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El juego de la lógica www.librosmaravillosos.com Lewis Carroll
Gentileza de Sinuhé Perea Puente 1 Preparado por Patricio Barros
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 2 Preparado por Patricio Barros
Presentación
Es frecuente que los lectores de «Alicia en el País de las Maravillas» (LB 276) y «A
Través del Espejo» (LB 455) queden sorprendidos, como dicen que le sucedió a la
reina Victoria, al averiguar que LEWIS CARROLL no era sino el sobrenombre literario
de CHARLES DOGSON (1832-1895), diácono de la Iglesia de Inglaterra, profesor de
matemática y ciudadano de vida circunspecta y ordenada.
Son varias las interpretaciones ofrecidas para explicar las relaciones entre esas dos
personalidades en apariencia tan alejadas. Para ALFREDO DEAÑO, prologuista,
organizador y traductor de este volumen, fue precisamente el campo de la lógica la
encrucijada elegida por Dogson-Carroll para que la fabulación y las matemáticas
llevaron a cabo la contradictoria tarea de aunar la ciencia del sentido y el flujo del
sinsentido.
EL JUEGO DE LA LÓGICA reúne pruebas para fundamentar esta hipótesis: en los
capítulos tomados de los libros de lógica, la neurosis del victoriano conformista,
transferida a las construcciones mentales, muestra como el rigor de la inferencia
puede desembocar en la locura; en la paradoja de los tres peluqueros y el debate
entre Aquiles y la tortuga, la mentalidad del matemático plantea con sorprendente
lucidez algunos problemas claves de la lógica moderna.
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Aventuras de Lewis Carroll en el País de la Lógica
«Si así fue, así pudo ser; si así fuera,
así podría ser; pero como no es, no es.
Eso es lógica».
Tweedledee, en Through the Looking
Glass, cap, IV,
1. Acerca del carácter neurótico de la lógica de Charles Carroll.
Es posible que quienes hayan leído sólo por encima a Lewis Carroll se sientan
sorprendidos al recibir la noticia de que Lewis Carroll escribió libros de lógica.
¿Cómo es que Lewis Carroll escribió libros de lógica? Trataremos de demostrar que
era lógico que lo hiciera.
Para lo cual es menester formular esa pregunta de otro modo. De este modo: ¿qué
sentido tiene la obra lógica de Carroll? Antes de nada, ¿quién era Lewis Carroll?
¿Quién era ese hombre capaz de interesar a la vez a los filósofos analíticos y a los
surrealistas, a los poetas dadaístas y a los lógicos formales, a Russell y a Breton, a
Artaud y a Strawson, a Deleuze y a Eddington, a Ryle y a Cortázar?
Lewis Carroll era, en realidad, Charles Lutwidge Dodgson: hijo de un pastor
protestante; habitante, durante cuarenta y siete años, de la Universidad de Oxford,
primero como estudiante y luego como profesor de matemáticas; profesor de lógica
en Lady Margaret Hall y en la High School de Oxford; hombre de vida ordenada,
casta, apacible; burgués británico de la segunda mitad del siglo XIX; diácono de la
Iglesia de Inglaterra, a pesar de que no creía en el castigo eterno de los pecadores;
remilgado, altivo, impoluto, profundamente aburrido en clases y reuniones; muerto
víctima de las corrientes de aire que en vida tanto había combatido; autor de
algunos libros que llevan estos títulos: Fórmulas de trigonometría plana, Tratado
elemental de los determinantes, El libro V de Euclides tratado de un modo
algebraico, en cuanto hace relación a magnitudes conmensurables, etc. o bien:
Lewis Carroll era, en realidad, Lewis Carroll: domesticador de serpientes y sapos;
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prestidigitador; editor, siendo niño, de revistas manuscritas para niños; zurdo
(según algunos testimonios), tartamudo, bello, sordo de un oído; inventor de cajas
de sorpresas, de rompecabezas, de aparatos inútiles; insomne; entusiasta de las
bicicletas en su juventud y de los triciclos en su madurez1: creador de juegos de
palabras incluso en idiomas que no conocía, como cuando dijo «I am fond of
children (except boys)», que en inglés no es un juego de palabras, pero si en
castellano: «Me gustan los niños, a excepción de los niños»; excelente fotógrafo,
sobre todo de niñas vestidas y desnudas; autor de poemas como éste:
Creía ver un Elefante,
un Elefante que tocaba el pífano;
mirando mejor vio que era
una carta de su esposa.
«¡De esta vida, finalmente» —dijo—
«siento la amargura!»
Creía descubrir un Búfalo
instalado sobre la chimenea;
mirando mejor vio que era
la sobrina de su cuñado.
«¡Sal de aquí» —dijo—
«o llamo a la policía!»
Creía ver una Serpiente de cascabel
que le interrogaba en griego;
mirando mejor vio que era
la mitad de la próxima semana,
¡Lo único que siento! —dijo—
«es que no pueda hablar».
Creía ver una Inferencia
1 Cf. el enigma de Edipo y la Esfinge
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demostrando que él era el Papa.
Mirando mejor vio que era
un pedazo de jabón de mármol.
«¡Dios mío» —dijo— «un hecho tan funesto
destruye toda esperanza!»2
inventor de un nuevo método de adición, de acuerdo con el cual, para sumar 2 + 1
habría que hacer lo siguiente:
Tomamos Tres como base del razonamiento que hacemos...
Un número apropiado para comenzar…
Le sumamos Siete, y Diez, y lo multiplicamos todo
por Mil menos Ocho.
El resultado que obtenemos lo dividimos, como ve,
por Novecientos Noventa y Dos;
le restamos Diecisiete, y la respuesta debe ser
exacta y perfectamente justa3.
Un resumen inocuo de todo lo anterior lo constituiría el decir que hay dos Carroll:
un Carroll circunspecto y un Carroll excéntrico. O, para expresarlo con mayor rigor,
que hay una sola persona bifurcada en otras dos: Charles Lutwidge Dodgson, por
una parte, y, por otra parte, Lewis Carroll. Conviene que encontremos un nombre
para referirnos a esa persona escindida. Utilizando la técnica carrolliana de las
palabras-maletín (dos o más palabras incrustadas en una sola, como «snark»
(«serprón»), cruce de «Snake» («serpiente») y «shark» («tiburón»)), podríamos
nombrarla de diversos modos. Se trata, en efecto, de entretejer estos nombres:
Charles Dodgson
Lewis Carroll
2 «Canción del Jardinero Loco», en Silvia y Bruno (1889, 1893). Hemos seguido en líneas generales la traducción que da del poema Joaquín Jordá en la edición castellana del libro de H. Parisot: Lewis Carroll. Paris., Seghers, 1952, 1965. Trad. cast. en Barcelona, Kairós, 1970, pp. 177-79. 3 «La Caza del Snark». Trad. cast. en op. cit., en nota anterior páginas 138-61, p. 153.
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Lo cual nos da varias posibilidades. Por ejemplo:
Charwis Dodgrroll
Lewrles Carrson
Leslew Soncarr
Wischar Rollldodg
Ahora bien: es posible —y, tratándose de Carroll, deseable— complicar algo más las
cosas e introducir un nuevo elemento que a Lewis Carroll, autor de cartas escritas al
revés, le resultaría particularmente grato: la inversión. Con lo cual tendremos:
Selrach Nosgdod
Siwel Llorrac
Y estas combinaciones posibles, entre otras:
Selwell Nosrrac
Sirach Llogdod
Rachsiw Dodglio
Welsel Rachnos
Si además de invertir el orden de las letras dentro de cada palabra invirtiéramos el
orden de nombre y apellido, y si invirtiéramos asimismo el orden de las sílabas
dentro de cada palabra, o bien si prefiriéramos, por ejemplo, entremezclar las letras
en lugar de las sílabas, se abriría ante nosotros un vastísimo campo de
experimentación a la vez útil y agradable. Limitaciones de espacio nos impiden
desarrollar como quisiéramos todas estas apasionantes posibilidades. Pero, después
de todo, tal vez sea más sencillo limitarse a combinar los nombres enteros, y hablar
de «Charles Carroll» para designar al hombre que escribió sobre trigonometría y
sobre sueños.
Algunos autores se han limitado a señalar esa escisión y a buscar sus causas. Así,
Chesterton, en su defensa del sinsentido, afirma que Edward Lear —autor de un
Book of Nonsense publicado en 1846— le parece superior a Lewis Carroll. Y ello
porque, según Chesterton, para Carroll era más fácil —era, en rigor, inevitable—
recurrir al sinsentido. Un hombre como él, con una vida de inhibición como la suya,
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fatalmente habría de evadirse a otro mundo para sobrevivir. En esa necesidad de
evadirse ve Chesterton la fuente de la nueva literatura de la sinrazón.
Edward Lear, en cambio, no era un inhibido que sublimaba: era un ciudadano del
mundo del sinsentido, instalado en él a sus anchas, y nada más. Para Carroll el
mundo del sinsentido era sólo la mitad de su mundo. La otra mitad era Oxford, la
Iglesia de Inglaterra, las clases de matemáticas.
«El país de las maravillas de Carroll es son territorio poblado por matemáticos
locos»4. En esto mismo insiste André Breton: «El sinsentido en Lewis Carroll extrae
su importancia del hecho de que constituye para él la solución vital de una profunda
contradicción entre la aceptación de la fe y el ejercicio de la razón, por una parte.
Por otra parte, entre una aguda conciencia poética y los rigurosos deberes
profesionales. La particularidad de esta solución subjetiva es el doblarse en una
solución objetiva, precisamente de orden poético: el espíritu, ante cualquier clase
de dificultad puede encontrar una salida ideal en el absurdo»5.
Otro tanto afirma Martin Gardner, autor de una magnífica edición anotada de Alicia:
«El último nivel de metáfora en los libros de Alicia es éste: que la vida, vista
racionalmente y sin ilusión, aparece como un cuento carente de sentido relatado por
un matemático idiota», señalando más adelante que Alicia en el país de las
maravillas y Al otro lado del espejo fueron escritos por el Reverendo C. L. Dodgson
«durante una vacación mental»6.
Pero Charles Carroll no sólo practicaba el sinsentido en vacaciones, sino también
durante el curso. Hay, ciertamente, un Charles Dodgson bienpensante, profesor de
matemáticas y autor de libros bien pensados sobre la materia; y hay también un
Lewis Carroll librepensador y librecreador que escribe literatura demencial. Hay un
hombre que sabe distinguir entre lo necesario y lo libre, pero que se ve obligado a
someterse a lo necesario y huir hacia la libertad en ratos libres. Hay un Charles
Dodgson encadenado y un Lewis Carroll evadido. Pero, ¿no hay nada entre ellos?
¿No hay ninguna tierra, ninguna tierra de nadie, en la que puedan encontrarse?
4 G. K. Chesterton: «A Defence of Nonsense», en The Defendant (1901). Ed. en Stories, Essays and Poems. Londres, Dent and Sons, 1966, pp. 123-27. 5 A. Breton: Antología del humor negro. Cit. por Parisot, op. cit.., p. 21 6 Alice's Adventures in Wonderland and Through the Looking Glass edited by M. Gardner. Harmondsworth, Penguin Books, 1965; revised edition, 1970. Introduction, pp. 15 y 16.
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Pensamos que si la hay. Y pensamos que ese lugar donde ambos se encuentran es
el lugar de la lógica. Las obras matemáticas las firmaba «Charles L. Dodgson».
Las obras de imaginación y los libros de lógica los firmaba «Lewis Carroll». Pero
quizá—si hubiera sido «consciente»— los libros de lógica debiera haberlos firmado
«Charles Carroll». Porque Lewis Carroll no se limitó a evadirse.
También presentó batalla. Y esa batalla revistió la forma de un intento de introducir
el sinsentido en el seno de la lógica misma. En sus libros de lógica se anudan el
Dodgson matemático y el Carroll neurótico, y lo que resulta es la lógica neurótica de
Charles Carroll. Después de leer algunos de los ejemplos de silogismos y sorites que
Carroll nos ofrece, el lenguaje de los surrealistas, pongamos por caso, acaba casi
pareciéndosenos al de Rudolf Carnap, pongamos también por caso.
Ciertas filosofías habían venido a decirnos en resumidas cuentas que no conocemos
de los objetos más que lo que ponemos en ellos. Hoy sabemos incluso más.
Sabemos que ponemos en las cosas más de lo que sabemos que ponemos.
De esto da el propio Carroll testimonio: «He recibido a menudo cartas corteses de
extranjeros que querían saber si La caza del snark es una alegoría o contiene alguna
moraleja oculta o constituye una sátira política; y para todas las preguntas de ese
tipo tengo una sola respuesta: ¡No lo sé!»7.
Y en una carta a un amigo es todavía más explícito sobre este punto: «Las palabras
no significan sólo lo que hemos tenido intención de expresar al emplearlas: de
manera que la significación de un libro debe ciertamente rebasar las intenciones del
autor»8. Estas observaciones de Carroll acerca de La caza del snark pueden
naturalmente hacerse extensivas a toda su obra, incluida su obra lógica.
¿Qué puso Charles Carroll, sin saberlo, en sus libros de lógica? Se suele concebir la
lógica como la ciencia de los principios de la inferencia formalmente válida. Se suele
pensar también que pensamiento y lenguaje son de hecho inseparables —al menos
en el adulto, ya que otra cosa parecen pensar del niño autores como Piaget—, de tal
modo que la validez formal de las inferencias sólo es controlable a través de su
inevitable formulación en el lenguaje. Parece, por tanto, que la lógica ha de ser —en
7 «Alice on the stage», aparecido en The Theatre, abril 1887. Recogido en Diversions and Digressions of Lewis Carroll (formerly titled The Lewis Carroll Picture Book). Edited by Stuart Dodgson Collingwood. Nueva York, Dover Publications, 1961, pp. 163-74, pp. 167-68. 8 Citado por Parisot, op. cit., p. 72.
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un determinado sentido y entre otras cosas— la ciencia de las leyes del lenguaje, la
ciencia de las leyes del uso sensato del lenguaje.
Ahora bien: Charles Carroll escribió libros de, lógica —libros sobre la cordura en el
empleo del lenguaje— y, al mismo tiempo, fue autor de obras en las que las
palabras9, lejos de ser traídas de su uso metafísico a su uso cotidiano, como querrá
hacer el segundo Wittgenstein10, son llevadas de su uso ordinario a un uso onírico,
trastornado. Algo dirá en sus libros de lógica, o algo se mostrará en ellos que
manifieste esa tensión.
Repitamos la pregunta que al principio hacíamos: ¿Cuál es el sentido de la obra
lógica de Carroll? A la vista de lo que hemos dicho parece que ha de tratarse de una
obra fronteriza, crucial, de una obra-maletín en la que se dan cita y se inmiscuyen
Charles Dodgson, profesor de matemáticas, y Lewis Carroll, teórico de manicomios.
Jean Gattégno, introductor de la obra lógica de Carroll en francés, hace un intento
de encontrar la articulación que une la lógica con la analógica en la obra de Charles
Carroll. «La obra fantástica de Carroll representa simplemente el muestrario de
trampas y de dificultades en que caemos cuando no observamos las reglas y leyes
formuladas por la obra lógica.»11
Así pues, según Gattégno, Alicia y Al otro lado del espejo no serían sino el
repertorio de los errores y perplejidades a que el lenguaje nos conduce cuando no lo
usamos con cuidado. Y El juego de la lógica y Lógica simbólica serían libros de
profilaxis, libros destinados a enseñarnos los cuidados que debemos procurar al
lenguaje en evitación de que el lenguaje nos vuelva locos. «Vemos entonces más
claramente que Carroll no nos ofrece en sus obras “ligeras” una respuesta a las
obras lógicas “serias”, sino simplemente una confirmación de estas últimas. Aquí
está la gran continuidad entre Carroll y Dodgson, entre el autor de relatos para
niños y el lógico matemático. Ambos comparten una gran preocupación que
traducen, a su manera, para cada uno de sus públicos: la comunicación entre los
seres.»12
9 «Creemos que la invención en Carroll es esencialmente de vocabulario, y no sintáctica o gramatical». G. Deleuze: Logique du sens. París, Les Éditions de Minuit, 1969. Lógica del sentido. y. cast. de A. Abad. Barcelona, Barrai Editores, 1971, p. 122, nota. 10 Wittgenstein: Philosophische Untersuchungen, mún. 116. 11 J. Gattégno: «La logique et les mots dans l'oeuvre de Lewis Canon», en La logique sans peine. Paris, Hermann, 1966, pp. 6-43. Deleuze, op. cit., p. 36. 12 Gattégno, op. cit., pp. 40-41.
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Es llamativa la semejanza entre un Carroll así interpretado y el segundo
Wittgenstein, el cual ha dejado dicho lo siguiente: «La filosofía (en Carroll, la lógica)
es una lucha contra el embrujamiento de nuestra inteligencia por el lenguaje»13.
Efectivamente, hay textos de Carroll —cuando habla, por ejemplo, de las falacias,
del modo de evitarlas y de los beneficios que de ello se derivarían14— que abonarían
la interpretación de Carroll como una especie de ilustrado, como alguien para quien
el problema de la confusión es un problema puramente lógico y no también
ideológico. Como alguien que piensa que si habláramos con claridad y sin
ambigüedades el mundo iría mucho mejor. Pero no nos satisface esta
interpretación.
Lo que nosotros negamos es que las obras lógicas de Carroll pertenezcan al grupo
de sus obras «serias». Y ello independientemente de lo que Carroll pensara de ellas.
En el Prefacio a la cuarta edición de su Lógica simbólica Carroll afirma que su
intención es «popularizar este tema fascinante», hacer accesible la lógica a los
jóvenes estudiantes proporcionándoles así una fuente de goce intelectual. Los
editores franceses de su obra aceptan la interpretación que el propio Candi da de
ella, respetan las intenciones conscientes de Carroll. Por eso titulan su antología «La
lógica sin esfuerzo».
Pero ya sabemos —Carroll mismo lo sabía— que una obra no tiene solamente— o no
tiene por qué tener tan sólo— el sentido que su autor haya querido atribuirle.
Wittgenstein, el primer Wittgenstein, elaboró en su Tractatus Logico-Philosophicus
una distinción profunda y útil: la distinción entre «decir» y «mostrar». Hay algo que
el lenguaje dice y hay algo que se muestra en el lenguaje. Wittgenstein —para
decirlo brevemente— pensaba a la sazón que el mundo es la totalidad de los hechos
(Tractatus, 1, 1) y que las proposiciones —cuya totalidad constituye el lenguaje
(Tr., 4.001)— son pinturas de los hechos (Tr., 4.06). Las proposiciones nos dicen
que las cosas son de una determinada manera y al mismo tiempo muestran su
forma lógica común con la del hecho que representan. Ahora bien: «las
proposiciones no pueden representar la forma lógica: está reflejada en ellas» (Tr.,
4.12). Porque «nosotros no podemos representar por medio del lenguaje aquello
que se expresa en el lenguaje» (Tr., 4.121). En frase lapidaria: «Lo que puede ser 13 Philosophische Untersuchungen, núm. 109. 14 Cf, El método de los subíndices. Cf. también el final de la Introducción para estudiantes, de este libro.
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mostrado no puede ser dicho» (Tr., 4.1212). Lo que se muestra en el lenguaje no
puede ser dicho en él. Sabemos que Bertrand Russell —precisamente en la
Introducción al Tractatus— y luego sobre todo Tarski y Carnap desplazaron este
problema al infinito mediante la llamada «teoría de la jerarquía de los lenguajes» o
teoría de la distinción entre un lenguaje y su metalenguaje. Lo que se muestra en
un lenguaje puede ser dicho en su metalenguaje. Y lo que en este metalenguaje se
muestra puede ser dicho en un nuevo metalenguaje. Y así sucesivamente hasta
siempre.
La distinción entre decir y mostrar la vamos a usar aquí de un modo analógico. Una
cosa es lo que Carroll dice en sus obras y otra cosa es lo que estas obras muestran.
Y lo que las obras lógicas de Carroll muestran es la contradicción entre la exposición
rigurosa de una ciencia que es la ciencia del sentido, y la filtración, desde lo
subterráneo hasta la superficie, de la corriente del sinsentido. La lógica de Carroll
muestra por lo menos dos cosas: que la lógica, obedecida hasta sus últimas
consecuencias, lleva a la locura; y que la transgresión de los principios lógicos
constituye una purificación, una cura de sueño. Lógica masturbada, por una parte, y
violación de la lógica, por otra.
De lo primero tenemos dos ejemplos en Al otro lado del espejo. Es un diálogo entre
Alicia y el Caballero Blanco:
«Permítame —dijo el Caballero con tono de ansiedad— que le cante una
canción.»
«¿Es muy larga?» —preguntó Alicia, que había tenido un día poéticamente
muy cargado.
«Es larga —dijo el Caballero—, pero es muy, muy hermosa. Todo el que me la
oye cantar, o bien prorrumpe en llanto, o bien...»
«¿O bien qué?» —dijo Alicia al ver que el Caballero se habla callado de
repente
«O bien no prorrumpe.»
He aquí una aplicación inexorable del principio lógico de tercio excluso.
Sin embargo, no contento con lo anterior, el Caballero Blanco se entrega de
inmediato a una enloquecida jerarquización de lenguajes.
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«El nombre de la canción se llama “ Haddocks” Eyes”».
«Así que ese es el nombre de la canción, ¿no?» —preguntó Alicia, que
comenzaba a sentirse interesada.
«No. Veo que no me entiende. Así es como se llama el nombre. El nombre en
realidad es The Aged Aged Man’.»
«Entonces lo que tendría que haber dicho —dijo Alicia corrigiéndose— es que
así es como se llama la canción, ¿no?»
«¡No! ¡Es algo totalmente distinto! La canción se llama "Ways and means”:
pero eso es sólo lo que se le llama.»
«Bien. Entonces, ¿cuál es la canción?» —preguntó Alicia, que a estas alturas
se hallaba ya sumida en completa perplejidad.
«A eso iba —dijo el Caballero—. En realidad la canción es A-sitting On a
Gate’»15
La distinción entre lenguaje y el metalenguaje aparece ya en la obra de Carroll
llevada hasta el delirio.
Por otra parte, la lectura de los ejercicios de lógica que Carroll propone16 muestra
hasta qué punto en los alvéolos de la lógica se pueden alojar las construcciones
lingüísticas más alucinantes. El diálogo sin fin de Aquiles y la Tortuga, y el furor
deductivo de Tío Joe y Tío Jim son ejemplos de lo mismo.
Hemos dicho, sin embargo, que la tensión no sólo se manifiesta en Carroll a través
del sometimiento a la lógica, sino también a través de la transgresión de sus leyes.
La revolución industrial condujo en el siglo XIX a la aparición de una reacción
romántica, neo-medieval. Los espectaculares desarrollos de la lógica en los últimos
cien años han provocado el florecimiento de un nuevo romanticismo: el de aquellos
que se limitan a afirmar que la lógica es la cárcel del lenguaje y que es necesario
practicar la evasión permanente. Se trata de una acritud idealista, desde luego. «La
ligera paloma, hendiendo con su libre vuelo el aire, cuya resistencia nota, podría
imaginar que volaría mucho mejor en el espacio vacío»17. Hay quien imagina que si
no existiera la lógica (¿qué puede querer decir esto?), el lenguaje sería más libre.
Hay quien olvida que de un lenguaje libre sólo se puede hablar por respecto a un
15 Through the Looking Glass, cap. VIII. 16 Ver Libro VIII de esta edición. 17 Inmanuel Kant : Kritik der Reinen Vernunft, 13 8-9.
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 13 Preparado por Patricio Barros
lenguaje controlado. Sólo por contradicción con un lenguaje obediente puede tener
sentido un lenguaje de vacaciones18, o, mejor aún, un lenguaje en huelga.
Únicamente desde la lógica como horizonte de cordura se puede entender —se
puede «encontrar la gracia»— de un lenguaje demencial. Violar la lógica es
poseerla.
Así hace Carroll. En el Capítulo 1 de su The Game of Logic nos dice que el mundo
contiene muchas cosas y que estas cosas poseen atributos, y que los atributos no
pueden existir si no es en las cosas. Los atributos no andan solos.
Pues bien: en Alicia aparece un gato que se va desvaneciendo poco a poco
empezando por la punta de la cola y terminando por la sonrisa, que permaneció
flotando en el aire un rato después de haber desaparecido todo el resto, «Bien —
pensó Alicia— he visto muchas veces un gato sin sonrisa, pero ¡una sonrisa sin
gato! ¡Esa es la cosa más curiosa que he visto en toda mi vida!» Pero antes de
desaparecer con su sonrisa a la zaga, el gato de Chesshire se había aplicado a
demostrar su propia condición de demente mediante la siguiente inferencia:
¿Cómo sabes que tú estás loco?» —pregunta Alicia.
«Para empezar —repuso el gato—, los perros no están locos. ¿De acuerdo?»
«Supongo que no» —dijo Alicia.
«Bueno, pues entonces —continuó el gato—, observarás que los perros
gruñen cuando algo no les gusta, y mueven la cola cuando están contentos.
En cambio yo gruño cuando estoy contento y muevo la cola cuando me
enojo: luego estoy loco.»19
Carroll era, según propia confesión, «primero un inglés y después un .conservador».
Era notorio su absoluto desinterés por los problemas de la clase obrera inglesa de
su tiempo, desinterés tanto más llamativo cuanto que Carroll vivía en el país y en la
época en que tales problemas comenzaban a ponerse de manifiesto del modo más
tenso. Se ha dicho muchas veces que Charles Dodgson era ante todo un burgués
bienpensante en una sociedad tan característicamente convencional como la
victoriana. Aceptaba el estado de cosas, la vida monótona y estricta que le
impusieron. 18 Wittgenstein: Philosophische Untersuchungen, núm. 38 19 Alice's Adventures in Wonderland, cap. VI
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 14 Preparado por Patricio Barros
Por eso buscó descargar su tensión en el mundo de los sueños. Aceptaba la lógica
—cosa bastante lógica— y por eso trataba, como hemos visto, de hacerla inteligible
y agradable. Eso dice. Pero lo que sus escritos lógicos muestran es otra cosa: la
representación de su neurosis, la escenificación de la tensión entre puritanismo y
desenfreno a que su vida estuvo sometida.
Por el tiempo en que Carroll comenzó a escribir sus libros de lógica comenzó
también a sufrir alucinaciones.
Algún romántico podría pensar que entre lo uno y lo otro había una relación de
causa a efecto. Parece, sin embargo, más razonable pensar que lo uno y lo otro, su
neurosis lógico-formal y sus ilusiones ópticas, son efectos de una misma causa: sus
inhibiciones. En una ocasión, Irene Barnes, deliciosa actriz de quince años, pasó una
semana con Charles Carroll en un lugar junto al mar. No se puede decir que Carroll
haya sacado partido de la situación.
Irene relata así su aventura: «Lo recuerdo ahora como un hombre muy delgado,
alto, de rostro fresco y juvenil, con el cabello blanco y un aire de extremada
pulcritud... Su gran placer —mientras la gente gozaba en el jardín y la luna brillaba
en el mar— era enseñarme su juego de lógica.»20
2. Acerca del puesto de Lewis Carroll en la historia de la lógica.
«Que la lógica ha entrado, desde los tiempos más antiguos, en el seguro
camino de la ciencia lo prueba el que desde Aristóteles no ha tenido que
retroceder un solo paso, a no ser que se quiera considerar como mejoras el
despojarla de algunas sutilezas superfluas o el darle una claridad más
acabada en la exposición, cosas ambas que más pertenecen a la elegancia
que a la seguridad de la ciencia. Es también digno de atención el que
tampoco haya podido dar hasta ahora ningún paso hacia adelante, de modo
que, según toda verosimilitud, parece estar conclusa y perfecta.»21
20 Citado por NI. Gardner, en op, cit., pp. 13-14 21 I. Kant : K. der R. V., B VIII: seguimos la traducción de la Crítica de la Razón Pura de Andrés Sánchez Pascual, de próxima publicación.
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 15 Preparado por Patricio Barros
Que el aserto de Kant ha sido ampliamente refutado es algo tan obvio que ni
siquiera merece la pena ofrecer pruebas de ello. La lógica ha dado muchos pasos
adelante, antes y después de Kant.
Ahora bien: si nos atenemos exclusivamente a sus libros de lógica no podemos decir
que Carroll haya contribuido a ese avance. Verdad es que sus intereses eran tan
sólo didácticos. Pero verdad es también que en sus libros de lógica no hay sino «una
claridad más acabada en la exposición y un añadido de sutilezas divertidas». Y en
ello conviene insistir tanto más cuanto que en nuestro país —por increíble que ello
pueda parecer— hay todavía quien piensa que la lógica formal se divide en
concepto, juicio y raciocinio. No vaya a ser que alguien piense que la lógica de
Carroll es toda la lógica.
Sabido es que durante muchos siglos la lógica «oficial» —a pesar de los estoicos, a
pesar de los lógicos del siglo XIV, a pesar de Leibniz, a pesar de muchos otros— ha
sido la silogística aristotélica. O —para ser más exactos y no ofender la memoria de
Aristóteles— una silogística ,aristotélica empobrecida y petrificada. Una lógica que
estudia sólo diecinueve silogismos es una lógica canija.
Una lógica que estudia sólo diecinueve silogismos y pretende encima que se trata
de las únicas formas posibles de razonamiento deductivo es una lógica ridícula. Hoy
sabernos que en la mente humana hay muchas más posibilidades deductivas que
las que han podido soñar los embalsamadores de Aristóteles. A partir del siglo XIX
la lógica ha experimentado un progreso acelerado que ha convertido la silogística
aristotélica en un pequeño conjunto de teoremas de la lógica cuantificacional de
primer orden monádica (o de la lógica de clases, a elegir). Esto no quita genialidad
a Aristóteles, pero en cambio quita la razón a quienes le han hecho el menguado
favor de proclamarse discípulos suyos. Todo lo que había de propiamente lógico en
la lógica escolástica ha quedado incorporado, como unas gotas de agua en un mar,
a la lógica en su forma actual. El resto es metafísica o psicología, lo cual no tiene
nada de malo, pero tampoco tiene nada de lógico-formal.
En los sesenta y tres años que median entre The Mathematical Analysis of Logic
(1847) de George Boole y los Principia Mathematica (1910-13) de Whitehead y
Russell la lógica se desarrolló con más rapidez de la que estamos teniendo nosotros
al contarlo. En la medida en que la historia de una ciencia puede ser descrita
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citando una serie de fechas, cabe decir que 1879 es la fecha decisiva en la historia
contemporánea de nuestra disciplina. Esa es, en efecto, la fecha en que Frege
publica su Begriffsschrift, el primer sistema completo de lógica moderna, en el que
la lógica de términos —de tradición aristotélica— y la lógica de proposiciones ——de
tradición megárico-estoica—, que hasta entonces se habían considerado como dos
lógicas distintas e incluso incompatibles, aparecen articuladas como dos distintos
apanados de una lógica única. Russell, Gilbert, Lukasiewicz, Carnap, Tarski, Gödel
son sólo los nombres de algunos de los autores que en el transcurso de pocas
décadas han contribuido a la construcción de un nuevo edificio de la lógica, de una
lógica reestructurada y renovada, organizada ahora de un modo coherente y abierta
constantemente a nuevos desarrollos; una lógica, por añadidura, desde la cual está
siendo posible entender el sentido de toda la historia de la lógica y recuperar
autores y hallazgos olvidados; una lógica, en definitiva, constituida ya en ciencia
formal, como pueda serlo la matemática.
La vieja lógica, fuente del desprestigio de los lógicos entre los científicos, ha
quedado triturada o incorporada.
Lo que a veces se llama «lógica matemática», «logística», etcétera, es simplemente
la lógica formal misma, la lógica sin más, la única. La dialéctica es otra cosa: una
filosofía quizá un embrión de ciencia. La lógica escolástica es también otra cosa:
una momia con la que se especula (en el doble sentido de la palabra “especular”).
Pues bien: Lewis Carroll era contemporáneo de todos esos progresos en el
desarrollo de la lógica. Contemporáneos ,suyos eran Boole, De Morgan, Peirce,
Frege, etcétera.
Pase que no tuviera noticia de Frege. Al fin y al cabo, Frege era alemán, y ya se
sabe que el Canal de la Mancha es una frontera cultural difícilmente franqueable. El
propio Russell no supo de Frege hasta muy tarde. Pero Book De Morgan vivían y
escribían cerca de Carroll, a veces en las mismas revistas que éste. De los libros
lógicos de Carroll están ausentes esos nuevos desarrollos. Ya hemos dicho que las
intenciones de Carroll eran pedagógico-recreativas, y en este sentido lo que en él
hay es claridad en la exposición, y no novedad en lo expuesto. Pero también podía
haber expuesto con la misma claridad la nueva lógica que algunos de sus colegas
estaban construyendo, Ahora bien: si en sus libros de lógica Carroll es tan sólo un
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agudo y divertido expositor de Un saber tradicional, otra cosa sucede con sus
artículos. Si sus libros de lógica no contienen sino una lógica escolástica
neurotizada, sus artículos, en cambio, plantean con sorprendente lucidez algunos
problemas clave de la lógica contemporánea.
La paradoja de los tres peluqueros22 suscita el viejo23 problema de la llamada
«implicación material» «si p, entonces q»), y la paradoja lógica a la que se refiere el
titulo es precisamente una de las paradojas de la implicación material: una
proposición falsa implica cualquier proposición. Ex falso sequitur quodlibet.
Por su parte, el debate entre Aquiles y la Tortuga24 es una historia con moraleja
lógica. La moraleja es que es necesario distinguir entre leyes lógicas y reglas lógicas
de inferencia. Una ley lógica es, por ejemplo, ésta:
[(p q) · —q] —p.
Una regla de inferencia —la que corresponde justamente a la ley que acabamos de
transcribir— sería: «Si tomamos como premisa un condicional y la negación de su
consecuente, podemos inferir la negación del antecedente como conclusión». Las
leyes pertenecen al lenguaje, son expresiones del cálculo. Las reglas, por el
contrario, son expresiones sobre las expresiones del cálculo: pertenecen al
metalenguaje. Una expresión como «( A) Dos cosas iguales a una tercera son
iguales entre si» pertenece al lenguaje (al lenguaje de la geometría de Euclides,
concretamente). Una expresión como «(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser
verdadera» pertenece al metalenguaje. No se puede, como pretende el ágil Aquiles,
dar el salto de la una a la otra. Aquiles no distingue entre lenguaje y metalenguaje.
La Tortuga, sí, y por eso tortura a Aquiles hasta el infinito.
Una vez más, Carroll dijo cosas importantes sin darles importancia.
3. Acerca de la estructura y contenido de la presente edición.
22 Ver Una paradoja lógica, de esta edición 23 Calímaco, bibliotecario de Alejandría, decía en el siglo II antes de Cristo: «Hasta los cuervos graznan en los tejados sobre cuál es la implicación correcta» (Sexto Empírico: Adversus Mathe- maticos, VIII, 112). 24 Ver La tortuga y Aquiles de esta edición
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 18 Preparado por Patricio Barros
Una antología de los escritos lógicos de Carroll tiene como marco de selección los
siguientes textos:
The Game of Logic. Londres, Macmillan, 1887.
Symbolic Logic. Part 1: Elementary. Londres, Macmillan, 1896; cuarta
edición, 1897.
«A Logical Paradox». En Mind, N. S., núm. 11 (julio 1894).
«What the Tortoise said to Achines», Publicado en Mind, N. S., vol. IV, núm.
14 (abril 1895)25.
Nuestra selección se compone:
De los dos artículos citados en último lugar.
Del texto casi completo de Symbolic Logic. De esta obra no hemos traducido
entero el libro VIII ( «Exampies with Answers and Solutions»), limitándonos a
seleccionar unos cuantos ejercicios de entre los más delirantes. Tampoco
hemos traducido en su totalidad el Apéndice para profesores. Faltan de él
algunas páginas en las que Carroll discute problemas lógicos muy técnicos,
de interés únicamente para el especialista en historia de la lógica.
Asimismo hemos excluido de nuestra edición —salvo algunas incrustaciones que se
indican en nota— el texto íntegro de The Game of Logic. La razón es que esta obra
no constituye, como el mismo Carroll señala, más que un esbozo incompleto de su
obra posterior, de tal modo que todo lo que aparece en aquélla está en ésta incluido
y desarrollado. Una última palabra acerca de la traducción. En su exposición, Carroll
utiliza constantemente los mismos términos, los mismos giros, las mismas frases,
en una repetición obsesiva, casi kafkiana (hablar de Kafka en relación con Carroll no
tiene, como es sabido, nada de gratuito). Hemos procurado conservar en nuestra
versión esas repeticiones, tal vez poco elegantes, pero muy reveladoras del clima
del libro.
25 La traducción de The Game of Logic y de Symbolic Logic la hemos hecho sobre la edición moderna de ambas : Symbolic Logic and The Game of Logic (both books bound as one). Nueva York, Dover, 1958. El texto de Symbolic Logic es, naturalmente, el de la cuarta edición. Para la traducción de «A Logical Paradox» hemos utilizado la versión que de ella ofrece Stuart Dodgson Collingwood en Diversions and Digressions of Lewis Carroll (formerly entitled The Lewis Carroll Picture Book). Nueva York, Dover, 1961, pp. 312k 316. El texto de «What the Tortoise said to Achines» que hemos seguido es el de la revista Mind, donde se publicó por vez primera.
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 19 Preparado por Patricio Barros
Quizá alguien se pregunte por qué, habiendo excluido de nuestra edición el texto de
The Game of Logic, la hemos titulado, sin embargo, El juego de la lógica. Pues
porque lo que Carroll nos ofrece no es propiamente un libro de lógica, sino un juego
de lógica. Lástima que Carroll no haya vivido en nuestro tiempo, para poder jugar
con toda la lógica, y no sólo con una mínima parte de ella. Esperemos que surja un
lógico lo suficientemente hábil, lo suficientemente jocundo y lo suficientemente
reprimido como para seguir sus pasos.
Esta colección de textos es una muestra de esquizofrenia (en el sentido explicado en
el apartado 1, sentido metafórico, y, por otra parle, etimológico). La ofrecemos en
castellano con la esperanza de que les sea de alguna utilidad a los burgueses
malpensantes que hayan elegido el camino de la carrollización.
Alfredo Deaño, junio de 1971
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 20 Preparado por Patricio Barros
Introducción para estudiantes
Un silogismo resuelto
Esa historia que usted me cuenta acerca de su encuentro con una
serpiente de mar siempre me hace bostezar.
Yo sólo bostezo cuando estoy oyendo algo totalmente desprovisto de
interés
Las premisas por separado
Las premisas combinadas
Conclusión
Al estudiante que experimente un deseo serio de comprobar si este librito le
proporciona o no le proporciona los materiales para una muy interesante recreación
intelectual, se le exhorta encarecidamente a que observe las siguientes normas:
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 21 Preparado por Patricio Barros
1. Empezar por el principio, sin permitirse satisfacer una curiosidad ociosa
chapoteando en el libro aquí y allá. Esto le llevaría verosímilmente a dejarlo a
un lado con el siguiente comentario: «¡Es demasiado duro para mí!»,
desperdiciando así la oportunidad de enriquecer su acervo de delicias
intelectuales. Esta regla (la de no chapotear) es muy deseable que se siga
con otros tipos de libros —tales como novelas, por ejemplo, donde puede
usted fácilmente echar a perder gran parte del goce que de otro modo podría
obtener del relato chapoteando en él constantemente, de tal modo que lo que
el autor había previsto como agradable sorpresa aparece ante usted como
algo de cajón. Conozco alguna gente que hace la experiencia de leer el
Volumen III antes de tomarse la molestia de leer el Volumen I. Quizá lo
hacen para cerciorarse de que todo termina felizmente— que los amantes tan
perseguidos acaban después de todo por casarse, que se demuestra la
inocencia del protagonista en el asesinato, que el malvado primo ha
fracasado por completo en sus intrigas y recibe el castigo que merece, que el
tío adinerado que está en la India (Pregunta. —¿Por qué en la India?
Respuesta. —Porque, de algún modo, los tíos no pueden nunca hacerse ricos
en ninguna otra parte) muere exactamente en el momento adecuado. Esto,
digo, es permisible con una Novela, donde el volumen III tiene un sentido
incluso para los que no han leído la parte anterior de la historia; pero con un
libro científico es pura demencia; la última parte la encontrará usted
desesperadamente ininteligible si la lee antes de haber llegado a ella en una.
2. No empiece ningún nuevo capítulo o sección hasta tanto no esté cierto de que
ha entendido usted completamente todo lo anterior y no haya resuelto
correctamente la mayoría, si no todos los ejemplos que se han puesto. Si
tiene usted conciencia de que todo el terreno que ha recorrido está
absolutamente conquistado y de que no está dejando a sus espaldas
dificultades sin resolver, su marcha triunfal será fácil y deliciosa. Si
procediera de otro modo vería usted cómo su estado de confusión iba a peor
a medida que avanzaba, hasta llegar a abandonarlo todo en medio de un
completo fastidio.
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 22 Preparado por Patricio Barros
3. Cuando llegue a algún pasaje que no entienda léalo de nuevo; si todavía no
lo entiende, léalo de nuevo. Si fracasa incluso después de tres lecturas, habrá
que pensar que su cerebro se encuentra un poco cansado. En ese caso, deje
el libro, dedíquese a otras ocupaciones y al día siguiente, cuando vuelva a él
fresco, verá probablemente que se trata de algo completamente fácil.
4. Si es posible, provéase de algún amigo genial que le acompañe en la lectura
del libro y en la discusión de las dificultades. Discutir es un maravilloso modo
de allanar los obstáculos. Yo, cuando me topo —en lógica o en cualquier otro
terreno difícil— con algo que me sume en total perplejidad, encuentro que es
un plan excelente comentarlo en voz alta incluso cuando estoy
completamente solo. ¡Se puede uno explicar tan claramente las cosas a si
mismo ! Y además, como usted sabe, ¡es uno tan paciente consigo mismo
!Uno nunca se irrita con la propia estupidez!
Si observa usted fielmente estas reglas, querido lector, y somete así a mi libro a
una prueba verdaderamente objetiva, le prometo con la máxima confianza que la
lógica simbólica aparecerá ante usted como una de las más —si no la más—
fascinante de las recreaciones intelectuales. En esta primera parte he evitado
cuidadosamente todas las dificultades que, a mi modo de ver, desbordaran los
limites de comprensión de un niño inteligente de, por ejemplo, doce o catorce años.
Yo mismo he enseñado la mayoría de mis temas, viva voce, a muchos niños, y me
he encontrado con que tomaban un auténtico e inteligente interés en el asunto. A
aquellos que hayan logrado dominar la parte I y que empiezan, como Oliver, «a
pedir más», espero proporcionarles, en la parte II, algunas nueces tolerablemente
duras que cascar, nueces que requerirán el empleo de todos los cascanueces de que
dispongan.
La recreación intelectual es algo que todos necesitamos para nuestra salud mental;
y es indudable que se puede lograr un gran goce saludable con juegos como el del
chaquete, el del ajedrez, o el nuevo juego «Halma». Pero, al fin y al cabo, cuando
usted ya ha llegado a dominar cualquiera de estos juegos, no obtiene de ello ningún
resultado que pueda mostrar. Usted disfruta del juego y de la victoria, no lo dude,
pero no entra en posesión de ningún resultado que pueda atesorar y del que pueda
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 23 Preparado por Patricio Barros
sacar provecho efectivo. Y, en el entretanto, ha dejado usted sin explotar una mina
perfecta de salud. Domine usted la maquinaria de la lógica simbólica y tendrá
siempre a mano una ocupación intelectual que absorberá su interés y que será de
una efectiva utilidad en cualquier tema del que pueda ocuparse. Ello le
proporcionará la claridad de pensamiento y la habilidad para encontrar el camino en
medio de la confusión, el hábito de disponer sus ideas de una forma metódica y
ordenada y —lo cual vate más que todo eso— el poder de detectar falacias y
despedazar los argumentos insustancialmente ilógicos que encontrará de continuo
en los libros, en los periódicos, en los discursos e incluso en los sermones, y que
con tanta facilidad engañan a los que nunca se han tomado la molestia de aprender
este arte fascinante. Inténtelo. Es lo único que le pido.
L. C.
29, Bedford Street, Strand
21 de febrero de 1896
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 24 Preparado por Patricio Barros
Libro 1
Las cosas y sus atributos
1. Introducción
El Universo contiene “Cosas”.
[Por ejemplo, «yo», «Londres», «rosas», «verdor», «libros ingleses viejos»,
«la carta que recibí ayer».]
Las Cosas tienen “Atributos”.
[Por ejemplo, «grande», «verde», «viejo», «que recibí ayer».]
Una Cosa puede poseer muchos Atributos; y un Atributo puede pertenecer a
muchas Cosas.
[Así, la Cosa «una rosa» puede poseer los Atributos «roja», «perfumada»,
«abierta», etc.; y el Atributo «rojo» puede pertenecer a las Cosas «una
rosa», «un ladrillo», «una cinta», etc.]
2. La Clasificación
La “Clasificación” o formación de Clases es un Proceso Mental en el que imaginamos
que hemos reunido en un grupo ciertas cosas. A ese grupo se le llama una “Clase”.
Este proceso se puede llevar a cabo de tres modos diferentes, a saber:
1. Podemos imaginar que hemos reunido todas las cosas. La clase así formada
(es decir, la clase «Cosas») contiene el Universo entero.
2. Podemos pensar en la clase «Cosas» e imaginar que hemos espigado en ella
todas las cosas que poseen un determinado atributo no poseído por la clase
entera. Decimos que este atributo es “peculiar” de la clase así formada. En
este caso, a la clase «Cosas» se le llama un “Género” con respecto a la clase
que hemos construido: a esta Clase se le llama una “Especie” de la clase
«Cosas»: y al atributo peculiar se le llama su “Diferencia”. Como este proceso
es enteramente mental, podemos llevarlo a cabo haya o no haya una cosa
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 25 Preparado por Patricio Barros
existente que posea ese atributo. Si la hay, se dice que la clase es “Real”; si
no, se dice que es `Irreal” o “Imaginaria”.
[Por ejemplo, podemos imaginar que hemos entresacado, de la clase
«Cosas», todas las cosas que poseen el conjunto de atributos
«material, artificial, compuesto de casas y calles»; y podemos formar
de este modo la clase real «ciudades». Aquí consideraríamos a «Cosas»
como un Género, a «Ciudades» como una Especie de cosas y a
«material, artificial, compuesto de casas y calles» como su Diferencia.
O podemos imaginar que hemos entresacado las cosas que poseen un
conjunto de atributos «que pesan una tonelada, que pueden ser
levantadas fácilmente por un niño»; y podemos formar así la clase
imaginaria «Cosas que pesan una tonelada y que pueden ser
levantadas fácilmente por un niño».]
3. Podemos pensar en una determinada clase —que no sea la clase «Cosas»— e
imaginar que hemos entresacado de ella todos aquellos miembros suyos que
poseen un cierto atributo no poseído por la clase entera. De este atributo se
dice que es “peculiar” a la clase inferior así formada. En este caso, la clase en
la que se ha pensado se llama un “Género” respecto a la clase inferior
extraída de ella: la clase inferior se llama una “Especie” de la superior: y su
atributo peculiar se llama su “Diferencias.
[Por ejemplo, podemos pensar en la clase «ciudades» e imaginar que
hemos entresacado de ella todas las ciudades que poseen el atributo
«alumbradas con gas»; y podemos entonces formar la clase real
«ciudades alumbradas con gas». En este caso podemos considerar a
«ciudades» como un Género, a «ciudades alumbradas con gas» como
una Especie de ciudades, y a «alumbradas con gas» como su
Diferencia.
Si en el ejemplo anterior cambiáramos «alumbradas con gas» por
«pavimentadas con oro», obtendríamos la dase imaginaria «ciudades
pavimentadas con oro».]
Una clase que contenga un solo miembro se llama un “Individuo”.
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 26 Preparado por Patricio Barros
[Por ejemplo, la clase «ciudades con más de cuatro millones de
habitantes en 1896», que sólo tiene un miembro, «Londres».]
Por lo tanto, cualquier cosa singular que podamos nombrar distinguiéndola de
las demás cosas se puede considerar como una clase de un solo miembro.
[Así. «Londres» se puede considerar como la clase de un solo miembro
extraída de la clase «ciudades» y que tiene como Diferencia «tener
cuatro millones de habitantes en 1896».]
Una clase que contenga dos o más miembros se considera a veces como una
sola cosa. Cuando se la considera así se le pueden asignar atributos que sus
miembros tomados separadamente no poseen.
[Así, la clase «los soldados del décimo regimiento», cuando se
considera como una sola cosa, puede poseer el atributo «formados en
cuadro», atributo que sus miembros tomados separadamente no
poseen.]
3. La División
§ 1. Introducción
La “División” es un proceso mental por el cual pensamos en una determinada clase
de cosas e imaginamos que la hemos dividido en dos o más clases inferiores.
[Así, podemos pensar en la clase «libros» e imaginar que la hemos dividido
en dos clases inferiores: «libros encuadernados» y «libros sin encuadernar»;
o en las tres clases siguientes: «libros que cuestan menos de un chelín»,
«libros de a chelín» y «libros que cuestan más de un chelín»; o en las
siguientes veintiocho clases: «libros cuyo título empieza por A», «libros cuyo
título empieza por B», etc.]
Una clase que ha sido obtenida mediante una determinada división se dice que es
“codivisional” con toda clase obtenida mediante esa división.
[Así, la clase «libros encuadernados» es codivisional con cada una de las dos
clases «libros encuadernados» y «libros sin encuadernar».
De modo similar, se puede decir que la batalla de Waterloo fue
«contemporánea» de todos los sucesos que tuvieron lugar en 1815.]
Por tanto, una clase obtenida por división es codivisional consigo misma.
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 27 Preparado por Patricio Barros
[Así, la clase «libros encuadernados» es codivisional consigo misma, De modo
similar, se puede decir que la batalla de Waterloo fue «contemporánea» de si
misma.]
§ 2. La dicotomía
Si pensamos en una cierta clase e imaginamos que hemos extraído de ella una
determinada clase inferior es evidente que el resto de la clase superior no posee la
diferencia, es decir, el atributo especifico de la clase inferior.
Por lo tanto, se puede considerar a ese resto como otra clase inferior cuya
diferencia se puede formar a partir de la clase que habíamos extraído anteriormente
mediante el prefijo «no», y podemos imaginar que hemos dividido la clase primitiva
en dos clases inferiores cuyas diferencias son contradictorias. A este tipo de división
se le llama “Dicotomía”
[Por ejemplo, podemos dividir «libros» en dos clases cuyas diferencias sean
«viejos» y «no-viejos».]
Al llevar a cabo este proceso podemos encontramos a veces con que los atributos
que hemos escogido se usan de una manera tan vaga en la conversación ordinaria
que no es fácil decidir cuáles cosas pertenecen a una clase y cuáles a otra. En un
caso semejante sería necesario establecer alguna regla arbitraria que determinara
dónde termina una clase y empieza otra.
[Así, al dividir «libros» en «viejos» y «no-viejos» podemos decir:
«Consideremos como “viejos” todos los libros impresos antes del año 1801 de
nuestra era, y todos los demás como “no-viejos”».]
Quede bien entendido a partir de ahora que si dividimos una clase de cosas en dos
clases cuyas diferencias tienen significados contrarios, cada diferencia ha de ser
considerada como equivalente a la otra con la palabra «no» delante.
[Así, si dividimos «libros» en «viejos» y «nuevos», el atributo «viejo» ha de
ser considerado como equivalente a «no-nuevo», y el atributo «nuevo» como
equivalente a «no-viejo».]
Una vez que hemos dividido una clase, por el procedimiento de la dicotomía, en dos
clases inferiores, podemos subdividir cada una de éstas en dos clases todavía más
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 28 Preparado por Patricio Barros
pequeñas, y este proceso se puede repetir una y otra vez, obteniendo con cada
repetición un número doble de clases.
[Por ejemplo, podemos dividir «libros» en «viejos» y «nuevos» (es decir,
«no-viejos»): podemos luego subdividir cada una de estas clases en
«ingleses» y «extranjeros» (es decir, «no-ingleses»), obteniendo así cuatro
clases:
1. (libros) viejos ingleses;
2. (libros) viejos extranjeros;
3. (libros) nuevos ingleses;
4. (libros) nuevos extranjeros.
Si hubiéramos empezado dividiéndolos en «ingleses» y «extranjeros» y los
hubiéramos subdividido luego en «viejos» y «nuevos», las cuatro clases
hubieran sido éstas:
1. (libros) ingleses viejos;
2. (libros) ingleses nuevos;
3. (libros) extranjeros viejos;
4. (libros) extranjeros nuevos.
El lector podrá ver fácilmente que se trata de las mismas cuatro clases que
teníamos arriba.]
4. Nombres
La palabra «cosa», que conlleva la idea de una cosa sin idea alguna de un atributo,
representa cualquier cosa singular. Cualquier otra palabra o expresión que conlleve
la idea de una cosa junto con la idea de un atributo representa cualquier cosa que
posea ese atributo; es decir, representa cualquier miembro de la clase de la que ese
atributo es peculiar.
Tal palabra (o expresión) se llama un “Nombre”; y si existe alguna cosa que ese
nombre represente se dice que es nombre de esa cosa.
[Por ejemplo, las palabras «cosa», «tesoro», «ciudad», y las expresiones
«cosa valiosa», «cosa material artificial compuesta de casas y calles»,
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 29 Preparado por Patricio Barros
«ciudad alumbrada con gas», «ciudad pavimentada con oro», «libro inglés
viejo».)
Así como decimos que una clase es real o irreal según que haya o no haya una cosa
existente que pertenezca a ella, así también se dice que un nombre es real o irreal
según que haya o no haya una cosa existente representada por él.
[Así, «ciudad alumbrada con gas» es un nombre real; «ciudad pavimentada
con oro» es un nombre irreal.] Todo nombre es o bien un sustantivo solo o
bien una expresión que consta de un sustantivo y uno o más adjetivos (o
expresiones usadas como adjetivos].
Todo nombre, excepto «Cosa», se puede expresar normalmente de tres modos
distintos:
a. el sustantivo «cosa» y uno o más adjetivos (o expresiones usadas como
adjetivos) que denotan los atributos.
b. un sustantivo que denote una cosa y connote a la vez algunos de los
atributos, y uno o más adjetivos (o expresiones usadas como adjetivos) que
denotan los demás atributos.
c. un sustantivo que denote una cosa junto con todos sus atributos.
[Así, la expresión «cosa material viviente, perteneciente al reino animal,
dotada de dos manos y dos pies» es un nombre expresado en forma (a).
Si optamos por agrupar el sustantivo «cosa» y los adjetivos «material,
viviente, perteneciente al reino animal» y formar así el nuevo sustantivo
«animal», obtenemos la expresión «animal que tiene dos manos y dos pies»,
que es un nombre (que representa la misma cosa que el anterior) expresado
en forma (b).
Y si optamos por resumir la expresión entera en una sola palabra y formamos
el nuevo sustantivo «hombre», obtenemos un nombre (que representa
también la misma cosa que los anteriores) expresado en forma (c).]
Un nombre cuyo sustantivo está en plural se puede emplear para representar:
1. o bien miembros de una clase considerados como cosas separadas;
2. o bien una clase entera considerada como una sola cosa.
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 30 Preparado por Patricio Barros
[Así, cuando yo digo «algunos soldados del décimo regimiento son
altos» o «los soldados del décimo regimiento son valientes», estoy
usando el nombre «soldados del décimo regimiento» en el primer
sentido ; y esto es exactamente lo mismo que si yo tomara a cada uno
de ellos por separado y dijera «Este soldado del décimo regimiento es
alto», «Ese soldado del décimo regimiento es alto», etc.
Pero cuando digo «los soldados del décimo regimiento están formados
en cuadro», estoy usando la expresión en el segundo sentido; y esto es
exactamente lo mismo que si dijera «el décimo regimiento está
formado en cuadro».]
5. Definiciones
Es evidente que todo miembro de una especie es también miembro del género del
que esa especie ha sido extraída, y que posee la diferencia de esa especie. Por
tanto, puede ser representado mediante un nombre compuesto de dos partes: una
que sea un nombre que designe cualquier miembro del género, y otra que exprese
la diferencia de esa especie. A ese nombre se le llama una “Definición” de cualquier
miembro de esa especie, y darle ese nombre es “definirlo”.
[Así, podemos definir un «tesoro» como una «cosa valiosa». En este caso,
consideramos «cosas» como el género, y «valioso» como la diferencia.]
Los siguientes ejemplos de este proceso se pueden tormar como modelos para
construir otros.
[Nótese que, en cada definición, el sustantivo que representa un miembro (o
miembros) del género está impreso en letras mayúsculas.]
1. Defina usted «un tesoro». Resp. : «una COSA valiosa».
2. Defina «tesoros». Resp.: «COSAS valiosas».
3. Defina «una ciudad». Resp.: «COSA material artificial que se
compone de casas y calles».
4. Defina «hombres». Resp.: «COSAS materiales, vivientes,
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 31 Preparado por Patricio Barros
pertenecientes al reino animal, dotadas
de dos manos y dos pies», o bien
«ANIMALES que tienen dos manos y dos
pies».
[El lector puede ponerse a si mismo cuantos ejemplos quiera de este proceso
escogiendo simplemente el nombre de cualquier cosa corriente (tal como
«casa», «árbol», «navaja»), dando una definición de ella y contrastando su
respuesta por referencia a cualquier diccionario de la lengua castellana.]
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Libro 2
Las proposiciones
1. De las proposiciones en general
§ 1. Introducción
Nótese que la palabra «algunos» ha de ser tomada, de ahora en adelante, como si
significara «uno o más».
La palabra “proposición”, tal como se usa en la conversación ordinaria, se puede
aplicar a cualquier palabra o expresión que comunique una información cualquiera.
[Así, las palabras «sí» y «no» son proposiciones en el sentido ordinario de la
palabra; y así también las expresiones como «me debe Ud. cinco cuartos de
penique» y «¡Yo, no!».
Palabras tales como «¡Oh!» o «¡Nunca!» y expresiones del tipo de «tráigame
ese libro», «¿a qué libro se refiere?», no parecen, a primera vista,
proporcionar ninguna información; pero pueden ser transformadas
fácilmente en formas equivalentes. Que serían éstas: «Estoy sorprendido»,
«nunca lo consentiré», «le ordeno que me traiga ese libro», «quiero saber a
qué libro se refiere usted».]
Pero una “Proposición” tal como la usamos aquí tiene una forma peculiar, que
podríamos llamar su “forma normal”; y si alguna proposición que queramos usar en
una argumentación no está en forma normal, debemos reducirla a esa forma antes
de poder usarla.
Una “Proposición”, cuando está en forma normal, afirma, respecto de dos clases
determinadas, que se denominan “Sujeto” y "Predicado”:
1. bien que algunos miembros de su sujeto son miembros de su predicado.
2. bien que ningún miembro de su sujeto es miembro de su predicado;
3. bien que todos los miembros de su sujeto son miembros de su predicado.
Al sujeto y al predicado de una proposición les llamamos sus “Términos”.
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Dos proposiciones que comunican la misma información se dice que son
“equivalentes”.
[Así, las dos proposiciones «Yo veo a John» y «John es visto por mi» son
equivalentes.]
§ 2. Forma normal de una proposición
Una proposición en forma normal consta de cuatro partes, a saber:
1. La palabra «algunos» o «ningún» o «todos». (Esta palabra, que nos dice
cuántos miembros del sujeto son también miembros del predicado, se llama
“Signo de cantidad”)
2. Nombre del sujeto.
3. El verbo «son» (o «es»). (A esto se le llama la “Cópula”.)
4. Nombre del predicado.
§ 3. Distintos tipos de proposiciones
Una Proposición que empieza con «algunos» se dice que es “Particular”. También se
le llama runa proposición en I”.
[Nótese que se llama “particular” porque se refiere a una parte tan sólo del
sujeto.]
Una proposición que empieza por «Ningún» se llama “Universal Negativa”, o
también “una proposición en E”.
Una Proposición que empieza por «todos» se dice que es “Universal Afirmativa”, o
también “una proposición en A”.
[Nótese que se llaman «universales” porque se refieren a todo el sujeto.]
Una proposición cuyo sujeto es un individuo ha de ser considerada como universal.
[Tornemos, como ejemplo, la proposición «John no está bien». Esto implica
por supuesto que hay un individuo a quien el hablante se refiere cuando
menciona a John y a quien el oyente conoce como referencia del signo, Por
tanto, la clase «hombres a los que el hablante se refiere cuando menciona a
“John”» es una clase de un solo miembro, y la proposición es equivalente a
«todos los hombres a los que el hablante se refiere cuando menciona a “John”
no están bien».]
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Las proposiciones son de das tipos: Proposiciones de Existencia” y “Proposiciones de
relación”.
Las discutiremos por separado.
2. Las Proposiciones de Existencia
Una “Proposición de Existencia”, cuando está en forma normal, tiene como sujeto la
clase «cosas existentes».
Su signo de cantidad es «algunos» o «ninguno».
[Nótese que, aunque su signo de cantidad nos dice cuántas cosas existentes
son miembros de su predicado, no nos dice el número exacto: de hecho, sólo
opera con dos números, que son, en orden ascendente, «0» y «1 o más».]
Se le llama «proposición de existencia» porque mediante ella se afirma el carácter
real (es decir, la existencia real) o bien el carácter imaginario de su predicado.
[Así, la proposición «algunas cosas existentes son hombres honestos» afirma
que la clase «hombres honestos» es real.
Esta es la forma normal; pero también se puede expresar de cualquiera de
los siguientes modos:
1. «Existen hombres honestos»;
2. «Existen algunos hombres honestos»;
3. «La clase “hombres honestos” existe»;
4. «Hay hombres honestos»;
5. «Hay algunos hombres honestos».
De modo similar, la proposición «Ninguna cosa existente es un hombre de
cincuenta pies de altura» afirma que la clase «hombre de cincuenta pies de
altura» es imaginaria.
Esta es la forma normal; pero también se puede expresar de cualquiera de
los siguientes modos:
1. «No existen hombres de cincuenta pies»;
2. «No existe ningún hombre de cincuenta pies»;
3. «La clase “hombres de cincuenta pies” no existe»:
4. «No hay hombre alguno que mida cincuenta pies»;
5. «No hay hombres de cincuenta pies».]
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3. Las proposiciones de relación
§ I. Introducción
Una proposición de relación del tipo que se discutirá aquí tiene como términos dos
especies del mismo género, de tal modo que cada uno de los dos nombres connota
un atributo no connotado por el otro.
[Así, la proposición «algunos mercaderes son avaros» es del tipo correcto,
porque «mercaderes» y «avaros» son especies del mismo género,
«hombres»; y puesto que el nombre «mercaderes» connota el atributo
«mercantil » y el nombre «avaros» el atributo «avariciosos», resulta que cada
uno de los atributos está connotado por uno de los nombres, pero no por el
otro.
En cambio, la proposición «algunos perros son perdigueros» no es del tipo
correcto, puesto que, si bien «perros» y «perdigueros» son especies del
mismo género, «animales», no es cierto que el nombre «perros» connote
algún atributo no connotado por el nombre «perdigueros». Tales
proposiciones serán discutidas en la parte II]
El género del que los dos términos son especies se llama el “Universo del Discurso”,
o (más brevemente) el “Univ.”.
El signo de cantidad es «algunos» o «ninguno» o «todos».
[Nótese que aunque su signo de cantidad nos dice cuántos miembros del
sujeto son también miembros del predicado, no nos dice el número exacto:
de hecho, sólo opera con tres números, que son, en orden ascendente, «0»,
«1 o más» y «el número total de miembros del sujeto».]
Se le llama «una proposición de relación» porque con ella se afirma la existencia de
una cierta relación entre sus términos.
§ 2. Reducción de una proposición de relación a su forma normal
Las regias para llevar esto a cabo son las siguientes:
1. Averigüe cuál es el sujeto (es decir, averigüe de qué clase estamos
hablando);
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2. Si el verbo, regido por el sujeto, no es el verbo «son» (o «es»), sustitúyalo
por una expresión que empiece con «son» (o «es»);
3. Averigüe cuál es el predicado (es decir, averigüe cuál es la clase de la que se
dice que contiene algunos, o ninguno o todos los miembros del sujeto);
4. Si el nombre de cada término está completamente explícito (es decir, si
contiene un sustantivo), no hay necesidad de determinar el “Univ.”; pero si
hay algún nombre que está expresado de una ~era incompleta y contiene
sólo atributos, en ese caso es necesario determinar un “univ.”, con el fin de
insertar como sustantivo el nombre de ese universo.
5. Averigüe cuál es el signo de cantidad;
6. Dispóngalos en el orden siguiente: Signo de cantidad, Sujeto, Cópula,
Predicado.
[Veamos algunos ejemplos para ilustrar la aplicación de estas reglas.
(1)
«Un perrito cojo no le diría a usted «gracias» si le ofreciera una comba en
préstamo»
1. El sujeto es evidentemente «perrito cojo», y todo el resto de la oración
debe ser incluido en el predicado.
2. El verbo es «no le diría a Ud. ...», que podríamos sustituir por la
expresión «no se mostraría agradecido».
3. El predicado se puede expresar por «... no agradecido por el
ofrecimiento de una comba en préstamo».
4. Sea el universo «perritos».
5. El signo de cantidad es «todos».
6. La proposición se convierte en esto: «Todos / los perritos cojos / son /
perros no agradecidos por el ofrecimiento en préstamo de una comba.»
(2)
«Algunos labradores se quejan del tiempo que hace, sea éste el que fuere.»
El sujeto es «labradores».
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1. El verbo es «se quejan», que nosotros sustituimos por la expresión
«son que se quejan».
2. El predicado es «... que siempre se quejan».
3. Sea el universo «personas».
4. El signo de cantidad es «algunos».
5. La proposición se convierte en esto: «Algunos / labradores son /
personas que siempre se quejan del tiempo que hace, sea éste el que
fuere.»
(3)
«Ningún borrego es fumador habitual de cigarros puros.» El sujeto es
«borrego».
1. El sujeto es «borrego»
2. El verbo es «es».
3. El predicado es «fumador habitual ...».
4. Sea el universo «animales».
5. El signo de cantidad es «ningún».
6. La proposición se conviene en esto: «Ningún / borrego / es / un animal
fumador habitual de cigarros puros.»]
§ 3. Una proposición de relación que empiece por «iodos» es una proposición doble
Una proposición de relación que empiece por «todos» afirma, como ya sabernos,
que «lodos los miembros del sujeto son miembros del predicado». Evidentemente,
en esta proposición está contenida, como parte de lo que se nos dice, la proposición
subalterna «algunos miembros del sujeto son miembros del predicado».
[Así, la proposición «todos los banqueros son hombres adinerados», contiene
evidentemente la proposición subalterna «algunos banqueros son hombres
adinerados».]
Pero ahora se plantea un problema: «¿Cuál es el resto de información que esta
proposición nos proporciona?» A fin de responder a esta pregunta, empecemos por
la proposición subalterna «algunos miembros del sujeto son miembros del
predicado», y supongamos que esto es todo lo que se nos ha dicho; procedamos
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luego a averiguar qué más necesitamos que nos digan para saber que «todos los
miembros del sujeto son miembros del predicado».
[Así, supongamos que la proposición «algunos banqueros son hombres
adinerados» constituye toda la información que poseemos; podemos
entonces proceder a averiguar qué otra proposición ha de ser añadida a ella,
con el fin de llegar a la proposición entera «iodos los banqueros son hombres
adinerados».]
Supongamos asimismo que el “Univ.” (es decir, el género del que tanto el sujeto
como el predicado son especies) ha sido dividido (mediante el proceso de
dicotomía) en dos clases inferiores, a saber:
1. el predicado;
2. la clase cuya diferencia es contradictoria de la del predicado.
[Así, supongamos que el género «hombres» (del que tanto «banqueros»
como «hombres adinerados.» son especies) ha sido dividido en dos clases
inferiores, «hombres adinerados» y «hombres pobres».]
Ahora bien: sabemos que todo miembro del sujeto es un miembro del Univ. Por lo
tanto, todo miembro del sujeto pertenece o bien a la clase (1) o bien a la clase (2).
[Así, sabernos que todo banquero es miembro del género «hombres». Por lo
tanto, todo banquero o bien pertenece a la clase «hombres adinerados» o
bien a la clase «hombres pobres».]
También se nos ha dicho que, en el caso que estamos discutiendo, algunos
miembros del sujeto pertenecen a la clase (1). ¿Qué más necesitamos que nos
digan para saber que todos ellos pertenecen a ella? Evidentemente necesitamos que
nos digan que ninguno de ellos pertenece a la clase (2); es decir, que ninguno de
ellos es miembro de la clase cuya diferencia es contradictoria de la del predicado.
[Así, podemos suponer que se nos ha dicho que algunos banqueros
pertenecen a la clase «hombres adinerados».
¿Qué más necesitamos que nos digan para saber que pertenecen todos?
Evidentemente necesitamos que nos digan que ninguno de ellos pertenece a
la clase «hombres pobres».]
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Por lo tanto, una proposición de relación que empiece por «todos» es una
proposición doble y es “equivalente” a (es decir, proporciona la misma información
que) las dos proposiciones siguientes:
1. «Algunos miembros del sujeto son miembros del predicado»;
2. «Ningún miembro del sujeto es miembro de la clase cuya diferencia es
contradictoria de la del predicado».
[Así, la proposición «Todos los banqueros son hombres adinerados» es una
proposición doble, y equivale a estas dos proposiciones:
1. «Algunos banqueros son hombres adinerados»;
2. «Ningún banquero es hombre pobre».]
§ 4. ¿Qué es lo que está implicado, en una proposición de relación, respecto de la
realidad de sus términos?
Nótese que las reglas aquí establecidas son arbitrarias y sólo se aplican a la Parte I
de mi «Lógica Simbólica».
Una proposición de relación que empiece por «algunos» será entendida de ahora en
adelante como si afirmara que hay algunas cosas existentes que, siendo miembros
del sujeto, son también miembros del predicado; es decir, que algunas cosas
existentes son miembros de ambos términos a la vez. Por lo tanto, se ha de
entender como si implicara que cada uno de los términos, tomado aisladamente, es
real.
[Así, la proposición «algunos hombres adinerados son inválidos» se ha de
entender como si afirmara que algunas cosas existentes son «hombres
adinerados inválidos». Por lo tanto, implica que cada una de las dos clases,
«hombres adinerados» e «inválidos», tomada aisladamente, es real.]
Una proposición de relación que empiece por «ningún» se entenderá de ahora en
adelante como si afirmara que no hay ninguna cosa existente que, siendo miembro
del sujeto, sea también miembro del predicado; es decir, que no hay ninguna cosa
existente que sea miembro de ambos términos a la vez. Pero esto no implica nada
con respecto a la realidad de cualquiera de los términos tomados aisladamente..
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[Así, la proposición «ninguna sirena es modista» se entenderá como si
afirmara que ninguna cosa existente es una «sirena-modista». Pero esto no
implica nada respecto de la realidad o irrealidad de cualquiera de las dos
clases, «sirenas» y «modistas», tomadas aisladamente. En este caso en
concreto se da la circunstancia de que el sujeto es imaginario y el predicado
real.]
Una proposición de relación que empiece por «todos» contiene (véase 3) una
proposición similar que empiece por «algunos». Por tanto, se entenderá como si
implicara que cada uno de los términos, tomado aisladamente, es real.
[Así, la proposición «todas las hienas son animales salvajes» contiene la
proposición «algunas hienas son animales salvajes». Por tanto, esto implica
que cada una de las dos clases, «hienas» y «animales salvajes», tomada
aisladamente, es real.]
§ 5. Traducción de una proposición de relación a una o más proposiciones de
existencia
Hemos visto que una proposición de relación que empieza con «algunos» afirma que
algunas cosas existentes que son miembros de un sujeto son miembros también de
su predicado. Por lo tanto, lo que afirma es que algunas cosas existentes son
miembros de ambos; es decir, que algunas cosas existentes son miembros de la
clase de cosas que poseen todos los atributos del sujeto y del predicado.
Así pues, para traducirla a una proposición de existencia tomamos «cosas
existentes» como el nuevo sujeto, y las cosas que poseen todos los atributos del
sujeto y del predicado como el nuevo predicado.
De modo similar procederemos con una proposición de relación que empiece por
«ninguno».
Una proposición de relación que empiece por «todos» es (tal como se muestra en 3)
equivalente a dos proposiciones, una de las cuales empezará por «algunos» y la
otra por «ninguno», Sabemos ya cómo traducir cada una de ellas.
[Veamos algunos ejemplos que ilustren la aplicación de estas reglas.
(1)
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Gentileza de Sinuhé Perea Puente 41 Preparado por Patricio Barros
«Algunos labradores se quejan del tiempo que hace, sea éste el que fuere.»
La ordenación seria ésta: «Algunas / cosas existentes / son / labradores que
siempre se quejan del tiempo que hace, sea éste el que fuere.»
(2)
«Ningún borrego es fumador habitual de cigarros puros.» La ordenación seria
ésta: «Ninguna / cosa existente / es / un borrego fumador de cigarros
puros.»
(3)
«Todos los banqueros son hombres adinerados.» Esto equivale a las dos
proposiciones siguientes: «Algunos banqueros sen hombres adinerados» y
«Ningún banquero es hombre pobre.» La ordenación seria ésta:" «Algunas /
cosas existentes / son / banqueros adinerados»; y «Ninguna / cosa existente
/ es / un banquero pobre.»]
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Libro 3
El diagrama biliteral
xy xy'
x'y x'y’
1. Símbolos y celdillas
Supongamos en primer lugar que el diagrama arriba reproducido es un espacio
asignado a una cierta clase de cosas que hemos seleccionado como nuestro
“Universo del discurso” o, más brevemente, como nuestro “Univ.”
[Por ejemplo, podemos decir: «sea el universo “libros”»; y podemos imaginar
que el diagrama es un gran tablero asignado a todos los libros. Se
recomienda vivamente al lector que, al leer este capítulo, no tome como
punto de referencia el diagrama arriba expuesto, sino que diseñe uno de
mayor tamaño para su uso particular, sin letras, que lo tenga a su lado
mientras lee y que tenga su dedo sobre aquella parte concreta de él a la que
se refiera lo que está leyendo.]
En segundo lugar, supongamos que hemos seleccionado un determinado atributo o
conjunto de atributos que podemos llamar «x», y hemos dividido la clase superior,
representada por el diagrama entero, en dos clases inferiores cuyas diferencias son
«x» y «no-x» (que podríamos llamar «x')}), y hemos asignado la mitad norte del
diagrama a una de ellas (que podríamos llamar «la clase de las cosas x» o «la clase
x») y la mitad sur a la otra (que podríamos llamar «la clase de las cosas x'» o «la
clase x’»).
[Por ejemplo, podemos decir: «Convengamos en que x significa “viejo”, de tal
modo que x' significará “nuevo” y podemos suponer que hemos dividido los
libros en las dos clases cuyas di