el ángulo que forma el la línea

Fuente: Los Caminos del Saber, Matemáticas 10. Editorial Santillana.

DÍA/MES/AÑO:

28/04/2021

GUÍA No 4 GRADO 10

- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

CÓDIGOS EDMODO: 10-1 tymh6e 10-2 nijbua 10-3 3te3es 10-4 emqrw5 10-5 bxg5dg

ÁREA:

MATEMÁTICAS

ASIGNATURA:

ALGEBRA DOCENTES

Adelina Del Socorro Pineda Jorge Jaramillo Ponce

WHATSAPP: 3182936137 3017967997

Queridos estudiantes espero que se encuentren muy bien en compañía de sus familias, les envió la cuarta guía de aprendizaje; espero contribuir con un grano de arena para que sus sueños y metas se cumplan. Si tienen dificultades en los aprendizajes de la guía llamarme, los jóvenes que tengan conectividad les recuerdo que estoy dictando clases virtuales de acuerdo al horario establecido por la institución.

APRENDIZAJES Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones.

GONIÓMETRO

El goniómetro es un instrumento que permite medir el ángulo que forma un elemento con respecto a una superficie horizontal. Con este instrumento se puede hallar la altura de cualquier edificación sin necesidad de realizar una medición directa sino a partir del ángulo y la distancia horizontal a la encuentra la persona de la edificación. que se

La construcción de un goniómetro se realiza con cartón paja, una cuerda, un transportador y un peso. Para construirlo se recorta una semicircunferencia de cartón paja y, con el transportador, se marcan los ángulos en grados. Luego, se ata un extremo de la cuerda al peso y el otro extremo, al centro de la semicircunferencia, como se muestra en la siguiente figura.

Para calcular la altura de una casa se coloca el goniómetro de tal forma que I peso quede totalmente vertical. Luego, se determina el ángulo que forma el la línea horizontal de la visión con la parte más alta de la casa. Por ejemplo, si una persona se ubica a 3 metros de su casa y mide con el goniómetro un ángulo de 60°, como se muestra en la figura, la altura de la casa se calcula así:

tan 60° = ℎ

3

h=3 tan 60° Se plantea una razón trigonométrica. h≈ 5,2 m Se despeja h. Por tanto, la altura de la casa es igual a la suma de h con la distancia que hay de los ojos de la persona hasta el suelo. 1. Construye un goniómetro.

2. Con el goniómetro, mide el ángulo que corresponde a la altura

de tu casa. Luego, con un metro mide la distancia horizontal a la que te ubicaste para medir dicho ángulo. 3. Consulta qué es un teodolito y explica sus aplica ciones. Luego,

compáralo con un goniometro.

VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

PARA EL ÁNGULO DE 45°

Para determinar los valores de las razones trigonométricas para un ángulo de 45°, se construye un ∆OPQ rectángulo isosceles, de

tal forma que QO = PQ = L, como se muestra en la figura.


La medida de la hipotenusa se calcula así: (OP)2 = (PQ)² + (Q0)2 Se aplica el teorema de Pitagoras. (OP)2 (L)2 + (L)2 Se remplazan las medidas de los catetos. (OP)2 =2L2 Se efectúa la suma. OP=L√2 Se extrae raíz cuadrada. Por tanto, en el ∆OPQ se tiene que OP= L√2 y PQ = QO = 1. Con estas medidas se tiene que el valor de las razones trigonométricas para un ángulo de 45° son:

cos 45° =𝑙

𝑙√2=

√2

2 sec 45° =

𝑙√2

𝑙= √2

sen 45° =𝑙

𝑙√2=

√2

2 csc 45° =

𝑙√2

𝑙= √2

cos 45° =𝑙

𝑙= 1 cot 45° =

𝑙

𝑙= 1

Ejemplo:

Calcular el valor de la expresión 𝑬 =𝒔𝒆𝒏𝟐𝟒𝟓° + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟔𝟎°

𝒕𝒂𝒏𝟐𝟔𝟎°.

Primero, se establece el valor de las funciones trigonometricas

que intervienen en la expresión.

𝑠𝑒𝑛 45° =√2

2 𝑠𝑒𝑛 60° =

√3

2 tan 60° = √3

Luego, se reemplazan esos valores en la expresión original y se

resuelve así:

𝐸 =

(√22

)

2

+ (√32

)

2

(√3)2

𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

𝐸 =

24

+34

3 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠

𝐸 =

543

𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎

𝐸 =5

12 𝑆𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

Finalmente, Se tiene que el valor de la expresión es 𝐸 =5

12.

Valores de las razones trigonometricas de ángulos especiales

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL:

Sea ϴ un ángulo agudo en posición normal y P(x, y) cualquier punto de su lado final con excepción del origen. Si r es la distancia

del origen a P(x, y), entonces, r = √𝑥2𝑦2 y las funciones

trigonométricas se definen como:

cos 𝜃 =𝑥

𝑟 sec 𝜃 =

𝑟

𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0

sen 𝜃 =𝑦

𝑟 csc 𝜃 =

𝑟

𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑦 ≠ 0

tan 𝜃 =𝑦

𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0 cot 𝜃 =

𝑥

𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑦 ≠ 0

Esta definición se cumple para cualquier punto P(x, y) que pertenece al lado final de un ángulo agudo ϴ en posición normal. Ejemplos: 1. Sea α un ángulo en posición normal, tal que M(-8, 15) es un punto ubicado sobre su lado final (figura). Determinar el valor de sen α, cos α, y tan α.


Solución Como M(-8, 15), entonces x = -8 y y = 15. El valor de r se calcula a partir del teorema de Pitágoras.

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−8)2 + 152 = √289 = 17

𝐴𝑠í, 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =15

17, cos 𝛼 = −

8

17, tan 𝛼 = −

15

8

2. Encontrar el valor de las seis funciones trigonometricas para cada ángulo en posición normal. P y Q son puntos ubicados sobre el lado final del ángulo del ángulo dado.

𝛽, 𝑠𝑖 𝑃(2, −3) Solución a. Dado que P(2, -3), entonces x = 2 y y = -3. Luego.

𝑟 = √22 + (−3)2 = √13, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = −3

√13= −

3√13

13 cot 𝛽 =

2

−3= −

2

3

𝑐𝑜𝑠 𝛽 =2

√13=

2√13

13 sec 𝛽 =

√13

2

𝑡𝑎𝑛 𝛽 =−3

2= −

3

2 csc 𝛽 =

√13

−3= −

√13

3

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

El signo de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo α, determina según el cuadrante en el cual está ubicado α. Si P(x, y) es un punto sobre el lado final de α, la distancia 𝑟 =

√𝑥2 + 𝑦2 siempre es positiva, por lo cual, los signos de las

funciones trigonométricas de α dependen de los signos de x y y. Por ejemplo, para un ángulo del primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, pues x > 0 y y > 0 para cualquier punto (x, y) ubicado en este cuadrante. En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones trigonométricas para un ángulo ϴ ubicado en cualquier cuadrante.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTES

Se denominan angulos cuadrantes aquellos cuyo lado final

coincide con alguno de los ejes coordenados. Los angulos cuadrantes son 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. En radianas

0,𝜋

2, 𝜋,

3𝜋

2, 2𝜋.

Los valores de las funciones trigonometricas para estos angulos, se obtienen utilizando cualquier punto P ubicado sobre su lado final. Ejemplo. Calcular el valor de las funciones trigonometricas para 90°. Solución

Sea P(O, y) un punto sobre el lado final de 0°. Como 𝑟 = 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ =𝑦, entonces.

𝑠𝑒𝑛 90° =𝑦

𝑟=

𝑂𝑃̅̅ ̅̅

𝑟=

𝑟

𝑟= 1

𝑐𝑜𝑠 90° =𝑥

𝑟=

0

𝑟= 0

𝑡𝑎𝑛 90° =𝑦

𝑥=

𝑂𝑃̅̅ ̅̅

0=

𝑟

0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

𝑐𝑜𝑡 90° =𝑥

𝑦=

0

𝑂𝑃̅̅ ̅̅=

0

𝑟= 0

𝑠𝑒𝑐 90° =𝑟

𝑥=

𝑟

0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

𝑐𝑠𝑐 90° =𝑟

𝑦=

𝑟

𝑂𝑃̅̅ ̅̅=

𝑟

𝑟= 1


La tabla que se muestra a continuación resume los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantes.

Ejemplos: Hallar el valor de cada una de las expresiones, sin utilizar calculadora. 1. tan 180° - cos 90° + 4 sen 90°

0 – 0 + 4 * 1 = 4

2. 𝑠𝑒𝑛 3𝜋

2 + cos 𝜋 −

1

5 𝑠𝑒𝑛

𝜋

2

−1 + (−1) −1

5 ∗ 1

−1 − 1 −1

5=

−2

1

−1

5 =

−10 − 1

5=

−11

5

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTES

Reducir ángulos al primer cuadrante, consiste en expresar una función trigonométrica de un ángulo α mayor de 90°, en términos de una función trigonométrica de un ángulo agudo. ANGULOS DE REFERENCIA Sea ϴ un ángulo en posición normal, el ángulo de referencia ϴR

es aquel ángulo agudo que forma el lado final del ángulo ϴ con uno de los semiejes del eje x. La medida del ángulo de referencia ϴ, depende del cuadrante en el que está lado final del ángulo ϴ. Lado final en el cuadrante II

Si el lado final de un ángulo ϴ en posición normal está en el segundo cuadrante, entonces, el ángulo de referencia ϴR, en grados está dado por:

ϴR = 180° - ϴ

Lado final en el cuadrante III

Si el lado final del ángulo ϴ en posición normal está en el tercer cuadrante, entonces, el ángulo de referencia ϴR, en grados está dado por:

ϴR = ϴ - 180° Lado final en el cuadrante IV

Si el lado final de un ángulo ϴ en posición normal está en el cuarto cuadrante, entonces, el ángulo de referencia ϴR en grados está dado por:

ϴR = 360° - ϴ Los valores trigonométricos de un ángulo ϴ y los de su referencia son iguales, salvo por el signo que depende del cuadrante. EJEMPLO Calcular el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo ϴ en posición normal cuya medida es 135°.

Primero, se halla el ángulo de referencia ϴR del ángulo ϴ. Como

el lado final de ϴ está en el cuadrante II, entonces, se tiene que:

ϴR = 180° - ϴ

ϴR = 180° - 135° De donde se obtiene que ϴR = 45°, como se muestra en la figura.

Luego, se determinan los valores de las funciones

trigonométricas para ϴ = 135°, a partir de los de ϴR = 45°, teniendo en cuenta el signo de cada función para el cuadrante II.


Finalmente, se tiene que:

cos(135°) = −√2

2 𝑠𝑒𝑛 (135°) =

√2

2 tan(135°) = −1

cot(135°) = −1 𝑠𝑒𝑐 (135°) = −√2 csc(135°) = √2

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas se pueden estudiar de dos formas: a partir de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo o a partir de la circunferencia unitaria como funciones de números reales. A continuación se presenta la circunferencia unitaria y cómo se establecen las funciones trigonométricas a partir de esta. CIRCUNFERENCIA UNITARIA

La circunferencia unitaria es aquella cuyo centro está en el origen y cuyo radio es igual a 1.

En la figura, se muestra una circunferencia unitaria. El punto P pertenece a la circunferencia y las coordenadas x, y corresponden a las medidas de los catetos del triángulo rectángulo ORP Si se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo ORP se tiene que

𝑋2 + 𝑌2 = 1. Por tanto, la ecuación de la circunferencia unitaria

es 𝑋2 + 𝑌2 = 1 y todos los puntos P que cumplen esta igualdad

pertenecen a la circunferencia. Ejemplo.

Comprobar que el punto (3

5,

4

5) pertenece a la circunferencia

unitaria. Luego, determinar en qué cuadrante se ubica.

Primero, se tiene que 𝑥 =3

5 𝑦 𝑦 =

4

5.

Luego, se remplazan estos valores en la ecuación de la

circunferencia unitaria y se resuelve así.

𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

(3

5)

2

+ (4

5)

2

= 1

𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.

9

25+

16

25= 1 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠.

25

25= 1 𝑆𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎.

1 = 1 𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒.

Finalmente, se tiene que el punto pertenece a la circunferencia

unitaria porque la igualdad se cumple. Como el signo de ambas coordenadas es positivo, entonces el punto está ubicado en el primer cuadrante. DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas pueden definirse a partir de la circunferencia unitaria. Para esto se construye un ángulo ϴ en posición normal cuyo lado final interseque a la circunferencia unitaria en el punto P. Como cada ángulo ϴ define un único punto P(x, y) en la circunferencia unitaria, a partir de sus coordenadas se pueden definir las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, así:

cos 𝜃 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑦 tan 𝜃 =𝑦

𝑥, 𝑥 ≠ 0

sec 𝜃 =1

𝑥, 𝑥 ≠ 0 csc 𝜃 =

1

𝑦, 𝑦 ≠ 0 cot 𝜃 =

𝑥

𝑦, 𝑦 ≠ 0

Ejemplo. Calcular el valor delas funciones trigonometricas para el

angulo 𝜽 =𝝅

𝟔 que determina el punto (

√𝟑

𝟐,

𝟏

𝟐) en la

circunferencia unitaria.

Primero, se identifican las coordenadas del punto:

𝑥 =√3

2 𝑦 𝑦 =

1

2.

Luego, se utilizan las coordenadas para calcular el valor de cada

función trigonometrica así:

cos 𝜃 =√3

2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

1

2 tan 𝜃 =

12

√32

=√3

3

cot 𝜃 =

√3212

= √3 csc 𝜃 =1

12

= 2 sec 𝜃 =1

√32

=2√3

3

Finalmente, se tiene que el signo de todas las funciones es

positivo porque el punto está en el primer cuadrante.


TALLER DE APLICACIÓN Apoyándose en los conocimientos adquiridos de la fundamentación teórica resuelve justificando su respuesta. 1. Escribir el cuadrante en el cual se encuentra ubicado el lado

final de un ángulo ϴ de acuerdo con las dos condiciones dadas.

2. Hallar el valor de la expresión:

4 𝑠𝑒𝑛 90° − cos 45° + 3 𝑠𝑒𝑛 60°

3. Encontrar el ángulo de referencia para el ángulo de 330° y

hallar sen 330° y cos 330°. Preguntas de selección múltiple con única respuesta. 4. ¿Cuál es el valor de cos C en la figura?

A. 𝐴𝑀̅̅ ̅̅ ̅

𝐶𝑀̅̅̅̅̅

B. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅

C. 𝐷𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐶̅̅ ̅̅

D. 𝐴𝐷̅̅ ̅̅

𝐷𝑀̅̅ ̅̅ ̅

5. Si 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =1

2, el valor de tan 𝛼 es:

A. √5

2

B. √3

3

C. 4

3

D. 2

6. Con respecto al triángulo de la figura, la afirmación falsa es:

A. tan 𝛼 =4

7

B. 𝐴𝐵 ≈ 80,60

C. ∡𝐴 = 29° D. ∡𝐵 = 60°

7. La altura h de la torre de la figura es:

A. ℎ = 12,86 𝑚. B. ℎ = 13,86 𝑚. C. ℎ = 14,86 𝑚. D. ℎ = 15,86 𝑚.

8. Al resolver la siguiente operación:

𝑷 = 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟔𝟎° + 𝒔𝒆𝒄 𝟒𝟓° 𝒄𝒔𝒄𝟒𝟓° Da como resultado:

A. 1 B. 5 C. 6 D. 7

9. Dado el siguiente triángulo rectángulo.

La suma de x + y da como resultado:

A. 1 + √3

B. 2 + √3

C. 4 + 2√3

D. √3 + 3 10. En la siguiente situación la altura del árbol es:


A. 2 +8

3√3

B. 8

3√3

C. 2 −8

3√3

D. 8 +8

3√3

11. Si la torre de pisa.

Estuviera en posición vertical su altura aproximada seria:

A. 54,8 m. B. 55,8 m. C. 55,6 m. D. 54,9 m.

12. Para calcular la altura de la cometa, se puede hacer mediante:

A. Teorema de Pitágoras. B. Teorema de Seno. C. Usando una razón trigonométrica. D. Teorema de Tales.

13. La altura del triángulo está determinada por:

A. √3

2𝑙

B. √2

3𝑙

C. √2

2𝑙

D. 3

4𝑙2

14. Javier sale de trabajar de un edificio de oficinas, se aleja 40

metros, se gira y observa el edificio con un ángulo de elevación de 76°.

Cuanto más debería alejarse Javier, para poder observar el edificio con un ángulo de elevación de 50°.

A. 40 tan 76°

tan 50°

B. 40 tan 50°

tan 76°

C. tan 76°

40 tan 50°

D. tan 50°

40 tan 76°

Responda las preguntas 15 y 16 de acuerdo a la siguiente información.

La siguiente gráfica ilustra el diseño que corresponde a la instalación comunicación sostenida en el piso por dos cables. Los puntos de amarre del cable en el piso tienen una separación de 12 metros y los puntos de amarre del cable a la torre, la divide en 3 partes iguales de la misma longitud.

15. Del amarre en el piso del cable más largo al pie de la torre hay

una distancia de:

A. 4 m. B. 6 m. C. 8 m. D. 12 m.


16. La altura de la torre, en metros, es:

A. 4 tan 30° B. 6 tan 60° C. 8 tan 60° D. 12 tan 30°

17. Juan practica 5 deportes: fútbol, atletismo, baloncesto,

ciclismo, y natación. Uno por cada día de la semana; lunes a viernes. ¿Cuál practica el martes? Sabiendo que:

El baloncesto lo practica antes del futbol.

La natación 2 días después de practicar el atletismo.

El ciclismo lo practica antes que el baloncesto.

Y el baloncesto lo practica entre jueves y viernes.

18. Manuel tiene una caja grande, en ella cuatro cajas medianas

de igual tamaño y en cada una de ellas cuatro cajas de menor tamaño, ¿Cuántas cajas tiene Manuel en total?

19. Un pastor solo sabe contar sus ovejas de 2 en 2, 3 en 3, 4 en

4 y 5 en 5. Observa que al contarlas de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 le sobra 1, de 4 en 4 le sobra 1, de 5 en 5 no le sobran ovejas. ¿Cuáles es el menor número de ovejas que tiene el rebaño?

20. En la siguiente situación se involucra el razonamiento, la

lógica y el análisis. ¿Qué figura corresponde en el espacio donde se encuentra el interrogante?

el ángulo que forma el la línea

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