'DQQ\�3HULFK�&DPSDQDPD[]HXV#FWFLQWHUQHW�FO

Generalm ente, en el quehacer m atem át ico, hem os oído hablar de dosnúm eros de gran im portancia en m atem át ica: el núm ero designado con la let ragriega S de valor 3,1415.... .., y que corresponde a las veces que el diám et ro deuna circunferencia está contenida en ella, y el núm ero designado por H, let raasignada por el apellido de su descubridor, el m atem át ico suizo Euler, cuyo valores 2,71828.. .... y que corresponde al lím ite de la sucesión de térm ino general

�

Q

+ 11 ; pero si consultáram os a art istas plást icos, escultores, dibujantes y

arquitectos, seguram ente nos señalarían un tercer núm ero a los ya indicados, elnúm ero 1,618033989.. .. designado por Φ (PHI ) , let ra inicial del nom bre delescultor griego Fidias, que lo ut ilizó en sus t rabajos.

Estos núm eros irracionales presentan una diferencia m atem át ica y es queπ y e, QR son solución de ninguna ecuación polinóm ica, pero Φ sí lo es. Yaverem os m ás adelante la ecuación de la cual hablam os.

Puede parecer ext raño, pero el núm ero que m ás convive con nosot ros esprecisam ente Φ, m ás conocido com o el Q~PHUR�GH�RUR

Si observam os a nuest ro alrededor, verem os que la figura que m ás vecesaparece a nuest ra vista es el rectángulo; en puertas, ventanas, televisor,m icroondas, refr igeradores, cam as, cuadernos, libros, etc. Es así com o losgriegos determ inaron que el rectángulo m ás bello y arm ónico es aquel quecum ple que el cuociente ent re el lado m ayor y el m enor da com o resultado elnúm ero de oro. Este rectángulo es llam ado UHFWDQJXOR�GRUDGR o rectánguloaureo.

Realicem os la siguiente act ividad:

Dibujem os un rectángulo de lados x y 1. 1

x

Quitem os al rectángulo anterior el m ayor cuadrado posible

1

Quitar -Æ 1

x-1

1

Establezcam os una proporción ent re los dos rectángulos anteriores:

111 −

=[

[1 = x2 – x

0 = x2 – x - 1

2

411 +±=[

251±

=[Considerem os sólo el signo + , ya que con el negat ivo resultaría un valor

final negat ivo, lo cual es im posible por ser x el lado de una rectángulo. Es asíque:

251+

=[Este valor es el núm ero de oro, o sea

251+

=Φ

ya que si determ inam os 5 y resolvem os la expresión anterior, obtenem os elvalor decim al 1,618033....

Una prim era curiosidad de este núm ero es que con sólo restarle 1, se convierte

en su recíproco, o sea Φ - 1 = Φ1

618033,01 =Φ

. . .

Ot ra part icularidad se produce al efectuar el cuadrado de Φ

618033,22 =Φ . . .

0 sea la parte decim al de Φ,Φ1

y 2Φ es la m ism a.

A B

D C

a

C

B

D

AE

F

C

B

D

AE

F

G

a/2

a/2

a/2

a

a

Un problem a clásico es const ruir, con regla y com pás, la sección áurea de unsegm ento dado.1) Dado un segm ento AB se const ruye una perpendicular que pasa por P y

con el com pás hallam os el punto C tal que AB = BC.2) Const ruím os el punto m edio del segm ento BC y lo llam am os D.3) Con la regla const ruím os el segm ento AD.4) Con cent ro en D y radio DB, t razam os un arco de circunferencia y

calculam os E.5) Con cent ro en A y radio AE, t razam os un arco de circunferencia y

calculam os P.

El punto P divide al segm ento AB en la razón áurea y el segm ento AP es lasección áurea del segm ento AB.

Const ruyam os un rectángulo aureo.Iniciem os dibujando un cuadrado de lado a y vért ices ABCD

Efectuém os la división del cuadrado en dos rectángulos iguales por m ediode un segm ento EF (Verde)

Trazam os ahora la diagonal EC = d (Azul) del rectángulo EBCF y copiam ossu m edida sobre la horizontal AB desde E, señalando el ext rem o alcanzadocom o G.

Y así, prolongando DC hasta un punto H, form am os el rectángulo dorado oaureo AGHD.

Verifiquem os que es así.

Com encem os calculando la diagonal d a t ravés del teorem a de Pitágoras.En el t r iángulo EBC:

222 (&%&(% =+

222

2GDD =+

222

4GDD =+

222

44 GDD

=+

22

45 GD =

GD =2

5

Determ inem os ahora la base AG del rectángulo:

2)51(

25

25

22+

=+

=+=+=DDDDDGD$*

Ahora podem os verificar si el rectángulo AGHD es dorado, efectuando larazón ent re su largo y su ancho.

251

2)51(2

)51(arg +

=+

=

+

= DD

D

D

$QFKRR/

Adem ás, en un rectángulo "dorado" los lados t ienen una relación cercana aphi, es decir, una proporción de 5: 3, de 8: 5, de 13: 8, etc. Los núm eros son,desde luego, vecinos en la serie de Fibonacci. Este rectángulo t iene lasproporciones m ás agradables a la percepción, por lo que suele usarse paradefinir el tam año de libros o cajas, adem ás de tener interesantespropiedades.

Ot ra propiedad de este rectángulo es quesi se colocan dos rectángulos áureosiguales en la form a que indica la figura, seform a ot ro rectángulo áureo.

Si al rectángulo aureo le quitam os un cuadrado, el rectángulo que quedaes tam bién dorado. Si efectuam os esa acción sucesivam ente y t razam osarcos circulares correspondiente a un cuarto de circunferencia, se form a unaespiral logarítm ica com o podem os ver en la siguiente figura. Esta espiral fuedescubierta por Alberto Durero.

Esta curva fue estudiada por Descartes, estableciendo que es una curva devectores radiales que se t raza desde el cent ro de la espiral con un ánguloconstante de 137,5 grados.

Esta espiral se encuent ra en un gran núm ero de m oluscos, com o elNaut ilus, un t ipo de caracola.

Tam bién en las hojas de una rosa y en los girasoles.

El pintor im presionista George Seurat tam bién ut ilizó el rectángulo doradoen m últ iples cuadros, com o La Parade en 1888.

En el libro “La Divina Proporción” del m onje Franciscano Luca Pacioli,

Luca Pacioli (1455-1510)

editado en Venecia en 1509, aparece el fam oso dibujo de Leonardo da Vincique da cuenta de proporciones arm oniosas para el cuerpo hum ano. Pacioli,conocido tam bién com o Luca di Borgo, propone un hom bre perfecto en el quelas relaciones ent re las dist intas partes de su cuerpo sean proporcionesáureas.

En la figura vem os una circunferencia que circunscribe al hom bre cuyocent ro se ubica en el om bligo.

El cuadrado corresponde a la altura de la persona y tam bién a la m edidaent re los ext rem os de los dedos de las m anos cuando los brazos estánextendidos en 180º.

Y he aquí lo herm oso de esta figura, el cuociente ent re la altura delhom bre y la distancia del om bligo a la punta de la m ano es el núm ero de oro.

Ot ras razones que tam bién dan el núm ero de oro, señaladas por elarquitecto francés Le Corbusier, son:

La altura de la persona con la altura desde el suelo al om bligo.La altura de la persona con el brazo levantado, con la altura a la que está

el brazo puesto en horizontal.

Este arquitecto destacó por descubrir el secreto de una const rucción enserie, inventando el Modulor (m ódulo de oro) , sistem a de proporcionesarquitectónicas que perm iten levantar edificios arm oniosos y fáciles deconst ruir.

¿Y cóm o estarán tus proporciones con respecto a lo que Corbusierplantea?

Mide tu estatura y luego la m edida desde el suelo hasta tu om bligo.Efectúa el cuociente ent re am bas y si da 1,61... . ¡¡Felicitaciones! ! Y si no, note preocupes hay cosas m ás im portantes que ser bien proporcionado.(Com entario del “picado” )

Cam biem os de tem a (aparentem ente) y analicem os el siguiente problem a:

¢&XiQWRV�SDUHV�GH�FRQHMRV�VH�SXHGHQ�SURGXFLU�D�SDUWLU�GH�XQ�VRORSDU��VL�FDGD�SDU�SURGXFH�XQ�QXHYR�SDU�FDGD�PHV�FRQVLGHUDQGR�TXHVyOR�ORV�FRQHMRV�GH�PiV�GH�XQ�PHV�GH�HGDG�SXHGHQ�UHSURGXFLUVH�\TXH�QLQJXQR�VH�PXHUH"

Observa el dibujo siguiente, donde las parejas de conejos con fondo decolor verde claro representa a las que aún no pueden reproducirse.

Cada fila es un m es:

Al cont inuar desarrollando la interrogante obtenem os la secuencia

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, 233, .. ...

Esta serie la presentó Leonardo de Pisa, m ás conocido com o Fibonacci, en sulibro Liber Abaci (1202)

Y en esta serie tenem os las siguientes m aravillas:

En prim er lugar, observem os que los núm eros de la serie se van obteniendopor la sum a se los dos elem entos anteriores a él, con exepción de los unosiniciales.

1 + 1 = 21 + 2 = 32 + 3 = 53 + 5 = 8

5 + 8 = 13 8 + 13 = 21, etc.

En segundo lugar, efectuem os el cuociente ent re cada elem ento de la sucesión yel núm ero que lo precede:

1 : 1 = 12 : 1 = 23 : 2 = 1,55 : 3 = 1,66...8 : 5 = 1,613 : 8 = 1,62521 : 13 = 1,61538...34 : 21 = 1,61904...55 : 34 = 1,61764...55 : 89 = 1,61797...

El cuociente se aproxim a al núm ero de oro.

Lo anterior podem os expresarlo com o

251

lim1

+=

−∞→ �

�

� DD

Fué Robert Sim pson de la Universidad de Glasgow en 1753 quien notó que dichadivisión se aproxim aba a Φ

Realicem os ahora la siguiente act ividad:

Tracem os un segm ento de longitud 1 y dividám oslo en dos partes desiguales:

1

1 - x x

Establezcam os la siguiente proporción:

0HQRU0D\RU

0D\RU7RGR =

0111

1 22 =−+⇒=−⇒−

= [[[[[[

[Al resolver la ecuación obtenida, se t iene que

251+−

=[

Dividam os ahora el segm ento m ayor por el segm ento m enor:

4522

5955353

)53()53(

)53()51(

53

51

253

251

251

1

251

1+

=−

++−−=

+•−+•+−

=−+−

=−

+−

=+−

−

+−

=− [[

251

4)51(2

1+

=+

=− [[

¡¡¡El núm ero de oro! ! !

Dibujem os un pentágono regular y t racem os sus diagonales con lo cualobtendrem os una est rella de cinco puntas.

Esta figura era el sím bolo de los pitagóricos, quienes pensaban que eluniverso estaba form ado según un orden num érico. Pero Eudoxo (de laescuela platónica) echó por t ierra sus teorías ya que en su propio sím bolodem ost ró el carácter no racional del núm ero que resulta al efectuarse la razónent re la diagonal y un lado del pentágono regular. Para los seguidores dePitágoras resultó tan ilógico lo determ inado, que llam aron a ese núm ero,irracional.

...618,1== ('(&

/DGR'LDJRQDO

Verifiquem os esta relación, considerando O com o la m edida del lado y G la dela diagonal.

l = AB = BC = CD = DE = EAd = AC = CE = EB = BD = DA

Por dem ost rar, que Φ=GO

∠MCD = ∠ABE por ser ángulos inscritos en arcos iguales.∠CDM = ∠AEB por ser ángulos inscritos en arcos iguales.Luego, por el teorem a de sem ajanza ángulo-ángulo, los t r iángulos MCD y ABEson sem ejantes.Entonces podem os establecer la proporción

0'$(

&'%( =

A B

E

D

C

pero MD = d – MB, entonces al reem plazar todos los térm inos de laproporción obtenem os

0%GO

OG

−=

Com o MB = BC = l, por ser el ∆MBC isósceles (es un t r iángulo dorado) ,resulta

OGO

OG

−=

022 =−− OGOG

de donde obtenem os que ( )

251+

=OG

Efectuam os la razón ent re d y l:( )

2512

51+

=

+

= O

O

OG

¡El núm ero de oro!

La est rella de cinco puntas dibujada el interior del pentágono regular, figuraen los rosetones de las catedrales gót icas y fue uno de los sím bolos de ladeidad.La Tum ba Rupest re de Mira en Asia Menor está const ruída en base alpentágono regular.

Dent ro de lo visto anteriorm ente, la serie de Fibonacci y la espiral logarítm icase dan frecuentem ente en la naturaleza, com o ser en la filotaxia espiral,ciencia agronóm ica que estudia la dist r ibución de las hojas a lo largo del tallocon m étodos m atem át icos. Esta ciencia concluye que la m ejor colocación delas hojas, tanto por insolación, com o por estabilidad m ecánica del t ronco, seproduce cuando su disposición t iende al núm ero de oro.La filotaxia es representada por la siguiente fracción:

UHFRUULGRHVHHQKRMDVGHQ~PHURWDOORGHODOUHGHGRUYXHOWDVGHQ~PHUR

siendo de gran notabilidad el hecho que estos últ im os son todos térm inos dela serie de Fibonacci.A esto podem os agregar la serie que se da con el núm ero de pétalos en lasflores:

Lila - - - - - - - - - -Æ 3Ranúnculo - - - - - - - - - -Æ 5Espuela - - - - - - - - - -Æ 8Caléndula - - - - - - - - - -Æ 13Aster - - - - - - - - - -Æ 21

Tipos de Margaritas - - - - - - - - - -Æ 34; 55; 89

Pero no sólo en el crecim iento de las plantas se encuent ra la espirallogarítm ica, tam bién aparece en las piñas, los ananas, en las alcachofas, lasconchas de caracol y en los retorcidos cuernos de los anim ales.

Ahora, una pregunta: ¿cuál es el único núm ero posit ivo que elevado alcuadrado da lo m ism o que sum arle 1?

Resolvam os:12 += [[

012 =−− [[¿Te resulta conocida esta ecuación? Por supuesto, es la que da com oresultado el núm ero de oro Φ

Analicem os lo siguiente:

12 +Φ=Φ

121)1( 223 +Φ=Φ++Φ=Φ+Φ=Φ•+Φ=Φ•Φ=Φ

2322)1(22)12( 234 +Φ=Φ++Φ=Φ++Φ=Φ+Φ=Φ•+Φ=Φ•Φ=Φ

352332)1(323)23( 245 +Φ=Φ++Φ=Φ++Φ=Φ+Φ=Φ•+Φ=Φ•Φ=Φ

583553)1(535)35( 256 +Φ=Φ++Φ=Φ++Φ=Φ+Φ=Φ•+Φ=Φ•Φ=Φ

Si observam os detenidam ente los resultados obtenidos verem os que aparecem ágicam ente la sucesión de Fibonacci, o sea se puede determ inar que

8137 +Φ=Φ

13218 +Φ=Φ , et c.

Conozcam os, ahora, el t r iángulo dorado.

Sea el t r iángulo ABC isósceles de la figura con base de 1 unidad.

C

36

x x

72 72 A B

Tracem os la bisect r iz en B, form ándose dos t r iángulos isósceles.

C

36 D 108 x x 72 36 72 36 A B

Los t r iángulos ABC y DAB son sem ej entes, luego

111 [

[ =−

12 =− [[012 =−− [[

x = Φ

Conozcam os ahora el nudo áureo.

El rectángulo dorado tam bién aparece en las proporciones de los tem plosgriegos com o el Partenon, const ruído por Menesicles, bajo la dirección deFideas,

en las catedrales gót icas europeas, el edificio de la O.N.U. en New York, enalgunas pinturas com o "Leda Atóm ica" de Dalí, etc.

Chart res y su fabulosa catedral es uno de los m onum entos gót icos m ásrepresentat ivos de la arquitectura m istérica francesa.La catedral está const ruida siguiendo la ley del núm ero de oro (1618) y t odaslas distancias ent re los pilares y longitudes de la nave, los cruceros y el coro,son, t odas, m últ iplos del núm ero de oro.

Cuando querem os determ inar el enésim o térm ino en la sucesión deFibonacci, podem os ut ilizar la definición explícita:

5

251

251

��

�)

−−

+

=

No resulta una expresión fácil, pero con paciencia y buscando el cam inoadecuado es de gran ut ilidad.

Veam os un ej em plo:Determ inar el octavo núm ero correspondiente a la serie de Fibonacci. (Ya

sabem os, por los conejos, que debe salir 21)

5

251

251

88

8

−−

+

=)

( ) ( )5

2565151

88

8

−−+

=)

5256

553768 =)

218 =)

Otra curiosidad: En 1876 un fam oso psicólogo alem án, Gustav Fechner,llevó a cabo algunos experim entos t ratando de establecer cuáles de ciertasproporciones son de m anera natural seleccionadas m ás frecuentem ente porun grupo de personas: Se les perm it ía escoger ent re rectángulos dediferentes proporciones arreglados al azar, y se les pedía que escogieran deacuerdo al que les pareciera m ás estét ico. Los resultados de susexperim entos m ost raron que un 75% de las personas escogen rectánguloscuyos lados t ienen m edidas tales, que al establecer la razón ent re ellas,resultan núm eros m uy próxim os a la razón dorada Φ

Una experiencia interesante de conocer es la efectuada por estudiantes deArquitectura y Bellas Artes de la Universidad de Granada quienes hicieron unanálisis m atem át ico de las obras de Velásquez. Ent re ellos, la alum na MaríaJosé Jim enez, dem ost ró que en /DV�0HQLQDV t odos los personaj es estáninscritos en un rectángulo áureo. Y si a ese rectángulo se le incorpora laespiral de Durero, la curva se inicia j usto en la paleta del pintar. I nteresante,¿no les parece?.

Diego Velásquez de Silva (1599 – 1660)

El cirujano plást ico Stephen Marquardt , uno de los m ás prest igiados deHollywood, afirm a que Michelle Pfeiffer es la m ujer m ás bella del m undo, yaque la m asa facial de la act r iz coincide con la fórm ula de la verdadera belleza:el núm ero de oro.

Marquardt m idió los rost ros de varios fam osos, descubriendo que Michellet iene las m edidas perfectas, ya que su boca es 1,618 veces tan ancha com osu nariz.

Actualm ente se han generado algunos cuadros de gran herm osura,basados en la espiral de Fibonacci, ut ilizando para ello el program acom putacional Visual Basic. Un ejem plo es el cuadro creado por Ned May:

Y a seguir probando: tu carnet , las tarjetas de crédito, las cajas decigarrillos, et c. ¿vivirá en ellos el núm ero de oro?

$��/$�',9,1$�352325&,Ï1Rafael Albert i

A t i, m aravillosa disciplina,m edia, ext rem a razón de la herm osura,

que claram ente acata la clausuraviva en la m alla de tu ley divina.

A t i, cárcel feliz de la ret ina,áurea sección, celeste cuadratura,

m isteriosa fontana de m esuraque el Universo arm ónico origina.

A t i, m ar de los sueños, angulares,flor de las cinco form as regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un com pás ardiente.

Tu canto es una esfera t ransparente.A t i, divina proporción de oro.

Aún queda m ucha m ás para exponer sobre el núm ero de oro, pero con lavisión dada m e parece suficiente para m ot ivar a seguir invest igando sobreeste m aravilloso y un poco olvidado núm ero de oro.