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El libro de texto como factor coadyuvante en la

producción de los conocimientos

Ana María Vozzi y Mónica Beatriz Caserio

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SOBRE LAS AUTORAS

Ana María Vozzi Mónica Beatriz Caserio

Licenciada en Matemática de la FCEIA-UNR. Especialista en Docencia Universitaria UTN-

FRRO. Profesora del área Matemática en la Escuela

de Formación Básica de FCEIA-UNR y UTN- FRRO. Profesora de Álgebra y Geometría en el

Profesorado de Matemática en el IES Nº 128 “Olga Cossettini”. Investigadora Categorizada. Expositora de diversos reportes de investigación

en Seminarios y/o congresos nacionales e internacionales de Matemática Educativa. Directora del proyecto de Voluntariado

Universitario de la UNR: “Matemática entre la escuela y la universidad” (2012-2013). Codirectora de los proyectos de investigación: � “Dificultades en la Enseñanza de la

Matemática Básica en Carreras de Ingeniería” ING 163 (2006-2009). � “Matemática en Ingeniería. El libro de

texto como factor coadyuvante en la producción de conocimientos” ING 232 (2010-2013). � “El interaccionismo simbólico la

educación matemática.” ING 476 (2014-2017). Integrante el proyecto de investigación: “Materiales didácticos para matemática en

Ingeniería” ING 382 (2012-2015). Autora del Libro Matemática en el nivel

superior. Aprender a aprender, UNR Editora ISBN 978-987-702-027-4

Ingeniera Química de UTN-FRRO. Especialista en Docencia Universitaria UTN-FRRO. Profesora del área Matemática en la Escuela

de Formación Básica de FCEIA-UNR y UTN-FRRO. Profesora de Análisis Matemático III en el

Profesorado de Física en el IES Nº 128 “Olga Cossettini”. Investigadora Categorizada. Participante en numerosos congresos

nacionales e internacionales de Educación Matemática. Directora del proyecto del área de Extensión

Universitaria de la UNR: “Construyendo puentes entre universidad y nivel medio. La Matemática como herramienta para un aprendizaje significativo” (2012). Codirectora de los proyectos de investigación: � “Matemática en Ingeniería. El Libro de

texto. Factor coadyuvante en la producción de conocimientos” ING 232 (2010-2013). � “El interaccionismo simbólico la

educación matemática.” ING 476 (2014-2017). Integrante el proyecto de investigación:

“Dificultades en la Enseñanza de la Matemática Básica en Carreras de Ingeniería” ING 163 (2006-2009). Autora del Libro Matemática en el nivel

superior. Aprender a aprender, UNR Editora ISBN 978-987-702-027-4

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AGRADECIMIENTOS Y RECONOCIMIENTOS Destacamos la contribución de todos los integrantes del proyecto, quienes nos

permitieron enriquecer este libro con algunos de sus trabajos de investigación:

- El álgebra lineal para ingenieros, una propuesta facilitadora. Vozzi, Ana María - Medina, Mabel - Cornaglia, Laura.

- Interpretaciones erróneas de conceptos básicos del cálculo vectorial. Arnulfo, Angélica - Guzmán, Martha Elena - Kurdobrin, Alicia Isabel - Pérez, Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín.

- Lectura comprensiva: una propuesta de enseñanza y aprendizaje. Celis, María Belén - Guzmán, Martha Elena - Pérez, Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín.

- Propuesta de enseñanza para la lectura autónoma. Celis, María Belén - Vozzi, Ana María.

- Integrales triples: una experiencia didáctica en carreras de Ingeniería. Arnulfo, Angélica - Kurdobrin, Alicia Isabel - Sabatinelli, Pablo Agustín.

- Sistemas de ecuaciones lineales. Experiencia en clase en Ingeniería. Celis, María Belén - Guzmán, Martha Elena - Kurdobrin, Alicia Isabel - Pérez, Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín.

Expresamos también nuestro agradecimiento a todos los que contribuyeron aportando ideas, trabajo y aliento para alcanzar la publicación de éste, nuestro segundo libro y reiteramos en esta oportunidad nuestro especial reconocimiento a la inapreciable colaboración de la Profesora Martha Elena Guzmán, nuestra Directora.

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PRÓLOGO Matemática es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos

los niveles educativos. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma poderoso, conciso y sin ambigüedades. La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse, pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego, de unas técnicas para hacerlo. Según Basil Bernstein: …los conocimientos son transformados en contenidos, materias, textos”, sostiene que: “el

mensaje pedagógico es no solo el producto de un recorte, sino también la creación de un nuevo producto cultural. El contenido educativo no es un fragmento del discurso científico, es algo esencialmente diferente, y poco o nada tiene que ver con las teorías científicas, ya que al pasar por un proceso selectivo son descontextualizados, modificados y simplificados para su transmisión en las aulas. Es primordial, entonces, desarrollar acciones que susciten en los estudiantes la apropiación

de nuevas prácticas lingüísticas y discursivas (o reconstruyan las que poseen para adecuarlas y emplearlas en nuevos contenidos disciplinares) promoviendo que incorporen aquellas prácticas específicas que les permitan avanzar en su vida académica para encontrar, así, nuevas propuestas que lo acompañen en el proceso de asumir un lugar autónomo y crítico tanto en su futura profesión cómo en la sociedad. En este libro persistimos en el propósito de comunicar a colegas docentes y/o interesados

en la temática de la enseñanza y aprendizaje de la matemática en particular o las ciencias en general, los trabajos de investigación realizados en el marco del proyecto “El libro de texto como factor coadyuvante en la producción de conocimientos” Nos interesa generar un debate en la comunidad académica, que permita, entre otras cosas,

aportar inquietudes y reflexiones que enriquezcan la actividad docente, el trabajo áulico, de modo que la utilización de libros de texto en la clase contribuya a mejorar las condiciones de aprendizaje de nuestros alumnos. En ello estamos trabajando.

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SOBRE EL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN En esta investigación, que continúa la línea del Proyecto “Dificultades en la Enseñanza de

la Matemática Básica en Carreras de Ingeniería” ING 163 FCEIA- UNR, 2006/2009, nos propusimos indagar respecto del texto como un factor que posibilite al estudiante “aprender a aprender”, para lo cual fue necesario: - Reconocer la necesidad de ampliar nuestros conocimientos de los factores cognitivos,

afectivos, actitudinales y motivacionales que inciden en el desempeño de los alumnos. - Asumir, como docentes, la responsabilidad de apoyar el tránsito de los estudiantes del

nivel Medio-Superior al Básico-Profesional. - Innovar y evaluar los distintos proyectos con la intención de mejorar nuestro

desempeño profesional. - Promover instancias de encuentro y difusión, en las que podamos poner en común

experiencias, proyectos y expectativas.

En las conclusiones del Proyecto mencionado (ING 163) señalamos como un elemento de importancia en la enseñanza-aprendizaje de matemática en carreras de ingeniería, el vínculo entre Estudiantes-Libro de Texto-Docentes. Nos planteamos generar un debate en nuestra comunidad académica, que permitió, entre

otras cosas, aportar inquietudes y reflexiones para enriquecer la actividad docente, el trabajo áulico, de modo que el uso del libro de texto en la clase se convierta en un factor coadyuvante en la apropiación de los conocimientos de nuestros alumnos. A partir de esta premisa surgieron algunos interrogantes que operaron como hipótesis de

trabajo:

En la búsqueda de las respuestas a los interrogantes antes señalados, creímos primordial,

desarrollar acciones que susciten en los estudiantes la apropiación de nuevas prácticas lingüísticas y discursivas (o reconstruyan las que poseen para adecuarlas y emplearlas en nuevos contenidos disciplinares) promoviendo que incorporen aquellas prácticas específicas, que les permitan avanzar en su vida académica para encontrar nuevas propuestas que lo

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acompañen en el proceso de asumir un lugar autónomo y crítico, tanto en su futura profesión cómo en la sociedad. El centro del proyecto recayó sobre la investigación de alternativas didácticas con la

intención de: - Acortar distancias entre niveles educativos. - Disminuir el número de alumnos recursantes. - Introducir al estudiante universitario en el autoprendizaje. - Comprometer al estudiante en su formación, incentivando su independencia y

creatividad. - Comprometer a los docentes en el abordaje e implementación de alternativas didácticas

más eficaces. En este contexto tuvo importancia relevante mejorar el vínculo:

A fin de facilitar el desarrollo de competencias de manera explícita durante el proceso de

formación, lo cual supuso revisar las estrategias de enseñanzas y aprendizajes de manera de garantizar que los estudiantes puedan realizar en forma autónoma, actividades que le permitan avanzar en su desarrollo. Siendo que las ciencias en general y la matemática en particular se expresan y se difunden

a través de los textos y no podrían ser comprendidas sin ellos. Es importante desarrollar la comprensión lectora entendida como un proceso transaccional entre el texto y el lector, que involucra operaciones cognitivas y un complejo de conocimientos. Supone un conjunto de saberes (discursivos, enciclopédicos, lingüísticos, semióticos) y saber - haceres, procedimientos de diferente nivel de complejidad. El marco metodológico elegido es el de una investigación activa, por entender que ella se

dirige a su aplicación inmediata y no al desarrollo de teorías. Su propósito es el de mejorar la práctica educativa y al mismo tiempo perfeccionar a quienes han de mejorar sus métodos. Apela a los docentes que tienen problemas por resolver y le corresponde comprometer e implicar al docente proporcionándole un camino para el progreso profesional y la mejora del plan de estudios. Por ese sentido, nos ubicamos tanto a nivel didáctico como a nivel de investigación, en el cuadro de la Ingeniería Didáctica, puesto que consideramos que en el contexto de un paradigma cualitativo el “saber a enseñar” y el “caso a investigar” son susceptibles de ser tratados a través de ella. Por otra parte esta posición es compatible con la aproximación cognitiva desarrollada alrededor de los trabajos de Vergnaud y a la aproximación didáctica a través de la “teoría de situaciones “de Brousseau y los obstáculos que clasifica. La metodología de la Ingeniería didáctica se caracteriza, en comparación con otros tipos de investigación basados en la experimentación en clase, por el registro en el cual se ubica y por las formas de validación a las que está

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asociada. En general, las investigaciones que recurren a la experimentación en clase emplean un enfoque comparativo con evaluación externa, basada en la comparación estadística del rendimiento de los grupos experimentales y grupos de control, mientras que la Ingeniería Didáctica se ubica en el registro de los estudios de caso y cuya validación es interna, como resultado de la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori. Son numerosos los proyectos que abordan esta temática y no son pocas las universidades

que están trabajando al respecto e intentando establecer una articulación escuela media-universidad, como así también en el abordaje de estrategias didácticas que colaboren en la optimización de los procesos de enseñanza aprendizaje de matemática, para favorecer las situaciones de aprendizajes de las asignaturas del ciclo profesional. En este sentido cabe mencionar algunos trabajos, informes periódicos y publicaciones de diversos órdenes:

- Conclusiones de los Encuentros Nacionales de Educación Matemática en Carreras de Ingeniería, EMCI - En cada uno de los informes bianuales editados por el organismo, un ítem especial se refiere a la problemática del ingresante y a cómo esa incide en la prosecución de los estudios superiores. - “Diseño y aplicación de modelos para el aprendizaje de la matemática en carreras que

tienen a la Matemática como disciplina de servicio para el desarrollo profesional correspondiente” a cargo del Grupo Matemática, Lecich M.I, Esteybar I, Fernández V. y otros. Objetivos: contribuir a la mejora de la calidad del aprendizaje y disminuir el desgranamiento en los primeros años de las carreras. Proporcionar esquemas metodológicos alternativos para la enseñanza de la matemática que responda a la realidad profesional - Universidad Nacional de San Juan. Argentina, 2001.

- Trabajo de investigación: “Algunos factores que influyen en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática.” a cargo de M. Rey Genicio, G. Lagarte y C. Hernández - Universidad Nacional de Jujuy. Argentina, 2002.

- Trabajo de investigación: “Determinación del perfil de los ingresantes a la Universidad en relación con las estructuras lógicas que manejan, la capacidad que poseen en el uso del lenguaje simbólico y los conocimientos previos para abordar nuevas situaciones.” a cargo del Grupo Matemática - Universidad Católica del Uruguay. Uruguay, 2002.

- Trabajo de investigación: “Leer Textos Académicos en la Educación Superior” a cargo de Dra. Paula Carlino - IV Congreso de Internacional de promoción de la lectura y el libro - Jornadas Internacionales de educación. Buenos Aires - Argentina, 2003.

- “Programa de Apoyo a la Articulación Universidad-Escuela Media” de la Secretaría de Políticas Universitarias, Ministerio de Educación, de Ciencia y Tecnología. Argentina, 2003.

- Proyecto: “Articulación entre la Universidad Nacional del Sur y las Escuelas de Nivel Medio de Bahía Blanca y su zona de influencia” - Universidad Nacional del Sur. Argentina, 2005.

- Trabajo de investigación: “Categorización de errores Álgebraicos - Una propuesta a partir del análisis de las evaluaciones del curso propedéutico de la universidad” a cargo de R. Blasón, P. Juárez y P. Villamonte - Facultad de Ciencias y Tecnología, Universidad Autónoma de Entre Ríos. Argentina, 2005.

- Trabajo de investigación: “Los conocimientos matemáticos en el umbral de la Universidad: una asignatura en discusión” a cargo de S. Joulía, A. Zoppi y otros; Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales - Universidad Nacional de Misiones. Argentina, 2005.

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- Trabajo de investigación: “Propuestas de Articulación para favorecer el ingreso a la Universidad” a cargo de F. Prieto y S. Vicente - Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de La Pampa. General Pico - La Pampa, 2005.

- Trabajo de investigación: “Diagnóstico sobre los estilos de Aprendizaje en Matemática Básica de alumnos ingresantes a la Universidad” a cargo de M. Lentini y B. Crespo - Facultad de Ciencias Exactas y Facultad de Ciencias Económicas, Universidad Nacional de Salta. Argentina, 2005.

- Seminario: “Competencias para el Ingreso y Permanencia en la Universidad: Una Propuesta para la Articulación Curricular Entre el Nivel Superior y el Nivel Medio de Enseñanza” a cargo de Estela Zalba - Universidad de Barranquilla. Colombia, 2005.

- Primer Acuerdo sobre Competencias Genéricas: “Desarrollo de competencias en la enseñanza de la ingeniería Argentina” - CONFEDI, Bahía Blanca - Argentina, 2006.

- Conferencia especial: “La enseñanza y aprendizaje de la matemática como proceso de Alfabetización” a cargo de Dr. Juan Raúl Delgado Rubí - RELME XX, Camagüey - Cuba, 2006.

- Primer encuentro Nacional de discusión sobre Políticas Institucionales para el desarrollo de la lectura y la escritura en la Educación Superior: “¿Qué nos dicen hoy las investigaciones Internacionales sobre la escritura en la universidad?” a cargo de Dra. Paula Carlino, Bogotá - Colombia, 2007.

- Trabajo de Investigación: “Dificultades de la Enseñanza de la Matemática Básica en Carreras de Ingeniería” ING 163, Directora: Martha Guzmán, Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario, 2006-2009.

- Taller de articulación universidad-nivel medio: “La educación del ingeniero y el desarrollo sostenible”, Tucumán - Argentina, 2009. Entre sus conclusiones: En la formación integral de los alumnos, en todas las etapas de su vida, se privilegie el razonamiento lógico, la argumentación, la experimentación, el uso y organización de la información y la apropiación del lenguaje común, del lenguaje de la ciencia y la tecnología. En síntesis, que cuenten con las herramientas necesarias para integrarse plenamente a la educación superior y/o al mundo del trabajo.

Agregamos referencias de actividades relacionadas con la temática de nuestro proyecto en el

ámbito de la UNR, en particular en la FCEIA, donde nos desempeñamos profesionalmente: Desde lo Institucional:

- Proyecto de Articulación Escuela Media-Universidad - UNR - Ministerio de Educación de la Provincia de Santa Fe, 2005. Se propone crear espacios de trabajo entre docentes de ambos niveles que posibiliten el análisis crítico de sus respectivas prácticas educativas y se generarán instancias de perfeccionamiento para docentes de las escuelas medias para el tratamiento de innovaciones pedagógicas en matemática para facilitar el pasaje de los alumnos de escuela media al nivel superior.

- Programa de Apoyo a la Escuela Media - Ministerio Nacional de Educación - UNR -FCEIA, PAMEM, 2005. Proyecto: Mejora de los procesos de enseñanza y de aprendizaje en las áreas de Matemática y Física, en una acción de integración institucional entre escuela media y Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional Rosario.

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Se propone una reflexión sobre las prácticas curriculares y la mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje. En este proyecto se asume la responsabilidad de operar sobre el conocimiento y las prácticas educativas, enriqueciéndose en conjunto por las experiencias en contextos diferentes. Organizar en forma conjunta entre los docentes de ambos niveles (medio y universitario) diseños didácticos que contemplen los estilos de aprendizaje detectados entre los estudiantes.

- Área de Ingreso FCEIA. Actividades: ∗ Realiza todos los años, en dos instancias, un curso introductorio y talleres de apoyo

para ingresantes orientado a reforzar los conocimientos matemáticos elementales de la escuela media que se consideran básicos desempeñarse con éxito en el aprendizaje de las asignaturas que tienen a la matemática como herramienta fundamental.

∗ Encuestas y entrevistas a los docentes encargados del dictado de los cursos y a docentes responsables de Álgebra y Geometría Analítica y Álgebra II, para identificar los errores conceptuales y procedimentales, trabajados en el secundario y que persisten en el tiempo Asimismo reflexionar sobre las concepciones acerca de la enseñanza y aprendizaje de los docentes involucrados y sobre su propia práctica.

∗ Encuestas a los alumnos ingresantes, para conocer los diferentes estilos de aprendizaje, grado de conocimiento de la carrera elegida, interés por la matemática, compromiso para asumir con responsabilidad los estudios superiores.

- Conclusiones del Foro: Articulación Educación Polimodal-Universidad - Primeras Jornadas de Educación Matemática - FCEIA - Instituto Politécnico General San Martín, 2005. La propuesta es trabajar conjuntamente los distintos niveles educativos para que el tránsito de la Escuela Media a los estudios supriores no resulte una experiencia traumatizante y desde el punto de vista de la enseñanza- aprendizaje de la matemática consensuar metodologías que apunten a despertar el interés y la responsabilidad para realizar las tareas. ∗ Martha Guzmán: Matemática Curso Introductorio 2010-FCEIA-UNR-Editorial de

la Universidad de Rosario, 2009. ISBN 978-950-673-764-1

∗ Martha Guzmán: Reporte de una experiencia -El Aula de Matemática: Conocimiento + Entretenimiento- con E. Petrone - Material Didáctico para la Escuela Media (pág. 126) UNR Editora, 2007. ISBN 978-950-973-626-2

Desde el Proyecto 1 Ing 163:

- Caserio, M.; Co, P.; Guzmán, M.; Mataza, A.; Monti, G.; Vozzi, A.M.: “Dificultades del aprendizaje de la Matemática en carreras de Ingeniería” - Workshop de Educación Matemática, Asunción - Paraguay, 2004.

- Caserio, M.; Guzmán, M.; Vozzi, A.M.: “Aprender a aprender, una experiencia en Geometría Analítica” - RELME IXX, Montevideo - Uruguay, 2005.

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- Caserio, M.; Guzmán, M.; Vozzi, A.M.: “Obstáculos y errores en el aprendizaje del concepto de dependencia e independencia lineal” - RELME XX, Camagüey - Cuba, 2006.

- Caserio, M.; Guzmán, M.; Vozzi, A.M.: “Sobre qué nos enseñan los errores de nuestros alumnos” - RELME XXI, Maracaibo - Venezuela, 2007.

- Caserio, M.; Guzmán, M.; Vozzi, A.M.: “Análisis de los errores de nuestros Alumnos” - EMCI IVX, Mendoza - Argentina, 2008.

- Caserio, M.; Guzmán, M.; Vozzi, A.M.: “Una cuestión a debate, el texto de matemática, uso y abuso” - CIBEM VI, Puerto Montt - Chile, 2009.

- Celis, B.; Guzmán, M.; Sabatinelli, P.: “Errores comunes en los primeros ejercicios de derivación de funciones de una variable real” - EMCI VX, Tucumán - Argentina, 2009.

Fundamentación teórica Sabemos que el saber científico, el saber sabio, como define Chevalard, debe sufrir

adaptaciones y restricciones para ser transformado en un “saber a enseñar”, las que no se pueden considerar sólo como una simplificación del saber científico sino, ajustes efectuados sobre ese saber en el marco del respectivo contrato didáctico establecido, como señala el autor: “Trasposición didáctica es el pasaje de un contenido de saber preciso a una versión didáctica de este objeto de saber”. Entre las adaptaciones y restricciones referidas, se encuentra la selección de materiales,

textos y contenidos que se enseñan, así como la impronta que el docente pone en los contenidos, textos y el material escrito que selecciona, hecho que origina una nueva currícula que es la que se transmite. Es hoy por hoy incuestionable la poderosa influencia del texto en el trabajo en el aula,

tanto para los profesores como para los alumnos, constituyéndose como el referente exclusivo del saber científico (Perales y Jiménez, 2002). Respecto a la enseñanza de las ciencias, en todos los niveles educativos, el libro de texto

es el material curricular más utilizado, según Otero 1997: “El libro de texto es una de las herramientas de enseñanza y aprendizaje más extendido”. Uno de los pilares básicos sobre los que se sustenta la acción docente en cualquier nivel

educativo es el libro de texto junto con la manera en que se lo utiliza. Recurso imprescindible en la formación matemática superior, que con el correr de los

años, y por diversas razones, se incorporó en la educación matemática básica y aún en la escuela media. Es posible que algunos obstáculos a la comprensión de muchos estudiantes sean el

supuesto implícito de las prácticas lectoras universitarias y la naturaleza tácita del conocimiento contenido en los textos que se les da para leer. Los textos académicos que los alumnos han de leer en este nivel educativo suelen ser

derivados de textos científicos no escritos para ellos sino para conocedores de cada campo de estudios. Son textos que dan por sabido que los estudiantes saben, lo que no saben en realidad. Puede ser entonces que el carácter implícito, tanto del conocimiento contenido en los textos como de las prácticas lectoras que los docentes consideramos naturales (y no culturales) sea un factor determinante en el desempeño de muchos estudiantes. En relación con dichas prácticas de lectura en el ámbito universitario Carlino (2002)

fundamenta la complejidad y la fuerza del concepto, alfabetización académica, al poner de manifiesto que los modos de leer y escribir son específicos de cada ámbito:

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“Advierte contra la tendencia a considerar que la alfabetización es una habilidad básica, que se logra de una vez y para siempre. Cuestiona la idea de que aprender a interpretar lenguaje escrito es un asunto concluido al ingresar en la educación superior”. Aprender a leer parece constituirse en un proceso que debe continuar desarrollándose en la

vida adulta y que, en consecuencia, en el contexto universitario sigue requiriendo de la intervención docente en cada dominio de conocimientos. Mejorar la utilización del libro de texto, en especial, como recurso de aprendizaje de los

estudiantes, se convierte entonces en un problema de interés educativo En el marco de las teorías de enseñanza y aprendizaje que sustentan nuestra línea de

investigación, teorías que fueron explicitadas en nuestro anterior libro (Matemática en el nivel superior. Aprender a Aprender). Destacamos aquí como ejes o conceptos directores en éste proyecto en particular, las siguientes:

∗ Aprendizaje: proceso de adquisición de conocimientos, habilidades, valores y actitudes, posibilitado mediante el estudio, la enseñanza o la experiencia. Aprender y enseñar son partes de un mismo proceso. La enseñanza en el nivel superior se

basa, en cierta forma, en una clara apreciación del proceso de aprender. Un conocimiento del desarrollo de este proceso ayuda a ambas partes: estudiantes y profesores a realizar su tarea en común Aprender exige el uso de habilidades y estrategias de procesamiento. Estas habilidades y

estrategias facilitan tanto el componente de manejo personal de aprendizaje como el componente de pensamiento. Tomamos de distintas teorías del aprendizaje, aquellas concepciones que a nuestro juicio

aportan al crecimiento de las habilidades intelectuales, al aprendizaje significativo de los conceptos matemáticos y a su correcta manipulación en pos de facilitar la incorporación de futuras complejidades matemáticas. Consideramos así a Robert Gagne quien, entre otros, ha combinado los enfoques

conductista y cognitivista en la dinámica del aprendizaje, dando así lugar a una visión más integradora en la que el aprendizaje es concebido como proceso de asociación y de reestructuración. Este modelo explica cómo, de manera intencional se puede orientar el aprendizaje hacia metas específicas y por lo tanto planificarlo, incluyendo la adquisición de aptitudes. El principio básico es la planificación del aprendizaje con base en el análisis de la tarea. También destacamos algunos de los principios de Carl Rogers en donde la mayor parte

del aprendizaje significativo se logra mediante la práctica y se facilita cuando el estudiante participa de manera responsable en este proceso. Para este autor, el aprendizaje socializante más útil en el mundo moderno es el aprendizaje del proceso de aprender, una apertura continua para la experiencia y la incorporación, en nosotros mismos, del proceso de cambio.

Aprendizaje

Lectura

Comprensión

Texto

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Por otra parte, Vigotsky adhiere al modelo constructivista que tiene su estructura en el desequilibrio - reordenación - equilibrio, lo que le permite a la persona superarse constantemente, pero para él la actividad constructiva no es una actividad exclusivamente individual. Considera al ser humano un ser cultural donde el medio ambiente (zona de desarrollo próximo) tiene gran influencia, ya que las funciones mentales superiores se adquieren en la interacción social (deberá formar grupos de trabajo y esparcimiento). La intervención educativa debe tener como objetivo prioritario el posibilitar que los

alumnos realicen aprendizajes significativos por sí solos, es decir, que sean capaces de aprender a aprender. Aprender significativamente supone modificar los esquemas de conocimiento que el alumno posee. Esta forma de aprendizaje implica una intensa actividad por parte del alumno que consiste en establecer relaciones ricas entre el nuevo contenido y los esquemas de conocimiento ya existentes. Desde el punto de vista del constructivismo, el aprendizaje se entiende como un proceso

de reconstrucción personal de cada uno de los nuevos aprendizajes y de cada nuevo contenido, a partir de los conocimientos previos. Ausubel resumió esta idea como sigue: Si tuviera que reducir toda la psicología de la educación a un solo principio, diría esto:

el factor sencillo más importante que influencia el aprendizaje es lo que ya sabe el que aprende. Averígüelo y enseñe en concordancia con ello.

Juan D. Godino - Carmen Batanero: En la construcción de un aprendizaje significativo se intenta que se conceptualice

lógicamente la estructura del proceso de la concepción personal, la que deberá contener diferentes niveles: Intuitivo (operativo), declarativo (comunicativo), argumentativo (validativo) y estructural (institucionalizado).

∗ Lectura: es el proceso de la recuperación y comprensión de algún tipo de información o ideas almacenadas en un soporte y transmitidas mediante algún tipo de código. En definitiva, leer, más que un simple acto mecánico de descifrado de signos gráficos, es por encima de todo un acto de razonamiento, ya que de lo que se trata es de saber guiar una serie de razonamientos hacia la construcción de una interpretación del mensaje escrito a partir de la información que proporcionen el texto y los conocimientos del lector, y, a la vez, iniciar otra serie de razonamientos para controlar el progreso de esa interpretación de tal forma que se puedan detectar las posibles incomprensiones producidas durante la lectura.

La relación entre un soporte y su lectura reposa sobre lo que llamaremos el contrato de

lectura, el discurso del soporte por una parte y sus lectores por la otra, constituyen las dos partes entre las cuales se establece un nexo, el de la lectura (Eliseo Verón). Este autor distingue, a partir de clases de enunciador, dos tipos de contratos, a saber: - Enunciador objetivo e impersonal, habla la verdad: la combinación de aserciones

moralizadas, de preguntas en tercera persona, de cuantificaciones de consejos en un discurso donde ni el enunciador ni el destinatario está explícitamente marcados.

- Enunciador pedagógico: el que se construye entre un “nos” y un “ustedes” explicitado y el nexo se hará entre dos partes desiguales, una que aconseja, informa, propone, advierte,

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la otra que no sabe y es definido como destinatario receptivo o más o menos pasivo, que aprovecha. Por lectura se entiende también al proceso de aprehensión de determinadas clases de

información contenidas en un soporte particular que son transmitidas por medio de ciertos códigos, como lo puede ser el lenguaje. Es decir, un proceso mediante el cual se traducen determinados símbolos para su entendimiento. Se puede optar por códigos de tipo visual, auditivo e incluso táctil, como ocurre con el Braille, un método que utilizan los no videntes. Cabe destacar que existen alternativas de lectura que no necesariamente se respaldan en el lenguaje, como sucede por ejemplo con los pictogramas o la notación. La actividad de la lectura implica la puesta en marcha de varios procesos. La fisiología,

por ejemplo, ofrece la posibilidad de analizar y entender la capacidad de lectura del ser humano desde una perspectiva biológica (estudiando el ojo y la habilidad para fijar la visión). La psicología, por su parte, contribuye a conocer el proceso que se pone en

funcionamiento en la mente cuando alguien lee, tanto para interpretar símbolos, caracteres e imágenes como en la asociación de la palabra con lo que ese término representa. La lectura consta, básicamente, de cuatro pasos: la visualización (un proceso discontinuo,

ya que la mirada no se desliza de manera continua sobre las palabras), la fonación (la articulación oral, consciente o inconsciente, a través de la cual la información pasa de la vista al habla), la audición (la información pasa al oído) y la cerebración (la información llega al cerebro y culmina el proceso de comprensión). La lectura ofrece muchas ventajas, entre las que se encuentra, un enriquecimiento del

universo interno y de la comprensión de otras realidades, adquisición de conocimientos que podrían servir, entre otras cosas para mejorar la capacidad comunicativa y colaborar con el desarrollo de la capacidad de análisis, resolución de problemas y asociaciones. Hay dos tipos de lectura: lectura mecánica (rápida, sin ahondar en los conceptos, sirve

para tener un pantallazo general acerca de un tema, prescindiendo de los conceptos nuevos que pudieran surgir y de la estructura del texto. En este tipo de lectura el lector es pasivo porque lee para no aburrirse y de forma sistemática sin interiorizar en nada) y lectura comprensiva (detallada, intentado captar la mayor cantidad de información posible, de aprehender conceptos y alcanzar una visión analítica sobre el tema). Fundamentalmente se busca la interpretación crítica de lo que se lee. En este caso el lector es activo porque interroga, critica y analiza. A su vez dentro de estas lecturas se incluyen la lectura literal (comprender los contenidos

tal cual aparecen en el texto, por ejemplo para memorizar un poema), lectura deductiva (captar el contenido de lo que ha leído y analizarlo para saber si es correcto o no) y lectura sintáctica (discernir la idea principal y separarla de las secundarias en cada párrafo. Es decir captar el tema principal y poder elaborar un resumen del texto). La actitud es un aspecto fundamental de la lectura, como habrán podido suponer de

acuerdo a la descripción de lectura mecánica y comprensiva. El lector es protagonista y es el que decide qué tipo de resultados se obtendrán de esa actividad, la concentración y el interés son fundamentales para tener una lectura provechosa. Cabe destacar que se llama comprensión lectora al proceso que desarrolla cada lector al

leer, donde construye ideas, sentimientos y análisis a partir de lo que lee y utilizando sus conocimientos previos en contraposición con los que le ofrece dicha lectura. La interacción del lector con el texto es el eje central de dicha comprensión, y por ende fundamental para realizar una lectura eficiente y rica.

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En el trabajo profesional la lectura ocupa diferentes roles según la índole y el trabajo que desempeñe la persona. Pueden variar desde la lectura de instrucciones hasta la utilización y el estudio de material de información especializada: libros especializados, manuales y libros de texto que proporcionan información sobre técnicas y conceptos teóricos. El éxito y progreso en la profesión requiere de la capacidad de saber manipular este tipo de textos. Las estrategias de lectura son procedimientos complejos que involucran a lo cognitivo y lo

metacognitivo, en la enseñanza no pueden considerarse como técnicas precisas, recetas infalibles o habilidades específicas. Lo que caracteriza a la mentalidad estratégica es su capacidad para representarse y analizar los problemas y la flexibilidad para dar con las soluciones. Al enseñar estrategias de comprensión lectora se debe priorizar la construcción y uso por parte de los alumnos de estrategias generales que pueden ser transferidos sin mayores dificultades a otras situaciones de lectura. Ya que al abordar estos contenidos y al asegurar su aprendizaje significativo se contribuye al desarrollo del individuo, más allá de promover sus habilidades como lectores.

∗ Comprensión: es el proceso de elaborar el significado por la vía de aprender las ideas relevantes de un texto y relacionarlas con las ideas que ya tienen un significado. Es el proceso a través del cual el lector “interactúa” con el texto. Sin importar la longitud o brevedad del párrafo. La lectura es un proceso de interacción entre el pensamiento y el lenguaje, el lector necesita reconocer las letras, las palabras, las frases, sin embargo cuando se lee no siempre se logra comprender el mensaje que encierra el texto, es posible incluso que se comprenda mal. Como habilidad intelectual, comprender implica captar los significados que otros han transmitido mediante sonidos, imágenes, colores y movimientos. La comprensión lectora es un proceso más complejo que identificar palabras y significados, esta es la diferencia entre lectura y comprensión, la cual es un proceso de creación mental por el que, partiendo de ciertos datos aportados por un emisor, el receptor crea una imagen del mensaje que se le quiere transmitir Los problemas referidos a la comprensión de textos son (Benito, 2000): - Las dificultades para operar con la información del texto. El lector inmaduro suele

procesarla en forma lineal y tiene inconvenientes para identificar los aspectos globales que encierra el texto.

- Las deficiencias para evaluar y regular su propia comprensión. Un control inadecuado imposibilita al lector identificar las discrepancias entre la información científica que le proporciona un texto y los conceptos inapropiados que éste posee.

- Comprender un texto es una actividad controlada por el propio lector, dado que rara vez la construcción de conocimientos se manifiesta como una determinación propia, se requiere la intervención del docente para el acercamiento del alumno al libro (Macías, et al., 1999). El concepto de comprensión está relacionado con el verbo comprender, que refiere a

entender, justificar o contener algo. La comprensión, por lo tanto, es la aptitud o astucia para alcanzar un entendimiento de las cosas. Por ejemplo: Los alumnos tienen serios problemas en la comprensión de textos; Estoy aprendiendo

alemán, pero todavía me cuesta la comprensión de algunos conceptos; Sin la comprensión de las reglas, nunca podrás jugar a este deporte.

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Se conoce como comprensión lectora al desarrollo de significados mediante la adquisición de las ideas más importantes de un texto y a la posibilidad de establecer vínculos entre éstas y otras ideas adquiridas con anterioridad. Es posible comprender un texto de manera literal (centrándose en aquellos datos expuestos

de forma explícita), crítica (con juicios fundamentados sobre los valores del texto) o inferencial (leyendo y comprendiendo entre líneas), entre otras. Los factores que influyen en la comprensión de la lectura son: el lector, la lectura en sí, los

conocimientos que la persona tenga de antemano y las formas que utilice para realizar dicha acción. Cabe señalar que una de las razones que se relaciona con la deserción escolar es la

incapacidad de los alumnos para comprender lo que leen y posiblemente esta sea responsabilidad del sistema educativo, donde se enseña a leer pero no siempre a comprender lo que se lee. Dentro de la educación, la enseñanza de la lectura y escritura es muy importante, porque

gracias a ellas es que se pueden adquirir todos los otros conocimientos. A la hora de plantear los objetivos de la comprensión lectora en la educación, debe buscarse que los alumnos aprendan a utilizar determinadas estrategias que pudieran ayudarles a discernir entre diferentes textos y conseguir un aprendizaje eficiente. Cabe resaltar que la hermenéutica (del griego hermeneutiké) es la disciplina que se dedica

al estudio de la interpretación de los textos, determinando el significado preciso de los términos que se han empleado para transmitir las ideas. ∗ Texto: es una composición de signos codificado en un sistema de escritura (como un

alfabeto) que forma una unidad de sentido. Su tamaño puede ser variable. También es texto una composición de caracteres imprimibles (con grafema) generados por un algoritmo de cifrado que, aunque no tienen sentido para cualquier persona, si puede ser descifrado por su destinatario original. En otras palabras un texto es un entramado de signos con una intención comunicativa que adquiere sentido en determinado contexto. El texto es una unidad lingüística formada por un conjunto de enunciados que tienen una

intención comunicativa y que están internamente estructurados. Dicho de otro modo, un texto es un conjunto de enunciados internamente estructurado, producido por un emisor que actúa movido por una intención comunicativa en un determinado contexto. Para que un conjunto de enunciados pueda ser considerado como un texto es necesario una serie de relaciones semánticas y gramaticales entre sus elementos de manera que el destinatario pueda interpretarlo como una unidad. Sus dos principales propiedades son la coherencia y la cohesión Con origen en el latín textus, la palabra texto describe a un conjunto de enunciados que

permite dar un mensaje coherente y ordenado, ya sea de manera escrita o a través de la palabra. Se trata de una estructura compuesta por signos y una escritura determinada que da espacio a una unidad con sentido. Cada texto posee una cierta finalidad comunicativa: por medio de sus signos busca

transmitir un cierto mensaje que adquiere sentido de acuerdo a cada contexto. La extensión del texto es muy variable, desde unas pocas palabras hasta millones de ellas. De hecho, un texto es virtualmente infinito. Más allá del concepto básico (el texto como unidad de sentido), el mismo término permite

hacer referencia a cosas bastantes distintas entre sí. En este sentido, un libro completo, una

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frase de un periódico, un chat a través de Internet y una conversación en un bar incluyen textos. Es importante recalcar el hecho de que actualmente empleamos el citado término unido de

manera indisoluble a otro concepto dando lugar a la expresión “libro de texto”. Con ella intenta definirse a aquel libro u obra que es el que se emplea en los distintos centros escolares para que el alumno aprenda una materia concreta. De esta forma podríamos establecer como ejemplo el siguiente: “El profesor ordenó a

todos los estudiantes que sacaran de sus mochilas el libro de texto de Matemáticas para poder empezar la clase”. En ocasiones, la noción de texto se utiliza para nombrar al cuerpo de una obra impresa o

manuscrita, en oposición a aquello que va por separado. El texto, por lo tanto, es sólo el cuerpo principal de un libro, quedando fuera la portada, el índice, los apéndices, etc. Entre las características de un texto, se encuentran la coherencia (las distintas posturas e

informaciones que expone deben ayudar a formar una idea general), la cohesión (todas las secuencias de significado tienen que estar relacionadas entre sí) y la adecuación (debe estar en condiciones de llegar a su lector ideal). Los textos, por otra parte, guardan relación con otros textos para generar sentido. Esto

quiere decir que un texto siempre es interpretado a través de un marco de referencia. Para terminar hay que subrayar que en el ámbito de la tecnología y, en concreto, en el de

la informática se hace también un uso bastante extendido del término que estamos analizando. En concreto, se habla de lo que se conoce como procesador de textos que es un programa gracias al cual el usuario puede escribir en su ordenador diversos documentos. Word y Open OfficeWriter son los dos procesadores de este tipo más importantes y de uso más generalizado. De la misma forma a este proceso de escritura en computadora así como a la edición de la

misma a través de dicha herramienta se le da en llamar procesamiento de textos.

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ALGUNOS TRABAJOS EN EL MARCO DEL PROYECTO

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I. UNA CUESTIÓN A DEBATE: EL TEXTO DE MATEMÁTICA, USO Y ABUSO

Autores: Caserio, Mónica Beatriz -Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María. Presentado en VI Congreso Iberoamericano de Educación Matemática - Puerto Montt,

Chile 2009.

Introducción En el trabajo que presentamos expresamos una serie de reflexiones que refieren al inicio

de una investigación que llevamos a cabo en el marco del proyecto “Dificultades del aprendizaje de la matemática básica en carreras de ingeniería” (I219), dirigido por la Profesora Martha E. Guzmán, en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (FCEIA) de la Universidad Nacional de Rosario (UNR).Tiene que ver con la utilización de un texto en el aula, pretendemos indagar sobre las formas de utilización y las repercusiones sobre el aprendizaje de nuestros alumnos. ¿La forma en que utilizamos un texto puede convertirlo en un facilitador del aprendizaje o en un obstáculo? ¿Los docentes, tomamos en cuenta este factor cuando utilizamos un texto en el desarrollo de una asignatura? Es hoy por hoy incuestionable la poderosa influencia del texto en el trabajo en el aula,

tanto para los profesores como para los alumnos, constituyéndose como el referente exclusivo del saber científico (Perales y Jiménez, 2002). Respecto a la enseñanza de las ciencias, en todos los niveles educativos, el libro de texto

es el material curricular más utilizado, según Otero 1997: “El libro de texto es una de las herramientas de enseñanza y aprendizaje más extendido”. Uno de los pilares básicos sobre los que se sustenta la acción docente en cualquier nivel

educativo es el libro de texto junto con la manera en que se lo utiliza. Recurso imprescindible en la formación matemática superior, que con el correr de los

años, y por diversas razones, se incorporó en la educación matemática básica y aún en la escuela media. Las asignaturas comenzaron a utilizar el libro de texto en el aula, hecho que implicó una

serie de cambios en el formato tradicional de la clase, con el consiguiente debate sobre las ventajas y desventajas de ésta práctica. Un material clásico utilizado a lo largo de la historia reciente de la educación han sido los

libros de texto. Éstos han sido objeto de numerosos debates, entre los que podemos diferenciar las posturas críticas y las favorables.

Tabla 1: Opiniones sobre los textos

Críticas Favorables Fomentan la actitud pasiva de los alumnos,

ya que impiden que participen tanto en el proceso de aprendizaje como en la determinación de los contenidos

El texto escrito ejerce un papel muy importante siempre que no se quede en una mera lectura y memorización

No facilitan el contraste entre la realidad y las enseñanzas escolares

Los materiales para los conocimientos procedimentales ofrecen gran cantidad de ejercicios concretos

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No respetan la forma ni el ritmo de aprendizaje de los alumnos

La reiteración y la convenientemente secuenciación, promueven la relación de conceptos

Fomentan unas estrategias didácticas basadas primordialmente en aprendizajes por memorización mecánica

Dan lugar de forma progresiva a la adquisición de los requisitos previos necesarios para su completo dominio

La mayoría de los libros trata los contenidos de forma unidireccional. Están mediados por una infinidad de intereses

Sin entrar en la discusión respecto de la calidad de tal o cual texto, pensamos que es la

forma en la que se lo utiliza la que se constituye en una cuestión pertinente en esta investigación. En esta instancia, el área que nos compete es la utilización del libro de texto en

matemática en los primeros años de las carreras de ingeniería. Si bien el currículo fija, organiza y ordena el contenido a enseñar, los textos elegidos

como seguimiento lo concretan y lo cercan, sin alentar, en muchos casos, la discusión y abordaje de los mismos utilizando otros recursos. Los libros de textos seleccionados para una asignatura son una referencia muy fuerte,

tanto para los docentes, como para los alumnos. Marcan una gran influencia en el contenido enseñado por los docentes y consecuentemente en el estudiante, ya que los textos no solo establecen el orden, extensión y profundidad de los temas, sino también las gráficas, ejemplos, ejercitación, problemas a resolver y preguntas teóricas que deben, supuestamente analizar los alumnos. Nuestra experiencia En nuestro trabajo áulico, hemos incorporado la utilización de un texto como elemento de

organización y continuidad de la tarea, con el fin de fomentar la internalización del hábito de lectura en nuestros alumnos, para que alcancen las habilidades necesarias para abordar, en las siguientes etapas de sus estudios, las bibliografías requeridas en cada disciplina. Al respecto, en entrevistas mantenidas con docentes del área, destacamos de los

comentarios realizados por los profesores, expresiones como por ejemplo: Los alumnos saben leer, pero leen poco. No comprenden lo que leen. Los alumnos deberían llegar al nivel superior sabiendo estudiar y escribir mejor. Los alumnos tienen dificultad para razonar sobre lo que leen. Están acostumbrados a memorizar el texto. Falta de hábito de lectura. En esas expresiones subyace cierto supuesto acerca de que las destrezas del alumno-lector

formarían parte de un proceso cerrado y acabado en los niveles de escolarización previos. En esta instancia, los interrogantes que adquieren relevancia para el debate son:

- ¿El profesor conoce o advierte la complejidad de los procesos involucrados en la lectura de un texto académico superior?

- ¿Es consciente del uso de estrategias cognitivas en su propio proceso como lector?

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Entendemos también que los libros de texto de matemática deberían representar una contribución en el aprendizaje de los estudiantes, sin embargo, observamos que éstos tropiezan con serios obstáculos cuando se enfrentan con ellos. Según Sánchez Miguel, E., 1997, las dificultades que, para el estudiante, presentan los

textos pueden agruparse en torno a cuatro dimensiones: - Los textos presuponen un conocimiento previo sobre la temática que en general el

aprendiz no posee. - Los textos requieren por parte del aprendiz una contribución excesiva para garantizar la

coherencia. - Los textos carecen de metas claras y de un plan para alcanzarlas. - Los textos están redactados de tal manera que resultan opacos respecto a cómo unir

unas ideas con otras, cómo diferenciar su grado de importancia y cómo articularlas entre sí.

Nos interesa, entonces indagar respecto de la forma en que se los utiliza. - ¿qué condiciones y situaciones didácticas deberían cumplirse para la formación de

lectores autónomos? - ¿reconoce en los estudiantes la construcción de sentido en el abordaje de un texto

escrito? Entre las funciones que podemos asignarle a un libro de texto, destacamos:

- Recopilación de información textual e icónica. - Contener una propuesta didáctica concreta para ser puesta en práctica. - Construir un recurso didáctico (colabora con el docente en la toma de decisiones) Lo que presenta obstáculos a la comprensión de muchos estudiantes es el supuesto

implícito de las prácticas lectoras universitarias y la naturaleza tácita del conocimiento contenido en los textos que se les da para leer. Los textos académicos que los alumnos han de leer en este nivel educativo suelen ser

derivados de textos científicos no escritos para ellos sino para conocedores de cada campo de estudios. Son textos que dan por sabido que los estudiantes saben, lo que no saben en realidad. Puede ser entonces que el carácter implícito tanto del conocimiento contenido en los

textos como de las prácticas lectoras, que los docentes consideramos naturales (y no culturales) un factor determinante en el desempeño de muchos estudiantes. Las dificultades de los estudiantes universitarios para entender lo que leen se debe a que se

enfrentan por primera vez con textos que no están dirigidos a ellos sino a los académicos. O bien, si están dirigidos a ellos, no se desarrolla en el aula, bien por rasgos didácticos como por factores de tiempo, todo lo que contienen (ya que es inevitable que los textos tengan una “figura”, que destaca y desenvuelve algunos conceptos, y un “fondo” de nociones secundarias). ¿De qué forma utilizamos el libro de texto en la clase? En nuestra indagación, respecto de este trabajo, pudimos observar que son muy pocos los

docentes que relacionan en la clase, frente a los alumnos las diferencias y/o similitudes entre lo desarrollado por él y lo escrito en el libro. En las reuniones de docentes, cuando se discute sobre el desarrollo de los distintos temas,

surgen algunos comentarios, entre los cuales podemos citar:

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En las consultas y entrevistas con alumnos, recogemos opiniones tales como:

En el análisis realizado en las instancias de evaluaciones, notamos que el alumno, en

numerosas ocasiones, repite lo que leyó en el texto, no resuelve con las herramientas dadas

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por el docente, y otras veces hacen una “mezcla explosiva” entre lo que leyeron del texto y las explicaciones dadas por el docente. Observamos también que en los alumnos que se presentan a rendir la materia

inmediatamente terminado el cursado, tiene mayor influencia el discurso del docente, mientras que en aquellos que lo hacen posteriormente, prevalece el discurso del libro. Advertimos que un gran número de estudiantes no compatibiliza los discursos sino que es como si los consideraran contrapuestos. Reflexiones finales Aprender a leer parece constituirse en un proceso que debe continuar desarrollándose en

la vida adulta y que, en consecuencia, en el contexto universitario sigue requiriendo de la intervención docente en cada dominio de conocimientos. En la actualidad, la utilización del libro en la clase, se reduce a la disponibilidad de un

cronograma temático que incluye el desarrollo de casi todos los temas del programa de la asignatura. El estudiante asiste a clase con su libro y mientras el docente explica el tema de ese día, él va buscando en el libro el mismo título, una vez ubicado, escucha al docente, toma nota (en algunos casos). Este hecho se pone en evidencia cuando el alumno observa o acota: “esto no está en el libro”, ¿esto dónde está? ¿En qué página? En múltiples oportunidades, el lugar del libro es ocupado por la fotocopia de algunos

capítulos, lo que implica un recorte de los contenidos con la consecuente parcialización de los conceptos involucrados. El desafío de los docentes es posibilitar que los alumnos sean capaces de afrontar las

demandas del discurso académico, desarrollen habilidades cognitivas y metacognitivas para comprender la información que obtienen de la lectura de textos científicos y así, concretar sus aprendizajes, pues es habitual el suponer que leer es encontrar en el texto la información que pareciera ofrecer, desconociendo si tal información sólo puede ser apreciada por aquellos que disponen de ciertos marcos cognitivos que ellos aún no han elaborado, solemos exigirles que interpreten o infieran de lo escrito en el texto y no lo que allí está escrito, lo que hace necesario que dispongan de conocimientos previos que le permitan tal acción.

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II. ¿QUÉ LEEN NUESTROS ALUMNOS EN EL TEXTO DE MATEMÁTICA?

Autores: Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María. Presentado en XV Encuentro de Enseñanza de la Matemática en Carreras de Ingeniería

(EMCI) -Tucumán, Argentina 2009. Introducción En este trabajo continuamos una línea de investigación que iniciamos en el año 2006,

dentro del proyecto “Dificultades en el Aprendizaje de Matemática en Carreras de Ingeniería”, que se refleja en el artículo “Una Cuestión a debate: El texto de Matemática, Uso y Abuso” de nuestra autoría, presentado en el IV CIBEM - Puerto Montt - Chile, en el mismo reflexionamos sobre: La problemática resultante de la utilización del libro de texto en las clases de matemática

en los primeros años de las carreras de ingeniería. Es de nuestro interés generar un debate en nuestra comunidad académica, que permita, entre otras cosas, aportar inquietudes y reflexiones que enriquezcan la actividad docente, el trabajo áulico, de modo que la utilización de un libro de texto en la clase resulte provechosa, intentando mejorar las condiciones de aprendizaje de nuestros alumnos Entendemos como relevante en este debate la discusión de las siguientes preguntas: ¿De qué forma utilizamos el libro de texto en la clase? ¿Qué condiciones y situaciones didácticas deberían cumplirse para la formación de

lectores autónomos? ¿El profesor conoce o advierte la complejidad de los procesos involucrados en la lectura

de un texto académico superior? ¿Es consciente del uso de estrategias cognitivas en su propio proceso como lector? ¿Reconoce en los estudiantes la construcción de sentido en el abordaje de un texto

escrito?” Marco teórico Los docentes del nivel educativo superior atribuimos generalmente los fracasos de los

estudiantes en el desempeño universitario, a sus prácticas previas ...en la identificación de dificultades, fundamentalmente las que se refieren a habilidades

intelectuales, aparecen enunciadas y no siempre percibidas como posibles consecuencias de la interacción áulica. En general se observa una tendencia a atribuir a los alumnos sus éxitos o fracasos, o a buscar causas externas que expliquen los bajos rendimientos. Esto es un indicador de la dificultad de advertir la pertinencia de las variables pedagógicas en las instancias de formación universitaria, al menos en cuanto a su incidencia en las potenciales dificultades en la apropiación de conocimientos en el nivel universitario. (Baquero y otros, 1996, p. 110) Entendemos que las estrategias de trabajo del alumno en la Universidad son construidas

durante el paso por el sistema y que de su construcción depende en gran medida el éxito o el fracaso académico

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La generación de estrategias y procedimientos de trabajo académico tienen en este sentido un rol preponderante relacionado con lo social, lo organizacional y lo cognitivo; no se enseñan específicamente pues se construyen durante el proceso de inserción y se mejoran y/o modifican en el transcurso de la vida de las personas en la organización, pero de su conocimiento y dominio depende principalmente el éxito en el aprendizaje "oficial" explicitado en objetivos y dominios curriculares y evaluados a través de mecanismos diseñados “a tal efecto”. La responsabilidad en la elaboración de las estrategias de trabajo del ámbito universitario,

en este caso en la construcción de sentido en la práctica de lectura es de nosotros, los docentes, de otra manera ¿quiénes podrán asumir este compromiso? Lerner (2002) plantea dos condiciones básicas para que los alumnos puedan ejercer como

lectores autónomos en el aula: - Poder operar sobre la relación tiempo-saber, la idea es que el alumno conociendo los

propósitos hacia los cuales se orientan las actividades, pueda anticipar lo que va a suceder.

- Construir y conservar la memoria de la clase, que le permita registrar, recuperar lo aprendido y relacionarlo con lo que se está aprendiendo.

Por lo tanto, creemos que si tomamos la decisión de enseñar a nuestros estudiantes a leer, escribir y estudiar en la disciplina que nos compete, habremos de planificar actividades que le den sentido a tales prácticas de lectura y escritura. Nuestro trabajo Intentamos conocer las interpretaciones que realizan nuestros alumnos respecto de algunos

conceptos inherentes al Álgebra lineal, de modo que el hecho de conocerlas nos brinde la oportunidad de diseñar estrategias didácticas que contribuyan, entre otras cosas, a colaborar con ellos en el proceso de formarse como lectores autónomos. En esta oportunidad elaboramos un cuestionario para que fuera respondido por alumnos de

la asignatura Álgebra II de las carreras de ingeniería de la FCEIA - UNR, donde se presentaba un párrafo extraído del texto y se ofrecían opciones sobre su interpretación. Es dable aclarar que el texto utilizado para la extracción de los párrafos es el que usa la cátedra en la clase y por lo tanto es el que mayoritariamente utilizan nuestros alumnos CUESTIONARIO Respondieron 126 alumnos Aclaración: Se entiende por SEL: Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. El texto enuncia (Pág. 21): “primero se separan las variables en delanteras y

libres. Las variables delanteras son las que corresponden a posiciones pivote. Las variables restantes, si las hay, son libres” Se refiere a:

a. las incógnitas de un SEL b. los valores de los coeficientes de un SEL c. la matriz ampliada de un SEL d. que el SEL tiene infinitas soluciones siempre

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e. Ninguna de estas opciones. 2. En el texto (Pág. 29) “Demuestre que si el tamaño de una matriz es mxn, la

cantidad de columnas pivote en su forma escalonada es menor o igual a m y menor o igual a n” Significa que:

a. la matriz tiene el mismo número de columnas que de renglones b. el nº de columnas pivote es menor o igual al número de renglones c. el nº de columnas pivote es mayor o igual al número de renglones d. el SEL, cuya matriz es la referida siempre tiene variables libres e. el SEL, cuya matriz es la referida siempre tiene solución única f. Ninguna de estas opciones.

3. En el texto (Pág. 70): “Sea A una matriz de mxn y el sistema [A:b] es

consistente…..Todo vector b Є mℜ es una combinación lineal de las columnas de A” Significa que:

a. el vector nulo no es combinación de las columnas de A

b. Existen vectores de mℜ que son combinación lineal de las columnas de A

c. Existen vectores de nℜ que son combinación lineal de las columnas de A

d. Hay algunos vectores de mℜ que son combinación lineal de las columnas de A y otros que no lo son

e. No existen vectores en mℜ que no sean combinación lineal de las columnas de A. 4. En el texto (Pag.105): “El producto matricial A.x es el vector m expresado como la

combinación lineal nnaxaxaxxA +++= ....... 2211

Se entiende que: a. los coeficiente de la combinación lineal son nxxx ,....,, 21

b. el resultado de esta operación es una matriz B c. los vectores de la combinación lineal son los renglones de A d. siempre las columnas de A son no nulas e. cada vector renglón tiene m componentes

Tabla 1. Respuestas obtenidas en cantidad y porcentaje

Respuestas Aceptable % No aceptable % 1º 61 48.4 65 51.6 2º 64 50.7 62 49.2 3º 29 23 97 77 4º 49 38.8 77 61.2

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0

10

20

30

40

50

60

70

80

Aceptable No Aceptable

1°

2°

3°

4°

Figura 1: gráfico de barras de las respuestas aceptables y no aceptables.

Los resultados muestran que algunos alumnos todavía no han alcanzado el nivel de lectura comprensiva, que De Zubiría (1997) define como lectura elemental de decodificación terciaria. Tenemos clara evidencia aquí que la comprensión no es un proceso de todo o nada, los alumnos pueden comprender parcialmente, en diferentes grados, o totalmente. Nos muestra, asimismo, el error del supuesto subyacentes de los profesores universitarios

que sobreentienden que sus estudiantes "deben comprender" los contenidos disciplinares específicos en los textos científicos. El alumno, en el nivel medio, realiza sus tareas acercándose a libros de texto copiando

contenidos, pero no logra adquirir nueva información, se queda en repetir y retener memorísticamente lo estudiado. En este nivel como en varios de estudios superiores se enseña apoyándose en una clase

magistral, pronunciada por el profesor y encomendando al alumno la misión de buscar en el libro de texto los temas desarrollados. El estudiante se limita a leer y aprender de memoria, posteriormente se hacen preguntas acerca de su contenido, esto no presume un aprendizaje significativo. Sabemos que lo que un lector obtiene de la lectura depende de sus conocimientos previos

y de lo que ha aprendido a buscar en los textos, es tarea del profesor: - Ofrecer categorías de análisis para interpretar los textos. - Tomar conciencia de aquello que realiza él mismo, como miembro de una comunidad

disciplinar. - Desarrollar los contenidos condensados de los textos. - Explicar refiriendo al texto, para que los estudiantes puedan conectar lo que leen con lo

que se enseña en el aula. La responsabilidad por cómo se leen los textos científicos y académicos en la educación

superior no puede seguir quedando a cargo de los alumnos exclusivamente. Ha de ser una responsabilidad compartida entre estudiantes, profesores e instituciones. Si las estrategias de lectura son procedimientos y los procedimientos son contenidos de

enseñanza, entonces hay que enseñar estrategias para la comprensión de los textos. Éstas no maduran, ni se desarrollan, ni emergen, ni aparecen. Se enseñan –o no se enseñan– y se aprenden –o no se aprenden–. Ellas son procedimientos complejos que involucran a lo cognitivo y lo metacognitivo, en

la enseñanza no pueden considerarse como técnicas precisas, recetas infalibles o habilidades específicas. Lo que caracteriza a la mentalidad estratégica es su capacidad para representarse y analizar los problemas y la flexibilidad para dar con las soluciones. Es que al enseñar

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estrategias de comprensión lectora se deba priorizar la construcción y uso por parte de los alumnos de estrategias generales que pueden ser transferidos sin mayores dificultades a otras situaciones de lectura. Ya que al abordar estos contenidos y al asegurar su aprendizaje significativo se contribuye al desarrollo del individuo, más allá de promover sus habilidades como lectores. A modo de conclusión Comprender un texto es una actividad controlada por el propio lector, dado que rara vez la

construcción de conocimientos se manifiesta como una determinación propia, se requiere la intervención del docente para el acercamiento del alumno al libro (Macías, et al., 1999). Los recursos cognitivos propios se despliegan frente a la necesidad de resolver situaciones

o problemas concretos. El grado de conciencia o conocimiento que las personas poseen sobre sus procesos cognitivos es una actividad metacognitiva (Flavell 1976; Vargas y Arbelaez 2001). La metacognición posibilita al individuo la adquisición de conocimientos, además, el empleo y control de los mismos (Vargas y Arbelaez 2001). En este proceso existen dos instancias: el conocimiento de la finalidad de la lectura (para qué se lee) y la autorregulación de la actividad cognitiva para lograr dicho objetivo (cómo se lee). En el trabajo profesional la lectura ocupa diferentes roles según la índole y el trabajo que

desempeñe la persona. Pueden variar desde la lectura de instrucciones hasta la utilización y el estudio de material de información especializada: libros especializados, manuales y libros de texto que proporcionan información sobre técnicas y conceptos teóricos. El éxito y progreso en la profesión requiere de la capacidad de saber manipular este tipo de textos. El desafío de los docentes es posibilitar que los alumnos sean capaces de afrontar las

demandas del discurso académico, desarrollen habilidades cognitivas y metacognitivas para comprender la información que obtienen de la lectura de textos científicos y así, concretar sus aprendizajes, pues es habitual el suponer que leer es encontrar en el texto la información que pareciera ofrecer, desconociendo si tal información sólo puede ser apreciada por aquellos que disponen de ciertos marcos cognitivos que ellos aún no han elaborado, solemos exigirles que interpreten o infieran de lo escrito en el texto y no lo que allí está escrito, lo que hace necesario que dispongan de conocimientos previos que le permitan tal acción.

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III. LECTURA Y APRENDIZAJE. UN COMPROMISO DOCENTE

Autores: Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María. Presentado en Congreso Iberoamericano de Educación (METAS 2021) - Buenos Aires,

Argentina 2010. Introducción En este trabajo, que realizamos dentro del proyecto Matemática en Ingeniería. El libro de

texto, factor coadyuvante en la producción de los conocimientos, continuamos una línea de investigación, que mostramos en el artículo “¿Qué leen nuestros alumnos en el texto de matemática?”, presentado en el XXII EMCI en Tucumán, Argentina (2009). En él reflexionamos sobre la problemática resultante de la utilización del libro de texto en las clases de matemática en los primeros años de las carreras de ingeniería. Como creemos primordial, desarrollar acciones que susciten en los estudiantes la apropiación de nuevas prácticas lingüísticas y discursivas (o reconstruyan las que poseen para adecuarlas y emplearlas en nuevos contenidos disciplinares) acciones que promuevan la incorporación de aquellas prácticas específicas, que les permitan avanzar en su vida académica para encontrar nuevas propuestas que lo acompañen en el proceso de asumir un lugar autónomo y crítico, tanto en su futura profesión cómo en la sociedad. En este contexto adquiere importancia relevante mejorar el vínculo Estudiante - Libro de Texto - Docente (E-LT-D) a fin de facilitar el desarrollo de competencias de manera explícita durante el proceso de formación, lo cual supone revisar las estrategias de enseñanzas y aprendizajes de manera de garantizar que los estudiantes puedan realizar en forma autónoma, actividades que le permitan avanzar en su desarrollo. Marco teórico El ingeniero no solo debe saber, sino también saber hacer en el contexto del ejercicio de

su profesión. El saber hacer no surge de la mera adquisición de conocimientos sino que es el resultado de la puesta en funciones de una compleja estructura de conocimientos, habilidades, destrezas, etc., que requiere ser reconocida expresamente en el proceso de aprendizaje para que la propuesta pedagógica incluya las actividades que permitan su desarrollo. Los docentes del nivel educativo superior atribuimos generalmente los fracasos de los

estudiantes de Ingeniería en su desempeño universitario, a sus prácticas previas de la escuela secundaria. No obstante, entendemos que las estrategias de trabajo del alumno en la Universidad son construidas durante el paso del mismo por el sistema y que de su construcción depende en gran medida el éxito o el fracaso académico La generación de estrategias y procedimientos de trabajo académico tienen en este sentido

un rol preponderante relacionado con lo social, lo organizacional y lo cognitivo; no constituyen un material que se enseña específicamente pues se construyen durante el proceso de inserción y se mejoran y/o modifican en el transcurso de la vida de las personas en la organización, pero de su conocimiento y dominio depende principalmente el éxito en el aprendizaje “oficial” explicitado en objetivos y dominios curriculares y evaluados a través de mecanismos diseñados a tal efecto. ¿Quiénes podrán asumir ese compromiso?

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¿Quiénes tendrán la responsabilidad en la elaboración de las estrategias de trabajo del ámbito universitario? La construcción de sentido en la práctica de lectura debe ser asumida por nosotros, los

docentes. Creemos que si tomamos la decisión de enseñar a nuestros estudiantes a leer, escribir y

estudiar en la disciplina que nos compete, habremos de planificar actividades que le den significado a tales prácticas de lectura y escritura. La experiencia En el trabajo citado en la introducción, exploramos las interpretaciones que realizan

nuestros alumnos respecto de algunos conceptos inherentes al Álgebra lineal, de modo que el hecho de conocerlas nos brinde la oportunidad de diseñar estrategias didácticas que contribuyan, entre otras cosas, a colaborar con ellos en el proceso de formarse como lectores autónomos. El cuestionario que elaboramos e instrumentamos a alumnos de la asignatura Álgebra II

de las carreras de ingeniería de la FCEIA-UNR, muestra un párrafo extraído del texto que ofrece opciones sobre su interpretación. Aclaramos que el texto utilizado para la extracción de los párrafos es el que usa la cátedra en la clase y por lo tanto es el que mayoritariamente utilizan nuestros alumnos CUESTIONARIO (ver página 25) Los resultados obtenidos en la oportunidad del la experiencia “Que leen nuestros alumnos

en el texto de matemática”, muestran que algunos alumnos todavía no habían alcanzado el nivel de lectura comprensiva, que De Zubiría (1997) define como lectura elemental de decodificación terciaria. Tuvimos clara evidencia allí que la comprensión no es un proceso de todo o nada, los alumnos pueden comprender parcialmente, en diferentes grados, o totalmente. Destacamos que en aquella instancia el abordaje de la lectura por parte de los estudiantes

se realizó en forma individual. La habilidad de los sujetos para realizar con éxito esta tarea puede verse facilitada u

obstaculizada por las características de los textos. Por ejemplo, la organización lógica (coherencia de la secuencia de ideas) y la presencia de conectores y señalizaciones sobre lo relevante, son factores que facilitan la construcción de representaciones. Los textos disciplinares en la educación superior, a diferencia de los textos escolares

elementales, están escritos en lenguajes muy específicos, son difíciles de leer y están redactados, en general, sin atender al nivel de capacidades genéricas de los posibles lectores en el nivel, donde serán aplicados. Estas características suelen dificultar su uso como material de estudio. Se hace necesario, entonces, generar formas de enseñar a los estudiantes estrategias que

les permitan mejorar su desempeño en la compleja tarea de dialogar con los textos. “La relación entre un soporte y su lectura reposa sobre lo que llamaremos el contrato de

lectura, el discurso del soporte por una parte y sus lectores por la otra, constituyen las dos partes entre las cuales se establece un nexo, el de la lectura” (Eliseo Verón). Este autor distingue, a partir de clases de enunciador, dos tipos de contratos, a saber:

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- Enunciador objetivo e impersonal, habla la verdad: la combinación de aserciones moralizadas, de preguntas en tercera persona, de cuantificaciones de consejos en un discurso donde ni el enunciador ni el destinatario está explícitamente marcados.

- Enunciador pedagógico: el que se construye entre un “nos” y un “ustedes” explicitado y el nexo se hará entre dos partes desiguales, una que aconseja, informa, propone, advierte, la otra que no sabe y es definido como destinatario receptivo o más o menos pasivo, que aprovecha.

Tomando la perspectiva de contrato de lectura enunciada por Eliseo Verón, podemos decir que hemos utilizado los dos tipos de enunciadores. En el trabajo “Que leen nuestros alumnos en el texto de matemática” utilizamos el

enunciador objetivo, hecho que podemos describir como la lectura directa por parte del alumno, sin la mediación explícita del docente. En una nueva experiencia, apelamos al enunciador pedagógico, el que se evidencia en la

mediación explícita del docente en el abordaje de la lectura del texto. En esta ocasión utilizamos como estrategia didáctica la lectura en conjunto (alumno-

profesor), utilizando las pausas, la puntuación, intentando promover “el dialogo con el texto”. Para llevar adelante esta tarea, hicimos una presentación con power point a fin de orientar la

lectura y facilitar el diálogo con el texto. En esta se ponía de manifiesto la importancia de algunos aspectos a tener en cuenta cuando abordamos la lectura de un texto específico de una disciplina (en nuestro caso un texto de álgebra lineal). Para el diseño de la presentación seleccionamos un tema que el libro desarrolla en cuatro

páginas, quitamos los ejemplos y agregamos preguntas que referían tanto a cuestiones propias de la disciplina así como de los párrafos (los signos de puntuación, espacios, títulos, etc.).

32

TEOREMA 11: Dados dos vectores n no cero, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Los vectores son linealmente dependientes. 2. Un vector es un múltiplo escalar del otro. 3. El ángulo que forman los vectores es 0 o π

DEMOSTRACIÓN: Se deja como ejercicio.

¿Qué signif ica la af irmación 1? c1v1+c2 v2= 0, con c1=c2=0

¿la af irmación 2? v1= c2v2

TEOREMA 12: (Criterio de independencia lineal) Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El conjunto de vectores m { }1 2, ,..., nv v v es linealmente independiente.

2. El sistema sólo tiene la solución trivial [ ]1 2 : 0nv v vL

3. La matriz tiene n posiciones pivote (es decir cada columna es columna pivote):

[ ]1 2 nv v vL

DEMOSTRACION: 1 2⇔ , porque 1 1 2 2 ... k nc c c+ + + =v v v 0 , y

[ ]1 2 : 0nv v vL son expresiones equivalentes.

Por otro lado 2 3⇔ , de acuerdo con el enunciado 2 del teorema 3, sección 1.2.

33

• Cómo leemos el punto 1?• C1v1+ ……..+Cnvn = 0 con C1=….=Cn= 0

• A que se refiere en el punto 2?• Refiere a un S.E.L homogéneo, cuya matriz de coeficientes, A, tiene como

columnas a los vectores v1, ….,vn

• Cual es la solución única admitida por ese SEL homogéneo? C1=….=Cn= 0

• Respecto del punto 3• Si A es la matriz de coeficientes del SEL homogéneo, cómo queda su

forma escalonada?

Luego de la lectura y los debates suscitados, cerramos con una aplicación práctica

(ejemplo) realizada en conjunto con los alumnos y una serie de preguntas respecto a los conceptos abordados. El tiempo insumido en la clase para el desarrollo del tema, fue apenas mayor que el

necesario en una clase habitual. Algunas semanas después de haber realizado esta experiencia, les dimos a los alumnos el

mismo cuestionario que utilizamos en el trabajo anterior. Si bien los conceptos involucrados en el cuestionario no fueron necesariamente los

mismos que tratamos en la clase utilizada para la experiencia, notamos que las respuestas evidenciaron una amplia mejoría en la comprensión de los significados, inclusive en la interrelación entre ellos. Lo que da muestras que, si bien comprender un texto es una actividad controlada por el propio lector, rara vez la construcción de conocimientos se manifiesta como una determinación propia, se requiere la intervención del docente para el acercamiento del alumno al libro (Macías et al., 1999). Si las estrategias de lectura son procedimientos y los procedimientos son contenidos de enseñanza, entonces hay que enseñar estrategias para la comprensión de los textos. Ellas son procedimientos complejos que involucran a lo cognitivo y lo metacognitivo, en

la enseñanza no pueden considerarse como técnicas precisas, recetas infalibles o habilidades específicas. Lo que caracteriza a la mentalidad estratégica es la capacidad para representarse y analizar los problemas y la flexibilidad para dar con las soluciones. Es que al proponer estrategias de comprensión lectora se debe priorizar la construcción y uso por parte de los alumnos de estrategias generales que pueden ser transferidos sin mayores dificultades a otras situaciones de lectura. Ya que al abordar estos contenidos y al asegurar su aprendizaje significativo se contribuye al desarrollo del individuo, más allá de promover sus habilidades como lectores.

34

A modo de conclusión La responsabilidad por cómo se leen los textos científicos y académicos en los primeros

cursos de la educación superior no puede recaer exclusivamente en los alumnos, pues es habitual el suponer que leer es encontrar en el texto la información que pareciera ofrecer, desconociendo si tal información sólo puede ser apreciada por aquellos que disponen de ciertos marcos cognitivos que ellos aún no han elaborado, solemos exigirles que interpreten o infieran de lo escrito en el texto y no lo que allí está escrito, lo que hace necesario que dispongan de conocimientos previos que le permitan tal acción. Ha de ser una responsabilidad compartida entre estudiantes, profesores e instituciones. El desafío de los docentes es posibilitar que los alumnos sean capaces de afrontar las

demandas del discurso académico, de desarrollar habilidades cognitivas y metacognitivas para comprender la información que obtienen de la lectura de textos científicos y así, concretar sus aprendizajes.

35

IV. UNA EVALUACIÓN SOBRE LA IMPORTANCIA DEL TEXTO DE MATEMÁTICA EN

EL APRENDER A APRENDER

Autores: Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María. Presentado en XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática - Recife, Brasil 2011. Antecedentes y fundamentación teórica Las autoras de este trabajo integramos un proyecto de investigación denominado: El libro

de texto, factor coadyuvante en la producción de los conocimientos, dirigido por la Prof. Martha Guzmán y radicado en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (FCEIA) de la Universidad Nacional de Rosario (UNR), Argentina. En este proyecto, pretendemos indagar respecto de la utilización del libro de texto como

mediador del aprendizaje y diseñar alternativas didácticas que posibiliten al estudiante de ingeniería el desarrollo de estrategias para “aprender a aprender”. De investigaciones anteriores surge como un factor de importancia en la enseñanza-

aprendizaje de matemática en carreras de ingeniería, el vínculo entre Estudiantes-Libro de Texto-Docentes. Mejorar la utilización del libro de texto, como recurso de aprendizaje de los estudiantes, se

convierte entonces en un problema de interés educativo. Según Eisner (1979): Enseñar es un arte, porque una clase, además de ser una fuente de experiencia estética,

depende de la percepción y del control en acción de muchas variables, siendo una actividad creativa e innovadora que no es dominada por prescripciones. Para él la enseñanza es una empresa en la cual debe estar presente una tensión entre automatizaciones necesarias e invenciones que surgen en la acción. Esto la vuelve compleja, una vez que enseñar requiere rutinas con las cuales trabajar, para que la expresión artística ocurra. Entendiendo que es prioritaria la competencia como docentes:

- Asumir la responsabilidad que nos compete como docentes de apoyar el tránsito de los estudiantes entre los niveles Medio-Superior, Básico-Profesional.

- Buscar sensibilizar a los actores institucionales acerca de la necesidad de mejorar nuestro conocimiento de los factores cognitivos, afectivos y motivacionales que inciden en el desempeño de los alumnos.

- Contribuir a consolidar instancias de encuentro y difusión, en las que podamos poner en común experiencias, proyectos y expectativa.

Para actuar en la urgencia de las acciones a ser realizadas en el aula el profesor decide en la incertidumbre inherente al propio proceso de enseñanza-aprendizaje. - Innovar y evaluar los nuevos proyectos en una actitud de permanente búsqueda de

mejora de nuestro desempeño profesional como docentes. El éxito de una estrategia adoptada va a depender del dominio que tenga de una serie de

micro situaciones encadenadas unas a las otras, en las cuales usando diálogos reflexivos

36

improvisados intenta resolver los problemas que surgen. La improvisación desempeña un papel importante en el proceso de reflexión-en la-acción. En los años en que desarrollamos nuestra tarea docente en la enseñanza de la matemática

en carreras de Ingeniería, observamos cómo se ampliaron las distancias entre los niveles medio-superior, así como entre los ciclos básico-profesional, impactando sobre la permanencia y fluidez del tránsito de los alumnos en las carreras por ellos elegidas. Hechos que se destacan en los estudios existentes sobre el alto grado de deserción, recursado en las asignaturas de matemáticas del ciclo básico, como en el bajo índice de egresados. De numerosos estudios e investigaciones emerge la problemática referida a la relación de

los estudiantes con los libros de texto, donde se pone de manifiesto, entre otras, las siguientes: - falta de hábito de lectura y reflexión sobre lo leído - dificultades para comprender lo leído - deficiente capacidad de atención - insuficiente desarrollo de la capacidad lectora - imposibilidad de decodificación - dificultades para comunicar conocimientos Nos interesa generar un debate en nuestra comunidad académica, que permita, entre otras

cosas, aportar inquietudes y reflexiones que enriquezcan la actividad docente, el trabajo áulico, de modo que la utilización de libros de texto en la clase contribuya a mejorar las condiciones de aprendizaje de nuestros alumnos. A partir de éstas ideas surgen algunos interrogantes que operan como hipótesis de trabajo:

- ¿de qué forma utilizamos el libro de texto en la clase? - ¿el profesor conoce o advierte la complejidad de los procesos involucrados en la

lectura de un libro de texto de la disciplina utilizado en la Universidad? - ¿es consciente del uso de estrategias cognitivas en su propio proceso como lector? - ¿reconoce en los estudiantes la construcción de sentido en el abordaje de un texto

escrito? - ¿qué condiciones y situaciones didácticas deberían cumplirse para la formación de

lectores autónomos? Metodología La población, en estudio, está constituida por los alumnos de primer año de Carreras de

Ingeniería, así como por docentes del área matemática que dictan sus materias en esos cursos. El marco elegido es el de una investigación activa, por entender que ella se dirige a su

aplicación inmediata y no al desarrollo de teorías. Su propósito es el de mejorar la práctica educativa y al mismo tiempo perfeccionar a quienes han de mejorar sus métodos. Apela a los docentes que tienen problemas por resolver y le corresponde comprometer e implicar a los mismos, proporcionándole un camino para el progreso profesional y la mejora del plan de estudios. Por ese sentido, nos ubicamos tanto a nivel didáctico como a nivel de investigación, en el

cuadro de la Ingeniería Didáctica, puesto que consideramos que en el contexto de un paradigma cualitativo el “saber a enseñar” y el “caso a investigar “ son susceptibles de ser tratados a través de ella.

37

La experiencia En el marco de este proyecto realizamos una serie de prácticas en las que analizamos la

comprensión de conceptos matemáticos del área de Álgebra lineal a partir de textos de la asignatura, ensayando distintas modalidades respecto de la utilización del libro de texto como recurso de aprendizaje de los estudiantes. Esta tarea nos llevó a discutir sobre la estructura de los textos utilizados y su influencia en

la compresión, por parte de los estudiantes, de los conceptos abordados. La relación entre un soporte y su lectura reposa sobre lo que llamaremos el contrato de

lectura, el discurso del soporte por una parte y sus lectores por la otra, constituyen las dos partes entre las cuales se establece un nexo, el de la lectura (Eliseo Verón). Este autor distingue, a partir de clases de enunciador, dos tipos de contratos, a saber:

- Enunciador objetivo e impersonal, habla la verdad: la combinación de aserciones moralizadas, de preguntas en tercera persona, de cuantificaciones de consejos en un discurso donde ni el enunciador ni el destinatario está explícitamente marcados.

- Enunciador pedagógico: el que se construye entre un “nos” y un “ustedes” explicitado y el nexo se hará entre dos partes desiguales, una que aconseja, informa, propone, advierte, la otra que no sabe y es definido como destinatario receptivo o más o menos pasivo, que aprovecha.

Hicimos en esta oportunidad, un análisis de los soportes (libros de textos) utilizados en la Universidad en la asignatura Álgebra y Geometría II de las carreras de Ingeniería. Los textos utilizados fueron:

- Álgebra Lineal y Aplicaciones de George Nakos y David Joyner (G.N.). - Álgebra Lineal con aplicaciones de Stanley Grossman (S.G.). La actividad consistió en la lectura de la unidad, por parte de los alumnos y a

continuación se les entregaba, a modo de trabajo práctico, preguntas referidas al tema abordado. Discusión de resultados Trabajamos con dos grupos de alumnos, cada grupo con uno de los textos, 46 de ellos con

GN y 42 con SG. A continuación exponemos a modo de ejemplo, la tarea llevada a cabo con una unidad

temática: Espacio generado, dependencia e independencia lineal. En G.N. define:

“El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores-n v1…..vk, se llama espacio generado por los vectores v1…..vk y se representa por Gen{ v1…..vk}. Si V = Gen{ v1…..vk}, se dice que v1…..vk generan a V, y que { v1…..vk} es un conjunto generador de V”

En S.G. define:

“Sean v1…..vk k vectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por {v1…..vk} es el conjunto de combinaciones lineales de v1…..vk . Es decir, espacio {v1…..vk}= { v/ v = a1v1+…….+akvk} donde a1,…..,ak son escalares.

38

Se les solicitó a los alumnos que respondieran algunas cuestiones, a saber: 1.1. ¿Qué obtenemos combinando linealmente vectores? 1.2. Sabiendo que u = 2v - 3w

¿u Gen {v , w}? ¿v Gen { u , w}?

1.3. Sabiendo que a + b + c = 0 ¿ a es combinación lineal de b y c ? ¿ a ∈ Gen {b+c}? 1.4. Si V = Gen {m, n , p }, y además m, n y p son vectores de 3ℜ , entonces V = 3ℜ . Las respuestas obtenidas mostraron que la comprensión de los conceptos no fue la esperada,

los estudiantes, en un número importante, no realizaron las asociaciones necesarias, si bien en su gran mayoría, podían reproducir textualmente la definición estudiada, no lograban aplicarla en algún ejemplo diferente a los presentados por el texto. Vale hacer la siguiente referencia, uno de los libros analizados define en la misma sección

los conceptos de “combinación lineal” y de “conjunto generador”, no lo hace el otro texto. A continuación de las definiciones dadas en ambos libros se presentan ejemplos con

ejercicios numéricos resueltos en donde se le da mayor énfasis al algoritmo utilizado que al concepto definido previamente. También se observa que en ambos se realizan generalizaciones a partir de algún ejercicio

resuelto, por ejemplo: Se dan 2 vectores de R3, se pide obtener el espacio generado por ellos, una vez hecho los cálculos y obtenida la ecuación del espacio pedido, se concluye que: “El espacio generado por dos vectores de R3 que no sean paralelos es un plano que contiene al origen” En ninguno de los libros analizados se realizan preguntas referidas a los conceptos vertidos,

no lo hacen ni antes, ni durante ni inmediatamente después de definido el concepto, ni tampoco en los ejemplos. Sin embargo en algunos aparecen al final del capítulo a modo de autoevaluación. Respecto de los teoremas En G.N.

Teorema 9 (Reducción de conjunto generador) Si uno de los vectores m v1,…..,vk es una combinación lineal del resto, el espacio

generado permanece igual si se elimina ese vector

Demostración: Para comodidad en la notación podemos suponer que kv es una

combinación lineal de 1 1, . . . , k −v v (si es necesario renombrando los vectores). Entonces

1 1 1 1...k k kc c − −= + +v v v Para algunos escalares 1 1,..., kc c −

.

Sean V y V´ los espacios generados correspondientes a 1,..., kv v y de

1 1,..., k −v v .

Es preciso comprobar que V =V´. Como cualquier combinación lineal de 1 1,..., k −v v es una

combinación lineal de 1,..., kv v (sumándole 0 kv ), entonces ´V V⊆ .

Basta demostrar que ´V V⊆ . Sea V∈u . Entonces

1 1 ... k kd d= + +u v v para algunos 1,..., kd d . Se tiene

39

( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ( ... ) ...k k k k k k k kd d c c d d c d d c− − − − −= + + + + = + + + +u v v v v v

que es una combinación lineal de 1 1,..., k−v v . Por consiguiente V∈u . Y entonces ´V V⊆

como se afirmaba. En S.G.

Teorema 2 Sean v1,……,vn,vn+1 n+1 vectores que están en un espacio vectorial V. Si v1,……,vn

generan V, entonces v1,……,vn,vn+1 también generan V. Es decir, la adición de uno o más vectores a un conjunto generador da por resultado otro conjunto generador.

2.0. Para la demostración (queda a cargo del lector) ofrece una sugerencia: si v ε V,

escriba v como combinación lineal de v1,……,vn, vn+1 con el coeficiente de vn+1 igual a cero. El trabajo de los alumnos en esta ocasión se relacionó con la demostración del teorema, pudimos observar que aquellos que trabajaron con G.N. podían presentar la demostración tal cual lo realiza el texto, no así los que utilizaron S.G., no obstante las respuestas a las preguntas referidas a los pasos realizados para demostrar la validez de la propiedad enunciada no fueron bien respondidas en la mayoría de los casos. Respecto de la aplicación de la propiedad, ambos grupos evidenciaron el mismo grado de

dificultad. 2.1. Si V = Gen {m , n}, y no existen a, b números reales tales que am + bn = p,

donde m, n, p son vectores, entonces:¿ Gen {m , n , p }=V? 2.2. Sea W = Gen {u, v}, entonces: ¿Es W = Gen {u+v, v}? En esta cuestión, si bien el enfoque en cada libro es diferente, consideramos válidos ambos y

pensamos que es “cuestión de gustos”, no obstante nuestra crítica radica en el hecho de cómo se presenta un teorema, aparece como una prosa, donde la habilidad necesaria para identificar hipótesis-tesis, datos-incógnitas, “qué sé y qué quiero probar” es mucha, cuando el lector inexperto (nuestros alumnos) aborda esta tarea, generalmente lee la prosa como tal y le resulta sumamente dificultoso identificar los elementos que componen el teorema. Esta dificultad se hace evidente cuando el alumno nos “recita” el teorema, y nos escribe “la demostración” sin haber comprendido el concepto involucrado, lo que se observa tanto en las respuestas a preguntas puntuales sobre el mismo como en la incapacidad para aplicar lo probado en algún problema. Dependencia e independencia lineal En G.N.

Una sucesión de vectores n , v1,…..,vk es linealmente dependiente si 0 es una combinación lineal no trivial de esos vectores. En otras palabras, cuando hay escalares c1,…..,ck y no todos son cero, como c1v1+……+ckvk = 0 (2.12) Un conjunto v1,…..,vk de vectores n es linealmente dependiente si lo es como sucesión. Una relación de la forma (2.12) cuando no todas las c1,…..,ck son cero, se llama relación

de dependencia lineal. Un conjunto v1,…..,vk de vectores n es linealmente independiente si no es linealmente

dependiente. Es lo mismo que decir que la única combinación lineal de 0 en función de v1,…..,vk es la trivial, o que en la ecuación (2.12) implica que c1 =0,…..,ck =0

40

En S.G.

Sean v1, ….., vn n vectores de un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, ….., cn, no todos cero, tales que c1v1+……+cnvn = 0 Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente

independientes.

4.0. Aquí les solicitamos a nuestros alumnos que presentaran ejemplos de conjuntos de

vectores, algunos linealmente independientes y otros linealmente dependientes y pudimos observar que en muchos casos no habían comprendido las definiciones dadas. Uno de los textos refiere a conjunto de vectores y a sucesión de vectores, preguntamos

sobre la diferencia entre los dos y la gran mayoría de los estudiantes no había reparado en ello. Ambas definiciones aparecen “claras” para aquellos lectores experimentados y

fundamentalmente conocedores de la temática abordada, no así para los lectores inexpertos (nuestros estudiantes). Creemos que sería un buen aporte incluir entre párrafos algunas preguntas que

contribuyan a la real comprensión de la o las definiciones dadas. En G.N.

Teorema 11 Dados dos vectores n, no cero, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Los vectores son linealmente dependientes 2. Un vector es un múltiplo escalar del otro 3. El ángulo que forman los vectores es 0 o π Demostración: se deja como ejercicio.

En S.G.

Teorema 1 Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si y sólo si uno de

ellos es un múltiplo escalar del otro Demostración: Supóngase primero que 12 cvv = para algún escalar 0≠c . Entonces 021 =− vcv y 21 y vv

son linealmente dependientes. Supóngase por otra parte que 21 y vv son linealmente dependientes. Entonces existen

constantes c1 y c2 , no ambas cero, tales que 02211 =+ vcvc . Si c1 ≠ 0, entonces al dividir

entre c1 se obtiene 021

21 =

+ vccv , o lo que es lo mismo, 2

1

21 v

c

cv

−= Es decir, 1v es

múltiplo escalar de 2v . Si c1= 0, entonces c2 ≠ 0 y por tanto 2v = 0 = 0 1v .

En este caso indagamos: 4.1. Dé la definición de dependencia lineal para los vectores u y v.

41

4.2. Sabiendo que el ángulo entre u y v es un tercio de π. ¿Es {u , v} linealmente independiente? El grupo de alumnos que utilizó el texto con las afirmaciones equivalentes (G.N) presentó

mayores inconvenientes en la comprensión de los resultados. Reconocen las equivalencias pero no logran demostrarlas. El segundo grupo no logra inferir la propiedad geométrica en forma espontánea, aún cuando en la geometría del plano y el espacio les resulta evidente. Algunos índices de lo expuesto:

Tabla 1 Resumen de datos

Respuestas Correctas (%)

1.1 1.2 1.3 1.4 2.0 2.1 2.2 3 4.1 4.2

GN 39 26 30 21.7

60 32.6

28 47.8

32.6

34.7

SG 34.7

28.5

28.5

19 33.3

26 23.8

42.8

45.2

30.9

Fuente: encuesta privada 2010 Conclusiones Comprender lo que se lee, involucra:

- Extraer ideas de las palabras del texto, ordenándolas y encontrando las distintas estructuras de relaciones (orden y jerarquía);

- Integrar esa información a la representación previa del mundo, que incluye la estructura de conocimientos previos;

- Saber controlar y regular esos procesos a través de la creación de objetivos que permitan la rectificación de malentendidos o la ratificación de las hipótesis previamente formuladas.

La comprensión de un texto constituye el primer paso en su aprendizaje. En el estudio y aprendizaje de un texto se deben implicar formas de administración de la información que permitan su recuperabilidad. C. Snow (2002) sostiene que la comprensión de un texto depende de cuatro componentes interactivos: - Características del lector, - Características del texto, - Actividades o tareas de lectura, - El contexto sociocultural. Algunas investigaciones postulan que, tras la lectura de un texto, se construyen dos

representaciones mentales diferentes denominadas “base textual” y “modelo de situación”. La base textual se elabora a partir de las proposiciones del texto, esta representación refleja, sobre todo las relaciones de coherencia entre las proposiciones, así como su organización. El modelo de situación, es una representación mental del contenido textual generada a

partir de los conceptos a los que se refiere el texto y de los esquemas de conocimiento del lector, implica la integración de los elementos del nivel anterior (base textual) con los conocimientos previos del sujeto. Construir un adecuado modelo de la situación, facilitara la realización de inferencias, resolución de problemas, etc. Los resultados de la experiencia llevada a cabo indican que numerosos alumnos todavía no

han alcanzado el nivel de lectura comprensiva, definida por De Zubiría (1997) “como lectura elemental de decodificación terciaria”. Tal situación debe llamarnos a la reflexión a

42

los profesores universitarios que sobreentendemos que los estudiantes "deben comprender" los contenidos disciplinares específicos en los textos científicos. La responsabilidad por cómo se leen los textos científicos y académicos en la educación

superior no puede seguir quedando a cargo de los alumnos exclusivamente. Ha de ser una responsabilidad compartida entre estudiantes, profesores e instituciones. Creemos oportuno generalizar y compartir las experiencias con los docentes del área

realizando actividades de cooperación e integración en lo que se refiere a la utilización de textos, entendiendo la lectura y escritura como herramientas del autoaprendizaje. Observamos que entre las principales dificultades de la lectura en la Universidad se

destaca la naturaleza implícita de los saberes en juego. Por una parte los textos científicos y académicos contienen información tácita, que sus autores suponen el lector puede reponer. Por otra parte, los docentes esperan que sus alumnos lean y entiendan lo que ellos entienden, proponiendo implícitamente un tipo de lectura con características desconocidas para los estudiantes. Prospectiva En reuniones con los colegas, donde analizamos los resultados de la experiencia,

coincidimos en que si nos ocupamos en que los alumnos alcancen los niveles correspondientes de lectura , así como también superar el hábito del dictado adquirido a lo largo de la etapa escolar que no ayuda en los procesos de redacción en la universidad, haciéndolos producir sus propios textos escritos y desplegar su capacidad discursiva, les estaremos brindando la oportunidad de lograr un aprendizaje independiente. Cada profesor universitario posee categoría de lector experimentado lo que le permite

ofrecer una ayuda especializada que contribuya a orientar a los alumnos en la asimilación y transformación de la información, logrando conocimientos productivos. Porque el objetivo de la enseñanza de nivel superior es la formación de científicos y

profesionales con capacidad de asimilación e integración de información con miras a resolver problemas y plantear soluciones. Algunas propuestas Orientar la interpretación de los textos a través de guías de preguntas, remarcando los

ítems importantes para la comprensión de los conceptos. Realizar tareas de escritura “El problema con la lectura recién suele hacerse evidente

cuando los alumnos escriben: allí es donde muestran sus incomprensiones, a partir de las cuales los docentes podemos retroalimentar sus interpretaciones iniciales” (P. Carlino 2004). El alumno universitario, futuro ingeniero, deberá manejarse en un mundo profesional

competitivo que le demandara una permanente interrelación con el lenguaje escrito, por lo tanto, se hace necesario adquirir y desarrollar las competencias necesarias para participar de dicho “diálogo” entre colegas.

43

V. EL ÁLGEBRA LINEAL PARA INGENIEROS, UNA PROPUESTA FACILITADORA

Autores: Vozzi, Ana María - Medina, Mabel - Cornaglia, Laura. Presentado en XVI EMCI - UNCPBA - Olavarría, Argentina 2011. Introducción En el nivel universitario se requiere un aprendizaje eficiente en tiempo y esfuerzo. En

el área de la Matemática la tendencia es dedicar el tiempo que se emplea en cálculos rutinarios y operatoria estéril en sí misma, a la formación de conceptos y aplicación del conocimiento. En las carreras de Ingeniería, la Matemática además de disciplina formativa primordial, es la herramienta general. La computadora permite la inmediata verificación numérica de una propiedad, la representación gráfica en dos y tres dimensiones, la utilización de resultados teóricos a problemas concretos en situaciones reales y ayuda a una exploración inductiva del conocimiento por la inmediatez de la respuesta del procesador. Esto, puede ser utilizado para educar en los conceptos de la matemática y enseñar que, para la parte operativa es la computadora la que da la solución siempre que el que la use sepa lo que quiere y entienda lo que ella le ofrece como resultado. En particular, en la enseñanza del Álgebra Lineal para las carreras de Ingeniería, los

alumnos luchan con los conceptos abstractos que no pueden aún vincular con las aplicaciones. Conceptos como de dependencia e independencia lineal, cambio de base, transformaciones lineales, autovectores, autovalores, polinomio característico son trabajados en las clases teóricas y en la práctica en forma tradicional. En los últimos años se han desarrollado las llamadas herramientas CAS (Computer

Algebraic System); como poderosas calculadoras numéricas, simbólicas y gráficas que no requieren conocimientos específicos de programación. Las nuevas herramientas ayudan y estimulan a ‘hacer’, ‘enseñar’ y ‘aprender’ Matemática. Utilizan una sintaxis lógica y son abiertas a la creación de nuevas funciones. Realizan la manipulación de símbolos y expresiones que se obtienen al resolver ecuaciones Algebraicas lineales. El propósito de este trabajo es mostrar una propuesta donde se utilizan las capacidades de estas herramientas en el tratamiento de los temas del Álgebra Lineal, que corresponden al programa de la asignatura Álgebra y Geometría II de las carreras de Ingenierías de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario. En el presente trabajo se propone llevar al aula la resolución de los ejercicios tradicionales

mediante la aplicación del software libre Scilab para implementar las diferentes formas de resolución, ahorrando el tiempo empleado en cálculos rutinarios con el propósito de proveer más tiempo de clase para discutir sobre conceptos matemáticos. Fundamentación Existen dos tipos de software de cálculo científico: los programas de cálculo simbólico

que ‘hacen matemática’ y los programas de cálculo numérico, que son principalmente concebidos para las aplicaciones matemáticas. En la primera categoría se encuentran, entre otros, Maple, Mathematica, MuPad. Estos softwares son utilizados desde hace varios años en las clases de matemática básica de las universidades. En la segunda categoría de programas de cálculo numérico, donde el mercado es más amplio, se encuentran los

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programas comerciales Matlab y Xmath. Aquí se inserta Scilab, con la diferencia que es un software libre (al igual que Octave y FreeMath), distribuido con su código fuente. Scilab ha sido desarrollado principalmente por investigadores del INRIA (Instituto Nacional de Investigación en Informática y Automática de Francia) y de la ENPC (Escuela Nacional de Puentes y Calzadas, Francia) con numerosas contribuciones exteriores, a menudo bajo la forma de toolboxs. Scilab es ahora mantenido por un consorcio en el que participan financieramente una veintena de grandes sociedades (ver la página www.scilab.org). Scilab es un paquete de software científico para computación numérica que provee un entorno de trabajo computacional abierto y potente para aplicaciones científicas y de Ingeniería Las universidades, necesitan clarificar una serie de puntos importantes sobre los software

libres ya que se crea un gran dilema ético, puesto que la tecnología que acompaña la producción y adquisición de conocimientos no cumple con la transmisión de valores sociales básicos como la igualdad, cosa que si ocurriría si se utilizaran software libres, ya que tendrá de esa manera una construcción ética de la sociedad del conocimiento. Este trabajo intenta dar cuentas de una utilización práctica del software Scilab con

alumnos de la FCEIA (UNR), estudiantes del Ciclo básico de Ingeniería, en la asignatura Álgebra y Geometría II. En dicha asignatura se desarrollan conceptos como dependencia e independencia lineal entre vectores de Rn, el cálculo de determinantes, eigenvalores y eigenvectores, matriz de transformaciones, etc.; casi en su totalidad utilizando el Método de Gauss-Jordan, para tales fines. Hemos seleccionados algunos ejercicios prácticos para que los estudiantes obtengan los

resultados, que en clase se muestran en forma desarrollada, mediante la utilización del laboratorio de informática, con el fin de orientarlos a la utilización del Scilab como herramienta de trabajo para sus aplicaciones posteriores del ciclo superior. Desarrollo Se seleccionaron cuatro ejercicios para su resolución numérica, dos de ellos se extrajeron

de la Guía Práctica propuesta por la cátedra, basada en la ejercitación de Nakos y Joyner, 1999, y los restantes de exámenes de la materia. Como ejemplificador se muestra uno de ellos. Ejercicio: Sea W un espacio vectorial de dimensión igual a 3 y sea { }321 a;a;aB

rrr= una base

de W , considerando los vectores:

⋅+⋅−=

⋅−⋅−⋅−=

⋅−⋅−=

⋅+⋅−⋅−=

314

3213

3212

3211

24

442

32

565

aab

aaab

aaab

aaab

rrr

rrrr

rrrr

rrrr

+=

+=

+=

313

322

211

aau

aau

aau

rrr

rrr

rrr

Se desea conocer: (a) La nulidad y el rango de la matriz: [ ] [ ] [ ] [ ][ ]BBBB b,b,b,bC 4321

rrrr

= ; (b) Si el

conjunto { }321 u;u;u'Brrr

= es una base de W , y en caso afirmativo [ ] 'Bb4

r

.

A continuación se muestra la resolución del ejercicio como ejemplo de la versatilidad y simplicidad del software. a. Conformación de la matriz C : vectores de coordenadas. El ingreso de los componentes

puede realizarse de dos maneras:

45

i. Conformando cada uno de los vectores coordenados (coeficientes de la combinación lineal): [ ] 4 1ai;

Bib =r

, para luego conformar la matriz a partir de ellos.

ii. Obviar la conformación de los vectores para ingresar directamente la matriz a partir de los coeficientes de la combinación lineal. b. Obtención de la nulidad y rango de la matriz C : i. Mediante su forma escalonada y/o escalonada reducida, se evalúa su rango de

acuerdo a la cantidad de elementos pivote y su nulidad a partir de la cantidad de variables libres del sistema reducido. ii. La otra alternativa, es en forma directa aplicando las sentencias que el software

proporciona para ello, como se muestra en la Tabla 1.

Tabla 1: Solución computacional de la Consigna (a) del ejercicio.

SCILAB -->b1=[-5;-6;5],b2=[1;-2;-3],b3=[-2;-4;-4],b4=[-4;0;2] b1 = - 5. - 6. 5. b2 = 1. - 2. - 3. b3 = - 2. - 4. - 4. b4 = - 4. 0. 2. -->C=[b1,b2,b3,b4] C = - 5. 1. - 2. - 4. - 6. - 2. - 4. 0. 5. - 3. - 4. 2. -->C=[-5,1,-2,-4;-6,-2,-4,0;5,-3,-4,2] C = - 5. 1. - 2. - 4. - 6. - 2. - 4. 0. 5. - 3. - 4. 2. O bien: -->C=[-5 1 -2 -4;-6 -2 -4 0;5 -3 -4 2]; -->clean(rref(C)) ans = 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. - 2. 0. 0. 1. 1. (1)

46

(b) -->NulC=clean(kernel(C)) NulC = 0. 0.8164966 - 0.4082483 0.4082483 -->norm(NulC) ans = 1. (2) Verificación: -->clean(C*NulC) ans = 0. 0. 0. -->rank(C)= 3

Tabla 2: Comandos utilizados en la solución del ejercicio.

OPERACIÓN EFECTUADA SOBRE UNA MATRIZ

COMANDOS DE SCILAB

Forma escalonada. --- Forma escalonada

reducida. rref

Espacio nulo. kernel Rango de una matriz. rank

Determinante. det Inversa. inv

Autovalores. spec Autovectores. ---

Observación: La forma escalonada reducida de la matriz C nos conduce al siguiente

sistema:

0

0 2

0

=+

=−

=

wz

wy

x

La solución general para el espacio nulo de C , ( )Cν , y su base resultan: ( ) ( ){ } ( ){ }112020 ,,,Genr;r,r,r,C −=ℜ∈−=ν Es decir, la nulidad de 1=C . Con relación al rango, la cantidad de pivotes es igual a 3, por lo tanto, el rango de 3=C . Reflexiones Este trabajo se realizó durante el segundo semestre del 2009, en el marco de una

adscripción a la Cátedra de Álgebra y Geometría II de la FCEIA que cuenta con siete cursos de aproximadamente noventa alumnos cada curso. La actividad se realizó en un solo curso del turno mañana. Es importante destacar algunos aspectos que dificultan al estudiante el buen desempeño en

esta asignatura pues:

47

- Dado que la asignatura se dicta en el segundo semestre del primer año de cursado, en general los alumnos, en su mayoría, carecen aún de un pensamiento abstracto que les facilite la comprensión de determinados conceptos más complejos del Álgebra. - La carga horaria asignada es insuficiente para el desarrollo de todas las temáticas

involucradas, lo que impide que se realice un proceso de pensamiento evolutivo por parte de los estudiantes. - Los docentes pocas veces logran abarcar mayoría de los temas involucrados, debido

a la falta de tiempo, motivado tal vez en un excesivo trabajo previo tratando de reforzar tema sencillos que podrían ser resueltos con un software (como el método de reducción por renglones) dejando tal vez con menos recursos de tiempo para plasmar las respuestas útiles que éste proporciona (referido al método) en los temas como cambio de base, eigenvalores, etc. - El tiempo asignado es insuficiente para el desarrollo del programa de la asignatura

debido a que la carga horaria de la materia es de cinco horas semanales durante quince semanas en clases teórico-prácticas, contando con los horarios de las evaluaciones parciales en forma escrita, que en un total de dos deben acreditar durante el cursado. Por estos motivos, se propone una actividad alternativa. Ésta consiste en utilizar la

herramienta computacional con el fin de que los alumnos puedan, sin grandes inversiones de tiempo, arribar a resultados numéricos que le ayuden al entendimiento de algunos de los temas abstractos. Como ejemplo se puede observar el cambio de base que se trata en el ejercicio expuesto. Debido a la falta de tiempo ya enunciada, esta actividad alternativa no ha podido ser

llevada a cabo. Es la intención de los docentes de la cátedra implementarlo en el próximo cursado. El software Scilab puede ser utilizado con la simplicidad de una calculadora científica.

Con la accesibilidad de las netbooks, que ya son comunes entre nuestros alumnos, se ve facilitada la actividad en el salón de clase sin necesidad de ir al laboratorio. La facultad cuenta con una red wi-fi que permite el acceso a Internet en todos sus lugares físicos lo que posibilita que los alumnos accedan al software.

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VI. INTERPRETACIONES ERRÓNEAS DE CONCEPTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO

VECTORIAL

Autores: Arnulfo, Angélica - Guzmán, Martha Elena - Kurdobrin, Alicia Isabel - Pérez,

Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín. Presentado en XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática - Recife, Brasil

2011. Descripción de la asignatura Análisis Matemático III es una asignatura común a todas las ingenierías, ubicada en el

primer semestre del 2º año. Sus contenidos básicos son: Ecuaciones Diferenciales, Integrales Triples, Cálculo Vectorial, Sucesiones y Series Numéricas, Series de potencia, Series de Taylor y MacLaurin. Para desarrollar los contenidos se utiliza el libro de texto “Cálculo” de G. Thomas (Cálculo varias variables. 2008, Editorial Internacional Thompson Editores) y apuntes de cátedra para el tema de Ecuaciones Diferenciales. La ejercitación mínima sugerida a los alumnos corresponde a una selección de ejercicios del libro de texto y una práctica adicional en Ecuaciones Diferenciales. Posee una carga horaria de 6 horas reloj semanales. Durante el cursado se rinden dos evaluaciones parciales con posibilidad a recuperar una. La primera evaluación parcial cubre los contenidos de Ecuaciones Diferenciales, mientras que la segunda cubre los contenidos de Cálculo Vectorial incluyendo el Teorema de Green. En un tercer parcial, al finalizar el semestre, se evalúan los contenidos que no hayan formado parte de las evaluaciones parciales anteriores: Teorema de Stokes, Teorema de la Divergencia, Sucesiones y Series Numéricas, Integrales Impropias. Para poder cursar esta asignatura se debe tener aprobada la correlativa correspondiente,

Análisis Matemático II, que cubre los siguientes contenidos: Integrales Definidas y sus aplicaciones (área, volumen, masa y centro de masa, trabajo), Técnicas de Integración, Cálculo Diferencial para Funciones de Varias Variables, Funciones Vectoriales, Coordenadas Polares e Integrales Dobles. Introducción Entre las conclusiones del proyecto 1Ing 163: Dificultades de la enseñanza y aprendizaje

de la matemática en carreras de Ingeniería, radicado en la misma unidad académica que el proyecto al que pertenece este trabajo, señalamos dentro de las dificultades que enfrentan los alumnos, la falta de dominio de los conceptos básicos, la falta de habilidades para el análisis y resolución de problemas, las dificultades en el abordaje de cualquier cuestión que involucre el “pensamiento formal”, un insuficiente desarrollo de la capacidad creadora y la imposibilidad de transferir conocimiento a nuevas situaciones. Estas dificultades estarían entre otras, asociadas a la problemática relación de los

estudiantes con los libros de texto: falta de hábito de lectura y reflexión sobre lo leído, dificultades para comprender lo leído, deficiente capacidad de atención, insuficiente desarrollo de la capacidad lectora, inconvenientes de decodificación y dificultades para comunicar conocimientos. Mejorar la utilización del libro de texto, como recurso de aprendizaje de los estudiantes, se

convierte entonces en un problema de interés educativo.

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En general el alumno que ingresa hoy a la Universidad, quiere “aprender” las cosas de manera rápida, fácil y sin esfuerzo, como docentes nos sentimos compelidos a explicar y explicitar con todos los detalles posibles los diferentes temas que se desarrollan en cada materia, entorpeciendo en muchos casos el proceso de desenvolvimiento autónomo. De esta manera, el alumno adopta una actitud pasiva y receptiva únicamente, limitándose a copiar y luego “memorizar”. Esta memorización irreflexiva lo incapacita para realizar razonamientos lógicos-deductivos y establecer conjeturas, pilares que creemos fundamentales para aprender Matemática. Miguel De Zubiría Samper (2006), subraya en su Teoría de las seis lecturas: La lectura es el puerto por el cual ingresan la mayor parte de conocimientos, la puerta cognitiva

privilegiada. La lectura de los textos involucra: compresión, interpretación e inferencia. Ella implica un proceso cognitivo muy complejo que incida en el conocimiento de las estructuras lingüísticas, la cultura y el contexto. En la vida estudiantil es imposible concebir una actividad académica de aprendizaje sin la presencia de la lectura. Por lo tanto, ella es la clave para la formación profesional.

Los libros de textos constituyen uno de los medios más empleados en todas las culturas

para adquirir conocimiento. Por tal razón, la lectura es el medio principal para estudiar y formar intelectuales. Adherimos a la idea de que la educación es un proceso de formación, de acceso al

pensamiento crítico y a la construcción del saber. Desde esta postura, la didáctica en el ámbito universitario debe ser orientada fundamentalmente a fomentar en los estudiantes la conciencia de aprender, la capacidad de estudiar. Hemos detectado algunos errores recurrentes en la interpretación de conceptos claves de la

asignatura, como función potencial, integral de línea y campo conservativo. Suponemos que estos errores podrían ser debido a la interpretación errónea de la lectura del material bibliográfico y que conducen a respuestas contradictorias en el contexto del trabajo propuesto. El objetivo de este trabajo es describir estos errores y sugerir a modo de hipótesis didáctica algunas causas que conducen a ellos en relación con lo que plantea Emilio Sánchez Miguel (1989). Desarrollo Adherimos a la postura del Dr. Luis Rico (1995), el cual señala que: La falibilidad del conocimiento humano, es decir, la capacidad de considerar como verdaderos

conceptos y procedimientos que están deficientemente desarrollados, que incluyen ideas contradictorias o interpretaciones y justificaciones falsas, ha sido una preocupación constante en filósofos y pensadores que se han ocupado de estudiar la capacidad del hombre por conocer y comprender. El error es una posibilidad permanente en la adquisición y consolidación del conocimiento y puede llegar a formar parte del conocimiento científico que emplean las personas o los colectivos.

Esta posibilidad no es una mera hipótesis. Basta con observar lo que ha ocurrido a lo largo

de la historia de diversas disciplinas en las que se han aceptado como conocimientos válidos multitud de conceptos que, hoy día, sabemos que son erróneos. La preocupación por el conocimiento erróneo, por las condiciones que lo hacen posible y

por las funciones que puede desempeñar en el dominio y avance de la ciencia, ha ocupado

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parte importante de las reflexiones de filósofos de las ciencias y epistemólogos, entre los que podemos destacar a Popper, Bachelard, Russell y Lakatos. Estudiar y analizar los errores cometidos por los estudiantes ha emergido en los últimos

años como una gran línea de estudio e investigación en Educación Matemática. Brousseau, G., Davis, R., Werner, T. (1986), señalan cuatro vías mediante las que el error

puede presentarse: 1. Los errores son a menudo el resultado de grandes concepciones inadecuadas acerca

de aspectos fundamentales de la matemática. 2. Frecuentemente los errores se presentan como resultado de la aplicación correcta y

crédula de un procedimiento imperfecto sistematizado, que se puede identificar con facilidad por el profesor. 3. También los errores pueden presentarse cuando el alumno utiliza procedimientos

imperfectos y posee concepciones inadecuadas que no son reconocidas por el profesor. 4. Los alumnos con frecuencias inventan sus propios métodos, no formales pero

altamente originales, para la realización de las tareas que se les propone y la resolución de problemas. En la línea de investigación de nuestro trabajo seguimos entre distintas corrientes de

investigación sobre errores la que estudia las causas que los producen y que además los clasifican según una determinada taxonomía. Movshovitz-Hadar, Zaslavksy e Invar (1987), hacen una clasificación empírica de los errores, sobre la base de un análisis constructivo de las respuestas de los alumnos a diversos problemas planteados. De acuerdo con la metodología propuesta los autores, determinan seis categorías

descriptivas para clasificar los errores encontrados. Estas categorías son: 1. Datos mal utilizados: errores que se han producido por alguna discrepancia entre los

datos que aparecen en un problema y el tratamiento que le ha dado el alumno. 2. Interpretación incorrecta del lenguaje: errores que ocurren al poner un problema en

ecuaciones expresando una relación diferente a la enunciada, también cuando se designa un concepto matemático mediante un símbolo distinto del usual y operan con el según las reglas usuales. 3. Inferencias no válidas lógicamente: errores que se producen por falacias en el

razonamiento y no se deben al contenido específico. Encontramos dentro de esta categoría aquellos errores producidos por: derivar de un enunciado condicional su recíproco o su contrario; derivar de un enunciado condicional y de su consecuente, el antecedente; concluir un enunciado en el que el consecuente no se deriva del antecedente, necesariamente. 4. Teoremas o definiciones deformados: errores que se producen por deformación de un

principio, regla, o definición identificable. Tenemos en este caso la aplicación de un teorema sin las condiciones necesarias; realizar una valoración o desarrollo inadecuado de una definición, teorema o fórmula reconocibles. 5. Falta de verificación en la solución: errores que se presentan cuando cada paso en la

realización de la tarea es correcto, pero el resultado final no es la solución de la pregunta planteada; si el alumno hubiese contrastado la solución con el enunciado, el error hubiera podido evitarse. 6. Errores técnicos: errores de cálculo y otros derivados de la ejecución de algoritmos

básicos. La experiencia que mostramos consiste en el análisis y clasificación de los errores del

siguiente enunciado:

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Establezca si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando adecuadamente la respuesta.

a. ( ) 0rot f∇ = , f : función real con derivadas parciales segundas continuas.

b. ( ) .div f F f divF f F= + ∇ur ur ur

, f: función real, Fur

: campo vectorial

c. Si 2 1C C= − , entonces 1 2

( , ) ( , ) 0C C

f x y ds f x y ds+ =∫ ∫

d. Si ( ),F x y yi x j= + y C viene dada por ( ) (4 s ) (3 cos )r t en t i t j= + con 0 t π≤ ≤ ,

entonces . 0C

F d r =∫ur

.

e. La 1 1 1

(cos ) (ln )2 2 2C

x y dx y x dy+ + −∫ representa el área de la región plana D limitada

por la curva simple cerrada suave C. El enunciado elegido fue aplicado en uno de los parciales de la asignatura, donde se

evaluaban, entre otros, los conceptos de: integrales de línea y sus aplicaciones físicas (masa y centro de masa, trabajo), campos conservativos, independencia de la trayectoria, Teorema de Green. Análisis de respuestas que refieren a la situación Según la clasificación que señaláramos oportunamente los errores detectados

corresponden en su mayoría a las categorías 2, 3 y 4. A continuación hacemos un detalle pormenorizado de algunas respuestas en este sentido. Creemos que existe una confusión importante en cuanto a diferenciar integrales de línea

de un campo escalar y de un campo vectorial. Así ocurre cuando en el apartado c) de la propuesta el 94% de los alumnos contesta verdadero, con esta “justificación”

1 2 1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0C C C C C C

f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds−

+ = + = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Figura 1. Justificación incorrecta de la proposición c).

Otra dificultad se presenta en la figura 1, donde se mezclan conceptos buscando una

justificación. En el apartado e), un alumno respondió que esa expresión no representaba el área

razonando de la siguiente manera:

52

1

2 C

x dy y dx−∫ es la ecuación derivada del teorema de Green para calcular áreas de

regiones planas encerradas por curvas simples cerradas. Para que 1 1 1

(cos ) (ln )2 2 2C

x y dx y x dy+ + −∫ represente lo mismo, tendría que ser

( )1

ln2

x y x= − 2 ln( )x y⇒ = , ( )1

cos2

y x y= + ⇒1

arccos2

x y

=

. Como las x son

distintas, entonces la proposición es falsa. Otro alumno, en cambio, propone lo siguiente

Siendo 1

cos2

M x y= + y 1

ln2

N y x= − entonces

C D

N MMdx Ndy área de la región D

x y

∂ ∂+ = − =

∂ ∂∫ ∫∫

Nos llama la atención la última igualdad, en la que parecería que el alumno piensa que la integral doble sin importar cuál sea su función integrando siempre representa el área de la región sobre la que se integra. En el apartado d) algunos alumnos proponen aplicar el teorema de Green, cuando no se

están cumpliendo las hipótesis que este teorema requiere, llegado en consecuencia, a resultados equivocados. Otras dificultades se presentan en la figura 2 donde la justificación pretendida es en

realidad inexistente.

Figura 2. Justificación incorrecta del apartado e).

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En el apartado a) algunos alumnos contestaron que la proposición era verdadera porque si

Fur

es un campo vectorial conservativo, /f f F∃ ∇ =ur

, además si ( ) 0rot F =ur r

, Fur

es

conservativo entonces ( ) 0rot f∇ = .

Figura 3. Justificación incorrecta sobre la proposición del rotacional.

Otras dificultades de confundir tesis con hipótesis en la proposición se pueden ver en la

figura 3. Al parecer, el problema detectado puede atribuirse, entre otras causas, a las siguientes: 1. Insuficiente integración de contenidos: Creemos que los alumnos no relacionan

conceptos de la materia entre sí e incluso de materias ya aprobadas (Análisis Matemático I, Análisis Matemático II, Álgebra y Geometría I). Se trata entonces de un alumno con conocimientos estancos; esto imposibilita, en nuestra opinión, la posibilidad de razonar holísticamente. 2. Ejercitación inadecuada: La ejercitación propuesta en general consiste de ejercicios

de aplicación casi inmediata. Son escasas las situaciones problemáticas o los ejercicios conceptuales que se pueden incorporar. 3. Dificultad en la comprensión de textos: En el libro adoptado por la cátedra, figuran

destacadas las diferentes definiciones y teoremas. En ambos casos el libro ejemplifica los conceptos o resultados obtenidos. Creemos que los alumnos no pueden apropiarse de esas definiciones porque no pueden “leer adecuadamente” el texto. Conclusión Del análisis hecho notamos varios problemas en el aprendizaje de los conceptos que

pretendemos enseñar. En numerosas circunstancias el significado atribuido a un concepto por parte de un estudiante difiere del pretendido concepto que busca instalar el docente. De ahí la importancia de crear espacios donde los estudiantes puedan explicitar sus creencias y afloren sus interpretaciones. También notamos que algunos alumnos fijan las definiciones de manera inconexa. Es por

esto que concluyen equivocadamente porque sólo recuerdan partes de las definiciones o teoremas. Creemos que esto puede, de alguna manera explicar el hecho de que aplican teoremas (Green por ejemplo) sin verificar hipótesis, o dan por condiciones necesarias y suficientes, algunos corolarios. De este modo, generan teoremas “propios” como ya lo estudiaran Caserio, Vozzi y

Guzmán (2008). En él llaman a estos enunciados propios de los alumnos “teorema-alumno”.

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Destacamos la necesidad de una propuesta didáctica que trabaje sobre la interpretación del texto matemático de modo que en la clase se puedan decodificar conceptos y definiciones, integrándolos. Creemos que de esta manera los alumnos podrán resignificar positivamente estos conceptos que hasta el momento resultan oscuros e inconexos. Pensamos que esta tarea de analizar los errores que cometen nuestros alumnos puede

contribuir a mejorar, por ejemplo, las propuestas de enseñanza tendiendo de alguna manera a vincular la teoría con la práctica en beneficio de un mejor aprendizaje.

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VII. LECTURA COMPRENSIVA: UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Autores: Celis, María Belén - Guzmán, Martha Elena - Pérez, Mariana del Valle -

Sabatinelli, Pablo Agustín. Presentado en IV Jornadas de Educación Matemática. I jornada de Investigación de

Educación Matemática - Santa Fe, Argentina 2011. Introducción En el proyecto de investigación “El libro de texto como factor coadyuvante en la

producción de los conocimientos” dirigido por la Prof. Martha Elena Guzmán (Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura, Universidad Nacional de Rosario), donde encuadramos nuestra propuesta de enseñanza. Nos proponemos guiar al alumno en la lectura comprensiva de conceptos, propiedades, teoremas sobre “Vector de coordenadas y cambio de base”, cuando éste aborda el tema a partir de la lectura del libro de texto: Álgebra lineal con aplicaciones de G. Nakos y D. Joyner, de modo que el libro de texto en la clase se convierta en un factor coadyuvante en la apropiación de los conocimientos de nuestros alumnos. Descripción de la materia Álgebra y Geometría II es una asignatura común a todas las ingenierías, ubicada en el 2º

semestre del primer año. Sus contenidos básicos son: Sistemas de ecuaciones, Matrices y determinantes, Espacios Vectoriales, Transformaciones lineales, Eigenvalores y eigenvectores, Producto punto y producto interno. Para desarrollar los contenidos se utiliza el libro de texto “Álgebra lineal con aplicaciones” de G. Nakos y D. Joyner. La ejercitación mínima sugerida a los alumnos corresponde a una selección de ejercicios del libro de texto. Posee una carga horaria de 6 horas reloj semanales, divididas en teoría y práctica. La forma de trabajo en el aula en la hora de práctica consiste en la lectura comprensiva y en la resolución de ejercicios y problemas que realizan los alumnos con apoyo del docente. Marco teórico Los libros de texto constituyen uno de los materiales educativos más empleados en el

ámbito universitario y a veces, incluso es el único material de estudio del que los alumnos disponen. La elección del libro de texto antes citado fue consensuada por los docentes de la cátedra y es la guía de las clases teóricas y prácticas por lo que es un importante instrumento de aprendizaje. José Villella en su libro “Matemática escolar y libros de texto. Un estudio desde la

didáctica de la Matemática” hace referencia a las actividades que el profesor puede proponer a sus alumnos frente a un libro de texto, a saber: - Explicitar las condiciones de validez de razonamientos, demostraciones, ecuaciones,

definiciones. - Generar y clasificar preguntas. - Conjeturar formas de probar lo que se afirma en el libro. - Suponer que no se cumplen los teoremas que sustentan las definiciones y probar que

sucedería a partir de tal posibilidad.

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- Buscar la red conceptual en la que cada concepto desarrollado puede insertarse, comparando con otras que produzcan otros compañeros.

- Identificar la estructura retórica del libro. Como docentes consideramos que resulta importante enseñar a estudiar a partir de un texto

pensando al mismo como obras abiertas, a leerlos comprensivamente (entre líneas y fuera de las líneas) permitiendo lecturas variadas, reconstructivas y activas (Villella). También hemos observado que una de las principales causas de fracaso al cursar la

asignatura radica en la escasa capacidad de lectura y comprensión de textos que se potencia con las dificultades que presenta el pasaje permanente entre los registros verbales, gráficos y simbólicos que exige el trabajo matemático. Si bien tenemos en cuenta que el libro de texto en sí mismo es uno de los principales

recursos de la educación superior, consideramos que es necesario tener en cuenta que el recurso citado se convierte en un elemento de aprendizaje siempre que la utilización del mismo sea la apropiada las ventajas del uso del libro Según Villella los libros de texto de matemática, en general, contienen actividades tanto

para el docente como para el alumno que contribuyen al proceso de enseñanza y aprendizaje, son de fácil aplicación en grupos numerosos y permiten una lectura variada reconstructiva y activa. Nuestra propuesta Para la siguiente propuesta tomamos en cuenta la postura que refiere Villilla en su libro,

en donde explica que el profesor, más allá de transmitir conocimientos organiza situaciones de enseñanza-aprendizaje que brinden a los alumnos un aprendizaje activo y desarrollen su autonomía. Es decir transmite conocimientos, organiza y toma decisiones en cuanto al proyecto de acción y el problema a trabajar en clases, analizando los posibles conocimientos puestos en juego, la secuencia de actividades más adecuada y las estrategias que favorecen la evolución del aprendizaje. El tema seleccionado para la propuesta de trabajo es “Vectores de coordenadas y cambio

de base”, del libro Álgebra lineal con aplicaciones de G. Nakos y D. Joyner. Los temas abordados con anterioridad son: espacios vectoriales, base y dimensión de espacios vectoriales. En base a errores que con frecuencia observamos en este tema, nos proponemos que los estudiantes logren: - Comprender el concepto de vector de coordenadas con respecto a una base

determinada. - Advertir que un vector expresado en diferentes bases, es el mismo objeto pero con

representaciones diferentes. - Considerar la diferencia entre el objeto perteneciente al espacio vectorial y su vector de

coordenadas en cierta base. - Ampliar su visión, considerando las ventajas de trabajar en nR y relacionar esto con el

espacio vectorial que se esté estudiando. - Comprender la vinculación entre el vector, la matriz de transición y su inversa. - Tener en cuenta que en muchos problemas de física e ingeniería pueden simplificarse

si se elige el sistema adecuado de coordenadas. Con el fin de promover en ellos una lectura reflexiva, de los contenidos seleccionados, es

que formulamos una guía de estudio de la cual seleccionamos, para presentar en este trabajo, la siguiente actividad:

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21 v1v1v +=

La parte recuadrada, corresponde a un extracto textual del libro “Álgebra lineal con aplicaciones” de G. Nakos y D. Joyner.

Definición: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base { }n21 v,...,v,vB = . Para

cada Vv ∈ , existen escalares únicos n21 c,...,c,c tales que:

El vector cuyos componentes son los coeficientes de v, expresado como [ ]Bv , se llama vector de coordenadas o vector coordenado de v con respecto a B.

[ ]

=

3

2

1

B

c

...

c

c

v

[ ]Bv se modifica cuando cambia la base B. También [ ]Bv depende del orden de los elementos de B. Mantendremos fijo este orden, usando siempre una base ordenada.

A los alumnos se les propuso la siguiente actividad:

Leer atentamente la definición de vector de coordenadas del libro “Álgebra lineal con aplicaciones” de G. Nakos y D. Joyner (Capítulo 4, sección 4.5, pág. 263) y luego realizar la siguiente actividad: Observemos que para los vectores ( )3,1v = , ( )1,2v1 = y ( )2,1v2 −= se tiene que:

nn2211 vc...vcvcv +++=

58

1. Comprobar que los conjuntos { }j,i y { }21 v,v son bases de 2R . Responder: 2. ¿El vector v se puede escribir como combinación lineal de los elementos de estas

bases? 3. ¿Podrías escribir los vectores de coordenadas de v en las distintas bases? 4. ¿ { }21 vβ,vα también es base de 2R ? ¿Cuál es el vector de coordenadas de v en

esta base? 5. ¿Cuál es el vector de coordenadas de v en la base { }12 v,v ? A partir de tus observaciones: 6. Propone dos bases distintas de 3R (Recuerda que las bases son conjuntos

ordenados) 7. Elige ahora un vector de 3R y escribe sus vectores de coordenadas en las bases

propuestas.

Desarrollo de la experiencia La experiencia se llevó a cabo en el transcurso de una clase práctica de la asignatura

Álgebra y Geometría II. Participaron en la misma 32 alumnos. A continuación presentamos una descripción de las respuestas de los alumnos: Algunos alumnos intentaron comprobar que los conjuntos dados son bases de 2R , lo cual

en muchos casos los planteos quedaron incompletos y en otros hubo errores conceptuales. Entre los errores más frecuentes podemos citar: confundir la matriz cuyas columnas son las componentes de los vectores dados, con el conjunto de vectores y concluir que la matriz es linealmente independiente o base de 2R ; expresar a v como combinación lineal de los vectores de los conjuntos { }j,i y { }21 v,v de manera única y concluir que por esta razón

estos conjuntos constituyen bases de 2R ; observar que el vector nulo no pertenece a estos conjuntos y por ello son linealmente independientes. Otros hicieron una reflexión, reconocieron que el primer conjunto dado, correspondía a

la base canónica y que el segundo conjunto resultaba ser una base de 2R por tratarse de dos vectores no nulos ni paralelos como se observa en el gráfico de la actividad. En general escriben correctamente los vectores de coordenadas de v en las dos bases. No

especifican que βyα deben ser distintos de cero para que el conjunto { }21 vβ,vα sea una base

de 2R , proponen correctamente dos bases distintas de 3R como también los correspondientes vectores de coordenadas en esas bases para el vector elegido de 3R . A modo de conclusión De acuerdo a los resultados obtenidos en la experiencia que exponemos en este trabajo y

teniendo en cuenta los objetivos que nos propusimos al comienzo, creemos que los mismos fueron logrados a partir de una lectura comprensiva apoyada en preguntas elegidas y secuenciadas para tal fin. Como educadores pretendemos que los alumnos al leer el libro de texto además de

informarse sobre un contenido particular atiendan a las explicaciones que este proporciona y sean capaces de relacionar conceptos, proporcionando la ocurrencia de ejemplos y aplicaciones.

59

De esta manera promovemos en los estudiantes la oportunidad de comenzar a realizarse sus propias preguntas, a partir de esta guía elaborada teniendo en cuenta nuestra experiencia como docentes, para que en el futuro logren ser sus propios guías al abordar la lectura de un texto.

60

VIII. PROPUESTA DE ENSEÑANZA PARA LA LECTURA AUTÓNOMA

Autores: Celis, María Belén - Vozzi, Ana María. Presentado en XXXV Unión Matemática Argentina - Córdoba, Argentina 2012. Introducción La base de esta propuesta –aplicada en un curso de Álgebra y Geometría II de las carreras

de Ingeniería en FCEIA– es colaborar con el alumno para favorecer la lectura comprensiva de conceptos, propiedades y teoremas cuando éste aborda los temas a partir de la lectura del libro de texto: Álgebra lineal con aplicaciones de G. Nakos y D. Joyner, con el cual se trabaja en clases. Cabe destacar que este trabajo es una continuación del realizado con anterioridad “Lectura comprensiva, una propuesta de enseñanza y aprendizaje”, del cual formamos parte. Desde la práctica docente hemos observado, entre otras cosas, que, en muchos casos,

cuando un concepto es aprendido erróneamente es difícil de modificarlo y que la transferencia de los conocimientos aprendidos en un contexto y en una situación, no siempre es fácil de aplicar para los alumnos cuando varía el contexto y la situación, es por ello que los docentes debemos estimular en los alumnos la formación de los procesos de abstracción que posibiliten dicha transferencia. Respecto a la lectura que los alumnos hacen sobre un libro de texto hemos observado

frecuentemente que tienen dificultades para razonar lo que leen, que la lectura es “muy por encima”, que tienden a memorizar conceptos y teoremas, teniendo en cuenta que muchos alumnos estudian solos, sin asistencia a clases, y que algunos temas no son desarrollados en su totalidad durante el ciclo lectivo. Estos rasgos de la lectura de los alumnos son una de las principales razones de errores en los exámenes. En trabajos anteriores hemos estudiado como una incorrecta interpretación de algunos teoremas llevan a graves errores en los exámenes finales.

Descripción de la materia Álgebra y Geometría II es una asignatura común a todas las ingenierías, ubicada en el 2º

semestre del primer año. Sus contenidos básicos son: Sistemas de ecuaciones, Matrices y determinantes, Espacios Vectoriales, Transformaciones lineales, Eigenvalores y eigenvectores, Producto punto y producto interno. Para desarrollar los contenidos se utiliza el libro de texto “Álgebra lineal con aplicaciones” de G. Nakos y D. Joyner. La ejercitación mínima sugerida a los alumnos corresponde a una selección de ejercicios del libro de texto. Posee una carga horaria de seis horas reloj semanales. La forma de trabajo en el aula en la hora de práctica consiste en la lectura comprensiva y en la resolución de ejercicios y problemas que realizan los alumnos con apoyo del docente. El tema seleccionado para trabajar es “Transformaciones lineales: Núcleo y Contradominio”, del libro citado.

Marco teórico En todos los niveles educativos, el libro de texto es el material curricular más utilizado,

según Otero (1997): “El libro de texto es una de las herramientas de enseñanza y aprendizaje más extendida”. Por lo tanto el problema radica en mejorar la utilización del libro de texto como recurso de aprendizaje, por parte de los alumnos y de enseñanza por parte del docente.

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Para esta propuesta se tomó en cuenta la postura que refiere José Villella en su libro, “Matemática escolar y libros de texto. Un estudio desde la didáctica de la Matemática” en donde explica que el profesor, más allá de transmitir conocimientos organiza situaciones de enseñanza-aprendizaje que brinden a los alumnos un aprendizaje activo y desarrollen su autonomía. Es decir transmite conocimientos, organiza y toma decisiones en cuanto al proyecto de acción y el problema a trabajar en clases, analizando los posibles conocimientos puestos en juego, la secuencia de actividades más adecuada y las estrategias que favorecen la evolución del aprendizaje. Los libros de texto constituyen uno de los materiales educativos más empleados en el

ámbito universitario y a veces, incluso es el único material de estudio del que los alumnos disponen. La elección del libro de texto para la asignatura Álgebra y Geometría II, fue consensuada por los docentes de la cátedra y es la guía de las clases teóricas y prácticas por lo que es un importante instrumento de aprendizaje. José Villella hace referencia a las actividades que el profesor puede proponer a sus

alumnos frente a un libro de texto para promover una lectura comprensiva, a saber: - Explicitar las condiciones de validez de razonamientos, demostraciones, ecuaciones,

definiciones. - Generar y clasificar preguntas. - Conjeturar formas de probar lo que se afirma en el libro. - Suponer que no se cumplen los teoremas que sustentan las definiciones y probar que

sucedería a partir de tal posibilidad. - Buscar la red conceptual en la que cada concepto desarrollado puede insertarse,

comparando con otras que produzcan otros compañeros. - Identificar la estructura retórica del libro. Como docentes consideramos que resulta importante enseñar a estudiar a partir de un texto

pensando al mismo como obras abiertas, a leerlos comprensivamente (entre líneas y fuera de las líneas) permitiendo lecturas variadas, reconstructivas y activas (Villella). Según Villella los libros de texto de matemática, en general, contienen actividades tanto

para el docente como para el alumno que contribuyen al proceso de enseñanza y aprendizaje, son de fácil aplicación en grupos numerosos y permiten una lectura variada reconstructiva y activa. Además coincidimos con el autor en que, cuando se enseña, se intenta desarrollar en los estudiantes las capacidades que traen para el trabajo matemático para así transformarlas en competencias que se manifiesten en el aula y que permiten evaluarlas. Sostiene que una capacidad es una forma de manifestación del alumno, en algún momento, de que puede hacer algo que implica la construcción de conocimiento específico. Descripción de la experiencia Con el fin de promover en ellos una lectura reflexiva, de los contenidos seleccionados, es

que formulamos una propuesta de estudio de la cual hemos seleccionado, para presentar en este trabajo, la siguiente actividad: Las partes recuadradas, corresponden a extractos textuales del libro “Álgebra lineal con

aplicaciones” de G. Nakos y D. Joyner, y a continuación de ellos se consignan las preguntas propuestas a los alumnos. Esta experiencia fue llevada a cabo por un docente auxiliar de práctica de la materia

Álgebra y Geometría II, en una comisión. El material fue entregado a los alumnos para que trabajen en él y luego lo devuelvan al docente para su posterior análisis.

62

I- Propuesta Uno:

1) Lee la siguiente definición: 2) Sea T : V W→ una transformación lineal. El núcleo, Ker(T) de T contiene todos

los vectores en V que se mapean a cero en W. { }Ker(T) v V, T(v) 0 W= ∈ = ∈

Recordemos que el contradominio R(T) de T es el conjunto de todas las imágenes de T en W. { }R(T) w W, w T(v) para a lg ún v V= ∈ = ∈

Observe que tanto Ker(T) como R(T) de una transformación lineal T son conjuntos no vacios:

T (0 ) 0 im p lica q u e 0 V e s tá e n K e r (T ) y q u e 0 W e stá en R (T )= ∈ ∈ . 3) Buscar de un ejemplo de una transformación lineal T, de un espacio vectorial V a

un espacio W, puede ser por ejemplo, 2 3R y R , buscar su núcleo y su contradominio. Luego probar con otros espacios vectoriales, tales como matrices o polinomios. 4) Responder las siguientes preguntas: ¿El núcleo de T es conjunto contenido en que espacio vectorial? ¿Es Ker(T) un espacio vectorial? ¿El contradominio, R(T) en qué espacio vectorial está contenido? ¿Es R(T) un espacio vectorial? ¿Qué pasaría si T fuese la transformación nula? ¿Y si fuese la identidad?

II- Propuesta Dos:

1) Leer y analizar el siguiente teorema: Sea n mT : R R→ una transformación matricial cuya matriz estándar es A. Entonces: 1. Ker(T) = γ(Α) 2. R(T) = Col(A) 3. Nulidad(T) = Nulidad(A) 4. Rango(T) = Rango(A) 2) Buscar un ejemplo de una transformación matricial T como enuncia el teorema,

hallar su núcleo y contradominio a partir de su matriz A. 3) ¿Si la transformación no fuese matricial, qué puede concluir? Ejemplifique.

A modo de conclusión A modo de análisis, con respecto a la propuesta de estudio del tema entregada a los

alumnos, consideramos que el resultado fue positivo. Las respuestas entregadas mostraron la capacidad de los mismos de proponer ejemplos, considerar la validez de enunciados recíprocos, etc. Cabe destacar que un alto porcentaje de respuestas fueron exitosas en cuanto a la ocurrencia de ejemplos pero poco claras en su desarrollo, creemos que esta manifestación se debe a los procesos cognitivos que se desarrollan en el alumno al poner en juego su destreza para la comprensión del texto. Aparte resaltamos la capacidad del

63

estudiante de leer un texto académico en forma autónoma, siempre que tenga la oportunidad de hacerlo, dejando de lado la actitud pasiva que a menudo se observa en las aulas por parte del alumnado. Por lo que mejorar la utilización del libro de texto se convierte en un objetivo de interés para ambas partes, el profesor y el alumno, de manera tal que el libro ejerza un papel importante en la vida académica y no quede en la mera lectura y memorización de contenidos.

64

IX. INTEGRALES TRIPLES: UNA EXPERIENCIA DIDÁCTICA EN CARRERAS DE

INGENIERÍA

Autores: Arnulfo, Angélica - Kurdobrin, Alicia Isabel - Sabatinelli, Pablo Agustín. Presentado en XXXV UMA - Córdoba, Argentina 2012. Introducción Como docentes del ciclo básico de las carreras de Ingeniería vemos continuamente una

cantidad importante de estudiantes que fracasan en el intento de aprender y aprobar las asignaturas de matemática (Análisis Matemático I, II y III, Álgebra y Geometría Analítica I y II) de dicho ciclo. Nos parece que los alumnos ingresantes a la Universidad traen con ellos desde la escuela secundaria un déficit importante de hábitos y conocimientos, sobre todo en las materias básicas como matemática y física. Esto les ocasiona una dificultad muy grande a la hora de encarar los nuevos conocimientos que deben aprender en el Nivel Superior. Es entonces, que los docentes de los primeros años de la facultad, vemos que la carencia de los conocimientos algebraicos, geométricos y de operatoria, les impide aprender nuevos conocimientos matemáticos, entender al profesor o a los contenidos del texto de estudio. En cada una de las asignaturas mencionadas, hay un texto base que ordena y secuencia los contenidos propuestos por la cátedra. Estos textos fueron seleccionados, entre varios posibles, por la presentación y el orden de los diferentes temas, los ejemplos y, los ejercicios y problemas propuestos para su resolución, de modo que el alumno logre autonomía para la aprehensión de los nuevos conceptos. En el marco del Proyecto de investigación (1Ing 332) “Matemática en Ingeniería. El libro

de texto, factor coadyuvante en la producción de los conocimientos” dirigido por la Profesora Martha Guzmán, y radicado en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario (FCEIA - UNR) hemos indagado sobre los errores más frecuentes que cometen los alumnos en diversos temas de matemática, como por ejemplo geometría, álgebra lineal, análisis vectorial. En esos trabajos, además del análisis de los errores (conceptuales y/o procedimentales), propusimos acciones para encarar una revisión más exhaustiva de los temas analizados que consistieron en una relectura junto con el docente de los conceptos vistos y nuevos problemas diferentes a los de la práctica propuesta durante el cursado. Es importante resaltar que existen múltiples factores que conducen a un error, así como también existen diversos tipos de errores que interfieren en la adquisición del conocimiento matemático, algunos de estos factores son la motivación y el rendimiento académico, y en cuanto a los tipos de errores se consideraron, entre otros, los errores de procedimientos, de operatoria, sistemáticos, de conceptos. En este trabajo utilizamos una estrategia didáctica para ayudar a los alumnos a superar las

dificultades que les presenta la resolución de integrales múltiples, en particular en la descripción de los dominios de integración que deviene de una débil visualización de los mismos. Los nuevos avances en la tecnología ofrecen muchas potencialidades para ser usadas en la

formación matemática y científica de los estudiantes, y ello como respuesta a las dificultades “atávicas” que se experimentan en los procesos de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas (Rodríguez Díaz, Castro y Walter, 2005, p. 47).

65

Fundamentación Uno de los temas previos que se desarrollan en la asignatura Análisis Matemático II es

funciones de varias variables y en particular funciones reales de dos variables. En el desarrollo de estos temas, resulta que la representación gráfica de las funciones son superficies en el espacio, siempre considerando x e y como variables independientes y z como la variable dependiente. De esta manera, la proyección de la superficie, gráfica de la función, sobre el plano XY es el dominio de la función. Pensamos que esto, en alguna medida, ha provocado que el estudiante tienda a proyectar el sólido, dominio de integración, sobre el plano XY. Creemos que el ejercitar a los alumnos en la proyección de sólidos sobre cualquiera de los planos coordenados y mostrándoles en cada caso la ventaja de hacerlo sobre uno u otro, puede ayudar a mejorar la visualización de los mismos. Muchos de los ejercicios propuestos resultan más fáciles de resolver proyectando el sólido

sobre el plano XY, y en ocasiones aisladas se proponen ejercicios en los que proyectando sobre cualquiera de los otros dos planos coordenados se simplifica el cálculo de la integral como muestra el ejemplo anterior. Entendemos entonces, que la ejercitación no debe acostumbrarlos a proyectar sobre un

plano coordenado particular, sino que se deben incluir ejercicios en los que varíen continuamente los planos sobre los cuales deban proyectar el dominio de integración y que simplifique el cálculo de la integral triple planteada. El término visualización se emplea, por lo general, con referencia a figuras o

representaciones pictóricas ya sean éstas externas o internas, es decir, sobre soporte material (papel, pantalla, etc.) o en la mente. Se aprecia así que en la idea de visualización aparecen dos facetas básicas complementarias, una externa a los sujetos (con soporte material) y otra interna a los mismos sujetos (imagen mental). La noción de visualización o pensamiento visual está fuertemente ligada a la capacidad para la formación de imágenes mentales. Lo que caracteriza a una imagen mental es hacer posible la evocación de un objeto sin que él mismo esté directamente presente. La capacidad para visualizar cualquier concepto matemático, o problema, requiere habilidad para interpretar y entender información figurativa sobre el concepto, manipularla mentalmente, y expresarla sobre un soporte material. Cuando se usan las representaciones gráficas de conceptos matemáticos como herramientas para interpretar conceptos o resolver problemas, la visualización no es un fin en sí misma sino un medio para llegar a su comprensión o resolución. Se trata de expresar alguna propiedad específica de un concepto o alguna relación importante para la resolución de un problema a través de un diagrama, un dibujo o una gráfica (Castro Martínez, Castro Martínez, 1997, p. 96). La visualización no sólo se define en términos fisiológicos como el acto de ver, sino,

además, como el proceso cognitivo de comprender y es en este aspecto que se amerita una indagación en el aula de clase, para determinar en qué medida la visualización en el sentido de Zimmerman (1991) es una alternativa para ser considerada en el proceso de formación matemática, vía el uso de la calculadora y el computador. En el contexto de la formación matemática, se plantea la pregunta de cómo guiar a los alumnos a construir conceptos, a partir de conocimientos previos. Gómez Pérez (2004) sostiene que la incorporación del uso de recursos tecnológicos tiene como objetivo mejorar la comprensión y el aprendizaje en la enseñanza de la Matemática. En ese sentido, las nuevas tecnologías pueden emplearse de tres maneras diferentes:

66

- como objeto de aprendizaje - como medio para aprender - como apoyo al aprendizaje En el primer caso permite que los estudiantes se familiaricen con la computadora y

adquieran las competencias necesarias para hacer del mismo un instrumento útil a lo largo de los estudios, en el mundo del trabajo o en su formación continua. Las tecnologías son utilizadas como un medio de aprendizaje cuando se consideran como una herramienta al servicio de la formación a distancia, no presencial y del autoaprendizaje o son ejercicios de repetición, cursos en línea a través de Internet, de videoconferencia, programas de simulación, etc. Este procedimiento se enmarca dentro de la enseñanza tradicional como complemento o enriquecimiento de los contenidos presentados. Pero donde las nuevas tecnologías encuentran su verdadero sitio en la enseñanza es como apoyo al aprendizaje. Las tecnologías así entendidas se hayan pedagógicamente integradas en el proceso de aprendizaje, tienen su sitio en el aula, responden a necesidades de formación más proactivas y son empleadas de forma cotidiana. La integración pedagógica de las tecnologías difiere de la formación en las tecnologías y se enmarca en una perspectiva de formación continua y de evolución personal y profesional como un “saber aprender”. La utilización de nuevas tecnologías puede ser considerada como un recurso que permite

realizar representaciones, que obligan y ayudan a representar problemas y a encontrar más fácilmente sus soluciones; además más beneficiosa, pues tales representaciones constituyen estructuras cognitivas que posibilitan enfrentarse eficientemente a distintas fuentes de información. Dicha utilización resulta ventajosa ya que permite aprender y usar sistemas de representación que son básicos para desarrollar el pensamiento y para interpretar, entender y relacionarse con el contexto social, físico y cultural. Desarrollo de la experiencia El tema integrales múltiples se desarrolla en la asignatura Análisis Matemático II de las

carreras de Ingeniería (FCEIA - UNR). Esta asignatura está ubicada en el segundo semestre de primer año, con una carga horaria de 7 horas semanales, dos exámenes parciales y un coloquio final integrador. El texto adoptado es Cálculo de J. Stewart, 6° Edición. En un análisis preliminar, observamos dificultades para visualizar el dominio de

integración en integrales triples. Presentamos en este trabajo, una práctica en donde los alumnos utilizando el libro de texto y apoyándose en un software matemático, pudieron visualizar los diferentes dominios de integración y en una gran proporción lograron describirlos correctamente. Comenzamos la experiencia desarrollando algunos ejemplos utilizando el software y el

pizarrón.

Ejemplo 1: Evalúe la integral triple dVzE∫∫∫ donde el sólido E está limitado por los planos

de ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1, x + z = 1.

67

Si proyectamos el sólido E sobre el plano XZ, entonces

dxdzdyzdVzx z

E∫ ∫ ∫∫∫∫

− −

=1

0

1

0

1

0.

Proyectando el sólido E sobre el plano YZ resulta que

dydzdxzdVzy z

E∫ ∫ ∫∫∫∫

− −

=1

0

1

0

1

0.

Proyectando sobre el plano XY, la integral se calcula como la suma de integrales iteradas, es decir

dxdydzzdxdydzzdVzx

yx z

E∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫

−−

+=1

0

1 1

0

1

0 0

1

0

En este ejemplo, hemos realizado la proyección del sólido sobre los distintos planos

coordenados y planteamos en cada caso, la expresión para el cálculo de la integral triple. Esto permitió que los estudiantes visualicen el dominio de integración y sus respectivas proyecciones sobre los planos coordenados. En la interacción con el docente se observó el planteo más conveniente para la resolución de la integral triple. Se destacó en este caso que no es conveniente proyectar el sólido sobre el plano XY.

Ejemplo 2: Calcular ∫∫∫++

T

zyx dVe siendo T el dominio de R3 limitado por los planos de

ecuaciones x = 0, y = 2, z = 0, z = x + y, y = x.

Si proyectamos sobre el plano XY:

∫ ∫ ∫+

++2

0 0 0

y yx zyx dzdxdye .

Si proyectamos sobre el plano XZ resulta la suma de dos

integrales: ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫+

−

++++ +2

0

2

2

22

0

2

0

2 x

x xz

zyxx

x

zyx dydzdxedydzdxe .

68

Y lo mismo sucede si efectuamos la proyección sobre el

plano YZ: ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ −

++++ +2

0

22

0 0 0

y

y

y

yz

zyxy y zyx dxdzdyedxdzdye .

En este último caso, si además se permutara el orden de integración YZ por ZY, se hizo

notar que la integral dada resultaría ser la suma de cuatro integrales triples. Del debate en el grupo resultó que en este ejemplo es conveniente la proyección del sólido sobre el plano XY. Ejemplo 3: Calcular el volumen del sólido limitado por el cilindro x2 + z2 = 9 y los planos

d ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y = 2, en el primer octante. Proyectando sobre los planos XZ y XY

las integrales iteradas que permiten calcular el volumen del sólido, en cada caso, sólo difieren en el orden de ubicación pero no en los extremos de integración que cada una de ellas tiene:

∫ ∫ ∫−

−2

0

9

0

22

0

2xx

dydzdx y ∫ ∫ ∫−

−2

0

22

0

9

0

2xx

dzdydx .

Sobre el plano YZ resulta la suma de dos

integrales triples: ( )

( )∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ −−

−−− −

+1

0

3

149

9

0

1

0

149

0

22

0 2

22

y

zy ydxdzdydxdzdy

. En este ejemplo, algunos alumnos anticiparon el planteo más conveniente para resolver la

integral triple dada. Propuesta de ejercitación para los alumnos Los ejercicios siguientes se propusieron a modo de test para que a partir de la resolución

de los estudiantes, podamos evaluar los procedimientos efectuados por ellos y “confirmar” nuestra experiencia didáctica. 1. Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro elíptico de ecuación 4x2 + z2 =

4 y los planos de ecuaciones y = 0 e y = 2 – z. 2. Un sólido está limitado por las superficies de ecuaciones x = 1– y2 – z2, x = 0,

calcule su volumen. 3. Sea S el sólido del primer octante limitado por las superficies de ecuaciones

122=+ yx 422

=+ yx , 225 yxz −−= . Grafique el sólido S y calcule su volumen.

69

4. Sea ∫ ∫ ∫∫∫∫− −−

+=

2

0

2

0

42 22

22),,(),,(

x yx

yxE

dxdydzzyxfdVzyxf

a. Grafique el dominio de integración E

b. Calcule dicha integral para 222),,( zyxxzyxf ++=

5. Dada la integral ∫ ∫ ∫−

−

−−

−−

++

1

1

1

1

22

3222

2

22

22)(

z

z

zy

zydzdydxzy

a. Describa la región de integración y grafíquela. b. Calcule la integral dada. 6. Calcule la masa del sólido limitado por las superficies de ecuaciones 122 =+ zx ,

222 44 zxy += y situado por encima del plano x z, si la densidad en cada punto del sólido es igual a la distancia de ese punto al plano de ecuación x=5. 7. Halle la masa y el centro de masa de una semiesfera sólida de radio 4, si la densidad

en cualquier punto es proporcional a su distancia a la base. 8. Halle el volumen de la cuña más pequeña, cortada de una esfera de radio 5, por dos

planos que se intersecan a lo largo de un diámetro y forman un ángulo de π/6. 9. ¿En qué razón divide el hiperboloide de ecuación x2 + y2 – z2 = 4 al volumen limitado

por la superficie esférica de ecuación x2 + y2 + z2 = 12? Reflexiones finales Los alumnos tienen la costumbre de proyectar los sólidos sobre el plano XY. En

investigaciones realizadas sobre temáticas relativas al aprendizaje de matemática y las dificultades que derivan del mismo en las carreras de ingeniería, hemos observado que los elementos involucrados que aportan al error, son múltiples y complejos. La gran mayoría de los alumnos pudo con auxilio de la computadora lograr

visualizaciones adecuadas y plantear correctamente la integral triple. Nos preguntamos entonces ¿Qué ocurre si los alumnos no cuentan con este recurso? ¿Podrán describir correctamente un sólido en el espacio sin un software matemático? Observamos que en vez de consultar con los docentes a cargo de la actividad, muchos de

ellos se reunieron espontáneamente en grupos de trabajo autónomos; esto fue de ayuda para los alumnos que presentaban mayores dificultades y cada grupo pudo trabajar a su ritmo. Con estas actividades que proponemos pretendemos:

- Reconocer la necesidad de ampliar nuestros conocimientos de los factores cognitivos, afectivos, actitudinales y motivacionales que inciden en el desempeño de los alumnos.

- Promover la utilización del libro de texto y de nuevas tecnologías, adecuados para dicho aprendizaje autónomo innovar y evaluar distintas propuestas didácticas con la intención de mejorar nuestro desempeño profesional.

70

X. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. EXPERIENCIA DE CLASE EN

INGENIERÍA Autores: Celis, María Belén - Guzmán, Martha Elena - Kurdobrin, Alicia Isabel - Pérez,

Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín. Presentado en I Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática; II

Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática - Tandil, Argentina 2011. Introducción El trabajo se circunscribe a una experiencia realizada en el año 2009 en una división del

segundo cuatrimestre del primer año, en la asignatura Álgebra y Geometría Analítica II, de la facultad donde nos desempeñamos como docentes. El mismo tiene como propósito mostrar situaciones emergentes en la resolución de un problema, y también algunas reflexiones sobre los procesos cognitivos que se pusieron en juego. Se ha elegido la resolución de un problema y el aprendizaje colaborativo entre los alumnos como estrategia didáctica a implementar. Se relata la experiencia que surgió a partir de un ejercicio en el que estaba involucrada la

resolución de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo. Los alumnos ya tienen una idea más o menos acabada de lo que se entiende por un sistema

de ecuaciones lineales. En general han trabajado sistemas cuadrados de orden 2 o 3 en la escuela secundaria y los han repasado en el curso introductorio de matemática propuesto para el ingreso a las carreras de ingeniería. Entendemos que normalmente los alumnos resuelven sistemas enfatizando en las técnicas de resolución sin que los problemas propuestos provengan de una situación o contexto propio de la actividad del ingeniero. Hemos tratado en este trabajo de contextualizar los sistemas de ecuaciones lineales a partir

de un problema sobre flujo de tránsito. Marco teórico Todas las ramas de la Ingeniería dependen de la Matemática para su descripción y ha

habido un continuo flujo de ideas y problemas de Ingeniería que, a su vez, han estimulado y a veces iniciado ciertas ramas de la Matemática. Así que es vital que los estudiantes de Ingeniería reciban bases sólidas en Matemática, con tratamientos relacionados con sus intereses y problemas. Un modelo matemático es una descripción matemática, a menudo por medio de una

función o de una ecuación, de un fenómeno del mundo real como ser: el tamaño de una población, la velocidad de un objeto que cae, la demanda de un producto, la concentración de un producto en una reacción química. La finalidad del modelo es comprender el fenómeno y quizá, hacer predicciones acerca de

su comportamiento futuro. Por otra parte, un modelo nunca es una representación completamente exacta de una

situación física, es una idealización. En un buen modelo la realidad se simplifica lo suficiente para permitir los cálculos matemáticos, pero incluso así es bastante exacto para permitir conclusiones valiosas. Bien plantea Morten Blomhøj (2004):

71

El desarrollo de competencias para establecer, analizar y criticar modelos matemáticos es frecuentemente considerado relevante para los últimos años de la escuela secundaria o después de ella. La creencia general entre los profesores es que las actividades de modelización presuponen una comprensión de la matemática involucrada en ellas. La modelización matemática, sin embargo, puede ser vista como una práctica de enseñanza que coloca la relación entre el mundo real y la matemática en el centro de la enseñanza y el aprendizaje, y esto es relevante para cualquier nivel de enseñanza. Las actividades de modelización pueden motivar el proceso de aprendizaje y ayudar al aprendiz a establecer raíces cognitivas sobre las cuáles construir importantes conceptos matemáticos. Además, las competencias para establecer, analizar y criticar procesos de modelización y el posible uso de los modelos es una meta educativa, por derecho propio, de la enseñanza de la matemática en la educación general. Siguiendo la línea establecida por Gérard Vergnaud: …un conocimiento es operatorio o no es conocimiento. Llamo conocimiento pues

solamente a aquello que es operatorio. Estas palabras de Vergnaud dan una pista acerca de su concepción de enseñanza de la

Matemática. Los contenidos que la escuela enseña deberán “funcionar” en la resolución e interpretación de situaciones, para constituirse verdaderamente como conocimientos. Para Vergnaud los contenidos de enseñanza de la Matemática deben atender entonces a lo conceptual implicando: - situaciones de uso, - propiedades y relaciones matemáticas y - uso del lenguaje matemático. Recordamos que Régine Douady (1984) plantea que los conceptos matemáticos presentan

un doble estatus: de instrumento (o herramienta) y de objeto. Cuando se utilizan ciertos conocimientos, aún implícitos, para resolver un problema, se le está dando a esos conocimientos estatus de instrumento, cuando se reflexiona sobre ellos, estos se oficializan como objetos matemáticos, objetos culturales reconocidos socialmente. Los dos aspectos son inseparables: “… un instrumento, es un instrumento adaptado si interviene en un problema justificando el uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad”. La experiencia A continuación detallamos la propuesta a trabajar con los alumnos una vez concluida la

lectura e interpretación del texto de clase respeto del tema sistemas de ecuaciones. Planteamos como hipótesis la presencia de al menos dos dificultades en la resolución de

esta propuesta: Dificultades en la comprensión e interpretación del problema a abordar. Al respecto nos

preguntamos si son capaces de entender cuál podría ser una respuesta válida para el problema. Entendemos que se logra una comprensión acabada del problema cuando son capaces de entender si una “resolución” es correcta o cuanto menos coherente, independientemente de que ellos mismos puedan ser capaces de encontrar esta “solución”. Estas dificultades estarían entre otras, asociadas a la problemática relación de los

estudiantes con los libros de texto: falta de hábito de lectura y reflexión sobre lo leído, dificultades para comprender lo leído, deficiente capacidad de atención, insuficiente

72

desarrollo de la capacidad lectora, inconvenientes de decodificación y dificultades para comunicar conocimientos. Dificultades de pensar “matemáticamente” al problema. Utilizar los objetos matemáticos a

su alcance (en este caso sistemas de ecuaciones lineales) y transformarlos en instrumentos matemáticos para la resolución de situaciones, a partir de la dialéctica instrumento-objeto planteada por R. Douady. Entre las conclusiones del proyecto 1ING 163 “Dificultades en la Enseñanza y el

Aprendizaje de la Matemática en Carreras de Ingeniería”, señalamos dentro de las dificultades que enfrentan los alumnos, la falta de dominio de los conceptos básicos, la falta de habilidades para el análisis y resolución de problemas, las dificultades en el abordaje de cualquier cuestión que involucre el “pensamiento formal”, un insuficiente desarrollo de la capacidad creadora, la imposibilidad de transferir conocimiento a nuevas situaciones. El problema El siguiente diagrama reproduce una red de calles de un sólo sentido con el flujo de tráfico

en las direcciones indicadas. El número de autos está dado como promedio de autos por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella,

construya un modelo matemático del flujo de tráfico. Si la calle que va de C a A estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir? ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?

Figura 1: Representación gráfica del problema.

El trabajo en el aula Varios equipos, y algunos alumnos que eligieron trabajar individualmente, consideraron

en un primer momento que el enunciado era incorrecto, que estaba mal planteado el problema, haciendo referencia a la pregunta sobre el mínimo tráfico que se podría permitir. El docente leyó el enunciado en voz alta y entonces se produjo un intercambio de ideas

entre los equipos, que no fue alentada por el docente, ya que se buscaba que cada equipo trabaje autónomamente.

200

300 100

400

300

400

250

750

x1

x2

x3

x4

A B

C D

73

El docente después de un tiempo de deliberación entre los equipos les sugirió que analicen el flujo por nodo; después de la sugerencia comenzaron a plantear las ecuaciones. No tuvieron dificultades en plantear el sistema de ecuaciones a partir del momento que

entendieron exactamente lo que se pedía en el problema. Hubo varias interpretaciones a la condición “la calle de C a A estaba en reparación”. Algunos entendieron que estaba cerrada (lo que conducía a una respuesta incoherente). Alumno: “los autos que entran tienen que salir, en las esquinas no quedan” Grupo 1: Construye el sistema planteando flujo de entrada = flujo de salida.

400300

250750

400100

300200

32

43

21

14

+=+

+=+

+=+

+=+

xx

xx

xx

xx

Indica como solución { }4444 ,500,400,400 xxxxS −−+= y de esto concluye que

500min4 =x sin especificar ni aclarar nada. Grupo 2: Plantea directamente un sistema equivalente al que resultaría de indicar flujo

entrada = flujo salida

0400300

0250750

0400100

0300200

32

43

21

14

=−−+

=−−+

=−−+

=−−+

xx

xx

xx

xx

Escribe a continuación: Busco un 4x tal que las demás variables sean positivas. tx =4 Para que las variables sean 0≥ , 500≥t . Para que las demás calles funcionen con normalidad, 4x debe ser mayor o igual a 500,

siendo 500 el valor mínimo. El flujo por calles quedaría así 500,0,100,400 4321 ==== xxxx .

Grupo 3: Resuelve igual que el grupo 2. Indica que con un valor de 500, 03 =x y aclara

que “esto significa que el flujo mínimo de 4x debe ser 500 autos/hora por lo tanto para que

el circuito funcione con normalidad, 5004 ≥x . Grupo 4: Plantea y resuelve el sistema como el grupo 2, obteniendo

λ

λ

λ

λ

+−=

+−=

+−=

=

100

400

500

1

2

3

4

x

x

x

x

Si no quiero que cambie el sentido de las calles, 0≥λ , 500≥λ , 400≥λ , 100≥λ .

74

Si la calle que va de D a A está en reparación, tienen que poder pasar, al menos un promedio de 500 autos, para que no tengan que ir autos en contramano. Grupo 5: Plantea el sistema como en grupo 2, y concluye: “Por lo tanto, se deben dejar

pasar al menos 500 autos por 1x . Grupo 6: Resuelve el sistema como el grupo 2, y concluye: “elijo x > 500 para que

cumpla al mismo tiempo con las ecuaciones”. Grupos 7 y 8: Sólo plantea y resuelve el sistema, pero no concluye nada. Conclusión Como habíamos supuesto se presentaron dificultades en la comprensión e interpretación

del problema: algunas de índole matemática y otras por deficiencias en la lectura y/o el lenguaje. También observamos que un importante porcentaje de alumnos presenta dificultades en el

análisis y la interpretación de resultados y asimismo en las conclusiones que, en el contexto del problema, se pueden obtener a partir de las que se derivan de la matemática. Sin embargo, la disposición favorable de los estudiantes para trabajar en forma

colaborativa y la potencialidad ejercida en la actividad desarrollada alrededor de la resolución del problema les permitió superar en gran medida sus dificultades. Consideramos que actividades como la descripta debieran ocupar un mayor espacio en el

trabajo del aula por cuanto permiten explorar y analizar los razonamientos que ponen en juego los estudiantes al resolver un problema, ofreciendo de este modo al docente elementos para contribuir a la superación, en sus alumnos, de las dificultades que identifica o salvar creencias erróneas emergentes de las propuestas. La resolución del problema posibilitó el establecimiento de lazos entre los conceptos y los

procedimientos que se relacionan con dichos conceptos. Nos preguntamos: ¿Es la resolución de un problema y la posterior comunicación de los resultados que se

obtienen, un medio propicio para construir nuevos conocimientos en un marco donde el docente logre información sobre la forma en que los estudiantes interpretan, organizan y utilizan ciertos conceptos y pueda actuar en consecuencia, con nuevas propuestas didácticas y lograr la institucionalización del conocimiento? Es nuestro objetivo seguir trabajando en esta línea.

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XI. ¿CÓMO UTILIZAMOS EL LIBRO DE TEXTO EN EL AULA DE MATEMÁTICA?

Autores: Caserio, Mónica Beatriz - Vozzi, Ana María. Presentado en Simposio de Educación Matemática (EDUMAT) - Chivilcoy, Argentina

2012. Introducción Respecto a la enseñanza de las ciencias, el libro de texto es el material curricular más

utilizado, según Otero: “Uno de los recursos más utilizados en el proceso de enseñanza - aprendizaje es el libro de texto junto con la manera en que se lo utiliza”. Es posible que algunos obstáculos a la comprensión de muchos estudiantes sean el

supuesto implícito de las prácticas lectoras de los alumnos y la naturaleza tácita del conocimiento contenido en los textos que se les da para leer. Siendo que las ciencias en general y la matemática en particular se expresan y se difunden

a través de los textos y no podrían ser comprendidas sin ellos, es importante desarrollar la comprensión lectora entendida como un proceso transaccional entre el texto y el lector, que involucra operaciones cognitivas y un complejo de conocimientos. Supone un conjunto de saberes (discursivos, enciclopédicos, lingüísticos, semióticos) y saber-haceres, procedimientos de diferente nivel de complejidad. Existe consenso en que el saber, así como el saber hacer no surgen de la mera adquisición

de conocimientos sino que es el resultado de la puesta en funciones de una compleja estructura de conocimientos, habilidades, destrezas, etc., que requiere ser reconocida expresamente en el proceso de aprendizaje para que la propuesta pedagógica incluya las actividades que permitan su desarrollo. Una formación integral significa tanto el desarrollo de las competencias científico-

tecnológica, como de competencias humanístico-sociales. Marco de referencia A partir de las inquietudes que generaron las conclusiones de la investigación realizada en

el proyecto (ING 163) “Dificultades de la enseñanza y aprendizaje de matemática en carreras de ingeniería, las autoras de este trabajo, continuamos la línea de investigación dentro del proyecto de investigación “El libro de texto como factor coadyuvante en la producción de los conocimientos” (ING 332), dirigido por la Prof. Martha Guzmán radicado en la UNR- FCEIA, en el cual nos proponemos mejorar la utilización del libro de texto, como recurso de aprendizaje de los estudiantes . Los textos científicos, a diferencia de los textos escolares, son en general “escritos

herméticos", difíciles de leer y dirigidos a especialistas de la disciplina. Estas características dificultan su uso como material de estudio. Siendo la lectura un proceso activo de construcción de significados, donde los alumnos no

son entes pasivos, es nuestra intención promover las prácticas pedagógicas en la universidad que orienten la correspondencia de significados entre el alumno y el texto. Creemos, entonces, la necesidad de generar estrategias que permitan a los estudiantes,

mejorar su desempeño en la compleja tarea de dialogar con los textos. Según Eisner (1979)

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Enseñar es un arte, porque una clase, además de ser una fuente de experiencia estética, depende de la percepción y del control en acción de muchas variables, siendo una actividad creativa e innovadora que no es dominada por prescripciones. Para él la enseñanza es una empresa en la cual debe estar presente una tensión entre automatizaciones necesarias e invenciones que surgen en la acción. Esto la vuelve compleja, una vez que enseñar requiere rutinas con las cuales trabajar, para que la expresión artística ocurra. La generación de estrategias y procedimientos de trabajo académico tienen en este sentido

un rol preponderante relacionado con lo social, lo organizacional y lo cognitivo. No se enseñan específicamente pues se construyen durante el proceso de inserción y se mejoran y/o modifican en el transcurso de la vida, pero de su dominio depende principalmente el éxito en el aprendizaje explicitado en objetivos y dominios curriculares y evaluados a través de mecanismos diseñados a tal efecto Observamos que entre las principales dificultades de la lectura en la Universidad donde

desempeñamos nuestra tarea, se destaca la naturaleza implícita de los saberes en juego. Por una parte los textos científicos y académicos contienen información tácita, que sus autores suponen el lector puede reponer. Por otra parte, los docentes esperan que sus alumnos lean y entiendan lo que ellos entienden, proponiendo implícitamente un tipo de lectura con características desconocidas para los estudiantes. Nos interesa dar cuenta de algunas particularidades que van asumiendo las prácticas de

lectura en los alumnos en la Universidad, la cual es una comunidad específica de lectores, en tanto es comunidad científica y textual. En relación con dichas prácticas de lectura Carlino (2002) fundamenta la complejidad y la

fuerza del concepto, alfabetización académica, al poner de manifiesto que los modos de leer y escribir son específicos de cada ámbito y advierte contra la tendencia a considerar que la alfabetización es una habilidad básica, que se logra de una vez y para siempre, cuestiona la idea de que aprender a interpretar lenguaje escrito es un asunto concluido al ingresar en la educación superior. Aprender a leer parece constituirse en un proceso que debe continuar desarrollándose en la

vida adulta y que, en este contexto sigue requiriendo de la intervención docente en cada dominio de conocimientos. Observamos que buena parte de los estudiantes muestran dificultades en la comprensión,

en la interpretación de situaciones problemáticas que se les proponen, las que se traducen en dificultades para expresar simbólicamente los datos del problema, escasa flexibilidad para abordar situaciones que requieren el uso de estrategias no evidentes, empleo de inferencias incorrectas, empleo de procedimientos en forma rutinaria. Sin embargo, consideramos que éstas no se limitan a:

- falta de dominio de los conceptos básicos - falta de habilidades para el análisis y resolución de problemas, - dificultades en el abordaje de cualquier cuestión que involucre el “pensamiento

formal”, - deficiente capacidad de aplicación, - insuficiente desarrollo de la capacidad creadora - imposibilidad de transferir conocimiento a nuevas situaciones. Estas dificultades podrían estar asociadas, entre otras, a la problemática relación de los

estudiantes con los libros de texto, lo que incluye: - falta de hábito de lectura y reflexión sobre lo leído

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- dificultades para comprender lo leído - deficiente capacidad de atención - insuficiente desarrollo de la capacidad lectora - inconvenientes para la decodificación - dificultades para comunicar sus resultados. Esto produce, en definitiva, obstáculos para asumir la responsabilidad de su aprendizaje. Mejorar la utilización del libro de texto, como recurso de aprendizaje de los estudiantes, se

convierte entonces en un problema de interés educativo. Según Basil Bernstein Los conocimientos son transformados en contenidos, materias, textos, el mensaje

pedagógico es no solo el producto de un recorte, sino también la creación de un nuevo producto cultural. El contenido educativo no es un fragmento del discurso científico, es algo esencialmente diferente, y poco o nada tiene que ver con las teorías científicas, ya que al pasar por un proceso selectivo son descontextualizados, modificados y simplificados para su transmisión en las aulas En este contexto tiene importancia relevante mejorar el vínculo Estudiante - Libro de

Texto - Docente (E-LT-D) a fin de facilitar el desarrollo de competencias de manera explícita durante el proceso de formación, lo cual supone revisar las estrategias de enseñanzas y aprendizajes de manera de garantizar que los estudiantes puedan realizar en forma autónoma, actividades que le permitan avanzar en su desarrollo. En nuestro desempeño docente y asimismo en trabajos realizados en el marco del Proyecto

“El libro de texto, factor coadyuvante en la producción de conocimiento”, indagamos respecto de la utilización del libro de texto como mediador del aprendizaje y sobre el diseño de alternativas didácticas que promuevan en el estudiante “aprender a aprender”, para lo cual nos interesamos en: - reconocer la necesidad de ampliar nuestros conocimientos de los factores cognitivos,

afectivos, actitudinales y motivacionales que inciden en el desempeño de los alumnos. - asumir, como docentes, la responsabilidad de apoyar el tránsito de los estudiantes del

nivel Medio-Superior al Básico-Profesional. - innovar y evaluar los distintos proyectos con la intención de mejorar nuestro

desempeño profesional. - promover instancias de encuentro y difusión, en las que podamos poner en común

experiencias, proyectos y expectativas. Lo expuesto nos motivó para el desarrollo de un Taller donde se analizaron y discutieron

estas ideas con pares docentes El Taller Nos propusimos, con la actividad de taller, generar un debate en la comunidad académica,

que permitiera, entre otras cosas, aportar inquietudes y reflexiones que enriquezcan la actividad docente, el trabajo áulico, de modo que el uso del libro de texto en la clase se convierta en un factor coadyuvante en la apropiación de los conocimientos de nuestros alumnos. A partir de esta premisa planteamos algunos interrogantes que operaron como hipótesis de trabajo:

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- ¿De qué forma utilizamos el libro de texto en la clase? - ¿Qué condiciones y situaciones didácticas deberían cumplirse para la formación de

lectores autónomos? - ¿Los docentes conocemos o advertimos la complejidad de los procesos involucrados en

la lectura de un texto académico superior? - ¿Somos conscientes del uso de estrategias cognitivas en nuestro propio proceso como

lector? - ¿Reconocemos en los estudiantes la construcción de sentido en el abordaje de un texto

escrito? Pretendimos aunar los esfuerzos individuales o de pequeños grupos de docentes que por

separado abordamos la misma temática desde diferentes ángulos pero casi con el mismo eje y el mismo objetivo. Cual es, partiendo del análisis de las dificultades de aprendizaje de la matemática diseñar e implementar alternativas didácticas que posibiliten al estudiante el desarrollo de estrategias para “aprender a aprender”. Entendimos el taller como una instancia de reflexión, de discusión y de intercambio de

ideas vinculadas con la problemática de la utilización del texto y la transición de los alumnos del nivel medio de escolaridad al superior universitario. Los participantes analizamos nuestra propia práctica y producciones con la intención de

revisar concepciones, compartir vivencias y estrategias con miras a la adopción, o a la reafirmación de nuevas perspectivas respecto de su actividad. Estrategias Metodológicas Discusión y Análisis A partir de las discusiones y análisis sobre las dificultades en la comprensión de conceptos

matemáticos y analizar algunos errores atribuibles a la lectura del texto. Reflexionamos acerca de “El uso habitual del libro de texto en los distintos niveles

educativos”. Intercambiamos opiniones sobre la pregunta: ¿El “apunte” del docente reemplaza al texto? Analizamos el “Contrato de lectura” Consideramos los procedimientos cognitivos que les permitan a los alumnos apropiarse

críticamente de la información, en diálogo con algunos colegas Desarrollo de la experiencia El mismo se llevó a cabo en el Instituto de Educación Superior del Profesorado “Olga

Cossettini” en la ciudad de Rosario durante el año 2011. Los participantes del taller se distribuyeron entre docentes de nivel medio, estudiantes del último año del Profesorado de Matemática y docentes de nivel superior terciario y universitario. En la apertura del taller debatimos sobre: 1. ¿Qué es aprender y enseñar matemática? 2. ¿Qué metodología privilegia? 3. ¿Qué recursos emplea? 4. ¿Cuál es el rol del texto en el marco del aprendizaje y enseñanza? Las respuestas obtenidas, por alguno de los grupos fueron:

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Reflexionamos en otro encuentro sobre la utilización de un texto en el aula, las formas de

utilización y las repercusiones sobre el aprendizaje de los alumnos. En las cuales se puso de manifiesto la visión de numerosos profesores del área matemática

sobre el vínculo que perciben entre los estudiantes y los textos, mostramos aquí algunas expresiones vertidas por los docentes: - Los alumnos dedican muy poco tiempo a la lectura. - Muestran escasa comprensión de lo leído. - Deberían llegar al nivel superior sabiendo estudiar y escribir mejor. - Los alumnos presentan mucha dificultad para concluir sobre lo que leen. - Tienden a memorizar el texto. En esas expresiones subyace cierto supuesto acerca de que las destrezas del alumno-lector

formarían parte de un proceso cerrado y acabado en los niveles de escolarización previos. Es entonces que los interrogantes con relevancia para el debate son:

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- ¿El profesor conoce o advierte la complejidad de los procesos involucrados en la lectura de un texto académico?

- ¿Es consciente del uso de estrategias cognitivas en su propio proceso como lector? Sabemos que el saber científico, el saber sabio, según Chevalard, debe sufrir adaptaciones

y restricciones para ser transformado en un “saber a enseñar”, que no se pueden considerar sólo como una simplificación del saber científico sino, ajustes efectuados sobre él en el marco del contrato didáctico establecido, como señala el autor: “Transposición didáctica es el pasaje de un contenido de saber preciso a una versión didáctica de este objeto de saber”. Entre las adaptaciones y restricciones referidas, se encuentra la selección de materiales,

textos y contenidos que se enseñan, así como la impronta que el docente pone en los elementos que selecciona, hecho que origina una nueva currícula que es la que se transmite. Es hoy incuestionable la poderosa influencia del texto en el trabajo áulico, tanto para los

profesores como para los alumnos, constituyéndose como el referente exclusivo del saber científico (Perales y Jiménez, 2002). En la enseñanza de las ciencias, en todos los niveles educativos, el libro de texto es el material curricular más utilizado, según Otero 1997: “El libro de texto es una de las herramientas de enseñanza y aprendizaje más extendido”. Si bien uno de los pilares básicos en los que se sustenta la acción docente en cualquier

nivel educativo es el libro de texto junto con la manera en que se lo utiliza, cobra importancia entonces la siguiente cuestión: ¿De qué forma utilizamos el libro de texto en la clase? Surgieron algunos comentarios, entre los cuales podemos citar:

“… en este libro no me gusta cómo desarrolla tal tema, creo que es muy complicado para que mis alumnos lo entiendan, yo lo reformulo de una manera más sencilla…”

“… En la unidad tal, no estoy de acuerdo con el orden que establece el libro, yo lo altero considerablemente, porque así es más claro para los alumnos…”

“… Los ejemplos que presenta no me parecen útiles para el mejor aprendizaje, yo los cambio por otros más interesantes…”

El hecho de utilizar el libro de texto en el aula implica una serie de cambios en el formato

tradicional de la clase, con el consiguiente debate sobre las ventajas y desventajas de ésta práctica. Entre los aportes significativos en las jornadas de trabajo, surgen algunas opiniones de

cómo se utiliza el libro de texto en el nivel medio: - El alumno, en el nivel medio, realiza sus tareas acercándose a libros de texto copiando

contenidos, pero no logra adquirir nueva información, se queda en repetir y retener memorísticamente lo estudiado.

- En este nivel como en varios de estudios superiores se enseña apoyándose en una clase magistral, pronunciada por el profesor y encomendando al alumno la misión de buscar en el libro de texto los temas desarrollados. El estudiante se limita a leer y aprender de memoria, posteriormente se hacen preguntas acerca de su contenido, esto no presume un aprendizaje significativo.

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Jornada de Evaluación El taller tuvo la finalidad de discutir con los docentes que deben desempeñar funciones de

conducción curricular y los que deben hacer lo propio frente a los cursos tanto en el último tramo del nivel medio como en el primero del nivel superior, un conjunto de conocimientos que permitan, entre otras cosas: - Organizar tareas áulicas que viabilicen la capacidad de los alumnos para afrontar las

demandas del discurso académico - Formular estrategias que incentiven el desarrollo de las habilidades cognitivas y

metacognitivas de los alumnos para comprender la información que obtienen de la lectura de textos científicos

- Presentar proyectos tendientes a desarrollar acciones que susciten en los estudiantes la apropiación de nuevas prácticas lingüísticas y discursivas (o reconstruyan las que poseen para adecuarlas y emplearlas en nuevos contenidos disciplinares) promoviendo que incorporen aquellas prácticas específicas que les permitan avanzar en su vida académica para encontrar, así, nuevas propuestas que lo acompañen en el proceso de asumir un lugar autónomo y crítico tanto en su futura profesión cómo en la sociedad.

- Promover su autoevaluación respecto de las propias prácticas evaluativas o sea, una metaevaluación

- Suscitar la realización de microexperiencias en sus aulas para comenzar a romper las barreras que tantas veces impiden poner en práctica las nuevas propuestas.

A partir del informe presentado por los docentes, se provocó la discusión y puesta en común. El informe resumía lo siguiente: - Seleccionar un texto de matemática del nivel - Seleccionar un tema de dicho texto. - Planificar del desarrollo del tema seleccionado con la utilización del texto. - Organizar la actividad de resolución de problemas correspondiente. - Realizar una reflexión respecto de las ventajas o desventajas que pudo observar en esta

tarea.

Reflexiones A modo de ejemplo mostramos extractos de algunos informes presentados por los

docentes participantes:

“La compleja tarea de encontrar el texto que reúna todos los requisitos que consideramos indispensables: actividades introductorias, teoría clara y entendible para el alumno, práctica interesante en cantidad y calidad, resulta una desventaja. Haber descubierto que el uso del texto en el aula no solo es ventajoso para el docente, en cuanto a tener la clase organizada y disminuir el tiempo de desarrollo, sino también saber que le estás brindando al alumno un “recurso de aprendizaje” que le permitirá trabajar autónomamente, para así lograr “aprender a aprender”.

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“Fue una experiencia muy buena, a los alumnos les gustó bastante, no estaban muy acostumbrados, ya que no suelen leer en matemática pues el libro que tienen lo utilizan únicamente para “sacar” ejercitación que les indica su profesora”

“… pero lo más importante es que los conocimientos se adquieren de manera más significativa. Además se incorporan herramientas de aprendizaje que “pasan” a ser parte de la red cognitiva de la persona y que podrá utilizar cuando se enfrente a nueva situaciones tanto en esta asignatura como en la vida cotidiana”

“La experiencia que me brindó el taller fue muy favorable para mi formación docente, ya que me mostró una herramienta didáctica, que hasta hoy creía necesaria solo para el docente. El texto es de gran utilidad para el aprendizaje de los alumnos, porque no solo le brinda el contenido académico, sino también la posibilidad de aprender a leer matemática, lo cual no es como un texto de otra disciplina”

“Se obtuvo en general muy buenos resultados. Concluyendo que si podemos articular los medios y contamos con el tiempo necesario y la lectura y apropiación del tema individualmente y por autogestión dará resultados satisfactorios. Se debe generar en el alumno esta práctica con vista a la instancia de estudios superiores. Además en un mundo donde la información está tomando una impronta tan imprescindible

para el desarrollo de nuestra vida, muchas cosas o inquietudes viajan “solas” `por el medio de información y seremos nosotros quienes, en forma autónoma deberemos descifrarlas y apropiarnos de su contenido. ”

“Finalizado el taller concluimos que el uso y la comprensión del texto es muy provechosa tanto para el profesor/a como para los alumnos. Pero no dejamos de destacar que la presencia del docente en el aula es indispensable para la comprensión y desarrollo de un tema.”

“En el primer encuentro me hicieron tomar conciencia de que los docentes consideramos a los libros como un beneficio para nosotros. Ninguno de los grupos que se formaron ese día planteó la posibilidad de que son los alumnos los grandes beneficiados del texto matemático. Y me di cuenta, que yo también lo consideraba de ese modo en mi propia práctica. A partir de ahora, mi compromiso es que en todas las oportunidades que tenga, voy a respetar el derecho de mis alumnos a la independencia del aprendizaje. Mi aporte será incentivando al uso cotidiano del libro de texto matemático. No voy a seguir promoviendo la idea de que la matemática son solo ejercicios, olvidando todo el maravilloso universo teórico que hay detrás”

Como Conclusión Al finalizar el Taller llegamos a un consenso sobre la materia que nos preocupó. Tal es la

importancia que atribuimos sobre la utilización del libro de texto en el aula de matemática. El libro de texto como herramienta del docente y del alumno, que colabora en la

planificación y desarrollo de la clase y es utilizado por los alumnos no solo para leer los

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enunciados de los ejercicios y/o problemas que el docente indica previamente, sino como mediador del aprendizaje. Como dato relevante de las conclusiones de los docentes, apreciamos el encuentro de los

mismos con el libro de texto reconociéndolo como “factor coadyuvante en la producción de los conocimientos”.

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XII. ¿“APRENDER A APRENDER” ES UN ESTILO DEL ESTUDIANTE

UNIVERSITARIO?

Autores: Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha - Vozzi, Ana María. Presentado en V Congreso Mundial de Estilos de Aprendizaje - Santander, España 2012. Introducción Instruir a alguien (...) no es conseguir que guarde resultados en la mente. En cambio, es

enseñarle a participar del proceso que hace posible el conocimiento. No enseñamos una materia para producir bibliotecas vivientes sobre el tema, sino para conseguir que el estudiante piense matemáticamente por sí mismo, para que considere los asuntos como lo haría un historiador, para que sea parte del proceso de adquisición del conocimiento. Conocer es un proceso, no un producto (J. Bruner, 1966). Las diversas teorías sobre estilos de aprendizaje nos brindan la oportunidad de

aproximarnos al conocimiento de las formas en que nuestros alumnos están aprendiendo, lo que nos permitirá elaborar estrategias didácticas que contribuyan al logro de mejores aprendizajes. Respecto a la clasificación de los estilos de aprendizaje, se puede ver la existencia de una

gama versátil de clasificaciones en tipos de estilos, en la gran mayoría establecidas a partir de dos criterios fundamentales: las formas de percibir la información y las formas de procesarla. Nos importa, como docentes, contribuir para el desarrollo de habilidades que ayuden al estudiante a aprender con independencia, de modo que éste pueda seguir aprendiendo cuando se encuentre en cualquier otro contexto. Aprender, dentro de esta concepción, por otra parte no es solamente lograr cambios

medibles en los conocimientos, hábitos y habilidades. Aprender significa ante un “aprender a aprender”, conocer acerca del aprendizaje como proceso, conocer los estilos preferidos de aprendizaje y desarrollar habilidades para conseguirlo. Cuando se trata de pasar del pensamiento teórico a la aplicación de los fundamentos

pedagógicos a la práctica, el docente se enfrenta a diversos problemas que trascienden en el proceso educativo. Es posible que se deba a deficiencias en la estructura de las interfaces entre el sujeto que aprende y lo que debe ser aprendido, las que se encuentran representadas básicamente por el profesor, y desde luego por cualquier otro elemento que de alguna manera distribuya el conocimiento como revistas, libros, audiovisuales, etc.. Aun cuando son numerosas las propuestas sobre las estrategias de aprendizaje, el hecho es que generalmente no se usan en el aula. Por lo tanto, los problemas a que se enfrenta el proceso educativo no están centrados tanto en su formulación, sino más bien en hacer conciencia tanto del profesor como del alumno para aplicarlas de manera cotidiana. Reconociendo la preponderancia del estilo visual en los jóvenes actuales, inserto en la cotidianeidad a través de la proliferación de los medios visuales, es que consideramos pertinente aprovechar ésta situación a favor de la reutilización de los textos en el aula, estimulando la lectura comprensiva, en pos de la autonomía en el aprendizaje. Es oportuno entonces, convocar a más docentes a comprometerse en esta tarea, a revisar las estrategias, a reformularlas, a

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innovar, de modo que su puesta en práctica y posterior reflexión conduzca a mejorar sustantivamente el proceso de enseñanza-aprendizaje. Antecedentes y fundamentación teórica La significación de aprendizaje es desarrollado en numerosas teorías que intentan explicar

este proceso asombroso y enigmático. Mientras Piaget pone su enfoque en un aprendizaje constructivista y Ausubel destaca la obtención de conocimientos significativos, es Rosales (2005) quien al referirse al “Aprender a aprender” lo describe como “dotar al alumno de herramientas para aprender y de este modo desarrollar su potencial de aprendizaje” Algunas de las herramientas que aportan para desarrollar en el alumno la capacidad de

aprender a aprender son: - Ejercicio de habilidades pertinentes para hallar información. - Conocimiento de los principios formales de la investigación. - Comprensión de la autonomía en el aprendizaje. - Dominio de técnicas instrumentales de base como lectura, escritura, cálculo o

metodologías de estudio. El concepto de aprendizaje significativo se fundamenta en la psicología cognitiva y en el

constructivismo que entiende al aprendizaje del alumno no solamente a partir del análisis externo y objetivo de lo que se enseña, sino que incorpora las interpretaciones que el propio alumno construye. En ese proceso de construcción se produce una dinámica en la interacción que se

relaciona con la vinculación del alumno con los diferentes elementos que favorecen el proceso. Considerando el proceso de enseñanza - aprendizaje como un sistema en el que

intervienen elementos vinculados por una serie de relaciones que lo caracterizan y lo determinan, los significados que construye el alumno son el resultado de las interacciones entre, como mínimo, tres componentes: alumno - contenido - profesor. A este sistema de relaciones se suman aquellos recursos utilizados como soporte del contenido, de los cuales uno de los más utilizados es el libro de texto. En cada estilo de aprendizaje confluyen una gran cantidad de factores diferentes, entre los

cuales nos interesa especialmente aquel relacionado con la vía de ingreso de la información así como la manera en que se la representa. Desde lo pedagógico se produce una transformación que puede ser ampliamente explotada

por el docente, cual es la relación directa del alumno con el texto y la posibilidad de transformarlo en información significativa Las autoras de este trabajo ejercemos el doble rol de docentes en actividad e

investigadoras del área educación, estamos especialmente preocupadas por las dificultades que presentan nuestros alumnos en relación al aprendizaje de matemática en carreras no matemáticas (Carreras de Ingeniería). Hemos formado parte de un proyecto denominado “Dificultades en la Enseñanza de la Matemática Básica en Carreras de Ingeniería”, en el transcurrir del mismo, hemos constatado que una de las principales causas de deserción en los primeros años radica en la escasa capacidad de lectura, expresión y comprensión de textos, la que se potencia con los obstáculos que presenta el pasaje permanente entre los registros verbales, gráficos y simbólicos que exige el trabajo matemático. Estas cuestiones dieron origen al proyecto que integramos actualmente: “El libro de texto.

Factor coadyuvante en la producción de los conocimientos” dirigido por la Prof. Martha

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Guzmán y radicado en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (FCEIA) de la Universidad Nacional de Rosario (UNR), Argentina. En este proyecto, pretendemos indagar respecto de la utilización de los libros de texto

como mediador del aprendizaje y diseñar de alternativas didácticas que posibiliten al estudiante de ingeniería el desarrollo de estrategias para “aprender a aprender”. Extendiendo a la disciplina que nos compete, lo afirmado por Mac Namara “Comprender y aprender utilizando material escrito es una de las habilidades más importantes en la sociedad moderna. El alcance de la comprensión abarca desde poder descifrar los “tres pasos elementales” necesarios para inicializar un computador hasta comprender los tan temidos textos de matemática. En realidad, la habilidad para comprender los exigentes textos que generalmente deben

enfrentar nuestros estudiantes en clases de matemática es uno de los factores importantes que inciden en el aprendizaje Muchos estudiantes, sin embargo, son malos lectores o tienen dificultades para comprender los textos expositivos (Bowen, 1999). En suma, la habilidad de los alumnos para comprender los textos difíciles que con frecuencia se usan en la sala de clases es cuestionable, especialmente cuando se trata de material científico (Bowen, 1999; Snow, 2002). El informe RAND sobre Leer para Comprender (Snow, 2002) documenta la urgente necesidad de mejorar la comprensión lectora”. Los textos disciplinares en la educación superior en relación a los textos escolares, son en

general escritos muy rigurosos, difíciles de leer y dirigidos a entendidos de la disciplina, lo que suele dificultar, en gran medida, su utilización como recurso de aprendizaje. En el desarrollo de nuestra tarea de enseñanza surgieron algunos interrogantes que

tomamos como hipótesis del proyecto antes mencionado: - ¿De qué forma se utiliza el libro de texto en la clase? - ¿Qué condiciones y situaciones didácticas deberían cumplirse para la formación de

lectores autónomos? - ¿El docente conoce o advierte la complejidad de los procesos involucrados en la

lectura de un texto académico superior? - ¿Es consciente del uso de estrategias cognitivas en su propio proceso como lector? - ¿Reconoce en los estudiantes la construcción de sentido en el abordaje de un texto

escrito? (…) la justificada preocupación por los contenidos, marca definitorias de las propuestas

curriculares, lleva en muchos casos a olvidar que la forma es también contenido y que las vías o modos propuestos para la circulación o construcción del conocimiento permiten ciertos desarrollos y no otros. Lo metodológico operando como uno de los factores decisivos en el pasaje del currículum prescripto al currículum real se constituye, en general, en “zonas de incertidumbre” que abren “intersticios” a las propuestas innovadoras (…) (Edelstein-Litwin, 1993). Creemos que es necesario generar formas de enseñar a los estudiantes habilidades que les

permitan mejorar su desempeño en la compleja tarea de dialogar con los textos. La generación de tácticas (o modalidades) y procedimientos que requieren trabajo

académico, tienen un rol preponderante, no constituyen un material que se enseñe específicamente pues se construyen durante el proceso de inserción y se mejoran y/o modifican en el transcurso de la vida de las personas en la organización, pero de su conocimiento y dominio depende principalmente el éxito en el aprendizaje “oficial”

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explicitado en objetivos y dominios curriculares y evaluados a través de mecanismos diseñados con ese fin. La responsabilidad en la elaboración de las estrategias de trabajo en el ámbito

universitario, en este caso para la construcción de la comprensión, por parte de los alumnos en la práctica de lectura, es de nosotros, los docentes, de otra manera ¿quiénes podrán asumir este compromiso? Por otra parte, solemos suponer que nuestros alumnos, cuando leen, leen y entienden lo

que nosotros entendemos, proponiendo implícitamente un tipo de lectura con características desconocidas para los estudiantes. Los profesores no nos percatarnos habitualmente de que el modo de lectura que esperamos de nuestros alumnos es propio de una cultura lectora disciplinar, que se diferencia de otras culturas. Hemos observado que el estilo de la lectura que predomina en la educación media

argentina, de la que provienen los ingresantes universitarios, es muy distinta a la necesaria en él ámbito universitario, muchos textos del nivel secundario han suprimido la naturaleza argumentativa del conocimiento científico y presentan sólo una exposición del saber. Estos textos omiten los métodos con los que se han producido los conceptos, tratan el conocimiento como ahistórico, anónimo, único, absoluto y definitivo. Asimismo, la cultura lectora de la educación secundaria exige aprender (generalmente

para luego reproducir en los exámenes) qué dicen los textos y tiende a desdeñar porqué lo dicen y cómo lo justifican (a veces algunos docentes creen que el alumno es capaz de inferir estos procesos). Entendemos que la intervención educativa debe tener como objetivo prioritario el

posibilitar que los alumnos realicen aprendizajes significativos por sí solos, es decir, que sean capaces de aprender a aprender. En esta oportunidad el acento lo colocamos en el vínculo con el libro de texto, en lo que interviene tanto la lectura como la escritura, dado que utilizar como recurso de aprendizaje un libro de texto implica ambas acciones. Un recurso metodológico que contribuye a la mejor utilización de los textos es la

“escritura epistémica”. Son numerosos los estudios que ponen de manifiesto la gran capacidad del lenguaje para hacer explícitas ideas y conocimientos que tenemos pero que no sabemos que tenemos o que se “aclaran” al expresarlas (Olson, 1998, Vygosktki, 1977,1979). Es muy habitual la experiencia de querer comunicar una idea y acabar diciendo “no sé cómo decirlo”. Esta dificultad es interpretada por estos autores como una manifestación del costoso

proceso de hacer explícito lo que está implícito. El lenguaje cumple una función de andamiaje del pensamiento. Al verbalizar lo que vamos pensando, se ordenan las ideas porque se toma conciencia de ellas. Este papel del lenguaje se ve potenciado cuando se utiliza la escritura. El texto escrito

tiene una serie de características que favorecen su función de apoyo al razonamiento y en este caso al aprendizaje. Metodología Desarrollamos la investigación, de carácter cualitativo, siguiendo el esquema de reflexión-

acción que plantea Schön, 1998, dado que nos basamos en el supuesto que el conocimiento profesional no responde a un modo directo, sino que a través del ejercicio profesional y las prácticas reflexivas se construye una nueva acción mejorada que contribuye al desarrollo profesional en constante evolución.

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Por su característica, se trata de una investigación activa, entendiendo que ella se dirige a su aplicación inmediata y no al desarrollo de teorías. Su propósito es el de mejorar la práctica educativa y al mismo tiempo perfeccionar a quienes han de mejorar sus métodos. Apela a los docentes que tienen problemas por resolver y le corresponde comprometer e implicar a los mismos, proporcionándole un camino para el progreso profesional y la consecuente mejora del plan de estudios. Metodológicamente, enmarcamos nuestro trabajo en las teorías de la investigación-acción,

entendida como “forma de indagación autorreflexiva que emprenden los participantes en situaciones sociales para mejorar la racionalidad y la justicia de sus propias prácticas” (Lewin). Concepto que es actualizado y ampliado con los aportes de Stenhouse, Elliot (1996) y otros. La investigación- acción utiliza como método la espiral autorreflexiva formada por ciclos sucesivos de planificación, acción, observación y reflexión. Citando a Carr y Kemmis: “si algo define a la investigación acción como investigación es su propósito de desarrollar sistemáticamente el conocimiento dentro de una comunidad autocrítica de practicantes”. Una experiencia en el contexto del Proyecto La experiencia que relatamos, realizada en el marco del proyecto “El libro de texto. Factor

coadyuvante en la producción de los conocimientos”, consistió en indagar sobre las concepciones que tienen docentes de los niveles medio y superior universitario respecto a la interacción de estudiantes y de docentes con un libro de texto. Para ello, implementamos dos talleres, uno con docentes del nivel medio y el otro con docentes universitarios, en ambos casos se trataron de docentes de matemática. Participaron entre 15 y 20 docentes en los seis encuentros. Los talleres tuvieron la finalidad de discutir -con los docentes que desempeñan

funciones de conducción curricular y los que deben hacer lo propio frente a los cursos tanto en el último tramo del nivel medio como en el primero del nivel superior- un conjunto de conocimientos que permitan, entre otras cosas: 1. Organizar tareas áulicas que viabilicen la capacidad de los alumnos para afrontar las

demandas del discurso académico 2. Formular estrategias que incentiven el desarrollo de las habilidades cognitivas y

metacognitivas de los alumnos para comprender la información que obtienen de la lectura de textos científicos 3. Presentar proyectos tendientes a desarrollar acciones que susciten en los estudiantes

la apropiación de nuevas prácticas lingüísticas y discursivas (o reconstruyan las que poseen para adecuarlas y emplearlas en nuevos contenidos disciplinares) promoviendo que incorporen aquellas prácticas específicas que les permitan avanzar en su vida académica para encontrar, así, nuevas propuestas que lo acompañen en el proceso de asumir un lugar autónomo y crítico tanto en su futura profesión cómo en la sociedad. Las estrategias metodológicas que empleamos:

- Discusión respecto de las dificultades en la comprensión de conceptos matemáticos y analizar algunos errores atribuibles a la lectura del texto.

- Reflexión acerca de: El uso habitual del libro de texto en los distintos niveles educativos.

- Intercambio de opiniones sobre la pregunta: ¿El “apunte” del docente reemplaza al texto?

- Análisis del “Contrato de lectura”.

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- Promoción de su autoevaluación respecto de las propias prácticas evaluativas. - Motivación para la realización de microexperiencias en sus aulas para comenzar a

romper las barreras que tantas veces impiden poner en práctica las nuevas propuestas. Evaluación:

- Discusión en grupos de participantes respecto de los conceptos trabajados. - Análisis a posteriori y puesta en común. Comentarios Exponemos algunas notas representativas de las concepciones de los participantes, al

inicio de dichos talleres.

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Nos importa destacar aquí, las visiones que los participantes trajeron al taller, por ejemplo, respecto de los docentes universitarios observamos que atribuyen los problemas a los alumnos y no se realizan el interrogante de ¿cómo utilizamos el texto en clase? En general consideran que la tarea de enseñar a leer fue completada en una etapa anterior y no que se deba seguir enseñando en todas las etapas educativas. Si ahora nos referimos a las opiniones que vertieron los docentes del nivel medio, es

importante subrayar que en su gran mayoría consideran al libro de texto como un recurso exclusivo del docente, en ningún momento mencionan al texto en relación al alumno, responden a la pregunta ¿de qué forma utiliza el texto en la clase? Diciendo que sólo para realizar la ejercitación previamente seleccionada por ellos. Transcurridos los sucesivos encuentros con las discusiones y reflexiones pertinentes,

transcribimos algunas consideraciones que vertieron los participantes al finalizar los talleres:

92

Sobre la puesta en común podemos señalar que los docentes que participaron destacaron la

importancia de la interacción con los textos en el aula de matemática, reconociendo que si bien es uno de los recursos de enseñanza-aprendizaje más extensamente utilizados, en muchos aspectos no se tenía en cuenta su relevancia y fundamentalmente se acostumbraba a cuestionarse sobre la forma o presentación de los contenidos en distintos textos y no en cómo se podía mejorar su utilización. En sus conclusiones: “….En nuestra tarea referida a la planificación de situaciones didácticas y elección de

estrategias didácticas, los docentes debemos decidir cuidadosamente cómo mediaremos entre los alumnos y los diferentes objetos matemáticos, de modo tal de favorecer su aprehensión conceptual. “Elegir las representaciones más convenientes del mismo, evaluar su complejidad y los

obstáculos que pueden presentarse al cambiar de registro (en una instancia previa al tratamiento de la información por parte del alumno) son algunas de las cuestiones que creemos no deben jamás desatenderse. “Se hace necesario enriquecer la metodología de enseñanza, aumentando las estrategias y

diversificando al máximo los recursos didácticos con el fin de propiciar la construcción de una mayor cantidad y calidad de representaciones, hecho que, estamos convencidas, implicará una mayor cantidad de alumnos realizando aprendizajes significativos…”. De estas conclusiones surgieron diversos proyectos de diseño de experiencias didácticas

que tengan como elemento destacado la utilización del texto de matemática en el desarrollo de la clase para contribuir a mejorar el aprendizaje.

93

Reflexiones finales Los conceptos científicos, en particular las matemáticas, no son perceptibles directamente

de la realidad. No se forman necesariamente a partir de nuestra experiencia cotidiana. Los conceptos científicos adquieren sentido y validez en tanto sean parte de un sistema de proposiciones organizado y jerarquizado, ya que son teóricos y abstractos, por ello, requieren de un mediador, un profesor y una institución que deliberada e intencionalmente esté interesada en que sus alumnos logren aprehenderlos y que organice y diseñe adecuados currículos y metodologías que garanticen que dicho proceso pueda darse adecuadamente, es entonces prioritario, en nuestra universidad: Asumir el compromiso, que nos compete como docentes, de acompañar el tránsito de los

estudiantes entre los niveles Medio-Superior, Básico-Profesional. Innovar y evaluar proyectos en una actitud de permanente búsqueda de mejora de nuestro

ejercicio profesional como docentes. Buscar sensibilizar (concientizar) a los actores institucionales acerca de la necesidad de

mejorar nuestro conocimiento de los factores cognitivos, afectivos y motivacionales que inciden en el desempeño de los alumnos Contribuir a consolidar instancias de encuentro y difusión, en las que podamos poner en

común experiencias, proyectos y expectativas de mejora Es en este contexto que consideramos como un factor de importancia en la enseñanza-

aprendizaje de matemática en carreras de ingeniería, el vínculo entre Estudiantes-Libro de Texto-Docentes. Mejorar la utilización del libro de texto, como recurso de aprendizaje de los estudiantes, se

convierte entonces en un problema de interés pedagógico.

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XIII. CONCEPCIONES DE DOCENTES DE MATEMÁTICA SOBRE “EL PROBLEMA” EN

LA CLASE

Autores: Caserio, Mónica Beatriz - Vozzi, Ana María. Presentado en RELME XXVI - Buenos Aires, Argentina 2013. Introducción La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento y

de aprendizaje, toma los contenidos matemáticos como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamientos eficaces (De Guzmán, 1989, pp.102). La resolución de problemas no es solamente un medio didáctico cuya finalidad sería

despertar el interés por la materia, sino que tiene un valor en sí mismo. Practicarla proporciona al alumno procedimientos, métodos y heurísticas que son valiosos en la escuela y también en la vida cotidiana (Aebli, 1985, pp. 30). Las autoras de este trabajo codirigimos el proyecto de investigación ING332,correspondiente

al área de Educación Matemática y radicado en la Facultad de Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario (UNR), siendo la Prof. Martha Guzmán Directora de dicho proyecto, es en este marco que nos resulta de especial interés conocer las concepciones que los docentes de matemática poseen sobre aprender y enseñar matemática en general y particularmente respecto de sus ideas sobre la resolución de problemas. Algunas concepciones sobre el problema En cuanto a la epistemología que subyace en la base del concepto de problemas Reitman

(1965) realiza un análisis estableciendo cuatro categorías en cuanto a la relación entre los datos dados y las metas establecidas: Datos bien definidos - bien definido estadio de metas Datos bien definidos - pobremente definido estadio de metas Datos pobremente definidos - Bien definido estadio de metas Datos Pobremente definidos - pobremente definidos estadio de metas Si bien existen diversos análisis y categorizaciones de problemas establecidas en la

literatura, es Mayer quien brinda una categorización especialmente apropiada a la naturaleza del problema matemático y describe en el resumen siguiente la tipología cuatripartita basada en Greeno y Simón (1988): - Problemas de transformación: El resolutor debe encontrar una secuencia de

operaciones que conduzca al objetivo. - Problemas de arreglos: Dados todos los elementos y una descripción general de los

objetivos, deben ordenarse estos elementos de manera que resuelvan el problema. Ejemplo: anagramas.

- Problemas de inducir estructuras: Dados varios ejemplos, el resolutor debe descubrir la regla o patrón general consistente con la información. Ejemplo: completar series o problemas de analogía.

- Evaluación de argumentos deductivos: Dadas ciertas premisas determinar si se llega a una conclusión lógicamente o no. Ejemplo: juzgar la validez de un silogismo.

95

El aprendizaje a través de la resolución de problemas Hans Aebli (2000): la respuesta a la pregunta acerca de qué es lo que pone en movimiento

el aprendizaje del alumno es: problemas vivamente experimentados. Dice además, que un alumno con un problema es un alumno que busca una respuesta, que las lecciones que resuelven problemas son respuestas y que, la resolución de problemas no es solamente un medio didáctico cuya finalidad sería despertar el interés, sino que tiene un valor en sí mismo. El alumno experimenta lo que realmente significa buscar e investigar, pensar y reconocer, desarrolla actitudes de confianza en sí mismo, de independencia íntima y de autonomía ante situaciones nuevas. Guy Brousseau (1996): afirma que “un alumno no hace matemática si no resuelve

problemas”. Sostiene, además, que la constitución del “sentido” implica una interacción constante del alumno con situaciones problemáticas, interacción dialéctica (porque el sujeto anticipa, finaliza sus acciones) donde él compromete conocimientos anteriores, los somete a revisión, los modifica, los completa o los rechaza para formar concepciones nuevas. Se pregunta ¿cuáles son, entonces, las condiciones que deben cumplir las situaciones, los problemas que se proponen al alumno para favorecer la aparición, el funcionamiento y el rechazo de esas concepciones? Responde que el interés de un problema va a depender esencialmente de lo que el alumno comprometa ahí, de lo que ahí someterá a prueba, de lo que invertirá, de la importancia para él de los rechazos que será conducido a hacer y de las consecuencias previsibles de esos rechazos, de la frecuencia con la cual arriesgaría cometer esos rechazos, conducentes a errores, y de su importancia. Así los problemas más interesantes serán aquellos que permitirán franquear un verdadero obstáculo Miguel de Guzmán (1989): “Nuestros textos están, por lo general repletos de meros

ejercicios y carentes de verdaderos problemas. Un verdadero problema obliga al paso de una situación a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfiladas y no se conoce el camino que puede llevar de una a otra” y continúa: “La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar de lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamientos eficaces”. Considera como importante que el alumno: - manipule los objetos matemáticos, - active su capacidad mental, - ejercite su creatividad, - reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo, - adquiera confianza en sí mismo, - se divierta con su propia actividad mental, - se prepare para resolver otros problemas de la Ciencia y, posiblemente de su vida

cotidiana, - que se prepare para los nuevos retos de la Tecnología y de la Ciencia. George Polya (1998) dice: “Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en

la solución de todo problema hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero si se pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por los propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo”. Afirma que experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimir una huella imperecedera en la mente y el carácter. Opina que la resolución de problemas es

96

una escuela de la voluntad. Resolviendo problemas que parecen difíciles, el alumno aprende a perseverar pese a los fracasos, a apreciar el menor de los progresos, a comprender la idea esencial, a hacer un llamado a toda su fuerza de concentración. Si un alumno no encuentra en la escuela la oportunidad de familiarizarse con las diversas emociones que ofrece el esfuerzo con vista a la solución, su educación matemática ha fallado en lo esencial. Chevallard, Gascón y Bosh (2005): la presencia de la Matemática en la escuela es una

consecuencia de su presencia en la sociedad y, por lo tanto, las necesidades matemáticas que surgen en la escuela deberán estar subordinadas a las necesidades matemáticas de la vida en sociedad. Los autores caracterizan a la actividad matemática y al proceso de estudio como el trabajo de modelización encaminado a resolver problemas pertenecientes tanto a objetos o procedimientos propios de la matemática como a objetos o fenómenos ajenos a la Matemática. Micheme Mathiaud en “Enseñar a partir de actividades” expresa su punto de vista al

respecto: “lo que, en mi opinión, da lugar a una actividad matemática por parte del alumno es la búsqueda de un problema que utiliza y coordina los conceptos aprendidos por separado, o también un problema que se inscriba dentro del proceso de aprendizaje de un “objeto” matemático. Las prácticas docentes y la resolución de problemas Según Kilpatric y otros, los estudios sobre profesores principiantes y expertos han

generado preguntas no solamente acerca de cómo se deben definir estas dos categorías, sino también acerca de si es posible y cómo se debe utilizar la investigación descriptiva que analiza sus diferencias para sugerir recomendaciones que sean útiles para la formación de profesores. El trabajo realizado se ha centrado más en la descripción de la enseñanza de las matemáticas y en el examen de las creencias y las concepciones del profesor que en la descripción y evaluación del desarrollo profesional del profesor. Tenemos algunas impresiones de su enseñanza, pero comprendemos muy poco acerca de cómo ha evolucionado esta enseñanza. Se han hecho algunos estudios sobre programas específicos de formación inicial y permanente de profesores de matemáticas. Sin embargo, hay muy pocos estudios que analicen transversalmente estos programas o que hagan un seguimiento de los profesores una vez que han terminado el programa y entran en su vida profesional La investigación se ha centrado en el estudio del profesor. Se han detenido a observar a

cerca de lo que el profesor hace para mejorar el rendimiento de sus alumnos en la resolución de problemas. Los investigadores concluyeron que el contexto en el cual se desarrolla la clase, es de gran importancia. En general, las tendencias en la enseñanza e investigación de resolución de problemas, se

han desplazado de la enseñanza e investigación de la heurística hacia la investigación de problemas situados, en donde los estudiantes pueden mejorar su rendimiento porque el problema tiene algún significado para ellos. Existe una cierta tendencia en las clases de matemáticas a plantear a los estudiantes problemas artificiales. Los investigadores han llegado a la conclusión de que el profesor debe dar a sus alumnos problemas más reales para que el estudiante se sienta comprometido con la tarea. La experiencia Los participantes del Taller son docentes de matemática que se desempeñan en el nivel

medio, en la ciudad de Rosario, en las Provincias de Buenos Aires y Entre Ríos. La

97

propuesta fue que a partir de los conceptos previos al desarrollo del taller y de la lectura del material entregado en el mismo se promoviera la reflexión sobre sus propias prácticas, tratando de poner el énfasis en el análisis de las actividades que desarrollan. Específicamente la tarea consistió en formar grupos de trabajo para abordar la lectura de

textos donde se presentaban las ideas de los autores antes mencionados, en referencia a la resolución de problemas de matemática; para luego de discutir sobre las diversas concepciones, reflexionando sobre dudas y diferencias y, como tarea final responder los siguientes interrogantes: 1. ¿Cuál es su concepción de la matemática? 2. ¿Qué entiende por aprender y enseñar matemática? 3. ¿Qué es un problema? 4. ¿Cuál es la importancia de la actividad? 5. ¿Cómo ubica la resolución de problemas en el desarrollo de sus clases? Mostramos a continuación algunas de las respuestas vertidas en las jornadas del Taller:

Figura 1: Respuestas dadas por docentes.

98

Figura 2: Respuestas dadas por docentes.

Figura 3: Respuestas dadas por docentes.

99

Figura 4: Respuestas dadas por docentes.

Presentamos en forma de tabla los términos, que a nuestro criterio, resultaron relevantes

de las respuestas ofrecidas por los diferentes grupos:

Tabla 1: Respuestas relevantes de docentes. G1 G2 G3 G4 G5

Preg. 1

Conocimiento Específico Inquietudes Formas de

pensamiento

Axiomas y teoremas Belleza y

curiosidad

Ciencia aplicada. Modo de pensar

Valores estructurales,

instrumental y. formativo

Uso cotidiano

Preg. 2

E: estrategias y métodos

A: habilidades y destrezas

E: Proveer herramientas A: aprender a

razonar

E: A pensar lógicamente A: desarrollar

conocimientos

E: Ayuda y estimulación A: desarrollar conceptos estimula

investigación

E: transmitir conocimientos

A: Integrar y relacionar

Preg. 3

Objetivo a lograr Construir herr. Propias

Presentar dificultades

Pone en juego conocimientos y

cuestiona nuevos.

Conflicto sin solución

inmediata.

Preg. 4

Activa acciones y operaciones

Desequilibrio equilibrado.

Desafío controlable

Resignificar contenidos

Toma de decisiones,

analizar resultados Aprendizaje autónomo

Afianza contenidos ubica en un contexto

Preg. 5

Introducción , Práctica o cierre

Indispensable Motivadora

Motivador, integrador o evaluador

Disparador O aplicación.

Disparador, evaluador., integrador.

Reflexiones finales Pudimos observar en el desarrollo de la actividad algunas particularidades en relación a las

concepciones que muchos profesores de matemática expresan sobre la resolución de problemas de matemática en el aula. En las respuestas obtenidas notamos que, si bien la mayoría exhibe un alto grado de

adhesión a las teorías respecto a la resolución de problemas, en su propia labor docente la consideran como una herramienta didáctica que puede ser utilizada en algunos momentos específicos, de manera un tanto aislada. Estas observaciones realizadas frente a los grupos motivaron reflexiones sumamente

interesantes.

100

Cuando se trata de superar el pensamiento teórico para aplicar los fundamentos pedagógicos a la práctica, el docente se enfrenta a diversas situaciones que repercuten en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Aún cuando son numerosas las propuestas sobre enseñanza por resolución de problemas, el hecho es que generalmente no se utilizan en el aula. Consecuentemente, las dificultades a que se enfrenta el proceso educativo no están centradas tanto en su formulación, sino más bien en hacer conciencia tanto del profesor como del alumno para aplicarlas de manera cotidiana.

101

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105

ÍNDICE Sobre las autoras 3

Agradecimientos y reconocimientos 4 Prólogo 5 Sobre el proyecto de investigación 6 Algunos trabajos en el marco del proyecto 18 I. Una cuestión a debate: el texto de matemática, uso y abuso 19 Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María II. ¿Qué leen nuestros alumnos en el texto de matemática? 24 Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María III. Lectura y aprendizaje un compromiso docente 29 Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María IV. Una evaluación sobre la importancia del texto de matemática en El aprender a aprender 35 Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha Elena - Vozzi, Ana María V. El álgebra lineal para ingenieros, una propuesta facilitadora 43

Vozzi, Ana María - Medina, Mabel - Cornaglia, Laura VI. Interpretaciones erróneas de conceptos básicos del cálculo vectorial 48

Arnulfo, Angélica - Guzmán, Martha Elena - Kurdobrin, Alicia Isabel - Pérez, Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín VII. Lectura comprensiva: una propuesta de enseñanza y aprendizaje 55 Celis, María Belén - Guzmán, Martha Elena - Pérez, Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín VIII. Propuesta de enseñanza para la lectura autónoma 60 Celis, María Belén - Vozzi, Ana María IX. Integrales triples: una experiencia didáctica en carreras de Ingeniería 64 Arnulfo, Angélica - Kurdobrin, Alicia Isabel - Sabatinelli, Pablo Agustín X. Sistemas de ecuaciones lineales. Experiencia en clase en Ingeniería 70 Celis, María Belén - Guzmán, Martha Elena - Kurdobrin, Alicia Isabel - Pérez, Mariana del Valle - Sabatinelli, Pablo Agustín XI. ¿Cómo utilizamos el libro de texto en el aula de matemática? 75 Caserio, Mónica Beatriz - Vozzi, Ana María XII. ¿“Aprender a aprender” es un estilo del estudiante universitario 85 Caserio, Mónica Beatriz - Guzmán, Martha - Vozzi, Ana María XIII. Concepciones de docentes de matemática sobre “el problema” en la clase 94 Caserio, Mónica Beatriz - Vozzi, Ana María Referencias bibliográficas 101

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EL LIBRO DE TEXTO COMO FACTOR COADYUVANTE

EN LA PRODUCCIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS

Procesado gráfico integral

UNR EDITORA

EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

Secretaría de Extensión Universitaria

Urquiza 2050 - S2000AOB / Rosario - República Argentina

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Edición de 300 ejemplares

Año 2017