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EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN EN LA OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS DE
ACTIVOS
ANDRÉS MERIZALDE ARBOLEDA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
SANTAFÉ DE BOGOTÁ
2002
EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN EN LA OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS DE
ACTIVOS
ANDRÉS MERIZALDE ARBOLEDA
Proyecto de grado para optar al título de Ingeniero Industrial.
AsesorBEATRIZ LOPERA
Ingeniera Industrial
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
SANTAFÉ DE BOGOTÁ
2002
iii
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN 1
1 MARCO TEORICO Y CONCEPTOS BASICOS 4
1.1 TEORIA MODERNA DE PORTAFOLIOS Y TEORIA DE LA UTILIDAD 4
1.2 EL CONJUNTO DE OPCIONES DE INVERSIÓN 7
1.3 RIESGOS FINANCIEROS Y CARACTERIZACIÓN DE RIESGO 8
1.4 HARRY M. MARKOWITZ 13
1.4.1 EL EFECTO DE LA DIVERSIFICACIÓN 17
1.4.2 DEBATES CON RESPECTO A LA MEDIDA DE RIESGO DE MARKOWITZ18
2 FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE LA OPTIMIZACIÓN DE
PORTAFOLIOS 26
2.1 MEDIDAS DE RIESGO 27
2.1.1 MEDIDA ORIGINAL DE MARKOWITZ 27
2.1.2 DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIA 28
2.1.3 SEMI VARIANZA 30
2.1.4 OTRAS MEDIDAS DE RIESGO 31
2.2 FORMULACIONES 32
2.2.1 MINIMIZACIÓN DE VARIANZA 33
2.2.2 MAXIMIZACIÓN DEL RETORNO ESPERADO 34
2.2.3 OTRAS FORMULACIONES 35
iv
2.3 RESTRICCIONES 36
2.4 CRÍTICA A LOS MODELOS DE MEDIA Y VARIANZA (MV) PARA LA
OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS 38
3 EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN PARA LA COMPOSICIÓN DE
PORTAFOLIOS GLOBALES 42
3.1 RENTABILIDADES DE EQUILIBRIO 47
3.2 OPINIONES DEL INVERSIONISTA 52
3.3 LA FÓRMULA CONJUNTA PARA LAS RENTABILIDADES ESPERADAS 55
3.4 EL NIVEL DE CONFIANZA DEL INVERSIONISTA EN SUS OPINIONES 55
3.5 ALGUNOS COMENTARIOS ADICIONALES 58
3.6 CALIBRACIÓN DEL MODELO 59
3.7 SOLUCIÓN 60
3.8 RESTRICCIONES ADICIONALES 62
4 IMPLEMENTACIÓN 64
4.1 DATOS DE ENTRADA 65
4.2 OPINIONES DEL INVERSIONISTA 67
4.3 RESULTADOS 70
4.4 PRUEBAS Y AJUSTES 73
5 CONCLUSIONES 76
ANEXOS 81
BIBLIOGRAFÍA 87
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1
INTRODUCCIÓN
Estamos frente a una economía cada vez más globalizada donde la facilidad de
transacción ha aumentado a gran velocidad y el acceso a activos en cualquier
parte del mundo es natural y directo. Esto ha ocasionado una importante
ampliación del conjunto de posibilidades de inversión, haciendo factible la
movilidad de capital hacia opciones más rentables en otras latitudes. Lo anterior
mejora las perspectivas de los inversionistas pero también hace más compleja su
escogencia de combinaciones de activos que generen puntos eficientes en la
frontera de rentabilidad contra riesgo.
Por esta razón cobra vital importancia la administración de portafolios. La forma
como los inversionistas los conformen debe procurar que estén suficientemente
protegidos del riesgo de pérdida de valor y obtenga de ellos el retorno más alto
posible. En otras palabras, el método que se escoja para administrar el portafolio
debe maximizar la rentabilidad y minimizar el riesgo en el que incurre el
inversionista. Para lograr este fin hay numerosas herramientas que permiten
construir y mantener portafolios eficientes.
La optimización es una de las herramientas analíticas que más se ha utilizado en
este campo. Es natural pensar que problemas como el de obtener el mayor retorno
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2
posible a un riesgo determinado, o el de obtener el menor riesgo posible a un
retorno esperado determinado son factibles de ser programados y resueltos con
algoritmos de optimización. Por esta razón la optimización de portafolios es hoy
por hoy una de las principales áreas de investigación financiera y en la que en las
últimas décadas se han propuesto métodos más innovadores y eficientes. No sólo
ha sido considerable la cantidad de artículos escritos sobre el tema, sino que han
sido prolíficos los esfuerzos y bien reconocidos los resultados que en ellos se han
obtenido. Al respecto, Zenios opina que: “Los analistas de investigación de
operaciones han encontrado en éste un campo problemático interesante donde sus
herramientas podrían tener un impacto significativo”1.
Por otro lado, el problema de la administración de portafolios es bastante práctico
y relevante para una gran cantidad de personas. Aún sin ser enteramente
conscientes de ello, el común de la gente generalmente almacena su riqueza en
portafolios de activos. Es posible hacer esta afirmación si consideramos que, como
afirma Fabozzi2, un activo es cualquier posesión que tiene un valor de cambio y
que un portafolio es un conjunto de activos en propiedad del mismo agente. En
1 DAHL, Henrik; MEERAUS, Alexander; ZENIOS, Stavros A. Some financial optimization models: I
Risk Management. En: ZENIOS, Stavros A. Financial Optimization. Cambridge: Cambridge University
Press, 1993. p. 5.
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3
este sentido, cualquier persona que tenga varios activos es propietaria de un
portafolio y debería estar interesada en lo que se ha encontrado acerca de su
manejo inteligente.
Dos elementos, la relevancia del problema general de la administración de
portafolios y la actualidad en los trabajos sobre el tema sugieren que es justo
dedicar este trabajo a la investigación sobre la optimización de portafolios de
activos. A lo largo de este proyecto se buscará alcanzar cuatro objetivos en
particular: Primero, entender con claridad los fundamentos teóricos sobre los que
se sostiene la teoría de portafolios. Segundo, identificar las formas como los
parámetros y variables que participan de la conformación de portafolios de activos
se articulan en las formulaciones de optimización de portafolios. Tercero,
identificar los inconvenientes teóricos y prácticos con los que los modelos de
optimización de portafolios se han enfrentado; y por último, analizar otras formas
de aproximarse al problema de la optimización de portafolios, haciendo énfasis en
el modelo de Black y Litterman.
2 FABOZZI, Frank J. y MODIGLIANI, Franco. Capital markets: institutions and instruments. 2nd ed.
Upper saddle River: Prentice Hall, 1996. p. 3.
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4
1 MARCO TEORICO Y CONCEPTOS BASICOS
Con el fin de ubicar el problema de la optimización de portafolios sobre su base
conceptual, se expondrán los conceptos generales y los lineamientos de la teoría
financiera sobre los que dicho problema descansa.
1.1 TEORIA MODERNA DE PORTAFOLIOS Y TEORIA DE LA UTILIDAD
Aun cuando técnicamente cualquier conjunto de activos forma un portafolio, la
mayor parte de la teoría que se ha desarrollado sobre el tema está enfocada hacia
una clase específica de activos: los activos financieros. La principal razón por la
que son éstos y no los activos reales el objeto de su estudio es la facilidad de
ubicar a los primeros en un espacio bidimensional de riesgo y rentabilidad.
Habiendo caracterizado dichos activos y bajo los parámetros de la teoría de la
utilidad se hace posible la comparación entre ellos. Si por el contrario se intentara
comparar la bondad de dos activos reales, el proceso de decisión podría ser mucho
más complejo. Aquí la combinación de riesgo y rentabilidad de la inversión dejaría
de ser el único criterio de evaluación y se haría necesario considerar una mezcla
compleja de muchas otras variables características del activo, en tanto que el
inversionista también evalúa, por ejemplo, la utilidad subjetiva que percibe por
tener el activo en su poder. En activos financieros, sin embargo, se puede decir
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5
que aquel que presente menor riesgo que otro a un mismo nivel de rentabilidad es
siempre preferido por un inversionista averso al riesgo3.
La imposibilidad de predecir con exactitud el comportamiento de los activos en el
futuro da origen a la existencia de riesgo. El inversionista no puede asociar un
número único con el retorno de ninguno de los activos en los que invierte, sino
que dicho retorno debe ser descrito por un conjunto de posibles resultados4. De lo
dicho anteriormente se nota la importancia de poder caracterizar la rentabilidad de
los activos financieros sobre una estructura de riesgo o función de probabilidad.
Una vez se tiene claridad sobre el riesgo y la rentabilidad esperada5 del activo en
cuestión, la siguiente pregunta es: ¿qué tan buena es esa combinación? A la luz de
la teoría de la utilidad la respuesta sería: “depende”. La utilidad percibida por cada
inversionista frente a un resultado probable de rentabilidad es característica de su
preferencia por rentabilidad y riesgo. En otras palabras, dos inversionistas
enfrentados a un mismo conjunto de opciones eficientes de inversión
probablemente van a diferir en el ordenamiento de sus preferencias. Esa diferencia
3 ELTON, Edwin J. y GRUBER, Martin J. Modern portfolio theory and investment analysis. 5th ed.
New York: John Wiley and Sons, 1995. p. 210.
4 Ibid., p. 46.
5 Como riesgo nos referimos, de forma general, a la posibilidad de pérdida de valor en los activos.
En algunos casos el riesgo queda completamente determinado con una medida de volatilidad (ver
sec. 1.4.2).
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responde a que dicho ordenamiento lo realiza el inversionista con respecto a la
utilidad que cada resultado le representa y no al resultado mismo, es decir, el
decisor no evalúa el vector de resultados posibles ( xv ), sino el vector cuyas
componentes exhiben la utilidad de los resultados posibles ( )(xu vv ). La función que
asigna la utilidad a cada resultado probable se denomina función de preferencia o
función de utilidad y juega un papel fundamental en la decisión óptima. Se puede
demostrar que considerando la utilidad como criterio, la mejor alternativa es la que
maximiza el valor esperado de la utilidad6.
La teoría asegura que siempre es posible encontrar la función de utilidad de un
decisor racional que evalúa una serie de resultados singulares en un contexto
incierto, y que además dicha función proporciona información consistente sobre las
preferencias del decisor. Primero, determina si el decisor prefiere más o menos
riqueza. Segundo, dice cuál es su actitud ante el riesgo; pudiendo ser averso,
propenso o neutral frente al mismo. Tercero, describe la forma como cambian sus
preferencias cuando varía su nivel de riqueza; por ejemplo su grado de aversión al
riesgo bien podría disminuir o aumentar a medida que aumenta su riqueza. Las
características anteriores se pueden comprobar al analizar la función de
preferencia junto con su primera y segunda derivada, respectivamente7.
6 ELTON, Op. Cit. p. 210-212.
7 Ibid., p. 214 –221.
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7
1.2 EL CONJUNTO DE OPCIONES DE INVERSIÓN
Como se ha visto, la teoría de la utilidad es el marco conceptual dentro del cual los
inversionistas racionales toman sus decisiones8. Siguiendo su lógica el inversionista
debería construir la función de probabilidad de los retornos de su inversión,
transformarla en la función de probabilidad de las utilidades de dichos retornos y
calcular el valor esperado para cada alternativa de inversión. Este proceso sería
dispendioso y muy complejo teniendo en cuenta la gran cantidad de casos a
considerar, pues no sólo habría que analizar todos los activos riesgosos sino todas
las combinaciones entre ellos, resultando en un número infinito de posibilidades de
inversión.
Volviendo a la representación cardinal en el plano de riesgo contra rentabilidad, es
claro que sería posible ubicar en él a todas las opciones de inversión en dicho
plano, pero por lo dicho anteriormente esa representación resultaría en una densa
nube de puntos factibles. Sin embargo, podemos limitarnos a pensar que los
inversionistas son aversos al riego; que por lo tanto prefieren menos a más riesgo
8 Se hace un supuesto de racionalidad que no siempre se satisface. Matthew Rabin (Psychology and
Economics, 1996) por ejemplo, analiza cómo el comportamiento humano se aleja de los supuestos
económicos tradicionales de racionalidad.
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8
y que prefieren más a menos rentabilidad. Entonces, si podemos encontrar un
conjunto de portafolios que ofrezcan más rentabilidad al mismo nivel de riesgo o
que ofrezcan menos riesgo al mismo nivel de rentabilidad, tendremos el conjunto
de posibilidades de inversión que el decisor averso al riesgo en efecto consideraría.
Todas las demás alternativas de inversión estarían dominadas para él y podrían ser
eliminadas del diagrama. El grupo de activos que no están dominados por ningún
otro activo del mercado forman la llamada frontera eficiente y el conjunto de
alternativas de inversión a considerar se puede reducir a las que caen sobre dicha
frontera9.
1.3 RIESGOS FINANCIEROS Y CARACTERIZACIÓN DE RIESGO
Hasta ahora hemos hablado del riesgo inherente a los activos y portafolios. A
causa de su presencia, la rentabilidad de los mismos exhibe un comportamiento
estocástico y es posible asociar a ella una función de probabilidad. Para entender
el origen del comportamiento incierto de la rentabilidad y el efecto de la
diversificación es importante, entonces, hacer una revisión sobre el tema del riesgo
financiero al que los activos están expuestos.
9 ELTON, Op. cit., p. 82-84.
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9
El riesgo asociado a la rentabilidad de los activos financieros es de naturaleza
diversa. Zenios10, por ejemplo, presenta el riesgo financiero como un vector
multidimensional compuesto por el riesgo de mercado, riesgo de forma (shape
risk), riesgo de volatilidad, riesgo de sector, riesgo de cambio, riesgo de liquidez y
riesgo residual.
El riesgo de mercado se refiere al movimiento conjunto en los rendimientos del
mercado, que afecta de alguna forma a todos los activos que forman parte de él.
En el mercado accionario el riesgo de mercado se relaciona con el movimiento en
el índice del mercado y en el mercado de renta fija se refiere al movimiento
general de las tasas de interés.
El riesgo de forma (shape risk) es aplicable al mercado de renta fija y se refiere a
los movimientos no paralelos en las tasas de interés de los instrumentos libres de
riesgo, lo que origina un cambio en la forma de la curva estructural de tasas de
interés.
El riesgo de volatilidad se refiere a la incertidumbre en la veracidad del riesgo
calculado o a la posibilidad de que la varianza cambie aleatoriamente en el tiempo.
Este es un factor determinante en instrumentos cuyo precio es asimétrico con
10 ZENIOS, Op. cit., p. 5.
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10
respecto a la volatilidad de los precios y por tanto es altamente dependiente de la
volatilidad proyectada, como es el caso de las opciones.
El riesgo cambiario se refiere a los movimientos en los precios de las divisas, y
afecta en especial a las inversiones en monedas extranjeras.
El riesgo de sector se refiere al efecto de eventos que afectan conjuntamente a un
grupo de activos. Dado que los activos en un grupo o sector comparten atributos
comunes, estos son propensos a estar influenciados por los mismos factores de
riesgo.
El riesgo de crédito se refiere a cambios en la confianza de los inversionistas sobre
la capacidad de pago del emisor. Frente a estos movimientos, el retorno exigido
sobre las inversiones cambia y ocasiona variaciones en su precio, pues éstas son
valoradas a tasas de mercado.
El riesgo de liquidez se refiere al cambio en la diferencia entre el precio de compra
y el precio de venta de un activo. Fabozzi11 define la liquidez en términos del
sacrificio en precio que el inversionista está dispuesto a asumir cuando desea
11 FABOZZI, Op. cit., p. 9.
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11
vender un activo inmediatamente. Cuando el activo tiene baja circulación el
sacrificio es mayor y la iliquidez afecta de esta manera su precio.
El riesgo residual o específico se refiere a todos los demás riesgos. Tiene la
propiedad de ser particular y no sistemático porque responde a las características
únicas de cada activo.
El último riesgo merece una especial atención por ser, en particular, un riesgo no
sistemático. Zenios12 dice que el riesgo no sistemático, que resulta de
rentabilidades con correlación cercana a cero, puede ser reducido por
diversificación. Pero la diversificación sólo lleva a promediar el riesgo para activos
cuya rentabilidad está altamente correlacionada. Lo anterior sugiere que los
inversionistas prefieren tener en sus portafolios activos distintos entre si, en el
sentido en que estén expuestos a riesgos distintos y por lo tanto sus precios no se
muevan de forma paralela.
Así, se puede entender el riesgo total de un activo como la suma de dos tipos de
riesgo: el riesgo diversificable y el riesgo no diversificable. El primero incluye todos
los factores de riesgo no sistemáticos que pueden ser reducidos o eliminados al
tomar posiciones estratégicas en distintos activos. A ese respecto, Zenios
12 ZENIOS, Op. cit., p. 9-11.
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12
demuestra que la mejor estrategia de cubrimiento de riesgo se derivaría de poder
aislar los distintos factores de riesgo no sistemático de los activos y tomar
posiciones en ellos13. Por otro lado, el riesgo no diversificable es una parte del
riesgo al que están expuestos los activos que no es posible reducir por
diversificación y está relacionada con factores que afectan a todo al mercado.
Lo anterior implica que el efecto de reducción de riesgo por diversificación tiene un
límite más allá del cual los inversionistas deben ser recompensados con
rentabilidad por el riesgo al que se exponen14. De acuerdo con el modelo de CAPM
(Capital Asset Pricing Model), la rentabilidad esperada de un activo particular debe
estar dada exclusivamente por su sensibilidad con respecto al mercado, otras
fuentes de riesgo pueden ser reducidas por diversificación. Si Ri es la rentabilidad
esperada del activo en cuestión, Rf la tasa libre de riesgo, Rm el retorno esperado
del mercado y βi la sensibilidad del activo a los movimientos del mercado15,
entonces tenemos que:
)( fmifi RRRR −+= β
13 Aunque esta sería la mejor estrategia, en la práctica es imposible de implementar porque los
activos están generalmente expuestos a combinaciones complejas de factores de riesgo.
14 Markowitz fue el primero en reconocer este límite en la reducción del riesgo (ver sec. 1.4)
15 Estrictamente 2m
imi σ
σβ = , donde m se refiere al índice del mercado, i al activo en cuestión y σ a
las varianzas y covarianzas de los retornos correspondientes .
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13
Otros modelos como el APT (Arbitrage Pricing Theory) consideran la existencia de
otros factores de riesgo, y el retorno esperado de los activos lo determina la suma
de los precios de los factores ponderados por su exposición a ellos. De esta forma
el equilibrio entre la oferta y demanda por los factores de riesgo determina el
retorno esperado de los activos, por lo que la rentabilidad es mayor a medida que
sean más sensibles a las componentes de riesgo no diversificable del mercado.
Aún cuando se halla valorado correctamente la rentabilidad esperada de los activos
o portafolios utilizando estos u otros modelos, esta todavía será incierta y su
incertidumbre representará un riesgo para el inversionista. Él estará naturalmente
interesado en poder medir la cantidad de riesgo al que se está exponiendo cuando
paga por un activo el precio que corresponde a la rentabilidad que espera de él.
Pero se hace difícil medir el riesgo directamente a partir de sus factores; primero
porque los factores de riesgo varían de un activo a otro según su naturaleza.
Segundo, por la dificultad de medir la exposición a cada factor de riesgo de forma
aislada y con una escala común.
Por esta razón, Harry M. Markowitz (1952) creyó conveniente utilizar una medida
singular de riesgo que permitiera hacer análisis e inferencias con respecto a los
portafolios y activos.
1.4 HARRY M. MARKOWITZ
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14
Harry M. Markowitz nació en Chicago en el año de 1927. Según él mismo relata en
su autobiografía16, desde muy joven se interesó por la filosofía, en especial por los
argumentos teóricos con respecto a la incertidumbre. Particularmente le atraía la
idea de David Hume, que aunque soltemos una pelota mil veces y todas ellas caiga
al suelo, no tenemos una prueba necesaria de que caiga al suelo la siguiente vez.
Al terminar sus estudios básicos en la Universidad de Chicago, escogió estudiar
Economía y su asombro por el desconocimiento del futuro lo llevó a interesarse en
especial por lo que él denomina la “Economía de la incertidumbre”.
A la hora de decidir el tema de su tesis tuvo una conversación casual con
comisionista de bolsa, quien le sugirió aplicar las matemáticas al mercado
accionario. A su director de tesis, el profesor Marschak, le pareció razonable y
Markowitz empezó un estudio profundo de la teoría financiera existente. Mientras
leía la obra de John Burr Williams “The theory of Investment Value” vino a su
mente la idea que revolucionó las finanzas, al punto de merecer el premio Nobel
en 1990. Entre otras cosas, Williams pensaba que el precio de una acción era igual
al valor presente de sus dividendos. Markowitz interpretó que, siendo que dichos
flujos eran inciertos, el precio se determinaría por el valor presente de los
16MARKOWITZ, Harry M. Foundations of portfolio theory, Les Prix Nobel 1990, 292 (Nobel
Foundation, Stockolm), 1991
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15
dividendos esperados futuros. Sin embargo, dice, si el inversionista sólo estuviera
interesado en los valores esperados entonces maximizaría su beneficio al escoger
sólo un tipo de acción para invertir. Los inversionistas no se comportaban ni
deberían comportarse de esa manera; diversificaban porque estaban interesados
en el riesgo de sus inversiones tanto como en su retorno. Al respecto de las
afirmaciones de Markowitz, Rob Arnot17 dice que “El realmente rompió con el
paradigma de la primera mitad del siglo [XX], donde la meta de la comunidad de
inversionistas era encontrar la mejor inversión. Reconoció el poder de la
diversificación y lo demostró matemáticamente”18.
Era entonces necesario plantear una medida de riesgo. Markowitz pensó en la
varianza de los retornos. Rubinstein19 dice que probablemente el primero en
considerar la varianza como medida de riesgo financiero había sido Irving Fisher.
El mismo Jacob Marshak, quien supervisó el trabajo de Markowitz, había utilizado
la media y la matriz de covarianzas como medida de utilidad de primer orden, pero
seguramente pensó que no estaba suficientemente relacionado con el tema que
supervisaba.
17 Socio de First Quadrant LP, Pasadena, Calif.
18 Citado en: MARKOWITZ DEMONSTRATED Importance of Diversification. 1999, p. 34.
19 RUBINSTEIN, Mark. Markowitz’s “Portfolio Selection”: A Fifty-Year Retrospective. En: The Journal
of Finance. Vol LVII, No. 3 (jun. 2002); p. 1042.
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16
Partiendo de la medida de riesgo que él propone, Markowitz demostró que la
diversificación efectivamente reduce el riesgo del portafolio. Nuevamente,
Rubinstein dice que él no fue el primero en pensar así, pues Williams creía que
todo el riesgo podía ser diversificado: “Con una adecuada diversificación, las
ganancias en tales inversiones contrarrestarán las pérdidas, y el retorno de la tasa
de interés pura será obtenido. Entonces, el riesgo neto se convierte en nulo”20. Lo
que Markowitz aseguró fue que la diversificación correcta disminuye el riesgo sin
reducir el retorno esperado, pero hizo un brillante aporte al afirmar que aunque la
diversificación reduce el riesgo, ésta no lo elimina por completo. Por otra parte,
probablemente lo más importante del trabajo de Markowitz fue su tesis sobre otro
aspecto del riesgo de los activos: demuestra que no es el riesgo individual el que
es importante para el inversionista, sino la contribución que haga el activo
particular sobre el riesgo total del portafolio. La atención se centra entonces en el
aporte marginal de cada activo, que está representado en su covarianza con todos
los demás activos del portafolio.
La siguiente es una aproximación a la demostración que Markowitz planteó en su
disertación sobre los puntos anteriores.
20 WILLIAMS, John Burr. The Theory of Investment Value, citado por RUBINSTEIN, Mark.
Markowitz’s “Portfolio Selecion”: A Fifty-Year Retrospective. (2002) p. 1042
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17
1.4.1 EL EFECTO DE LA DIVERSIFICACIÓN
Como se señaló anteriormente, la mayoría de los inversionistas no invierten toda
su riqueza en un único activo, es decir, prefieren tener portafolios de activos que
activos individuales. El efecto derivado de la diversificación de las inversiones se
puede ver en un portafolio compuesto por dos activos A y B, con rentabilidad
esperada RA y RB, varianza σA y σB y covarianza σAB. Si un inversionista invierte
proporcionas XA y XB en los activos ( 1=+ BA XX ), entonces el valor esperado de la
rentabilidad del portafolio es:
BBAAP RXRXR +=
La varianza del portafolio sería:
ABBABBAAP XXXX σσσσ 222222 ++=
Un término particularmente interesante en la ecuación anterior es, ABBA XX σ2 que
puede ser también formulado como 2 ABBABA XX ρσσ , donde el término ρAB es el
coeficiente de correlación entre los dos activos, y pertenece al intervalo [-1,1].
Para el caso en que A y B están perfectamente correlacionados de forma positiva
)1( =ρ , se tiene que:
222222 )(2 BBAABABABBAAP XXXXXX σσσσσσσ +=++=
Por lo tanto, la desviación estándar de la rentabilidad del portafolio es un promedio
ponderado de las desviaciones individuales de los activos. Pero a medida que la
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18
correlación se hace menor, la varianza de portafolio disminuye, hasta el punto en
que los activos, estando perfectamente correlacionados de forma negativa
)1( −=ρ , podrían formar un portafolio libre de riesgo21. El anterior análisis puede
extenderse a portafolios con un número mayor de activos riesgosos. Puede
demostrarse que la varianza de la rentabilidad de un portafolio de N activos en que
la proporción invertida en cada activo es igual y equivalente a N1
está dada por:
jkPP NN
Nσσσ 11 22 −+= , donde 2
jσ y jkσ son la varianza y covarianza promedio de
los activos del portafolio. Nótese que si jkPN σσ →⇒∞→ 2 ; lo que implica que
para un número grande de activos es la estructura de covarianzas entre los activos
la que determina la volatilidad del portafolio22. Este hecho justifica que se le de
suficiente atención a escoger eficientemente los activos del portafolio, de tal forma
que la correlación entre ellos sea la más adecuada.
1.4.2 DEBATES CON RESPECTO A LA MEDIDA DE RIESGO DE MARKOWITZ
21 Lo que no significa, como afirma Markowitz (1991), que en la práctica sea posible eliminar
completamente la volatilidad.
22 Se refiere a la afirmación de Markowitz sobre la relevancia del aporte marginal al riesgo (sec.
1.4)
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19
Se ha demostrado que es posible disminuir la volatilidad en la rentabilidad del
portafolio vía diversificación. Sin embargo, los inversionistas no necesariamente
están interesados en la volatilidad de los retornos, sino en el riesgo que les
representa tomar ciertas posiciones en los activos. El hecho de que el riesgo pueda
ser adecuadamente medido por la volatilidad es un tema de debate considerable23,
teniendo como primer defensor de la anterior tesis a Harry Markowitz. La intuición
detrás de la conveniencia de la utilización de una medida de volatilidad de los
retornos como indicador de riesgo está íntimamente ligada con la naturaleza de los
precios en el mercado. La eficiencia de los mercados implica que los precios de los
activos reflejan toda la información existente sobre los factores de riesgo a los que
están expuestos24. Dichos factores están valorados en el mercado de tal forma que
los inversionistas obtengan un justo retorno sobre sus activos. Sin embargo, la
rentabilidad de equilibrio de los activos cambia en el tiempo por la presencia de
riesgo sistemático, por la aparición de nueva información que cambia las
perspectivas de valoración de los inversionistas y por la ineficiencia de los
mercados, entre otros.
La disminución en el valor de mercado de sus inversiones representa una pérdida
para un inversionista que ha pagado por ellas un precio acorde con la rentabilidad
23 HOW MUCH risk are you taking?. En: Dow Theory Forecasts. Vol. 57, No. 7 (feb. 2001); p. 4.
24 FABOZZI, Op. cit., p. 250
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20
que esperaba. Así, la variación histórica en la rentabilidad de su portafolio es un
reflejo del riesgo al que se enfrenta. Aún aceptando esto, no es claro para algunos
que la volatilidad en estos indicadores sea una preocupación necesaria para los
inversionistas. Buffett25 asegura que siempre que el inversionista esté seguro de
no estar comprando una acción por un precio mayor al justo no debería temerle a
la volatilidad. El riesgo, dice, se origina de pagar demasiado por sus inversiones.
Pensar como Buffett sería tener una confianza superior en sí mismo, lo que es
prácticamente imposible para agentes de un mercado eficiente. Si fuera factible
reconocer a simple vista las acciones sobrevaloradas habría muchos agentes que lo
harían y su precio bajaría de forma casi instantánea. Otros piensan que un
inversionista que planee mantener su portafolio por un tiempo suficientemente
prolongado tampoco debería preocuparse mucho por la volatilidad del mismo, pues
en el largo plazo disminuye la probabilidad de que el retorno de su portafolio caiga
por debajo del retorno requerido. Si ciegamente creemos en este argumento, dice
Rubinstein26, estaríamos en el mismo error de otros autores que cayeron seducidos
por la ley de los grandes números de Jacob Bernoulli (1713). Con esto estaríamos
argumentando que en el largo plazo el retorno obtenido del portafolio está muy
cercano al retorno esperado y cualquier desviación alrededor de dicho retorno
necesariamente será eventualmente contrarrestada por un movimiento contrario.
25 Chairman de Berkshire Hathaway, citado en: How much risk are you taking?. Op. cit., p. 4.
26 RUBINSTEIN, Op. cit., p. 1042.
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21
El principio de reversión a la media es aquí un caso particular de la falacia del
jugador (gambler’s falacy), según la cual si una ruleta cae repetidamente en negro
es más probable que la siguiente vez caiga en rojo. Nada más falso en ese caso,
pero también en el movimiento accionario.
Si fuera posible concluir que un precio históricamente alto refleja la
sobrevaloración del activo y un precio bajo la subvaloración, el mercado actuaría al
respecto y dichos errores en la valoración se corregirían de inmediato. Sin
embargo, algunas acciones se convierten en una mejor inversión cuando su precio
cae, mientras para otras la caída en el precio responde a que el valor de la
compañía se está deteriorando27. Las razones por las que las acciones ganan o
pierden valor son inherentemente inciertas, por lo que el cambio en los precios y
en la rentabilidad son evidentemente un reflejo de la incertidumbre generada por
el riesgo de los activos.
Por esto, el movimiento de los precios de las acciones usualmente se ha modelado
como un proceso de Markov. Este es un tipo particular de proceso estocástico,
donde, según Hull, “Únicamente el valor actual de la variable es relevante para
predecir el futuro. El pasado histrórico de la variable y el camino por donde el
27 HOW MUCH risk are you taking?, Op. cit., p. 4.
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22
presente ha surgido son irrelevantes”28. Hull aclara que el énfasis se hace en que
se ha demostrado que el sendero particular por el que la acción llega a
determinado precio no es importante, pero que la volatilidad con la que esto ha
ocurrido se toma como una información estadística para hacer predicciones.
En particular, es común aceptar que el precio de las acciones puede ser modelado
como un Movimiento Browniano Geométrico, tal que si S es el precio actual de la
ación, µ es el retorno esperado por unidad de tiempo y σ la volatilidad del precio,
entonces:
ttSS ∆∈+∆=∆ σµ 29
Donde ∈∈ es un ensayo aleatorio de una distribución normal estándar. Nótese que
en el modelaje del comportamiento de la rentabilidad se utiliza el factor de
volatilidad σ como parte del componente aleatorio. Entonces, no se puede
argumentar que la volatilidad sólo importa en el muy corto plazo porque ella
determina la caminata aleatoria que sigan los precios desde el comienzo de la serie
temporal.
28 HULL, John C. Options, Futures and Other Derivatives. 4th ed. New Jersey: Prentice Hall, 2000. p.
218.
29 Ibid., p. 226.
II-02(2)69
23
Otro punto a considerar con relación a la caracterización del riesgo es si la varianza
como medida de volatilidad define al riesgo completamente. Hemos visto que los
retornos son aleatorios y es posible construir una función de probabilidad que los
modele, pero no siempre son suficientes los parámetros µµ y σσ para determinar
completamente su distribución. Algunas distribuciones necesitan parámetros tanto
de escala como de forma, como es el caso de las distribuciones Gamma o Beta. De
otro lado, el riesgo tiene naturaleza asimétrica con respecto a la volatilidad, en el
sentido en que los inversionistas en la práctica consideran perjudicial una
rentabilidad inferior a la esperada, pero no una superior30. Por esto si los retornos
se distribuyen asimétricamente la varianza, considerada individualmente,
proporcionaría una información dudosa o incompleta sobre el riesgo. Habría
entonces que tener en cuenta momentos de órdenes superiores como el sesgo y la
kurtosis. Pero si los retornos resultan simétricos, se sigue que la parte de la
volatilidad en la que el inversionista está interesado es un múltiplo de la varianza,
entonces es válido utilizar la varianza pura como medida de riesgo. El problema
anterior usualmente se ha resuelto considerando que los retornos de los activos
son normales y por lo tanto el retorno de un portafolio compuesto por ellos
también los es. Aún si no lo son individualmente, se ve en la práctica que los
30 Por esta consideración se ha propuesto el uso de la semi-varianza en lugar de la varianza (ver
sec. 2.1.3)
II-02(2)69
24
retornos de portafolios bien diversificados exhiben un comportamiento
aproximadamente normal.
Adicionalmente hemos argumentado, al exponer la teoría de la utilidad, que los
inversionistas no estarían interesados en considerar directamente los valores
obtenidos de sus inversiones, sino la utilidad de dichos resultados. Esto llevaría a la
necesidad de transformar la función de probabilidad a ser considerada, pudiendo
resultar en una estructura no simétrica y con parámetros bastante distintos a los
del retorno puro. Se puede demostrar que si la función de utilidad es cuadrática
entonces el análisis de media y varianza es óptimo31. Sin embargo, para delinear la
frontera eficiente es suficiente con realizar un correcto ordenamiento de las
opciones, para lo que basta con considerar que el decisor sea averso al riesgo. Así,
es posible afirmar que él prefiere menos a más varianza y que prefiere más a
menos retorno esperado, como dijimos antes, y de esta manera el ordenamiento
de opciones de composición de portafolio resulta siendo correcto.
Con respecto a estos temas, en el presente proyecto se considerará que el decisor
será averso al riesgo y que los retornos de los portafolios se distribuyen
normalmente. En algunos casos se harán las pruebas pertinentes para validar
31 ELTON, Op. cit., p. 220.
II-02(2)69
25
dichas hipótesis y de todas maneras estas consideraciones serán tenidas en cuenta
en el análisis de resultados.
Finalmente, se utilizará medidas de riesgo basadas en la volatilidad de los
retornos, no sin antes advertir que la controversia acerca de su perfecta
conveniencia sigue en curso. Por ahora nos basta con reconocer que hay muy
buenas razones para pensar que la volatilidad y el riesgo están en efecto
relacionados. Como Peter Bernstein32 lo expresa, “La volatilidad de los precios de
acciones y bonos es evidencia de la frecuencia con que lo esperado no ocurre y los
inversionistas resultan estar equivocados. La volatilidad es un sustituto de la
incertidumbre”.
32 BERNSTEIN, Peter. Against the Gods. 1996. citado en HOW MUCH RISK are you taking? Op. cit.,
p. 4.
II-02(2)69
26
2 FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE LA OPTIMIZACIÓN DE
PORTAFOLIOS
Los métodos de optimización de portafolios buscan utilizar las técnicas disponibles
en el campo de la optimización con el fin de lograr su mejor composición. Es decir,
intentan encontrar el porcentaje óptimo a ser invertido en cada uno de los activos
entre un conjunto de inversiones posibles de tal manera que la composición final
sea la más favorable en términos de eficiencia. Veremos que finalmente lo que se
obtiene es un conjunto de portafolios que delinean la frontera eficiente.
Se ha observado que la diversificación reduce el riesgo residual. Una de las formas
por medio de las cuales se podría reducir dicho riesgo sería asegurar que se
tomaran posiciones en una cantidad considerable de activos y que por lo tanto el
portafolio esté diversificado, pero una aproximación más formal al problema exige
que se utilicen otros métodos. Zenios33 dice que una forma sistemática de tratar al
riesgo residual es considerar que puede ser correctamente representado por una
función de únicamente la media y la varianza de los retornos. Supongamos que las
preferencias del inversionista pueden ser representadas por una función de utilidad
sobre la media y la varianza de los retornos que favorezca a portafolios con mayor
33 ZENIOS et al., Op. cit., p 27.
II-02(2)69
27
retorno y menor varianza. Los portafolios óptimos para ese inversionista son
aquellos que alcanzan el mayor retorno esperado a un nivel de varianza y el menor
nivel de varianza a un retorno dado.
El modelo de optimización de portafolios en su forma más general es:
],1[ ,0
1'
'
.
Nix
ex
x
st
R(x)min
i
p
∈∀≥=
= µµ
],1[ ,0
1'
.
'
Nix
ex
R(x)
st
xmax
i
p
∈∀≥=
= σ
µ
Donde R(x) es una medida de riesgo del portafolio, x es el vector de pesos de cada
uno de los activos considerados dentro del portafolio, µ es el vector de retornos
esperados, e es un vector de unos, µp es el retorno mínimo requerido en el
portafolio y σp es el riego máximo aceptado para el portafolio.
2.1 MEDIDAS DE RIESGO
En la formulación anterior se ha presentado una medida arbitraria de riesgo R(x).
En realidad las formulaciones del problema que se han desarrollado utilizan
medidas distintas de riesgo, dependiendo de las cuales la solución del problema
tendrá características particulares.
2.1.1 MEDIDA ORIGINAL DE MARKOWITZ
II-02(2)69
28
En su disertación inicial, Markowitz (1952) utilizó la varianza de los retornos como
medida de riesgo. Si V es la matriz de covarianzas de los retornos, la varianza se
puede expresar así:
VxxxR ')( =
Aunque muy útil desde el punto de vista académico, esta medida original de riesgo
presenta diversas complicaciones. Para cuando Markowitz expandió su disertación
en el libro “Portfolio Selection”, él mismo se había dado cuenta que había un gran
obstáculo para implementar su tesis: la creación de un portafolio eficiente de un
número grande de activos requería un número enorme de cálculos34. La
complejidad del problema se debía principalmente a la necesidad de calcular la
matriz de covarianzas de los retornos y de utilizar algoritmos de optimización no
lineal, que en general requieren un número mayor de operaciones35. Otras
medidas probaron ser más eficientes y convenientes en la práctica.
2.1.2 DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIA
34 MARKOWITZ DEMONSTRATED the importance of diversification. Op. cit., p. 2.
35 Los algoritmos no lineales, como el método Lagrangiano, también pueden llegar a soluciones no
óptimas.
II-02(2)69
29
Varios investigadores, incluidos Konno y Yamazaki (1991)36 propusieron sustituir la
desviación cuadrática de la media por la desviación absoluta. La medida de riesgo
propuesta por ellos es:
∑ ∑ −=j
iiiij xr
TxR )(
1)( µ
Donde rij es la rentabilidad del activo i en el período j, µi es la rentabilidad
esperada del activo i, y T es el número de períodos. La principal ventaja de esta
medida de riesgo es la solución del problema de la no-linealidad de la función
objetivo. Los autores proponen la adición de dos restricciones lineales por período
y la transformación de la función objetivo de esta manera:
∑∑
∑
−≥
−−≥
iiiijj
iiiijj
jj
xry
xry
st
yT
min
)(
)(
.
1
µ
µ
Donde yj son variables auxiliares que se utilizan para formular la función de valor
absoluto original. La anterior formulación implica la no-lineal de la desviación
absoluta de la media, y tiene las ventajas derivadas de la linealidad del programa.
Esto significa que no es necesario calcular la matriz de covarianzas y el número de
variables positivas es menor o igual al número de restricciones. Esta es una
36 KONNO, H y YAMAZAKI, H. Mean-absolute deviation portfolio optimization and its applications to
Tokio stock market. En: Management Science. Vol. 37, No. 5.
II-02(2)69
30
característica importante, ya que facilita la labor de conformación del portafolio por
parte de los administradores, quienes prefieren limitar el número de activos a
invertir para facilitar el manejo de sus portafolios. Las desventajas de esta
formulación tienen que ver con el aumento en el número de variables del problema
y la alta sensibilidad de los resultados ante un cambio en el número de períodos
que se consideren para los datos.
2.1.3 SEMI VARIANZA
Considerando que los inversionistas están más interesados en medir la variación
negativa de la rentabilidad con respecto a la media, Markowitz, entre otros,
sugiere que se utilice la semi varianza, definida como:
∑ ∑ −=j i
iiji xrmaxT
xR ]0,)([1
)( µ
Una formulación similar a la anterior la encontramos en el trabajo de Lucas (1998),
quien abre la posibilidad para que el inversionista sugiera un nivel de rentabilidad
de desastre d*, y la medida de riesgo está definida debajo de dicho nivel:
∑ ∑ −=j i
iij xrdmaxT
xR ]0,)*([1
)(
II-02(2)69
31
Desgraciadamente la semi varianza puede tener características indeseables bajo
ciertas circunstancias37, entre las que se cuentan las dificultades computacionales.
Además, siempre que la distribución de probabilidad de los retornos sea simétrica
no hay razón para utilizar una medida que distinga entre los cambios por encima o
por debajo de la media, como antes señalábamos.
El concepto de nivel de desastre si tuvo un impacto importante sobre el tema de la
optimización de portafolios. Mientras Markowitz dejaba al inversionista la decisión
de escoger dónde se quería ubicar a lo largo de la frontera eficiente, Roy (1952)
sugería que el inversionista escogiera un único portafolio sobre la frontera eficiente
que maximizara 2*)( pp d σµ − . Unos años después, comparando el artículo de Roy
con es suyo, Markowitz dijo “Con base en Markowitz (1952), yo soy
frecuentemente llamado el padre de la teoría moderna de portafolio, pero Roy
puede reclamar una parte equivalente en ese honor”38.
2.1.4 OTRAS MEDIDAS DE RIESGO
37 OGRYCZAC Y RUSZCZYNSKY, citado en MULVEY, John M. Introduction to financial optimization:
Mathematical Programming Special Issue. En: Springer – Verlag. (dic. 2000); p. 207
38 MARKOWITZ, Harry. The Early history of portfolio theory: 1600-1960. Financial Analysts Journal.
No. 55 (1999); p. 5-16. Citado por: RUBINSTEIN, Op. cit., p. 1043.
II-02(2)69
32
Otras medidas de riesgo fueron sugeridas por Markowitz y otros, como el valor
esperado de la pérdida, la probabilidad de pérdida y la pérdida máxima. Markowitz
sugiere también que se utilice la estrategia de maximización del valor esperado
logarítmico del retorno39. También se han realizado trabajos importantes alrededor
de la utilización del valor en riesgo condicional (cVaR), definido por
]''[ α≤= xrxrEcVaR . Se puede demostrar que la siguiente formulación maximiza
el cVaR:
0
'
.
≥
−≥
+− ∑
j
jj
j jj
z
xrz
st
zpmin
α
βα
Donde βαβαα
≥≤≡= ' tq')( xrpminVaR , y β es el nivel de confianza40. Las
variables zj se utilizan para implicar (α-rj’)+ y pj es la probabilidad de obtener el
valor rj. Aún cuando la formulación de riesgo a través del cVaR tiene las ventajas
que se derivan de la linealidad, Mulvey41 advierte que la medida del VaR puede
llevar a programas no convexos debido a la naturaleza del cálculo de los cuantiles.
2.2 FORMULACIONES
39 RUBINSTEIN, Op. Cit., p. 1043.
40 Hull (1999) define el VaR intuitivamente como: Estamos (1-β) confiados en que no vamos a
perder más de α dólares en los próximos N días.
II-02(2)69
33
Así como se han desarrollado programas con medidas de riesgo diversas, también
se han considerado formulaciones distintas a la presentada como formulación
general.
2.2.1 MINIMIZACIÓN DE VARIANZA
Se pueden identificar varias formulaciones de minimización de varianza, sujeto a
restricciones de retorno mínimo esperado.
El modelo más simple está dado por:
1'
'
'
=
=
ex
x
st
Vxxmin
pµµ
Zenios42 señala que el modelo anterior puede ser resuelto analíticamente usando
las condiciones de optimalidad de primer orden para dar un portafolio óptimo así:
µω 11 ''* −− +Φ= VeVx
Donde e es un vector de unos, µ es el vector de retornos esperados, Φ y ω son
los multiplicadores de Lagrange asociados con las restricciones.
41 MULVEY, Op. cit., p. 208.
42 ZENIOS, Op. cit., p. 28.
II-02(2)69
34
2.2.2 MAXIMIZACIÓN DEL RETORNO ESPERADO
Fernando43 presenta la formulación básica de maximización del retorno esperado
sujeto a una restricción de máxima varianza aceptada así (se omitirán ahora la
restricción x’e=1):
pVxx
st
xmax
σ
µ
='
'
Sin embargo, Zenios44 señala que la anterior formulación resulta en una restricción
no lineal que presenta complicaciones en la solución del problema y por esta razón
sugiere la utilización del siguiente modelo, que ha sido usado ampliamente en la
práctica:
xVxxmin '' λµ−
El parámetro λ es utilizado como un componente de compromiso entre varianza y
retorno esperado. Es, finalmente, un coeficiente que muestra la actitud ante el
riesgo por parte del inversionista, razón por la cual Fernando presenta el modelo
anterior como “Maximización del retorno esperado con aversión al riesgo”45 y
43 FERNANDO, K V. Practical Portfolio Optimization. NAG Ltd. p. 6.
44 ZENIOS, Op. cit., p. 29.
45 FERNANDO, Op. cit. p. 6.
II-02(2)69
35
frecuentemente es fijado de acuerdo con la tolerancia al riesgo, de acuerdo con el
CAPM46.
2.2.3 OTRAS FORMULACIONES
Existen también otras formulaciones que han probado tener mayor eficiencia y
mejor desempeño computacional. Por ejemplo, la minimización de la varianza
sujeto a restricciones lineales47 y la maximización del retorno sujeta a restricciones
lineales. Otro caso bastante aplicado es la optimización con respecto a un índice de
referencia, que puede ser formulado así:
pb
bb
xx
st
xxVxxmin
µµ =−
−−
)('
.
)()'(
Donde xb denota la composición del portafolio de referencia o índice. En otras
ocasiones se hace énfasis en medir variación de los retornos del portafolio con
respecto a un punto de referencia, en lugar de considerar la variación total de la
rentabilidad del portafolio.
Otra formulación para el problema parte del resultado según el cual cuando se
permiten los préstamos libres de riesgo todos los inversionistas tendrán
46 En el modelo de Black y Litterman se utiliza 2)( mfm rr σλ −= (sec. 3.1).
47 Como restricciones lineales nos referimos a restricciones diferentes a retorno mínimo requerido.
II-02(2)69
36
combinaciones entre activos libres de riesgo y un único portafolio. Así, existe una
línea que une al activo con el portafolio sobre el plano de rentabilidad vs. riesgo y
el mejor portafolio será aquel que maximice su pendiente48. La formulación se
puede expresar así:
p
fp RRmax
σ−
Donde Rp es la rentabilidad del portafolio, Rf la tasa libre de riesgo y σp la varianza
del portafolio. El anterior es un problema simple de maximización no lineal que
puede ser resuelto por métodos analíticos49. Presenta en general los mismos
inconvenientes y características del problema clásico de minimización de varianza.
2.3 RESTRICCIONES
Una de las mayores ventajas de utilizar una formulación lineal es la facilidad para
formular restricciones que satisfagan las necesidades particulares de los
inversionistas. Por ejemplo, se puede controlar el riesgo de sector agrupando los
activos y estableciendo un límite bs para la exposición a cada uno de los sectores.
Supongamos que las compañías uno al nueve son del sector de
48 ELTON, Op. Cit., p. 88.
49 Ibid., p. 98.
II-02(2)69
37
telecomunicaciones. Si el inversionista no quiere tener una exposición al sector
mayor al veinte por ciento de su portafolio, puede agregar la siguiente restricción:
2.0... 921 ≤++ xxx
Si se quisiera restringir el excesivo rebalanceo del portafolio se podrían agregar
restricciones de la forma hxxh ≤),( 0 , donde x0 es la composición actual del
portafolio y se quiere que el cambio en la composición esté limitada por h . La
función ),( 0xxh puede construirse de tal forma que penalice la recomposición del
portafolio según el gusto del inversionista y los costos de transacción.
Otras restricciones adicionales se pueden agregar para eliminar las pequeñas
transacciones. Se busca que los instrumentos no sean transados o se transen en
un rango especificado de cantidad. Este tipo de restricciones se pueden expresar
utilizando variables enteras de la siguiente forma:
1,0,
0
0
∈≤−≤
≤−≤
zy
zlxxzl
yuxxyu
iiiiii
iiiiii
Con esta formulación se asegura que bien se aumente el porcentaje en el activo i
en un valor contenido en ( )ii uu , , o que se disminuya el porcentaje en un valor
contenido en ( )ii ll , . Las anteriores restricciones son las más comúnmente
utilizadas, pero el campo está abierto para que otro tipo de restricciones lineales
se puedan agregar sin agregar dificultad especial.
II-02(2)69
38
2.4 CRÍTICA A LOS MODELOS DE MEDIA Y VARIANZA (MV) PARA LA
OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS
Los modelos de optimización basados en la media y la varianza, como fueron
inicialmente propuestos, han sido fuertemente criticados y no son muy utilizados
en la práctica. Michard50 hace un intento por desglosar las razones por las que esto
ocurre. Aparentemente existen razones simples para no utilizar los métodos de
MV, como las demandas conceptuales que estos modelos imponen a los
administradores de portafolios y los cambios significativos que requerirían ciertas
organizaciones para implementarlos. Una herramienta como ésta puede alterar la
credibilidad y jerarquía de los comités de inversión, y en algunos casos sus
resultados serán contraintuitivos para sus miembros. Sin embargo, si los
optimizadores fueran una herramienta efectiva de agregación de valor
eventualmente romperían con los esquemas necesarios y serían incorporados en la
organización. ¿Entonces, por qué son rechazados?
Michard piensa que hay otras limitaciones inherentes a los optimizadores de MV:
50 MICHARD, Richard O. The Markowitz Optimization Enigma: Is ‘Optimized’ Optimal? En: Financial
Analysis Journal. (Ene-Feb 1989); p. 31-40
II-02(2)69
39
Maximización del error. Los optimizadores MV son maximizadores del error en las
estimaciones. Una consecuencia práctica de este hecho es que cualquier error en
las características estadísticas de los portafolios óptimos genera comportamientos
sesgados en dichos portafolios.
Buenos y malos estimadores. Se argumenta que el procedimiento de estimación
usual, donde se reemplazan los retornos esperados por la media de los retornos,
generalmente no es óptimo. Intuitivamente, las medias muestrales no son óptimas
porque ignoran el carácter multivariado de los retornos51, por lo que podrían ser
mejores otras técnicas estadísticas para predecir los retornos esperados futuros.
Factores faltantes. La optimización MV ignora la existencia de factores financieros
relevantes. Por ejemplo, la liquidez o el porcentaje de capitalización de mercado de
determinada compañía en el portafolio. Si este porcentaje es suficientemente alto,
el precio es altamente sensible a cambios en la composición del portafolio, lo que
generalmente no es tenido en cuenta.
Niveles de información desigual. Para los modelos de optimización todos los datos
de entrada son considerados igualmente confiables. En la práctica si existen
51 Es ese carácter multivariado al que apunta la teoría de APT para el modelaje de las
rentabilidades (Ver sec. 1.3)
II-02(2)69
40
niveles distintos de incertidumbre sobre los datos del problema, lo que lleva a que
por ejemplo, en unos casos una misma diferencia entre medias sea
estadísticamente significativa y en otros no.
Soluciones óptimas inestables. En algunas situaciones un cambio relativamente
pequeño en los datos de entrada ocasiona grandes disturbios en la solución
óptima. Una de las razones para este comportamiento, como se ha dicho
anteriormente, es la necesidad que tienen los métodos MV de construir una matriz
de covarianzas que fácilmente resulta siendo errónea.
No-singularidad. Los optimizadores producen generalmente una única solución
óptima para cada nivel de riesgo. Esa singularidad es sin embargo aparente y
ambigua, pues no toma en cuenta la existencia de errores estadísticos en las
estimaciones. Entonces, para cada portafolio resultante de la optimización existe
un conjunto infinito de puntos vecinos a éste que son estadísticamente
equivalentes.
Aunque no todos los interrogantes alrededor de los temas anteriores han sido
resueltos, los investigadores se han enfrentado decididamente a algunos de los
problemas expuestos. En el siguiente capítulo se expondrá con detalle un modelo
reciente que resuelve algunos de los inconvenientes de los modelos MV y que
además de ser ampliamente utilizado, promete ser un tema interesante de
II-02(2)69
41
discusión en virtud del tratamiento que le da al conocimiento del mercado por
parte de inversionistas expertos.
II-02(2)69
42
3 EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN PARA LA COMPOSICIÓN DE PORTAFOLIOS
GLOBALES
Como se ha señalado, la formulación original de Markowitz del problema de la
composición del portafolio óptimo fue de gran utilidad, en especial desde un punto
de vista académico. He y Litterman52 opinan que habiendo formado los
fundamentos de la teoría de portafolios y prevalecido por cerca de medio siglo
desde su formulación, el modelo de Markowitz ha cumplido su cometido en el
mundo académico. Pero agregan que en el mundo de la administración de
inversión dicha aproximación tiene un impacto sorpresivamente pequeño. ¿Por qué
razón se ha dado este fenómeno?
Primero, los inversionistas53 tienden a pensar en segmentos reducidos del universo
potencial de inversiones, tomando posiciones en algunos activos en los que ellos
creen que vale la pena arriesgarse porque piensan que podrían estar subvaluados,
tener tendencia al alza o ser especialmente valiosos. Pero de una forma poco
realista, dice He, el modelo MV requiere que se especifiquen los retornos
52 HE, Guangliang y LITTERMAN, Robert. The Intuition Behind the Black-Litterman Model Portfolios.
Goldman, Sachs & Co., Investment Management Research, 1999. p. 2
53 Se hablará indistintamente de inversionistas y administradores de portafolios de inversión como
los agentes decisores en el proceso de conformación de portafolios.
II-02(2)69
43
esperados exactos para cada uno de los activos del universo de inversión.
Segundo, los inversionistas piensan más en términos de los pesos que cada tipo de
activo tiene en sus portafolios que en el balance particular de retorno esperado y
varianza que dicho portafolio contenga. En efecto, los resultados obtenidos por los
optimizadores tradicionales aparecen muy eficientes desde el punto de vista de la
media y la varianza del portafolio, pero los pesos de cada activo dentro del mismo
tienden a aparecer “Extremos y no particularmente intuitivos”54. Cuando no se
imponen restricciones casi siempre se obtienen posiciones exageradamente largas
o cortas55. Si se agregan constantes que impiden tomar posiciones cortas en los
activos, se obtienen posiciones de frontera con pesos iguales a cero en muchos
activos y pesos irracionalmente altos en otros activos con bajas capitalizaciones en
el mercado56.
Estos resultados contraintuitivos e irracionales se derivan, dice Black, de dos
problemas bastante reconocidos. Primero, los retornos esperados son muy difíciles
de calcular, pues los inversionistas tienen información confiable acerca de la
54 Ibid., p. 3
55 Se utilizan los términos “posición larga” y “posición corta” para denotar la posición de estar
vendiendo o comprando un activo particular (siguiendo el término inglés short position y long
position).
56 BLACK, Fischer y LITTERMAN, Robert. Global Portfolio Optimization. En: Financial Analists
Journal. (sept-oct 1992) p. 28
II-02(2)69
44
rentabilidad de muy pocos activos. En el modelo tradicional se propone utilizar la
información histórica de los retornos como única fuente para construir los retornos
esperados de cada uno de los componentes del conjunto de inversiones posibles, y
sin embargo las rentabilidades históricas constituyen una guía muy pobre para los
retornos esperados futuros. Un segundo problema bastante documentado es la
altísima sensibilidad de los pesos obtenidos con respecto a los datos de entrada57.
He58 demuestra el comportamiento inestable de los pesos del portafolio usando
optimizadores MV y afirma que un pequeño cambio en los retornos esperados de
unos pocos activos causa un cambio sustancial en sus porcentajes dentro del
portafolio óptimo. Para los administradores de portafolios de inversión esta es una
característica indeseable, porque la escogencia de la periodicidad de los datos
históricos y el horizonte de tiempo a considerar se convierte en una decisión
fundamental y altamente subjetiva. Los resultados de la optimización al tomar una
semana más o una semana menos de datos pueden ser composiciones bastante
distintas entre sí. El problema se agudiza al darse cuenta que después de
componer el portafolio aparece nueva información de precios que sugiere una
distribución de los recursos a través de los activos que es radicalmente diferente a
la obtenida en un principio.
57 IDZOREK, Thomas. A Step-By-Step Guide to the Black-Litterman Model. (feb. 2002) p. 1
58 HE, Op. cit., p. 3
II-02(2)69
45
La presencia de estos inconvenientes motivaron a Fisher Black y Robert Litterman
de Goldman Sacks a desarrollar una nueva aproximación a la composición de
portafolios de activos. La clave, dicen, es “Combinar dos pilares de la teoría
moderna de portafolios- el modelo de optimización MV de Markowitz y el modelo
CAPM de Sharpe y Lintner”59. Intuitivamente, el modelo propuesto por ellos
combina la propuesta de un punto de referencia neutral que refleja el equilibrio del
mercado con la incorporación de las visiones de los inversionistas de una manera
conveniente, de tal forma que se parte de resultados inicialmente coherentes con
el mercado para llegar a otros satisfactorios para los inversionistas. Los elementos
y herramientas mediante los cuales se llega a estos resultados serán expuestos
adelante.
Por otro lado, dentro de la comunidad de inversionistas ha crecido la preocupación
sobre el dilema entre optar por una administración activa o pasiva de sus
portafolios. Para ellos no es claro si es mejor confiar su capital a fondos en que los
administradores toman un papel activo en la recomposición de los portafolios o
ubicarlo en fondos de administración pasiva. El hecho es que los inversionistas
están cada vez más orientados hacia un esquema de inversión pasiva, en el que
los administradores desarrollan estrategias para escoger posiciones estratégicas a
59 BLACK, Op. cit., p. 28
II-02(2)69
46
largo plazo y componen fondos índice60. Esta tendencia está sustentada por la
desconfianza en el comportamiento de los fondos activos, de los cuales sólo el
30% ha podido superar al índice del mercado61. Algunas de las razones claves por
las que se ha dificultado que los fondos de administración activa puedan superar al
índice son la exigencia de conservar un porcentaje efectivo permanentemente y la
incapacidad práctica para invertir en el índice de referencia. El hecho de que los
fondos de inversión tengan la obligación legal de conservar una porción de su
capital en efectivo, usualmente relacionado con su valor en riesgo (VaR), hace que
su capacidad para obtener una rentabilidad superior se vea limitada. Por otro lado,
los administradores argumentan que algunas compañías del índice de mercado
tienen un porcentaje tan alto de la capitalización, que el índice en sí mismo es
imposible de poseer. La realidad es que aunque lo anterior puede ser influyente,
no explica en su totalidad la incapacidad de los fondos administrados por
inversionistas expertos para superar al mercado.
60 Como fondos índice nos referimos a portafolios construidos con la finalidad de asemejarse por
medio de un número limitado de posiciones, al comportamiento de un índice que se toma como
punto de referencia (benchmark index).
61 URBANI, Peter. A compromise of active and passive management. En: Bussines Day. (jul 9
2002), publicado en línea en: http://www.netassets.com p. 1
II-02(2)69
47
Dice Urbani62 que el modelo Black-Litterman puede crear un compromiso clave
entre la administración pasiva y la administración activa de portafolios. Se
diferencia de la filosofía de administración pasiva en que cambia la premisa de “el
mercado siempre está correcto” por “el mercado está casi siempre correcto”, en
cuyo caso el inversionista toma un papel activo en la escogencia de posiciones en
los activos en los que piensa que el mercado se equivoca. Entonces el inversionista
intenta tomar las posiciones de equilibrio del mercado distorsionadas
cuidadosamente por sus visiones específicas sobre el comportamiento futuro de
algunos o todos los activos en consideración.
Resumiendo, en palabras de Izdorek, “El objetivo del modelo de Black-Litterman es
crear portafolios estables y eficientes en media y varianza, basado en las opiniones
únicas de un inversionista, que resuelve el problema de la sensibilidad a los datos
de entrada (...), [y que] también mitiga considerablemente el problema de la
maximización del error de estimación difuminando los errores a lo largo del vector
de retornos esperados”63.
3.1 RENTABILIDADES DE EQUILIBRIO
62 Ibid., p. 2
63 IDZOREK, Op. cit., p. 1
II-02(2)69
48
Un punto de partida fundamental del modelo son las rentabilidades de equilibrio.
Explícitamente Black y Litterman64 definen el equilibrio como la “Condición en la
que las medias equilibran la demanda por activos con la oferta correspondiente” y
proponen partir de la versión global del CAPM propuesta Black para crear un
escenario neutral inicial. Las primas de riesgo de equilibrio proporcionan entonces
un centro de gravedad para las rentabilidades esperadas.
El uso del equilibrio, dicen, permite que los inversionistas puedan expresar sus
visiones sobre el mercado de una forma mucho más poderosa que utilizando otras
aproximaciones. Por ejemplo, He65 observa que al expresar visiones del mercado
en un esquema de optimización tradicional mediante la variación deliberada de las
rentabilidades esperadas, los resultados se distorsionan de una forma importante.
Black y Litterman, por su parte, justifican su escogencia del punto de partida para
las rentabilidades esperadas iniciales por contraste con otras más “ingenuas”. Por
ejemplo utilizar los promedios históricos como punto de partida es equivalente a
partir de lo inicialmente establecido en los modelos MV, con sus problemas ya
expuestos. Además, considerar las rentabilidades de exceso66 pasadas es
64 BLACK, Op. cit., p. 29
65 HE, Op. cit., p. 3
66 Se utiliza el término “rentabilidades de exceso” (excess returns) por considerar la rentabilidad
alrededor de un punto de referencia (benchmark).
II-02(2)69
49
equivalente a suponer que el portafolio de pesos constantes que hubiera tenido
un buen desempeño es de alguna forma neutral. Esto no es correcto, ya que dicho
portafolio sólo es uno formado por posiciones largas en los activos que tuvieron
mejores resultados y posiciones cortas en los que tuvieron los peores durante un
período específico de tiempo; la arbitrariedad de la escogencia de tal período le
resta toda su neutralidad.
Otra opción es utilizar inicialmente medias iguales para las rentabilidades de todos
los activos. El problema que se presenta aquí es obvio: retornos esperados iguales
no guardan ninguna relación con el riesgo particular de cada activo. Por lo tanto
algunos resultarán sobrevalorados por su retorno esperado, y otros subvalorados
por el mismo, lo que lleva naturalmente a portafolios con pesos iniciales extremos.
Para tener en cuenta la volatilidad se podría pensar en utilizar medias iguales
ajustadas por riesgo, es decir, rentabilidades en cada activo que correspondan a
un factor de rentabilidad por unidad de riesgo multiplicado por la volatilidad. Aquí
se toma en cuenta la variabilidad de cada activo, pero se ignora por completo la
estructura de covarianzas entre ellos, lo que lleva nuevamente a distorsiones en
los pesos iniciales.
Todas las propuestas anteriores presentan además un problema crítico, aunque un
poco más sutil. Estas formulaciones están basadas exclusivamente en la demanda
por activos, es decir, en sólo un lado de la ecuación del mercado. Si todos los
II-02(2)69
50
inversionistas parten de dichos supuestos se hace imposible que ellos puedan
tomar las posiciones que quisieran, pues no existiría suficiente oferta para la
demanda agregada por activos que ellos conformarían. Las rentabilidades
construirían entonces una estructura inestable67 de precios para los factores de
riesgo, que no reflejaría el equilibrio del mercado. Por esto, dicen Black y
Litterman: “Para nosotros, la única definición aceptable de medias neutrales es un
conjunto de rentabilidades esperadas que ‘limpiarían el mercado’ si todos los
inversionistas tuvieran visiones idénticas”68.
Dice Idzorek que existen dos formas de calcular el vector de retornos esperados de
equilibrio: por medio de la utilización de CAPM o de optimización reversa. Dicho
vector Π está dado por:
w∑=∏ δ
Donde w es el vector de pesos de capitalización de mercado; Σ es la matriz de
covarianzas de los retornos y δ es el coeficiente de aversión al riesgo69. Idzorek70
67 La estructura es inestable en el sentido en que, si todos los inversionistas actuaran de acuerdo
con ella, el mecanismo de precios (en este caso de rentabilidades) se ajustaría hacia lograr el
equilibrio. Es equivalente a afirmar que se parte de una valoración incorrecta de los factores de
riesgo.
68 BLACK, Op. cit, p. 32
69 Se denomina coeficiente de aversión al riesgo por el tipo de función objetivo del modelo base,
que en este caso es www ∑− '' δµ .
II-02(2)69
51
señala que el parámetro δ representa la tolerancia global promedio al riesgo y
usualmente se calcula como 2)( mfm rr σδ −= . De acuerdo con la formulación del
CAPM este coeficiente resulta ser el precio del riesgo en el mercado para todos los
portafolios eficientes71 y por tanto el vector Π de retornos esperados en los activos
del portafolio se calcula como la cantidad de riesgo multiplicada por su precio. Si el
portafolio está suficientemente diversificado con respecto al mercado sobre el cual
se calculan los retornos esperados del CAPM, el resultado de la fórmula anterior
resulta muy parecido al retorno esperado obtenido de valorar el riesgo utilizando el
CAPM directamente72. He73 dice que una ventaja muy importante de la utilización
de estos retornos como neutrales es que da como resultado los pesos de
capitalización del mercado cuando se aplica un modelo de optimización MV74. Así,
el punto de partida cumple con ser estable e intuitivamente correcto.
70 IDZOREK, Op. cit., p. 15
71 ELTON, Op. cit., p. 298
72 IDZOREK, Op. Cit., p. 1
73 HE, Op, cit., p. 4
74 He afirma que en ausencia de restricciones, los pesos del portafolio óptimo están dados por
( ) µδ 1* −Σ=w . Si se utiliza wΣ=Π= δµ entonces los pesos óptimos serán
( ) www =ΣΣ= − δδ 1* , es decir, los pesos de capitalización del mercado.
II-02(2)69
52
Por si solo el concepto de equilibrio es interesante, aunque no es especialmente
útil. Su valor real está en que constituye un punto de partida neutral para que el
inversionista ajuste la composición del portafolio de acuerdo con sus opiniones
particulares con respecto al mercado.
3.2 OPINIONES DEL INVERSIONISTA
Los inversionistas esperan que el modelo que utilicen para construir sus portafolios
les permita tomar más riesgo en las posiciones en las que creen que el mercado
puede estar equivocado. Dicho de otra manera, las rentabilidades de equilibrio
proporcionan la información pública disponible en el mercado y ahora los
inversionistas quisieran agregar sus propias visiones al respecto.
Existen distintas formas como los inversionistas podrían incorporar sus opiniones
sobre el comportamiento futuro de los activos en la composición de sus
portafolios. Como hemos dicho anteriormente, si se intentara simplemente cambiar
los retornos esperados correspondientes a los activos sobre los cuales se tiene una
opinión particular y se aplicara un modelo MV, se obtendrían resultados
radicalmente diferentes y no necesariamente coherentes con la visión que se
quería expresar. Esto ocurre porque la estructura de covarianzas forzaría el cambio
en el porcentaje de otros activos del portafolio. Las ventajas derivadas de la
utilización de este modelo se hacen evidentes cuando se observa que los
II-02(2)69
53
portafolios óptimos resultantes reflejan en realidad lo que el inversionista quiere
decir y se comportan bien75.
El modelo permite que el inversionista exprese opiniones con respecto a la
rentabilidad esperada de activos particulares y con respecto a la rentabilidad
relativa de unos con respecto a otros. Por ejemplo, el inversionista puede decir que
espera que cierto activo vaya a tener una rentabilidad de x por ciento; que a los
activos de cierto sector les vaya y por ciento mejor que a los de otro sector; o que
un activo supere a todos los demás por z por ciento. No es necesario, desde luego,
que el inversionista tenga opiniones sobre todos los activos y puede tener
opiniones que involucren a un activo en más de una ocasión. Adicionalmente, el
inversionista podrá determinar tanto el peso relativo que quiere darle a sus
opiniones con respecto a las rentabilidades de equilibrio como determinar el grado
de confianza particular que tiene en cada una de sus afirmaciones. Las visiones de
los inversionistas se expresan de la siguiente manera:
ε+=∏ QP
Donde P es una matriz de dimensión K x N, con N siendo el número de activos y K
el número de opiniones expresadas sobre los mismos. Las componentes de P son
las posiciones cortas o largas en los activos involucrados en cada una de las
opiniones, y el vector Q contiene las rentabilidades expresadas correspondientes a
75 BLACK, Op. cit. p. 33
II-02(2)69
54
cada una de ellas. Dicho otra forma, como lo explica Idzorek76, se trata de formar
dos mini portafolios compuestos por los activos que se quieren comparar. Si se
quiere decir por ejemplo, que la rentabilidad del activo a va a ser mejor que la de b
y c por un 1%, entonces esto puede expresarse como : %12
)( =−−+ cba , lo que
significa que en la fila que corresponde a esta opinión la matriz P tendrá un 1 en la
columna del activo a, –1/2 en las columnas de los activos b y c; y el vector Q
tendrá un valor de 0.01 en dicha fila. Finalmente, dice He77, el componente de
error ε es un valor aleatorio de una distribución normal con media cero y varianza
ϖ, donde el nivel de confianza en las visiones es 1/ϖ78.
La forma como se incorporan las opiniones de los inversionistas con los retornos
de equilibrio para obtener la composición óptima del portafolio sigue los siguientes
principios que Black y Litterman expresan así:
1. Creemos que hay dos fuentes distintas de información acerca de
las rentabilidades de exceso futuras– las opiniones de los inversionistas y
el equilibrio del mercado.
76 IDZOREK, Op. cit., p. 5
77 HE, Op. cit., p. 6
78 Más adelante se argumenta que no necesariamente la varianza de las opiniones igualan al
recíproco del nivel de confianza, sino que son proporcionales.
II-02(2)69
55
2. Suponemos que ambas fuentes de información son inciertas y
que la mejor forma de expresarlas es por medio de distribuciones de
probabilidad.
3. Escogemos los valores esperados de rentabilidad [para los
activos] que sea consistente en lo posible con ambas fuentes de
información79.
3.3 LA FÓRMULA CONJUNTA PARA LAS RENTABILIDADES ESPERADAS
Antes de continuar con la descripción de otros componentes del modelo
introducimos la fórmula de Black-Litterman para los retornos esperados, que
compromete tanto a la información de mercado como a las opiniones, con sus
respectivas estructuras de riesgo y factores de calibración:
[ ] [ ]QPPPRE 11111 ')(')(][ −−−−− Ω+∏∑Ω+∑= ττ
Donde τΣ es la matriz de covarianzas de los retornos esperados, P y Q son
componentes de las opiniones expresadas, Ω es la matriz de covarianzas de las
opiniones y Π es el vector de rentabilidades de equilibrio.
3.4 EL NIVEL DE CONFIANZA DEL INVERSIONISTA EN SUS OPINIONES
II-02(2)69
56
Como se ha dicho el modelo posibilita que el inversionista exprese, además de sus
opiniones, la fuerza con la que las sostiene. Es decir, permite que tenga distintos
niveles de confianza en cada una de las afirmaciones que hace sobre el
comportamiento futuro de las rentabilidades. Se utilizan esos niveles de confianza
para determinar cuánto peso se le da a cada opinión cuando se combina con las
rentabilidades de equilibrio80. La matriz Ω es el componente del modelo en el que
se encuentran expresadas las varianzas de las opiniones.
Hay algunos comentarios importantes con respecto a la estructura de esta matriz.
Primero, suponemos que las opiniones de los inversionistas son independientes
unas de otras, por lo que la matriz de covarianzas es diagonal. Segundo, como
hemos dicho anteriormente, el nivel de confianza de las opiniones es inversamente
proporcional a su varianza. Las componentes diagonales de la matriz Ω son, pues,
CFLCi*1 , donde LCi es el nivel de confianza en la opinión i, y CF es un factor de
calibración que puede también ser interpretado como un coeficiente que expresa el
peso relativo que se le otorga a las opiniones con respecto a las rentabilidades de
equilibrio.
79 BLACK, Op. cit., p. 34
80 BLACK, Op. cit., p. 35
II-02(2)69
57
El parámetro escalar τ también es visto como una constante de calibración del
modelo, así como un resultado estadístico. Black y Litterman81 dicen que τΣ es la
matriz de covarianzas de las rentabilidades esperadas, y dado que la matriz de
covarianzas de los retornos Π está dada por Σ, justifican la utilización de esta
constante anotando que la covarianza de los retornos esperados de equilibrio τΣ
debería ser menor que la de los retornos puros82. Así, proponen que la constante τ
sea cercana a cero. He83, siguiendo en esta misma línea, dice que este parámetro
es una medida de incertidumbre del CAPM a priori.
Partiendo de las constantes τ y CF se debe entonces hacer una calibración inicial
del modelo. La forma de hacerlo, dice Idzorek84, es igualando la razón τω
con la
varianza del portafolio de opiniones P’ΣP. Considerando que ωes la varianza
promedio de las opiniones, se pueden tener los siguientes resultados:
τω
kCFLCPPkCFLC
k
iik
ii
∑∑
=
=
=∑
=1
1
*1
' *1
81 Ibid., p. 34
82 Este hecho se puede observar en el caso particular en el que los retornos sean normales, con
varianza σ2. La varianza del valor esperado es σ2/n, donde n es el número de activos.
83 HE, Op. cit., p. 17
84 IDZOREK, Op. cit., p. 8
II-02(2)69
58
Propone, adicionalmente, que el valor de τ sea fijado en uno y se despeje en las
ecuaciones anteriores el factor de calibración CF que las satisface. Una vez
determinado este valor, es posible construir en su totalidad la matriz Ω.
3.5 ALGUNOS COMENTARIOS ADICIONALES
En general, es común que el portafolio óptimo se construya con respecto a un
índice de referencia (benchmark). Así, todas las medidas de riesgo deben ser
consecuentes con el índice de referencia utilizado85. Nos referimos a que el riesgo
que se intenta medir es la volatilidad alrededor de la rentabilidad de un índice, no
alrededor de cero, como tradicionalmente se hace.
Black y Litterman86 dicen que algunas personas especifican un índice de referencia
y limitan el riesgo en el portafolio hasta que se consigue un portafolio
razonablemente balanceado. Esto es correcto, dicen, si el objetivo es en realidad
medir el riesgo con respecto al índice; pero es un error si se hace únicamente para
controlar el balance del portafolio.
85 BEVAN, Andrew y WINKELMAN, Kurt. Using the Black-Litterman Global Asset Allocation Model:
Three Years of Practical Experience. Goldman, Sachs & Co., Fixed Icome Research, (Junio de 1998)
p. 5
86 BLACK, Op. cit., p. 37
II-02(2)69
59
3.6 CALIBRACIÓN DEL MODELO
Existen distintas formas de calibrar el modelo, todas con el fin de incluir en él
información estadísticamente veraz y obtener los resultados que se buscan. Se
trata de dar un peso a las opiniones que asegure que ellas no están desviando los
pesos del portafolio del punto de equilibrio inicial de una manera tal que resulte en
valores estadísticamente improbables. Después de trabajar por tres años con el
modelo de Black-Litterman, Bevan87 propone que se utilice una razón de
información anticipada (Information Ratio) máxima de 2.0. Esta medida está
definida por la rentabilidad del portafolio proyectado dividida por la desviación
estándar del retorno. La razón por la que se aplica esta restricción es la
consideración de que una desviación de la rentabilidad del portafolio con respecto
al portafolio de equilibrio de más de dos desviaciones estándar es muy
improbable88. La forma de controlar este indicador es precisamente con el factor
de calibración (CF89) del que se ha hablado. Habiéndolo fijado esta constante de la
87 BEVAN, Op. cit., p. 4
88 IDZOREK, Op. cit., p. 11
89 El factor de calibración CF es presentado por Bevan como una constante de peso sobre la
información de las opiniones WOV (Weight-on-Views).
II-02(2)69
60
forma como propone Izdorek, se debe observar si ese valor lleva a un IR mayor a
dos, y de ser así, se disminuye el valor CF hasta obtener un IR razonable.
Bevan90 propone que no sólo se controle la veracidad de las opiniones como un
todo por medio del IR, sino que se observe qué tan probables son los resultados
que resultan de las aseveraciones individuales. Dice que utilizando la matriz de
covarianzas se debe mirar la probabilidad de observar el N-ésimo retorno,
condicionado a haber obtenido el retorno proyectado en los otros N-1 activos. Así,
se utiliza el mismo principio anterior de limitar el IR a 2.0 y se regula variando los
niveles de confianza individuales de cada opinión expresada. Se limita entonces la
influencia de una opinión particular porque el análisis estadístico está diciendo que
es improbable que sea correcta, basado en la información histórica.
3.7 SOLUCIÓN
Habiendo determinado completamente el vector de retornos esperados que
compromete tanto la información del equilibrio del mercado como las opiniones del
inversionista, estaría completa la información de entrada para la solución del
modelo. Idzorek91 resume el paso siguiente diciendo que “El inversionista debe
90 BEVAN, Op. cit, p. 5
91 IDZOREK, Op. cit., p. 12
II-02(2)69
61
usar el modelo de Black-Litterman para formar un nuevo vector combinado de
rentabilidades, y después introducir ese vector en un optimizador MV”.
He92 dice que el inversionista está maximizando una función de utilidad de la forma
2/'' www ∑−δµ , donde µes el vector conjunto de retornos esperados calculado de
la fórmula en (1.3). Se puede demostrar que el portafolio óptimo no restringido es
δµ1* −∑=w . Es particularmente interesante que la solución anterior puede ser
escrita de la forma Λ+= '* Pww eq . Siendo que las columnas en P’ son los
portafolios en las opiniones del inversionista, de la fórmula anterior se deduce que
los pesos en el portafolio no restringido son la suma del portafolio de equilibrio del
mercado con la suma ponderada de las opiniones del inversionista sobre ellos. Los
pesos sobre estos portafolios los da los elementos del vector:
[ ] [ ] δτττδτ /''/'/ 1111 QPPPPwPPPQQ eq−−−− Ω∑∑+Ω−∑∑+−Ω=Λ
Lo anterior demuestra que cada una de las opiniones del inversionista
efectivamente tienen un impacto puntual sobre los activos que involucra, como es
naturalmente su objetivo. Si hay un activo particular sobre el que el inversionista
no tiene ninguna opinión, entonces su peso en el portafolio no cambia del valor de
equilibrio inicial.
92 HE, Op. cit., p. 17
II-02(2)69
62
3.8 RESTRICCIONES ADICIONALES
Según He93, llegar al portafolio óptimo en presencia de restricciones es un poco
más complejo. La manera más sencilla de hacerlo es utilizar los retornos esperados
obtenidos de la fórmula en (1.3) y utilizar un modelo MV restringido, pero es más
difícil de ver en los resultados la intuición del modelo de Black-Litterman. Hay
algunas restricciones que han sido ampliamente utilizadas y documentadas, a las
que hacemos referencia.
El inversionista puede querer maximizar el retorno esperado mientras mantiene la
volatilidad del portafolio por debajo de cierto nivel. Una de las formas de lograr
esto es, según He94, utilizar los pesos resultados que resultan del modelo no
restringido y multiplicarlos por la razón entre el nivel de riesgo deseado y la
volatilidad del modelo sin restricciones. Sin embargo, cuando se utiliza esta
estrategia se está escalando la solución de tal manera que afecta a todos los
pesos, no sólo a los de los activos sobre los que se tienen opiniones particulares.
Puede demostrarse que la solución al problema: 2' st. ' σµ ≤∑ wwwmax es
**'*)( wwww r ∑= σ , donde w* es la solución del problema no restringido.
93 Ibid., p. 11
94 Ibid., p. 11
II-02(2)69
63
Otra restricción que podría considerarse es la exposición al mercado. Bevan95 dice
que esta se utiliza para medir el sesgo direccional del portafolio con respecto al
mercado en general, lo que resulta en la práctica en una restricción sobre el Beta
del portafolio. Siendo que el Beta de un portafolio es el promedio ponderado de
los Betas de los activos que lo conforman ( ∑=i
iip w ββ ), esto equivale a agregar
una restricción lineal simple sobre las variables de decisión. Por otro lado,
frecuentemente se desearía tener restricciones sobre el presupuesto, donde se
obliga a los pesos del portafolio óptimo a sumar uno. Cuando existe esta
restricción hay un portafolio de mínima varianza que la satisface.
Puede demostrarse que al aplicar restricciones de varianza máxima, presupuesto y
exposición al mercado, la solución óptima será una combinación lineal de los pesos
del portafolio no restringido, el portafolio de equilibrio y el portafolio de mínima
varianza: )()(*** eqmv cwbwaww ++= , donde las constantes a, b y c se ajustan de tal
forma que se cumplan todas las restricciones.
95 BEVAN, Op. cit., p. 5
II-02(2)69
64
4 IMPLEMENTACIÓN
Lo dicho anteriormente acerca del modelo de Black-Litterman está lejos de ser una
exposición puramente teórica. En Goldman Sachs, donde se gestó, este es uno de
los modelos más utilizados y que ha probado ser más exitoso. Bevan y
Winkelmann96 expusieron en 1998 el desempeño del modelo durante los tres años
anteriores, en los que regularmente lo pusieron a prueba y publicaron resultados
periódicos. En su artículo intentan señalar las razones por las que a sus portafolios
les fue bien o mal en algunos períodos de tiempo, y es particularmente interesante
que en general relacionan su desempeño con las decisiones estratégicas que ellos
mismos tomaron. Es decir, no responsabilizan al modelo por sus resultados porque
estos son muy sensibles a los datos subjetivos de entrada.
El desempeño de los portafolios construidos a lo largo del tiempo es una variable
que depende tanto de la bondad del modelo como de la experticia de los
inversionistas que expresaron sus opiniones acerca del mercado. Afirmar que un
buen desempeño se debió a un buen modelo o a unas opiniones acertadas son
hipótesis que en la práctica son imposibles de aceptar o rechazar, porque sus
efectos no son diferenciables. Pero hay otras características inherentes al modelo
96 Ibid., p. 8-10
II-02(2)69
65
que si se pueden observar fácilmente y son menos subjetivas que su desempeño
puro en el mercado accionario; sobre ellas volveremos más adelante.
Implementar el método con datos reales del mercado permite observar algunas de
las afirmaciones que se han hecho al respecto de sus características y su lógica. El
objetivo es, pues, observar y constatar dichas características. Pero es de aclarar
que los resultados que aquí se van a presentar no constituyen una prueba formal
sobre lo que se ha dicho del modelo. Dicho de otra manera, si se da el caso de
obtener resultados que claramente contradigan la teoría, hay razón para sospechar
e incluso rechazar la contundencia de las proposiciones; pero resultados
coherentes con ellas no son una prueba necesaria de su corrección.
A continuación relacionamos los resultados de la implementación, junto con los
detalles del método utilizado y algunas pruebas de desempeño. En el anexo D se
muestra información específica sobre los cálculos realizados.
4.1 DATOS DE ENTRADA
El trabajo se realizó sobre el mercado compuesto por los activos del índice Dow
Jones Industrial Average (DJIA 30). Como datos de entrada se tomaron los precios
diarios de las acciones para cada uno de los activos del índice por un período de
II-02(2)69
66
seis meses, entre el 29 de abril de 2002 y el 29 de octubre de 200297. Siguiendo la
recomendación de Bevan98 medimos el riesgo relativo con el desempeño de un
índice de referencia, en este caso el índice DJIA30. Asi, para cada activo i en un
período j se calculó la rentabilidad así: ( ) ( )111,1, −−−− −−−= jjjjijiijij DJDJDJpppr ,
donde p es el precio de la acción y DJ es el valor del índice. Partiendo de las
rentabilidades de exceso se calculó la matriz de covarianzas Σ.
Los pesos de capitalización del mercado se obtuvieron con la capitalización de
mercado de cada una de las empresas que conforman el índice el 29 de octubre de
2002. El valor del factor de aversión al riesgo δ se calculó según la recomendación
de Idzorek99 como 2/)( mfm rr σδ −= . En este caso se tomó la rentabilidad promedio
y la varianza del índice del índice para cinco años y una rentabilidad libre de riesgo
anual de 3.19% correspondiente al retorno de los bonos del tesoro americano con
maduración de cinco años a la fecha de toma de los datos. Se escogió ese período
por considerar que teniendo en cuenta la recesión del mercado americano en el
último tiempo, los datos más recientes no reflejan necesariamente el retorno
97 Con el fin de tener en cuenta la rentabilidad real de cada activo, se tomaron los precios ajustados
por dividendos tal como aparecen en la sección de infomación financiera del portal Yahoo!
(http://finance.yahoo.com).
98 BEVAN, Op. cit., p. 5
99 IDZOREK, Op. cit., p. 15
II-02(2)69
67
esperado del mercado. De hecho al calcular las rentabilidades esperadas para los
últimos seis meses se puede obtener un valor negativo para δ, que implica
propensión al riesgo y produce resultados contrarios a los esperados.
Con la información de los pesos de capitalización de mercado, volatilidad de los
retornos y factor de aversión al riesgo (o precio del riesgo) se construyó el vector
Π de rentabilidades de equilibrio.
4.2 OPINIONES DEL INVERSIONISTA
Con el fin de incluir opiniones de los inversionistas con respecto al mercado que
guardaran relación con el pensamiento de los expertos, se buscó información
sobre sus recomendaciones. Para cada uno de los activos del índice DJIA30 es
posible hallar las opiniones públicas de inversionistas100 de las principales firmas
que invierten en ese mercado. La información disponible dice la cantidad de
inversionistas que para cada uno de los activos recomienda vender, mantenerse o
comprar. Podemos suponer que quien recomienda comprar una acción es quien
espera mayor rentabilidad de ella y el que recomienda vender es quien espera
menor rentabilidad en la misma.
100 Las recomendaciones fueron tomadas de http://finance.yahoo.com en la sección market
research.
II-02(2)69
68
Para poder comparar las opiniones con respecto a los activos se estandarizaron las
opiniones, de tal forma que se obtuviera el porcentaje de inversionistas que se
ubicaron en cada una de las cinco posiciones101. Con las opiniones estandarizadas
se calculó un “factor de optimismo” ponderado, dándole un peso de cinco a la
posición más positiva y de uno a la más negativa. De esta forma se obtuvo un
número único que representa qué tan positivo es grupo de inversionistas con
respecto a la rentabilidad de cada uno de los activos; entre mayor sea el valor de
este factor es mayor la rentabilidad que los inversionistas esperan.
El factor de optimismo permite la comparación entre las opiniones con respecto a
activos particulares o entre grupos de activos. Observando las diferencias entre los
valores calculados para cada activo y los promedios entre sectores102, se
construyeron ocho opiniones así:
- El sector de cuidado personal va a superar bastante al de consumo no cíclico.
- El sector de consumo cíclico va a superar al de consumo no cíclico.
- El sector de tecnología va a superar al de energía.
- Microsoft va a superar bastante a Intel, IBM y Hewlett-Packard.
101 Strong buy, buy, hold, sell, strong sell.
102 La sectorización de los activos del índice fue extraída de DOW Jones Industrial Average: Fact
Sheet. Dow Jones Indexes, Sept 30 2002
II-02(2)69
69
- Caterpillar y United Technologies van a superar a Boeing, General Electric,
Honeywell International y 3M.
- IBM va a superar a 3M.
- Merck va a superar a Eastman Kodak.
- Intel va a superar a IBM.
De acuerdo con las opiniones anteriores se construyó la matriz P. Los valores en el
vector Q se asignaron según se creyera que un grupo fuera a superar a otro
ligeramente o que lo fuera a superar bastante; respectivamente se escogieron
diferencias de 0.5%, 0.6% y 0.1%. El nivel de confianza en las inversiones se fijó
observando la diferencia entre los factores de optimismo. Para diferencias grandes
podemos pensar que hay mayor consenso entre los expertos con respecto a una
opinión particular, por lo que fijamos una confianza mayor que en opiniones con
diferencias menores en el factor de optimismo. Visto de otra forma, cuando hay
una diferencia importante entre el factor de optimismo entre dos activos es más
probable que estemos interpretando correctamente lo que los expertos dirían si se
les preguntara al respecto de la comparación que estamos haciendo.
De acuerdo la opinión de Idzorek103 fijamos el parámetro τ = 1, y siguiendo el
método para el cálculo del factor de calibración, obtuvimos CF= 0.00456206. Con la
103 IDZOREK, Op. cit., p. 8
II-02(2)69
70
información anterior calculamos la matriz de covarianzas de las opiniones
expresadas Ω, con lo que se completó toda la información necesaria para construir
el nuevo vector de retornos esperados.
4.3 RESULTADOS
El portafolio óptimo no restringido puede ser calculado directamente por la fórmula
que indica He104. Los pesos óptimos resultantes dan un número considerable de
posiciones cortas, por lo que preferimos utilizar el vector de retornos esperados
como datos de entrada de un programa MV y agregar la restricción de no
negatividad para los pesos.
Para observar con claridad el efecto que tienen las opiniones sobre los pesos del
portafolio escogimos primero sólo una de las ocho aseveraciones. En particular nos
decidimos por “Merck va a superar a Eastman Kodak”, pues refleja una visión
contraria a la que sugerirían las rentabilidades de equilibrio. En el figura 1 del
anexo A se observa los resultados obtenidos. Como era de esperarse, en el caso
no restringido la opinión anterior únicamente altera los pesos de los activos
mencionados, aumentando el porcentaje invertido en MRK y en compensación
104 HE, Op. cit., p. 17
II-02(2)69
71
disminuyendo el de EK105. Pero cuando se agrega la restricción de no negatividad a
los pesos, el efecto de la opinión expresada se distribuye también a los demás
activos del portafolio. Sin embargo, podemos ver que en ambos casos se conserva
la consistencia con las opiniones que se quieren expresar para los activos
involucrados.
La figura 2 del anexo A muestra los resultados obtenidos de haber aplicado el
método con todas las opiniones incluidas. En este caso es más difícil visualizar el
efecto aislado de cada una de ellas, pero se puede observar que los porcentajes a
invertir en activos sobre los que se tienen opiniones muy positivas aumentan de
manera importante, como MSFT, MRK y CAT. También se nota el efecto de la
combinación de las opiniones, en las que parece conservarse la transitividad. Por
ejemplo, en una opinión se expresa que MSFT superará a IBM, en otra que IBM
superará a MMM y por último que MMM tendrá un comportamiento inferior a otras
empresas del sector industrial, como CAT y UTX. Pero las demás empresas del
sector industrial, BA, GE y HON tienen variaciones muy pequeñas en su
porcentaje, por lo que podemos pensar que MMM sale del portafolio óptimo no
sólo por las opiniones que se expresan directamente sobre él, sino por el efecto de
las opiniones indirectas acerca de IBM.
105 Símbolos según clasificación de Dow Jones Indexes.
II-02(2)69
72
Asimismo, se ve que los activos sobre los que no se expresan opiniones
permanecen con una composición muy parecida a los pesos de capitalización de
mercado iniciales, como es el caso de AA, C, AXP y DD. Ahora, ¿qué hubiera
pasado si el 29 de Octubre de 2002 se hubiera invertido en el portafolio óptimo de
Black-Litterman?
La figura 3 en el anexo B muestra el desempeño que hubiera tenido un portafolio
compuesto de acuerdo con los pesos de Black-Litterman. Esto aisladamente nos
dice muy poco, por lo que incluimos el desempeño que hubiera tenido un
portafolio compuesto con un modelo MV clásico –al que llamaremos Markowitz- y
el portafolio de mercado. En las primeras semanas se puede notar que nuestro
portafolio supera consistentemente al de Markowitz y al índice, que se comportan
de forma muy parecida. Hacia la tercera semana el portafolio cae por debajo de
los otros dos, recuperándose al final para volver a un punto ligeramente superior al
mercado e inferior al de Markowitz. Hay que ser muy cuidadosos al sacar
conclusiones al respecto. Primero, no podemos saber si nuestro portafolio fue
efectivamente mejor que los demás porque sólo lo fue para los días siguientes a su
composición. Segundo, la recomposición del portafolio debe ser coherente con el
plazo de las opiniones. No sabemos si las opiniones, en caso de estar
correctamente interpretadas, presenten la visión de corto, mediano o largo plazo
de los inversionistas. Si fueran opiniones de muy corto plazo podemos decir que
sus juicios estuvieron acertados, y que un cambio de opinión después de dos
II-02(2)69
73
semanas podría haber generado una recomposición del portafolio, que a su vez
podría haber evitado la caída en la tercera semana. Pero esto nos dice poco del
modelo; lo que si hemos podido observar es que las opiniones efectivamente se
ven reflejadas de forma coherente en la composición del portafolio óptimo y que
por lo tanto una visión acertada puede ser bien aprovechada por un inversionista
que compone su portafolio utilizado el modelo de Black-Litterman.
4.4 PRUEBAS Y AJUSTES
Como hemos dicho, la primera calibración del modelo se debe hacer observando la
probabilidad que las opiniones tienen de estar correctas. Si se encuentra que los
resultados son muy poco probables de ocurrir, entonces se le resta importancia a
las opiniones ajustando el factor de calibración hasta obtener resultados
estadísticamente aceptables. Para esto se calculó la razón de información
anticipada IR, obteniendo un valor de 0,006744504. Se considera que un valor
menor a 2.00 para IR es aceptable, por lo que no se rechaza el factor de
calibración utilizado. Como la razón de información global es tan baja, obviamos
las pruebas individuales a la confianza en las opiniones.
Dos de las características más documentadas de los portafolios de Black-Litterman
es su baja sensibilidad a cambios pequeños en los datos de entrada y la
compatibilidad de los resultados con la capitalización de mercado. Para observar
II-02(2)69
74
los hechos anteriores implementamos los métodos de Black-Litterman y Markowitz
para dos casos. En el primero se tomaron los datos de precios del 29 de abril al 15
de octubre de 2002 y en el segundo del 29 de abril al 29 de Octubre, es decir, dos
semanas más de datos. Sería de esperarse que al agregar la información de dos
semanas, en ausencia de hechos radicales como la quiebra de alguna de las
compañías, se debería conservar en general la composición del portafolio óptimo.
Los resultados son contundentes a favor del portafolio de Black-Litterman. En la
figura 4 del anexo C se pueden observar las composiciones del portafolio óptimo
en ambos casos. Los porcentajes a ser invertidos en cada activo cambiaron muy
ligeramente, con algunos conservando el mismo porcentaje anterior. Por otro lado,
el mismo cambio en los datos aplicado al modelo de Markowitz produjo portafolios
radicalmente diferentes y muy concentrados entre pocos activos. Para visualizarlo
mejor, la figura 6 del mismo anexo muestra los cambios absolutos en los
porcentajes de cada activo para ambos métodos. El cambio absoluto promedio106
en los porcentajes fue para el modelo de Black-Litterman de 0.00173947 y para el
de Markowitz de 0.05850383, casi 34 veces mayor.
La segunda característica que se hace evidente es la concordancia del modelo de
Black-Litterman con los pesos de capitalización del mercado, y por lo tanto con la
oferta para cada uno de los activos. En la figura 5 del anexo C podemos observar
106 Calculado como∑ − nww ii)2()1( .
II-02(2)69
75
la altísima concentración de los portafolios de Markowitz, que en la práctica son
imposibles de poseer. Para el primer caso la totalidad se invierte en MMM, y para
el segundo se invierte también en EK. Los porcentajes no guardan ninguna
relación con la capitalización de mercado, lo que implica que si el conjunto de
inversionistas siguiera esta lógica no les sería posible ubicar su capital. Pero los
portafolios de Black-Litterman si guardan relación con los porcentajes de
capitalización del mercado. Naturalmente los pesos no son idénticos a los de
capitalización, en cuyo caso no habría opiniones, pero la estructura del modelo y
sus mecanismos de ajuste procuran que las desviaciones sean lo suficientemente
pequeñas para que los portafolios sean todavía coherentes con la oferta.
II-02(2)69
76
5 CONCLUSIONES
La teoría de portafolios que magistralmente fue enunciada por Markowitz a
mediados del siglo pasado y desarrollada a partir de entonces por innumerables
autores, ha transformado la forma de entender las inversiones en escenarios
inciertos. A partir de los conceptos de riesgo y rentabilidad se levanta todo el
edificio, delicadamente construido, de la “economía de la incertidumbre”. Pero la
necesidad de hacer aplicable la teoría en el mundo real ha revelado problemas
como la dificultad de estimación de los parámetros, entre otros.
Sobre esto podemos decir que hay que ser muy cuidadosos a la hora de validar o
rechazar los métodos y procedimientos tradicionales. Existe la tentación de pensar
que en vista de la inconveniencia de la utilización de los datos históricos de los
precios como única fuente para el cálculo de medias y varianzas, estos deben ser
descartados. No sería correcto pensar así pues el desempeño pasado es una
información valiosa y relevante, pero se debe evaluar detenidamente hasta dónde
se utiliza y para qué fines.
Para acercarnos a una respuesta adoptaremos un modelo de movimiento
browniano para la rentabilidad de las acciones. Hay dos parámetros que deben ser
determinados para definir la forma de la caminata aleatoria que seguirán las
II-02(2)69
77
rentabilidades: el parámetro de sesgo y el de volatilidad. Se ha observado que si
ambos se estiman con las rentabilidades históricas, en presencia de nueva
información los valores cambian bastante y se propaga el error de estimación. El
problema puede deberse en parte a que se ignora uno de los principios básicos de
la teoría financiera: la rentabilidad esperada depende del riesgo y esto implica una
relación de causalidad entre los parámetros, desde la volatilidad hacia el sesgo. Si
su tratamiento no toma en cuenta este principio se obtiene que un cambio en los
datos altera independientemente a ambos parámetros y ocasiona distorsiones
importantes. Con esto no queremos cuestionar la bondad de los estimadores, que
toman la información disponible y la utilizan de la mejor forma posible para
acercarse al valor de los parámetros. Lo que debemos considerar es que no nos
enfrentamos a una muestra poblacional, sino a un proceso estocástico donde los
parámetros probablemente no son constantes y se deben tratar de una forma
distinta107.
107 Pensamos que es correcto modelar el movimiento accionario como un proceso de Markov por
sus características particulares, como la irrelevancia del sendero pasado de precios para determinar
el sesgo futuro. Investigaciones próximas podrían analizar la posibilidad de modelarlo como un
proceso alternativo al Browniano, donde el componente aleatorio normal se reemplace por una
función de probabilidad uniparamétrica que sólo requiera la media o la varianza para ser
determinados todos sus momentos, asegurando una relación funcional entre riesgo y rentabilidad
acorde con la lógica financiera.
II-02(2)69
78
Ahora bien, qué implicaciones tiene la relación de causalidad entre los parámetros
con respecto a las estimaciones? Pensamos que la información histórica debe ser
utilizada únicamente para proyectar la volatilidad y no el retorno esperado, que es
función de ella. Por otro lado, consideramos que debe fijarse especial atención al
carácter aleatorio del parámetro de volatilidad, de acuerdo con lo cual un enfoque
bayesiano para la estimación es una alternativa plausible.
Todavía queda sin resolver de qué forma se deben determinar los retornos
esperados futuros. Del modelo de Black y Litterman podemos resaltar la
importancia de tener en cuenta las opiniones de los expertos y la ecuación de
mercado en su estimación. Pero las rentabilidades de equilibrio, aunque
coherentes con la oferta del mercado, no guardan siempre relación con las
expectativas de los inversionistas; y las opiniones pueden estar erradas. Creemos
valioso probar la inclusión de otros factores en la determinación de los retornos
esperados futuros, como las aproximaciones multivariadas propuestas por la teoría
de APT u otras formas funcionales no lineales alternativas al modelo de CAPM.
El modelo de Black y Litterman también deja algunas inquietudes. No vemos claro
que sea fácil expresar opiniones de la forma como el modelo las requiere, pues
generalmente los expertos se limitan a recomendar la compra o venta de los
activos según piensen que su precio tienda a aumentar o a disminuir. Por otro
lado, si todas las opiniones son expresadas por el mismo inversionista es muy poco
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79
probable que sean perfectamente independientes unas de otras. Este es un
supuesto simplificador que está bien sustentado por la imposibilidad de determinar
la forma de las correlaciones en la práctica, pero aún así genera inquietudes.
Por último, no encontramos información acerca de la manera como se deben
recomponer los portafolios de Black-Litterman en presencia de nueva información,
tanto histórica como de opiniones. Una opción sería utilizar el vector anterior de
retornos esperados como la información a priori del nuevo modelo, con el
inconveniente que después de recomponer el portafolio varias veces los pesos
óptimos se podrían alejar bastante de los de capitalización del mercado y algunas
opiniones sean redundantes. Si se opta por empezar el proceso de nuevo
partiendo de las rentabilidades de equilibrio, entonces se habrían perdido las
ganancias de la información anterior que resultó correcta. Pensamos que podría
proponerse un punto medio entre las dos alternativas, en el que sólo se
modifiquen los pesos de los activos sobre los que el inversionista siente que se
equivocó o que tiene nuevas opiniones.
El modelo de Black y Litterman tiene bondades innegables, aunque evidentemente
tiene aspectos susceptibles de ser mejorados. Creemos que al incluir factores que
algunos considerarán contrarios a la eficiencia del mercado, como las opiniones
individuales, ellos de alguna forma plantean una nueva alternativa a la teoría de
portafolios tradicional. En nuestra opinión ese es su principal aporte, que invita a
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80
intentar ver el mercado desde perspectivas creativas que se adapten más a la
naturaleza de sus actores y a conciliar el conocimiento práctico con el teórico en
todas su formas.
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81
ANEXOS
Anexo A. Efecto de la inclusión de opiniones en la construcción de portafoliosóptimos.
Figura 1. Cambio en la composición del portafolio de B-L debido a la inclusión de una opinión del inversionista
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
aa axp ba c
cat
dd dis ek ge gm hd hon
hpq
ibm in
tc ip jnj
jpm ko
mcd
mm
m mo
mrkm
sft
pg sbc t
utxwm
txo
m
Activo
%
Pesos deCapitalización deMercado
Pesos Optimos norestringidos
Pesos Optimosrestringidos
Figura 2. Cambio en la composición del portafolio de B-L debido a la inclusión de las opiniones del inversionista
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
aa axp ba c cat
dd dis ek gegm hd ho
nhp
qibm int
c ip jnj jpm komcd
mmm mom
rkmsft pg sb
c tutx wmt
xom
Activo
%
Pesos Optimos deBlack - Litterman
Pesos deCapitalización deMercado
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82
Anexo B. Desempeño de los porfafolios construidos por los métodos de Markowitzy Black-Litterman.
Figura 3. Forward-Testing para los portafolios de Markowitz y Black-Litterman
0.94
0.96
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
29-
Oct-02
30-
Oct-02
31-
Oct-02
1 -
Nov-02
2 -
Nov-02
3 -
Nov-02
4 -
Nov-02
5 -
Nov-02
6 -
Nov-02
7 -
Nov-02
8 -
Nov-02
9 -
Nov-02
10-
Nov-02
11-
Nov-02
12-
Nov-02
13-
Nov-02
14-
Nov-02
15-
Nov-02
16-
Nov-02
17-
Nov-02
18-
Nov-02
19-
Nov-02
20-
Nov-02
21-
Nov-02
22-
Nov-02
Fecha
Pre
cio
esta
ndar
izad
o
Black-Litterman
Markowitz
St_DJIA
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Anexo C. Sensibilidad de los portafolios a los datos de entrada.
Figura 4. Sensibilidad a los datos de entrada: Comparación entre los portafolios óptimos de Black-Litterman
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
aa axp ba c cat dd dis ek ge gm hd ho
nhp
qibm int
c ip jnj jpm komcd
mmm momrk
msft pg sbc t
utx wmtxom
Activo
%
Caso 1
Caso 2
Figura 5. Sensibilidad a los datos de entrada: Comparación entre los portafolios óptimos de Markowitz
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
aa axp ba c cat
dd dis ek gegm hd ho
nhp
qibm int
c ip jnj jpm komcd
mmm mom
rkmsft pg sb
c tutx wmt
xom
Activo
%
Caso 1
Caso 2
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84
Figura 6. Diferencias absolutas en la composición de los portafolios optimos frente a cambios en los datos de entrada
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
aa axp ba cca
tdd dis ek ge
gm hd hon
hpq
ibm intc ip jnj jpm ko
mcdmmm mo
mrk
msft pg sbc t
utx wmtxo
m
Activo
∆∆% Black-Litterman
Markowitz
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85
Anexo D. Calculos asociados con la implementación.
Matriz P:
Vector Q: Vector LC (confianza en las opiniones):
Q0.00050.00010.00010.00060.00010.00010.00010.0001
LC0.80.80.7
0.850.60.7
0.850.4
Matriz Ω de covarianza de las opiniones:
Factor de Calibración (CF):0.00458607
Razón de Información (IR):0.006744504
aa axp ba c cat dd dis ek ge gm hd hon hpq ibm intc ip jnj jpm ko mcd mmm mo mrk0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 0 - 1/3 0 0 - 1/3 1/20 0 0 0 0 0 1/6 1/6 0 1/6 1/6 0 0 0 0 0 0 0 - 1/3 1/6 0 - 1/3 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/4 1/4 1/4 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1/3 - 1/3 - 1/3 0 0 0 0 0 0 0 00 0 - 1/4 0 1/2 0 0 0 - 1/4 0 0 - 1/4 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1/4 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0.005732588 0 0 0 0 0 0 00 0.00573259 0 0 0 0 0 00 0 0.00655153 0 0 0 0 00 0 0 0.00539538 0 0 00 0 0 0 0.00764345 0 0 00 0 0 0 0 0.00655153 0 00 0 0 0 0 0 0.00539538 00 0 0 0 0 0 0 0.01146518
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86
Construcción del “factor de optimismo”:
La información aparece de la siguiente forma:
Compañía ‘a’
Strong Buy Buy Hold Sell Strong SellNo.de expertosque lorecomiendan
# I
No.de expertosque lorecomiendan
# II
No.de expertosque lorecomiendan
# III
No.de expertosque lorecomiendan
# IV
No.de expertosque lorecomiendan
# V
Lo anterior se estandariza para todas las compañías, de tal manera que se obtenga
el porcentaje de inversionistas que hizo cada recomendación: %I, %II, %III, %IV,
%V. El factor de optimismo es FOi = 5.%Ii + 4.%IIi + 3.%IIIi + 2.%IVi + 1.%Vi,
para cada una de las compañías (i=1..30).
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