a los sugeridos en los problemas de Máximos y mínimos. Se obtendrán

los resultados pedidos.

Ejemplos:

1. Un propietario de 40 departamentos (dep) puede alquilarlos a US$/ 100 c/u, sin

embargo observa que puede incrementar en US$/ 5 el alquiler por cada vez que

alquila un Departamento menos. ¿Cuántos departamentos debe alquilar para un

máximo ingreso?

Solución:

Reordenando los datos:

Nº Total Dep. : 40

Nº Dep. Alquilados: x

Nº Dep. no alquilados: u

Alquiler de 1 dep. originalmente: US$/ 100

Incremento por 1 Dep. no alquilado: US$/ 5

Ingreso por u Dep. no alquilados: US$/ 5u

Ingreso por alquiler de 1 Dep. : 100 + 5u

Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)

Reemplazando la ecuación de ingreso es:

I = x((100+5(40-x))

= -5x2 + 300x

I‟ = -10x + 300 = 0 x = 30

Imax = -5(30)2 + 300(30) = US$/ 4500

Nótese que no se alquilan 10 dep. (u = 10)

El alquiler de 1 Dep. es:

100 + 5u = 100 + 5(10) = US$/ 150

2. Una entidad bancaria cobra una tarifa de US$/ 20; por cada US$/ 1000 de

transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de US$/ 0,1 por cada

US$/ 1000 encima del monto de US$/ 100000. Hallar su máximo Ingreso si:



a) La rebaja afecta al monto total de la transacción.

b) La rebaja afecta únicamente al monto por encima de US$/ 100000

Solución:

Reordenando datos:

Nº de miles de US$/ de transacción total: x

Nº de miles de US$/ encima de 100 mil US$/: u

x = u + 100

Tarifa original por mil US$/: 20

Rebaja por mil US$/ encima de 100 mil: 0,1

Rebaja por u miles, encima de 100 mil: 0,1u

Tarifa con rebaja: 20 – 0,1u

a) Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de US$/); el

ingreso es:

I = x(20 - 0,1u) I‟ = - 0,2x+30 = 0 x = 150

= x (20 – 0,1(x-100)) Imax= -0,1(150)2 + 30(150) = 2250 mil

= -0,1x2 + 30x = US$/ 2250000

b) Si la rebaja afecta únicamente a 1 monto por encima de US$/ 100 miles (u en

miles de US$/); el ingreso provendrá del monto con tarifa fija, más el monto con

rebaja:

I = 100(20) + u(20 - 0,1u) I‟ = -0,2x + 40 = 0 x=200

= 2000 + (x-100)(20 - 0,1(x-100)) Imax = -0,1 - 0,2x + 4000 x=200

= -0,1x2 + 40 x – 1000 = US$/ 3000000

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I. Resolver los siguientes ejercicios.

1. En los siguientes problemas use la definición de derivada, para calcular la derivada de:

1) 15)( 2 xxxf

2) 2

1)(

xxf

3) xxf )(

4) xxf 1)(

5) x

xf1

)(

6) 1

1)(

xxf



2. Aplicando las reglas de derivación, obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) 823 24 txxy k) xxy 32

b) 35 5)( btattf l)

22)( tattf

c) x

xx

y1

21 3

4 m) x

xy

54

32

d) xx

xxf1

3

23)(

3 2 n) 22

22

)(xa

xaxf

e) x

xxxf

32 432)( o)

w

wwf

21)(

f) 32 )32()( xxf p)

22

2

xa

xy

g) 22

2

xay q)

2)3)(13()( zzzf

h) 21094)( tttf r)

22 xaa

by

i) 2)()(

x

baxf s) 522 )32(

2)(

wwwwf

j) )3)(4()( 22 xxxxf t) x

xy

21

21

3. Obtener la derivada indicada (derivada de orden superior) de cada una de las siguientes funciones

a) 3

324 623

dx

ydxxxy

b) 2

2

65dx

ydxy =

c) 2

2

dx

yd

bxa

bxay =

d) 3

322

dx

ydxay =

e) 2

2222

dx

ydryx =

f) 3

3

dx

yd

bxa

bxay =

4. Determine si la función dada es diferenciable en x1

a) 2 x2 si 7- 3

2 si 23)( 1

xx

xxxf



b) 2 x2 si 2-

2 si 4-)( 1

2

xx

xxxf

c) 1 x1 si )1(

1 si 1)( 12 xx

xxxf

d) 0 x

0 si

0 si )( 1

32

32

xx

xxxf

e) 1 x1)( 13 xxf

f) 0 x)( 1xxf

5. Aplicaciones a modelos económicos:

a) El número de unidades monetarias en el costo total de fabricación de x

relojes, está dado por:

231500)( xxxC

Obtenga: La función costo marginal. El costo marginal cuando x=40 El costo real de la fabricación de reloj para x=41

b) Considere una empresa que opera en el mercado bajo la siguiente función de costos totales:

21.01050)( xxxCT

y con un precio de venta dado por el mercado de S/ 20 por unidad.

Determine:

¿Cuántas unidades debe producir la empresa para maximizar las

utilidades?

¿A cuánto asciende las utilidades?

c) Una empresa productora de sillas opera en el mercado con una función

de costo totales de: 235900)( xxxCT , si el precio de venta en el

mercado es de US$/ 625 por unidad, calcule:

¿Cuál es el nivel de producción que maximiza las utilidades? ¿A este nivel de producción, es la utilidad? Encuentre los beneficios en caso de que la empresa produzca un

35% más que el número de unidades optimo. d) La empresa “JALCSA” tiene una función de costo, acorto plazo, de

212.0126500)( xxxCT y se enfrenta a una función de demanda de

pq 22100 , donde x representa el número de unidades demandadas en función del precio de venta unitario p. Si la empresa maximiza beneficios:

¿Cuál es su nivel de producción? ¿A cuánto equivalen los beneficios? ¿Cuáles son los costos medios mínimos que alcanza esta

empresa?



e) El numero de soles del costo total de la manufactura de x unidades de

cierta mercadería esta dado por xxxC 29340)( . Determine:

El costo marginal cuando se producen 50 unidades El número de unidades producidas cuando el costo marginal es de

S/ 4,50

f) Si C(x) soles es el costo total de la fabricación de x lapiceros y

5

50200)(

2x

xxC , determine:

La función costo marginal. El costo marginal cuando x=10 El costo real de la fabricación de 11 lapiceros.

g) El costo de producción de x artículos esta dado por xxC 32)( ,

mientras que el precio de venta de cada artículo es: x255 . ¿Cuál será el número de artículos producidos para lograr una utilidad máxima?

h) Una inmobiliaria es propietaria de un edificio de 120 departamentos. Cuando la renta de cada uno es de US$ 330 al mes, todos los departamentos están ocupados. Pero, cada incremento mensual de US$ 30 en la renta, se desocupan 5 de ellos. Además, el costo de mantenimiento de cada departamento rentado es de US$ 30 mensuales ¿Qué renta debe cobrarse para maximizar la utilidad?

i) Un fabricante de accesorios eléctricos tiene un costo diario descrito por:

410800)(

2xxxC . ¿Cuántos accesorios se deberán producir cada

día para minimizar los costos?

el plano coordenado - … · también se lo rec onoce con otros nombres: plano xy, plano real,...

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