el jardín de senderos que se bifurcan y confluyen ......2.1. introduccion: la completud y el...

Diego P. FernandesRodrigo Lopez-Orellana

(Editores)

Filosofía, Lógica y Matemáticas

El jardín de senderos quese bifurcan y confluyen

Selección de Textos

S T

serie

Serie Selección de Textos

Juan Redmond (Director)

Volumen 8

_____________________________________

El jardín de senderos que se bifurcan y confluyen:Filosofía, Lógica y Matemáticas

Diego P. FernandesRodrigo Lopez-Orellana

(Editores)

Universidad de ValparaísoFacultad de Humanidades y Educación

Instituto de Filosofía

2020

Facultad de Humanidades y Educación, Universidad de Valparaíso

Rector (s): Christian Corvalán RiveraProrrector (s): Carlos Lara AspéeSecretario General (s): Juan Luis MoragaDecano de Facultad de Humanidades y Educación: Leopoldo Benavides Navarro

Comité Editorial de la Serie

Director: Juan RedmondEditores: Rodrigo Lopez-Orellana & Jorge Budrovich Sáez

Comité Científico de la Serie

Adriana Arpini, Universidad Nacional de Cuyo, ArgentinaAlejandro Cassini, Universidad de Buenos Aires, ArgentinaAndrés Bobenrieth, Universidad de Valparaíso, ChileCarlos Bello, UTN-Facultad Regional Mendoza, ArgentinaCarlos Contreras, Universidad de Chile/Universidad de Valparaíso, ChileClaudio Albertani, Universidad Autónoma de la Ciudad de MéxicoDiego Fernandes, Universidade Federal da Paraíba, BrasilEsteban Anzoise, UTN-Facultad Regional Mendoza, ArgentinaFelix Aguirre, Universidad de Valparaíso, ChileGuillermo Cuadrado, UTN-Facultad Regional Mendoza, ArgentinaJaime Villegas, Universidad de Valparaíso, ChileMaría José Frápolli, University College London, United KingdomMaría Manzano Arjona, Universidad de Salamanca, EspañaMiguel Tornello, UTN-Facultad Regional Mendoza, ArgentinaNicolas Clerbout, Universidad de Valparaíso, ChileOsvaldo Fernández, Universidad de Valparaíso, ChileRolando Rebolledo, Universidad de Valparaíso, ChileRubén Quiroz Avila, Universidad Nacional de San Marco, PerúSara Beatriz Guardia, Universidad San Martín de Porres, PerúShahid Rahman, Université de Lille 3, Francia

Edición:Instituto de Filosofía, Universidad de Valparaíso

Impreso en Valparaíso, Chile. Diciembre de 2020

Serrano 546, Valparaíso. Chile

ISBN 978-956-402-647-3

El jardín de senderos que se bifurcan y confluyen:Filosofía, Lógica y Matemáticas

Editores: Diego P. Fernandes y Rodrigo Lopez-OrellanaSerie Selección de Textos, Volumen 8

Primera edición. Valparaíso, 2020© 2020 de la presente edición, Universidad de Valparaíso

El jardın de senderos que se bifurcan y confluyen:Filosofıa, Logica y Matematicas

EditoresDiego P. Fernandes

Rodrigo A. Lopez Orellana

A Mara Manzano,

por toda su contribucion a laLogica, por su entrega a la

ensenanza de esta belladisciplina y por el inmenso

carino y atencion que tiene consus estudiantes.

Indice general

Prefacio XV

Miguel Alvarez Lisboa – New Insights on Syllogistic and Cut 11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. The Three Laws for Syllogistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. The System AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Sequent Calculus and the Perfect Syllogism . . . . . . . . . . . . . 61.3.1. Linkage and Cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2. Adding indefinite terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3. The System SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.4. Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Philosophical harvest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1. Beyond the Aristotelian realm . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Vıctor Aranda – La polemica entre sintaxis y semantica en Post, Lewis yWittgenstein 172.1. Introduccion: la completud y el principio de prioridad de la sintaxis 182.2. Breve comparacion de la tesis doctoral de Post con los Principia . 212.3. La “concepcion heterodoxa” de la logica y las matematicas: Lewis 242.4. El Tractatus de Wittgenstein como crıtica a los Principia . . . . . 272.5. La estrategia sintactica y la escuela de Hilbert . . . . . . . . . . . . 302.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Luis Bartolo – On Classical Set-Compatibility 373.1. Opposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Interpretations of ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. The Relation C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. Interpretations of C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5. Limitations of Classical Set-Compatibility . . . . . . . . . . . . . . 41

XI

XII Indice general

Jose Javier Gonzalez – Una introduccion a la equivalencia definicional y ala Morita-equivalencia en la logica multivariada de primer orden 434.1. Logica multivariada de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.1. Signaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2. Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.3. Alfabeto, expresiones, terminos y formulas . . . . . . . . . 484.1.4. Semantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2. El problema con la equivalencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Equivalencia definicional de dos teorıas . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1. Definicion explıcita de un operador en terminos de unasignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.2. Extension definicional de una teorıa . . . . . . . . . . . . . 534.3.3. Equivalencia definicional de dos teorıas . . . . . . . . . . . 54

4.4. Morita-equivalencia de dos teorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.1. Algunas formas de crear nuevos universos en una estructura 544.4.2. Morita-extension de dos teorıas . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.3. El problema con las definiciones de Morita-extension ya

existentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.4. Un teorıa semantico para con las Morita-extensiones . . . 604.4.5. Morita-equivalencia de dos teorıas . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Kherian Gracher – Nao, Nao e Nao: as negacoes e suas logicas 655.1. Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Logica Classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.1. Escolha de Formalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.2. Tres Princıpios Famosos da Logica Classica . . . . . . . . 705.2.3. Consistencia e Trivialidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.4. Negacao, Ex Falso Sequitur Quodlibet e Trivializacao . . 705.2.5. Reductio Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.6. A Semantica da Negacao Classica . . . . . . . . . . . . . . 735.2.7. Alguns Teoremas Importantes Sobre a Negacao Classica . 74

5.3. Logica Paraconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.1. Os Calculos Cn (0 ≤ n ≤ ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.2. Negacao Paraconsistente, Bom Comportamento e

Negacao Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.3. Reductio Paraconsistente e Reductio Classico . . . . . . . 805.3.4. A Semantica da Negacao Paraconsistente . . . . . . . . . . 80

5.4. Logica Paracompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4.1. Os Calculos Pn (0 ≤ n ≤ ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.2. Negacao Paracompleta, Bom Comportamento e Negacao

Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4.3. Reductio Paracompleto, Paraconsistente e Classico . . . . 875.4.4. A Semantica da Negacao Paracompleta . . . . . . . . . . . 87

Indice general XIII

5.5. Logica Nao-Aletica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5.1. Os Calculos Nn (0 ≤ n ≤ ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5.2. A Negacao Nao-Aletica e as Negacoes Aleticas . . . . . . 925.5.3. Reductio Nao-Aletico, Paracompleto, Paraconsistente e

Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5.4. A Semantica da Negacao Nao-Aletica . . . . . . . . . . . . 95

5.6. Quadro Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7. Negacoes e o Quadrado das Oposicoes . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Bruno Mundim – Demonstracao, Tempo e Verdade na Filosofia da Ma-tematica: Uma Perspectiva Fenomenologica 1076.1. Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2. Uma Perspectiva Fenomenologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3. Platonismo versus Intuicionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.4. Demonstracao, Tempo e Verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Alger Sans – Apuntes sobre los aspectos de valor prescriptivo del razona-miento abductivo 1437.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.2. Problemas eticos en la MM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3. El razonamiento abductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.4. La falacia naturalista en AI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.6. Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Florian Varga – Robert Brandom, L’articulation des raisons –L’objectivite et la structure normative fine de la rationalite 1598.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.2. Assertabilisme semantique et assertabilite . . . . . . . . . . . . . . 1608.3. L’inference materielle dans la structure normative du jeu . . . . . 1618.4. La signification de l’engagement dans le reseau inferentiel : auto-

risation et incompatibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.5. Pour une conception inferentialiste de la verite objective . . . . . . 164

Prefacio

El presente volumen de la Serie Seleccion de Textos reune trabajos originalesen el area de Logica y Filosofıa de la Logica. Los textos seleccionados fueronevaluados por un comite cientıfico internacional, segun el sistema de doble ciego.

El objetivo de esta edicion ha sido establecer un espacio de encuentro paranuevos investigadores, especialmente de Latinoamerica y Europa. Los editores hanquerido proporcionar este espacio para una rica discusion sobre temas diversos yactuales de la logica, favoreciendo la divulgacion y el intercambio de ideas de losinvestigadores en iniciacion, estudiantes de master y doctorado. Hemos recibidocontribuciones de ambos continentes y la composicion del libro refleja esto, tene-mos trabajos escritos en ingles, portugues, frances y espanol.

Como disciplina, la logica abarca un campo amplio e interdisciplinario que in-cluye principalmente a la filosofıa, a la matematica, a la informatica y a la linguısti-ca. Historicamente, ha tenido —y sigue teniendo— un papel importantısimo parael corpus cientıfico, especialmente para la configuracion de la epistemologıa, lateorıa y la tecnologıa de la informacion. La expresion de J. L. Borges, tomada deprestamo para el tıtulo de este libro, ilustra muy bien ese aspecto de la disciplina ylos trabajos que hemos recibido lo confirman: un jardın de senderos continuamenteapartandose y confluyendo.

Con este libro esperamos contribuir y afianzar la pluralidad de temas y el in-teres por esta rama del conocimiento por parte de los investigadores mas jovenes.

Los Editores

XV

New Insights on Syllogistic andCut

Miguel Alvarez Lisboa1

Abstract

There is a quite intentional resemblance between the Cut Rule and Aristotle’sSyllogism. In this paper some deep connections between Sequent Calculus andSyllogistics will be investigated. Taking into consideration Alvarez & Correia’saxiomatization of Syllogistics, currently the most complete available in the litera-ture, I will show how this ancient logical system can be put into correspondencewith the structural features of a special Sequent Calculus system, SS. On thegrounds of this discovery I will present some improvements of the expressivepower of Alvarez & Correia’s system. As for the philosophical consequences ofthe correspondence, I will give answers to several concerns Manuel Correia hadon his system. A somewhat new philosophical relevance of the Cut-EliminationTheorem will be highlighted in the end.

Keywords: Sequent Calculus, Cut-Elimination Theorem, Theory of Oppositions,Substructural logics.

1.1. Introduction

There is a rather obvious resemblance between the Sequent Calculus ruledubbed ‘Cut’ and Aristotle’s perfect syllogism. These are not big news: the ruleGentzen called ‘Schnitt’ was originally formulated by Herz in the twenties andlabeled by him precisely: ‘syllogismus’. Nonetheless, there’s more to the picturethan meets the eye, and the purpose of this paper is to show what that is. In thefollowing sections I will show an interesting correspondence between Syllogisticsand Sequent Calculus that exploits in a novel way the symmetry between Cut and

1IIF-SADAF-CONICET, Buenos Aires, Argentina: [email protected]

1

2 Miguel Alvarez Lisboa – New Insights on Syllogistic and Cut

the Perfect Syllogism. This will lead to a full formalization of Syllogistics bymeans of a substructural logic called SS, with peculiar properties and an insightfulphilosophical interpretation.

The pivot for this correspondence is the Axiom of Linkage introduced inAlvarez and Correia (2012), so this paper may be seen also as an effort to deepenthe mathematical interest of their proposal. In fact, as I will show in due course,the correspondence with Sequent Calculus ties up many of the loose ends alreadyrecognized by Correia in some presentations of his work.

In section 1.2 I present the Syllogistics along the lines of Alvarez and Cor-reia (2012). In section 1.3 the correspondence with Sequent Calculus is presentedand the system SS is defined and their most salient mathematical features ex-plained. The philosophical consequences of the overall proposal are introducedand commented in section 1.4. Appendix 1.6.1 shows some deviations from theAristotelian standards that open up the possibility of a further extension of thesystem.

1.2. The Three Laws for Syllogistics

Syllogistics is a logic system developed both by Aristotle and the Peripateticsand several other logicians over history2. In 2012, Enrique Alvarez and ManuelCorreia presented the currently most concise and complete axiomatization of Syl-logistics, integrating mediate and immediate inferences with complete and incom-plete terms3.

Before Alvarez and Correia’s system (hereafter called AC), the best knownaxiomatization for Syllogistics consisted of six axioms that govern most, but not allof the valid syllogisms. For instance, these six axioms are unfit for predicting thevalidity of syllogisms with indefinite terms such as ‘not-A’, and they fail to recoverthe validity of immediate inferences (conversions). The system AC provides aunified solution to all these problems (for details see Alvarez and Correia (2012)and Correia (2017)).

In what follows I present a slightly simpler version of AC and explain its be-havior. The minor differences with the original system will be explicated along theway.

2I intentionally avoid the use of the name “Aristotelian Logic” for Syllogistics, for this system isnot the perfect and complete discovery of Aristotle, pace Kant.

3Note that ‘axiom’ here should not be understood in the Hilbertian sense of unprovedpropositional-or-first-order formula, but as a general rule stating a sufficient and necessary formalfeature for a valid syllogism.

1.2. The Three Laws for Syllogistics 3

1.2.1. The System AC

Terms, propositions, quantities

A term is a variable that stands for a predicable expression in natural language.If A is a term, we say that it is definite and call non-A its conjugate. I call the‘non-’ compound of this term the conjugate-operator and the ‘A’ compound thebase of conjugation or simply the base. The conjugate of a definite term is anindefinite term. The conjugate of an indefinite term is its base.

The interpretation of a conjugate term is evident.A proposition is a sentence involving two terms in one of the following four

relations. Where α and β are terms (definite or indefinite), a proposition involvingthem can be:

1. All α are β

2. No α are β

3. Some α are β

4. Some α are not β

I call these kinds of propositions. Following scholastic mnemonics I will callthese kinds A-, E-, I- and O- respectively. Please note that in the case of the latterform the word ‘not’ belongs to the structure of the proposition and is not (for thetime being) a conjugate-operator over β.

A term in a proposition can be taken universally or particularly. For a giventerm, the fact of being taken in one way or the other determines its quantity. Theassignment of quantity values follows the following rule, corresponding to Alvarez& Correia’s Axiom of Quantity:

(A1) Axiom of Quantity:

1. The term α is taken universally in the propositions ‘All α are β’ and‘No α are β’.

2. The term α is taken particularly in the propositions ‘Some α are β’ and‘Some α are not β’.

3. The term β is taken universally in the propositions ‘No α are β’ and‘Some α are not β’.

4. The term β is taken particularly in the propositions ‘All α are β’ and‘Some α are β’.

5. To take universally (/particularly) a conjugate term is to take particu-larly (/universally) its base.

Using superscripts U and P to denote the universal and particular quantityrespectively, the content of (A1:1-4) may be resumed as follows:


1. All αU are βP

2. No αU are βU

3. Some αP are βP

4. Some αP are not βU

A proposition is called universal (/particular) if its first term is universally(/particularly) taken.

Inferences, syllogisms

An inference is a tuple of more than one proposition. In every inference therightmost proposition is called its conclusion and the rest of them the premisses.

An inference is called a syllogism if it conforms to the following rule:

(A0) Formation Rule: The inference has three propositions and three terms, eitherin conjugate or non-conjugate form, appearing twice but never on the sameproposition.

In a syllogism the term that appears only in the premisses is called the middleterm. It can be proved rather easily that the middle term always exists and isunique.

A syllogism is valid if and only if it conforms to the following axioms:

(A2) Axiom of Particularity: There is no more than one particular premisse; andthe conclusion is particular if and only if one of the premisses is particular.

(A3) Axiom of Linkage: The middle term is taken once universally and once par-ticularly in the premisses, and the quantity of the terms of the conclusion isthe same as in the premisses.

1.2.2. Comments

Both (A2) and (A1:1-4) were already known by the syllogistic tradition. Theclause (A1:5), relating quantity and conjugates, and (A3) have been presented inAlvarez and Correia (2012) as their main contribution to the theory of the Syl-logism (although primitive formulations of the latter may be found in works ofprevious authors, for example, in (De Morgan, 1880, §42)). As Manuel Correiahas observed in some presentations of this work, the key part of their proposal is(A1:5), which was primarily suggested by his collaborator, Enrique Alvarez.

This system validates all the syllogisms that are alike to be valid in the natu-ral interpretation of the syllogistic system. As far as I know, the authors provedthis through a brute-force checking. A proper weakening of (A3) also yields thesyllogisms with problems of existential import.

1.2. The Three Laws for Syllogistics 5

A technical virtue of this system is that it avoids much of the terminologyoriginally necessary to present the Syllogistics system properly. For instance, thequality feature of propositions is disposable, as well as the distinction betweenmajor and minor terms and premisses.

Given this last observation, the following improvement may be introduced.Let’s replace the original definition of inference by this one: An inference is a pair⟨P,C⟩ with P a multiset of propositions called the premisses and C a propositioncalled the conclusion.

This new definition identifies, for instance, the valid syllogisms ‘All A are B,All B are C, All A are C’ and ‘All B are C, All A are B, All A are C’, whichwere in fact treated as different by the traditional syllogistic logicians.

In order to reflex the symmetry on the premisses I will adopt the tree-likenotation for depicting syllogisms:

All A are B All B are CAll A are C

Another virtue of the system is that it governs the so-called conversions orimmediate inferences; that is, inferences with only one premisse and no middleterm. The tradition recognized three sorts of these inferences:

1. (Simple) Conversion (Ω): the conclusion is of the same kind of propositionthan the premisse but with the terms exchanged. Example:

All A are BΩAll B are A

2. Contraposition (Σ): the conclusion is the same kind of proposition than thepremisse but with the terms exchanged and conjugated. Example:

All A are BΣAll non-B are non-A

3. Obversion (Θ): the conclusion has the same quantity than the premisse with-out being of the same kind, it takes the same terms in the same order, but thesecond one is conjugated. Example:

All A are BΘNo A are non-B

The definition of obversion can be more easily stated if one considers the qual-ity of the propositions, but I preferred this most complicated version to stress outthat it is strictly not necessary to introduce that terminology. For these inferences,(A3) must be read as follows:


(A3’) Axiom of Linkage: The quantity of the terms of the conclusion is the sameas in the premisses.

Together with (A2) and under the dispositions of (A1), these three axiomsvalidate all the expected immediate inferences:

1. Simple Conversion: I- and E-propositions.

2. Contraposition: A- and O-propositions.

3. Obversion: The four kinds of propositions.

1.3. Sequent Calculus and the Perfect Syllogism

In this section I will be dealing with the standard apparatus for Sequent Calcu-lus. For the sake of brevity, minor details on what is a sequent and how a derivationshould be constructed is assumed to be known. I use ‘⊢’ as the turnstile symbol andconsider sequents with series, not multisets of formulas at their left and right-handsides.

1.3.1. Linkage and Cut

Recall the bArbArA syllogism, the first of Aristotle’s Perfect Syllogisms (25b30):

All A are B All B are CAll A are C

Using this notation the analogy with the CUT rule appears quite naturally:

Γ ⊢ A,∆ Γ′,A ⊢ ∆′

Γ,Γ′ ⊢ ∆,∆′

Specially if one reduces the contexts and relabel the formulas in a convenientway:

A ⊢ B B ⊢ CA ⊢ C

The most evident analogy here is the relation between the middle term and thecut formula: both appear only in the premisses of the arguments. But it is worthnoting also that:

1. The formulas of the conclusion are on the same side of the sequent than onthe premisses.

2. The cut formula is once on the left and once on the right side of the sequents.

1.3. Sequent Calculus and the Perfect Syllogism 7

These are the exact same dispositions of (A3) regarding the quantities of theterms in a syllogism. This suggests the following correspondence between AC andSequent Calculus:

1. Terms are Formulas.

2. Propositions are Sequents.

3. A universally taken term is a formula on the left-side of the sequent.

4. A particularly taken term is a formula on the right-side of the sequent.

5. A syllogism is an instance of the CUT rule.

If this is correct, then the following correspondence between kinds of proposi-tions and sequents also holds:

1. ‘All α are β’ is ‘α ⊢ β’.

2. ‘No α are β’ is ‘α,β ⊢’.

3. ‘Some α are β’ is ‘⊢ α,β’.

4. ‘Some α are not β’ is ‘β ⊢ α’.

Up to this point the sequent α ⊢ β is underdetermined by the propositions‘All α are β’ and ‘Some β are α’. This is unpleasant, as for example the correctinstance of CUT

A ⊢ B B ⊢ CA ⊢ C

Determines two valid syllogisms (bArbArA,bOcArdO/bArOcO) but four in-valid ones:

Some B are not A Some C are not BSome C are not A

Some B are not A Some C are not BAll A are C

(Counter-interpretation: A =animals, B =born in the desert, C =camels)

All A are B Some C are not BAll A are C

(Counter-interpretation: A =Albanian ports, B =on the Baltic sea, C =ChileanPorts)

All A are B All B are CSome C are not A


(Counter-interpretation: A, B and C any three co-extensive predicables)This is where the relevance of (A2) is highlighted: as a valid syllogism can

have only one particular premisse and the conclusion will be particular if and onlyif one of the premisses is too, one cannot read the conclusion as an O-propositionif both premisses are A-propositions, nor can we have an A-conclusion if oneof the premisses is of the O-kind. This immediately rules out these four invalidsyllogisms and in fact completes the symmetry between the valid syllogisms andthe proper instances of CUT. (A2) appears then not only as an axiom for the innervalidity of the syllogisms but also as a translation rule between Sequent Calculusand AC4. This significant role of (A2) will appear over and over again in whatfollows.

1.3.2. Adding indefinite terms

In order to fully capture AC in the Sequent framework we need to formalizethe indefinite terms. An educated guess would be to consider the two rules fornegation:

Γ,A ⊢ ∆¬ R

Γ ⊢ ¬A,∆Γ ⊢ A,∆

¬ LΓ,¬A ⊢ ∆

If ‘¬’ is about to stand for the conjugate-operator, then these rules should begiving us some valid conversions. And they actually do: the four possible applica-tions of these rules give us the four valid obversions of Syllogistics:

1. A,B ⊢¬ R

A ⊢ ¬B stands for No A are BΘ

All A are non-B

2. A ⊢ B¬ R⊢ ¬A,B stands for Some B are not A

ΘSome B are non-A

3. A ⊢ B¬ L

A,¬B ⊢ stands for All A are BΘ

No A are non-B

4. ⊢ A,B¬ L¬A ⊢ B

stands for Some A are BΘ

Some B are not non-A

Notice how (A2) makes mandatory the particular interpretation of 2 and 4. Thecrucial symmetry here is that the rules for negation respect the clause (A1:5): “Totake universally (/particularly) a conjugate term is to take particularly (/universally)its base.”

As we want the conjugate-operator to be involutive, we should also admit thereverse of these rules instead of allowing multiple applications of the ¬ rules on thesame formula. This is a pernickety care, but I am perfectionist enough to assumeit.

Contraposition (Σ) is now obtained by a double application of the ¬ rules:4As a matter of fact, not only (A2) is constraining the admissible syllogisms to be recovered up

from the derivations, but also (A0) is playing the same role.


A ⊢ B¬ R⊢ ¬A,B¬ L¬B ⊢ ¬A

And this yields us the only two valid instances of Contraposition:

All A are BΣ

All non-B are non-ASome B are not A

ΣSome non-A are not non-B

Distinguished, once again, by (A2).

1.3.3. The System SS

We are in position now to fully formalize AC within Sequent Calculus. Theresulting system will be called SS (after Sequent Syllogistics, not the Schutzstaffel),described below.

Let L be a set of uppercase variables. The system SS is the set of all derivationsconstructible from the following set of rules:

Where A,B ∈ L and Γ,∆ are sub-multisets of L,

1. The hypothesis rule: hypΓ ⊢ ∆ provided #Γ +#∆ = 2.

2. The CUT rule: Γ ⊢ A,∆ Γ′,A ⊢ ∆′CUT

Γ,Γ′ ⊢ ∆,∆′

3. The two rules for ¬.

4. The reverse rules for ¬: Γ ⊢ ¬A,∆rev ¬ R

Γ,A ⊢ ∆and

Γ,¬A ⊢ ∆rev ¬ L

Γ ⊢ A,∆

5. The exchange rules: Γ ⊢ A,B,∆Ex R

Γ ⊢ B,A,∆and Γ,A,B ⊢ ∆

Ex LΓ,B,A ⊢ ∆

I allow the application of the Negation Rules over negated formulas but I willnever do it.

1.3.4. Comments

The exchange rules recovers the validity of the Ω conversions. And only theE- and I-propositions validate it, as expected.

As we do not have weakness nor contraction, the number of terms in everySequent is always 2. This will give us Cut-Elimination in a very straightforward(and almost silly) way: just replace every instance of CUT with a proper instanceof the Hypothesis rule. For instance,

A,B ⊢ ⊢ B,C

A ⊢ C A ⊢ C


The most important feature of this system is that, as all these rules conform to(A1-3), they produce derivations where every branching corresponds to a syllogis-tically valid inference. It can be checked by brute force that it is also complete:thanks to the limit of formulas in the application of the hypothesis rule, there areonly 12 interesting cases of it. Thus the number of interesting derivations (wherean ‘interesting’ derivation is one where ‘¬’ appears at most once in each formula)is upper bounded and the checking process, although tedious, is happily finite.

It is nonetheless worth noting that SS is not perfectly correct, for it has somederivations that cannot be read as instances of valid syllogistic inferences. I say“perfectly correct” because it is not that some derivations correspond to invalidsyllogisms. As a matter of fact, this never happens, so the system in this sense isminimally correct. But in some cases (A2) produces insurmountable inconsisten-cies in the translation process. Consider the following derivation:

hypA ⊢ B

¬ LA,¬B ⊢

¬ R¬B ⊢ ¬A rev ¬ L⊢ B,¬A

This is an SS-valid derivation, but there is no sequence of valid syllogisticconversions that corresponds to it. The reason is that, as the conclusion is a par-ticular proposition, for (A2) to be respected across the derivation all sequents in itshould also be particular; but they are not, for ‘A,¬B ⊢’ is in fact universal. Butit still holds that every particular application of a rule recovers a valid syllogisticinference.

There are other derivations that raise some suspicions. For instance, considerthis one:

hypA,A ⊢ hyp

B ⊢ ACUT

A,B ⊢

That would correspond to the syllogism

No A are A All B are ANo B are A

This syllogism is inadmissible in AC (for they does not conform to (A0)), butits validity according to SS is harmless, for even Aristotle accepted the validity ofinferences from false premisses:

It is possible for the premisses of the deduction to be true, or to befalse, or to be the one true, the other false. The conclusion is eithertrue or false necessarily. From true premisses it is not possible todraw a false conclusion; but a true conclusion may be drawn fromfalse premisses. (Aristotle, 1995, 53b 4-7)


But here’s a beautiful serendipity. I was working on an early draft of this paperwhen I noticed that derivations like this are not only innocuous, but in fact theycan be used to provide an insightful improvement of the expressive power of AC.

Call the following propositions and their corresponding sequents as:

1. ‘No α are α’ (A,A ⊢): contradiction.

2. ‘Some α are α’ (⊢ A,A): existential claim.

3. ‘All α are α’ (A ⊢ A): tautology.

And allow for the weakening of (A0) in the following way:

(A0’) Permissive Formation Rule: The inference has three propositions and nomore than three terms, either in conjugate or non-conjugate form, of whichone must appear at least once in every premisse.

These changes makes admissible the consideration of the syllogisms corre-sponding to the following (already SS-valid) derivations:

1. Syllogism with a contradiction:

A,A ⊢ Γ ⊢ A,∆CUT

Γ,A ⊢ ∆

2. Syllogism with an existential claim:

⊢ A,A Γ,A ⊢ ∆CUT

Γ ⊢ A,∆

3. Syllogism with a tautology (I):

A ⊢ A Γ,A ⊢ ∆CUT

Γ,A ⊢ ∆

4. Syllogism with a tautology (II):

A ⊢ A Γ ⊢ A,∆CUT

Γ,A ⊢ ∆

On closer examination this give us the following pseudo-valid inferences:

1. Syllogism with a contradiction:

A,A ⊢ B ⊢ A

B,A ⊢ and A,A ⊢ ⊢ A,B

A ⊢ B


The contrary or sub-contrary of the second premisse.

2. Syllogism with an existential claim:

⊢ A,A B,A ⊢B ⊢ A

and ⊢ A,A A ⊢ B

⊢ A,B

The subaltern of each second premisse.

3. Syllogism with a tautology yields an equivalent of the second premisse.

That is, we have recovered a major part of the Theory of Oppositions within ourframework.5 The remaining oppositions can be obtained by composition of theseones in quite obvious ways. The contradictory of an I-proposition, for instance, isobtained by:

B,B ⊢A,A ⊢ ⊢ A,B

A ⊢ B

A,B ⊢

The morale here is illuminating: the Three Axioms of AC not only govern themediate and immediate inferences with definite and indefinite terms, but also theTheory of Oppositions, an important part of traditional logic.

This insight is not mentioned in Correia’s work, so, as far as I can tell, it hasbeen presented for the first time here.

1.4. Philosophical harvest

In a conference given at the University of Chile in 2015, Manuel Correia pre-sented AC and commented some open problems within his project.

For a start, he manifested some suspicions on (A2), based on his already suc-cessful disposal of the Axiom of Negativity (from two negative premisses no con-clusion follows). He considered to be an unpleasant asymmetry that only one ofthese two Axioms were disposable, given their similarities.

On the other hand, he explained that AC already captures some propositionalinferences (Modus Ponendo Ponens, Tollendo Tollens and Tollendo Ponens), up to

5Notice that the only valid inference with A ⊢ A read as ‘Some A are not A’ is

A ⊢ A A ⊢ BA ⊢ B

And this is an existential invalid inference that, as far as I know, has not a special name. Still,interestingly it recovers a mixed aspect of the invalidity of subalternation and contrariety:

All A are BSome B are not A

1.4. Philosophical harvest 13

a proper extension of the notions involved in (A1-3) (cf. Correia (2017)). This sug-gests that the whole (classical) propositional logic may be successfully capturedby this extension of AC, thus contradicting the modern prejudice that Syllogis-tics is an incomplete fragment of predicate logic (an apparently interesting resultfor Correia’s philosophical agenda). But within his project the classically validinference:

A ¬AB

has the problem that the conclusion term B appears not in the premisses and thusit cannot be said to be governed by (A3) in a straightforward way.

These concerns may be resumed in three questions:

1. If (A2) is necessary, why is it so?

2. Is it possible to extend the three axioms (A1-3) over modern mathematicallogic?

3. What is the relation between the instances of explosion and (A3)?

The correspondence between SS and AC suggests the answers to these ques-tions. As we saw in section 1.3, (A2) is mandatory for the proper translation fromSS back to AC, and thus its full meaning can only be acknowledged once the cor-respondence has been established. Correia’s suspicions were justified, for he hadnot considered SS and thus was unable to fully comprehend the role that (A2) wasplaying within his system.

On the same line, the fact that axioms (A1) and (A3) correspond to structuralproperties of Sequent Calculus suggests that both modern logic and Syllogisticsare governed by the same geometrical properties, which may be properly charac-terized as a certain kind of symmetry. This symmetry reveals itself as groundingboth the CUT rule and the Axiom of Linkage without any conceptual priority, thusshowing that the common notion should be seek beyond the realms of Syllogisticsor Sequent Calculus.

As for Explosion, there are some things to be noticed. To begin with, one mustrecognize that the conformity with the rule (A0) aligns Syllogistics with RelevantLogics, because it explicitly states the condition of relevance between terms of thepropositions. If this is correct, then one shall expect, rather than regret, the failureof Explosion6. As a matter of fact, AC can be fully recognized as a ParaconsistentLogic, for SS invalidates the Meta Explosion scheme (cf. Barrio et al. (2019)):

Γ ⊢ A,∆ Γ′ ⊢ ¬A,∆′

Γ,Γ′ ⊢ B,∆,∆′6That Aristotle’s logic is classical is far less an expectation of the aristotelians than it is of clas-

sical logicians.


When B ∉ Γ ∪ Γ′ ∪∆ ∪∆′.Besides Correia’s problems, system SS is philosophically interesting on its

own. When considered in isolation, it is a rather silly system, with poor structuralproperties and a trivial Cut-Elimination theorem; and yet, once one considers itscorrespondence with AC, its blatant philosophical relevance is highlighted. I seethis as abductive evidence in favor of the development of weird substructural logicsfor more than mere mathematical curiosity.

And yet one more word on SS’s Cut-Elimination. Albeit this result is quiteuninteresting from a mathematical point of view, I think that it has an interest-ing philosophical significance: it shows that one learns nothing from syllogisms.Logic is, so to speak, strictly analytical. This follows the spirit of logic as a toolboxfor thinking, the organon of the Peripatetics. Being the syllogism the only rule ofinference of Syllogistics, the possibility of its elimination reveals a fine aspect ofAristotle’s logical subtlety.

1.5. Conclusions

In Alvarez and Correia (2012) is presented what is currently the most com-plete axiomatization of Syllogistics. In this paper I showed that the key conceptsinvolving that system can be put into correspondence with the structural features ofa special Sequent Calculus system, SS. On the grounds of this discovery I provedthat the system of Alvarez and Correia (2012) not only covers mediate and im-mediate inferences with definite and indefinite terms, but also can be extended torecover the Theory of Oppositions, a major part of ancient logic that was neglectedby the original proposal. As for the philosophical interpretation of the system, Ishowed that most of the concerns Manuel Correia had on his system can be an-swered within this new framework. In the end, a somewhat new philosophicalrelevance of the Cut-Elimination Theorem was highlighted, on the grounds of itsrelation with Syllogistics.

1.6. Appendix

1.6.1. Beyond the Aristotelian realm

System SS can be extended beyond the realm of standard Syllogistics. In thisappendix I will present some preliminary results on these extensions.

One natural question about SS is whether one can introduce connectives suchas conjunction and disjunction. As a matter of fact, either the rules of weakening oradditive left-hand conjunction introduction and right-hand disjunction introductionare compatible with the AC correspondence, for they produce truth-preserving syl-logisms with complex terms. For instance, given the validity of the correspondingsyllogism for

1.6. Appendix 15

A ⊢ B B,C ⊢A,C ⊢

One can weaken (before or after the cut) on both sides harmlessly, given thatthe resulting proposition preserve its kind:

A ⊢ BA,D ⊢ B

B,C ⊢B,C,E ⊢

A,C,D,E ⊢

And this is still a valid syllogism:

All A are BAll A and D are B

No B are CNo B are C and E

No A and D are C and E

Where the conclusion is valid up to simple conversions (Ω).The problem with weakening on the empty side of a sequent or the usual rules

for right-hand conjunction introduction or left-hand disjunction introduction is thatthe kind of the proposition is altered and thus some derivation steps are no longersyllogistically valid:

⊢ A,B

C ⊢ A,B

Some A are BSome A or B are not C

But all the counter-examples to these common rules that I’ve encounteredhave to do with the ambivalence of α ⊢ β as either an A-proposition or an O-proposition. For instance, weakening on the left for an E-proposition gives a beau-tiful ex falso quodlibet syllogism:

B,C ⊢B,C ⊢ E

No B are CAll B and C are E

As a matter of fact, in the fragment of SS where the left-hand side of the se-quent cannot be empty, everything seems to be working fine and the completeadditive group of rules for conjunction and disjunction can be introduced. Note,however, that within this subsystem there are no particular propositions. This re-inforces the suspicion that Particularity seems to be playing a major role in theinheritance of the weaknesses of Syllogistics by Sequent Calculus.


Bibliography

Aristotle (1995). Prior analytics. In Barnes, J., editor, The Complete Works ofAristotle. One volume, digital edition, pages 39–113. Princeton.

Barrio, E. A., Pailos, F., and Szmuc, D. (2019). A hierarchy of classical andparaconsistent logics. Journal of Philosophical Logic.

Correia, M. (2017). La logica aristotelica y sus perspectivas. Pensamiento,73(275):5–19.

De Morgan, A. (1880). Syllabus of a proposed system of logic. Harvard UniversityPress.

Alvarez, E. and Correia, M. (2012). Syllogistics with indefinite terms. History andPhilosophy of Logic, 33(4):297–306.

La polemica entre sintaxis ysemantica en Post, Lewis yWittgenstein

Vıctor Aranda7

Resumen

En logica, la idea de que la sintaxis y los calculos proporcionan una precision yun rigor de los cuales carece la semantica es relativamente comun. El objetivo delpresente artıculo es analizar las raıces historicas de esta idea. Para ello, nuestropunto de partida sera la tesis doctoral de Post, donde se prueba la correccion yla completud de la logica proposicional. Las tablas de verdad se desarrollan conuna actitud cautelosa hacia los significados, que se consideran “ajenos” al sistemaformal. Esta actitud proviene de Lewis, quien defendıa que su “concepcion hete-rodoxa” de la logica debıa confrontarse con la filosofıa de las matematicas de losPrincipia. Para esta concepcion, un sistema formal es una cadena de signos quepueden manipularse por medio de reglas puramente sintacticas. Defendemos queeste punto de vista es compartido no solo por Post y Lewis, sino tambien por Witt-genstein. Sin embargo, la consecucion de resultados metalogicos mas importantes(como la completud de la logica de primer orden) requerira nuevas herramientassemanticas que fueron dominadas en la escuela de Hilbert.Palabras Clave: historia de la logica, tablas de verdad, protosemantica, comple-tud, Principia.

7Universidad Autonoma de Madrid, Espana: [email protected]

17

[email protected]

18 Vıctor Aranda – La polemica entre sintaxis y semantica en . . .

The controversy between syntax and semantics in Post, Lewis andWittgenstein

Abstract

In logic, the idea that the syntax and the calculi provide an accuracy and a rigourwhich is lacking in semantics is relatively common. The purpose of the presentpaper is to analyze the historical roots of this idea. In that connection, our startingpoint will be Post’s doctoral dissertation, where soundness and completeness areproved for propositional logic. Truth tables were developed with a cautious atti-tude towards meanings, which are considered “extraneous” to the formal system.This attitude comes from Lewis, who argued that his “heterodox conception” oflogic should be confronted with Principia’s philosophy of mathematics. For thisconcepction, a formal system is a string of signs which can be manipulated bymeans of purely syntactic rules. We claim that this point of view is shared not onlyby Post and Lewis, but also by Wittgenstein. However, the achievement of majormetalogical results (like the completeness of first-order logic) will requiere newsemantic tools which were mastered in the Hilbert school.Keywords: history of logic, truth tables, protosemantics, completeness, Principia.

2.1. Introduccion: la completud y el principio de priori-dad de la sintaxis

Teorıas, calculos y logicas son solo algunas de las realidades matematicas conlas que acostumbra a trabajar cualquier logico contemporaneo. Son, ademas, cosasen principio muy distintas: un conjunto de sentencias de cierto lenguaje formalal que podemos exigir que este cerrado bajo consecuencia logica (las teorıas), unconjunto de reglas de inferencia (los calculos) o una dupla formada por un lenguajeformal y una relacion de consecuencia logica a la que podemos anadir un calculo(las logicas8). Aunque de todas ellas cabe esperar, y es razonable hacerlo, quesean “completas”, este artıculo se centra en la completud de los calculos y de laslogicas9.

El sentido en que los calculos y las logicas son completos esta relacionado conuna idea intuitiva de “suficiencia”. Ası pues, un conjunto de reglas de inferencia,un calculo, es –debilmente- completo si permite generar como teoremas logicos (osea, sin premisas) todas las formulas de cierto lenguaje que son validas (es decir,verdaderas en toda interpretacion). Si encontramos un calculo que sea completopara una logica concreta, entonces habremos probado que la clase de formulasvalidas de esa logica es, al menos, recursivamente numerable. No obstante, tam-bien podrıamos llegar a saber, mediante traducciones entre logicas, que una clase

8Cf. Manzano y Alonso (2014, p. 2).9Para la relacion entre la Post completud de una teorıa y la completud de la logica proposicional,

Cf. Aranda (2019a).

2.1. Introduccion: la completud y el principio de prioridad de la sintaxis 19

de formulas validas es recursivamente numerable sin haber desarrollado todavıaun calculo. En tal caso, tendrıamos la certeza de que, para esa logica, existe uncalculo completo.

De este modo, la propiedad de la completud puede interpretarse de dos ma-neras. Segun Alonso (2013, p. 79) cabe tanto una lectura “epistemica” como unalectura “computacional” de la completud. En la lectura epistemica, ponemos elenfasis en el hecho de que, si la logica es completa y ϕ es una formula valida,sabemos que ϕ es un teorema logico; en la computacional, en que la clase deformulas validas pueda ser “construida” sin premisas a partir del calculo. Mientrasque la segunda serıa la vision de Godel o Kleene, la lectura epistemica serıa lacaracterıstica de matematicos como Post. Considerese, por ejemplo, la forma enque este ultimo enunciaba su conocido Teorema Fundamental: “a necessary andsufficient condition that a function of F be asserted as a result of the postulates II,III, IV is that all its truth values be +” (Post, 1921, p. 269).

Es decir, una formula F esta aseverada (es, como veremos, un teorema logico)si y solo si, en la tabla de verdad de F , la columna correspondiente a su conectivaprincipal solo contiene el signo para “verdadero”, o sea, el signo + (si F es, pues,una tautologıa). Por tanto, siempre que F sea una tautologıa se, por el TeoremaFundamental, que es un teorema logico. De acuerdo con Alonso (2013, p. 80) estalectura de la completud esta ıntimamente asociada al “principio de prioridad de lasintaxis” y a cierta polemica en torno al papel de la semantica:

(PS) Aunque en el analisis intuitivo la semantica sirve de guıa, la sintaxis y elcalculo aportan un rigor del que la semantica carece.

De hecho, Manzano y Alonso (2014) argumentan que, durante la decada de1920, el uso de tablas de verdad y formas normales obedece a una “estrategiasintactica” y no a una clara delimitacion de los conceptos de “formula valida” o“interpretacion”. En este periodo, la semantica10 era el estudio de los lenguajesformales a traves del concepto modelo-teoretico de “verdad”, sino un conjunto dealgoritmos y metodos de clasificacion de formulas no enteramente separado de lasintaxis.

El objetivo de este artıculo es rastrear ese “principio de prioridad de la sintaxis”y la polemica en torno a la semantica, pero partiendo de la tesis doctoral de Post(1921). No en vano, en ella se demuestra la completud de la logica proposicionaly encontramos la misma idea expresada mas arriba:

Let us denote the truth value of a proposition p by + if it is trueand by − if it is false. This meaning of + and − is convenient to bear inmind as a guide to thought, but in the actual development that followsthey are to be considered merely as symbols which we manipulate ina certain way (Post, 1921, p. 267).

10Manzano y Alonso (2014) proponen el termino “protosemantica” para referirse al uso de tablasde verdad y formas normales durante la decada de 1920.


Los significados son, desde este punto de vista, meras guıas para el pensa-miento que, dentro del sistema formal, no tienen cabida (+ y − son solo signosque manipulamos de una cierta manera). Esta actitud recelosa ante los significadosesta en la popular distincion de Ramsey (1925) entre las paradojas que son logi-cas o matematicas y las que no lo son11. Las segundas se habrıan originado porpermitir elementos psicologicos en nuestros formalismos. De hecho, Peano (1906)ya critico la paradoja de Richard calificandola de producto linguıstico mas quede genuino problema matematico. Por otro lado, Church (1956) hacıa la siguienteadvertencia a los lectores de su famoso “Introduction to Mathematical Logic”:

From time to time in the following chapters we shall interrupt therigorous treatment of a logistic system in order to make an informalsemantical aside [...] Except in this Introduction, semantical passageswill be distinguishetl from others by being Printed in smaller type, thesmall type serving as a warning that the material is not part of theformal logistic development and must not be used as such (Church,1956, pp. 67-68).

Como se advierte, la semantica no se considera parte del “sistema logıstico”,sobre el que es posible un tratamiento riguroso y formal, sino un material aparteal que conviene tratar con cierta cautela. Al igual que en Post (1921), las obser-vaciones semanticas parecen puramente aclaratorias y, por esa razon, no debenconfundirse con las expresiones bien formadas del lenguaje formal en cuestion.La pregunta es, pues, ¿de donde viene esa actitud recelosa, que perduro al menoshasta 1956, hacia los significados? ¿Tiene algo que ver que se asumiera una “es-trategia sintactica” en la decada de 1920 con la aparicion de las primeras pruebasde completud para la logica proposicional?

Lo cierto es que, aunque su lectura fuera epistemica y no computacional, Post(1921) probo la completud del fragmento proposicional de los Principia, algo queno lograron Whitehead y Russell (1910). Debido a ello, en la primera seccion delartıculo, comparare los axiomas de Whitehead y Russell (1910) con los de Post(1921), ası como la manera en que se define la nocion fundamental de “proposi-cion aseverada”. Veremos que las diferencias entre uno y otro texto pueden expli-carse, precisamente, por la cautela de Post ante la semantica y los significados. Enla segunda seccion, vinculare el punto de vista de Post con lo que Lewis (1918)denominaba la “concepcion heterodoxa” de la logica y explicare en que consiste.Luego, comentare algunos pasajes de Wittgenstein (1922), donde parece criticaraspectos de Whitehead y Russell (1910) que Post dejo de lado en su tesis doctoral.Y, finalmente, discutire si la escuela de Hilbert (que tambien obtuvo un resultadode completud para la logica proposicional) adopto esa “estrategia sintactica” o no.

11“The contradictions of Group B are not purely logical, and cannot be stated in logical termsalone, for they all contain some reference to thought, language, or symbolism, which are not formalbut empirical terms. So they may be due not to faulty logic or mathematics, but to faulty ideasconcerning thought and language” (Ramsey, 1925, p. 353).

2.2. Breve comparacion de la tesis doctoral de Post con los Principia 21

2.2. Breve comparacion de la tesis doctoral de Post conlos Principia

Asumiendo que la formula α → β es una abreviatura de ¬α ∨ β, los axiomasde la logica proposicional que son comunes a Whitehead y Russell (1910) y a Post(1921) son los siguientes12:

1. ⊢ p ∨ p→ p

2. ⊢ p→ p ∨ q

3. ⊢ p ∨ q → q ∨ p

4. ⊢ p ∨ (q ∨ r)→ (p ∨ q) ∨ r

5. ⊢ (p→ q)→ [(r ∨ p)→ (r ∨ q)]

Como se puede observar, los cinco axiomas estan precedidos por el signo ⊢,que hoy leemos como “β es deducible a partir de α” cuando α ⊢ β. Que no hayaninguna formula a la izquierda del signo ⊢ significa, naturalmente, que la formulade la derecha es un teorema logico. Sin embargo, en los Principia el primer axio-ma se leerıa “la formula p ∨ p → p esta aseverada13. Whitehead y Russell (1910,p. 92) admiten que adoptaron tanto la idea como la notacion del signo de aser-cion de Frege. No obstante, las proposiciones de la logica son lo que ellos llaman“funciones proposicionales”, ya que contienen al menos un constituyente indeter-minado14. Las unicas proposiciones que pueden ser aseveradas aun conteniendo almenos un constituyente indeterminado son las de la logica, pues son todas ellas“generales”:

An assertion (for example) which is true of Socrates but not ofPlato, will not belong to logic, and if an assertion which is true ofboth is to occur in logic, it must not be made concerning either, butconcerning a variable x (Whitehead y Russell, 1910, p. 93).

La generalidad de funciones proposicionales como p ∨ p → p implica que,independientemente de si sustituimos p por una proposicion verdadera o por unaproposicion falsa, el resultado sera una proposicion verdadera. De ahı que puedaser aseverada, aunque el significado de p este indeterminado. Ademas, en virtudde la proposicion primitiva 1.11, todo lo implicado por una funcion proposicional

12En los Principia, en lugar de parentesis se usan el punto y los dos puntos. Los axiomas de lalogica proposicional son “proposiciones primitivas”.

13“The sign ⊢ is called the assertion-sign; it may be read “it is true that” (although philosophicallythis is not exactly what it means)” (Whitehead y Russell, 1910, p. 92).

14Para una explicacion detallada de los conceptos de “funcion proposicional” y “funcion proposi-cional aseverada”, Cf. Aranda (2019b, pp. 47-50).


aseverada tambien es una funcion proposicional aseverada (Cf. Whitehead y Rus-sell (1910, p. 95)). Evidentemente, las fronteras entre lo semantico y lo sintacticoson difusas.

Por otra parte, Post (1921) tambien introduce el concepto de “funcion pro-posicional aseverada”. Tomando como primitivas la negacion y la disyuncion (yestipulando que, si p y q son proposiciones elementales, entonces ¬p y p ∨ q tam-bien lo son), pueden construirse la totalidad de funciones proposicionales que son“proposiciones elementales” (o sea, expresiones de la logica proposicional). Noobstante, Post (1921, p. 267) asegura que la teorıa descrita por las proposiciones1-5 solo incluye un subconjunto de esas funciones: las que estan precedidas por elsigno ⊢. Esto es, las que son teoremas logicos. Las proposiciones 1-5 “give us thestart”, es decir, nos permiten generar nuevas funciones proposicionales aseveradas(nuevos teoremas logicos) a partir de las antiguas. La deduccion se lleva a caboaplicando las siguientes reglas de inferencia:

II. The assertion of a function involving a variable p produces theassertion of any function found from the given one by substituting forp any other variable q, or ¬q, or (q ∨ r).

III. ⊢ p and ⊢ ¬p ∨ q produce ⊢ q (Post, 1921, p. 267).

Naturalmente, III es el modus ponens y II es la regla de sustitucion15. En losPrincipia, la unica regla de inferencia es el modus ponens. Sin embargo, Whi-tehead y Russell (1910, p. 94) afirman, extranamente, que “if p is true, then ifp implies q, q is true. This is a true proposition, but [...] we cannot express theprinciple symbolically”. Esto se debe a que p y p → q tan solo son hipotesis,ası que no pueden ser aseveradas. Las proposiciones pueden estar aseveradas omeramente consideradas; las proposiciones logicas son funciones proposicionalesaseveradas. Pero, a diferencia de Whitehead y Russell, Post (1921) no apela a sugeneralidad para justificar que esten aseveradas. Tampoco recurre al hecho de que,independientemente de como se resuelva la ambiguedad de sus constituyentes in-determinados, el resultado sera una proposicion verdadera. Post (1921) ofrece, masbien, un metodo algorıtmico para decidir si una proposicion elemental esta o noaseverada.

En virtud del Teorema Fundamental, una proposicion elemental esta aseverada(es un teorema logico) si y solo si es una funcion proposicional positiva. Que unafuncion proposicional sea positiva, negativa o mixta puede determinarse en tiempofinito por medio de su tabla de verdad16. Como vimos, las positivas solo contienen,en la columna de su conectiva principal, el signo +; las negativas, solo el signo para

15Aunque se usa constantemente en los Principia, esta regla no se hace explıcita. Fue Lewis(1918), de quien hablaremos mas adelante, el primero en ofrecer una definicion del operador de“sustitucion” en un texto que estudio el propio Post.

16En una nota al pie, Post (1921, p. 267) comenta que los conceptos de “valor de verdad”, “funcionproposicional” y la definicion de la negacion y la disyuncion estan en los Principia. Sin embargo,no sucede lo mismo con la nocion general de “tabla de verdad”, que Post atribuye a Jevons y Venn.

2.2. Breve comparacion de la tesis doctoral de Post con los Principia 23

“falso”, esto es, el signo −; las mixtas, uno y otro signo. Post (1921, p. 269) estadistinguiendo, pues, entre tautologıas, contradicciones y formulas contingentes.

Es importante senalar, como apuntan Manzano y Alonso (2014, pp. 7-9), queel resultado de completud implicado por el Teorema Fundamental no se obtuvo tra-tando de probar que las reglas de inferencia II y III son “suficiente” para generarun conjunto de formulas que quisieramos poder construir y que hemos delimitadosemanticamente. Muy al contrario, parece que el objetivo era clasificar las pro-posiciones elementales en las que son funciones proposicionales aseveradas y lasque no. Y este metodo de clasificacion de formulas debıa, desmarcandose de losPrincipia, dejar de lado cualquier justificacion “psicologista” de las proposicioneslogicas. De acuerdo con Post:

Our most important theorem gives a uniform method for testingthe truth of any proposition of the system; and by means of this theo-rem it becomes possible to exhibit certain general relations whichexist between these propositions. These relations definitely show thatthe postulates of Principia are capable of developing the completesystem of the logic of propositions without ever introducing resultsextraneous to that system (Post, 1921, p. 265).

La idea de que las proposiciones logicas son funciones proposicionales quepodemos aseverar a pesar de contener constituyentes indeterminados es todavıabastante informal. El teorema que establece que una funcion proposicional soloes una proposicion logica si su tabla de verdad unicamente devuelve el signo +es, en cambio, un resultado estrictamente matematico. La apelacion a que puedanser aseveradas parece algo ajeno al propio sistema formal (en palabras de Post,“extraneous to that system”). El rechazo de Post a este modo “psicologista” dehablar no es casual, pues el mismo afirma que su enfoque sobre el sistema delos Principia es puramente formal. “We have consistently regarded the system ofPrincipia and the generalizations thereof as purely formal developments, and sohave used whatever instruments of logic or mathematics we found useful” (Post,1921, p. 266).

De hecho, este enfoque “puramente formal” se puede apreciar si comparamosde nuevo los axiomas de (Whitehead y Russell, 1910, pp. 94-97) con los de Post(1921, p. 266-67). Los axiomas 1-5 que expusimos mas arriba son las proposicio-nes primitivas 1.2-1.6 de los Principia. Las proposiciones primitivas 1.7, 1.71 y1.72 (las tres ultimas) establecen la gramatica17 del lenguaje formal del fragmentoproposicional. Las proposiciones primitivas 1.7 y 1.71 constituyen el primer gru-po de axiomas de Post (1921), pero el sı las separa explıcitamente de los axiomas1-5. Estos constituyen el cuarto grupo de proposiciones primitivas de Post (grupo

17“1.7. If p is an elementary proposition, ¬p is an elementary proposition. Pp.1.71. If p and q are elementary propositions, p ∨ q is an elementary proposition. Pp.1.72. If ϕp and ψp are elementary propositional functions which take elementary propositions as

arguments, ϕp∨ψp is an elementary propositional function. Pp” (Whitehead y Russell, 1910, p. 97).


I, gramatica; grupos II y III, calculo; grupo IV, axiomas). A diferencia de lo queocurrıa en los Principia, Post asegura que el resto de proposiciones primitivas seobtiene aplicando las reglas II y III solamente a las del grupo IV.

Por otro lado, las proposiciones primitivas 1.1 y 1.11 de los Principia (que es-tipulaban que cualquier formula implicada por una proposicion o funcion proposi-cional aseverada tambien debıa estarlo) desaparecen del listado de axiomas de Post(1921). En realidad, una expresion como “anything implied by a true elementaryproposition is true” (Whitehead y Russell, 1910, p. 94) pertenece al metalenguaje,no al lenguaje objeto18. Es decir, se trata de una manera de asegurar que no ob-tendremos, deductivamente, proposiciones no aseveradas, lo cual es un resultadosobre el sistema formal, no un teorema del sistema. Aunque esta distincion entreteoremas y metateoremas no se encuentra en los Principia, Post sı es capaz deformularla:

We here wish to emphasize that the theorems of this paper areabout the logic of propositions, but are not included therein. Moreparticularly, whereas the propositions of Principia are particular as-sertions introduced for their interest and usefulness in later portionsof the work, those of the present paper are about the set of all suchpossible assertions (Post, 1921, p. 265).

Ası, es evidente que el propio Post era consciente de la diferencia con losPrincipia en esta cuestion. El atribuye su punto de vista (que, como vimos, es“puramente formal”) a Lewis (1918). En el proximo apartado, estudiaremos lacrıtica de este autor a Whitehead y Russell (1910), conectandolo con la “estrategiasintactica” que motivo el metodo de tablas de verdad de Post y el descubrimientode su Teorema Fundamental.

2.3. La “concepcion heterodoxa” de la logica y las ma-tematicas: Lewis

En una nota al pie, Post Post (1921, p. 266) admite que el punto de vista que elha adoptado es el de Lewis (1918), quien denominaba a su enfoque “concepcionheterodoxa” de la logica y las matematicas. Esta concepcion es, en mi opinion, unclaro ejemplo de esa actitud recelosa ante los significados que veıamos mas arriba.Pues, en efecto, Lewis define el concepto de “sistema matematico” de la siguientemanera:

A mathematical system is any set of strings of recognizable marksin which some of the strings are taken initially and the remainder

18“When we investigate the language of a formalized deductive science, we must always distin-guish clearly between the language about which we speak and the language in which we speak”(Tarski, 1933, p. 167).

2.3. La “concepcion heterodoxa” de la logica y las matematicas: Lewis 25

derived from these by operations performed according to rules whichare independent of any meaning assigned to the marks (Lewis, 1918,p. 355).

Esto es, un sistema formal no serıa sino un conjunto de signos reconocibles quepodemos manipular de acuerdo con ciertas reglas, pero esa manipulacion es siem-pre independiente de cualquier significado asignado a dichos signos. Este punto devista sobre la naturaleza de la logica y las matematicas, cercano al formalismo19,debe confrontarse con el de Whitehead y Russell (1910). Lewis (1918, p. 354) lla-maba “concepcion ortodoxa” de la logica al enfoque filosofico de los Principia ylo criticaba duramente. El primer argumento de Lewis contra esta “concepcion or-todoxa” pone de manifiesto los compromisos metafısicos de Whitehead y Russell(1910). Para Lewis, las cuestiones acerca de la existencia de las clases, la jerar-quıa de tipos o las descripciones definidas tienen tan poco de matematicas comola pregunta por la existencia de los fenomenos empıricos. Por tanto, este tipo deconceptos no son parte de nuestros sistemas formales; las matematicas solo tratancon secuencias de signos. “Whatever the mathematician has in his mind when hedevelops a system, what he does is to set down certain marks and proceed to ma-nipulate them in ways which are capable of the above description” (Lewis, 1918,p. 356).

El segundo argumento rechaza que las denotaciones jueguen algun papel enlogica. La cuestion del significado logico de nuestros signos, o de su referenteen el mundo externo, deberıa verse como una posible aplicacion del simbolismoy no como algo interno al mismo. No obstante, en este punto Lewis no fue deltodo justo con la filosofıa de las matematicas de Russell, porque en Principlesof Mathematics (quince anos antes) el ya distinguıa entre “matematica pura” yciencias experimentales:

What pure mathematics asserts is merely that the Euclidean pro-positions follow from the Euclidean axioms –i.e. it asserts an impli-cation [...] Thus, as dealt with in pure mathematics, the Euclidean andnon-Euclidean Geometries are equally true: in each nothing is affir-med except implications. All propositions as to what actually exists,like the space we live in, belong to experimental or empirical science,not to mathematics (Russell, 1903, p. 5).

Por otro lado, y de nuevo contra Whitehead y Russell (1910), Lewis (1918, p.358) afirma que no hay ideas primitivas en logica. Las proposiciones primitivas

19Considerse el siguiente texto de Kleene como ejemplo de enfoque “formalista” en logica:“La teorıa no es ya un sistema de proposiciones con pleno significado, sino de sentencias consi-

deradas como secuencias de palabras, que son a su vez secuencias de letras. Por la sola referenciaa la forma indicamos que combinaciones de palabras son sentencias, que sentencias son axiomas yque sentencias se siguen como consecuencias inmediatas de otras” (Kleene, 1974, p. 63).


1.2-1.6 de los Principia se construyen por medio de ideas primitivas20 como lasde “negacion”, “disyuncion” o “aseveracion”. Lewis considera que en logica nodebemos asumir nada como verdadero o aseverado; la disyuncion y la negacion sonmeras operaciones que transforman secuencias de signos en (nuevas) secuenciasde signos. En tanto que no se asignara ningun significado a estas secuencias designos, no puede decirse de ellas que sean verdaderas o falsas21. La esencia de la“concepcion heterodoxa” de las matematicas y la logica es, por tanto, la de unasmatematicas sin significado:

The distinctive feature of this definition lies in the fact that itregards mathematics as dealing, not with certain denoted things –numbers, triangles, etc.- nor with certain symbolized “concepts” or“meanings”, but solely with recognizable marks, and dealing withthem in such way that it is wholly independent of any question asto what the marks represent. This might be called the “external viewof mathematics” or “mathematics without meaning” (Lewis, 1918, p.355).

Como se puede advertir, esta incipiente separacion entre el lenguaje formal(entendido como una secuencia de signos) y su interpretacion (esto es, su signifi-cado) no implica la emergencia de una semantica independiente, pero sı la auto-nomıa de la sintaxis frente a los significados. No obstante, y como senala el propioLewis, “the meticulous avoidance of any reference to “meanings” would be a pie-ce of pedantry” (Lewis, 1918, p. 359). Lo realmente importante es, mas bien, quelas reglas y las operaciones de un sistema formal pretendidamente riguroso seandefinidas sin ninguna referencia a la verdad o a los significados22. De este modo,la proposicion primitiva 1.1 de los Principia (“anything implied by a true propo-sition is true”) no deberıa ser parte del sistema formal, lo cual explicarıa por quePost (1921) no la incluye –como tampoco incluye a la 1.11- en su conjunto deaxiomas.

De esta perspectiva “heterodoxa” se sigue que la principal tarea del matematicoes la de establecer reglas precisas de inferencia y obtener, aplicandolas, nuevassecuencias de signos a partir de las mas antiguas. Idealmente, las secuencias designos que buscamos generar deductivamente (o, dicho de otro modo, enumerarrecursivamente) podrıan ser clasificadas mediante un procedimiento algorıtmico:esta es la utilidad especıfica de las tablas de verdad. En tal caso, la logica no solo

20“Following Peano, we shall call the undefined ideas and the undemonstrated propositions pri-mitive ideas and primitive propositions respectively. The primitive ideas are explained by means ofdescriptions intended to point out to the reader what is meant” (Whitehead y Russell, 1910, p. 91).

21“Mathematics, so developed, achieves the utmost economy of assertion. Nothing is asserted.There are no primitive ideas. Since no meanings are given to the characters, the strings are neithertrue nor false. Nothing is assumed to be true” (Lewis, 1918, p. 360).

22“The important consideration is the fact that the operations of any abstract and really rigorousmathematical system are capable of formulation without any reference to truth or meanings” (Lewis,1918, pp. 359-60).

2.4. El Tractatus de Wittgenstein como crıtica a los Principia 27

es completa, sino tambien decidible23. De hecho, el propio Lewis parece esbozarla idea intuitiva de lo que es un procedimiento de decision:

A machine, or machine-like process, will start from something gi-ven, take steps of a determined nature, and render the result, whateverit is [...] Is not just this ingenuity in controlling the destination of sim-ple operations the peculiar skill which mathematics requires? (Lewis,1918, p. 360).

Ademas, Lewis (1918) cita en numerosas ocasiones los trabajos de Jevons yVenn, quienes habıan sido senalados por Post como precursores de sus tablas deverdad. El explica brevemente como Jevons habrıa desarrollado un metodo tediosode calcular las posibles combinaciones de n formulas (2n) basado en lo que elllamaba “alfabeto logico”. “Thus, for two elements, a and b, the “logical alphabet”consists of ab, a − b, −ab, and −a − b” (Lewis, 1918, p. 74). Es decir, para a y bcaben, exactamente, cuatro posibilidades (22): que a y b sean verdaderos; que a losea y b no; que lo sea b, pero a no; que ambos sean falsos. Habrıa que destacar, noobstante, que Jevons se inspiro en Boole (1854), cuya idea de la “expansion logicade funciones24” tambien es citada por Post como precedente de su tabla de verdad(Cf. Post (1921, p. 267, fn. 6)).

En la siguiente seccion, analizare si la estrategia sintactica y esa actitud recelo-sa ante los significados (ejemplificada por la concepcion heterodoxa de Lewis) seencuentra tambien en una obra que, de forma independiente a Post (1921), presentael metodo de tablas de verdad: el Tractatus de Wittgenstein.

2.4. El Tractatus de Wittgenstein como crıtica a los Prin-cipia

En Wittgenstein (1922), hay varias referencias directas a los Principia, ası co-mo algunas observaciones interesantes sobre la “sintaxis logica”. La primera pro-posicion al respecto, la 3.33, expresa la idea fundamental de Lewis (1918, 359-60)de que las reglas y operaciones de un sistema formal debıan formularse sin re-ferencia alguna a la verdad o a los significados. “It must be possible to establishlogical syntax without mentioning the meaning of a sign: only the description ofexpressions may be presupposed” (Wittgenstein, 1922, 3.33).

23Que una logica sea decidible significa que existe un algoritmo que determina, en tiempo finito,si una formula de su lenguaje pertenece o no al conjunto de formulas validas de dicha logica. Comosenalan Manzano y Alonso (2014), “in fact, from a computational point of view this property ofdecidability surpasses completeness”. Esta es la razon por la que (Alonso, 2013, p. 81) consideraque la completud de una logica que no es decidible es una suerte de second best (o “premio deconsolacion”).

24“The expansion of f(x) consists of two terms, x and 1 − x, multiplied by the coefficients f(1)and f(0) respectively. And the expansion of f(x, y) consists of the four terms xy, x(1−y), (1−x)y,and (1 − x)(1 − y), multiplied by the coefficients f(1,1), f(1,0), f(0,1), f(0,0)” (Boole, 1854,p. 75).


Y, al igual que Lewis (1918, pp. 354-56), Wittgenstein tambien critica a Russellpor haber mencionado los significados cuando introducıa ciertos recursos forma-les, y lo hace en la proposicion inmediatamente posterior, la 3.331. A continuacion,en la proposicion 3.334, se retoma la misma idea: “the rules of logical syntax mustgo without saying, once we know how each individual sign signifies” (Wittgens-tein, 1922, 3.334). Su tesis de que los significados no juegan ningun papel en elestablecimiento de la sintaxis logica pudo dar forma a su idea fundamental de quelas constantes logicas no representan nada25. En el mundo, dira Wittgenstein enla proposicion 4.0621, nada corresponde al signo ¬. En la proposicion 5.4, afirmaque, por esta razon, no hay “objetos logicos” ni “constantes logicas” en el sentidode Frege y Russell.

Por otro lado, para Wittgenstein las definiciones en un sistema formal no ex-presan nada sobre el significado de los signos. Ası, a = b quiere decir que el signo“a”, ya conocido, es sustituido por el signo “b”. La definicion es, desde este puntode vista, una regla sıgnica que no da ninguna informacion sobre lo definido. Se tra-tarıa, pues, de un recurso de la representacion, nada mas26 (Cf. Wittgenstein (1922,4.241-4.242)). Llevando este enfoque sintactico al extremo, Wittgenstein sostiene,en la proposicion 5.4611, que los signos logicos son meros signos de puntuacion.

Es este punto de vista, tan parecido al enfoque heterodoxo de Lewis (1918, p.355), el que dara lugar a las tablas de verdad que Wittgenstein presenta a partir dela proposicion 4.31. Los signos T y F representan lo mismo que los signos + y −en Post (1921), pero Wittgenstein los llama “posibilidades veritativas” (y represen-tan, naturalmente el “darse y no darse” de los estados de cosas). Las posibilidadesveritativas que hacen verdaderas una formula se denominan “fundamentos veri-tativos”, de tal modo que una contradiccion, por ejemplo, no tendrıa ningun fun-damento veritativo (Cf. Wittgenstein (1922, 5.101)). Aunque, a diferencia de Post(1921), Wittgenstein (1922) no prueba ningun resultado metalogico importante, sıhace algunas apreciaciones interesantes al hilo de sus tablas de verdad.

En particular, quisiera destacar la nocion de consecuencia que esta defendiendoWittgenstein en el Tractatus. Las proposiciones 5.11, 5.12, 5.121 y 5.122 explicancuando una formula p se sigue de otra, sea esta q. “The truth of a propositionp follows from the truth of another proposition q if all the truth-grounds of thelatter are truth-grounds of the former” (Wittgenstein 1922, 5.12). Es decir, p esconsecuencia de q si y solo si toda fila de la tabla de verdad que asigna T a qtambien asigna T a p. Esta es la definicion de “consecuencia tautologica27” y, sip es consecuencia tautologica de q, entonces p sera consecuencia logica de q. Enotras palabras, si los fundamentos veritativos de p estan incluidos en los de q, p sesigue de q (Cf. Wittgenstein (1922, 5.121)).

Otra similitud del Tractatus con Lewis (1918) es el rechazo a las ideas primiti-

25“My fundamental idea is that “logical constants” are not representatives; that there can be norepresentatives of the logic of facts” (Wittgenstein, 1922, 4.0312).

26“The identity-sign, therefore, is not an essential constituent of conceptual notation” (Wittgens-tein, 1922, 5.533).

27Cf. Barker-Plummer et al. (2011, p. 113).

2.4. El Tractatus de Wittgenstein como crıtica a los Principia 29

vas en logica. El hecho de que las ideas primitivas de “condicional”, “disyuncion”,“conjuncion” o “negacion” sean interdefinibles mostrarıa que, en el fondo, ningunade ellas es primitiva28. Pues, en su opinion, si la logica tiene conceptos fundamen-tales, estos debıan ser independientes entre sı (Cf. Wittgenstein (1922, 5.451)).Ademas, Wittgenstein tampoco acepta expresiones como “anything implied by atrue proposition is true” dentro del sistema formal. Recordemos que la alusion aexpresiones del lenguaje natural era algo habitual en los Principia. El modus po-nens, por ejemplo, no estaba escrito formalmente, sino que “if p is true, then if pimplies q, q is true. This is a true proposition, but [...] we cannot express the princi-ple symbolically” (Whitehead y Russell, 1910, p. 94). El uso del lenguaje naturalpara justificar reglas y operaciones del sistema desaparece completamente de Post(1921), y Wittgenstein es muy crıtico con ello:

The introduction of any new device into the symbolism of logicis necessarily a momentous event. In logic a new device should notbe introduced in brackets or in a footnote with what one might calla completely innocent air. (Thus in Russell and Whitehead’s Princi-pia Mathematica there occur definitions and primitive propositionsexpressed in words. Why this sudden appearance of words? It wouldrequiere a justification, but none is given, or could be given, since theprocedure is in fact illicit) (Wittgenstein, 1922, 5.452).

Finalmente, Wittgenstein cuestiona que Whitehead y Russell (1910) incluyan,entre sus proposiciones logicas, al Axioma de Reducibilidad29. En su opinion,habrıa que distinguir entre las proposiciones cuya “validez general” es esencial delas que son validas accidentalmente. Wittgenstein (1922, 6.1232) cree que, si elAxioma de Reducibilidad resulta ser verdadero, lo sera “por una feliz casualidad”,ya que podemos imaginar perfectamente un mundo donde dicho axioma fuera fal-so. En cambio, las proposiciones logicas (cuya “validez general” sı es esencial)no tienen nada que ver con la cuestion de como sea el mundo (Cf. Wittgenstein(1922, 6.1233). Wittgenstein confronta su enfoque con “the old conception of lo-gic” de una manera que, nuevamente, recuerda a Lewis Lewis (1918, p. 354). Esmas, lo que Wittgenstein explica a continuacion encaja con la perspectiva de las“matematicas sin significado” que proponıa el propio Lewis unos anos antes.

La idea de Wittgenstein es que, si conocemos la sintaxis logica de nuestrolenguaje formal, entonces ya estan dadas cuales son las proposiciones logicas delmismo (Cf. Wittgenstein (1922, 6.124)). Esta afirmacion es algo desconcertantepara el logico contemporaneo, porque las proposiciones logicas son tıpicamente

28“The interdefinability of Frege’s and Russell’s “primitive signs” of logic is enough to show thatthey are not primitive signs” (Wittgenstein, 1922, 5.42). Wittgenstein tambien parece rechazar laidea de que existen proposiciones primitivas, pues sostiene que “all propositions are of equal value”(Wittgenstein, 1922, 6.4).

29El Axioma de Reducibilidad garantizarıa que el orden 1 de proposiciones (las llamadas “predi-cativas”) son suficientes para producir todos los conjuntos, incluido el de los numeros reales. En unacarta a Henkin, Russell (1963) admitıa que siempre vio dicho axioma como un parche.


caracterizadas como las que son verdaderas en toda interpretacion. Para aclarar elpunto, considerese la siguiente cita del Tractatus:

One can calculate whether a proposition belongs to logic, by cal-culating the logical properties of the symbol. And this is what we dowhen we “prove” a logical proposition. For, without bothering aboutsense or meaning, we construct the logical proposition out of othersusing only rules that deal with signs (Wittgenstein, 1922, 6.126).

Esta cita es, en mi opinion, fundamental. Wittgenstein esta diciendo que existeun procedimiento para calcular, de manera puramente sintactica (o sea, sin refe-rencia alguna a los sentidos o los significados) si una proposicion pertenece o noa la logica30. No obstante, el no parece distinguir entre hacer una tabla de ver-dad y encontrar una prueba, pues parece asumir que la demostracion es un mediomecanico auxiliar mas para el reconocimiento de tautologıas. De este modo, ase-gura ambiguamente que, mediante la aplicacion de ciertas operaciones, se puedengenerar nuevas proposiciones logicas a partir de las que ya tenemos:

The proof of logical propositions consists in the following process:we produce them out of other logical propositions by successivelyapplying certain operations that always generate further tautologiesout of the initial ones. (And in fact only tautologies follow from atautology) (Wittgenstein, 1922, 6.126).

En resumen, creo que hay evidencia suficiente para considerar que la perspec-tiva de Wittgenstein en el Tractatus es tan sintactica como la de Lewis (1918) yPost (1921). Pues, como vimos mas arriba, “we construct the logical propositionout of others using only rules that deal with signs”. El significado de estos sig-nos no pertenece al sistema formal propiamente dicho y debe estar al margen decualquier definicion, regla u operacion introducida dentro del mismo. Las propo-siciones logicas se ponen de manifiesto calculando. “To produce or reveal necessi-ties previously unnoticed –this is the peculiar artistry of his [the mathematician’s]work” (Lewis, 1918, p. 360).

2.5. La estrategia sintactica y la escuela de Hilbert

En otro lugar31, vimos que el procedimiento de decision basado en formasnormales (disyuntiva y conjuntiva) era algo frecuente en la escuela de Hilbert.A partir de este metodo, Hilbert (1917) y Bernays (1918) lograron demostrar laPost completud de los axiomas 1-5 y, usando tambien correccion, que la logicaproposicional era completa. La pregunta es, pues, ¿cabrıa atribuir a la escuela de

30Recordemos que, para Post, “our most important theorem gives a uniform method for testingthe truth of any proposition of the system” Post (1921, p. 265).

31Cf. Aranda (2019a).

2.5. La estrategia sintactica y la escuela de Hilbert 31

Hilbert la “estrategia sintactica” de Lewis, Post y Wittgenstein? ¿Mostraron Hilberty Bernays ese recelo ante los significados?

El objetivo de Bernays (1918) era, precisamente, investigar el fragmento pro-posicional de los Principia desde el metodo axiomatico32, o sea, poniendo enfasisen las cuestiones de consistencia, independencia y completud del sistema formal.El principal resultado de su Habilitationsschrift fue mostrar que, mientras el cuar-to axioma de la logica proposicional era redundante (es decir, podıa obtenersedeductivamente a partir de los demas), el resto sı eran independientes entre sı. Ex-plicando los antecedentes de sus pruebas de independencia, Bernays cita, en laintroduccion, a Schroder (Cf. Bernays (1918, p. 233)).

Aunque, como senala Ewald (2013, 224), no esta muy claro cuanto de Schroderse habıa leıdo en la escuela de Hilbert, Bernays (1918, p. 233) se refiere explıci-tamente a una demostracion de Schroder “muy complicada” que habıa sido sim-plificada por el mismo. No obstante, la estrategia adoptada sigue siendo la misma.A este respecto, se cita el Vorlesungen uber die Algebra der Logik, la duodecimaseccion, donde podemos leer lo siguiente:

La independencia de la proposicion ϕ del grupo de proposicionesΓ solo puede ser mostrada sustituyendo ciertos objetos, aquellos alos que nos hemos referido, por otros objetos. En otras palabras, lossımbolos que representaban esos objetos reciben un nuevo significado,a la luz del cual las proposiciones son estudiadas en su aplicacion aun nuevo campo de estudio33 (Schroder, 1890, p. 288).

Como se advierte, una prueba de independencia no se puede llevar a cabo almargen de los significados. Se trata, en efecto, de interpretar la proposicion ϕ y elgrupo de proposiciones Γ en un sistema de objetos diferente a su modelo habitual,de tal forma que todas las proposiciones de Γ sean verdaderas y ϕ sea falsa. Ası,la demostracion de independencia de los axiomas de la logica proposicional quedetallan Hilbert y Ackermann (1928, pp. 837-38), inspirada34, por supuesto, en lade Bernays (1918), recurre a diferentes “sistemas de objetos”. Estas nuevas inter-pretaciones se basan, en su mayorıa, en aritmetica modular, por lo que los valoresde verdad de las formulas no seran 0 y 1, sino clases residuales.

Por esta razon, podemos concluir que para Hilbert y Bernays las interpretacio-nes de los signos desempenaban, al menos en el nivel de la metamatematica, un

32“With this, we have set up a system of axioms for logic. It should be emphasized that, as acharacteristic difference between this system and arithmetic, for all arising expressions only twovalues, 0 and 1, are considered. As for any other axiomatic system, questions about consistency,logical dependence and completeness can also arise” (Hilbert, 1917, p. 109).

33“Die Unabhangigkeit des Satzes ϕ von der Satzgruppe Γ nur darthun lassen, indem wir furgewisse Objekte, von denen hierin die Rede war, durchweg andere Objekte substituiren, m. a. W.Den Symbolen, welche uns diese Objekte darstellten, eine neue Bedeutung unterlegen, die beidenPartieen von Satzen in ihrer Anwendung auf ein weiteres Untersuchungsfeld studiren” (Schroder,1890, p. 288; la traduccion es mıa).

34Cf. Hilbert y Ackermann (1928, p. 837, fn. 1).


papel decisivo. Es cierto, no obstante, que ni Lewis (1918), ni Post (1921) ni Witt-genstein (1922) trataron de demostrar independencia. Pero, en lo que respecta a lacompletud, quizas esta actitud mas “receptiva” ante la semantica resulto diferen-cial. Lo que quiero decir (y esto son solo conjeturas) es que uno puede desatenderlos significados y lograr una clasificacion puramente sintactica de las verdadeslogicas cuando la logica es decidible. Pero, cuando la logica no lo es, ¿de quemanera puedo yo caracterizar ese conjunto de formulas destacadas? Unicamenteme queda apelar a las definiciones de tipo semantico (o sea, a las interpretacio-nes) y preguntarme si mi calculo me permite generar todas las formulas de eseconjunto35.

En su tesis doctoral, Post (1921) asegura que, en proximos trabajos, tratara deextender su metodo de tablas de verdad a fragmentos mas amplios de los Principia.“This general procedure might be extended to other portions of Principia, andwe hope at some future time to present the beginning of such an attempt” (Post,1921, pp. 265-66). Sin embargo, Post no logro su objetivo, ya que la logica deprimer orden no es decidible. De hecho, en 1941 el mismo escribira un artıculo(que no serıa aceptado para su publicacion) contando que ya intuıa este resultadoantes de que lo demostrara Church (Cf. Post (2004, pp. 340-41)). Esto muestralas limitaciones de la estrategia sintactica que siguieron el y Lewis, pues tampocoobtuvo ese “premio de consolacion” que habrıa sido la completud.

Por otro lado, Von Plato (2017, pp. 151-52) es bastante duro con la logica deWittgenstein en el Tractatus. La tesis de von Plato es que Wittgenstein tuvo mu-chas dificultades para entender el funcionamiento de los cuantificadores y criticaque extendiera el concepto de “tautologıa” a formulas cuantificadas de primer or-den36. La regla de generalizacion no esta presente en Wittgenstein (1922), perotampoco lo esta en ninguna de sus obras posteriores. Sin esta regla, introduci-da por primera vez en Frege (1967, seccion 11), no podemos hablar de logicade primer orden. Wittgenstein representara la generalizacion como un “productologico” (P (a) ∧ P (b) ∧ P (c) ∧ ...) y la particularizacion como una “suma logi-ca” (P (a) ∨ P (b) ∨ P (c) ∨ ...). Ası, en realidad Wittgenstein deposita demasia-da confianza en su metodo de tablas de verdad, presuponiendo que las formu-las de primer orden heredan su validez de las formulas proposicionales que, asu juicio, las constituyen. Aunque esta idea podrıa servirnos para formulas co-mo ∀xyzR(x, y, z) ∨ ¬∀xyzR(x, y, z), que pueden ser reducidas a p ∨ ¬p, ¿quehacemos con formulas validas de la forma ∀xyz(R(x, y, z) ∨ ¬R(x, y, z))?

Por tanto, parece que la estrategia sintactica no tuvo demasiado recorrido enlas decadas posteriores. Aunque el recelo hacia los significados ha seguido ahı (yprueba de ello es el texto de Church citado mas arriba), la irrupcion de la semanticaen la obra de Tarski permitio que la logica formal se consolidara tal y como laconocemos hoy.

35Cf. Alonso (2013, p. 81).36“The Principia made it clear that the notion of tautology does not extend to the quantifiers [...]

My conclusion is, unfortunately, that the impatient philosopher had never made it to page 130+ ofthe Principia!” (Von Plato, 2017, p. 151).

2.6. Conclusiones 33

2.6. Conclusiones

En este artıculo, hemos tratado de rastrear historicamente la creencia de que,aunque sirva como guıa de nuestras intuiciones logicas, la semantica carece delrigor que aportan la sintaxis y el calculo. Esta creencia tiene su origen en lo queAlonso (2013, p. 80) denomina “el principio de prioridad de la sintaxis” y en laestrategia que, de acuerdo con Manzano y Alonso (2014, p. 7), se habrıa adoptadoen logica durante la decada de 1920. Ası, se trataba de definir un criterio puramentesintactico para clasificar las proposiciones en las que son logicas y las que no. EnPost (1921), el metodo de tablas de verdad sirve a ese proposito y encontramos,ademas, cierto recelo hacia los significados, que se consideran ajenos al sistemaformal propiamente dicho.

De hecho, hay diferencias significativas entre Post (1921) y los Principia.Mientras que Whitehead y Russell (1910, p. 93) sostenıan que una funcion pro-posicional p pertenece a la logica syss puede ser aseverada a pesar de sus consti-tuyentes indeterminados, para Post (1921) p es una proposicion logica syss ası lodice su tabla de verdad (en este punto, Post y Wittgenstein se tocan). Expresionescomo “anything implied by a true proposition is true” dejan de considerarse pro-posiciones primitivas y hay una distincion clara entre los teoremas que se pruebandentro del sistema formal y los que se demuestran acerca del mismo. No en vano,Post (1921) prueba la completud y la correccion de la logica proposicional, algoque no esta formulado ni como problema a resolver en los Principia.

Estas diferencias responden a un cambio de enfoque motivado por lo que Lewis(1918, p. 354) llamaba la “concepcion heterodoxa” de la logica y las matematicas.Desde este punto de vista, un sistema formal no serıa mas que un conjunto desecuencias de signos que manipulamos de acuerdo con reglas sintacticas cuya for-mulacion no hace referencia alguna a la verdad o a los significados. Los parecidosentre la postura de Lewis y la de Wittgenstein (1922) son sorprendentes. Amboscritican que Whitehead y Russell (1910) incluyan explicaciones informales de lasreglas y operaciones del sistema como proposiciones primitivas, llegando a recha-zar, incluso, la propia idea de “proposicion primitiva” e “idea primitiva” en logica.Los significados son irrelevantes para la sintaxis logica, y esta sintaxis logica essuficiente para determinar cuales son las proposiciones logicas de un determinadolenguaje formal.

No obstante, esta “estrategia sintactica” no fue la unica adoptada. En la escue-la de Hilbert, la necesidad de encontrar pruebas de independencia abrio la puertaa los metodos de Schroder, basados en la idea moderna de “interpretacion” queBernays (1918) traslado exitosamente a los axiomas de la logica proposicional.Este concepto de interpretacion permite caracterizar las proposiciones logicas co-mo aquellas que son “validas”, lo cual tuvo que ser rigurosamente delimitado antesde probar la completud de la logica de primer orden (que no es decidible). La sim-ple trasposicion de la estrategia sintactica a la logica de primer orden fracaso, yaque, como es sabido, Post no logro extender su metodo mas alla del nivel propo-sicional. De hecho, parece que Wittgenstein no llego a vislumbrar la importancia


de los cuantificadores, pues habrıa sobreestimado la aplicabilidad de sus propiastablas de verdad.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido posible gracias a la beca FPU15/00830, concedida por elMinisterio de Educacion espanol.

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Wittgenstein, L. (1922). Tractatus logico-philosophicus. London: Kegan Paul.

On Classical Set-Compatibility

Luis Felipe Bartolo Alegre37

Abstract

In this paper, I generalise the logical concept of compatibility into a broader set-theoretical one. The basic idea is that two sets are incompatible if they produce at least one pair of opposite objects under some operation. I formalise opposition as an operation ′ ∶ E Ð→ E, where E is the set of opposable elements of our universe U, and I propose some models. From this, I define a relation C ∶ ℘U × ℘U × ℘U℘U, which has (mutual) logical compatibility as its more natural interpretation.

Keywords: consistency, paraconsistency, opposition, involution.

3.1. Opposition

That some set is compatible with another depends on whether they produce a pair of opposite objects. If we assume that any x is the opposite of its own opposite, an operation of opposition ′ ∶ E Ð→ E has to be involutory:

Axiom 3.1. x = x′′,

from where we obtain the following corollaries:

Corollary 3.2. If x′ = y′, then x = y.

Corollary 3.3. If x′ = y, then x = y′.

The first means that ′ is injective and, since ′ is its own inverse function, we can interpret 3.3 as saying that ′ is surjective, which establishes that ′ is bijective.

Intuitively, x′ denotes the opposite of x, i.e., an operation of opposition trans-forms an element of E into its opposite. Since it is not necessary that all elements

37Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Peru: [email protected]

37

38 Luis Bartolo – On Classical Set-Compatibility

8ra0Z0ZkZ7Z0Z0Zpop60Z0Z0Z0Z5Z0Z0Z0Z040Z0Z0Z0Z3ZqZ0Z0ZK20Z0Z0Z0Z1M0Z0Z0ZB

a b c d e f g h

Figure 3.1: The chess table.

of our universe U have an opposite, the domain of this operation is restricted to E,which is accordingly interpreted as the set of opposable elements of U.

These properties, however, are not sufficient for completely characterising theconcept of opposition. Some additional properties depend on the introduction ofother operations. In fact, there is room for debating whether some of these prop-erties are adequate or not. For example, we might say that the white bishop in h1(see figure 3.1) is opposed to the black rook in a8, but not the other way around.Following the same intuition, we can also state that this rook is opposed to thewhite knight in a1 (which is opposed to the black queen in b3?).

This understanding of the concept of opposition may be fairly considered mis-taken, but it shows to some extent that the properties of our formalisation dependon what notion of opposition are we trying to capture. However, I do not pretendto capture all possible senses of opposition in this short paper. In fact, I will adda further restriction to this concept by requiring that ′ be irreflexive, preventingevery x from being its own opposite:

Postulate 3.4. x ≠ x′.

3.2. Interpretations of ′

Several mathematical functions are relations of opposition. For example, clas-sical negation satisfies all the previous properties. Furthermore, if we take ourdomain U to be the set of wffs of a language, we have that E = U. If p and q arewffs, we may take p = q to mean that p and q have the same logical value.

The inverse operation of group theory is also an operation of opposition.This implies that the additive inverse (x′ ↦ −x) and the multiplicative inverse

3.3. The Relation C 39

(x′ ↦ 1/x) are operations of opposition in the relevant domains. Clearly, this alsoholds for the inverse operation of any model of group theory.

A remarkable interpretation is the absolute complement operation (A′ ↦AC)of set theory, which means that we can also have properties in the domain of ′.For example, if P is in the domain of ′, we may define P′ as the predicate inwhose extension are all x such that ¬Px; that is, the extension of P′ is the absolutecomplement of the set corresponding to the extension of P.

We can alternatively interpret P′ as the one antonymous property of P, whichis the one antonymous property of P′. The set of opposable elements would thenbe constituted only by properties that could appear in a pair of reverse antonymssuch as good/bad, beautiful/ugly, dark/bright, and the like.

In the first approach, if P stands for “x is transparent”, P′ would stand for“x is opaque”, since all non transparent things are opaque (assuming our universeconsists of normal-sized physical objects). In the second approach, if P stands for“x is dark”, P′ could stand for “x is bright”.

3.3. The Relation C

Classical compatibility can be defined from opposition as a three-place relationC ∶ ℘U × ℘U × ℘U℘U satisfying:38

Definition 3.5. C(A,B)∗ iff x,x′ ∈ (A ∪B)∗, for no x.

The expression C(A,B)∗ is read “A is compatible with B with respect to ∗,”or “A is ∗-compatible with B,” where A,B ∈ ℘U and ∗ ∈ ℘U℘U. Accordingly,we say that A is ∗-incompatible with B iff not C(A,B)∗. The relation C is sym-metric in the sense that:

Theorem 3.6. C(A,B)∗ iff C(B,A)∗, for all A,B and ∗.

However, C is no equivalence relation since it is neither reflexive nor transi-tive. For example, if ∗ was a closure operation, it could not be reflexive sinceC(x,x′,x,x′)∗ never holds. Nor can it be transitive because even when bothC(a,b)∗ and C(b,a′)∗ hold, C(a,a′)∗ does not.

3.4. Interpretations of C

The most natural interpretation of C is given in the context of logic and isrelated to the concept of consistency. We often say that a set of sentences is con-sistent iff it does not imply any pair of mutually contradictory statements.

Definition 3.7. A is consistent with respect to (the consequence relation) ⊢ iffthere is no α for which both A ⊢ α and A ⊢ ¬α, and inconsistent otherwise.

38Remember that Y X is the set of all functions from X to Y . Hence, ℘U℘U is the set of allfunctions from and to sets of U.


Considering that A⊢ = α ∣ A ⊢ α, this definition is equivalent to:

Definition 3.8. A is consistent with respect to ⊢ iff α,¬α ∈ A⊢ holds for no α,and inconsistent otherwise.

This put us one step away from our logical interpretation of C, which can bedone from the concept of mutual consistency.

Definition 3.9. A and B are mutually consistent with respect to ⊢ iff α,¬α ∈(A ∪B)⊢ holds for no α, and mutually inconsistent otherwise.

Now, for our interpretation we take U to be the set of statements or proposi-tions of a formal language, the function ′, the operation of logical negation, and ∗,a relation of logical consequence (⊢∶ ℘U Ð→ U). From this, it follows that twosets of sentences A and B are compatible iff there is no α such that A ∪B ⊢ αand A ∪B ⊢ ¬α. That is, in order for two sets of sentences to be consistent, it isnecessary that the set of their logical consequences be consistent too.

Let us compare this definition with that of Batens and Meheus (2000). Al-though they initially define compatibility as a relation between sentences and setsof sentences, they clarify in their footnote 1 that it is a symmetric relation. The fol-lowing definition sufficiently captures their syntactic definition of compatibility.

Definition 3.10. D(A,B)⊢ iff, for all α, A ⊢ α implies B ⊬ ¬α.

If ⊢ is monotone, then any pair of sets in the extension of C is also in theextension of D.

Theorem 3.11. If C(A,B)⊢, then D(A,B)⊢.

Proof. Assume C(A,B)⊢ and let A ⊢ α. Since ⊢ is monotone, it followsthat A ∪B ⊢ α. By the same property, it would follow from B ⊢ ¬αthat A ∪B ⊢ ¬α, which is forbidden by C(A,B)⊢. Hence, B ⊬ ¬α. ◻

The converse follows if ⊢ is a classical relation, in which case it follows that itis monotone and satisfies the compactness theorem.

Theorem 3.12. If D(A,B)⊢, then C(A,B)⊢.

Proof. We assume D(A,B)⊢ and suppose for reductio that (A ∪B)⊢ is incon-sistent. In that case, the compactness theorem guarantees that (A ∪ B)⊢ has aninconsistent subset. Since ⊢ is classical, A⊢ is consistent, otherwise A wouldimply all formulae, including the negations of tautologies, and since B implies alltautologies, this would mean that not D(A,B)⊢. We can prove that B is consistentin a similar way. Hence, in order for (A ∪B)⊢ to be inconsistent it is necessarythat some α be such that A ⊢ α and B ⊢ ¬α, which is forbidden by D(A,B)⊢. ◻

3.5. Limitations of Classical Set-Compatibility 41

This proves that (classical) logical compatibility, as defined by Batens andMeheus, is a model of C. Let us now turn to other interpretations.

In another interpretation, we may speak about incompatible sets of entitieswhen U is interpreted as the set of all (conceivable) entities. One way to showthis is through answering the question triggering the irresistible force paradox, i.e.what happens when an unstoppable force meets an immovable object? Let M standfor the relation “x can move y”. An immovable object can be then characterisedas any y satisfying ∀x(¬xMy). An unstoppable force is instead an object that canmove any object that encounters; that is, an x satisfying ∀y(xMy).

Now, is it possible that an unstoppable force and an immovable object thusdefined can exist in the same possible world? Unless we dismiss the principleof non contradiction, the answer is clearly no. Otherwise, if there were an object,say a, such that ∀y(aMy), and another b such that ∀x(¬xMb), it would follow thatboth aMb and ¬aMb. In this sense, we can say that the opposite of an immovableobject is an unstoppable force, which makes mutually incompatible any two setsthat can produce both.39

For our last interpretation, it is possible to state that two sets of properties arecompatible or incompatible for a given entity. In order to do this we can treatentities as sets of properties: the properties that those entities have. This treat-ment corresponds to Russell’s conception of proper names, for whom “what wouldcommonly be called a ‘thing’ is nothing but a bundle of coexisting qualities suchas redness, hardness, etc.” (1995, p. 97, my emphasis). For example, if we let Bstand for “x is single” and M for “x is married”, we may say that B′ = M. Theproperties of being single and being married are in this sense incompatible, sinceall non married persons are single.

3.5. Limitations of Classical Set-Compatibility

It may be argued that against this proposal that C fails to be reflexive, when itshould be so. After all, how can a set be incompatible with itself? Let us notice,though, that C(A,A)∗ only fails for those A such that x,x′ ∈A∗, for some x.

Corollary 3.13. C(A,A)∗ iff x,x′ ∈A∗, for no x.

In this framework we can state that all sets that are incompatible with them-selves are unacceptable or inconceivable, depending on the kind of incompatibilitywe are talking about. What is more, the existence of self-incompatible sets wouldbe a feature of this proposal in that it would be a formal way to characterise suchunacceptable and inconceivable sets.

A more important limitation of this approach is that it would make it impossi-ble to analyse (in)compatibility between inconsistent sets. For example, if we had

39The core of this solution was proposed by Isaac Asimov in his Book of Facts: “The rules ofthe game of reason say the question is meaningless and requires no answer. The question: ‘Whatwould happen if an irresistible force met an immovable body?’ In a universe where one of the aboveconditions exists, by definition the other cannot exist” (1979, p. 281).


an inconsistent (though non trivial) theory T, we would have to conclude that allsets of observation statements (consistent or otherwise) are incompatible with T.This would result in T being a priori false instead of falsifiable, which does notneed to be the case as I show in Bartolo Alegre (2019).

As it happens, this situation can be corrected for if we stick Batens’ andMeheus’ definition. In such case, though, compatibility could not be a symmet-ric relation, as they want it. One such theory of para-compatibility is a topic foranother paper.

Acknowledgments

This article is part of the project “The testing of inconsistent non-trivial theo-ries”, funded by the Peruvian Society for Epistemology and Logic.

Bibliography

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Russell, B. (1995). An Inquiry into Meaning and Truth. Routledge, London.

Una introduccion a laequivalencia definicional y a laMorita-equivalencia en la logicamultivariada de primer orden

Jose Javier Gonzalez Lopez40

Resumen

Este artıculo presenta las diferencias existentes entre los conceptos de equiva-lencia definicional y Morita-equivalencia entre teorıas frente al de equivalencialogica tambien entre teorıas, todos ellos en una Logica multivariada de primerorden. Para llegar a esto, la primera parte del texto se centra en explicar condetenimiento los conceptos de signatura, estructura y semantica usual que nosencontramos en esta logica. Todos ellos aplicados nos crean el marco adecuadopara presentar y mejorar la definicion tanto de la equivalencia definicional, comode la Morita-equivalencia entre dos teorıas con respecto a los artıculos que ya lohabıan hecho y que aparecen en la bibliografıa.

Palabras clave: logica, equivalencia logica, signatura, primer orden.

40Universidad de Salamanca, Espana, [email protected], beneficiario de un contrato predocto-ral por la Universidad de Salamanca y cofinanciado por el Banco Santander.

43

44 Jose Javier Gonzalez – Una introduccion a la equivalencia . . .

An introduction to definitional equivalence andMorita-equivalence in the Many-Sorted First Order Logic

Abstract

In this article we introduce the differences between the concepts of definitionalequivalence and Morita-equivalence between theories, and the concept of logicalequivalence between theories too, all of them under the Many-Sorted FirstOrder Logic. In order to achieve this, in the first half of this text we focus onexplaining the concepts of signature, structure and usual semantic we found inthis logic. Next, we apply of these concepts to create the appropiate frameworkin order to present and improve the definitions of definitional equivalence andMorita-equivalence between theories regarding the articles that have already dealtwith them before and that appear in our bibliography.

Keywords: logic, logical equivalence, signature, first order.

4.1. Logica multivariada de primer orden

Para poder definir de forma precisa los conceptos que dan tıtulo a este texto,necesitamos previamente presentar de forma precisa la logica en que se enmar-ca: la Logica multivariada de primer orden. Empezaremos por las signaturas queclasifican a las estructuras y llegaremos a la semantica.

4.1.1. Signaturas

Definicion 1. Definimos signatura Σ como una 3-tupla41

Σ = ⟨Sort, Oper.Sym, Rank⟩

donde ninguno de sus componentes son urelementos42 y donde cada uno de suscomponentes sera de la siguiente manera:

Sort es un conjunto, finito o numerable, de sımbolos cuya labor sera la deindexar los universos sobre los que trabajaremos. Exigiremos que 0 sea ele-mento de Sort y este indexara al universo de valores de verdad de cadauno de las estructuras que consideraremos mas adelante. Por otro lado, paraindexar al universo union de todos los demas universos, incluiremos el ındi-ce η. Por ultimo, para garantizar la existencia de otro universo, al menos,constituido de elementos, exigiremos la existencia de otro elemento en Sortaparte de 0 y η.

41Generalizacion a 3 elementos del concepto de par ordenado.42Elementos de un conjunto que no son conjuntos a su vez.

4.1. Logica multivariada de primer orden 45

Oper.Sym es un conjunto, finito o numerable, de sımbolos operacionales.Es decir, sımbolos cuyo destino es el de ser funciones, relatores o cons-tantes no logicas para con los universos de estructuras. A diferencia de lotratado en Manzano (1996, 229), anadimos explıcitamente este conjunto acualquier signatura en una posicion anterior a la funcion Rank, que a con-tinuacion presentamos y que da naturaleza a cada uno de sus elementos, yaque Oper.Sym es el dominio de dicha funcion.

Rank es una funcion con dominio en Oper.Sym y con rango contenido enel conjunto Sω[Sort ∖ η], union del conjunto de todas las tuplas finitas deelementos de Sort, excepto el η que mas adelante detallaremos,

Rank ∶ Oper.SymÐ→ Sω[Sort ∖ η]

Esta funcion otorga rango a cada sımbolo operacional de Oper.Sym, ya seacomo functor, relator o constante no logica.

Para esta logica multivariada de primer orden que estamos presentando, hemostomado como referencia principal Manzano (1996, Capıtulo 6). Ademas, hemosintroducido ciertas novedades o diferencias con respecto a este texto. La primera,que ya hemos presentado, es la de tomar como 3-tupla cualquier signatura Σ. Enprimer lugar, en Halvorson (2019),Barrett y Halvorson (2016), Barrett y Halvorson(2017) y Mceldowney (2019) se toman las signaturas simplemente como conjuntosde sımbolos; nosotros, en cambio, diferenciamos de partida los sımbolos que vandestinados a indexar universos, formando el conjunto Sort, y los destinados a serfunciones, relaciones o constantes no logicas, formando el conjunto Oper.Sym.Esa naturaleza de tupla de la signatura nos permite tener ordenados los sımbolos yes sumamente util cuando nos encontramos con una cantidad grande de universosy sımbolos operacionales. Por ultimo, al igual que en Manzano (1996, Capıtulo 6)incluimos la funcion Rank en nuestras signaturas.

Definicion 2. En este punto podemos hablar de las Σ-interpretacion ρΣ de cadaρ ∈ Oper.Sym. Estas interpretaciones seran de relatores, functores o constantesno logicas.

Veamoslo en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1. Dada la signatura

Σ = ⟨0, σ1, σ2, σ3 ,ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 ,Rank⟩

con Rank(ρ1) =< 0, σ1 >, Rank(ρ2) =< 0, σ1, σ2 >, Rank(ρ3) =< σ1, σ2, σ3 >y Rank(ρ4) =< σ3 > las Σ-interpretaciones de los sımbolos operacionales pre-sentes, ρΣ

1 , ρΣ2 , ρΣ

3 y ρΣ4 los sımbolos operacionales se comportaran de la misma

manera en cualquier sistema de signatura Σ :

ρΣ1 es un relator monario sobre el universo de ındice σ1 de cualquier sistema

dado.


ρΣ2 es un relator binario sobre los universos de ındices σ1 y σ2 .

ρΣ3 es un functor con dominio en el producto cartesiano de los universos de

ındices σ2 y σ3 e imagen en el universo de ındice σ1.

ρΣ4 es una constante no logica perteneciente al universo de ındice σ3.

Un concepto que resultara fundamental para las secciones siguientes es el si-guiente:

Definicion 3. Dadas dos signaturas


Σ+ = ⟨Sort+, Oper.Sym+, Rank+⟩decimos que Σ es subsignatura de Σ+ (o Σ+ extension de Σ), lo cual denotamospor Σ ⊆ Σ+, si ocurre al menos una de las siguientes:

Sort ⊂ Sort+

Oper.Sym ⊂ Oper.Sym+

y ademas queRank+ Oper.Sym= Rank

y queRank(Oper.Sym) ⊆ Rank+(Oper.Sym+)

Ejemplo 2. Continuando con el ejemplo justo anterior 1, para la signatura

Σ = ⟨0, σ1, σ2, σ3 ,ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 ,Rank⟩

con Rank(ρ1) =< 0, σ1 >, Rank(ρ2) =< 0, σ1, σ2 >, Rank(ρ3) =< σ1, σ2, σ3 > yRank(ρ4) =< σ3 >, una subsignatura suya serıa, por ejemplo,

Σ− = ⟨0, σ1, σ3 ,ρ1, ρ4 ,Rank−⟩

con Rank−(ρ1) =< 0, σ1 > y Rank−(ρ4) =< σ3 >

4.1.2. Estructuras

Definicion 4. Una Σ-estructura, o estructura de signatura Σ, sera una tupla dela forma

A = ⟨⟨Aσ⟩σ∈Sort , ⟨ρA⟩ρ∈Oper.Sym⟩

donde:

⟨Aσ⟩σ∈Sort es la tupla de universos a la que exigiremos que:

• A0 ∶= V,F sea conjunto de valores de verdad.


• Aσ ≠ ∅ para todo σ ∈ Sort.• Aη ∶= ⋃σ≠0Aσ

• Aσ1 ∩Aσ2 = ∅ para cualesquiera σ1, σ2 ∈ Sort ∖ η

Si Rank(ρ) = ⟨σj0 , σj1 , . . . , σjm⟩, tendremos que la interpretacion delsımbolo operacional ρ ∈ Oper.Sym enA, ρA, sera una funcion de la forma:

ρA ∶ Aσj1 × . . . ×Aσjm Ð→ Aσj0

Cuando j0 = 0 ocurrira que Rank(ρ) = ⟨0, σj1 , . . . , σjm⟩ y, ası, ρA serauna relacion m-aria

ρA ∶ Aσj1 × . . . ×Aσjm Ð→ A0

que ademas, podremos identificar con el conjunto:

(aσj1 , . . . , aσjm) ∈ Aσj1 × . . . ×Aσjm ∶ R(aσj1 , . . . , aσjm ) = T

Si Rank(ρ) = ⟨σj⟩, tendremos que ρA sera una constante no logica de talmanera que ρA ∈ Aσj .

Ası, dado cualquier ρ ∈ Oper.Sym, quedan diferenciados, de forma clara, dosconceptos distintos :

La Σ-interpretacion ρΣ como sımbolo operacional interpretado bajo una sig-natura Σ siendo functor, relator o constante no logica, que nos dice exacta-mente sobre que universos de cualquier Σ-estructura actuara, y de que ma-nera. Para referirnos a ellos no hara falta referirnos a ninguna Σ-estructuraen concreto.

ρA, siendo A una Σ-estructura, que sera una funcion, una relacion o unaconstante no logica sobre unos universos ⟨Aσ⟩σ∈Sort.

Ejemplo 3. Volvamos sobre lo presentado en el ejemplo 1. Bajo la signatura

Σ = ⟨0, σ1, σ2, σ3, η ,ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 ,Rank⟩

con Rank(ρ1) =< 0, σ1 >, Rank(ρ2) =< 0, σ1, σ2 >, Rank(ρ3) =< σ1, σ2, σ3 > yRank(ρ4) =< σ3 > tendremos que cualquier Σ-estructura sera de la forma

A = ⟨⟨A0,Aσ1 ,Aσ2 ,Aσ3 ,Aη⟩ , ⟨ρA1 , ρA2 , ρA3 , ρA4 ⟩⟩

con

A0 = T,F

Aeta = Aσ1 ∪Aσ2 ∪Aσ3


ρA1 ∶ Aσ1 Ð→ Aσ0 un relator monario que se puede identificar con el sub-conjunto

aσ1 ∈ Aσ1 ∶ ρA1 (aσ1) = T

ρA1 ∶ Aσ1 × Aσ1 Ð→ Aσ0 un relator binario que se puede identificar con elconjunto

(aσ1 , aσ2) ∈ Aσ1 ×Aσ2 ∶ ρA2 (aσ1 , aσ2) = T

ρA3 ∶ Aσ2 ×Aσ3 Ð→ Aσ1 una funcion.

ρA4 ∈ Aσ3 una constante no logica.

4.1.3. Alfabeto, expresiones, terminos y formulas

Definicion 5. Dada la signatura


definimos el Σ-alfabeto L como la clase que contiene:

a) Todos los elementos del conjunto

ϑ =⋃ϑσ ∶ σ ∈ Sort ∖ 0

donde cada ϑσ es un conjunto de variables tal que ∣ϑσ ∣ ≥ ∣Aσ ∣

b) Todos los sımbolos operacionales de Σ, es decir, todos los elementos deOper.Sym. Entre ellos destacamos el sımbolo de pertenencia ∈η entre dos ele-mentos del universo union Aη, de tal manera que,

∀xσ1∀xσ2 (xσ1 ∈η xσ2 ↔ xσ1 ∈ xσ2)

que nos permite bajar del metalenguaje el sımbolo propio de la teorıa de cojun-tos.

c) Los cuantificadores existencial ∃ y universal ∀.43

d) Los sımbolos de igualdad =σ para elementos de cada σ ∈ Sort. Si queremosafirmar que dos elementos de universos distintos son iguales utilizaremos elsımbolo de igualdad del universo union =η Ahora bien, salvo que queramos es-pecificarlo por la importancia de algun caso en particular utilizaremos siempreel sımbolo =.

Definicion 6. Fijado Σ-alfabeto L, el conjunto Exp(L) de expresiones, lo cons-truimos recursivamente de la siguiente manera:

43Se podrıa considerar un cuantificador existencial y un universal distinto para cada elementode Sort, ∃σ y ∀σ , pero consideraremos los mismos para todas las signaturas por economıa en ellenguaje.


a) Cada v ∈ ϑ sera una expresion

v ∈ Exp(L)

.

b) Para cada ρ ∈ Oper.Sym tal que Rank(ρ) = ⟨σjk⟩, tendremos que ρΣ ∈Exp(L).44

c) Para cada ρ ∈ Oper.Sym tal que Rank(ρ) = ⟨σj0 , σj1 , . . . , σjn⟩, n > 0,y para cada εj1 , εj2 , . . . εjn ∈ Exp(L) tales que Rank(εσj0 ) ≠ ⟨0⟩ parak ∈ 1, . . . , n, el resultado de aplicar estas ultimas a ρΣ sera tambien unaexpresion de L

ρΣεj1 . . . εjn ∈ Exp(L)

tal que Rank(ρΣεj1 . . . εjn) = ⟨i0⟩.

d) Para cada ε ∈ Exp(L) tal que Rank(ε) = 0 y para cada x ∈ ϑ, tendremos que

∃xε, ∀xε ∈ Exp(L)

y ademas Rank(∃xε) = Rank(∀xε) = ⟨0⟩.

Definicion 7. Podemos dividir, en este punto, las expresiones de un Σ-alfabetodado en dos conjuntos disjuntos: el de sus terminos y el de sus formulas:

Form(L) ∶= ε ∈ Exp(L) ∶ Rank(ε) = ⟨0⟩

Term(L) ∶= ε− ∈ Exp(L) ∶ Rank(ε) ≠ ⟨0⟩

Los terminos no iran acompanados, como veremos en la seccion siguiente de-dicada a la semantica4.1.4, de un valor de verdad sobre ellos, mientras que lasformulas sı seran verdaderas o falsas (en nuestro caso de solo dos valores de ver-dad) bajo una interpretacion dada.

Nota 1. Como hemos notado en esta definicion del conjunto Exp(L), hemos co-metido un abuso al dar imagen en Rank a expresiones mas alla del conjunto desımbolos operacionales Oper.Sym. Por tanto, a partir de ahora consideraremosRank de la siguiente manera:

Rank ∶ Oper.Sym ∪Exp(L)Ð→ Sω[Sort ∖ η]44En Manzano (1996), no se consideran como expresiones a las constantes no logicas, nosotros,

en cambio, como ya estan interpretadas bajo una signatura sigma, ρΣ, sı las consideraremos dentrode un alfabeto L definido bajo la misma signatura Σ que estas.


4.1.4. Semantica

Mas alla de considerar cada expresion de nuestro Σ-alfabeto, ¿que interpreta-cion o sentido semantico recibira cada una dentro del marco de una Σ-estructuracualquiera?, es decir, ¿cual sera su significado bajo un determinada Σ-estructura?Veamoslo:

Definicion 8. Dada una Σ-estructura

A = ⟨⟨Aσ⟩σ∈Sort ⟨ρA⟩ρ∈Oper.Sym⟩

llamamos asignacion sobre la estructura A a una aplicacion

MA ∶ ⋃σ∈Sort

ϑσ Ð→ ⋃σ∈Sort

Aσ

para la que siempre MA (ϑσ) ⊆ Aσ para cada σ ∈ Sort.Estas asignaciones nos ayudaran a tratar y relacionar nuestras variables con lo queestas representen.

Definicion 9. Una Σ-interpretacion I sobre una Σ-estructura A es un par or-denado

I = ⟨A,MA⟩

donde MA es una asignacion cualquiera sobre A.Veamos ahora, recursivamente, como actua I = ⟨A,MA⟩ sobre Exp(L):

a) Para cada x ∈ ϑ tendremos que

I (x) ∶=MA(x)

b) Para cada ρ ∈ Oper.Sym tal que Rank(ρ) = ⟨σ⟩, ocurrira que

I (ρΣ) ∶= ρA ∈ Aσ

c) Para cada ρ ∈ Oper.Sym tal que Rank(ρ) = ⟨σi0 , σi1 , . . . , σin⟩ y para cadaεσi1 , . . . εσin ∈ Exp(L) tales que Rank(εσik ) = ⟨σik⟩ para todo k ∈ 1, . . . n,tendremos que

I (ρΣεσi1 . . . εσin) ∶= ρAI(εσi1 ) . . .I(εσin )

d) Dada la variable xσ ∈ ϑσ y un elemento aσ ∈ Aσ podemos definir la nuevaasignacion:

Maσxσ ∶=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

M(xξ) ∈ Aξ si ξ ≠ σ,aσ ∈ Aσ si ξ = σ

Ası, para cada ε ∈ Form(L) y xσ ∈ ϑσ tendremos que


I(∃xσεΣ) = T si y solo si aσ ∈ Aσ ∶ ⟨A, Maσxσ ⟩ (ε) = T ≠ ∅

I(∀xσεΣ) = T si y solo si aσ ∈ Aσ ∶ ⟨A, Maσxσ ⟩ (ε) = T = Aσ

Definicion 10. Un caso particular muy interesante de todos los expuestos en 9 esel las Σ-formulas (los elementos de Form(L)), ya que son las unicas expresionescuyas interpretaciones desembocan en el universo A0, de valores de verdad, de lainterpretacion I = ⟨A,MA⟩ escogida.

Ası, como para cada Σ-formula ϕ tenemos que

I(ϕ) ∈ A0 = T, F

y decimos que la Σ-interpretacion es un modelo para la Σ-formula ϕ si ocurreque

I(ϕ) = TDe la misma manera, la Σ-interpretacion es un modelo para un conjunto de

Σ-formulas Γ ∈ Form(L) cualquiera, si I es un modelo para toda ϕ ∈ Γ .Por ultimo, diremos que la Σ-formula ϕ es consecuencia semantica del con-

junto de Σ−formulas ΓΓ ⊧ ϕ

si cada modelo de Γ es tambien modelo de ϕ

Definicion 11. Definamos ahora, por recursion,

FreeV ar(Exp(L)) ∶= ⋃ε∈Exp(L)

FreeV ar(ε)

el conjunto de variables libres de todas las expresiones de un Σ-lenguaje L:

1. Para cada v ∈ ϑ tenemos que FreeV ar(x) = x

2. Para cada constante no logica ρΣ, Rank(ρ) = ⟨σ⟩, tenemos que

FreeV ar(ρΣ) = ∅

3. Para cada ρ ∈ Oper.Sym tal que Rank(ρ) = ⟨σi0 , σi1 , . . . , σin⟩ y pa-ra εi1 , εi2 , . . . εin ∈ Exp(L) tales que Rank(εik) ≠ ⟨0⟩ para todo k ∈1, . . . , n, tendremos que

FreeV ar (ρΣεi1 . . . εin) = FreeV ar(εi1) ∪ . . . ∪ FreeV ar(εin)

4. Para cada ε ∈ Form(L) y para cada x ∈ ϑ, tendremos que

FreeV ar (∃xσε) = FreeV ar (∀xσε) = FreeV ar(ε) ∖ xσ

Definicion 12. Decimos que una Σ-formula ϕ es una Σ-sentencia si no contienevariables libres, es decir,

FreeV ar(ϕΣ) = ∅Por otra parte, llamaremos Σ-teorıa a cualquier conjunto de Σ-sentencias.


4.2. El problema con la equivalencia logica

Esta seccion esta dedicada a enunciar el problema para el cual los concep-tos que expondremos en las siguientes secciones estan disenados para resolver. Elproblema surge a partir del concepto de equivalencia logica entre teorıas. Veamoseste:

Definicion 13. Dos teorıas cualesquiera Th1 y Th2 son logicamente equivalentes

Th1 ≅ Th2

si comparten todos sus modelos.

Este criterio parece el ideal para comparar el comportamiento de sentenciasde nuestra logica multivariada de primer orden conforme estas sean agrupadas deforma distinta en teorıas: bastarıa con estudiar sus modelos. Ahora bien, se nospresenta casi automaticamente un escollo:

Teorema 1. Compartir signatura es una propiedad necesaria para la equivalencialogica de dos teorıas.

Demostracion. Basta ver que dos teorıas no pueden tener los mismos modelos silas estructuras de estos tienen distinta signatura: tanto porque pueden tener distintacantidad de universos, distinta cantidad de sımbolos operacionales, o igual canti-dad de estos ultimos pero con distinto numero de funciones, relaciones o constan-tes no logicas. ◻

Ası, dada una signatura Σ cualquiera, solo podremos comparar los modelosde las Σ-teorıas que se nos presenten, pero no mucho mas alla. ¿Como podremosestudiar la relacion entre dos teorıas de distinta signatura? ¿Podran semanticamen-te contener la misma informacion o estar representando lo mimso? Eso es lo queintentaremos responder en todo lo que resta de este texto, haciendo presentes losconceptos de equivalencia definicional4.3 y Morita-equivalencia4.4.

4.3. Equivalencia definicional de dos teorıas

Visto que es necesario tener la misma signatura para una equivalencia logicaentre dos teorıas, buscaremos nociones de equivalencia mas laxas que permitan nocompartir signatura. Empezaremos por la de equivalencia definicional; pero antessera necesario introducir el concepto de definicion explıcita de un operador enfuncion de una subsignatura.

4.3.1. Definicion explıcita de un operador en terminos de una signa-tura

Dadas Σ un signatura, Σ+ una extension de Σ y ρ+ ∈ Oper.Sym+∖Oper.Sym.Una definicion explıcita de ρ+ en terminos de la subsignatura Σ45 sera:

45Este concepto esta basado en la definicion que aparece en (Hodges, 1993, 59)

4.3. Equivalencia definicional de dos teorıas 53

Si Rank+(ρ+) = ⟨0, σ1, . . . , σn⟩, una Σ+-sentencia de la forma

∀xσ1 . . .∀xσn (ρ+Σ+ (xσ1 , . . . , xσn)↔ φ(xσ1 , . . . , xσn))

donde φ es una cierta Σ-formula.

Si Rank+(ρ+) = ⟨σ0, σ1, . . . , σn⟩ con σ0 ∈ Sort+ ∖ Sort, una Σ+-sentenciade la forma

∀xσ1 . . .∀xσn∀yσ0 (ρ+Σ+ (xσ1 , . . . , xσn) = yσ0 ↔ φ(xσ1 , . . . , xσn , yσ0))

donde φ es una cierta Σ-formula que admite como parametro un elementoindexado por σ0.En particular, para este caso una condicion de admisibilidad46 de la defini-cion explıcita sera la Σ+-sentencia

∃xσ1 . . .∃xσn∃yσ0φ (xσ1 , . . . , xσn , xσ0)

Si Rank+(ρ+) = ⟨σk⟩, sera una Σ+-sentencia de la forma

∀xσk (xσk = ρ+Σ+ ↔ φ(xσk))

donde φ es una cierta Σ-formula.En particular, para este caso una condicion de admisibilidad de la definicionexplıcita sera la Σ+-sentencia

∃xσkφ(xσk)

De esta manera se consigue explicitar la naturaleza de un operador nuevo en fun-cion de una formula que solo necesita algunos elementos que ya tenıamos en lasubsignatura de la que se partıa: no estamos anadiendo semanticamente nada dis-tinto.

4.3.2. Extension definicional de una teorıa

Definicion 14. Dadas Σ ⊆ Σ+ dos signaturas, la primera subsignatura de la segun-da, y una Σ-teorıa Th, diremos que la Σ+-teorıa Th+ es una extension definicio-nal de Th hacia la signatura Σ+ si ocurre que

Th+ = Th ∪ δρ+ ∶ ρ+ ∈ Oper.Sym+ ∖Oper.Sym

donde

Cada δρ+ es una definicion explıtica de ρ+ en terminos de la subsignatura Σde la manera en que la hemos definido en 4.3.1.

46Una condicion necesaria.


Si αρ+ es una condicion de admisibilidad de ρ+ ocurre que

Th ⊧ αρ+

Ası, hemos logrado extender teorıas hacia otras en otra signatura extensionde la que partıamos, que solamente contienen definiciones de nuevos operadoresque, estrictamente, se pueden definir a partir de formulas que ya estaban en lasubsignatura origen.

4.3.3. Equivalencia definicional de dos teorıas

Definicion 15. Dadas Th1 y Th2 dos teorıas con signatura Σ1 y Σ2, respecti-vamente, decimos que son definicionalmente equivalentes si existe una ciertaΣ+-teorıa Th+ tal que Σ+ es, a la vez, una signatura extension de Σ1 y, ademas,Σ2 y Th+ es extension definicional de Th1 y Th2.

Ası, hemos encontrado otro criterio de equivalencia entre teorıas, que nos per-mite comparar teorıas con distinta signatura. Ahora bien, distinta signatura sı, perohan de compartir el mismo conjunto Sort de ındices para universos. ¿Como com-paramos, pues, teorıas con distintas tuplas de ındices para universos? Para resolveresta cuestion usaremos el concepto de Morita-equivalencia que desarrollamos enla siguiente seccion en la siguiente seccion.

4.4. Morita-equivalencia de dos teorıas

La Morita-equivalencia, a diferencia de la equivalencia definicional, ya vistaen 4.3, nos permite introducir tambien nuevos universos a traves de la ampliaciondel conjunto Sort de ındices para universos de una signatura Σ dada. En estaseccion no solo la vamos a introducir y a definir de una manera muy determinadaestos ındices, sino que vamos a definir un nuevo concepto de Morita-extension quecreemos mas conveniente al que aparece en Barrett y Halvorson (2016), Barrett yHalvorson (2017), Halvorson (2019) y Mceldowney (2019). Al verse modificadoeste ultimo concepto tambien lo hara implıcitamente el de Morita-equivalencia dedos teorıas.

4.4.1. Algunas formas de crear nuevos universos en una estructura

En este artıculo vamos a considerar las maneras que ya se han sopesado ante-riormente en artıculos como Barrett y Halvorson (2017, 5-6), Barrett y Halvorson(2016, 563-65), Mceldowney (2019, 6-7), para crear nuevos ındices que creen au-tomaticamente nuevos universos a partir de unos dados la subestructura que setome. Estas cuatro formas consisten en crear el ındice del universo producto car-tesiano de dos ya existentes, el ındice de un universo union disjunta de dos yaexistentes, del ındice de un universo subconjunto de un universo ya existente, y elındice para un universo conjunto cociente de un universo existente con respecto auna relacion de equivalencia. Veamoslos:

4.4. Morita-equivalencia de dos teorıas 55

Producto cartesiano

Dadas las signaturas


Σ+ = ⟨Sort+, Oper.Sym+, Rank+⟩tales que Σ ⊆ Σ+, y dados σ1, σ2 ∈ Sort, una sort-definicion de un σ ∈ Sort+ ∖Sort, a traves de µ1, µ2 ∈ Oper.Sym+ ∖ Oper.Sym, tales que Rank+(µj) =<σj , σ > con j ∈ 1,2 como producto en terminos de Σ es una Σ+-sentencia dela forma

δσ ∶= ∀xσ1∀xσ2∃!zσ (µ1(zσ) = xσ1 ∧ µ2(zσ) = xσ2)Ası, en una Σ+−estructura cualquieraA, habra un nuevo universo de ındice σ, quesera el producto cartesiano de los dos ya preexistentes de ındices σ1 y σ2

Aσ = Aσ1 ×Aσ2

De esta manera, los elementos de Aσ seran los aσ = ⟨aσ1,aσ2⟩ y las funciones µ1 y

µ2 seran las respectivas proyecciones

µk ∶ Aσ Ð→ Aσk⟨xσ1 , xσ2⟩z→ xσj

Unas de las definiciones explıcitas existentes de µ1 y µ2, conforme las definimosen 4.3.1, seran:

δµ1 = ∀xσ1∀xσ ((µ1(xσ) = xσ1)↔ ∃xσ2 (xσ =η ⟨xσ1 , xσ2⟩))

δµ2 = ∀xσ2∀xσ ((µ2(xσ) = xσ2)↔ ∃xσ1 (xσ =η ⟨xσ1 , xσ2⟩))

Coproducto o union disjunta



Σ+ = ⟨Sort+, Oper.Sym+, Rank+⟩tales que Σ ⊆ Σ+, y dados σ1, σ2 ∈ Sort, una sort-definicion de un nuevoσ ∈ Sort+ ∖ Sort, a traves de unos %1, %2 ∈ Oper.Sym+ ∖Oper.Sym, tales queRank+(%j) =< σ,σj > con j ∈ 1,2 como coproducto o union disjunta enterminos de Σ es una Σ+-sentencia de la forma

δσ = ∀zσ (∃!xσ1(%1(xσ1) = zσ) ∨ ∃!xσ2(%2(xσ2) = zσ))∧ ∀xσ1∀xσ2(%1(xσ1) ≠ %2(xσ2))


Ası, en una Σ+−estructura cualquieraA, habra un nuevo universo que sera la uniondisjunta de dos universos ya preexistentes

Aσ = Aσ19∪Aσ2

y las funciones %1 y %2 seran las respectivas inclusiones

%j ∶ Aσj Aσ

xσj z→ xσ

Unas de las posibles definiciones explıcitas de %1, %2, conforme las definimosen 4.3.1, seran:

δ%1 = ∀xσ1∀xσ (%1(xσ1) = xσ ↔ ((∀xσ2(xσ ≠η xσ2)) ∧ (xσ1 =η xσ)))

δ%2 = ∀xσ2∀xσ (%2(xσ2) = xσ ↔ ((∀xσ1(xσ ≠η xσ1)) ∧ (xσ2 =η xσ)))

Subuniverso



Σ+ = ⟨Sort+, Oper.Sym+, Rank+⟩

tales que Σ ⊆ Σ+, y dado σ0 ∈ Sort, una sort-definicion de un nuevo σ ∈ Sort+ ∖Sort a traves de la funcion i ∈ Oper.Sym+ ∖ Oper.Sym, tal que Rank+(i) =⟨σ0, σ⟩ como subuniverso o subsort en terminos de Σ es una Σ+-sentencia de laforma

δσ = ∀xσ0 (∃zσ(i(zσ) = xσ0 ↔ φ(xσ0)))∧ ∀z1σ∀z2σ (i(z1σ) = i(z2σ)→ z1σ = z2σ)

siendo φ una cierta Σ-formula.Ası, en una Σ+−estructura cualquiera A, habremos creado un nuevo universo Aσque sera el subconjunto conformado por los elementos de un universo preexistenteAσ0 que cumplan la formula φ

Aσ ⊆ Aσ0

La funcion i sera la inclusion del nuevo subuniverso

i ∶ Aσ Aσ0

xσ z→ i(xσ)


Una condicion de admisibilidad para la sort-definicion de σ como subsort enterminos de Σ, es la Σ-sentencia

∃xσ0φ(xσ0)Una de las posibles definiciones explıcitas de la funcion i, conforme definimos

este concepto en 4.3.1, sera la siguiente:

δi = ∀xσ0∀xσ (i(xσ) = xσ0 ↔ (p(xσ0) ∧ (xσ =η xσ0)))

Conjunto cociente


Σ = ⟨Sort, Oper.Sym, Rank⟩Σ+ = ⟨Sort+, Oper.Sym+, Rank+⟩

tales que Σ ⊆ Σ+, y dado σ0 ∈ Sort, una sort-definicion de un nuevo σ ∈ Sort+ ∖Sort a traves de la funcion π ∈ Oper.Sym+ ∖Oper.Sym, tal que Rank+(π) =<σ,σ0 >, como universo cociente o ındice cociente en terminos de Σ es una Σ+-sentencia de la forma

δσ = ∀x1σ0∀x2σ0

(π(x1σ0) = π(x2σ0

)↔ φ(x1σ0, x2σ0

))∧∀zσ∃xσ0 (π(xσ0) = zσ)siendo φ una cierta Σ-relacion de equivalencia.Ası, en una Σ+−estructura dada A, habremos creado un nuevo universo Aσ quesera conjunto cociente

Aσ = Aσ0/φPor la propia naturaleza de φ de Σ-relacion de equivalencia, reflexiva, simetrica

y transitiva, las condiciones de admisibilidad seran, respectivamente, las siguientesΣ-sentencias:

∀xσ0φ (xσ0 , xσ0)∀x1σ0

∀x2σ0(φ(x1σ0

, x2σ0)↔ φ(x2σ0

, x1σ0))

∀x1σ0∀x2σ0

∀x3σ0(φ(x1σ0

, x2σ0) ∧ φ(x2σ0

, x3σ0)→ φ(x1σ0

, x3σ0))

Las funcion π es la proyeccion del universo Aσ0 hacia el el nuevo universoconjunto cociente:

π ∶ Aσ0 Ð→ Aσ0/φxσ0 z→ [xσ0]

donde [xσ0] es la clase de equivalencia de xσ0 con respecto a la relacion deequivalencia φ.Por otro lado, una definicion explıcita de la proyeccion π, conforme las definimosen 4.3.1, sera, por ejemplo,

δπ = ∀xσ0∀x (π(xσ0) = xσ ↔ (∃yσ0φ(xσ0 , yσ0 ∧ (xσ0 ∈ xσ))))


4.4.2. Morita-extension de dos teorıas

Presentamos a continuacion nuestra definicion de Morita-extension:

Definicion 16. Dadas las signaturas


Σ+ = ⟨Sort+, Oper.Sym+, Rank+⟩

tales que Σ ⊆ Σ+ y dada una Σ-teorıa Th, una Σ+-teorıa Th+ tal que Th ⊂ Th+es una Morita-extension de Th hacia la signatura Σ+ si es de la forma

Th+ ∶= Th ∪ SD ∪ED

donde

a) El conjunto SD esta formado por sort-definiciones δσ+ , con σ+ ∈ Sort+∖Sort,construidas todas ellas de alguna de las cuatro maneras que hemos presentadoen 4.4.1.

b) El conjunto ED esta formado por definiciones explıcitas δρ+ de operadoresρ+ ∈ Oper.Sym+ ∖ Oper.Sym, construidas estrictamente de alguna de lasformas presentadas en 4.3.1, y que, ademas, no aparecen en ninguna de lassort-definiciones que forman SD

c) Si aσ+ es una condicion de admisibilidad para una sort-definicioin δσ+ ∈ SD,conforme la hemos visto en a, entonces ha de cumplirse que

Th ⊧ aσ+

d) Si aρ+ es una condicion de admisibilidad para una definicion explıcita δρ+ ∈ED, conforme la hemos visto en b, entonces ha de cumplirse que

Th ⊧ aρ+

4.4.3. El problema con las definiciones de Morita-extension ya exis-tentes

Tanto en los artıculos Barrett y Halvorson (2017, 6), Barrett y Halvorson (2016,564) y Mceldowney (2019, 7), como en el libro Halvorson (2019), se anade a ladefinicion de Morita-extension que ya hemos visto en 4.4.2 la siguiente condicion:

Si δσ+ es una sort definicion de σ+ ∈ Sort+ ∖ Sort, conforme definimos en4.4.1, y δρ+ una definicion explıcita, conforme quedo definida en 4.3.1, deun ρ+ ∈ Oper.Sym+ ∖ Oper.Sym que se utiliza dentro de δσ+ , entoncesocurre que

δσ+ = δρ+


En nuestra definicion de Morita-extension no hemos incluido esta condicionpor dos razones:

La notacion empleada, afirmando que δσ+ = δρ+ parece inducir a malenten-didos, ya que en varios de los ejemplos expuestos dichos escritos no parececumplirse una igualdad, como tal, entre sentencias. Ası, pensamos que, enrealidad, este signo de igualdad se referıa a la equivalencia logica de las dossentencias δσ+ y δρ+ ; pero esto tampoco parecıa ocurrir siempre. Finalmente,pensamos que se estaba simplemente indicando que se consideraban igualesla definicion explıcita δρ+ y la sort definicion δσ+ .

La definicion explıcita δρ+ ya esta omitida la definicion que aparece en lostextos de nuestra bibliografıa: nada nos impide probar una nueva definicionde Morita-extension (la que ya hemos enunciado en 4.4.2) y ver que ocurrıaen los ejemplos y casos practicos que se nos ocurrieran.

Ejemplo 4. Consideremos el ejemplo que aparece en Barrett y Halvorson (2016,565) en el que tenemos la siguiente signatura

Σ = ⟨⟨0, σ⟩ , ⟨p⟩ ,Rank⟩

dondeRank(p) = ⟨0, σ⟩

y una extension de esta

Σ+ = ⟨⟨0, σ, σ+⟩ , ⟨p, i⟩ ,Rank+⟩

dondeRank+(i) = ⟨σ,σ+⟩

Si tomamos la siguiente Σ−teorıa

Th ∶= ∃xσp(xσ)

y la definicion explıcita, δσ+ , de σ+ como subuniverso por medio de i, segun hemosvisto en 4.4.1,

δσ+ = ∀xσ (∃zσ+(iΣ+(zσ+) = xσ ↔ pΣ+(xσ)))∧

∀z1σ+∀z2σ+ (iΣ+(z1σ+ ) = iΣ+(z2σ+ )→ z1σ+ = z2σ+)

Por otra parte, tenemos que, segun vimos en 4.3.1, una definicion explıcita dei en funcion de Σ es una Σ+-formula

δi = ∀xσ∀zσ+ (iΣ+(zσ+) = xσ ↔ φ(xσ))

siendo φ una cierta Σ-formula.


Ası,Th+ = Th ∪ δσ+

es una Morita-extension de Th segun hemos definido en 4.4.2.Segun la definicion de Morita-extension que aparece en los textos de la biblio-

grafıa, habrıa de ocurrir queδi = δσ+

Esto es imposible por la naturaleza de Σ-formula de la formula φ situada dentrode δi.

Si tomamos una nueva signatura extension

Σ+ = ⟨⟨0, σ, σ+⟩ , ⟨p, q, i⟩ ,Rank+⟩

donde q ∈ Oper.Sym+ ∖Oper.Sym no apareciera de ninguna manera en δσ+ , sıtendrıamos que

Th+2 = Th ∪ δσ+ ∪ δqserıa tambien Morita-extension de Th.

4.4.4. Un teorıa semantico para con las Morita-extensiones

Definicion 17. Dadas una Σ-teorıa Th y una Σ+-teorıa Th+ extension definicionalo Morita de la primera, decimos que se trata de una extension conservativa si paracada Σ−sentencia δ ocurre que

Th ⊧ δ si y solo si Th+ ⊧ δ

Teorema 2. Cada Morita-extension es conservativa.

Demostracion. La demostracion se puede consultar en (Barrett y Halvorson, 2016,567). ◻

Ası pues, como cada extension definicional es, en particular, una Morita-extension que no anade ninguna sort-definicion, se nos presenta automaticamenteeste corolario:

Corolario 1. Cada extension definicional es conservativa.

4.4.5. Morita-equivalencia de dos teorıas

Al igual que consideramos el concepto de equivalencia definicional de dosteorıas en 4.3.3, en el que no era necesario compartir signatura para ser de-finicionalmente equivalente, tenemos el concepto analogo para con las Morita-extensiones:

Definicion 18. Sean Σ1 y Σ2 dos signaturas y Th1, Th2 dos Σ1 y Σ2-teorıas,respectivamente, cualesquiera. Th1 y Th2 seran Morita-equivalentes si existen:


Para un cierto n ∈ N, una sucesion (Σ1k)mk=1 de signaturas extension entre sı

de tal forma queΣ1 ⊆ Σ11 ⊆ . . . ⊆ Σ1m

y una sucesion (Th1k)mk=1 de Morita-extensiones consecutivas

Th1 ⊆ Th11 ⊆ . . . ⊆ Th1m

de tal forma que cada Th1k es una Σ1k -teorıa para todo k ∈ 1, . . . , n.

Para un cierto m ∈ N, una sucesion (Σ2h)nh=1 de signaturas extension entre

sı de tal forma queΣ2 ⊆ Σ21 ⊆ . . . ⊆ Σ2n

y una sucesion (Th1h)nh=1 de Morita-extensiones consecutivas

Th2 ⊆ Th21 ⊆ . . . ⊆ Th2n

de tal forma que cada Th2h es una Σ2h para todo h ∈ 1, . . . ,m.

y, ademas, la Σ1n-teorıas Th1m y la Σ2m-teorıas y Th2n , respectivamente, sonlogicamente equivalentes bajo una cierta signatura Σ para la que ocurre que Σ1n ∪Σ2m ⊆ Σ.

Nota 2. Conviene destacar en este punto la razon de incluir las sucesiones designaturas y las sucesiones de Moritas-extensiones en la definicion de Morita-equivalencia 18 ¿Por que no afirmar que dos teorıas son Morita-equivalentes siexiste una Morita-extension comun a las dos? Simplemente, porque ser Morita-extension no es una propiedad transitiva, como sı lo era ser definicionalmenteequivalente47. Es decir, si Th1 ⊆ Th2 ⊆ Th3 son dos Morita-extensiones, notiene por que serlo las teorıas Th1 y Th3 entre sı. De ahı la necesidad de con-siderar las sucesiones: dos teorıas Morita-equivalentes no tienen por que tener unaMorita-extension en comun. Veamoslo reflejado en el siguiente ejemplo adaptadode Barrett y Halvorson (2017):

47Precisamente por eso, en la definicion de equivalencia definicional no es necesario tomar lassucesiones que sı tomamos en la de Morita-equivalencia.


Ejemplo 5. Consideremos las siguientes tres signaturas:

Σ1 = ⟨0, σ1, η1 ,c ,Rank1⟩

con Rank1(c) = ⟨σ1⟩

Σ2 = ⟨0, σ1, σ2, η2 ,c, j ,Rank2⟩

con Rank2(c) = Rank1(c) y Rank2(j) = ⟨σ1, σ2⟩

Σ3 = ⟨0, σ1, σ2, η2 ,c, d, j ,Rank3⟩

con con Rank3(c) = Rank1(c), Rank3(j) = Rank2(j) y Rank3(d) = ⟨σ2⟩

y las siguientes Σ1, Σ2 y Σ3−teorıas:

Th1 = ∅

Th2 = (∀xσ1 (x = c↔ ∃xσ2(j(xσ2) = xσ1))) ∧ Iny(j)

Th3 = Th2 ∪ ∀xσ2 (xσ2 = d↔ j(xσ2) = c)

Ası

a) Th1 ⊆ Th2 es una Morita extension, ya que la unica sentencia de Th2 es unasort-definicion δ%2 por medio de la funcion j.

b) Th2 ⊆ Th3 es una Morita extension, ya que anade una unica sentencia δd quees definicion explıcita de d como constante no logica.

c) Th1 ⊆ Th3 no es una Morita-extension, ya que la formula

j(xσ2) = c

no es una Σ1−formula y, por tanto, la segunda sentencia de Th3 no es ningunadefinicion explıcita de d en terminos de Σ1.

Finalmente, queda mencionar que si tenemos en cuenta el teorema 2, quenos indica de que manera se mantiene el significado de las sentencias de lasteorıas en una Morita-extension, podemos concluir que dos teorıas que son Morita-equivalentes tienen la propiedad de desembocar, tomando varias veces Morita-extensiones, en una teorıa que las contiene como conjunto y que auna las propie-dades semanticas sobre cualquier formula de sendas teorıas originales.

4.5. Conclusion 63

4.5. Conclusion

Varias han sido las metas alcanzadas en este texto. En primer lugar, hemosaplicado la Logica multivariada de primer orden que aparece en Manzano (1996)para mejorar y hacer mas precisa la manipulacion de los conceptos de esta conel objeto de poder definir y clarificar los conceptos que nos han ocupado. Si bienhemos redisenado una pequena parte de la notacion, como, por ejemplo, hacer ladistincion de las grafıas de sımbolos operacionales, ρ, su interpretacion bajo unacierta signatura Σ, ρΣ, y su interpretacion en una Σ-estructura, ρA; o conside-rar las signatura como 3-tuplas y separar en las dos primeras posiciones de estaslos sımbolos destinados a indexar universos y los operacionales; hemos aplicado laLogica multivariada de primer orden conforme aparece en el libro Manzano (1996)y no conforme aparece en los artıculos Barrett y Halvorson (2016), Barrett y Hal-vorson (2017) y Mceldowney (2019). Otra de las metas alcanzadas es la de unasdefiniciones de Morita-extension y Morita-equivalencia acordes con los mismosejemplos que aparecen en los mismos artıculos de nuestra bibliografıa.Como trabajo futuro quedan, entre otros, el de la formalizacion de crear nuevostipos de sort-definiciones, aparte de los cuatro ya existentes y vistos en 4.4.1 decara a crear nuevas Morita-extensiones, y el de mejorar la presentacion que apa-rece en Barrett y Halvorson (2017) de un teorema que demuestre la existencia deuna teorıa univalorada48 morita-equivalente a cualquier teorıa multivalorada dada.Por ultimo, mencionar que muchos de los avances que presenta este texto no hu-bieran sido posibles sin la colaboracion del doctor de la Universidad Autonoma deMadrid Vıctor Aranda Utrero.

Bibliografıa

Barrett, T. W. y Halvorson, H. (2016). Morita equivalence. The Review of SymbolicLogic, 9(3):556–582.

Barrett, T. W. y Halvorson, H. (2017). Quine’s conjecture on many-sorted logic.Synthese, 194(9):3563–3582.

Halvorson, H. (2019). The Logic in Philosophy of Science. Cambridge: CambridgeUniversity Press.

Hodges, W. (1993). Model Theory. Cambridge: Cambridge University Press.

Manzano, M. (1996). Extensions of first-order logic. Cambridge: Cambridge Uni-versity Press.

Mceldowney, P. A. (2019). On morita equivalence and interpretability. The Reviewof Symbolic Logic, pages 1–28.

48Bajo una signatura que permita un solo universo aparte de el de valores de verdad.

Nao, Nao e Nao: as negacoes esuas logicas

Kherian Gracher49

Resumo

Quais sao as caracterısticas das chamadas negacoes “classica”, “paraconsis-tente” e “paracompleta”? Podemos as relacionar? Quais suas propriedadessintaticas? Como se comportam semanticamente? Neste trabalho tentaremosabordar, brevemente, essas discussoes. Com um carater introdutorio, fixaremose percorreremos alguns aspectos notaveis das Logicas Classica, Paraconsistentee Paracompleta, mantendo nossa atencao para as negacoes que levam o nomedesses sistemas. Apresentaremos tambem um quarto sistema, pouco conhecidono meio especializado, chamado de “Calculo Nao-Aletico”, cuja caracterısticaimportante e introduzir apenas um conectivo de negacao (que chamaremos de“negacao nao-aletica”) que e capaz de se comportar como a negacao classica,paraconsistente ou paracompleta. Ao fim, apresentaremos um problema acercada possibilidade de relacionarmos (formalmente) esses conectivos, como seespera fazer com o Calculo Nao-Aletico – e como e usualmente feito, ainda queinformalmente, na literatura filosofica.

Palavras-chave: Negacoes; Logica Classica; Logicas Nao-Classicas; Filosofia daLogica.

49Universidade Federal de Santa Catarina, Florianopolis, Brasil. email: [email protected]

65

66 Kherian Gracher – Nao, Nao e Nao: as negacoes e suas logicas

No, No and No: the negations and their logicsa

Abstract

What are the characteristics of the so-called “classic”, “paraconsistent” and“paracomplete” negations? Can we relate them? What are its syntactic properties?How do they behave semantically? In this paper, we will try to briefly addressthese discussions. With an introductory character, we will establish and coversome notable aspects of Classical, Paraconsistent and Paracomplete Logics,keeping our attention to the negations that bear the name of these systems. Wewill also present a fourth system, little known in the specialized field, called“Non-Alethic Calculus”, whose important characteristic is to introduce only oneconnective of negation (which we will call “non-alethic negation”) that is capableof behaves like classic, paraconsistent or paracomplete negation. In the end, wewill present a problem with the possibility of relating these connectors (formally),as is expected to do with Non-Alethic Calculus - and how it is usually done, albeitinformally, in the philosophical literature.

Keywords: Negations; Classical Logic; Non-Classical Logics; Philosophy of Lo-gic.

5.1. Introducao

Ao longo do trabalho discorreremos principalmente sobre quatro tipos denegacoes diferentes que, de modo geral, foram tratadas de modo sistematico porquatro sistemas logicos distintos, sendo elas: Logica Classica; Logica Paracon-sistente; Logica Paracompleta; e Logica Nao-Aletica.50 Dentre esses quatro sis-temas, apenas o ultimo e (parcialmente) desconhecido do publico especializado.Na maior parte dos casos, a Logica Classica e conhecida e apresentada (aindaque de diferentes modos) nos mais variados manuais de logica.51 Como pode-mos averiguar nesses manuais, ha uma multiplicidade de sistemas que sao ditos“classicos”. Concentraremos nossa analise no sistema chamado “Logica Propo-sicional Classica” (LPC). A Logica Paraconsistente, por outro lado, teve umgrande desenvolvimento em meados do seculo XX, principalmente nos trabalhosdo logico e filosofo polones Jaskowski (1948), do russo Vasiliev (1925) e, em seuapice, nos trabalhos do logico e filosofo brasileiro da Costa (1963) e do logicoe filosofo ingles Priest (1979). Dada a pluralidade de sistemas paraconsistentes,trataremos do sistema de da Costa (1963), chamado “Calculo Proposicional Pa-raconsistente” (C1).52 Quanto a Logica Paracompleta, os primeiros sistemas for-

50Restringiremos nossa analise aos sistemas proposicionais de cada uma das logicas mencionadas.51Alguns dos exemplos mais conhecidos sao Mendelson (1997); Kleene (2002); Church (1996);

Shoenfield (1967).52Note que da Costa (1963) nao construiu apenas um Calculo Proposicional Paraconsistente, mas

sim uma hierarquia de Calculos Proposicionais Paraconsistentes, Cn (0 ≤ n ≤ ω) , tal que C0 e o

5.2. Logica Classica 67

mais remontam a filosofia intuicionista, com trabalhos de Brouwer (1907, 1908),Kolmogorov (1925), Heyting (1956) entre outros. No entanto, vale notar que achamada “Logica Intuicionista”, ainda que possa ser tratada como uma Logica Pa-racompleta (que explicaremos a frente), e associada uma teoria filosofica peculiarque nao e encontrada em outras logicas que podem ser ditas paracompletas. Por-tanto, como veremos, focaremos nossa analise no sistema logico paracompleto de-senvolvido por Loparic e da Costa (1984) e da Costa e Marconi (1986), chamadode “Calculo Proposicional Paracompleto” (P1).53 Por ultimo, mas nao menosimportante, trataremos de um outro trabalho tambem desenvolvido por da Costa(1989), que e o sistema logico chamado de “Calculo Proposicional Nao-Aletico”(N1).54

5.2. Logica Classica

O que e a chamada “Logica Classica”? Ha diversas logicas que podem recairsobre essa nomenclatura, como o calculo proposicional classico, a logica elemen-tar (calculo classico de predicados de primeira-ordem) e, se envolvermos tambema chamada “grande logica” (que contem alguma matematica), terıamos tambem oscalculos, as logicas de ordem superior e ate mesmo as teorias usuais de conjun-tos.55 A construcao e o desenvolvimento da chamada “Logica Classica” remonta aantiguidade, nos trabalhos de filosofos e matematicos gregos.56 Nao faremos aquiuma reconstrucao historica e, tampouco, pretendemos oferecer todas as condicoesnecessarias e suficientes para definirmos o que permite uma logica recair sobre anomenclatura “classica”. Precisamos, todavia, tecer algumas consideracoes impor-tantes sobre caracterısticas comuns desses sistemas. Restringiremos nossa analisepara as logicas proposicionais, de modo que trataremos especificamente da Logica

Calculo Proposicional Classico (da Costa et al., 2007, p. 804,807) e, para todo calculo Cn>0, Cne um Calculo Proposicional Paraconsistente. Por questao de facilidade, trabalharemos inicialmenteapenas com o calculo C1.

53De modo semelhante a hierarquia Cn (0 ≤ n ≤ ω) , Loparic e da Costa (1984) nao construiuapenas um Calculo Proposicional Paracompleto, mas sim uma hierarquia de Calculos ProposicionaisParacompletos, Pn (0 ≤ n ≤ ω) , tal que P0 e o Calculo Proposicional Classico (da Costa eMarconi, 1986, p. 505) e, para todo calculo Pn>0, Pn e um Calculo Proposicional Paracompleto.Por questao de facilidade, trabalharemos inicialmente apenas com o calculo P1.

54Tal como nos calculos anteriores, da Costa (1989) nao desenvolveu apenas um Calculo Pro-posicional Nao-Aletico, mas sim uma hierarquia de Calculos Proposicionais Nao-Aleticos, Nn

(0 ≤ n ≤ ω) , tal que N0 e o Calculo Proposicional Classico (da Costa, 1989, p. 30) e, para todocalculo Nn>0, Nn e um Calculo Proposicional Nao-Aletico. Por questao de facilidade, trabalharemosinicialmente apenas com o calculo N1.

55E questionavel se podemos incluir teorias como teorias de conjuntos, calculos de ordem-superior e ate mesmo a matematica como parte do que chamamos de “Logica Classica”. Portanto,utilizamos aqui a nocao de “grande logica” apenas como consideracoes didaticas, sem nos compro-metermos com essa tese mais forte.

56Cf. Kneale e Kneale (1962).


Proposicional Classica (LPC).57

5.2.1. Escolha de Formalizacao

Ao desenvolvermos a LPC precisamos escolher um dos diversos modos pe-los quais podemos formaliza-la. Quais serao os conectivos primitivos e quais (sehavera algum) serao os definidos? O sistema sera estilo-Hilbert, i.e., sera umaformalizacao axiomatica?58 Quais serao os axiomas e quais serao as regras de in-ferencia?59 Ou nao sera axiomatica, mas sim uma deducao natural, tal como pro-posta por Gentzen (1935)? Essas e outras perguntas precisariam de uma respostacuidadosa, pois altera-se radicalmente o modo como farıamos a apresentacao daLogica Classica. Em nosso caso, vamos nos ater a uma formalizacao axiomaticada LPC. Mas em qual? Por esse trabalho ter tambem um carater introdutorio,vejamos alguns exemplos de formalizacoes da LPC.

Uma conhecida formalizacao e a de Kleene (1971, p.82), no qual sao introdu-zidos como conectivos primitivos a conjuncao, disjuncao, condicional e negacao,tomando apenas o Modus Ponens como regra de inferencia e os seguintes axio-mas:60

K1 α → (β → α)

K2 (α → (β → γ))→ ((α → β)→ (α → γ))

K3 (α ∧ β)→ α

K4 (α ∧ β)→ β

K5 α → (β → (α ∧ β))

K6 α → (α ∨ β)

K7 β → (α ∨ β)

K8 (α → γ)→ ((β → γ)→ ((α ∨ β)→ γ))

K9 (α → β)→ ((α → ¬β)→ ¬α)57Doravante, quando nos referirmos a Logica Classica (a nao ser que qualifiquemos), estamos

tratando da LPC. Utilizaremos tambem ⊢lpc e ⊧lpc para as nocoes de consequencia sintatica esemantica, respectivamente, de LPC.

58Cf. Krause (2002).59Um sistema axiomatico deve conter ao menos uma regra de inferencia; por outro lado, uma

logica pode ser composta apenas por regras de inferencia, sem qualquer axioma. Cf. Carroll (1895).60Utilizaremos o termo “axiomas” para nos designarmos, muitas vezes, ao chamados “esquemas

de axiomas”. Um axioma, de modo preciso, e uma formula de uma dada linguagem tomada comopostulado. Uma vez que utilizaremos letras gregas minusculas como metavariaveis para formulas,quando expressamos aquilo que chamamos de “axiomas” em termos dessas metavariaveis, o queobtemos sao esquema de axiomas, cuja substituicao uniforme das metavariaveis por formulas dalinguagem resultam em instancias do axioma em questao.


K10 ¬¬α → α

Mendelson (1997, p.35), de outro modo, assume apenas a condicional e anegacao como conectivos primitivos, o Modus Ponens como regra e apenas osseguintes tres axiomas para LPC:

M1 α → (β → α)

M2 (α → (β → γ))→ ((α → β)→ (α → γ))

M3 (¬α → β)→ ((¬α → ¬β)→ α)

Em uma abordagem mais economica, Meredith (1953) introduz apenas anegacao e condicional como conectivos primitivos, Modus Ponens como regra e,de modo espantoso, apenas um axioma:

Mer [(((α → β)→ (¬γ → ¬δ))→ γ)→ ε]→ [(ε→ α)→ (δ → α)]

Em um esforco de maior economia formal, Nicod (1917), utilizando-se apenasda barra de Sheffer como conectivo primitivo, uma forma de Modus Ponens comoregra,61 e apenas um axioma:

Nic (α ↑ (β ↑ γ)) ↑ [δ ↑ (δ ↑ δ)] ↑ [(ε ↑ β) ↑ ((α ↑ ε) ↑ (α ↑ ε))]

Alem dessas versoes, ha dezenas de outras abordagens axiomaticas para aLPC. Para nos fixarmos em apenas um conjunto de axiomas, tomaremos aquia seguinte abordagem. Serao conectivos primitivos apenas a negacao e a condici-onal, e os seguintes postulados:

Postulados 1 (Calculo LPC).

MP α,α → β/β

A1 α → (β → α)

A2 (α → β)→ ((α → (β → γ))→ (α → γ))

A3 (α → β)→ ((α → ¬β)→ ¬α)

A4 ¬¬α → α

Podemos entao definir a conjuncao, disjuncao e bicondicional tal como se se-gue:

Conjuncao: α ∧ β def= ¬(α → ¬β)

Disjuncao: α ∨ β def= ¬α → β

Bicondicional: α↔ βdef= (α → β) ∧ (β → α)

A partir dos postulados e das definicoes oferecidas, somos capazes da desen-volver a LPC.

61Chamada de “Modus Ponens de Nicod”, a regra e a seguinte: α, (α ↑ (α ↑ β)) /β


5.2.2. Tres Princıpios Famosos da Logica Classica

Ha algumas caracterısticas (ou princıpios) da Logica Classica que sao conside-rados condicoes necessarias (ainda que nao suficientes) para todo e qualquer logicaque recaia sobre a nomenclatura de “classica”. Por exemplo, a caracterizacao dossistemas entendidos como nao-classicos, como nota Gomes e D’Ottaviano (2017,p.31), “[...] se deve, em parte, a como essas ultimas facultam ou nao validade aosprincıpios logicos fundamentais do pensamento dedutivo classico”. Tres princıpiosse tornaram famosos, cuja formulacoes mais comuns sao:

(PI) Princıpio da Identidade: α → α

(PTE) Princıpio do Terceiro Excluıdo: α ∨ ¬α

(PNC) Princıpio da Nao-Contradicao:62 ¬(α ∧ ¬α)

Veremos a frente que nas logicas paraconsistentes, o PNC nao se aplica a todasas formulas de sua linguagem. De modo similar, nas logicas paracompletas, o PTEtem um escopo reduzido, nao abrangendo todas as formulas de sua linguagem. Noentanto, como dito, esses princıpios (ou formas equivalentes) devem ser satisfeitosem qualquer logica caracterizada como classica.

5.2.3. Consistencia e Trivialidade

Seja na Logica Classica, seja nas teorias que a adotam como sua logica sub-jacente (que chamaremos de “teorias classicas”), as nocoes de consistencia e tri-vialidade estao estritamente conectadas. Como bem sabido, se uma teoria e con-sistente, nem toda formula de sua linguagem e demonstravel (i.e., a teoria nao etrivial). Dito de outro modo, se uma teoria e trivial (e contem negacao), entao elasera inconsistente. Nas teorias classicas, a demonstracao de uma formula qualquere sua negacao acarreta necessariamente a sua trivialidade. Isto e, qualquer caso decontradicao implicara na trivialidade do sistema. Portanto, para uma teoria ser dita“classica”, elas devem ser consistentes e nao-triviais (com relacao a sua negacao),visto os princıpios supracitados.63

5.2.4. Negacao, Ex Falso Sequitur Quodlibet e Trivializacao

Mas por que a existencia de uma contradicao em LPC implica em suatrivializacao? De modo geral, isso ocorre pelo funcionamento da negacao classica.

62Tambem conhecido como Princıpio da Contradicao – terminologia comum na comunidadefilosofica anglofona. Todavia, chama-lo como “Princıpio da Nao-Contradicao” parece empregaruma terminologia mais adequada com o sentido do princıpio em questao. Cf. Gomes e D’Ottaviano(2017, p.31, Nota 4).

63Por precisao, salientamos que nao e meramente a satisfacao desses princıpios que garantem aconsistencia e nao-trivialidade, mas outras caracterısticas importantes, como a nocao de deducaoempregada. Cf. Shoenfield (1967, Cap. 4).


Conforme vimos nos axiomas da logica classica (p. 69), introduzimos a negacaoatraves de dois axiomas:

A3 (α → β)→ ((α → ¬β)→ ¬α)

A4 ¬¬α → α

O axioma A3 nos afirma que se uma formula acarreta uma contradicao, issoimplica na negacao dessa formula. O axioma A4 nos garante que a dupla negacaode uma formula implica na afirmacao dessa mesma formula.64 Podemos dizerque a negacao e contextualmente definida atraves desses axiomas. Repare que anegacao (de acordo com os postulados) e um conectivo primitivo. De modo apro-priado, dizemos que um conectivo e “definido” quando existe uma formula dalinguagem que seja seu definiens.65 Essa formula podera conter apenas os conec-tivos primitivos da linguagem. Como na axiomatica de LPC que apresentamos anegacao e um conceito primitivo, ela nao seria, de modo apropriado, um conceitodefinido. Todavia, em uma acepcao mais geral, podemos dizer que o conectivotambem pode ser definido pelo contexto de seu uso. Como o uso da negacao edeterminado por seus postulados, podemos entao dizer que a negacao e contextu-almente (mas nao diretamente) definida por eles.66

Do ponto de vista sintatico, a negacao (na axiomatica de LPC vista) e compre-endida por seus postulados, nos permitindo derivar uma tese da classica associadaa trivializacao de LPC e o PNC, que leva o nome de Ex Falso Sequitur Quodlibet(ou, simplesmente, Ex Falso).67 Isto e, de uma contradicao “tudo” se segue. Taltese e denotada pelas formulas:68

(α ∧ ¬α)→ β

α → (¬α → β)que exprimem precisamente o fato de que, se uma formula α e sua negacao (¬α)sao obtidas, entao qualquer formula β de LPC e demonstravel – o que implicana trivialidade do sistema. Em vista de preservar a consistencia e nao-trivialidadeda logica classica, podemos dizer que contradicoes nao podem ser toleradas emLPC – mas isso nao sera o caso para os sistemas paraconsistentes, como veremos.

64Esse axioma se refere a um princıpio classico, conhecido como duplex negatio affirmat [dupla-mente negar e afirmar].

65Chamamos “definiendum” o termo (ou conceito) que queremos definir, e “definiens” a ex-pressao da linguagem que o define.

66Nem toda formalizacao da LPC tem a negacao como primitiva, como visto na abordagem deNicod (1917). Nesse sistema, utilizando-se da Barra de Sheffer, Nicod e capaz de definir a negacaodo seguinte modo: ¬α def

= (α ↑ α). Outra possıvel abordagem e assumirmos uma constante proposi-cional, ⊥, e algum conectivo primitivo, como a condicional, e assim introduzirmos a negacao comodefinida atraves da seguinte expressao: ¬α def

= α→⊥67Nao apresentaremos a demonstracao do Ex Falso, que e conhecida na literatura.68Ha outras formulacoes equivalentes (em LPC) do Ex Falso, alem das que apresentaremos.

Alem disso, devemos notar que elas nao sao teses apenas acerca da negacao, mas tambem sobrea condicional material.


5.2.5. Reductio Classico

Ressaltamos um aspecto importante: dada axiomatica de LPC, podemos de-monstrar a seguinte formula como teorema:69

Teorema 1 (Reducao ao Absurdo Classica).

⊢lpc (¬α → β)→ ((¬α → ¬β)→ α)

Demonstracao. Uma instancia do axioma (A3) e: (¬α → β) → ((¬α → ¬β) →¬¬α) Assumindo a regra de substituicao de formulas, dado o axioma (A4), pode-mos substituir qualquer instancia de ¬¬α por α. Portanto, da instancia do axioma(A3) acima, obtemos que: (¬α → β) → ((¬α → ¬β) → α), que e o que gos-tarıamos de provar. ◻

E, se ao inves de introduzirmos os axiomas (A3) e (A4), introduzirmos aReducao ao Absurdo Classica – a axiomatizacao de Mendelson para LPC (p.69):70

MP α,α → β/β

M1 α → (β → α)

M2 (α → β)→ ((α → (β → γ))→ (α → γ))

M3 (¬α → β)→ ((¬α → ¬β)→ α)

Note que (M1) e igual ao axioma (A1), e (M2) igual ao (A2), diferindo assim(A3) e (M3). Introduzindo as definicoes dos operadores, obterıamos como teoremada axiomatica de Mendelson as formulas de (A3) e (A4):

Teorema 2. Atraves da axiomatica de Mendelson, obtemos como teoremas asseguintes formulas:71

(1) ⊢lpc∗ ¬¬α → α

(2) ⊢lpc∗ α → ¬¬α

(3) ⊢lpc∗ (α → β)→ ((α → ¬β)→ ¬α)69Na demonstracao do teorema seguinte assumiremos resultados, nao apresentados aqui, mas ja

conhecidos na literatura, como a regra de substituicao de formulas equivalentes. Nesse teoremaem particular, posto que ja e conhecida a equivalencia das formulas α e ¬¬α, podemos substituir aocorrencia de uma dessas formulas pela outra.

70Cf. (Mendelson, 1997, p. 35).71Utilizarei ⊢lpc∗ para referir a nocao de consequencia sintatica de LPC utilizando a axiomatica

de Mendelson.


Demonstracao. As provas de (1) e (2) podem ser encontradas em Mendelson(1997, p.38-9). A prova de (3) pode ser facilmente obtida ao substituir ¬α por¬¬α no axioma (A3∗), obtendo assim que (¬¬α → β) → ((¬¬α → ¬β) → ¬α).Como α ↔ ¬¬α (dado os teoremas provados acima), podemos substituir asformulas ¬¬α por α, de modo que a instancia do axioma dada acima ficaria como:(α → β)→ ((α → ¬β)→ ¬α) que e o que gostaria de provar em (3) ◻

Ou seja, ao introduzirmos a Reducao ao Absurdo Classica em um sistemacom os postulados (MP), (A1)-(A2), obtemos as formulas (A3) e (A4); por outrolado, se substituirmos a Reducao ao Absurdo Classica no sistema com os postu-lado (MP), (A1)-(A2), introduzindo assim (A3) e (A4), obtemos entao a formulaque expressa a Reducao ao Absurdo Classica como teorema. Desse modo, fixare-mos nossa terminologia chamando de “Reducao ao Absurdo Classica” a seguinteformula:

(¬α → β)→ ((¬α → ¬β)→ α)

5.2.6. A Semantica da Negacao Classica

Enquanto que a negacao [classica] e sintaticamente caracterizada por seus pos-tulados, nas semanticas padroes de LPC ela e tratada como um operador que in-verte o valor-de-verdade da formula a ele ligada.72 Vejamos as definicoes.

Definicao 1 (Valoracao de LPC). Uma valoracao para LPC e uma mapeamentoυ ∶ F Ð→ 1,0 sendo F o conjunto de formulas de LPC e 1,0 o conjunto devalores-de-verdade, onde 1 e valor designado (verdadeiro) e 0 valor nao-designado(falso), tal que:

(0) υ(α) = 1⇔ υ(α) /= 0

(1) υ(¬α) = 1⇔ υ(α) = 0

(2) υ(α → β) = 1⇔ υ(α) = 0 ou υ(β) = 1

(3) υ(α ∧ β) = 1⇔ υ(α) = υ(β) = 1

(4) υ(α ∨ β) = 1⇔ υ(α) = 1 ou υ(β) = 1

Ao analisarmos as condicoes da funcao-valoracao υ para LPC podemos en-contrar quatro casos diferentes para a valoracao da negacao [classica]:73

(1) υ(¬α) = 1⇔ υ(α) = 0

O que se segue:

72Compreenderemos aqui como “semantica padrao” da LPC uma semantica bivalorada com suasdefinicoes usuais para os conectivos logicos.

73As consequencias de (1) que veremos, i.e., (1.1)-(1.4), podem parecer triviais, mas serao impor-tantes para o que se segue, muito pelo qual estamos chamando a atencao para elas.


(1.1) υ(¬α) = 1⇒ υ(α) = 0

(1.2) υ(¬α) = 0⇒ υ(α) = 1

Ou, de modo equivalente:

(1.3) υ(α) = 1⇒ υ(¬α) = 0

(1.4) υ(α) = 0⇒ υ(¬α) = 1

Obtemos da definicao (1) da funcao-valoracao para uma formula com negacao[classica] os quatro fatos acima (1.1-1.4) que, podemos dizer, caracterizam se-manticamente a negacao de LPC. Esses fatos sao importantes para depois com-preendermos as negacoes dos sistemas nao-classicos, como a negacao dos sistemasparaconsistente, paracompleto e nao-aletico. De acordo com as definicoes acima,obtemos como teoremas semanticos que:

Teorema 3 (Propriedades Semanticas da Negacao (Classica)). Seja α uma formulade LPC e υ uma funcao-valoracao padrao para LPC.

(1) υ(α) /= υ(¬α)(2) υ(α) = 1 ou υ(¬α) = 1(3) υ(α) = 0 ou υ(¬α) = 0

Demonstracao. Fica como exercıcio para o leitor.74 ◻

Dado os resultados anteriores, a semantica padrao da LPC satisfaz (como eesperado) o PNC e o PTE – tanto em sua versao sintatica quanto semantica. Porfim, vejamos um outro resultado importante:75

Teorema 4 (Ex Falso I). (I) α,¬α ⊢lpc β(II) ⊢lpc α → (¬α → β)

Demonstracao. Fica como exercıcio para o leitor. ◻

Como esperado, os dois teoremas anteriores demonstram que o Ex Falso e umatautologia deLPC – condizendo com seus aspectos sintaticos, visto que as versoesdo Ex Falso sao teoremas.

5.2.7. Alguns Teoremas Importantes Sobre a Negacao Classica

Vejamos agora alguns resultados importantes, na Logica Classica, que eviden-ciam a natureza de sua negacao.76

74Por questao de brevidade, deixaremos de apresentar resultados e demonstracoes conhecidas naliteratura, deixando-os como exercıcio para o leitor.

75Nos proximos dois teoremas suporemos a definicao usual de validade logica.76Em uma semantica padrao, LPC e uma teoria semanticamente completa, de modo que todos

os teoremas seguintes sao tambem tautologias.


(1) ⊢lpc α ∨ ¬α (Princıpio do Terceiro Excluıdo)

(2) ⊢lpc ¬(α ∧ ¬α) (Princıpio da Nao-Contradicao)

(3) ⊢lpc ¬¬α → α (Eliminacao da Dupla Negacao)

(4) ⊢lpc α → ¬¬α (Introducao da Dupla Negacao)

(5) ⊢lpc (α ∧ ¬α)→ β (Ex Falso)

(6) ⊢lpc (α → β)→ (¬β → ¬α) (Contraposicao)

(7) ⊢lpc (¬α → ¬β)→ (β → α) (Forma de Contraposicao)

(8) ⊢lpc (α → ¬β)→ (β → ¬α) (Forma de Contraposicao)

(9) ⊢lpc ¬(α ∧ β)↔ (¬α ∨ ¬β) (De Morgan I)

(10) ⊢lpc ¬(α ∨ β)↔ (¬α ∧ ¬β) (De Morgan II)

(11) ⊢lpc (α → ¬α)→ ¬α (Consequentia Mirabilis)

(12) ⊢lpc (¬α → α)→ α (Forma de Consequentia Mirabilis)

(13) ⊢lpc (¬α → ¬β)→ ((¬α → β)→ α) (Reductio ad Absurdum Classico)

(14) ⊢lpc (α → β)→ ((α → ¬β)→ ¬α) (Reductio ad Absurdum Intuicionista)

Esses resultados evidenciam o peso da negacao nas teorias classicas. Comoveremos a frente, alguns desses teoremas nao sao obtidos quando utilizamosnegacoes diferentes da negacao classica, como e o caso da negacao paraconsis-tente e da paracompleta.

A negacao classica obedece tanto ao PNC como ao PTE e Ex Falso, de modoque todos os teoremas apresentados anteriormente sao consequencias desses fa-tos.77 Para nao criar confusoes desnecessarias ate esse momento, utilizamos osımbolo “¬” para nos referirmos a negacao classica. Todavia, nas secoes seguin-tes discutiremos sistemas nao-classicos cujas negacoes terao outras propriedades.Assim, para nao criarmos confusao, toda vez que utilizarmos “¬c” como sımboloda negacao, estamos nos referindo a negacao classica – apresentada ate aqui.78

77Nao e apenas satisfazer o PNC, PTE e Ex Falso que garante que a negacao em questao seraclassica – precisamos garantir, entre outras coisas, que o operadores de consequencia (sintatica esemantica) preservem certas propriedades.

78Doravante, utilizaremos o sımbolo “¬p” para nos referirmos a negacao paraconsistente e “¬q”para a negacao paracompleta. Se utilizarmos apenas “¬”, esperamos que o contexto esteja claro paraidentificarmos qual negacao esta em uso.


5.3. Logica Paraconsistente

Como vimos, uma teoria consistente implica em sua nao-trivialidade – postoque, se a teoria contem negacao e nao e o caso que uma formula e sua negacaosejam teoremas, segue que nem toda formula da linguagem e teorema. Do mesmomodo, vimos que se um sistema e trivial (e contem negacao), isso acarreta em suainconsistencia (visto que todas as formulas serao teoremas, inclusive uma formulae sua negacao). Mas podemos propor a seguinte questao:

Pode haver uma teoria inconsistente e nao-trivial, mas na qual o PTE e tese?

Se sim, como seus conectivos (principalmente a negacao) funcionariam?Quais princıpios classicos seriam satisfeitos e quais nao? Terıamos o Ex Falsocomo teorema? Semanticamente, como a negacao desse sistema se comporta? Aesses desafios que se lancaram os logicos paraconsistentistas. Como podemos verem Gomes e D’Ottaviano (2017), a construcao das ideias que fundamentaram aLogica Paraconsistente perpassou diversos autores ao longo da historia, da anti-guidade ate os tempos atuais. No entanto, apenas com o trabalho de da Costa(1963) pudemos obter um sistema paraconsistente que pode ser dito forte o sufi-ciente para suportar quantificacao e, desse modo, estabelecer teorias mais robus-tas, como Teoria de Conjuntos Paraconsistentes e toda uma matematica.79 Outrossistemas paraconsistentes foram oferecidos,80 no entanto, restringir-nos-emos aoscalculos proposicionais paraconsistentes desenvolvido por da Costa, conhecidoscomo hierarquia Cn (0 ≤ n ≤ ω) .81

5.3.1. Os Calculos Cn (0 ≤ n ≤ ω)

A ideia geral das logicas paraconsistentes e permitir condicoes nas quais tantouma formula quanto sua negacao [paraconsistente] passam ser obtidas, sem queisso trivialize o sistema. Se contradicoes sao permitidas, entao o PNC precisa serrestringido (pois nao valera para todas as formulas). Alem disso, como observa-mos na secao anterior, uma contradicao na LPC a trivializa, posto o Ex Falso: deuma contradicao, qualquer formula se segue. Portanto, um desafio geral e forma-lizarmos o sistema paraconsistente de modo que nem o PNC, e tampouco o ExFalso sejam teoremas (para toda formula). Para isso, da Costa (1963) nos ofereceos sistemas Cn (0 ≤ n ≤ ω) .82 Trataremos aqui do sistema C 1, comecando porsua linguagem. Seja P um conjunto nao-vazio, denumeravel, de variaveis propo-sicionais e F o conjunto de Formulas de C 1, definido indutivamente como:

79Cf. da Costa et al. (2007, 1998) e De Carvalho e D’Ottaviano (2005).80Cf. Priest (1979) e Priest (2008).81da Costa (1963) desenvolveu nao apenas um calculo proposicional paraconsistente, mas sim uma

hierarquia de calculos proposicionais Cn (0 ≤ n ≤ ω) . Ao nos referirmos ao calculo proposicionalparaconsistente, nos restringiremos por enquanto ao calculo C1 dessa hierarquia. Cf. da Costa et al.(2007).

82Notamos que, nos calculos Cn (0 ≤ n ≤ ω) , a negacao paraconsistente e um conectivo primitivoda linguagem.

5.3. Logica Paraconsistente 77

αdef= pi ∣¬pα ∣α → β ∣α ∧ β ∣α ∨ β ∣

onde pi ∈ P e i e um numero natural; α e β sao formulas; e os sımbolos ¬p, →,∧ e ∨ denotam os conectivos (primitivos) da negacao paraconsistente, condicio-nal, conjuncao e disjuncao, respectivamente. A bicondicional e definida de modousual.

Antes de apresentarmos os postulados de C 1, precisamos ter em mente que oPNC nao sera valido para todas as formulas. Todavia, da Costa (1963) define umoperador de bom comportamento para algumas formulas do seguinte modo:83

Definicao 2 (Operador-). α def= ¬p(α ∧ ¬pα)Apos essa definicao, podemos entao adentrar ao conjunto de postulados de C1.

Postulados 2 (Calculo C1).

C 1 α → (β → α)

C 2 (α → β)→ ((α → (β → γ))→ (α → γ))

C 3 α,α → β/β

C 4 (α ∧ β)→ α

C 5 (α ∧ β)→ β

C 6 α → (β → (α ∧ β))

C 7 α → (α ∨ β)

C 8 α → (β ∨ α)

C 9 (α → γ)→ ((β → γ)→ ((α ∨ β)→ γ))

C 10 β → ((α → β)→ ((α → ¬pβ)→ ¬pα))

C 11 (α ∧ β)→ ((α ∧ β) ∧ (α ∨ β)) ∧ (α → β))

C 12 α ∨ ¬pα

C 13 ¬p¬pα → α

Note que C1 satisfaz o PTE, de modo que, uma vez que uma formula satisfacao PNC (i.e., seja bem comportada), essa formula se comportara como uma formulaclassica.

Como e apresentado em da Costa et al. (2007, Th. 6), as seguintes formulasnao sao teoremas de C1:84

83Assumiremos aqui diversas outras definicoes previas que devem ser feitas como, por exemplo,a nocao de consequencia sintatica e semantica. Para mais, ver da Costa et al. (2007).

84Como dito anteriormente, o sistema C0 e equivalente a LPC, sendo C1 o primeiro calculoparaconsistente. Portanto, as formulas seguintes nao sao teoremas de C1, mas sao de C0. Cf. daCosta et al. (2007, p.807).


(1) ¬pα → (α → β)

(2) ¬pα → (α → ¬pβ)

(3) α → (¬pα → β)

(4) α → (¬pα → ¬pβ)

(5) (α ∧ ¬pα)→ β

(6) (α ∧ ¬pα)→ ¬pβ

(7) (α → β)→ ((α → ¬pβ)→ ¬pα)

(8) α → ¬p¬pα

(9) (α↔ ¬pα)→ β

(10) (α↔ ¬pα)→ ¬β

(11) ¬p(α ∧ ¬pα)

(12) (α ∧ ¬pα)→ ¬p(α ∧ ¬pα)

Os resultados (1)-(4) apresentam formulacoes do Ex Falso. Todas essasformulas sao teoremas da LPC e C0, mas nao sao obtidas em C1 – a nao serque utilizemos da negacao forte, que definiremos a frente.

5.3.2. Negacao Paraconsistente, Bom Comportamento e NegacaoForte

O que vimos evidencia um aspecto importante quanto a negacao paraconsis-tente: a negacao paraconsistente nao e equivalente a negacao classica. No desen-volvimento do calculo C1, da Costa (1963) tambem oferece uma definicao do queele chama de “negacao forte”.

Definicao 3 (Negacao (Paraconsistente) Forte). ¬⋆pαdef= ¬pα ∧ α

Repare que a definicao nos diz que se uma formula satisfaz o PNC, e obtemossua negacao [paraconsistente], entao ela e fortemente negada. Lembrando que asformulas de C1 satisfazem o PTE (axioma C 12), uma vez que ela tambem satisfacao PNC (i.e., seja bem comportada), a negacao [paraconsistente] dessa formula teraas propriedades da negacao classica. Deste modo, podemos entender a NegacaoForte como sendo a negacao classica de uma formula. Apenas como um exemplo,vejamos o Ex Falso utilizando-se da negacao forte:

Teorema 5. ⊢C1 α → (¬⋆pα → β)

Demonstracao. Em da Costa et al. (2007, Th. 22). ◻


E obtemos como corolario desse teorema o seguinte resultado:

Corolario 1. ⊢C1 (α ∧ ¬⋆pα)→ β

Ou seja, se obtemos uma contradicao com uma formula bem comportada,entao trivializamos o sistema (pois inferimos qualquer formula β). No entanto,como vimos acima, todas as quatro versoes do Ex Falso, (1)-(4), nao sao teoremas.De fato, se todas as formulas que vimos anteriormente que nao sao obtidas em C1,trocarmos a negacao paraconsistente pela negacao forte, todas elas serao teoremasde C1. Isso e evidenciado em da Costa et al. (2007, Th.16, Th.17).

Outro aspecto importante diz respeito ao operador de bom comportamento,evidenciado pelo chamado “Teorema de Arruda”:

Teorema 6 (A. I. Arruda). ⊢C1 α

Demonstracao. Em da Costa et al. (2007, Th. 18, p.804). ◻

O que leva a um outro teorema importante:

Corolario 2. ⊢C1 α → (¬pα)

Demonstracao. Em da Costa et al. (2007, Th. 19, p.804). ◻

Para o corolario seguinte, utilizaremos a expressao ¬1p...¬npα para denotar uma

formula (finita) com n reiteracoes da negacao paraconsistente. Deste modo, parauma n = 5, a expressao ¬1

p...¬5pα sera equivalente a formula ¬p¬p¬p¬p¬pα.

Corolario 3. ⊢C1 α → (¬1

p...¬npα)

Demonstracao. A prova se segue por inducao. Suponha que (a) α, pelo Co-rolario 2 (p. 79) obtemos que (a.1) (¬1

pα). De (a.1), pelo Corolario 2, obte-mos que (a.2) (¬1

p¬2pα). Podemos repetir o procedimento ate ¬1

p...¬n−1p α que,

pelo Corolario 2 obteremos (b) (¬1p...¬npα). Por esse resultado, e uma cons-

tante aplicacao do Silogismo Hipotetico (garantido pelo axioma C 2), obtemos queα → (¬1

p...¬npα). ◻

Podemos inferir desses teoremas que, se uma formula e bem comportada, anegacao dessa formula tambem o e. Em outras palavras, se a formula α satisfazo PNC, entao a formula ¬pα tambem o satisfaz. Desse modo, se α e o caso,obtemos (trivialmente, dada a definicao do bom comportamento) que nao poderaocorrer que α∧¬pα. Todavia, tambem se seguira que nao podera ocorrer de ¬pα∧¬p¬pα, nem ¬p¬pα ∧ ¬p¬p¬pα, e assim por diante. Isso e equivalente a dizermosque, se uma formula α e bem comportada, seja qual for o numero de negacoes¬p que colocarmos a sua frente, todas elas serao negacoes fortes (i.e., terao ocomportamento da negacao classica).


5.3.3. Reductio Paraconsistente e Reductio Classico

Vejamos outro aspecto importante do calculo C1, que e o axioma C 10, quechamaremos de “Reducao ao Absurdo Paraconsistente”:

β → ((α → β)→ ((α → ¬pβ)→ ¬pα))

Note que, de acordo com as definicoes apresentadas anteriormente, se e o casoque β e ¬pβ, entao temos um caso de ¬⋆pβ – i.e., temos que a negacao de β secomporta como a negacao classica (entendendo a negacao forte com as mesmaspropriedades da negacao classica). Deste modo, podemos utilizar a definicao danegacao forte (Def. 3) e reescrever o axioma C 10 como:

(α → β)→ ((α → ¬⋆pβ)→ ¬pα))

E, uma vez que a negacao forte (¬⋆p) preserva as propriedades da negacaoclassica, poderıamos compreender intuitivamente o axioma C 10 como:85

(α → β)→ ((α → ¬cβ)→ ¬pα))

Esse fato sera importante para o que viremos a desenvolver.

5.3.4. A Semantica da Negacao Paraconsistente

Nao desenvolveremos toda a semantica dos calculos Cn (0 ≤ n ≤ ω) aqui.Todavia, existem alguns aspectos semanticos da negacao paraconsistente que pre-cisam ser levados em consideracao. Como vimos em LPC, a valoracao da negacaoclassica e dada como:

1 υ(¬cα) = 1 sse υ(α) = 0

O que se segue:

1.1 Se υ(¬cα) = 1, entao υ(α) = 0

1.2 Se υ(¬cα) = 0, entao υ(α) = 1

Ou, de modo equivalente:

1.3 Se υ(α) = 1, entao υ(¬cα) = 0

1.4 Se υ(α) = 0, entao υ(¬cα) = 1

85Note que ¬c nao e um conectivo de negacao dos calculos Cn (0 ≤ n ≤ ω) , mas sim o conectivode negacao de LPC. Assim, a formula a seguir tem como caracterıstica apenas uma compreensaointuitiva do funcionamento da Reducao ao Absurdo Paraconsistente.


A definicao (1), e suas quatro consequencias (1.1-1.4), coadunam-se com ofato de que a negacao classica satisfaz tanto o PNC quanto o PTE. No entanto,a negacao paraconsistente (quando nao ligada a uma formula bem comportada)satisfaz o PTE (visto o axioma C 12), mas nao o PNC. Por conta desses fatos,a definicao da funcao-valoracao para a negacao paraconsistente ira divergir dadefinicao (1) para a negacao classica.

Uma vez que pode ser obtido uma formula como α ∧ ¬pα, e como a definicaoda funcao-valoracao da conjuncao e a mesma,86 tanto a formula α quanto a suanegacao paraconsistente, ¬pα, podem ser verdadeiras sob uma mesma valoracao.Todavia, nao pode ocorrer que tanto α quanto sua negacao paraconsistente sejamfalsas ao mesmo tempo – dado o PTE, que e um postulado. Podemos inferir quese υ(α) = 0, segue que υ(¬pα) = 1; ou, de outro modo, se υ(¬pα) = 0, entaoυ(α) = 1. Mas o contrario nao acontece. Isso e, se temos que υ(α) = 1, naopodemos garantir que a valoracao da formula ¬pα sera 0 (ou, de modo equiva-lente, se υ(¬pα) = 1, nao podemos garantir que υ(α) = 0) – uma vez que ambaspodem ser verdadeiras. Portanto, podemos definir uma valoracao para a negacaoparaconsistente do seguinte modo:

2 Se υ(¬pα) = 0, entao υ(α) = 1

Do que se segue:

2.1 Se υ(α) = 0, entao υ(¬pα) = 1

O que vemos nessa definicao (2) e um aspecto central para a valoracao de C1:so obtemos que uma formula (ou sua negacao paraconsistente) e verdadeira sesoubermos que sua negacao paraconsistente (ou a formula sem negacao) e falsa.Vejamos a definicao completa de valoracao para C1:87

Definicao 4 (Valoracao de C1). Uma valoracao para C1 e uma mapeamento υ ∶FÐ→ 1,0 sendo F o conjunto de formulas de C1 e 1,0 o conjunto de valores-de-verdade, onde 1 e valor designado e 0 valor nao-designado, tal que:

(0) υ(α) = 1⇔ υ(α) /= 0

(1) υ(α) = 0⇒ υ(¬pα) = 1

(2) υ(¬p¬pα) = 1⇒ υ(α) = 1

(3) υ(β) = υ(α → β) = υ(α → ¬pβ) = 1⇒ υ(α) = 0

(4) υ(α → β) = 1⇔ υ(α) = 0 ou υ(β) = 1

(5) υ(α ∧ β) = 1⇒ υ(α) = υ(β) = 1

(6) υ(α ∨ β) = 1⇒ υ(α) = 1 ou υ(β) = 1

86Isto e, υ(α ∧ β) = 1⇔ υ(α) = υ(β) = 1.87Cf. da Costa e Alves (1977) e (da Costa et al., 2007, p.821, Def. 102).


(7) υ(α) = υ(β) = 1⇒ υ((α ∧ β)) = υ((α ∨ β)) = υ((α → β)) = 1

Com essa definicao, podemos provar que o PTE e tautologia de C1, mas nemPNC e nem o Ex Falso sao tautologias desse sistema.

Teorema 7.

(PTE) ⊧C1 α ∨ ¬pα

(PNC) /⊧C1 ¬p(α ∧ ¬pα)

(EF) /⊧C1 α → (¬pα → β)


No entanto, vejamos o que acontece se supormos que α e bem comportado:

Teorema 8. Dada a definicao de valoracao para o calculo C1 (Def. 4), obtemosque:

α /⊧C1 α → (¬pα → β)

Demonstracao. Suponha portanto que (a) υ(α) = 1 e (b) υ(α → (¬pα → β)) =0. Dada a definicao do operador de bom comportamento , (a) significa υ(¬p(α ∧¬pα)) = 1. De (b) segue que (c.1) υ(α) = 1 e (c.2) υ(¬pα → β) = 0. De (c.2)obtemos que (d.1) υ(¬pα) = 1 e (d.2) υ(β) = 0. ◻

Mas nao e o que queremos. Repare que, ao aceitarmos a valoracao apresentadaem da Costa et al. (2007, Def. 102) (Def. 4 apresentada acima), nao conseguimosobter algo importante: se uma formula e bem comportada, entao da sua contradicaosegue qualquer coisa (Ex Falso). Mas nos esperavamos que isso se seguisse, umavez que, dada toda a construcao da teoria, se uma formula e bem comportada,entao ela satisfaz tanto o PTE como o PNC – de modo que sua negacao tenha pro-priedades equivalentes a negacao classica. Para o Ex Falso seguir como tautologiapara formulas bem comportadas, precisamos entao adicionar mais uma condicao aDef. 4 acima:

(8) υ(¬pα) = υ(α) = 1⇒ υ(α) = 0

O que seguira tambem que:

(8.1) υ(α) = υ(α) = 1⇒ υ(¬pα) = 0

Atraves da adicao dessas clausulas na definicao da valoracao, podemos obter,por fim, o Ex Falso.88

88Parece um fato comum os autores esquecerem de adicionar a clausula (8) na definicao devaloracao para C1. Cf. da Costa et al. (2007, Def. 102, p.821), Grana (2007, p.59-61) e Grana(1990b, p.38). Mas note que tais autores, quando oferecem uma definicao para conjunto maximalnao-trivial Γ, tratam de determinar que ¬pα,α ∈ Γ⇒ α /∈ Γ (da Costa et al., 2007, Th. 101, p.821)– o que garante a clausula (8) – esquecendo-se apenas de introduzir tal caracterıstica na definicao davaloracao para C1.

5.4. Logica Paracompleta 83

Teorema 9. α ⊧C1 α → (¬pα → β)

Demonstracao. Suponha portanto que (a) υ(α) = 1 e (b) υ(α → (¬pα → β)) =0. Dada a definicao do operador de bom comportamento , (a) significa υ(¬p(α ∧¬pα)) = 1. De (b) segue que (c.1) υ(α) = 1 e (c.2) υ(¬pα → β) = 0. De (c.2)obtemos que (d.1) υ(¬pα) = 1 e (d.2) υ(β) = 0. Visto a clausula (8), temos queυ(¬pα) = υ(α) = 1, o que segue que (d) υ(α) = 0. Mas de (d) e (c.1) obtemosuma contradicao semantica. Logo, α ⊧C1 α → (¬pα → β) e tautologia. ◻

Corolario 4 (Variantes do Ex Falso em C1).

a) ⊧C1 α → (α → (¬pα → β))

b) α ⊧C1 (α ∧ ¬pα)→ β)

c) ⊧C1 α → ((α ∧ ¬pα)→ β))

Demonstracao. A prova de (a) se segue diretamente do Teo. 9 aplicando-se aversao semantica do teorema da deducao – que e valido para o sistema C1.89 Aprova de (b) e similar a demonstracao do Teo. 9 e (c) segue-se de (b) aplicando-se,novamente, o teorema da deducao. ◻

5.4. Logica Paracompleta

Ao discutirmos as propriedades de consistencia e trivialidade, vimos que seuma teoria e trivial, entao toda formula sera teorema – caso esse que chamamosteoria “supercompleta”. E, do mesmo modo, se uma teoria e incompleta, entao elanao sera trivial, visto que nao sera o caso que toda formula ou sua negacao saoteoremas. Mas podemos agora propor uma outra questao:

Pode entao haver uma teoria consistente, nao-trivial, mas que o PTE nao e tese?

Se sim, como seus conectivos (principalmente a negacao) funcionaria? Quaisprincıpios classicos seriam satisfeitos e quais nao? Terıamos o Ex Falso como teo-rema? E o PTE? Semanticamente, como a negacao desse sistema se comporta? Aesses desafios que se lancaram aqueles que desenvolveram as logicas categoriza-das como paracompletas. De modo geral, a historia das logicas paracompletas re-montam aqueles que, de algum modo, queriam impedir a aplicacao geral do PTE.Desse modo, os primeiros sistemas paracompletos foram os desenvolvidos paratratar da teoria intuicionista, cuja validade do PTE e posta em causa.90 No entanto,enquanto que os sistemas logicos intuicionistas rejeitem o PTE, a semantica ofe-recida – para ser precisa com o programa intuicionista – nao sera uma semanticade valoracoes tal como apresentamos para a logica classica ou paraconsistente,

89Cf. (da Costa et al., 2007, Th. 5, p. 800).90Cf. Heyting (1956, p.1).


mas devera envolver nocoes como construcao e intuicao mental. Nao queremosnos adentrar nas especificidades do intuicionismo e suas relacoes com as logicasparacompletas. Portanto, restringiremos nossa analise a um sistema paracompletoespecıfico, chamado “Calculo Proposicional Paracompleto”, desenvolvido por daCosta e Marconi (1986).91

5.4.1. Os Calculos Pn (0 ≤ n ≤ ω)

A ideia geral das logicas paracompletas, como visto, e restringir o PTE. Noentanto, como vimos tanto em LPC como em C1, o PTE e uma tese. Vamosapresentar aqui o sistema P1, comecando por sua linguagem. Seja P um conjuntonao-vazio, denumeravel, de variaveis proposicionais e F o conjunto de Formulasde P1, definido indutivamente tal como se segue:

αdef= pi ∣¬qα ∣α → β ∣α ∧ β ∣α ∨ β ∣

onde pi ∈ P e i e um numero natural; α e β sao formulas; e os sımbolos ¬q, →,∧ e ∨ denotam os conectivos (primitivos) da negacao paracompleta, implicacaomaterial, conjuncao e disjuncao, respectivamente. A bicondicional e definida demodo usual.92

Posto que o PTE e restringido, a formula α ∨ ¬qα nao pode nem figurar en-tre os axiomas, como tambem nao pode ser obtido como teorema. Todavia, daCosta e Marconi (1986) definem um operador de bom comportamento, similar aooperador- do calculo C1, para algumas formulas. Em geral, nao esta garantido atodas as formulas α que α ∨ ¬qα. No entanto, se uma formula e dita bem com-portada (ou seja operada pelo operador-, conhecido como “bola fechada” ou de“bom comportamento [paracompleto]”), entao essa formula satisfara o PTE. Elesdefinem entao o operador de bom comportamento do seguinte modo:

Definicao 5 (Operador-). α def= α ∨ ¬qα

Apos a definicao do operador de bom comportamento podemos ver o conjuntode postulados de P1.

Postulados 3 (Calculo P1).

P1 (α → β)→ ((α → (β → γ))→ (α → γ))

P2 α → (β → α)91Em da Costa e Marconi (1986), tal como o calculo proposicional paraconsistente Cn (1 ≤ n ≤

ω) , desenvolveram nao apenas um calculo proposicional paracompleto, mas sim uma hierarquia deCalculos Proposicionais Paracompletos Pn (0 ≤ n ≤ ω) . Ao nos referirmos ao calculo proposi-cional paracompleto, nos restringiremos ao calculo P1 dessa hierarquia. Devemos notar que, noscalculos Pn (0 ≤ n ≤ ω) , a negacao paracompleta e um conectivo primitivo da linguagem.

92Utilizaremos o sımbolo “¬q” para simbolizar a negacao paracompleta. Do mesmo modo, uti-lizaremos ⊢P1 e ⊧P1 para as nocoes de consequencia sintatica e semantica, respectivamente, daLogica Paracompleta. Assumiremos aqui diversas outras definicoes previas que devem ser feitascomo, por exemplo, a nocao de consequencia sintatica e semantica. Cf. Grana (2007).


P3 α,α → β/β

P4 ((α → β)→ α)→ α

P5 (α ∧ β)→ α

P6 (α ∧ β)→ β

P7 α → (β → (α ∧ β))

P8 α → (α ∨ β)

P9 β → (α ∨ β)

P10 (α → γ)→ ((β → γ)→ ((α ∨ β)→ γ))

P11 α → ((α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬qα))

P12 (α ∧ β)→ ((α → β) ∧ (α ∧ β) ∧ (α ∨ β)) ∧ (¬qα))

P13 ¬q(α ∧ ¬qα)

P14 α → (¬qα → β)

P15 α → ¬q¬qαNote que P1 satisfaz o PNC (axioma P13), de modo que, uma vez que uma

formula satisfaca o PTE (i.e., seja o caso que α), essa formula se comportaracomo uma formula classica.

Como e apresentado em Grana (2007, p.70), as seguintes formulas nao saoteoremas de P1:

(1) α ∨ ¬qα

(2) ¬q(α ∨ β)↔ (¬qα ∧ ¬qβ)

(3) ¬q(α ∧ β)↔ (¬qα ∨ ¬qβ)

(4) ¬q¬qα → α

(5) (α → β)→ (¬qβ → ¬qα)

Em contrapartida, as seguintes formulas sao teoremas de P1:

(1) ⊢P1 (α ∧ ¬qα)→ β

(2) ⊢P1 α ∨ (α → β)

(3) ⊢P1 α → (¬q¬qα → α)

Repare que (1) e o Ex Falso, enquanto que em (3) obtemos que, se uma formulae bem comportada, entao a eliminacao da dupla negacao se segue – uma vez que,em formulas bem comportada, a negacao paracompleta tera as propriedades danegacao classica.


5.4.2. Negacao Paracompleta, Bom Comportamento e Negacao Forte

O que vimos ate agora nos evidencia um aspecto muito importante da negacaoparacompleta: ela nao e equivalente nem a negacao classica, nem a paraconsis-tente. Nos desenvolvimentos dos calculos Pn (0 ≤ n ≤ ω) , da Costa e Marconi(1986) tambem oferecem uma definicao do que chamam de “negacao forte” (parao calculo paracompleto):

Definicao 6 (Negacao (Paracompleta) Forte). ¬⋆qαdef= ¬qα ∧ α

Lembrando que as formulas de P1 satisfazem o PNC (axioma P13), umavez que uma formula de P1 tambem satisfaca o PTE, a negacao [paracompleta]dessa formula tera as propriedades da negacao classica. Desse modo, podemosentender a Negacao (Paracompleta) Forte como sendo a negacao classica de umaformula.

Um aspecto importante que temos de ressaltar, que diz respeito ao operador debom comportamento do calculo paracompleto, e evidenciado por uma variacao doteorema 2 para P1:

Corolario 5. Em P1, temos que ⊢P1 α → (¬qα)

Demonstracao. α → (¬qα) significa que (α∨¬qα)→ (¬qα∨¬q¬qα). Suponhaque (a) α ∨ ¬qα. Ou seja, ou temos (a.1) α ou temos (a.2) ¬qα. De (a.1) α,aplicando o axioma P15 obtemos (a.1.1) ¬q¬qα e, de (a.1.1) pelo axioma P9obtemos (b) ¬qα ∨ ¬q¬qα. De (a.2) ¬q¬qα, aplicando o axioma P8 obtemosnovamente (c) ¬qα ∨ ¬q¬qα. Dado o axioma P10, de (a.1) obtemos (c) – α →(¬qα ∨ ¬q¬qα); e de (a.2) obtemos (c) – ¬qα → (¬qα ∨ ¬q¬qα). Portanto, porP10, obtemos que (α ∨ ¬qα)→ (¬qα ∨ ¬q¬qα). ◻

Para o corolario seguinte, utilizaremos a expressao ¬1q ...¬nqα para denotar uma

formula (finita) com n reiteracoes da negacao paracompleta.

Corolario 6. Em P1, temos que ⊢P1 α → (¬1

q ...¬nqα)

Demonstracao. A prova se segue por inducao. Suponha que (a) α, pelo Co-rolario 5 (p. 86) obtemos que (a.1) (¬1

qα). De (a.1), pelo Corolario 5, obte-mos que (a.2) (¬1

q¬2qα). Podemos repetir o procedimento ate ¬1

q ...¬n−1q α que,

pelo Corolario 5 obteremos (b) (¬1q ...¬nqα). Por esse resultado, e uma cons-

tante aplicacao do Silogismo Hipotetico (garantido pelo axioma P1), obtemosque α → (¬1

q ...¬nqα). ◻

Podemos inferir desses teoremas que, se uma formula e bem comportada, anegacao dessa formula tambem o e. Em outras palavras, se a formula α satisfazo PTE, entao a formula ¬qα tambem o satisfaz. Assim, se α e o caso, obtemosque α ∨ ¬qα, ¬qα ∨ ¬q¬qα, como tambem ¬q¬qα ∨ ¬q¬q¬qα e assim por diante.Isso e equivalente dizermos que, se uma formula e bem comportada, nao importao numero de negacoes paracompletas que colocarmos a sua frente, todas elas seraonegacoes (paracompletas) fortes.


5.4.3. Reductio Paracompleto, Paraconsistente e Classico

Vejamos agora um outro aspecto importante do calculo P1, que e o axiomaP11, que chamaremos de “Reducao ao Absurdo Paracompleta”:

α → ((α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬qα))De acordo com as definicoes apresentadas anteriormente, se e o caso que α e

¬qα, entao temos um caso de ¬⋆qα. Desse modo, podemos utilizar a definicao danegacao forte (Def. 6) e reescrever o axioma P11 como:

(α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬⋆qα)E, uma vez que a negacao [paracompleta] forte (¬⋆q ) preserva as proprieda-

des da negacao classica, poderıamos compreender intuitivamente o axioma P11como:

(α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬cα)

Essa leitura nos permite comparar as tres formas de reductio apresentadas ateaqui:

(1) Classica:93 (α → β)→ ((α → ¬cβ)→ ¬cα)

(2) Paraconsistente:94 (α → β)→ ((α → ¬cβ)→ ¬pα)

(3) Paracompleta:95 (α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬cα)

E essa comparacao nos sera importante com o trabalho que a frente desenvol-veremos.

5.4.4. A Semantica da Negacao Paracompleta

Nao desenvolveremos toda a semantica para P1 aqui. Todavia, existem al-guns aspectos semanticos da negacao paracompleta que precisam ser levados emconsideracao. Como vimos para LPC, a funcao-valoracao da negacao classica edefinida como (1):

υ(¬cα) = 1⇔ υ(α) = 0

E, como vimos para C1, a funcao-valoracao da negacao paraconsistente e de-finida como (2):

υ(¬pα) = 0⇒ υ(α) = 1

93Visto na pagina 72.94Visto na pagina 80.95Visto na pagina 87.


A definicao (1) coaduna com o fato de que essa negacao satisfaz tanto o PNCquanto o PTE. Por outro lado, a definicao (2) coaduna com o fato de que essanegacao satisfaz o PTE, mas nao o PNC. No entanto, como tambem vimos, nocaso das formulas bem comportadas do calculo paraconsistente, o PNC vale. Pre-cisamos entao oferecer uma valoracao para a negacao paracompleta que permitaque tal negacao satisfaca o PNC, mas nao o PTE. Tal definicao deve tambem per-mitir que, para algumas formulas do calculo paracompleto (viz., as formulas bemcomportadas) satisfacam o PTE.

Uma vez que nao obtemos α∨¬qα como teorema, e como a funcao-valoracaoda disjuncao e a mesma,96 nos casos nos quais α ∨ ¬qα nao e obtido e umcaso no qual tanto α quanto ¬qα tem valor falso. Isto e, sera um caso queυ(α) = υ(¬qα) = 0. Todavia, uma vez que vale o PNC (visto o axioma P13),nao podemos obter uma situacao na qual tanto α quanto ¬qα sejam tomados comoverdadeiros. Portanto, as duas formulas (a formula e sua negacao paracompleta)podem ser falsas ao mesmo tempo, mas nao verdadeiras ao mesmo tempo. Pode-mos entao definir uma valoracao para a negacao paracompleta do seguinte modo:

(3) Se υ(¬qα) = 1, entao υ(α) = 0

O que se segue:

(3.1) Se υ(α) = 1, entao υ(¬qα) = 0

A semantica valorativa para P1 foi oferecida em Loparic e da Costa (1984),sendo a funcao-valoracao definida como:

Definicao 7 (Valoracao para P1 (A. Loparic)). Uma valoracao para P1 e ummapeamento υ ∶ F Ð→ 1,0 sendo F o conjunto de formulas de P1 e 1,0 oconjunto de valores-de-verdade, onde 1 e valor designado e 0 valor nao-designado,tal que:

(0) υ(α) = 1⇔ υ(α) /= 0

(1) υ(α) = 1⇒ υ(¬qα) = 0

(2) υ(α) /= υ(¬qα)⇒ υ(¬qα) /= υ(¬q¬qα)

(3) Se υ(α) /= υ(¬qα) e υ(β) /= υ(¬qβ), entao υ(α → β) /= υ(¬q(α → β)),υ(α ∧ β) /= υ(¬q(α ∧ β)) e υ(α ∨ β) /= υ(¬q(α ∨ β))

(4) υ(¬q(α ∧ ¬qα)) = 1

A partir dessa valoracao, obtemos que P1 e decidıvel pelo metodo de valoracao eha um tableux semantico e decidıvel por esse metodo.97

96Isto e, υ(α ∨ β) = 1 sse υ(α) = 1 ou υ(β) = 1.97Cf. Loparic e da Costa (1984) e Marconi (1980).

5.5. Logica Nao-Aletica 89

Com essa definicao para a funcao-valoracao para P1, provamos que tanto oPNC quanto o Ex Falso sao tautologias, mas nao o PTE.

Teorema 10.

(PNC) ⊧P1 ¬q(α ∧ ¬qα)

(EF) ⊧P1 α → (¬qα → β)

(PTE) /⊧P1 α ∨ ¬qα


Sabemos que se uma formula e bem comportada (α), entao ela satisfaz o PTE.A essas formulas obtemos resultados importantes:

Teorema 11.

(1) α ⊧P1 α ∨ ¬qα

(2) α, β ⊧P1 ¬q(α ∨ β)↔ (¬qα ∧ ¬qβ)

(3) α, β ⊧P1 ¬q(α ∧ β)↔ (¬qα ∨ ¬qβ)

(4) α ⊧P1 ¬q¬qα → α

(5) α, β ⊧P1 (α → β)→ (¬qβ → ¬qα)

Demonstracao. Fica como exercıcio par ao leitor. ◻

Outro resultado interessante e que a versao do Teorema de Arruda (Teo. 6)para o calculo paracompleto nao e uma tautologia de P1.

Teorema 12 (A. I. Arruda II). /⊧P1 α

Demonstracao. Sabemos que a formula α significa α∨¬qα, sendo equivalentea (α∨¬qα)∨¬q(α∨¬qα). Suponha que υ(α) = 0, isto e, (a) υ((α∨¬qα)∨¬q(α∨¬qα)) = 0. De (a) obtemos que (a.1) υ(α ∨ ¬qα) = 0 e (a.2) υ(¬q(α ∨ ¬qα)) = 0.De (a.1) obtemos (a.1.1) υ(α) = 0 e (a.1.2) υ(¬qα) = 0. Note, contudo, quenao podemos aplicar mais nenhuma das clausulas da Def. 7 e, deste modo, naoobtemos qualquer contradicao semantica. Portanto, a formula (α∨¬qα)∨¬q(α∨¬qα)) nao e um teorema de P1. ◻

5.5. Logica Nao-Aletica

Apos observarmos os calculos paraconsistentes e paracompletos, que permi-tem introduzirmos a negacao classica atraves dos operadores de bom comporta-mento, percebemos que cada um desses sistemas, de modo independente, contema Logica Classica. Podemos entao propor uma nova pergunta:


Poderia haver um sistema no qual podemos obter as tres negacoes vistas ate agora(viz., negacao classica, paraconsistente e paracompleta)?

Se sim, como seus conectivos, principalmente a negacao (ou as negacoes),funcionariam? Quais seriam os princıpios classicos que seriam satisfeitos, quaisnao seriam e em quais circunstancias? Terıamos o Ex Falso como teorema? E oPTE? Semanticamente, como a(s) negacao(oes) desse sistema se comportaria(m)?Ou melhor, haveria apenas uma negacao que teria um comportamento diferente deacordo com cada formula ou, de outro modo, terıamos tres negacoes independen-tes? Poderıamos compreender as relacoes entre os diferentes tipos de negacao?da Costa (1989) desenvolveu uma hierarquia de calculos que chamou de “Nao-Aleticos” (Nn (0 ≤ n ≤ ω) ) que seriam tratados tanto como paraconsistentesquanto paracompletos (e que seria tambem obteria a Logica Classica). Vejamossuas principais caracterısticas.98

5.5.1. Os Calculos Nn (0 ≤ n ≤ ω)

A ideia geral da Logica Nao-Aletica, como visto, e obter um sistema que per-mita tanto casos de paraconsistencia quanto de paracompletude sem que, com isso,se perca a logica classica. No entanto, como vimos nas secoes anteriores, essascaracterısticas implicam em propriedades sintaticas importantes. Se desejamospermitir paraconsistencia, entao o PNC nao pode vigorar para toda formula; poroutro lado, se desejamos permitir paracompletude, entao o PTE que nao pode vi-gorar para toda formula. Alem do mais, se ha paraconsistencia, entao o sistema eparaconsistente e nao-trivial; e, por outro lado, se ha paracompletude, o sistemanao preserva o PTE. Como podemos entao introduzir tanto paraconsistencia e pa-racompletude de modo que nos seja permissıvel obter, posteriormente, formulasditas classicas?

Vamos apresentar aqui o sistema N1, comecando por sua linguagem. Seja Pum conjunto nao-vazio, denumeravel, de variaveis proposicionais e F o conjuntode Formulas de N1, definido indutivamente tal como se segue:

αdef= pi ∣¬nα ∣α → β ∣α ∧ β ∣α ∨ β ∣

onde pi ∈ P e i e um numero natural; α e β sao formulas; e os sımbolos ¬q,→, ∧ e∨ denotam os conectivos (primitivos) da negacao nao-aletica, implicacao material,conjuncao e disjuncao, respectivamente. A bicondicional e definida usualmente.Antes de apresentarmos os postulados de N1 precisamos definir dois operadoresde bom comportamento.99

98Note que da Costa (1989) desenvolveu nao apenas um calculo proposicional nao-aletico, massim uma hierarquia de calculos proposicionais. Ao nos referirmos ao calculo proposicional nao-aletico, nos restringiremos ao calculo N1 dessa hierarquia. Devemos notar que, nos calculos Nn

(0 ≤ n ≤ ω) , a negacao nao-aletica e um conectivo primitivo da linguagem. Esses e outros detalhespodem ser visto com cuidado em da Costa (1989), Grana (2007) ou Grana (1990a).

99Assumiremos aqui diversas outras definicoes previas que devem ser feitas como, por exemplo,


Definicao 8 (Operadores de Bom Comportamento em N1).

α def= ¬n(α ∧ ¬nα)

α def= α ∨ ¬nαChamaremos o operador de “bom comportamento paraconsistente” (ou “bola

aberta”) e o operador de “bom comportamento paracompleto” (ou “bola fe-chada”).

Podemos reparar que introduzimos na definicao 8 os operadores de bom com-portamento da logica paraconsistente (Def. 2, p. 77) e da logica paracompleta(Def. 5, p. 84). Vejamos agora os postulados d N1.

Postulados 4 (Calculo N1).

N1 (α → β)→ ((α → (β → γ))→ (α → γ))

N2 α → (β → α)

N3 α,α → β/β

N4 ((α → β)→ α)→ α

N5 (α ∧ β)→ α

N6 (α ∧ β)→ β

N7 α → (β → (α ∧ β))

N8 α → (α ∨ β)

N9 β → (α ∨ β)

N10 (α → γ)→ ((β → γ)→ ((α ∨ β)→ γ))

N11 α ∧ β → ((α → β)→ ((α → ¬nβ)→ ¬nα))

N12 (α ∧ β)→ ((α → β) ∧ (α ∧ β) ∧ (α ∨ β)) ∧ (¬nα))

N13 (α ∧ β)→ ((α → β) ∧ (α ∧ β) ∧ (α ∨ β)) ∧ (¬nα))

N14 α → ((α → ¬n¬nα) ∧ (α → (¬nα → β)))

N15 α → (¬n¬nα → α)

N16 α ∨ α

Note que N1 nao tem como axioma nem o PNC e nem o PTE. Esse sistema,prima facie, e tanto paraconsistente quanto paracompleto.

a nocao de consequencia sintatica e semantica. Para mais, ver da Costa (1989); Grana (2007) ouGrana (1990a).


5.5.2. A Negacao Nao-Aletica e as Negacoes Aleticas

O calculo N1 tem como caracterıstica, como podemos ver em seus postula-dos, introduzir apenas um conectivo de negacao. Atraves dele podemos obter,atraves dos bons comportamentos das formulas, a negacao classica, a paraconsis-tente e a paracompleta. Dado o axioma N16, sabemos que ou uma formula e bemcomportada no sentido paraconsistente, ou ela e bem comportada no sentido pa-racompleto. Isso impede, portanto, uma formula ser mal comportada em ambosos sentidos. Visto isso, podemos obter tres casos: (1) ser bem comportada no sen-tido paraconsistente, mas ser ma comportada no sentido paracompleto – ou seja, aformula satisfaz o PNC, mas nao satisfaz o PTE; (2) ser bem comportada no sen-tido paracompleto, mas ser ma comportada no sentido paraconsistente – ou seja,a formula satisfaz o PTE, mas nao satisfaz o PNC; e, por fim, (3) ser bem com-portada em ambos os sentidos – satisfazendo assim tanto o PNC quanto o PTE –posto que a disjuncao e inclusiva. Atraves desses tres casos nos podemos definiras negacoes paraconsistente, paracompleta e classica:

Definicao 9 (Negacoes Aleticas em N1).

(1) Negacao Paraconsistente: ¬pα def= ¬n(α) ∧ (α ∧ ¬nα)

(2) Negacao Paracompleta: ¬qα def= ¬n(α) ∧ (α ∧ ¬nα)

(3) Negacao Classica: ¬cα def= (α ∧ α) ∧ ¬nα

Apenas para estabelecermos uma terminologia, em Nn (0 ≤ n ≤ ω) , chama-remos uma formula de

Formula Classica se a formula satisfaz tanto o PTE quanto o PNC (i.e., se aformula for bem comportada no sentido paracompleto e paraconsistente)

Formula Paraconsistente: se a formula satisfizer o PTE, mas nao satisfizer oPNC (i.e., e bem comportada no sentido paracompleto, mas nao no sentidoparaconsistente)

Formula Paracompleta: se a formula satisfizer o PNC, mas nao satisfizer oPTE (i.e., e bem comportada no sentido paraconsistente, mas nao no sentidoparacompleto)

Atraves das caracterısticas apresentadas acima nos obtemos metateoremas im-portantes quanto ao calculo N1:

Teorema 13. Adicionar o PTE a N1, i.e., o esquema α ∨ ¬nα, obtemos o calculoparaconsistente C 1.

Demonstracao. Em da Costa (1989, p.30). ◻

Teorema 14. Adicionar o PNC a N1, i.e., o esquema ¬n(α ∧ ¬nα), obtemos ocalculo paracompleto P1



Teorema 15. Se adicionar tanto o PNC como do PTE como esquemas de N1 nosobtemos LPC.


Outro aspecto importante que temos de ressaltar, que diz respeito aos opera-dores de bom comportamento do calculo N1, e evidenciado por uma variacao doteorema 2 (p. 79) e 5 (p. 86) para C1 e P1, respectivamente:

Corolario 7. Em N1, temos que:

(a) ⊢N1 α → (¬nα)

(b) ⊢N1 α → (¬nα)

(c) ⊢N1 (α ∧ α)→ ((¬nα) ∧ (¬nα))

Isto e, em (a) obtemos que, se α e uma formula paraconsistente, entao ¬nα serauma formula paraconsistente; em (b) obtemos que, se α e uma formula paracom-pleta, entao ¬nα sera uma formula paracompleta; e, por fim, em (c) obtemos que,se α e uma formula classica, entao ¬nα sera uma formula classica.

Demonstracao. (a) e obtido diretamente pelo postulado N12; (b) e obtido direta-mente pelo postulado N13; e (c) e obtido pela aplicacao direta tanto de N12 quantoN13. ◻

Para o corolario seguinte, utilizaremos a expressao ¬1n...¬nnα para denotar uma

formula (finita) com n reiteracoes da negacao nao-aletica.

Corolario 8. Em N1, temos que:

(a) ⊢N1 α → (¬1

n...¬nnα)

(b) ⊢N1 α → (¬1

n...¬nnα)

(c) ⊢N1 (α ∧ α)→ ((¬1n...¬nnα) ∧ (¬1

n...¬nnα))

Isto e, em (a) obtemos que, se α e uma formula paraconsistente, entao seja n onumero de ocorrencias de negacao nao-aletica ligadas a α (i.e., ¬1

n...¬nn) a formularesultante ¬1

n...¬nnα sera uma formula paraconsistente; do mesmo modo, em (b)obtemos que, se α e uma formula paracompleta, entao ¬1

n...¬nnα sera uma formulaparacompleta; e, por fim, em (c) obtemos que, se α e uma formula classica, entao¬1n...¬nnα sera uma formula classica.

Demonstracao. Sera obtido utilizando o mesmo metodo dos corolarios do teore-mas 2 (p. 79) e 5 (p. 86), mas aplicando tal metodo sobre os resultados do teorema7 (p. 93). ◻


5.5.3. Reductio Nao-Aletico, Paracompleto, Paraconsistente eClassico

O axioma N11 introduz o que chamaremos de “Reducao ao Absurdo Nao-Aletica”. Esse axioma nos diz que, se uma formula α for paracompletamente bemcomportada (ou seja, que satisfaca o PTE) implique na contradicao de uma formulaβ paraconsistentemente bem comportada (ou seja, que satisfaca o PNC), entao issoimplica que ¬nα – i.e., introduzimos a negacao aletica de α.

Tal como fizemos nas sessoes anteriores, e dada a definicao das negacoesaleticas em termos da negacao nao-aletica (Def. 9), podemos tentar compreen-der (de alguns modos diferentes) o axioma N11

α ∧ β → ((α → β)→ ((α → ¬nβ)→ ¬nα))

Dada a definicao 9 (p. 92), se uma formula e bola aberta (bem comportadano sentido paraconsistente), entao ela ou e uma formula paracompleta, ou e umaformula classica (no caso de ser tambem bola fechada, i.e., bem comportada nosentido paracompleto). Por outro lado, se uma formula e bola fechada, entao ouela e uma formula paraconsistente, ou e uma formula classica (no caso de serbola aberta tambem). Portanto, se obtivermos apenas que ela e bem comportadade um modo especıfico, nao podemos decidir qual a natureza da sua negacao atesabermos se ela e ou nao ma comportada no outro sentido. Disso se segue quatrointerpretacoes diferentes do axioma N11.

(I) ¬n(α) ∧ α,¬n(β) ∧ β ⊢N1 ((α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬pα))

(II) α ∧ α,¬n(β) ∧ β ⊢N1 ((α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬cα))

(III) ¬n(α) ∧ α, β ∧ β ⊢N1 ((α → β)→ ((α → ¬cβ)→ ¬pα))

(IV) α ∧ α, β ∧ β ⊢N1 ((α → β)→ ((α → ¬cβ)→ ¬cα))

Em (I) temos uma situacao na qual a formula α e ma comportada paraconsis-tentemente (ou seja, nao satisfaz o PNC), mas e bem comportada no sentido para-completo (ou seja, satisfaz o PTE) e, por outro lado, a formula β e bem comportadaparaconsistentemente, mas ma comportada no sentido paracompleto. Assim, sa-bemos que qualquer negacao de α se comportara como a negacao paraconsistentee qualquer negacao de β sera paracompleta (dada a definicao 9).

Em (II) temos um caso no qual α e bem comportada nos dois sentidos, mas βcontinua sendo ma comportada no sentido paracompleto. Desse modo, a negacaode α se comportara como classica e, ainda, a negacao de β sera paracompleta.

Em (III) obtemos o inverso, sendo α ma comportada no sentido paraconsis-tente e bem comportada no sentido paracompleto, enquanto que β e bem compor-tada nos dois sentidos. Portanto, qualquer negacao de α se comportara como umanegacao paraconsistente, enquanto que as negacoes de β serao classicas.


Por fim, em (IV) tanto α quanto β satisfazem o bom comportamento paracon-sistente e o bom comportamento paracompleto, o que segue que qualquer negacaode α ou de β se comportara como a negacao classica.

Essas quatro situacoes sao importantes, pois podemos compreende-los intuiti-vamente (dada a definicao 9 das negacoes aleticas) do seguinte modo:

(I) ((α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬pα))

(II) ((α → β)→ ((α → ¬qβ)→ ¬cα))

(III) ((α → β)→ ((α → ¬cβ)→ ¬pα))

(IV) ((α → β)→ ((α → ¬cβ)→ ¬cα))

Agora note que em C1, dado que todas as formulas satisfazem o PTE, se elasatisfaz o PNC (i.e., satisfaz o operador bola aberta), entao ela e classica. Assim, aReducao ao Absurdo obtida em (III) e equivalente a Reducao ao Absurdo Paracon-sistente. Por outro lado, em P1, dado que todas as formulas satisfazem o PNC,se ela satisfaz o PTE (i.e., satisfaz o operador bola fechada), entao ela e classica.Desse modo, a Reducao ao Absurdo obtida em (II) e equivalente a Reducao aoAbsurdo Paracompleta. E, por fim, como todas as formulas de LPC satisfazemo PTE e o PNC (i.e., satisfazem tanto o operador bola aberto quanto o operadorbola fechada), segue que a Reducao ao Absurdo obtida em (IV) e equivalente aReducao ao Absurdo Classica. O que obtemos de diferente nessa analise, comopodemos ver, e o caso (I), que chamaremos de “Reducao ao Absurdo Nao-Aletica”(haja visto o sistema que estamos trabalhando).100

5.5.4. A Semantica da Negacao Nao-Aletica

Nao desenvolveremos toda a semantica de Nn (0 ≤ n ≤ ω) aqui. Todavia,existem alguns aspectos semanticos da negacao nao-aletica que precisam ser leva-dos em consideracao. Como vimos para LPC, a valoracao para a negacao classicae definida como (1):

υ(¬cα) = 1⇔ υ(α) = 0

Ja para C1, a valoracao para a negacao paraconsistente e definida como (2):

υ(¬pα) = 0⇒ υ(α) = 1

E, como visto para P1, a valoracao para a negacao paracompleta e definidacomo (3)

υ(¬qα) = 1⇒ υ(α) = 0

100Devemos notar que a Reducao ao Absurdo Nao-Aletica parece caracterizar uma nocao minimalde Reducao ao Absurdo: se formula α satisfaz o PTE e implica em uma formula β, que satisfaz oPNC, como tambem implica na negacao de β, entao obtemos a negacao de α.


No entanto, a negacao nao-aletica nao tem significado independente da natu-reza da formula – i.e., a negacao nao-aletica, ¬n, ao ser ligada em uma formulaqualquer α, nao tera significado a nao ser que α seja uma formula paraconsistente,paracompleta ou classica. Sendo assim, nao podemos definir a funcao-valoracaoda negacao nao-aletica sem apelarmos para o comportamento da formula que estaa ela ligada. Em da Costa (1989, p.31), e oferecida uma valoracao para N1 comose segue.

Definicao 10 (Valoracao de N1). Uma valoracao para N1 e um mapeamento υ ∶FÐ→ 1,0, sendo F o conjunto de formulas de N1 e 1,0 o conjunto de valores-de-verdade, onde 1 e valor designado e 0 valor nao-designado, tal que:

(1) Se α e um axioma de N1, entao υ(α) = 1

(2) Se υ(α) = υ(α → β) = 1, entao υ(β) = 1

(3) Existe ao menos uma formula β tal que υ(β) = 0

Contudo, note que nao ha uma definicao explıcita para a negacao nao-aletica.No entanto, de acordo com o que vimos, podemos definir a funcao-valoracao paraa negacao nao-aletica do seguinte modo:101

Definicao 11 (Valoracao da Negacao de N1).

(4) Se υ(α) = υ(α) = 1, entao υ(¬nα) = 1⇔ υ(α) = 0

(5) Se υ(α) = 1 e υ(α) = 0, entao υ(¬nα) = 0⇒ υ(α) = 1

(6) Se υ(α) = 0 e υ(α) = 1, entao υ(¬nα) = 1⇒ υ(α) = 0

Repare que tivemos que impor como condicao para valorarmos a negacaonao-aletica que tenhamos, como antecedente, a valoracao do comportamento daformula a qual a negacao esta conectada. Sem isso, i.e., se obtermos apenaso valor-de-verdade da formula α, nao e possıvel caracterizar semanticamente anegacao nao-aletica de α.

5.6. Quadro Comparativo

Vejamos um panorama das propriedades que os sistemas apresentados anteri-ormente preservam (ou nao):

Consistencias e Trivialidade:

LPC: Consistente e Nao-Trivial

C1: Paraconsistente e Nao-trivial101Note que a definicao a seguir e oferecida por nos, nao sendo ela encontrada na literatura.

5.6. Quadro Comparativo 97

P1: Consistente, Nao-trivial

N1: Paraconsistente e Nao-trivial

Princıpio da Identidade, Terceiro Excluıdo e Nao-Contradicao:

LPC: Satisfaz Identidade, Nao-Contradicao e Terceiro Excluıdo

C1: Satisfaz Identidade e Terceiro Excluıdo, mas nao satisfaz a Nao-Contradicao

P1: Satisfaz Identidade e Nao-Contradicao, mas nao satisfaz o TerceiroExcluıdo

N1: Satisfaz Identidade, mas nao satisfaz Terceiro Excluıdo e Nao-Contradicao

Ex Falso e Terceiro Excluıdo:

LPC: Ambos sao teoremas

C1: Terceiro Excluıdo e teorema, mas nao Ex Falso (que so vale para asformulas que sao “bola aberta”)

P1: Ex Falso e teorema, mas nao Terceiro Excluıdo (que so vale para asformulas que sao “bola fechada”)

N1: Nenhum e teorema em geral, mas Ex Falso e teorema para as formulasque sao “bola aberta” e Terceiro Excluıdo e teorema para as formulas quesao “bola fechada”

Semantica da Negacao:

LPC: υ(¬cα) = 1⇔ υ(α) = 0

C1: υ(¬pα) = 0⇒ υ(α) = 1

P1: υ(¬qα) = 1⇒ υ(α) = 0

N1: Nao e caracterizada de modo independente da formula a qual esta li-gada, dependendo assim do comportamento desta formula

Formulas Bem Comportadas e Negacao Forte:


LPC: Nao e definido operador de bom comportamento, uma vez que todasas formulas de LPC seriam bem comportadas tanto no sentido paraconsis-tente quanto no sentido paracompleto

C1: Se uma formula e bem comportada no sentido paraconsistente (α),entao a negacao dessa formula (i.e., negacao [paraconsistente] forte) pre-serva as propriedades da negacao classica

P1: Se uma formula e bem comportada no sentido paracompleto (α),entao a negacao dessa formula (i.e., negacao [paracompleta] forte) preservaas propriedades da negacao classica

N1: A negacao de uma formula bem comportada no sentido paraconsistente(α) e e uma negacao paracompleta ou classica; A negacao de uma formulabem comportada no sentido paracompleto (α) e uma negacao paraconsis-tente ou classica; por fim, a negacao de uma formula bem comportada tantono sentido paraconsistente como no sentido paracompleto preserva as pro-priedades da negacao classica

Reiteracao de Negacoes em Formulas Bem Comportadas:

LPC: Como nao ha operadores de bom comportamento, as ocorrencias den negacoes em uma formula classica serao, todas, negacoes classicas

C1: Se uma formula for bem comportada, entao todas as negacoes paracon-sistentes conectadas a ela (independente do numero) serao negacoes [para-consistentes] fortes – Teo. 2

P1: Se uma formula for bem comportada, entao todas as negacoes para-completas conectadas a ela (independente do numero) serao negacoes [pa-racompletas] fortes – Teo. 5

N1: Se uma formula for (i) paraconsistente (ii) paracompleta ou (iii)classica, entao todas negacoes nao-aleticas conectadas a ela (independentedo numero) serao negacoes (i) paraconsistentes (ii) paracompletas ou (iii)classicas – Teo. 7

Tendo em vista essas propriedades gerais que cada sistema apresentado pre-serva (ou nao), podemos observar que parte crucial desses sistemas depende domodo como a negacao funciona (atrelado, obviamente, ao bom ou mau comporta-mento das formulas que a negacao esta conectada). No entanto, as quatro negacoesdiscutidas (classica, paraconsistente, paracompleta e nao-aletica) preservam pro-priedades diferentes umas das outras. Poderıamos nos perguntar: em face a tantadiferenca, o que elas preservam em comum para que seja correto chama-las, to-das, de “negacoes”? Em outras palavras, o que faz delas negacoes ou, de modo

5.7. Negacoes e o Quadrado das Oposicoes 99

geral, o que torna um conectivo ser uma negacao? Para oferecermos uma respostasatisfatoria a essa pergunta deverıamos nos adentrar a um trabalho muito maior,envolvendo desde um projeto exegetico que remonta aos trabalhos desenvolvidona Grecia Antiga, ate mesmo analise do uso de frases negativas em linguagensnaturais. Todavia, este nao e o foco do presente trabalho. Assumiremos, por en-quanto, tal como encontramos na tradicao logico-filosofica, que os referidos co-nectivos apresentam tres tipos de negacao (ou modos de se negar), que podem sercaracterizadas utilizando o famigerado quadrado das oposicoes.102

5.7. Negacoes e o Quadrado das Oposicoes

O quadrado das oposicoes remonta originalmente aos trabalhos deAristoteles,103 sendo esta uma analise de frases assertivas e suas negacoes. Demodo usual, sua apresentacao analisa quatro tipos de expressoes:104

A Universais Afirmativas: Todo S e P (∀x(Sx→ Px))

E Universais Negativas: Nenhum S e P (∀x(Sx→ ¬Px))

I Particulares Afirmativas: Algum S e P (∃x(Sx ∧ Px))

O Particulares Negativas: Algum S nao e P (∃x(Sx ∧ ¬Px))

Sendo elas dispostas em um quadrado que as relacionam, cujo diagrama seriarepresentado do seguinte modo:

102Note que trataremos das negacoes classica, paraconsistente e paracompleta, sendo a quartanegacao supracitada, a negacao nao-aletica, um tipo de negacao (ou modo de se negar) que se com-porta de acordo com alguma dessas tres negacoes, como visto.

103Cf. Parsons (2017)104Utilizarei aqui formulas da logica classica de primeira ordem para representar as afirmacoes

analisadas no quadrado de oposicao, assumindo que sua sintaxe e semantica sejam conhecidas peloleitor.


Suba

ltern

as

Contrarias

Sub-Contrarias

Contra

ditori

as

Subalternas

∀x (Sx → Px) ∀x (Sx → ¬Px)

∃x (Sx ∧ ¬Px)∃x (Sx ∧ Px)

Contraditorias

Todo S e P Nenhum S e P

Algum S e P Algum S nao e P

(A) (E)

(I) (O)

Como podemos facilmente observar, as proposicoes do tipo (A) UniversaisAfirmativas e as do tipo (O) Particulares Negativas sao contraditorias, do mesmomodo que as proposicoes do tipo (E) Universais Negativas e as do tipo (I) Parti-culares Afirmativas. Isto e, as proposicoes do tipo (A) e (O) nao podem (em umasemantica padrao) ter o mesmo valor-de-verdade ao mesmo tempo – i.e., em umamesma valoracao. O mesmo se segue para as proposicoes do tipo (E) e (I). Poroutro lado, as proposicoes do tipo (A) Universais Afirmativas e as do tipo (E) Uni-versais Negativas sao chamadas de contrarias, podendo ser ambas falsas ao mesmotempo, ainda que nao possam ser ambas verdadeiras ao mesmo tempo. Por fim,as proposicoes do tipo (I) Particulares Afirmativas e as proposicoes do tipo (O)Particulares Negativas podem, por outro lado, ser verdadeiras ao mesmo tempo,ainda que nao possam ser falsas ao mesmo tempo.

As relacoes de contraditoriedade, contrariedade e sub-contradiedade parecemrefletir aspectos importantes das tres negacoes que avaliamos.105 Uma formula αe sua negacao classica, ¬cα, parecem refletir uma relacao de contradicao, postoque α e ¬cα nao podem ter o mesmo valor-de-verdade ao mesmo tempo (i.e.,em uma mesma valoracao). Por outro lado, uma formula α e sua negacao para-completa, ¬qα, parecem refletir uma relacao de contrariedade, uma vez que α e¬qα podem ser falsas ao mesmo tempo, ainda que nao verdadeiras. Por fim, umaformula α e sua negacao paraconsistente, ¬pα, parecem refletir uma relacao desub-contrariedade, visto que α e ¬pα podem ser verdadeiras ao mesmo tempo,mas nao falsas. Poderıamos observar essas relacoes na seguinte figura:106

105Cf. Slater (1995); Beziau (2003) e Arenhart (2015).106Como destaca Arenhart (2015, p. 528): “[...] this terminology applies when we consider that the

5.7. Negacoes e o Quadrado das Oposicoes 101

Contra

rias

Con

trad

itori

as

¬c α

¬p α¬q α

Sub-Contrarias

α

De modo geral, parece que podemos aceitar tal representacao para compre-endermos as relacoes de contrariedade, sub-contrariedade e contradicao que haentre uma formula e os tres tipos de negacoes que vimos. Mas haveria algumarelacao de subalternacao? Pensemos nas relacoes semanticas que vimos anterior-mente. A negacao classica nos garante que se uma formula for verdadeira, suanegacao classica e falsa e, do mesmo modo, se a negacao classica de uma formulafor verdadeira, entao a formula e falsa. Por outro lado, se uma formula for falsa,sua negacao paraconsistente e verdadeira (ou, se a negacao paraconsistente de umaformula for falsa, entao a formula e verdadeira). Por fim, se uma formula for ver-dadeira, sua negacao paracompleta e falsa (ou, do mesmo modo, se a negacaoparacompleta de uma formula for verdadeira, a formula e falsa). Isso e descritoem:

(i) υ(¬cα) = 1⇔ υ(α) = 0

(ii) υ(¬pα) = 0⇒ υ(α) = 1

(iii) υ(¬qα) = 1⇒ υ(α) = 0

Como podemos observar, se ¬qα e verdadeiro, entao α e falso. Se α e falso,entao ¬cα e verdadeiro. Ou seja, υ(¬qα) = 1 ⇒ υ(¬cα) = 1. Temos, portanto,uma relacao de subalternacao entre a negacao paracompleta e a negacao classica.Suponhamos agora que ¬cα e verdadeira. Disso se segue que α e falso. Comovimos anteriormente, se α e falso, entao ¬pα e verdadeiro. Portanto, temos umasegunda relacao de subalternacao: υ(¬cα) = 1 ⇒ υ(¬pα) = 1. Por fim, posto

relations of opposition encapsulated by these negations mimic the relations of opposition describedin terms of the traditional square”. Alem disso, outro aspecto importante ressaltado pelo autor e que“[...] the usual procedure in logic texts is to keep calling an expression of the form [α ∧ ¬pα] acontradiction (it could be called a ‘paraconsistent contradiction’), and the same is usually done forparacomplete negation”.


que υ(¬qα) = 1 ⇒ υ(¬cα) = 1 e υ(¬cα) = 1 ⇒ υ(¬pα) = 1, disso se segueque: υ(¬qα) = 1 ⇒ υ(¬pα) = 1. Ou seja, obtemos uma terceira relacao desubalternacao, formando assim o seguinte tetraedro:

Contra

rias

Con

trad

itori

as

¬c α

¬p α¬q α

Sub-Contrarias

α

Suba

ltern

as

Subalternas

Subalternas

Parece apropriado dizer que essas relacoes entre as tres negacoes fazem sen-tido. Mas podemos compreende-las em algum dos sistemas vistos anteriormente?O unico sistema logico que nos permite tratar das tres negacoes e o Calculo Propo-sicional Nao-Aletico Nn (0 ≤ n ≤ ω). Deste modo, parece que estamos justifica-dos a nos questionar: podemos compreender essas relacoes no calculo Nn? Comofoi ressaltado anteriormente, no tocante a reiteracao de negacoes, nos calculos Nn,se uma formula for (i) paraconsistente (ii) paracompleta ou (iii) classica, entaotodas negacoes nao-aleticas conectadas a ela (independente do numero) seraonegacoes (i) paraconsistentes (ii) paracompletas ou (iii) classicas – isso por contado Teorema 7, p. 93. Portanto, se uma formula α for bem comportada no sentidoparaconsistente (satisfizer o PNC) e no sentido paracompleto (satisfizer o PTE),entao toda negacao conectada a α sera uma negacao classica – independente donumero de negacoes reiteradas. Deste modo, nunca poderemos obter em Nn umaformula como ¬cα → ¬pα ou, por exemplo, uma formula como ¬c¬p¬qα. Semessas formulas nos nao poderıamos compreender relacoes importantes entre as tresnegacoes (que exigiriam estar conectadas a uma mesma formula).

Ficamos assim com o seguinte problema: seria possıvel construir um sistemaque permita tratar de todas as relacoes que observamos no tetraedro completo,visto acima? Isto e, haveria algum sistema logico que figuram as tres negacoese que permita relaciona-las, mantendo o espırito (i.e., as caracterısticas teoricas emetateoricas que esperamos encontrar) de cada negacao? Deixaremos esse pro-blema, por enquanto, aberto para o leitor. Em outros trabalhos ofereceremos suasolucao.

Referencias Bibliograficas 103

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Demonstracao, Tempo e Verdadena Filosofia da Matematica: UmaPerspectiva Fenomenologica

Bruno Rigonato Mundim

Resumo

Conceitos matematicos sao eternos ou se modificam ao longo do tempo? Asdefinicoes matematicas, por meio das quais lidamos linguisticamente com essesconceitos, os descrevem ou os criam? Assumindo que a matematica seja umaciencia composta por verdades necessarias, como submeter a verdade de umaproposicao a condicao empırica e temporal de posse e conhecimento de umademonstracao? Sendo a evidencia de uma inferencia ratificada por princıpioslogicos, como argumentar em defesa desses princıpios, uma vez que o princıpioem questao pode estar pressuposto na propria argumentacao? Tendo como hori-zonte essas questoes, nosso objetivo e propor uma maneira coerente de conciliar acondicao contingente e temporal de posse de uma demonstracao com o carater ne-cessario e atemporal do valor de verdade de proposicoes matematicas, de modo aresolver alguns dos problemas que se originam da associacao que o intuicionismofaz entre demonstracao e verdade.

6.1. Introducao

O embate entre platonistas e intuicionistas pode ser abordado a partir da dis-puta acerca do princıpio logico de bivalencia, que diz que uma proposicao ar-bitraria e verdadeira ou falsa. Platonistas o aceitam, intuicionistas o rejeitam.No entanto, para a fenomenologia, princıpios logicos, pela propria condicao deprincıpio, nao podem ser justificados, o que de antemao impediria a defesa deuma posicao nesse debate. Nesse sentido, o que se pode fazer e uma investigacaotranscendental que elucide as bases em que um princıpio se legitima. Assim, de-monstraremos como platonistas e intuicionistas atribuem diferentes sentidos de

107

108 Bruno Mundim – Demonstracao, Tempo e Verdade na . . .

ser aos domınios que constituem a referencia de enunciados significativos, o quenecessariamente condiciona a validade ou nao do princıpio de bivalencia.

A partir disso, a analise fenomenologica do sentido do ser que os intuicionis-tas atribuem ao domınio de seus enunciados significativos nos permitira responderuma questao importante que tem sido debatida nas crıticas a logica intuicionista.Para um intuicionista, a menos que tenhamos a posse de uma prova, nao podemosconsiderar que uma proposicao matematica possui algum valor de verdade. Nessascondicoes, uma proposicao se torna verdadeira a partir do momento em que temosa sua prova em maos. Mas como conciliar esse aspecto temporal e contingente, quese refere a construcao e posse de uma prova, com a necessidade e atemporalidadedas verdades matematicas? Nossa proposta, que assume como modelo a teoriaintuicionista de tipos, consistira em dizer que, ao concebermos o sentido de umaproposicao, a priori estabelecemos compatibilidades e incompatibilidades entre ti-pos, as quais determinam a existencia possıvel de uma prova. Isso implica que todaproposicao, independentemente de termos a posse de sua prova, e possivelmenteverdadeira. Como ficara claro, no entanto, a perspectiva fenomenologica, nao obs-tante elucidar as bases do conflito entre platonistas e intuicionistas, nao nos dacondicoes para eleger uma posicao em detrimento de outra, pois, ao inves de jus-tificar se o princıpio de bivalencia e valido ou nao, apenas esclarece as condicoesque o validam.

O artigo se estrutura da seguinte maneira. No primeiro capıtulo, apresen-taremos o aparato teorico basico da fenomenologia que diz respeito aos temasque serao investigados. Apos analisarmos a incompatibilidade entre realismo eidealismo (ou antirrealismo) matematicos, apresentaremos o idealismo fenome-nologico transcendental, com o intuito de demonstrar sua compatibilidade comuma certa perspectiva realista. Nesse caso, trata-se de um realismo nao ingenuo,em que se pode falar de objetos mentalmente independentes, mas cuja existencianao prescinde de um sentido constituıdo por uma experiencia da consciencia.

No segundo capıtulo, trataremos das divergencias entre platonistas e intuicio-nistas e de como ela se caracteriza a partir de uma analise da validade do princıpiode bivalencia. Veremos que e a intencionalidade do domınio referido por umasentenca que legitima a submissao dessa sentenca a um certo princıpio logico.Dessa forma, diferentes domınios implicam diferentes maneiras de se raciocinarsobre seus objetos, o que impoe limites a ideia de haver princıpios logicos univer-sais. Nesse sentido, o que origina a disputa entre platonistas e intuicionistas e amaneira como cada um deles intenciona o domınio de referencia de suas assercoes,ou seja, e a constituicao intencional de um domınio que exige uma certa logica, enao o contrario.

Por fim, no terceiro capıtulo, trataremos do seguinte problema: se a verdade deuma proposicao matematica e caracterizada por ser necessaria e atemporal, comoconciliar isso com a exigencia intuicionista de que uma proposicao so pode serverdadeira se possuirmos a sua prova? Isso quer dizer que uma proposicao e ver-dadeira apenas apos a existencia de sua prova? O que dizer entao do supostocarater necessario e atemporal das verdades matematicas? Tendo em vista essas

6.2. Uma Perspectiva Fenomenologica 109

questoes, argumentaremos em defesa da possibilidade de se falar de uma nocaoabstrata e atemporal de existencia de uma prova, sem que isso nos comprometacom alguma especie de realismo ingenuo. Desse modo, o carater necessario eatemporal da verdade de uma proposicao matematica nao sera comprometido pelaexigencia intuicionista de que uma proposicao so pode ser considerada verdadeiradesde que se possua a sua prova.

6.2. Uma Perspectiva Fenomenologica

Principalmente com base nos trabalhos de Tieszen e da Silva, introduzimos aseguir a perspectiva teorica da fenomenologia, da qual depende o desenvolvimentodas secoes ulteriores.

Tieszen (2010) defende a tese de que um certo realismo matematico e com-patıvel com o idealismo fenomenologico transcendental de Husserl, levando emconsideracao, sobretudo, a obra deste autor no perıodo em torno de 1907107.Antes de propor a compatibilidade dessas duas concepcoes, Tieszen faz umaapresentacao sumaria do que em geral se entende por realismo – ou platonismo,seu sinonimo – e idealismo matematicos. Restringindo-nos ao que ordinariamentepodemos considerar como sendo aquilo sobre o qual um matematico pensa du-rante o exercıcio de seu ofıcio, incluirıamos entidades abstratas como: objetosgeometricos, numeros, funcoes, grupos, conjuntos, categorias, entre outras, alemde verdades matematicas sobre o que se enuncia a respeito de tais entidades. Aconcepcao realista da matematica defende entao a posicao de que essas entidadessao mentalmente-independentes. Nesse sentido, verdades matematicas, bem comoas entidades abstratas as quais elas se referem, sao da maneira que sao mesmoque nao sejam conhecidas por nenhum sujeito. Elas nao foram construıdas pornos e tampouco sao constituıdas em consonancia com nossa estrutura cognitivaou com os movimentos de nosso arbıtrio. Numa perspectiva mais ampla, os pla-tonistas tambem consideram a existencia independente de entidades que nao saoestritamente matematicas, como sentidos, proposicoes, propriedades, conceitos,essencias, etc., alem de distinguirem entre entidades extensionais e intensionais,algo nao muito usual na pratica matematica. Tieszen procura se limitar ao plato-nismo matematico.

Em oposicao, ha o idealismo ou o antirrealismo matematicos, que, numa cara-cterizacao sumaria, sao tidos como a afirmacao de que as entidades matematicas eas verdades que se enunciam sobre elas sao mentalmente-dependentes. Ademais,tais entidades, apesar de serem abstratas, nao seriam, como no caso do platonismo,eternas ou atemporais.

Colocado nesses termos gerais, nota-se que o realismo e o idealismo ma-tematicos sao incompatıveis. Assim, o objetivo de Tieszen (2010) e caracteri-

107A essa respeito, Tieszen (2010, 1) cita as seguintes obras de Husserl: The Idea of Phenomeno-logy; Ideas I; Cartesian Meditations; parte II de Formal and Transcendental Logic; e trechos depalestras que aparecem em The Phenomenology of the Consciousness of Internal Time.


zar melhor o realismo matematico e demonstrar como ele se compatibiliza como idealismo fenomenologico transcendental, o qual possui particularidades que odistinguem em aspectos importantes do mero idealismo.

Aprofundando a caracterizacao de realismo matematico, os objetos ma-tematicos abstratos mentalmente-independentes envolvem as seguintes proprie-dades108: nao sao entidades mentais, tampouco ideias subjetivas, pensamentosou imagens produzidas por seres humanos; transcendem a consciencia humana,nao sao imanentes a ela; existiriam mesmo que nao houvesse mentes no universo;ser expresso ou ser pensado nao lhes sao propriedades essenciais; sao externos aconsciencia humana, mas como tambem sao abstratos, essa externalidade adquireum sentido diferente do que atribuımos aos objetos fısicos, materiais ou da ex-periencia sensıvel. Nessa direcao, Tieszen (2010, 4) emprega o termo “abstrato”nao no sentido em que e empregado no contexto da teoria Husserliana sobre totali-dades e partes109, onde objetos abstratos nao sao ontologicamente independentes,pois dependem daquilo do qual foram abstraıdos. Para Tieszen, um objeto abstratose caracteriza por nao possuir uma natureza espacial, nao se envolver em ralacoescausais e nao poder ser experienciado por nenhum dos cinco sentidos. Por ou-tro lado, um objeto concreto, que e ontologicamente independente da existenciade outros objetos, realizaria positivamente todas essas condicoes. Alem disso, aocontrario de objetos situados no espaco fısico ou de objetos do sentido interno –pensamentos, processos mentais, imagens –, os objetos matematicos abstratos naopossuem uma extensao temporal, ou como dizem alguns platonistas, sao eternosou atemporais, de modo que nao se sujeitam a geracao ou a corrupcao.

Tieszen (2010, 5) chama a atencao para a distincao husserliana entre objetosreais e ideais, a qual contribuira para a sua caracterizacao de realismo matematico.Um objeto ideal pode ser compreendido nos mesmos termos da nocao de objetoabstrato dada acima – uma entidade nao mental, independente, atemporal. Quantoaos objetos reais, eles se diferenciam dos ideais sobretudo por possuırem umaduracao temporal, o que se aplica tanto a objetos do sentido externo, i.e., situadosnum espaco e num tempo externo, quanto a objetos do sentido interno. Ainda quepossamos falar isoladamente de uma parte nao independente de um objeto real, talparte, que e tambem um objeto real, nao existe isoladamente do todo do qual eparte. Assim, se para Husserl os objetos matematicos sao objetos ideais, temos umrealismo como o descrito nos moldes acima, em que, ao contrario de um realismoontologico imanente, como o de Aristoteles, por exemplo, a existencia dos objetosmatematicos nao depende da existencia de objetos reais.

Uma outra distincao entre objetos reais e ideais que interessa a Tieszen dizrespeito a diferenciacao, que pode ser remontada a Platao, entre exato e inexato,perfeito e imperfeito. Isso quer dizer que os objetos ideias matematicos sao per-feitos, sendo suas instanciacoes (no mundo material) ou expressoes e pensamentosacerca deles meras aproximacoes.

108Cf. (Tieszen, 2010, 4).109Cf. a investigacao III, em (Husserl, 2008).


Embora haja um consenso entre os realistas a respeito das caracterısticas queestamos aqui atribuindo ao realismo, nem sempre e o caso deles concordarem sobrequais objetos ideias matematicos existem, i.e., quais objetos abstratos matematicosmentalmente-independentes existem. Adotando uma posicao reducionista, pode-se, por exemplo, ser realista a respeito dos numeros naturais, mas nao a respeitodos numeros reais ou imaginarios, que seriam definidos em termos dos primei-ros; uma outra estrategia seria considerar apenas conjuntos como objetos ideaismatematicos, os quais serviriam de fundamento para definir outros objetos110.

Tieszen (2010, 6) observa que a teoria dos conjuntos, de maneira notavel,leva a concepcao realista da matematica a se confrontar com novos problemas on-tologicos e epistemologicos. Ademais, uma compreensao fenomenologica dessesproblemas deve ir alem do que encontramos na obra de Husserl, seja porque al-guns deles ganharam forca apenas apos a epoca desse autor, seja porque o proprioHusserl nao lhes dirigiu muita atencao111. Um desses problemas diz respeito aofato de lidarmos, na teoria moderna dos conjuntos, com enunciados existenciaisenvolvendo conjuntos transfinitos enormes. A despeito da mente humana nao po-der de fato apreender a existencia de numeros naturais muito grandes, podemosidealizar o que a sua capacidade finita permite apreender, e imaginar que seriapossıvel haver uma apreensao completa de cada um dos numeros naturais. No en-tanto, considerando, por exemplo, alguns dos axiomas existenciais de ZFC, comoos axioma do infinito, do conjunto potencia e da substituicao, logo nos confron-tamos com conjuntos transfinitos enormes: nao nos comprometemos apenas coma existencia de conjuntos infinitos enumeraveis, mas tambem com a existencia deconjuntos nao enumeraveis, com a existencia do conjunto potencia de conjuntosnao enumeraveis, e assim por diante. Desse modo, diferentemente do que ocorrecom o caso dos numeros naturais,

we cannot idealize the finite mind or finite capacities in such a way as to cover thegrasp or formation of such transfinite objects. Transfinite sets transcend the possibi-lity of being known on the basis of acquaintance with all of their members. A muchmore substantial idealization has to be involved (Tieszen, 2010, 7, grifo do autor).

Assim, o realismo matematico se ve confrontado com questoes particulares ateoria dos conjuntos, como: existem, de maneira atual, conjuntos infinitos com-pletos, sobretudo os conjuntos transfinitos que envolvem uma idealizacao mais ro-busta?; devemos admitir a existencia de conjuntos transfinitos especificados impre-dicativamente, como o axioma da substituicao nos permite fazer? Tieszen (2010,7) alega que alguns filosofos ou matematicos, como Godel, estariam dispostos naoapenas a se comprometerem com uma teoria impredicativa dos conjuntos, mastambem a irem alem dos compromissos existenciais presentes em ZFC, de modoque a busca por novos axiomas revelaria mais do que ja existe no universo abstratoe mentalmente-independente de conjuntos transfinitos.

110(Tieszen, 2010, 6).111A proposito, esse e um dos motivos que nos fez eximir da preocupacao de fazer um traba-

lho meticuloso de interpretacao da obra de Husserl. Quando lemos filosofos da matematica que seenquadram num vies husserliano, como Tieszen, van Atten, Tragesser, da Silva, nao e incomum en-contrarmos a afirmacao de que estao mais se apropriando do que interpretando a filosofia de Husserl.


Feitas tais elucidacoes acerca do realismo matematico, consideremos agorao idealismo fenomenologico transcendental, para que possamos avaliar em quemedida essas duas concepcoes podem ser ditas compatıveis. Para compreender-mos esta ultima concepcao, precisamos antes compreender a nocao de reducaofenomenologica, tambem conhecida como epoche. Numa palavra, a reducao feno-menologica consiste em voltar-se a experiencia intencional, considerando-a comotal. Isso nos introduz mais uma nocao, a de intencionalidade, que desempenhaum papel central na fenomenologia. Entende-se por intencionalidade aquilo quenos diferentes atos da consciencia – como imaginar, lembrar, desejar, perceber –se caracteriza como um direcionar-se, um visar algo. Um ato da consciencia sedireciona a algo por meio de uma intencao, que o apresenta de uma certa maneira,mesmo que esse algo nao exista. Nesse sentido, toda consciencia e conscienciade algo, de modo que uma experiencia nao intencional nao e uma experienciada consciencia. Em outros termos, um sujeito se dirige a algo (que pode ser umobjeto, um estado de coisas, um conceito, uma ideia) por meio de uma intencaoenvolvida num ato da consciencia (que pode ser pensar, lembrar, imaginar, julgar).Esse algo, talvez inexistente, se apresenta a consciencia como foi intencionado, ouseja, como foi pensado, lembrado, imaginado, etc.

Uma maneira de representar figurativamente a estrutura da intencionalidadeseria112:

Ato (Conteudo) Ð→ [objeto].

Nota-se nessa representacao esquematica a estrutura basica de um ato intencional,que se distingue entre dois polos: noesis e noema. O primeiro consiste num ato daconsciencia, ao passo que o segundo consiste naquilo que e visado – como e visado,ou seja, como conteudo da experiencia de um ato da consciencia, nao como algoalem dela – por esse ato. Um objeto pode ser visado de diferentes maneiras: comouma percepcao, uma imagem, uma memoria, de modo que a maneira como elese apresenta a partir de uma certa visada e o que se compreende por noema. Noesquema acima, coloca-se o objeto entre colchetes para indicar a condicao de quetal objeto pode nao existir. A esse respeito, Tieszen afirma:

[W]e “bracket” the object because we do not assume that the object of an act alwaysexists. Phenomenologists are famous for suggesting that we “bracket” the object, andthat we then focus our attention on act (noesis) and act-content (or noema), wherewe think of an act as directed toward a particular object by way of its content (ornoema). Whether the object exists or not depends on whether we have evidence forits existence, and such evidence would be given in further acts carried out throughtime (Tieszen, 1989, 23).

Um exemplo ajuda a elucidar esses pontos. Considerando uma sentenca S, ummatematico pode se envolver com ela por meio de diferentes atos da consciencia(ou, empregando um sinonimo, atos cognitivos), i.e., ele pode acreditar, saber oulembrar que S, entre outros. Desse modo, o sentido da sentenca S – o que ela ex-

112(Tieszen, 1989, 23).


prime –, que consiste no conteudo do ato da consciencia113, mantem-se o mesmo,ao passo que esse ato pode variar. Ademais, nada impede que o inverso ocorra:o ato da consciencia se mantem fixo, mas seu conteudo se modifica. O conteudode um ato intencional relacionado a S poderia ser, por exemplo, ∃x F (x). Nessecaso, o direcionar-se a um objeto consistiria em um matematico conhecer (ou acre-ditar, lembrar, etc.) que ∃x F (x), para um certo F e um domınio D de objetos emparticular114.

Concebe-se entao a nocao de intuicao, que e compreendida como a realizacaodas condicoes balizadas pela intencao dirigida a um objeto. Se tais condicoessao realizadas, temos evidencia de que o objeto intencionado existe115. Voltandoao nosso exemplo, conhecer S e um ato intencional dirigido ao estado de coisas∃x F (x), que sera o caso se pudermos apresentar ao menos um objeto a ∈ D,tal que F (a). As condicoes que esse ato intencional prescreve podem ou nao serrealizadas, estabelecendo assim se intuımos ou nao o conteudo de S. Note-se quea existencia do objeto116 intencionado nao pode ser concebida a parte de um atointencional, pois e ele que determina as condicoes que, se realizadas, compoem aevidencia de que o objeto existe.

Feita essa aproximacao inicial a alguns dos principais conceitos da fenomeno-logia, voltemo-nos por ora ao conceito de reducao fenomenologica. Uma maneirade aborda-lo e por meio do metodo cartesiano da duvida. Com ele se pode notarque, quando tentamos duvidar de tudo, nos damos conta de que nem tudo pode sercolocado em duvida, pois enquanto pensamos que tudo e dubitavel, e indubitavelque pensamos que tudo e indubitavel. Do mesmo modo, isso ocorre com a reducaofenomenologica, que consiste em focar no Ato (Conteudo) de um ato intencional,nao no objeto intencionado, que foi colocado entre parenteses, fazendo com quenao dependamos de nenhuma hipotese que envolva a sua existencia. Assim, a des-peito do objeto intencionado existir ou nao, estamos certos do ato intencional quese dirige a ele:

If I am perceiving or judging, for example, then whether these activities are veridicalor not, whether they have objects that exist or not, it is nonetheless clear that I amperceiving this or that, or judging this or that. The awareness that I am perceiving orjudging implies that I have the capacity to reflect on my cognitive activities. In thisreflection something is given to me that I cannot doubt (Tieszen, 2010, 9, grifo doautor).

Ao refletirmos sobre nossas capacidades cognitivas, refletimos sobre o que nose imanente, distanciando-nos assim da atitude natural, em que ingenuamente pres-supomos experienciar um mundo objetivamente dado, que se encontra “la fora”,

113“We can think of the contents associated with acts as the meanings or senses under which wethink of the objects” (Tieszen, 2005, 327).

114(Tieszen, 1989, 24).115(Tieszen, 1989, 24).116O uso da palavra “objeto” impoe uma certa confusao. De fato, o que e intencionado nao se

restringe a objetos, pode ser uma entidade qualquer, como um estado de coisas, por exemplo. Assim,quando o [objeto] e um estado de coisas, dizer que o [objeto] existe equivale a dizer que o estado decoisas intencionado e o caso.


transcendente. Desse modo, com a reducao fenomenologica, focamos no que seapresenta a nos tal como isso se apresenta a nos, restringindo-nos assim a esferada aparencia. Ou seja, num ato intencional, podemos colocar em duvida se o quese apresenta e realmente o caso, mas nao podemos duvidar da aparencia mesma,que em sua imanencia e dada de maneira absoluta117, nao se relativizando a umaintermediacao. Em particular, ainda que a percepcao de um determinado objetoseja uma alucinacao, podemos nos focar na alucinacao enquanto tal, sem nos com-prometermos com o que a alucinacao sugere existir.

Como vimos na penultima citacao, a existencia de um objeto e evidenciadapor atos intencionais que se sucedem no tempo. Dessa forma, uma sequencia deatos intencionais pode promover uma correcao mutua, acumulando evidencias so-bre a existencia de um determinado objeto. Por exemplo, num primeiro momento,a consciencia pode experienciar a visao de uma cobra num quintal, no entanto,visadas posteriores da consciencia podem revelar que essa percepcao inicial erauma ilusao, que o que de fato se percebe e uma mangueira enrolada. Radica-lizando essa condicao, pode ser o caso que esse processo de correcao continueindefinidamente, promovendo um conflito global entre os atos intencionais, demaneira que toda nossa experiencia perceptual se degenere numa ilusao. Contudo,a despeito de que, neste caso, “nenhum mundo natural seria constituıdo na nossaexperiencia”118, ainda haveria a consciencia, pois, conforme afirma Tieszen, naopodemos escapar do ser absoluto dos processos mentais, que permanecem pressu-postos em qualquer tentativa de duvidar da existencia de variados fenomenos.

Assim, por meio da reducao fenomenologica, voltamo-nos ao imanente, que eabsoluto, o qual se distingue do que e transcendente, que e relativo a consciencia.A relatividade do transcendente a consciencia implica que nao podemos falar daexistencia de um objeto, mesmo que seja mentalmente independente, sem levar-mos em conta o sentido do seu ser, que foi constituıdo por uma intencionalidade.Distanciamo-nos da atitude fenomenologica se falamos de objetos existindo em si,a parte de qualquer envolvimento com a consciencia, pois “o que quer que sejamas coisas, elas sao coisas experienciaveis”119. Apenas a experiencia120 pode lhesprescrever um sentido, mesmo que esse sentido postule uma entidade transcen-dente, de existencia objetiva:

[T]he whole spatiotemporal world and each of its constituents is thus, according toits sense, a merely intentional being. It is a being posited by consciousness in itsexperiences. Each constituent of the world, of essential necessity, can be determinedand intuited only as something identical through motivated multiplicities of appearan-ces. It is something invariant for consciousness through a manifold of appearances.Beyond that it is nothing (Tieszen, 2010, 11).

Dessa forma, a consciencia, que e dada de maneira imanente e absoluta, cons-titui o sentido da objetividade, a qual, a menos que nos envolvamos com um rea-

117(Tieszen, 2010, 10).118(Tieszen, 2010, 10).119(Tieszen, 2010, 10).120A palavra “experiencia” porta o sentido de vivencias da consciencia, nao o de experiencia

empırica, como poderia ser entendido numa concepcao naturalista.


lismo ingenuo, nao pode ser constituıda fora dessa intermediacao121. Temos entaouma consciencia doadora-de-sentido, por meio da qual pensamos a realidade comoexistente, e que, por ser absoluta, existe por si mesma, nao como mandataria deuma outra doacao-de-sentido122.

Isso nos coloca no ambito do idealismo fenomenologico transcendental, quenao se identifica com o realismo nem com o idealismo. No primeiro caso, aidentificacao falha porque a existencia de um objeto e sempre mediada por umaintencionalidade, que nao se da fora de uma performance atual ou potencial daconsciencia. Ja no segundo caso, nao ha identificacao porque, a despeito de queo sentido do ser de qualquer objeto que se apresente como existente seja perpas-sado por uma experiencia da consciencia, reconhece-se que nem tudo e constituıdocomo um fenomeno mental. Alem disso, a subjetividade transcendental, onde seprocessam os atos intencionais, nao se reduz a um subjetivismo, ela tambem podeser compreendida, por exemplo, como uma comunidade cientıfica que tem umaconcepcao em comum sobre a realidade, “uma intersecao de horizontes de dife-rentes egos na constituicao de um mundo objetivo comum”123.

Como Tieszen (2010, 12) afirma, o idealismo fenomenologico transcenden-tal nao nega que haja objetividade ou verdade objetiva. O que essa aborda-gem filosofica propoem e que todo tipo de objetividade – ja que nenhum ob-jeto escapa da reducao fenomenologica – deve ser investigado a partir de comoa consciencia constitui o sentido da objetividade, envolvendo-nos assim no queesse autor denomina de analise constitucional. Dessa maneira, cabe-nos analisartanto a constituicao do sentido do ser de objetos concernentes a atos fundadoresrelativos a percepcao sensorial, como a constituicao do ser de objetos concernentesa formas fundadas da consciencia – baseadas em atos de abstracao, generalizacao,reflexao, idealizacao –, como objetos categoriais, ideais, ou, mais especificamente,objetos matematicos.

Apesar de nenhum objeto, mesmo que seja um objeto da percepcao, poderaparecer ao ego sem por ele ser intencionado, tal condicao nao implica que esseobjeto nos e dado como uma entidade mental ou subjetiva. Isso depende de como ointencionamos. Podemos intenciona-lo como um objeto real do mundo empırico,que existe de maneira independente, ou seja, a consciencia pode constitui-lo comoum objeto que transcende os fenomenos mentais:

[T]he meaning of the being of physical objects is constituted by consciousness in sucha manner that physical objects are not mental entities. They are not meant as mentalentities. They are constituted as external objects, as objects that are in space and inexternal time. We are led, in this sense, to a kind of realism about physical objects.This is different, however, from a naive realism. It is, rather, a phenomenological or

121“[I]f what is experienced has the sense of transcendent being then it is experience itself thatconstitutes this sense” (Tieszen, 2010, 11).

122(Tieszen, 2010, 11).123(Tieszen, 2010, 11). E quanto ao que foi dito nesse paragrafo, a seguinte citacao e interessante:

“Phenomenology shows the possibility of another conception of existence with all the benefits ofrealism without its metaphysical burden (this is why Husserl once claimed, on being ‘accused’ ofidealism, that nobody was more realist than him, the transcendental idealist)” (da Silva, 2017, 138).


‘constituted’ realism that has its origins in transcendental subjectivity itself (Tieszen,2010, 12).

Entramos no ambito do realismo ingenuo a partir do momento em que ignoramos opapel da consciencia como doadora de sentido, i.e., quando pretendemos concebera existencia de um objeto a parte de uma intencionalidade que constitui o sentidodo seu ser. Em outras palavras, ao aceitarmos a existencia de objetos existindoem si mesmos, de maneira completamente independente da consciencia, somosrealistas ingenuos.

No caso particular dos objetos matematicos, o que dissemos sobre intencio-nalidade e constituicao do sentido a partir de uma experiencia da consciencia seaplica igualmente (o que nao poderia deixar de ser). Como Tieszen (2010, 13)afirma, e a experiencia matematica – o que a consciencia vivencia no exercıcio daatividade matematica –, que determina o sentido do ser de seus objetos. Assim,se do que e experienciado emana o sentido de ser ideal, nao mental, imutavel, naoespacial e nao material, “entao e a propria experiencia que deve, de uma mane-ria nao arbitraria, constituir esse sentido”. O ponto que aqui deve ser notado eque os objetos matematicos podem ate ter as mesmas caracterısticas que elenca-mos quando falamos do realismo matematico, contudo, deve-se acrescentar que,nos parametros do idealismo fenomenologico transcendental, tais caracterısticasdevem ser constituıdas de uma maneira nao arbitraria na consciencia do sujeitotranscendental.

Ha, no entanto, uma ressalva importante que nao podemos deixar de levarem conta: os objetos matematicos nao podem situar-se fora da dimensao tempo-ral. Como no idealismo fenomenologico transcendental nao se pode conceber aexistencia de um objeto fora de uma experiencia possıvel, a qual necessariamentese situa no tempo, i.e., no fluxo das vivencias da consciencia, o sentido do ser deum objeto matematico – que emana da consciencia –, tambem se situa no tempo:

Since we are within the sphere of possible experience for transcendental subjects weare within the sphere of temporality. This means that mathematical objects are alsoobjects that must be in time, only now we will say that they exist at all times. Thus,instead of saying that mathematical objects are atemporal or eternal or timeless –somehow outside of time (and all possible experience) altogether – we will now saythat they are omnitemporal (Tieszen, 2010, 13).

Por conseguinte, se um objeto matematico fosse situado fora do tempo, elese situaria fora de toda experiencia possıvel, algo que seria equivalente a umconcepcao realista ingenua, uma vez que a existencia de tal objeto seria conce-bida como independente da consciencia. Nessa perspectiva, Tieszen (2010, 14)cunha o termo “platonismo constituıdo”, que diz respeito a um platonismo naoingenuo concernente a logica e a matematica. Esse platonismo se caracteriza porter a sua origem no ego transcendental, ou seja, ao concebermos objetos abstra-tos mentalmente independentes, tal concepcao e constituıda por um sentido que sefunda na consciencia.

Vejamos agora, sob a egide do idealismo fenomenologico transcendental, noque exatamente consiste falar de objetos mentalmente independentes. De acordocom o que vimos, uma caracterıstica fundamental que distingue, no ambito da


matematica, o realismo do idealismo diz respeito a condicao de concebermos en-tidades matematicas como mentalmente independentes ou nao. No entanto, essadependencia ao mental precisa ser qualificada a luz da reducao fenomenologica, amenos que nos comprometamos com alguma forma ingenua de realismo ou idea-lismo.

A reducao fenomenologica nos coloca na esfera da aparencia. Por meio dela,voltamos nossa atencao ao Ato (Conteudo) da intencionalidade, que nos e dadode maneira imanente e absoluta. Todavia, mesmo que nos restrinjamos a essecontexto, ainda podemos distinguir entre o que aparece como imanente e o queaparece como transcendente. E e correspondendo a essas nocoes de imanente etranscendente que compreenderemos, respectivamente, as nocoes de mentalmentedependente e mentalmente independente, que, apos a reducao fenomenologica,tem um significado diferente do que possuıam no contexto de um realismo ouidealismo ingenuos.

Acima mencionamos o exemplo de uma percepcao enganosa, em que umamangueira foi confundida com uma cobra. Por meio dele, podemos entender adistincao, no ambito da aparencia, entre o imanente e o transcendente. Num pri-meiro momento, o que aparece a consciencia e uma cobra, todavia, num momentoposterior, o objeto que aparece na continuacao daquele ato intencional inicial euma mangueira. Por haver esse conflito, uma inconsistencia a respeito do objetointencionado, o sentido intencional nao pode ser realizado, ou seja, nao pode-mos intuir o objeto que foi visado124. Nao obstante, se em sucessivos momentosdo ato intencional e a aparencia da mangueira que se estabiliza, isso indica quetemos evidencia de que se trata de um objeto “real” (entre aspas, pois diz res-peito a uma realidade compreendida no contexto da reducao fenomenologica, naoa uma realidade completamente independente da consciencia). Como afirma Ti-eszen (2010, 15), sem sairmos do ambito da reducao fenomenologica, podemosrecuperar nossa experiencia pregressa e recolocar a distincao entre aparencia erealidade. Isso deixa claro que a cobra era uma mera aparencia e que, “em reali-dade”, o que vivenciavamos era uma mangueira. Consequentemente, nao temosum idealismo ingenuo, caracterizado pelo mote “ser e ser percebido”, uma vezque experiencias posteriores mostraram que nao havia uma cobra. O que se co-loca como “real”, ou seja, como transcendente, independente da mente, e o que semantem invariante nas experiencias ate entao conduzidas por um ato intencional,nao se eliminando a possibilidade de que uma experiencia futura possa colocar emxeque uma evidencia ratificada por experiencias passadas:

The perception of the coiled garden hose, however, could itself be overturned in futureexperience. [...] Its being a coiled garden hose is not absolute even if the coiled

124A nocao de consistencia e necessariamente intrınseca a de existencia. Trata-se de uma questaode princıpio, nao meramente de fato, que a intencionalidade ligada a postulacao de um objeto naocontenha uma contradicao: “Further acts of perception, for example, can disclose inconsistenciesin the meaning intentionally attached to the object of a previous act of perception; no object existswhich has both A and not-A, for any property A. Inconsistencies immediately cancel the positingand the intentional object ‘vanishes”’ (da Silva, 2017, 45, grifo nosso).


garden hose is given as what is “real” and mind-independent in accordance with all ofour evidence thus far. Our evidence that the coiled garden hose is mind-independentis in this sense presumptive (Tieszen, 2010, 15, grifo do autor).

O que foi dito no paragrafo anterior concerne a objetos sensoriais, mas e equi-valentemente estendıvel a objetos matematicos. Temos, igualmente, a reducaofenomenologica e a nocao de que correcoes e refinamentos provenientes do queexperienciamos ao intencionarmos objetos matematicos constituem a evidenciada existencia de objetos que transcendem o sujeito transcendental, i.e., os obje-tos matematicos “reais”, mentalmente independentes. Deve-se ter claro, todavia,que nao extrapolamos os limites da aparencia, no sentido de que vislumbramosuma realidade absoluta, independente de toda aparencia, quando um ato intenci-onal se estabiliza ao vivenciar uma invariancia. Como ja fizemos notar, o trans-cendente e relativo a consciencia. Uma realidade absoluta, tal como propoe umametafısica realista, e compreendida pelo idealismo fenomenologico transcendentalapenas como um ideal infinito125. Nesse caso, so a aparencia e absoluta, dada asua imanencia.

Ha, dessa forma, um sentido forte e um sentido fraco a respeito do que sepode entender por mentalmente independente. O sentido forte e o apregoado pelorealismo ingenuo, onde ha a nocao de coisa-em-si, entidade cuja existencia e com-pletamente independente da consciencia. A partir do idealismo fenomenologicotranscendental, a possibilidade de que o sentido forte seja o caso e inviavel, porqueseria inconcebıvel a existencia de objetos mentalmente independentes que residemalem de toda experiencia possıvel. No entanto, um sentido fraco de mentalmenteindependente e admitido, em que se concebe a existencia de entidades “reais”,entidades que se revelam invariantes numa variedade (manifold) de aparencias126.

Tieszen (2010, 18) entao propoe a seguinte indexacao das maneiras de com-preender as distincoes entre mentalmente dependente (MD) e mentalmente inde-pendente (MI):

Atitude natural: MD1 MI1

ÒÓEpoche: MD2 MI2

Inicialmente, podemos dizer que ha a atitude natural, em que se distinguemo mentalmente-dependente1 – o aparente, o imanente –, do mentalmente-independente1 – o “mundo la fora”, alem do aparente, numa transcendencia com-pletamente independente da consciencia. A partir da reducao fenomenologica,abandonamos a atitude natural, como se houvesse apenas o ambito da aparencia,que nos e imanente e absoluto. Inserido nesse contexto, o sujeito transcen-dental, por meio da intencionalidade, e capaz de se direcionar a objetos que o

125“We are nonetheless not entitled to say that what is stable or invariant is the final, absolutereality. We cannot have a realism that recognizes an appearance-independent absolute reality. Atbest, the notion of ‘absolute reality’ might be preserved as an infinite ideal” (Tieszen, 2010, 16).

126(Tieszen, 2010, 16).


transcendem, encontrando no mentalmente-dependente1 a distincao mentalmente-dependente2/mentalmente-independente2. Dizemos entao que existem algumascoisas que aparecem a nos como imanentes e outras como transcendentes, de ma-neira que e irredutıvel a condicao de aparecer a nos127. E ainda que o domınio doidealismo fenomenologico transcendental seja o das experiencias da consciencia,isso nao implica que as entidades aı postuladas sejam arbitrarias, como poderiamsugerir certas concepcoes subjetivistas ou solipsistas. O ato intencional e balizadopor imposicoes objetivas:

One of the marks of objectivity in both sensory and mathematical experience is thatwe find our awareness to be constrained in certain ways. It is not possible to willobjects or states of affairs in either sensory or mathematical experience to be justanything we want them to be. We find all of these moments of experience after theepoche (Tieszen, 2010, 17).

Por meio do diagrama acima, compreende-se melhor qual forma de realismoe compatıvel com o idealismo fenomenologico transcendental. Tieszen (2010,18) alega que a maior parte do debate contemporaneo acerca das disputas entrerealismo e idealismo matematicos se da no nıvel onde ocorre a distincao entrementalmente-dependente1 e mentalmente-independente1. Nesse nıvel, o realismoe o idealismo sao incompatıveis, sendo uma inconsistencia afirmar que os obje-tos matematicos sao mentalmente-dependentes1 e mentalmente-independentes1.Seria tambem inconsistente dizer que os objetos matematicos sao mentalmente-dependentes2 e mentalmente-independentes2, nao podendo, igualmente, aı ser en-contrada uma compatibilidade entre o realismo e o idealismo. Contudo, como omentalmente-independente2 cai sob o mentalmente-dependente1, nao e uma in-consistencia afirmar que os objetos matematicos sao mentalmente-dependentes1

e mentalmente-independentes2. O que se tem aqui e o que Tieszen denomina de“realismo matematico constituıdo” ou “platonismo constituıdo”, em que o men-talmente independente e constituıdo de maneira nao arbitraria ou racional. E essaforma de realismo que e compatıvel com o idealismo fenomenologico transcen-dental, pois envolve intencionalidade, por meio da qual o conhecimento pode serelucidado:

Constituted platonism, unlike naive metaphysical platonism, does not cut off the pos-sibility of knowledge of mathematical objects. Knowledge involves intentionality.Mathematical knowledge is to be spelled out in terms of intentional directednesstoward ideal or abstract objects, where the objects are to be thought of as (founded)invariants in mathematical experience. What we are describing here is a positionabout mathematical experience (Tieszen, 2010, 19, grifo do autor).

Apos a reducao fenomenologica, as caracterizacoes de realismo e idealismopropostas logo no inıcio dessa discussao se mostram carentes de qualificacoes pos-teriores. Com a distincao mentalmente-dependente2/mentalmente-independente2,Tieszen propoe uma terceira possibilidade, compatibilizando um certo realismomatematico com o idealismo fenomenologico transcendental, em que o realismo eo idealismo nao sao mais ingenuos. Os objetos mentalmente-independentes2, esta-belecidos como invariantes em meio a uma variedade de aparencias, transcendem

127(Tieszen, 2010, 17).


o meramente aparente, todavia, nao se situam fora de toda experiencia possıvel, ouseja, nao se caracterizam ingenuamente como mentalmente-independentes1.

6.3. Platonismo versus Intuicionismo

Pelo que vimos na secao anterior, a abordagem fenomenologica se alinhacom algumas concepcoes do intuicionismo logico: na fenomenologia, as entidadematematicas nao existem por si mesmas, passam a existir quando sao intencio-nadas por um sujeito transcendental – momento que pode ser identificado pelahistoria transcendental. Ate aı temos bastante semelhancas, dirıamos mesmo quetais entidades nao sao descobertas e que a existencia delas e imprescindıvel umaconsciencia que se de conta delas. Ha, no entanto, uma diferenca fundamental,que reside no sentido que a intencionalidade atribui ao ser que postula. Emborauma entidade tenha uma genese intencional, i.e., passe a existir em algum mo-mento, a intencionalidade que a constitui pode caracteriza-la como uma entidadementalmente-independente2 e onitemporal. A fenomenologia permite, por exem-plo, intencionar e legitimar a existencia de conjuntos transfinitos enormes, queapesar de nao serem efetivamente intuıveis, sao em princıpio intuıveis. Para o in-tuicionismo, a existencia de tais conjuntos e ilegıtima. Assim sendo, o objetivo dapresente secao e esclarecer como podemos compreender, a partir de uma perspec-tiva fenomenologica, as divergencias entre platonismo e intuicionismo.

De modo geral, a ideia basica por tras do intuicionismo consiste em dizer quea determinacao do valor de verdade de uma proposicao matematica esta condici-onada a possibilidade da proposicao ser demonstrada. Isso ja o coloca em plenocontraste com o platonismo, em que uma proposicao, independentemente de tersido demonstrada, possui um valor de verdade determinado. Mas ha aqui algunsnuances que precisam ser esclarecidos, o que fazemos ao elencar abaixo quatromodos que caracterizam diferentes maneiras de compreender a atribuicao de umvalor de verdade a uma proposicao128. SendoA um proposicao qualquer, podemosnos deparar com uma das seguintes situacoes:

(1) Demonstrou-se que A e verdadeira;

(2) Demonstrou-se que A e falsa, ou, como Brouwer diz, demonstrou-se que A eum absurdo, i.e, demonstrou-se que ∼ A e verdadeira;

(3) Nao se demonstrou que A e verdadeira, nem se demonstrou que A e falsa,mas e conhecido um algoritmo capaz de decidir o valor de verdade de A;

(4) Nao se demonstrou que A e verdadeira, nem se demonstrou que A e falsa, etampouco se conhece um algoritmo que decida o seu valor de verdade.

De acordo com Brouwer (2011, 92), o caso (3) pode ser reduzido a um dosoutros dois primeiros, o que indica que uma proposicao nessa condicao possui

128(Brouwer, 975e, 552).

6.3. Platonismo versus Intuicionismo 121

um valor de verdade determinado, ainda que esteja latente, i.e., potencialmentepresente no algoritmo que o revelara129. Alem disso, Brouwer afirma que os doisprimeiros casos possuem um carater perpetuo, ao passo que uma proposicao que seclassifica de acordo com a condicao (4) pode transitar para as outras classificacoes,o que se pode dever a circunstancia de termos adquirido o conhecimento de ummetodo efetivo que decida o seu valor de verdade ou a circunstancia de algumaentidade matematica ter obtido uma propriedade que nao possuıa antes, ja que ointuicionismo nao concebe as entidades matematicas como sendo necessariamentepredeterminadas.

O lugar, portanto, para abordarmos o desacordo entre as concepcoes platonistae intuicionista e o que se classifica sob as condicoes do item (4), uma vez quenos demais pontos ambos concordam a respeito da determinabilidade do valor deverdade proposicional. Ao contrario de um platonista, um intuicionista nao admiteque uma proposicao classificada de acordo com (4) tenha um valor de verdadedeterminado, o que implica na rejeicao da validade universal de um dos princıpiosbasilares da matematica classica: o princıpio logico de bivalencia.

Da Silva (2017, 78) enuncia em duas versoes o princıpio logico de bivalencia,uma se denomina subjetiva, a outra, objetiva. Na primeira, afirma-se que qualquerassercao significativa (meaningful, em ingles) “pode idealmente, em princıpio, serverificada”. Isso quer dizer que o que uma assercao afirma pode ser confirmado ourefutado numa experiencia-de-verdade, uma vivencia subjetiva que se da no con-fronto do conteudo da assercao com os fatos que lhes sao relevantes. Ja de acordocom a outra versao, a objetiva, o princıpio e entendido como dizendo que qualquerassercao significativa possui um valor de verdade intrınseco – o verdadeiro ou ofalso –, a despeito de qualquer verificacao atual. Dito dessa maneira, a seguintequestao vem a tona:

How can it be that truth or falsehood, which can only be properly attached to asserti-ons by means of subjective evidential experiences of adequacy or inadequacy of thecontent asserted with the facts, belong to assertions independently of such experien-ces being actually carried out? Or still, how can any assertion be either true or falsein itself, intrinsically? (da Silva, 2017, 78, grifo do autor).

A primeira vista, responderıamos essa questao apontando o item (3) da listaacima. Dirıamos que uma assercao tem um valor de verdade intrınseco nao porqueo evidenciamos numa experiencia-de-verdade atual, mas porque possuımos ummetodo que em princıpio garante essa experiencia. No entanto, da Silva, baseando-se na filosofia husserliana, evoca uma outra nocao de verificacao em princıpio, cujocarater potencial nao esta relacionado ao conhecimento de um metodo. De acordocom essa concepcao, a verificacao atual de uma assercao se coloca como um ideal:pressupoe-se que seja idealmente possıvel verificar uma assercao. Isso implicaque, se esse ideal for atualizado, um valor de verdade e atribuıdo a assercao, oqual sempre lhe pertenceu, considerando que o seu sentido nunca foi alterado.Por essa razao dirıamos que assercoes possuem, independentemente de qualquer

129Um finitista estrito, e valido observar, sequer aceitaria que proposicoes classificadas de acordocom (3) tem um valor de verdade determinado.


verificacao atual, valores de verdade intrınsecos e definitivos.Para elucidar essa nocao de verificacao ideal, da Silva a compara com um ponto

ideal – uma nocao da geometria projetiva –, que representa a direcao de linhasparalelas que se interceptam no infinito. Por mais que percorramos essas linhas,tal interceptacao estara sempre fora de nosso alcance, no entanto, assim como umponto no infinito organiza a perspectiva pictorial do espaco, as verificacoes ideaisorganizam o campo de experiencia da verdade:

The complete experience of truth may not actually belong to the ego’s field of experi-ences – as vanishing points do not belong to the pictorial space – but as an imaginaryfocus this ideal unifies all the partial and limited experiences of truth into an integra-ted whole (da Silva, 2017, 78).

Assim temos que a nocao de verificacao ideal expressa na versao subjetiva doprincıpio de bivalencia nao possui o sentido de decidibilidade – ou verificabilidadeefetiva –, nao se enquadrando, portanto, no item (3) acima, aceito pelos intuicio-nistas. Mas como poderıamos argumentar pela legitimidade desse princıpio, indoalem da mera apresentacao de uma metafora? Da Silva (79, 2017) observa que abivalencia se trata de um princıpio a priori, e por esse motivo sua validade nao devedepender de questoes de fato, como a existencia atual de um metodo de decisao.Um outro ponto e que, por se tratar de um princıpio logico, ele e constitutivo dosfundamentos de qualquer justificacao, ou seja, como justificar o que e pressupostono proprio ato de justificacao? Dessa forma, um princıpio logico nao pode serdemonstrado, restando-nos somente apresentar as condicoes e pressuposicoes queconduzem a sua aceitacao130. Sua validade deve depender apenas de questoes deprincıpio, constituindo-se, pois, como um objeto de investigacao de uma filosofiatranscendental.

Tratando os princıpios logicos no ambito de uma logica de assercoes, deve-mos levar em conta que essas, em virtude de serem significativas, pressupoemum mundo, ao qual se referem. Por essa via, a validade de um princıpio logiconao pode ser concebida sem levar em consideracao o sentido do ser atribuıdoao domınio referido pelas assercoes submetidas ao princıpio logico em questao.Numa investigacao fenomenologica transcendental, isso implica em analisar a in-tencionalidade desse domınio, i.e., investiga-se como ele deve ser concebido a fimde que um determinado princıpio logico seja nele validado.

Antes de prosseguir, convem introduzirmos a nocao de assercao significativa,compreendida nos moldes da apresentacao de da Silva131. Numa palavra, umaassercao e significativa se possui sentido sintatico e semantico, ou, dizendo deoutro modo, se e sintaticamente e semanticamente significativa. Dessa forma, umdos papeis de uma logica de assercoes (tambem conhecida como logica apofantica)e identificar tipos sintaticos e tipos semanticos, bem como elucidar, a priori, aspossibilidades de combinacao desses tipos. Por exemplo, em “Joao e e”, temosuma assercao que nao e sintaticamente significativa, porque de acordo com asregras que regimentam a combinacao de tipos sintaticos, a sentenca aberta “Joao

130(da Silva, 2011, 334).131Cf. (da Silva, 2017, 30-31; 71-72) e (da Silva, 2011, 11).


e –” poderia ser preenchida por um adjetivo ou um substantivo, mas nao por umaconjuncao. Ja a assercao “o numero 2 e verde”, apesar de ter um sentido sintatico,e semanticamente sem sentido, pois considerando como intencionamos o domıniodos numeros, um numero e a priori impedido de possuir uma cor.

Assim se observa um envolvimento intrınseco entre uma assercao e aquilo aque ela se refere. Tal envolvimento pode ser elucidado da seguinte maneira: umaassercao significativa e regida por regras semanticas, que por sua vez dependemda intencionalidade constitutiva do ser do domınio referido; o sentido do ser detal domınio deixa estabelecido a priori sua compatibilidade de combinacao comoutros domınios, que compoem diversos tipos ontologicos – no paragrafo anterior,por exemplo, o contrassenso de “o numero 2 e verde” se deve a condicao de que osentido do ser de um objeto ideal e a priori impedido de possuir uma propriedadeexclusiva de uma subclasse de objetos reais, ou melhor, os sentidos do ser atreladosa diferentes tipos ontologicos estabelecem de maneira a priori compatibilidadesentre si; por conseguinte, uma assercao significativa exprime uma situacao que e apriori possıvel, sendo verdadeira se a situacao expressa for tambem atual:

A world contains many different ontological regions, objects of different types, andno assertion about this world is materially meaningful that does not respect a prioricompatibilities and incompatibilities of ontological types. But a priori ontologicalcompatibilities and incompatibilities are also aspects of the intentional meaning atta-ched to the world. Once assertions respect syntactic and semantic rules of formationthey are meaningful, that is, able to represent possible situations of the world (daSilva, 2017, 81).

Por essa razao, do ponto de vista da objetividade, quando um sujeito faz umaassercao, ele se compromete com a factualidade da possibilidade em princıpioexpressa por ela. Ja do ponto de vista da subjetividade, ele se compromete coma possibilidade em princıpio do valor de verdade da assercao ser intuıda numaexperiencia-de-verdade132. E lembremo-nos, tal possibilidade em princıpio naodiz respeito a questoes de fato, como a existencia de um metodo de decisao.

E interessante observar como a significatividade de uma assercao nao originaum colapso com o seu valor de verdade, mesmo no caso de assercoes matematicas,que envolvem propriedades necessarias. A sentenca

“uma sequencia de sete 7s ocorre na expansao decimal de π”

e sintaticamente significativa, mas seria tambem semanticamente significativa?Para que assim o seja, deve-se apelar a condicao de que qualquer sequencia dedıgitos pode em princıpio ocorrer em qualquer expansao decimal. Todavia, aocontrario de uma sentenca que exprime um estado de coisas contingente, se asentenca acima for verdadeira, ela e necessariamente verdadeira; se falsa, neces-sariamente falsa. Assim, supondo que seja falsa, como dizer que ela exprime umestado de coisas possıvel? Da Silva (2017, 83) propoe que as regras semanticasenvolvem apenas tipos, nao instancias de tipos. Posto isso, os tipos de sequencia

132(da Silva, 2017, 71).


de dıgitos e de expansoes decimais sao a priori compatıveis, a despeito de algu-mas das instancias de cada um serem, por uma questao de fato, necessariamenteincompatıveis.

Numa outra ocasiao133, da Silva fala de um sentido fraco e de um sentidologico de possibilidade. A sentenca “175 e um numero primo”, por exemplo, e ne-cessariamente falsa, consequencia da definicao de numero primo e do fato de queo numero 175 possui divisores proprios. Diz-se entao que, apesar de essa sentenca,num sentido logico, ser necessariamente falsa, ela poderia, num sentido mais fracode possıvel, ser verdadeira. Ou seja, quando se diz que uma sentenca significa-tiva exprime um estado de coisas possıvel, e a nocao mais fraca de possibilidadeque e levada em consideracao: a que versa sobre a compatibilidade entre tipos on-tologicos. Sem essa concepcao mais fraca, terıamos dificuldade em explicar comoe possıvel conjecturar sobre a verdade de uma proposicao que posteriormente e de-monstrada ser (necessariamente) falsa, ou em distinguir entre um fato matematicodemonstrado e a mera suposicao desse fato.

Por esse motivo que da Silva (2017, 83) afirma que o conteudo de umaevidencia possıvel e negativo: nao ha nada que a priori impeca que 175 seja umnumero primo, pois o que pode ser estabelecido a priori diz respeito apenas a com-patibilidade entre tipos ontologicos. Em termos gerais, isso quer dizer que umestado de coisas pode em princıpio ser experienciado desde que possamos deter-minar a priori, considerando somente os tipos ontologicos envolvidos, o que naopode ser excluıdo de ser o conteudo de uma experiencia.

A partir do que foi exposto, reconsideremos agora a pergunta colocada hapouco, que dizia respeito ao que o princıpio de bivalencia implica: como umaproposicao, independentemente de uma experiencia que a confronte com os fatospor ela expressos, pode possuir um valor de verdade intrınseco? Ou seja, comopodemos a priori legitimar que uma proposicao arbitraria e verdadeira ou falsa,mesmo nao possuindo um metodo que possa verifica-la?

De acordo com o que vimos, a abordagem fenomenologica dessa questao in-siste que, por estarmos tratando de um princıpio logico, devemos instaurar umainvestigacao transcendental, a qual nos esclarecera quais condicoes devem serpressupostas a fim de que o princıpio de bivalencia seja valido. Nossa atencaodeve voltar-se para o mundo referido pelas proposicoes submetidas ao princıpiologico em questao, pois e referindo-se a ele que a significatividade e o valor deverdade de tais proposicoes sao compreendidos. Voltar a atencao para esse mundosignifica processa-lo numa reducao fenomenologica, i.e., significa inquirir a in-tencionalidade que constitui o sentido do seu ser, revelando assim os criterios quelegitimam as assercoes que o tem como referencia:

[T]he truth of logically true assertions does not depend of their particular contents,but depends on the sense of being of the domain to which they refer. In order for, say,either A or not-A to be valid, no matter which A, the domain where A is interpretedmust be intentionally conceived in a certain way. It befalls on phenomenology thetask of clarifying what this way of being is and why conceiving the domain of kno-

133(da Silva, 2011, 346, nota 9).


wledge thus is justified in the overall schema of knowledge (da Silva, 2017, 9, nota7, grifo do autor).

O que se destaca nessa abordagem e o fato de que o princıpio logico em si nao equestionado, dada a sua propria condicao de princıpio, no entanto investigam-seas pressuposicoes que o validam. Tragesser tambem argumenta nessa direcao, emque a constituicao intencional de um domınio e que exige uma determinada logica,e nao vice-versa:

The principal contribution Chapter IV makes to the foundations of logic is to show,on the basis of phenomenological ontology [...], that there exist different worlds orobjective domains W and V such that, for the porposes of formulating true and ade-quate theories of these domains, W e V require different logics (Tragesser, 1977, 90,grifo nosso).

Dessa forma, compreendendo a intencionalidade que constitui o mundo refe-rido por sentencas significativas elucidamos a validade dos princıpios logicos queas regem. Por conseguinte, a pergunta que deve ser feita e: quais caracterısticasdessa intencionalidade sao responsaveis pela validacao do princıpio de bivalencia?Tal intencionalidade deve conceber um mundo como sendo objetivamente com-pleto, inteiramente determinado em si mesmo. E esse sentido do ser, atribuıdo aomundo referido por sentencas significativas, que legitima a verificabilidade idealpressuposta pelo princıpio logico de bivalencia. Assim, tem-se garantido a priorium domınio maximamente consistente de fatos, onde um, e apenas um, de doisestados de coisas complementares e incompatıveis entre si e o caso. Isso permiteque uma proposicao sobre qualquer estado de coisas possıvel seja em princıpioverificavel contra os fatos – o que da a ela um valor de verdade intrınseco134.

Da Silva (2017, 87) observa que princıpios logicos sao a priori e universais,contudo, a luz da investigacao fenomenologica por ele proposta, tais caracterısticasprecisam ser melhor qualificadas. Nesse caso, um princıpio logico e a priori porquee independente de qualquer experiencia atual135, mas nao e independente de umadeterminacao a priori de quais experiencias sao possıveis em princıpio num de-terminado domınio. Essa determinacao possui um carater fenomenologico trans-cendental, pois esta envolvida com a maneira como intencionamos o domınio emquestao.

Quanto a universalidade, segue-se que a validade de um princıpio logico erelativa ao domınio cuja intencionalidade o legitima:

[V]alidation in one domain is not exportable to all domains. The validity of logicalprinciples of reasoning is confined to the domains whose sense of being validatesthem. Hence, in a sense, logic is not universal, or is, but only within the limits ofa given intentional positing. Different ways of conceiving a domain of being – forexample, the domain of real numbers classically and intuitionistically conceived –may require different ways of reasoning about the objects of this domain (da Silva,2017, 87-88, grifo do autor).

Dito isso, temos que uma sentenca significativa possui um valor de verdadeintrınseco em virtude do sentido do ser atribuıdo ao domınio referido cumprir com

134Cf. (da Silva, 2017, 81-82; 88).135Que pode ser uma experiencia intuitiva em que se verifica o valor de verdade de uma proposicao,

por exemplo.


as caracterısticas de ser objetivamente completo e maximamente consistente. Da-das tais condicoes, pode-se compreender a verificabilidade de qualquer proposicaocomo um ideal. No entanto, se a significatividade semantica de uma proposicaoenvolver domınios cuja intencionalidade os caracterizam como incompletos, porvezes dependendo da acao de um sujeito para serem completados, a verificabili-dade nao pode ser colocada como um ideal. Tal proposicao nao possuiria um valorde verdade intrınseco, sendo a sua determinacao necessariamente dependente deuma experiencia-de-verdade, que pode ser atual ou possıvel. Mas note-se, trata-seda nocao de possibilidade compreendida nos parametros de uma verificacao de-cidıvel (como as proposicoes caracterizadas de acordo com o item (3), acima), naonos parametros de uma verificabilidade ideal.

Podemos, desse modo, por meio de um vies transcendental, compreender odebate entre platonistas e intuicionistas. Aqueles intencionam o domınio de re-ferencia de suas proposicoes como objetivamente completo, ja estes, como incom-pleto, constituıdo por meio de construcoes que se desenvolvem no tempo. Nestecaso, nem todo estado de coisas representado por uma proposicao se encontra de-terminado quanto a sua factualidade. Por conta disso, a bivalencia nao e validaem geral136, apenas para proposicoes decidıveis. Sendo assim, a disputa entreplatonistas e intuicionistas trata, no fundo, de um embate acerca da constituicaointencional de seus respectivos domınios de referencia.

E interessante observar a ordem conceitual que constitui esse argumento:partindo da intencionalidade de um domınio seguimos para a validacao de umprincıpio logico. Logo, se a logica se segue de uma certa concepcao da realidade,ou seja, se o modo de ser de um determinado domınio, que foi intencionado de umacerta maneira, exige uma logica em particular, isso vai de encontro a ideia de que alogica serve de base para uma metafısica, um ponto de vista que encontramos, porexemplo, na obra The Logical Basis of Methaphysics, de Dummett137.

Apos ressaltar que o conflito entre platonistas e intuicionistas se deve a pres-suposicoes que cada uma das partes toma a respeito da natureza da realidade ma-tematica e da verdade matematica, isso com base em hipoteses metafısicas, naocom base numa abordagem transcendental e fenomenologica, da Silva afirma:

The conflict is dogmatic and thus unsurmountable. The phenomenological-transcen-dental approach, being non-dogmatic, can understand each side’s perspective, cor-responding as they are to different conceptions of reality, each acceptable on its ownterms under the scope of the epoche. From the phenomenological perspective, Pla-tonists and intuitionists are simply not talking about the same thing, since they donot have the same intentional conception of mathematical reality (da Silva, 2017, 86,grifo do autor).

136Lembre-se que ha pouco dissemos que um princıpio logico e a priori porque independe dequalquer experiencia atual. E justamente por isso que a bivalencia deixa de ser um princıpio logicono intuicionismo, uma vez que, neste contexto, para uma proposicao ser verdadeira ou falsa deve aomenos haver uma experiencia que evidencie a existencia de uma metodo capaz de decidir o seu valorde verdade.

137A esse respeito, cf. (Alves, 2011, 31), onde o autor defende que ha pelo menos uma ideia emcomum entre Dummett e Quine: “the idea that our logical principles constitute our principles aboutwhat there is, and therefore, that logic is metaphysics”.

6.4. Demonstracao, Tempo e Verdade 127

A fenomenologia investiga esse debate a partir da epoche, o que significa, deacordo com a secao passada, que a distincao entre platonistas e intuicionistas deveser considerada no ambito da distincao entre MD2 e MI2. De fato, para da Silva, odebate que nao ultrapassa o ambito da distincao entre MD1 e MI1 procura justificaros princıpios logicos por meio de pressuposicoes ontologicas e epistemologicas,que de modo geral ele denomina de hipoteses metafısicas. Num realismo conce-bido por meio de uma hipotese metafısica, por exemplo, ha um mundo “la fora”porque pressupoe-se que tal mundo e completo e independente do conhecimento.Isso caracteriza o que chamamos na secao passada de realismo ingenuo. Por outrolado, anuindo a uma abordagem transcendental, envolvemo-nos com uma questaode princıpio. Se ha um mundo “la fora”, e porque ele e concebido como objeti-vamente completo, i.e., trata-se da intencionalidade que constitui seu sentido deser. Como temos apresentado, o que interessa a fenomenologia e o voltar-se ao atointencional enquanto tal, sendo consideradas ingenuas, ou carentes de melhoresqualificacoes, pressuposicoes metafısicas que desconsideram a intencionalidadedaquilo que uma pressuposicao instaura. Em termos gerais, “[t]he difference isthat metaphysical hypotheses have to do with how reality is, whereas transcenden-tal presuppositions on how reality is conceived to be or how it must be given howit is conceived to be”138.

Nesse sentido, a abordagem fenomenologica nao pode colocar-se com o intuitode justificar a validade de um princıpio logico. E como o conflito entre platonistase intuicionistas gira em torna da aprovacao ou recusa do princıpio de bivalencia, afenomenologia, quanto a isso, nos deixa num terreno neutro, servindo apenas paranos esclarecer por que esse princıpio e aceito num contexto mas nao em outro. Aseguir, vejamos como a elucidacao fenomenologica nos auxilia a esclarecer algunsproblemas encontrados no interior do proprio intuicionismo.

6.4. Demonstracao, Tempo e Verdade

Como visto, o cerne da disputa entre um platonista e um intuicionista se con-centra na condicao de que aquele, ao contrario deste, admite uma realidade obje-tivamente completa e independente. Nessa perspectiva, proposicoes matematicassao compreendidas como descricoes de fatos “que ja estao aı”, de maneira queuma proposicao e verdadeira desde que os descreva corretamente. Isso atribui amatematica uma conotacao epistemologica que se assemelha as das ciencias na-turais, as quais pressupoe um “mundo objetivo la fora”. No intuicionismo, poroutro lado, o conhecimento, em certa medida, e constitutivo da realidade. E sobesses termos que a nocao de demonstracao – compreendida como uma atividadede conhecimento, por meio da qual um sujeito encontra as garantias de evidenciado valor de verdade de uma proposicao matematica – desempenha um papel fun-damental. Nesse contexto, onde a autonomia da realidade e colocada em questao,o que poderia atestar a verdade de uma proposicao nao se encontra plenamente de-

138(da Silva, 2017, 85, grifo do autor).


terminado: a proposicao tem a pretensao de dizer verdadeiramente sobre algo, masesse algo nao esta completo, esperando por uma descricao correta, ele se constroiao mesmo tempo em que se evidencia ao entendimento.

Um dos pontos distintivos do intuicionismo, portanto, e que nele umaproposicao matematica, a despeito de seu carater necessario, torna-se verdadeira.Ela nao e intrinsecamente verdadeira ou falsa, pois seu valor de verdade nao econcebido como algo que pre-existe a vivencia de um sujeito que o evidencie atu-almente (ou, ao menos, garanta tal evidencia por meio da posse de um metodoefetivo de verificacao). Nesta secao, baseando-nos principalmente nas filoso-fias de Prawitz e Dummett, trataremos da dificuldade de se conciliar as nocoesde demonstracao e verdade, ja que elas nos induzem a uma cisao de partes an-tagonicas: de um lado, temos uma nocao temporal, empırica e epistemologica, deoutro, uma nocao atemporal, necessaria e ontologica. Ao final, a partir do que vi-mos nas secoes anteriores, proporemos uma maneira de superar esse antagonismo.

A nocao de demonstracao contem o elemento epistemico necessario para que,aliada a uma concepcao de verdade, seja possıvel opor-se a acusacoes concer-nindo a admissao de um realismo. Tomando por verdadeiro apenas aquilo quepossamos evidenciar com a apresentacao de uma demonstracao, segue-se que adeterminacao desse valor de verdade esta submetida a vivencia de um sujeito cog-noscente, mesmo que, por meio da posse de um metodo efetivo, tal vivencia estejagarantida apenas em princıpio.

Nesses moldes, equivalendo as nocoes de demonstracao e verdade, o intui-cionista conseguiria se desvincular do realismo. No entanto, Prawitz alerta queessa equivalencia deve ser ponderada, sob o risco de estarmos exigindo demais doconteudo de uma sentenca:

By asserting a sentence you guarantee that there is a proof of it, but that is not whatthe assertion says; the content of the sentence, what you say by asserting it, is simplythat the sentence is true, not that you have a proof of it. [...] It seems to be a misrepre-sentation of the assertion to think of its content as being that a proof has been found.It is to put too much in the content (Prawitz, 1998, 46).

De acordo com ele, podemos extrair consequencias bastante contraintuitivas senao desvincularmos a verdade de uma sentenca do fato de se ter obtido a suademonstracao. O exemplo a seguir, dado por Raatikainen (2004, 137), esclareceesse ponto. Se A e verdadeira significasse o mesmo que A foi demonstrada, po-derıamos considerar equivalentes os dois enunciados abaixo:

(1) Se alguem possui uma demonstracao de que existe uma infinidade de numerosprimos gemeos, entao alguem conhece bastante de numeros primos.

(2) Se e verdade que existe uma infinidade de numeros primos gemeos, entaoalguem conhece bastante de numeros primos.

Nao obstante, isso contraria o uso mais natural e intuitivo que fazemos da nocaode verdade em tais contextos. Numa situacao hipotetica, quando tomamos umaconjectura como premissa o que nos interessa e uma nocao de verdade atemporal e


independente, para assim podermos construir um argumento que nos leve a certasconsequencias, dependentes da demonstracao da conjectura em questao. Com umanocao muito restrita de assercao, em que a posse atual de uma demonstracao e apalavra de ordem, seria difıcil justificar o uso que fazemos de tais argumentacoeshipoteticas. A estranheza provocada pelo enunciado (2) nos deixa claro que as-serir hipoteticamente que ha infinitos numeros primos gemeos nao visa extrairconsequencias do fato de alguem conhecer a demonstracao dessa conjectura, poiso objetivo de uma argumentacao hipotetica e, antes de mais nada, poder pensarsobre uma realidade que nao pode ainda ser conhecida.

Diante disso, Prawitz se pergunta se uma nocao de sentido proposicional com-preendida em termos epistemicos necessariamente conduz a condicao temporal deexistencia de uma demonstracao:

What is the appropriate notion of truth for sentences whose meanings are understoodin epistemic terms such as proof or ground for an assertion? It seems that the truthof such sentences has to be identified with the existence of proofs or grounds, andthe main issue is whether this existence is to be understood in a temporal sense asmeaning that we have actually found a proof or a ground, or if it could be taken in anabstract, tenseless sense (Prawitz, 2012b, 9).

A abordagem que Prawitz privilegia e a que favorece um sentido abstrato e atem-poral de demonstracao, para que assim possamos abranger outros usos da forcaexpressiva de uma sentenca, indo alem da mera assercao. Essa abstracao e atem-poralidade seria viabilizada pela nocao de verdade, que nos permitiria sempre atri-buir a uma sentenca, a despeito do uso que se faca dela, um mesmo conteudo, sejaempregando-a como uma hipotese, uma pergunta, ou uma assercao.

Assim, Prawitz (2012b, 14) acusa que autores de ındole intuicionista, comoDummett e Heyting, identificam a verdade de uma sentenca – de acordo comele, o seu conteudo – com as condicoes de asseri-la, as quais envolvem questoesempıricas sobre a construcao e posse de uma demonstracao. Essa identificacao res-tringiria o uso de sentencas apenas ao seu aspecto assertivo, ja que empregando-ascomo conjecturas, por exemplo, a nocao de verdade envolvida e outra que a deconstrucao de uma demonstracao.

Todavia, exatamente nesse ponto onde Prawitz argumenta por uma nocao deverdade baseada numa concepcao de demonstracao abstrata e atemporal, ele e sus-peito de retomar uma posicao realista139. De acordo com ele, A e verdadeira naodeve ser equacionada com A foi demonstrada, mas com A e demonstravel, ouexiste uma demonstracao de A, em que esse existe e tomado num sentido atem-poral140. Para proposicoes decidıveis, essa nocao de verdade e consentida pelointuicionismo, no entanto, ao adota-la de forma geral, surgem acusacoes de rea-lismo:

The difficulty with his formulation is, of course, how we should construe the ‘can’in ‘can be verified’. I am dubious about his explanation of it [...] in terms of anuntensed and abstract (platonic?) sense of ‘exists’. An untensed use of ‘is true’ is nodoubt admissible: but then it should genuinely be in the tense of timelessness, and

139Cf., por exemplo, (Raatikainen, 2004, 140).140(Prawitz, 2012b, 15).


not in that of eternity; ‘is’ ought not to be read as ‘always was and always will be’.[...] it is equally hard to see how, on this conception of the existence of proofs, wecan resist supposing that a proof of a given statement determinately either exists orfails to exist (Dummett (1987, 285) em replica a Prawitz).

Num outro texto, Dummett (1998, 130) reconsidera a posicao de Prawitz e nosesclarece de que maneira com ele concordaria. Sua proposta consiste em dizer que,situando-nos num ponto em que possamos olhar para o passado, temos o direitode afirmar que o que aconteceu estava determinado de assim o ter sido. De acordocom ele, o curso de eventos se desmembra em direcao ao futuro, nao em direcaoao passado. Assim, um enunciado que se refere ao futuro nao possui um valorde verdade intrınseco. No entanto, se ele obtem um valor de verdade no temporeferido, nao mais se considera o curso de eventos do passado que nao levaria aesse mesmo valor de verdade. Nesse sentido, Dummett afirma:

What we need, therefore, is a semantics for tensed statements that will allow us cor-rectly to say at any given time, concerning some statement that has turned out at thattime to be true, that it was always the case that it was going to be true, even though,at an earlier time, we could not correctly have said that it was true or going to be true(Dummett, 1998, 130).

Para ficar mais claro, empreguemos aqui o exemplo que Dummett apresenta.Primeiramente, ele considera uma linguagem com os operadores Pn, que significafoi o caso n dias atras, e Fn, sera o caso n dias depois. Se a uma sentenca A ante-pusessemos o operador P2, formando P2A, por exemplo, tal sentenca significariaA foi o caso 2 dias atras. Consideremos entao o seguinte diagrama, que ilustra odesmembramento do curso dos eventos r, s e t:

r

sAP1F1A t

Dessa forma, com o estado de coisas r precedendo os estados de coisas s e tpor 1 dia, sendo a sentenca A verdadeira em s, mas nao em t, situando-nos em rnao poderıamos afirmar que A seria verdadeira daqui a um dia, i.e., F1A. Isto seda porque nao ocorre de A ser verdadeira em todos os nodulos ligados (acessıveis)a r. Por outro lado, se o nosso ponto de vista se constituısse a partir de s, F1A seriaverdadeira em r, uma vez que t, onde nao temos a verdade de A, nao e acessıvelao nodulo s, ou seja, olhando para o passado, ignoramos os caminhos que naolevaram a verdade de A, por isso, em s, dirıamos que sempre foi o caso que A setornaria verdadeira. Portanto, sendo s o nosso ponto de vista, P1F1A e verdadeiraem s, i.e., ontem ja era o caso de que A seria verdadeira no dia seguinte. Dummettprossegue dizendo que a ideia basica dessa concepcao temporal e a de que parao presente e o passado so existe um curso de eventos, nao obstante existir, para ofuturo, varios cursos possıveis, nenhum deles atual.


A nocao semantica apresentada acima corresponde a maneira de Dummettconcordar com Prawitz a respeito da concepcao de que a verdade preexistiria ademonstracao de uma proposicao. Ela nos permite dizer, de qualquer sentenca queja tenha sido demonstrada, que ela sempre foi verdadeira, ao mesmo tempo emque nao precisamos consentir com a ideia de que uma sentenca nao demonstradaou refutada esta fadada a ser demonstrada ou refutada, ou jamais ser demonstradaou refutada141.

Prawitz, todavia, nao se contentaria com essa perspectiva. Ele almeja umanocao de verdade destituıda de qualquer traco temporal. Precisamente, em suaproposta nao nos caberia afirmar que uma certa proposicao A se tornou verda-deira. Tampouco poderıamos dizer que, quando uma demonstracao e obtida, taldemonstracao ja existia, tudo isso por causa do elemento temporal envolvido nes-sas condicoes. De acordo com ele:

[T]ense should be dropped when speaking about truth and the existence of proofsor grounds, as it usually is when we speak about the existence of numbers. Evena constructivist can use ‘is’ without tense when saying that there is a number witha certain property. Such a use does not bring with it a commitment to holding thatfor any property, either there is a number with the property or there is not (Prawitz,2012b, 15).

E valido observar que um ponto crucial envolvido com a temporalidade daverdade se relaciona com a questao da objetividade da matematica. Em ultimainstancia, Prawitz (1998, 50) se pergunta como a matematica manteria a sua ob-jetividade no contexto de uma concepcao intuicionista. No contexto do realismo(ingenuo), o problema da objetividade nao se coloca, pois a verdade de uma propo-sicao nao depende da vivencia de um sujeito que a evidencie. Tal verdade se deve apropria constituicao da realidade, que e independente de quem assere a proposicao.Sem a objetividade, a evidencia de uma assercao se daria apenas no ambito pes-soal, e no caso de um embate em torno de assercoes opostas, nao haveria nadade imparcial a recorrer para que o conflito pudesse ser resolvido. Um desafio quese coloca a um intuicionista, portanto, e manter, por um lado, a objetividade damatematica, mas sem ser realista, e, por outro, justificar uma posicao antirrealista,mas sem cair em alguma especie de subjetivismo.

A via que Dummett parece sugerir e a de que a realidade nao existe auto-nomamente em relacao ao conhecimento, no entanto, para que ela nao seja umamera criacao nossa, ele oferece a imagem de que tal realidade brotaria a medidaque fossemos bem-sucedidos em verificar a verdade das proposicoes por nos in-vestigadas, de tal maneira que serıamos forcados a aceita-la assim que ela fossesurgindo:

It seems that we ought to interpose between the platonist and the constructivist picturean intermediate picture, say of objects springing into being in response to our probing.We do not make the objects but must accept them as we find them (this correponds tothe proof imposing itself on us); but they were not already there for our statements tobe true or false of before we carried out the investigations which brought them intobeing (Dummett, 1978, grifo do autor).

141(Dummett, 1998, 131).


Prawitz, porem, traca outro caminho, para justificar a objetividade da ma-tematica nessa fronteira entre platonismo e intuicionismo. De acordo com ele,essa objetividade se encontraria no proprio significado das sentencas que consi-deramos, de modo que la ja estariam presentes as condicoes que nos permitiriamconfirmar se uma alegada demonstracao de fato corresponde a sentenca portadorado significado em questao.

Consideremos um matematico se esforcando para encontrar a demonstracaoda verdade de uma proposicao, ate que, por fim, ele alega te-la encontrado. Anali-sando a demonstracao, pode-se verificar que ela de fato serve para justificar que aproposicao investigada e verdadeira. Essa verificacao so e possıvel porque nose claro, antes mesmo da apresentacao da demonstracao, qual o significado daproposicao. Tal significado ja deixou estabelecido o que seria demonstra-la, apesarde nao nos dizer como faze-lo, que seria a tarefa, por excelencia, do matematico.E considerando isso que Prawitz afirma:

[T]he question of whether something is a proof is fixed when the meanings are given,that is, when it is given what counts as a canonical proof. From this it is natural toconclude that already, before a proof of a sentence is found, it is determined that thereis such a proof. Provability, which I want to identify with truth, becomes in this waysomething objective (Prawitz, 1998, 50).

Prawitz, portanto, nao identifica a verdade de uma proposicao com o fato de tersido demonstrada, mas com a condicao de ser demonstravel, condicao essa esta-belecida pelo proprio significado da proposicao.

Em suma, as propostas intuicionistas ha pouco tratadas, ao equacionarem ver-dade e demonstrabilidade, a fim de nao negligenciar a participacao de um su-jeito cognoscente na construcao do saber matematico, acabaram sobrecarregandoo conteudo proposicional, como afirma Prawitz. Em virtude disso, as proposicoesmatematicas ganharam uma dimensao temporal e empırica que nao aparenta con-dizer com o carater necessario da ciencia a que pertencem. Assumindo que aatribuicao de um valor de verdade a uma proposicao depende da existencia de umademonstracao, a qual e empiricamente construıda por um matematico, temos comoconsequencia a estranha condicao de que uma proposicao demonstrada, ainda quenecessaria, nao era, antes da demonstracao, verdadeira ou falsa. Levando isso emconta, tentemos agora avaliar os argumentos de Dummett e Prawitz que analisamosha pouco.

A proposta de Dummett aparentemente sugere que, a despeito de umaproposicao nao possuir um valor de verdade intrınseco antes de ser demonstrada,quando surge a sua demonstracao, o valor de verdade que lhe e atribuıdo se pro-paga para o passado, o que nos permitiria dizer que tal proposicao ja era verda-deira. Contudo, considerando o argumento de Pereira presente no artigo On theConstructive Notion of Truth and a New Sea-battle Problem, temos boas razoespara refutarmos a proposta de Dummett. Vejamos de perto o argumento.

Pereira comeca considerando dois casos em que a verdade vai alem de umaassercao justificada, i.e., casos em que demonstracao e verdade nao se coincidem:

(a) quando se possui um metodo efetivo capaz de decidir o valor de verdade de


uma proposicao, esse valor ja esta determinado, mesmo que o metodo naotenha ainda sido executado;

(b) apos uma proposicao matematica ter sido demonstrada, nao se pode negarque ela ja era verdadeira antes do surgimento da sua demonstracao, dada anecessidade da sua verdade.

Em ambos os casos ha uma ruptura entre o conhecimento e a realidade, algo ca-racterıstico das concepcoes platonistas: em (a) dirıamos “a proposicao possui umvalor de verdade, apesar de nao o conhecermos”; em (b), “a proposicao era verda-deira, mas nao se sabia”. Vale ainda acrescentar que temos aqui uma dualidade. Averdade se dissocia da nocao de demonstracao em duas direcoes temporais, umaque se direciona ao futuro, como em (a), e outra que se direciona ao passado, comoem (b).

A partir da condicao (b), em que poderıamos dizer que a verdade de umaproposicao – depois que a demonstramos – se propaga para o passado, Pereira(2014, 192) reformula o problema da batalha naval, de Aristoteles142. A refor-mulacao se da mais ou menos nestes termos: seja S uma conjectura matematicalevantada em 1662, mas que so foi demonstrada em 1994. Levando em conta apropagacao da verdade para o passado, podemos dizer que S sempre foi verda-deira, mas ninguem sabia disso ate o dia em que foi demonstrada, mais de 300anos depois. Em outras palavras, em 1662, as condicoes que justificariam a ver-dade de S nao foram realizadas, apesar de ja naquela epoca ela ser verdadeira. Valeobservar que uma nocao onitemporal de verdade necessaria esta sendo assumida: ademonstracao de uma proposicao matematica nao implica apenas que a proposicaoe verdadeira, tambem implica que ela era verdadeira e sempre sera verdadeira.

O ponto crucial do argumento vem agora. De acordo com o princıpio C, deDummett, se uma proposicao for verdadeira, entao deve existir algo na realidadeem virtude do qual se da a sua verdade. Um intuicionista, para nao contrariar suaconduta epistemologica, toma esse algo na realidade como sendo a demonstracaoda verdade da sentenca, nao um fato matematico independente do conhecimento.Mas se S nao possui uma demonstracao em 1662, a qual garantiria a realizacaodo princıpio C, isso quer dizer que S nao era verdadeira naquela data, o quenos coloca em confronto com o princıpio de nao contradicao, ou seja: S, em1662, e verdadeira, dada a propagacao da verdade para o passado ocasionada pelademonstracao de 1994, e nao e verdadeira, dada a nao realizacao do princıpio C.Temos assim uma batalha naval as avessas, que pode ser sumariada no seguintequadro, que a compara com o argumento da batalha naval aristotelico:

Batalha Naval Nova Batalha NavalTempo futuro Tempo passado

Sentencas contingentes Sentencas necessariasPrincıpio de bivalencia Princıpio de nao contradicao

142Numa palavra, o problema aristotelico da batalha naval e um argumento para refutar a ideia deque a necessidade do princıpio logico de bivalencia implica a nao contingencia das acoes futuras.


Note-se que na batalha naval de Aristoteles uma nocao intuitiva, a contingencia dofuturo, nos faz repensar um princıpio logico, a bivalencia; na nova batalha naval,um princıpio logico, a nao contradicao, nos faz repensar uma nocao intuitiva, aonitemporalidade das verdades necessarias.

E quanto a proposta de Prawitz, seria possıvel sustenta-la? Tentaremos eluci-dar essa questao por meio da filosofia de Martin-Lof.

Na Teoria Intuicionista de Tipos (TIT) de Martin-Lof, compreendemos umaproposicao A quando temos compreensao do que seria a sua prova – ou parasermos mais especıficos a TIT, quando sabemos o que seria o seu objeto-prova.Dessa forma, a uma proposicao A podemos associar o tipo prova(A), habitadopelos objetos-prova que verificam A. Isso condiz com a seguinte concepcao: exis-tindo uma prova de A, pode-se concluir que A e verdadeira; ou entao: a assercaoda verdade de A se da a partir da existencia de uma prova de A. Assim, legitima-mos esta equacao:

A proposicao A e verdadeira = prova(A) existe.

Dessa forma, prova(A) existe desde que tenhamos a posse de uma de suasinstancias, i.e., de um dos elementos que o habita. Dizendo de outra maneira,asserir a verdade de uma proposicao pressupoe a posse de um objeto-prova querealiza as condicoes de prova delimitadas pela proposicao143.

E como Martin-Lof observa, esse existencial nao e o existencial quantificacio-nal:

[T]he notion of existence that enters here is the traditional philosophical notion ofexistence of a concept, or existence of an essence, if you prefer, where by sayingthat a concept has existence I mean that there exists an object which falls under theconcept. So to say that a proposition is true is the same as to say that the conceptproof of the proposition has existence in the traditional philosophical sense (Martin-Lof, 1991, 141).

Ou seja, se de fato possuımos uma prova a de A, que pode ser um metodo efetivode verificacao ainda nao executado, entao A e verdadeira. Por isso a inferenciaabaixo e correta:

a ∶ prova(A)A e verdadeira

Martin-Lof reconhece a dificuldade do que vimos tratando, qual seja, quandoa nocao de demonstracao se envolve com a de verdade, deve-se estranhamenteadmitir que uma proposicao necessaria se torna verdadeira:

[I]t has often been pointed out that it is very counter-intuitive to say that a propositionbecomes true when it is proved, and it has often been held against the intuitionists thatthey construe the notion of truth in that way (Martin-Lof, 1991, 142, grifo nosso).

Sua maneira de lidar com esse problema consiste em distinguir duas nocoes deexistencia de uma prova: essa existencia pode ser atual ou potencial. E dado quea existencia de uma prova implica a verdade de uma proposicao, seguem-se duas

143(Martin-Lof, 1994, 94).


nocoes de verdade proposicional: uma proposicao pode ser atualmente verdadeiraou potencialmente verdadeira. Quando se diz que uma proposicao e atualmenteverdadeira, isso significa que ela foi provada ou que a assercao (ou juızo) A everdadeira foi demonstrada ou, ainda, que uma prova de A – i.e., um objeto-prova– foi construıda. Tudo isso equivale a dizer que sabemos que A e verdadeira. Poroutro lado, “to say that A is potentially true is to say that A can be proved, thatis, that a proof of A can be constructed, which is the same as to say, in usualterminology, simply that A is true”144.

Precisamos, no entanto, ter cautela com a expressao A e verdadeira. Repare-seque Martin-Lof diz “em terminologia usual”, o que quer dizer que, nesse caso, naose esta especificamente falando da forma de juızo da TIT A e verdadeira, que, pelasua forca assertiva e categorica, compromete-se com a existencia atual de umaprova de A. Assim, em terminologia usual, quando enunciamos A e verdadeira,comprometemo-nos apenas com a existencia potencial de uma prova de A. Ade-mais, tendo em vista que na ordem de prioridade conceitual o que e atual precede oque e potencial145, se de fato possuımos uma prova de A, alem de podermos dizerque A e atualmente verdadeira, tambem temos o direito de dizer que A e potenci-almente verdadeira, apesar disso introduzir uma ambiguidade desnecessaria.

Isso nos permite compreender por que Martin-Lof considera correta a seguinteregra de inferencia146:

A e verdadeira(A e verdadeira) e demonstravel

,

mas nao se sente confortavel147 com o princıpio K (que provavelmente esta paraknowability) de Dummett:

K: se um enunciado for verdadeiro, deve ser em princıpio possıvel saber que elee verdadeiro.

Considerando que, para Martin-Lof, a demonstracao de uma assercao implicaconhecer o que esta sendo asserido, a regra de inferencia acima e equivalente aesta:

A e verdadeiraE possıvel saber que A e verdadeira.

Nesse sentido, tambem poderıamos reescrever, na terminologia de Martin-Lof, oprincıpio K:

K ′: se uma proposicao for verdadeira, entao sua verdade e demonstravel.

144(Martin-Lof, 1991, 142).145Tudo o que e atual e possıvel, cf. (Martin-Lof, 1991, 142).146(Martin-Lof, 1996, 28).147(Martin-Lof, 998b, 106).


O desconforto que esse princıpio provoca em Martin-Lof diz respeito ao fatode se tratar de um condicional, pois pode ser o caso de que a afirmacao presente noantecedente nao seja categorica. Logo, da mera hipotese de que uma proposicao everdadeira nao podemos concluir que a sua prova existe148. No entanto, se temosuma assercao categorica de que uma proposicao e verdadeira, como na premissada regra inferencial acima, e porque temos condicoes de apresentar uma prova queevidencie tal verdade. Em razao disso, Martin-Lof propoe a seguinte correcao doprincıpio K:

K ′′: se o juızo da forma ‘A e verdadeira’ for correto, entao a proposicao A podeser conhecida como verdadeira.

Prawitz (2012a, 57) alega que, nesses termos, o princıpio K se reduz a umatrivialidade, dado que “correto”, na analise de Martin-Lof, significa conhecıvel.Acreditamos, no entanto, que essa retificacao tem apenas o objetivo de esclarecerque a mera suposicao da verdade de uma proposicao nao nos da o direito de con-cluir que possuımos a sua prova, i.e., que sabemos que ela e verdadeira. Alemdo mais, K ′′ exprime o que a regra inferencial acima diz, e, afinal, qual regrainferencial nao comporta um sentido trivial?

Mas retomemos nosso problema inicial: como a distincao entre proposicoesatualmente e potencialmente verdadeiras pode lidar com a condicao contraintuitivade uma proposicao matematica se tornar verdadeira quando provada? Para Martin-Lof, quando esse tipo de objecao e feita, leva-se em consideracao somente umanocao atualista de existencia de uma prova, e como a verdade de uma proposicaoesta associada a existencia de sua prova, uma proposicao so pode ser verdadeira apartir do momento que sua prova passa a existir. Sua sugestao consiste entao emapelar a uma nocao potencial da verdade, de modo que nao mais dizemos que umaproposicao se tornou verdadeira, e sim que sua verdade foi atualizada. Ou seja, averdade de uma proposicao, que ja lhe era inerente em estado potencial, porquea existencia de sua prova sempre lhe foi possıvel, apenas se atualiza. Vejamos acitacao abaixo:

[T]here is not only the notion of actual truth, but also the notion of potential truth, andthat, even before the proposition was proved, it could be proved, which is to say that,although not yet actually true, it was potentially true. Thus the notion of potentialtruth is not tensed in the way the notion of actual truth is. On this analysis of the

148Esse ponto esta por tras da controversia acerca da legitimidade do seguinte axioma, que procuracapturar uma das caracterıstica do Sujeito Criador, um artifıcio criado por Brouwer (975c) a fim deelucidar o intuicionismo: A → (∃x ∶ N)(Σ ⊢x A), que pode ser lido como: se A for verdadeira,entao existe um estagio x ∶ N no qual o sujeito criador possui a sua prova. Levando em conta queo axioma se trata de uma implicacao, a verdade de A pode ser meramente hipotetica, ou seja, nao epossıvel garantir que o sujeito criador possui alguma construcao que lhe permita conhecer a verdadede A. Tratando-se de uma suposicao, pode ser o caso de A ser de fato falsa, o que impossibilitaria ademonstracao de sua verdade em qualquer estagio que seja. Nessas condicoes, a validade do axiomaso seria legıtima quando o antecedente fosse categorico, pois, dado o envolvimento entre prova everdade no intuicionismo, realmente haveria uma prova de A, a qual teria sido obtida em algumestagio da atividade matematica do sujeito criador (cf. (Sundholm, 2014, 19)).


notion of truth, potential truth, that is, it is clear that there are no propositions whichare true but which cannot be proved; because potential truth is simply analyzed aspotential existence of proof (Martin-Lof, 1991, 142).

Nessas condicoes, Martin-Lof parece cumprir com o que Prawitz caracterizoucomo uma nocao atemporal e abstrata de existencia de uma prova, porque pode-sedizer de uma proposicao arbitraria que a sua prova sempre (no sentido de atem-poralidade) existiu num estado potencial. Consequentemente, toda proposicao epotencialmente verdadeira, independentemente de sua verdade ser ou nao atuali-zada. Note-se que assim o argumento da nova batalha naval nao se aplica, pois avalidade do princıpio C seria garantida pela existencia potencial de uma prova.

Ademais, vale ressaltar – pois podemos ser facilmente induzidos a esse ponto– que a existencia potencial de uma prova nao se reduz a potencialidade relacio-nada a execucao de um metodo efetivo. A passagem a seguir aparenta atestar queo sentido de potencia em “A pode ser provada” nao e o vinculado ao de posse deum metodo de decisao. Dizendo de outro modo, a proposicao A nao precisa serdecidıvel. A nocao de potencia ali empregada esta mais proxima ao que chama-mos na secao passada de verificabilidade ideal do que a nocao de verificabilidadeefetiva, que e menos abrangente:

[I]n the definition of potential truth, we cannot change the words A can be provedinto A has been, is being or will be proved, that is, will be proved at some time inthe course of history, because the conceptual relation between saying that somethinghas been, is being or will be done and saying that it can be done is that we have anentailment in the direction, If something has been, is being or will be done, then itcan be done, but not in the converse direction (Martin-Lof, 1991, 143).

Se Martin-Lof estivesse falando da posse de um metodo efetivo, nao se poderianegar que uma proposicao que tivesse como prova a execucao desse metodo seriaprovada em algum momento no curso da historia, ou seja, poder-se-ia legitima-mente interpretar “A pode ser provada” como “A foi, esta sendo ou sera provada”.

E quanto a potencialidade envolvida na nocao de verificabilidade efetiva, epreciso que o metodo efetivo de verificacao que a garante seja executado, i.e.,e preciso que ele de fato retorne um valor? De acordo com Martin-Lof, pode-mos relacionar essa questao ao que Lovejoy chama de princıpio de plenitude, oqual diz que toda possibilidade sera atualizada no curso do tempo. A negacaodesse princıpio consiste em afirmar que nao e necessario que tudo que e possıveldeva existir de modo atual. Como Martin-Lof nao ve “nenhuma base para esseprincıpio”149, nada nos impede de assumir que, para ele, a potencialidade relaci-onada a verificabilidade efetiva, ou a nocao de prova nao canonica, nao exige aexecucao factual do metodo efetivo envolvido.

Pelo exposto, a impressao que fica, mais uma vez, e que a tentativa de disso-ciar as nocoes de demonstracao e verdade – a fim de que esta adquira um caraterabstrato e atemporal – nos deu todos os ingredientes para que compusessemosuma compreensao realista dessas nocoes. A maneira como a nocao de potenciafoi interpretada, tal qual se apresenta no enunciado “A pode ser provada”, parece

149(Martin-Lof, 1991, 143).


exprimir a nocao de verificabilidade ideal, investigada na secao passada. Enten-dida dessa forma, uma proposicao pode ser verdadeira nao porque ela pode seratualmente provada, mas porque ela pode em princıpio ser provada. No entanto,de acordo com a analise fenomenologica que efetuamos acima, a verificabilidadeideal so e valida num domınio cuja intencionalidade o caracteriza como objetiva-mente completo, que e justamente a caracterıstica fundamental do platonismo:

An assertion is true-in-itself (resp. false-in-itself ) if it is meaningful, both syntacti-cally and semantically; [...] But with an important proviso, assertions must refer todomains of being that are already fully determined in themselves, domains that I cal-led objectively complete. Only under this presupposition, all meaningful assertionscan ideally be clarified150.[...] If, on the contrary, a domain is conceived as objectively incomplete, dependingfor its completion on the action of a subject, there is no place for the notion of intrinsictruth. Truth is either experienced or not at all (da Silva, 2017, 88-89, grifo do autor).

Em outras palavras, a menos que uma proposicao se refira a um domınio objeti-vamente completo, nao estamos justificados em lhe atribuir um valor de verdadeintrınseco, que corresponderia a nocao proposta por Martin-Lof de proposicao po-tencialmente verdadeira.

Gostarıamos de observar, contudo, que a existencia de um domınio objetiva-mente completo nao e uma condicao suficiente para haver um realismo semantico– i.e., qualquer proposicao possui um valor de verdade intrınseco –, apesar deser uma condicao necessaria. Estaria entao Martin-Lof, sobretudo ao atribuir umcarater ontologico aos objetos-prova, propondo uma forma de intuicionismo emque temos, de um lado, um realismo ontologico, mas, de outro, um antirrealismosemantico? Podemos constatar nesta citacao que os objetos-prova (ou provas, sim-plesmente) sao compreendidos ontologicamente, entidades em virtude das quaisuma proposicao pode ser dita verdadeira:

[T]he intuitionist, or verificationist, notion of truth is really a version of the corres-pondence notion of truth, truth as agreement with reality: the only novelty is thatwe call that thing in reality, or in the world, which has to be there in order for theproposition to be true, its proof, or verification (Martin-Lof, 998b, 112).

A partir disso, poderıamos entender que ha um domınio objetivamente com-pleto de objetos-prova, referencia de toda proposicao verdadeira, de modo que,para uma proposicao arbitraria A, existe ou nao existe um objeto-prova que a ve-rifique. Esse domınio, alem de garantir a verdade potencial de A, invalidaria oargumento da nova batalha naval: os objetos-prova sempre estiverem disponıveis,ou melhor, a referencia de uma proposicao verdadeira, como demanda o princıpioC, pre-existe a atualizacao da verdade dessa proposicao.

Mas se a verdade de uma proposicao se deve a existencia de seu objeto-prova,afirmar que, para qualquer proposicao, seu objeto-prova existe ou nao existe naoequivale a se comprometer com um realismo semantico? Ademais, isso nao va-lidaria o princıpio logico de bivalencia, marcador fundamental da distincao entreplatonismo e intuicionismo? A concepcao semantica da TIT nao permite umaresposta positiva a essas duas questoes. Para se afirmar um juızo da forma A e

150I.e., idealmente provada (nota nossa).


verdadeira, e preciso conhecer o objeto-prova que realize as condicoes estabeleci-das pelo sentido da proposicao A: “to have the right to make a judgement of theform ‘A is true’, you must know a proof of A”151. Desse modo, o princıpio de bi-valencia apenas seria valido se conhecessemos, para uma proposicao arbitraria A,um objeto-prova de A∨ ∼ A, que, de acordo com o sentido da disjuncao, equivalea conhecermos o objeto-prova de pelo menos um dos disjuntos, contudo isso nemsempre e o caso152.

Prawitz sugere essa interpretacao para a teoria intuicionista de tipos, em que,poderıamos dizer, alia-se um realismo ontologico a um antirrealismo semantico:

Adopting this new view of proof-objects, Martin-Lof definition of truth in terms ofthem does not any longer make “intuitionism into an idealistic philosophy in theknowledge theoretical sense”. On the contrary, it brings his new position close to,or at least closer to, realism. Asked what the proof-bjects are after their epistemicconnections have been severed, Martin-Lof and Sundholm often answer that they arejust truth-makers (Prawitz, 2012a, 59, grifo do autor).

Apesar dessa interpretacao solucionar os problemas que temos discutido, naoacreditamos que seja fidedigna ao intuicionismo de Martin-Lof. Nao e corretoafirmar que, de acordo com a TIT, haja um domınio objetivamente completo deobjetos-prova. Ocorre que Martin-Lof distingue entre demonstrar um juızo e pro-var uma proposicao. Um juızo da forma A e verdadeira e demonstrado por umencadeamento de inferencias onde se evidencia a construcao de um objeto-provaque verifica a proposicao A. Ou seja, os objetos-prova nao habitam um domınioobjetivamente completo e independente, pois sao construıdos por meio de umademonstracao, atividade que se caracteriza por trazer evidencias a um sujeito cog-noscente.

Assim sendo, temos que admitir que a condicao temporal de uma proposicaose tornar verdadeira e algo inerente ao intuicionismo, o que traria consigo todasas suas consequencias contraintuitivas? Acreditamos que nao, e a solucao paraisso, se estivermos corretos, encontra-se na maneira em que a teoria intuicionistade tipos compreende o sentido proposicional.

Na TIT, temos os juızos de formacao. Por conseguinte, antes de termos o di-reito de asserir A e verdadeira, o juızo de formacao A e uma proposicao ja deveter sido feito, i.e., ele entra como premissa da conclusao que assere a verdade deA. Para termos o direito de asserir A e uma proposicao, devemos saber o queseria um objeto-prova de A, pois e esse conhecimento que nos permite compre-ender o sentido de A, ou seja, que nos permite saber que A e uma proposicao.Outra peculiaridade da TIT e que proposicoes podem ser vistas como tipos, i.e., ti-pos habitados por objetos-prova que verificam a proposicao associada ao tipo quehabitam. Assim, temos algo semelhante ao que falamos na secao passada sobresignificatividade semantica. Vimos que a proposicao “o numero 2 e verde” nao esemanticamente significativa porque ha uma incompatibilidade a priori entre tiposontologicos. Tambem vimos que uma sentenca sintaticamente e semanticamente

151(Martin-Lof, 998b, 112).152Cf. (Prawitz, 2012a, 61).


significativa e capaz de exprimir uma situacao a priori possıvel, isso se devendotao somente a compatibilidade entre os tipos ontologicos que constituem a suasignificatividade semantica. Por essa razao que a proposicao “175 e um numeroprimo”, apesar de ser necessariamente falsa, pode (num sentido mais fraco de pos-sibilidade) ser verdadeira. E aqui chegamos ao ponto que gostarıamos de propor:quando asserimos A e uma proposicao, delimitamos a compatibilidade dos tiposrequeridos pelo sentido de A, para os quais devemos investigar a construcao deum objeto-prova que os instancie. E essa compatibilidade de tipos, instaurada as-sim que compreendemos o sentido de A, que nos permite dizer que A pode serverdadeira (ou que A pode ser provada).

Usando o argumento da nova batalha naval para testar a nossa interpretacao,dizemos: independentemente de quando ocorre uma prova, no momento em queuma proposicao e feita, ou conjecturada, dirıamos, estabelece-se uma compati-bilidade de tipos, determinando a priori que a proposicao em questao pode serprovada. Ou seja, uma proposicao se torna verdadeira porque construımos umobjeto-prova que a verifica, no entanto, devido somente ao sentido da proposicao,a construcao desse objeto-prova ja era possıvel, i.e., ja havia a possibilidade daproposicao ser verdadeira. E tudo isso sem recorrermos a uma concepcao platonicade entidades pre-existentes. Ate mesmo os tipos ontologicos so existem porque asproposicoes existem, as quais sao construıdas pelos juızos de formacao da TIT.Nessas condicoes, no que diz respeito a passagem do tempo, talvez o mais im-portante a questionar e se a proposicao provada e a mesma conjecturada temposatras.

Assim, se lermos a luz da TIT a nocao de sentido proposta por Prawitz, ela pa-rece sustentar-se diante das dificuldades ocasionadas por uma nocao mais abstratade verdade.

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Apuntes sobre los aspectos devalor prescriptivo delrazonamiento abductivo

Alger Sans Pinillos153

Resumen

En este trabajo presento el papel de la abduccion a la hora de analizar la interaccionentre seres humanos y maquinas. La propuesta parte del modelo eco-cognitivo dela abduccion, el cual plantea una relacion de intercambio de informacion, la cualimplica que nuestro entorno es cada vez mas sofisticado, en la medida que lo usa-mos. Este hecho nos obliga a plantearnos que tipo de interaccion deseamos conestos dispositivos y analizar si estas transacciones son neutras o si, por el contra-rio, contienen elementos valorativos que, sino tenemos en cuenta, podemos acabarcometiendo grandes injusticias. La idea central que intento argumentar es que laabduccion contiene de base un elemento valorativo de tipo prescriptivo el cual, porun lado, nos obliga a considerar ciertos aspectos de nuestra concepcion del conoci-miento y, por el otro, nos permite analizar el problema de las maquinas destinadasa ayudarnos en cuestiones eticas. En estos contextos, es necesario preguntarnosde que manera consideraremos la armonizacion entre los valores humanos y losque computemos, hecho que nos ha de obligar a revisar los modelos de representa-cion humanos que luego usamos para disenar nuestras maquinas. Investigacionesrecientes permiten plantear la abduccion como un elemento clave para la investi-gacion, pues es el punto de union entre todos estos temas. Ofrece la posibilidad deimplementar cuestiones de valor, ademas permite desencajar problemas tecnicos,como lo es el debate entre sistemas mimeticos o de anclaje en la alineacion de va-lores y, finalmente, es una herramienta util para denunciar las injusticias generadaspor la falacia naturalista que se comete al confundir valores con preferencias, atraves, precisamente, de darnos herramientas para disolver la dicotomıa clasica dela que parte tal error logico.Palabras clave: mimesis, falacia naturalista, abduccion, interaccion.

153Universidad de Pavıa, Pavıa, Italia: [email protected]

143

144 Alger Sans – Apuntes sobre los aspectos de valor prescriptivo . . .

7.1. Introduccion

El hecho de que cada vez mas nuestras herramientas sean dispositivos tec-nologicos con un determinado grado de inteligencia (maquinas) en vez de artefac-tos, nos obliga a replantearnos, no solamente esta circunstancia, sino todo un se-guido de cuestiones que han ido adquiriendo importancia en la medida que nuestradependencia hacıa ellos tambien ha argumentado mediante la continua integracionen cada uno de los aspectos de nuestro dıa a dıa.

La diferencia mas remarcable es que nosotros podemos interactuar con estosdispositivos, mientras que este grado de relacion es imposible con los simples ar-tefactos154. No obstante, no se ha de confundir el tipo de relacion compleja queestoy exponiendo con la creacion y uso de los artefactos tecnologicos, los cualesnos han servido de herramientas para realizar un tipo de tareas complejas. Aquıme refiero exclusivamente a esas entidades que atienden a nuestras necesidadesmediante la asimilacion de datos para, ası, ofrecer experiencias personalizadas alusuario. Esto es, el paradigma computacional, en el que la diferencia crucial esque estos dispositivos nos ofrecen un entorno al que ya no podemos simplementeinvestigar, sino que lo podemos interrogar y, este, a su vez, puede hacer lo mismocon nosotros.

No obstante, este fenomeno tambien ha abierto las puertas a nuevas pro-blematicas. Un ejemplo es la cuestion sobre la estandarizacion del interes y laconstruccion de un conocimiento general, causado a traves de los algoritmos quefiltran las busquedas particulares para optimizar resultados generales (Big data).Este hecho nos obliga a plantearnos si estamos viviendo una hegemonıa globaldel conocimiento o si, por el contrario, realmente tenemos en nuestras manos elcamino hacıa una emancipacion epistemica.

Un recurso habitual es el de la concienciacion para el uso responsable de latecnologıa. Palabras que guardan poca o ninguna relacion con la realidad a la queme refiero pues, una cosa es el asunto praxeologico dirigido al uso de cualquierobjeto (sea dispositivo, artefacto, ası como con el grado que fuere, tanto de ma-terialidad como de simbolismo) y otra muy diferente es cuando se esta tratandoel tema de la interaccion. Ciertamente, hay una diferencia entre el tipo de rela-cion que tenemos cuando analizamos la eficacia de nuestras herramientas con lascuestiones prescriptivas que versan sobre los lımites eticos de la forma en que in-cidimos en el mundo y que contabilizan y determinas de manera diferente en eltotal del computo que hacemos al decidir que hacer; a saber, la mirada etica. Noobstante, es una mirada etica en que los instrumentos se pueden hacer equivalera nuestras acciones, a las maneras como actuamos y esto, en definitiva, dirige elproblema etico a la esfera del ser humano. Ejemplos son las eticas hacıa el medioambiente, en la gestion de datos. . .

Por el contrario, en el momento en que involucramos la interaccion conside-

154Imposibilidad en el sentido de que el sentimiento de interaccion con estas entidades no es masque una ficcion, por el simple hecho de que no hay la correspondencia que este tipo de relaciondemanda para darse.

7.1. Introduccion 145

ramos que la relacion que establecemos con esa entidad es mas o menos correctay, por ende, que podemos exigirle cierta eticidad. Un ejemplo son los animales loscuales, una vez que no los consideramos como meros objetos y/o propiedades, en-tendemos que nuestra interaccion con ellos ha de contemplar sus caracterısticas yque, en definitiva, no debemos tratarlos como simples cosas que sirven para nues-tros fines. Este paso implica aceptar a estas entidades dentro de nuestro constructoetico, del cual ahora me refiero a la maxima comunmente aceptada: “Handle so,dass du die Menschheit sowohl in deiner Person, als in der Person eines jeden an-dern jederzeit zugleich als Zweck, niemals bloß als Mittel brauchst” (Kant, 1960,AA IV). Evidentemente, el paso no es el sinsentido de considerar estas entidadescomo personas, sino identificarlas dentro de nuestra mirada etica del mundo. Dehecho, el “como si” es una peticion de principio cruel que compara y nivela a partirde una vara de medida escogida arbitrariamente.

La idea que pretendo defender en este escrito es que el paradigma en el quenos encontramos actualmente, no solamente permite, sino que demanda una am-pliacion de nuestra mirada etica y contemplar algunos dispositivos tecnologicoscomo entidades con las que interactuamos. El motivo es doble. El primero es queinvestigamos y disponemos de dispositivos tecnologicos que usamos para solucio-nar problemas eticos, mientras que el segundo es que tenemos otros dispositivosque, aunque no estan directamente disenados para que incidan directamente enesta faceta de nuestras vidas, la manera como interactuan con nosotros no obligaa plantearnos si nos ofrece un trato etico. Los dos temas convergen en que todasestas entidades son hechas por nosotros, hecho que ayuda a concentrar nuestrosesfuerzos en analizar los modelos que se usan para generar los sistemas con losque despues tendremos que convivir.

Estos modelos han sido creados con la intencion de integrar sistemas com-plejos de acumulacion de datos para dar respuestas precisas. Esto es, como he-rramientas sofisticadas para informar de la manera mas personalizada y concretaposible. Como he dicho al principio del texto, la gestion de estos datos se optimizamediante la estandarizacion del interes, el cual se genera mediante la accesibili-dad de los mismos datos recompilados. No obstante, la cuestion etica implica unproblema mas pues, por un lado, no puede responderse mediante una acumulacionde datos y, segundo, porque implica una interaccion real, esto es, una adaptacion acasos concretos en que los cambios mınimos en las demandas es lo que realmenteimporta, la cual requiere, no solamente de modelos computacionales que permitanque los dispositivos devengan morales, sino tambien el paso de que nosotros acep-temos este grado de eticidad dentro de nuestra mirada etica del mundo. Esto es,que reconozcamos estos dispositivos como entidades eticas.

Como se puede ver, el segundo problema se desprende del primero, pero so-lamente en parte. Como bien nos muestra nuestra historia, nada garantiza que,llegados al punto que consigamos una maquina etica de verdad, esta sea aceptadacomo entidad con la que interactuar moralmente. No obstante, esta es una espe-


culacion que no toca ser planteada ahora155. El primer punto es el que realmentecompete a este escrito y se abordara del siguiente modo. En el segundo apartadopresentare una pincelada a la confusion entre valores y preferencias que se da enlas teorıas relativas a la Moral Machine (MM). En la tercera parte abordo una nue-va manera de plantear el problema des del modelo eco-cognitivo de la abduccion.En la cuarta seccion mostrare el peligro de cometer la falacia naturalista con estemodelo y, finalmente, ofrezco mis reflexiones alrededor de este, ası como la ne-cesidad de considerar el aspecto circunstancialmente etico de la abduccion en loscasos que se teorice sobre la mirada etica del mundo.

7.2. Problemas eticos en la MM

Las investigaciones que actualmente han intentado dar cuenta de lo expuestoen la introduccion se han centrado en la manera como han de ser los algoritmos pa-ra poder ser eticos. Desde el consuensalismo propuesto por GENETH (Andersony Anderson, 2015) a la formalizacion del lenguaje etico de SIROCCO (McLaren,2003), la intencion es superar el modelo que podemos representar con el proyectode la MM del MIT, el cual intenta capturar las intuiciones eticas basicas de losparticipantes de un estudio basado en el experimento mental “Trolley Problem” dePhilippa Foot (1967). Este enfoque ya ha proyectado una vision generalizada delo que serıa una etica computacional, la cual parte de una confusion entre valoresy preferencias, la cual puede generar todo un seguido de injusticias cuando, porun lado, se considera que dichos resultados son eticos y, tambien, cuando nuestroconocimiento parte de los sesgos generados por los algoritmos que recopilan la in-formacion que nos sirve para hacer nuestras inferencias eticas (Sans y Casacuberta,2019, 320-321).

Una definicion estandar de “valor” serıa una propiedad que hace que un obje-to o hecho sea mejor que otro a partir de un criterio no cuantificativo, en la que“criterio cuantificativo” es la manera como decidimos algo en una escala definidaordinariamente. Un hecho importante de remarcar es que un criterio cuantificativoanula de facto el cualitativo por mor de la generalizacion. En el caso de la eticaen relacion con la computacion, esta anulacion se da en la transformacion de unanorma (moral) a una regla (algoritmo). Este hecho anula la parte intrınseca de losjuicios eticos, los cuales implican el aspecto psicologico de los valores eticos, es-to es, preferir algo no por su beneficio cuantitativo, sino por su correccion. Esteelemento es el que permite buscar la repeticion por una vıa diferente a la gene-ralizacion, esto es, buscandolo en cada una de nuestras acciones. Como hemosintroducido, cuando la accion moral a la que nos referimos es hacıa otra persona,se da una interaccion, la cual contiene implıcitamente la reciprocidad, en el sentidode que, si queremos establecer este tipo de relacion entre seres humanos y dispo-sitivos/maquinas, sera necesario buscar la manera de que se de una comunicacion

155Aunque existen debates sobre la forma, fisiognomıa, voz, etc., que deberıa tener un dispositivopara que un ser humano confiase de tal manera que generase un vınculo emocional/moral con el.

7.3. El razonamiento abductivo 147

bidireccional entre las normas y las reglas. Como hemos argumentado en otro si-tio, en computacion, esta traduccion puede recibir el nombre de regulacion (Sans yCasacuberta, 2019, 322). No obstante, en este paso, la regla pierde factores funda-mentales para que se de una norma, a saber, que los juicios eticos no versan sobrelo que es, sino sobre lo que debe ser, esto es, una posibilidad. El motivo es porqueno hay una funcion determinada para los juicios eticos, sino la simple interaccioncon los demas y, esta, se da en casos particulares, los cuales han de afrontar a cadamomento problemas/situaciones, nuevas. En un sentido figurado, se puede enten-der que los valores eticos estructuran las acciones que hacemos, confeccionandoası un sistema etico en el que se puede regular de manera no cuantificativa, inclusoaquello que es cuantificable.

Por lo tanto, un primer paso serıa preguntarnos como conseguir que un dispo-sitivo entre en nuestra forma de vida, en el sentido en el que Wittgenstein mostroque es necesario saber como se usa el Sprachspiel de una comunidad para poderformar parte de ella (para compartir y estar en su forma de vida). Este punto devista puede ayudarnos a entender que el problema etico al que nos enfrentamos noes el de si la percepcion de una situacion es etica, sino de que se llegue a reconocera traves de procesos que sean eticos para, ası, ofrecer el tipo de soluciones que seexigen en cada caso (como, por ejemplo, el de la individualidad y vulnerabilidadde la persona que esta sufriendo una injusticia).

En este sentido, la MM es insuficiente porque genera resultados a partir decuantificaciones, las cuales se hacen a partir de una respuesta que no contemplalos motivos por los cuales cada una de las personas se ha decantado por ella. Di-cho de otro modo, no cuantifica valores, sino las preferencias de las personas encasos concretos. Estos motivos para preferir algo pueden estar construidos a partirde infinitud de sensaciones, emociones y otros aspectos psicologicos, los cualesmuchas veces no son conscientes; elementos que actualmente son imposibles decapturar con precision. Es extremadamente difıcil hacer una lista de emocionesque se puedan inferir, etc., principalmente porque el ser humano no dispone decapacidad ni lenguaje pera matizar cada uno de los aspectos que lo llevan a de-cantarse (esto es, mostrar una preferencia en una escala cuantificadora) (Sans yCasacuberta, 2019, 326). Por lo tanto, parece que la investigacion sobre maquinaseticas necesita buscar otro camino para poder dar resultados que den cuenta de lascrıticas arriba expuestas. Como veremos a continuacion, un posible camino es elde buscar la mimesis a traves del modelo eco-cognitivo de la abduccion.

7.3. El razonamiento abductivo

En este apartado presento una aproximacion teorica del mecanismo que podrıaservir para abordar el problema de entender y programar los aspectos morales.Esta propuesta parte de las teorıas sobre el razonamiento abductivo para capturarla parte psicologica de los razonamientos, las cuales empezaron a disenarse en elseno de la discusion de la dicotomıa entre el contexto de justificacion y el de des-


cubrimiento. Esta propuesta, si bien no soluciona el problema de la comprensionde la etica, sı que permite romper algunas fronteras que sirvieron en su momen-to para definir la logica que nos ha servido hasta dıa de hoy para investigar encomputacion e AI156 y, ası, avanzar hacıa la comprension de la eticidad interna delser humano a traves de la intencionalidad hacıa los objetos del mundo, la cual sepueden entender como mediadores morales (Magnani y Bardone, 2007). Cuandoesta intencionalidad es percibida por otro agente humano, la comprension etica seda de facto, siempre y cuando los sujetos formen parte de la misma forma de vi-da. No obstante, en caso contrario, se da la comprension etica de la situacion detodos modos, sin que eso implique una comprension concreta de lo que se estabaproyectando con la accion.

Estos dos factores son, a mi entender, la clave para el proposito computacional,pues proponen un nuevo camino de comprension de los algoritmos de aprendiza-je automatico a traves de procesos abductivos dirigidos a reproducir una mime-sis (Magnani, 2018). Esta propuesta empieza situandonos dentro de un juego deimitacion (Turing, 1950), en que los dispositivos electronicos y las maquinas sonpotencialmente capaces de modificar a los seres humanos y a la AI a traves dela interaccion. En este sentido, siguiendo la propuesta de Magnani y Bardeone,entiendo que los dispositivos tecnologicos y las maquinas pueden ser entendidascomo entidades con una moral pasiva (Magnani y Bardone, 2007, 70), capaces dedistribuir el aspecto moral de las acciones de los humanos (Magnani, 2018, 68).Esto es, que puedan gestionar un aspecto que es tacito en la interaccion e implıcitoen el comportamiento (Magnani y Bardone, 2007, 100). Como puede verse, estapropuesta nos remite a la postulacion de la dicotomıa entre aspectos psicologicosy logicos a la que me he referido mas arriba157, la cual es imposible tratar aquı(Niiniluoto, 2014, 378).

No obstante, aunque no explique con detalle esta problematica, me permiteresaltar el valor de la abduccion en este debate, pues precisamente ha cobradoimportancia porque, tal y como dice Thagard, puede ser “both a component inthe discovery of hypotheses and a key ingredient in their justification” (Thagard,1988, 52). Dicho de otro modo y remitiendo a la dicotomıa de la que se despren-de la arriba mencionada, se ha entendido a la aduccion como el puente entre loshechos y los valores y esto es, en definitiva, la clave para disolver la problemati-ca. Evidentemente, no estoy argumentando una explosion en cadena en que, si seanula la dicotomıa de la que se desprenden las demas, entonces estas tambien sedisolveran. En absoluto. Lo que intento introducir es que la sentencia que afirmaque no se pueden hacer prescripciones de las descripciones o la que afirma que nose pueden declarar juicios verificables a partir de juicios psicologicos, sino sola-mente a partir de argumentos reductibles a la logica, etc., parten de una definicionconcreta y compartida por todos de lo que significan cada uno de estos conceptosque contraponen, ası como el papel que juegan dentro de nuestro entramado con-

156Me refiero a Frege y a la dicotomıa entre psicologıa/logica que empezo (Frege, 1918/1919, 58).157V. Supra, 3-3n.


ceptual; y es ahora que vemos que solamente podemos avanzar derrumbando estossignificados, pues la realidad se nos impone al no poder dar cuenta de ella.

Ası, siendo el de la etica el escollo contra el que ha chocado el sistema clasico,al menos debemos proceder hipotetizando dos cosas, a saber, la primera, que estaredefinicion conceptual debe permitir introducir los factores morales sin que esosea tachable de error metodologico y, la segunda, que la misma moral debe serredefinida para que encaje en todo este pulido de la arquitectonica conceptual conla que conocemos a la vez que disenamos la realidad158; y un buen punto de partidaserıa entenderla distribuida, donde “distribucion” tendra una connotacion en la quela interaccion sea posible con todas las entidades con las que interactuamos demanera recıproca.

En este sentido, es facil entender la abduccion como un mecanismo para co-lapsar las dicotomıas que he mencionado pues, como he dicho, aunque no declarenlo mismo en un sentido, sı que parten del mismo principio por otro, siendo posiblehacerlas converger, como es el caso de la que separa la justificacion del descubri-miento y la de hecho y valor (Putnam, 2002). Este colapso viene de la mano deque, evidentemente, una dicotomıa es una metanorma que se impone a la posibili-dad de influencia entre dos conceptos y, por lo tanto, es asumible que nuestra cajade herramientas de razonamiento es, por un lado, tanto descriptiva como basada envalores y, ademas, capaz de sacar conclusiones a partir de la mezcla que despuesse ha prohibido ad hoc, por mor de un metodo determinado que opera —bien—en un campo concreto (Feyerabend, 1993)159.

Por lo tanto, partiendo de esta idea de que nuestro aparato de razonamientoopera conjuntamente de manera descriptiva y valorativa, la division entre capaci-dades logicas y psicologicas se difumina y permite entender a las primeras comouna forma mas o menos fiable de representar a las segundas (Sans y Casacuberta,2019, 327). Y digo mas o menos fiable por el hecho de que, dependiendo de la fi-nalidad, el nivel de simplificacion de los procesos del concepto, puede variar tantoque, al final, la abduccion definida en un area de ciencia cognitiva sea diferente ala de otro de sus campos; siendo el motivo el hecho de que la representacion de lacaracterıstica esencial de la abduccion, esto es, plantear posibilidades, sea redefi-nida para que se pueda dar en otro campo. No obstante, este paso, de momento, haimplicado que el concepto redefinido no sea ya una abduccion, sino un proceso quese le puede llamar como tal, en contraste con los otros. Un ejemplo lo encontramosen Kakas (2017), quien muy atinadamente llama a su abduccion como “inducciona la inversa”. Hay que tener en cuenta que “abduccion” es una de las diversas ma-neras de como se ha traducido la απαγωγη aristotelica y que, dependiendo delcontendido teorico y la carga que se pone de este al traducirla, se implica aquelloque queremos de dicho concepto. Ası, con la definicion de Kakas no se consiguelo que otros queremos capturar con la “abduccion” que acuno Peirce, inspirandoseen Aristoteles.

158Como dijo Hintikka (2007,11): “we are both producers and consumers of knowledge”.159Es importante tener presente que el escribio contra un metodo, para que otros pudieran

(co)existir.


Los intentos para conseguir esto son las aproximaciones teoricas que, de mo-mento, han servido sobre todo para mostrar los lımites de las teorıas actuales encomputacion y AI, ası como los de sus aplicaciones. Un ejemplo de esto es el deThagard, uno de los pioneros en la investigacion sobre la abduccion, el cual mostrola importancia de aceptar el reto de conseguir implementar el aspecto psicologicoen le aparato descriptivo de los algoritmos. En el planteamiento de su programaIP, nos muestra que nosotros podemos hacer un tipo de inferencias, las cuales senos presentan imposibles de computar hoy en dıa. Esto es lo que nos introduceThagard con el ejemplo de “suppose you are wondering why a young man, Mi-chael, is dressed outrageously, so that you set yourself the problem of explaining(dresses-outrageously (michael) true)”, el cual puede desencadenar la regla “if x isa rock musician, then x dresses outrageously” (Thagard, 1988, 54. Italicas mıas).Primero de todo, la regla se desencadenara a partir de factores que no controla-mos y, seguido de esto, inferiremos de ellos una cosa u otra. Dicho de otro modo,ante un hecho sorprendente, la viabilidad de la opcion generada recae mas en sucapacidad de plantear una lınea de accion, que en la veracidad de esta.

La sorpresa es el disparador psicologico que se da, a veces, circunstancial ycontingentemente. Otro ejemplo es el descubrimiento del planeta Neptuno, hechoen que se mezclan diferentes maneras de comparar y sopesar la informacion dis-ponible, ya que ninguno de estos factores era realmente determinante para la con-clusion final de la inferencia que, precisamente por todo lo que he dicho, se puedeidentificar como abductiva (Sans, 2017). Estos dos casos muestran las dificultadesde conseguir computar el proceso abductivo. Por un lado, nuestro profundo desco-nocimiento de como funciona nuestro aparato cognitivo y, mas concretamente, porlas extranas caracterısticas epistemicas de la abduccion. Me refiero al hecho de quesu papel en la ampliacion de nuestro conocimiento parece ser el de permanecer enla ignorancia.

Esta aparente paradoja fue, a mi entender, la que configuro la primera etapade recuperacion de la abduccion des de que Peirce la planteo como la logica quesubyace en el pragmatismo. El debate generado entre los esquemas GW (Gabbay yWood, 2005) y el AKM (Aliseda, 2006)160 ayudaron para definir los temas implıci-tos en este razonamiento, esto es, que se ocupa de la generacion de conocimiento(fill-up problem) y la seleccion de una lınea de accion de entre todas las opcionesgeneradas (cutdown problem). No obstante, este debate ha generado un subpro-blema que ha mostrado las carencias de nuestros sistemas representacionales a lahora de capturar la virtud epistemica que he mencionado al paragrafo de arriba,a saber, que el papel de la abduccion en nuestros procedimientos gnoseologicosse basa en que permanece en la ignorancia, donde “ignorancia” significa aquı eldesconocimiento concreto de algo que intentamos resolver.

El problema al que me refiero es que, si se quiere dar peso a la permanencia del

160Esta teorıa ha sido disenada y defendida por bastantes investigadores. Usare la obra de Alisedacomo ejemplo, por dos razones, a saber, la primera, es una de las mejores reconstrucciones de estaaproximacion a la abduccion y, la segunda, que puede que sea de las pocas concepciones de este ra-zonamiento que se puede usar localmente para dar cuenta de algunos de estos hechos sorprendentes.


estado de ignorancia del proceso abductivo (GW), entonces la abduccion pierde larazon de ser en la ampliacion de nuestro conocimiento, pues siempre hara falta unaactivacion de la hipotesis conjeturada, hecho que ya no sera abductivo: [teniendoen cuenta que C(H) es la conjetura de la hipotesis de un agente y que Hc es laactivacion de dicha conjetura:]

10. Therefore, C(H)

11. Therefore, Hc (Woods, 2013, 370)

Estos dos procesos conclusivos son el resultado de intentar dar cuenta de unproblema de ignorancia, el cual se desarrolla a traves de un seguido de proposi-ciones que intentan capturar la condiciones y pasos necesarios para que se de unaabduccion. La misma explicacion que acabo de dar se puede aplicar al siguientecaso.

La otra alternativa es darle a la abduccion un valor epistemico que permitaque proceso y resultado impliquen una regla que ofrezca un tipo de conocimiento,esto es, una —mejor— explicacion del hecho sorprendente. No obstante, ser unaexplicacion mejor o peor de algo implica una comparacion y evaluacion, hechosque no se contienen en lo que la abduccion quiere capturar, sino en una inducciondel tipo que definio Harman (1965): [teniendo en cuenta que K es el conocimientodel agente, H es la hipotesis que ha de armonizar nuestro conocimiento con elhecho sorprendente, representa la inferencia no-monotonica de consecuenciapresuntiva y que E es el hecho sorprendente al que queremos explicar:]

6. K(H) E

7. Therefore, H (Gabbay y Wood, 2005, 48-49)

Una solucion es la que ha ofrecido Magnani con su modelo eco-cognitivo, elcual ofrece una teorıa de la abduccion que se puede interpretar des de la perspecti-va enactivista en que este razonamiento es la clave para dar soluciones tentativas,partiendo de un contexto en el que nosotros somos un elemento distribuido mas,dentro de la totalidad de la operacion cognitiva que se da al intentar dar cuenta delcaso (Magnani, 2017)161. Esta aproximacion es interesante porque realza elemen-tos que no se habıan tenido en cuenta porque se habıa teorizado desde los modeloslogicos que, a la postre, contienen una carga teorica e historica sobre como se dael razonamiento humano. Des de aquı, se puede tener en cuenta el trabajo hechopor logicos como Łukasiewicz que, bastante tiempo antes de que se reafirmara ladicotomıa entre los hechos psicologicos y los logicos, trabajo sobre los aspectoscreativos que operaban a la par con los formales (Łukasiewicz, 1970) los cuales,en definitiva, son la clave para explicar el tipo de heurısticas que trabajan en lamedida que conceptualizamos como, por ejemplo, generalizar o concretar ante lamultiplicidad de hechos que se nos pueden aparecer.

161Este es uno de los trabajos mas completos para entrar en esta teorıa.


Esta teorıa es altamente efectiva por dos razones, la primera, porque ha mos-trado que el subproblema generado a causa del debate entre los esquemas GW yAKM es puramente contextual, en el sentido de que, dependiendo de cual sea el ca-so y nuestros intereses, una abduccion puede dar un resultado de tipo explicativoen un lugar, mientras que las exigencias de otro contexto implicaran una abduc-cion, el resultado de la cual no sera una explicacion. No obstante, el problema delque ha adolecido este modelo es que, en muchos sentidos, habıa dado la espaldaal problema computacional original, por mor de dar cuenta del hecho cognitivo delos seres vivos. Actualmente, esta propuesta ha hecho un viraje muy interesanteen que se retoma este tema de manera secundarıa, a traves de intentar gestionarel papel de la ignorancia que contiene la abduccion (Bertolotti et al., 2016) y quese manifiesta en la manera como interactuamos con el entorno, los seres vivos y,como he introducido al primer apartado, con los dispositivos tecnologicos. Estaidea parte de los esquemas antiguos, en que se da por supuesto que nadie es igno-rante totalmente y que, por lo tanto, siempre tenemos un punto de anclaje del quepartir, sea voluntaria o involuntariamente. Des de esta posicion, Magnani trata laignorancia como un elemento epistemico relevante (Magnani, 2020).

El hecho de que la interaccion con estos dispositivos tecnologicos sea cada vezmas inevitable e incluso igual o mas habitual que la que se da entre el resto depersonas nos abre la pregunta sobre la manera como se ha de dar esta interaccion.El proceso abductivo como elemento cognoscitivo de ampliacion epistemica es uncampo de investigacion extremadamente importante, el cual puede dar por supues-to el aspecto etico, precisamente porque simplemente se da contextualmente. Noobstante, en el momento en que tenemos en cuenta las herramientas que disenamospara que, en este proceso epistemico, interactuen, mas o menos de la manera co-mo lo hacemos entre nosotros, entonces es mas que necesario que abordemos elaspecto etico. Por un lado, esto es importante porque puede asentar las bases deun mundo tecnologico justo, pero, ademas, porque ayudara a denunciar aquellossistemas eticos, los errores de los cuales quedan ocultos por el entramado culturalen el que vivimos pero que, cuando se desgranan y se presentan en sus formassinteticas para ser mas o menos traducidos en algoritmos, nos ponen sobre la mesauna realidad que no deseamos.

7.4. La falacia naturalista en AI

El problema etico se da de la mano de las propuestas mas actuales en compu-tacion y AI, las cuales intentan dar cuenta de las carencias de la MM. El caso quequiero abordar en este escrito es el de los procesos mimeticos, los cuales han depermitir una interaccion mucho mas similar a la que tenemos entre los seres huma-nos. No obstante, abrir estas puertas implica que este proceso de mimesis debe sercapaz de captar la manera como se generan y organizan nuestros razonamientos,inclusive los mas logicos. Esto nos obliga a redefinir la concepcion de nuestrosprocesos cognitivos y, a la vez, nos permite poder debatir con sentido el tipo de

7.4. La falacia naturalista en AI 153

modelo etico que queremos para la interaccion con la tecnologıa. Esta tarea es to-davıa una entelequia, pero es preciso comenzar a tratarlo para que, ası, se pongansobre la mesa los problemas que existiran realmente en un futuro.

A este tema le compete introducir la relacion entre la etica y la abduccion pues,si se obvia, se corre el riesgo de caer en un modelo que, al no estar interactuando apartir de lo que reconocemos como etico, corre el riesgo de, por el lado formal, serfalaz y, des del punto de vista de la vida practica, ser un sistema injusto. Ademas,como he dicho al paragrafo anterior, estos aspectos valorativos tambien son partecomponente del conocimiento explıcito de tipo formal. Esta es una de las partesmas importantes para tener en mente el pragmatismo, del cual la abduccion es supiedra de toque, porque nos permite declarar una de sus maximas, a saber, que enla medida que conocemos, hacemos mundo. Un ejemplo que ya he dado es el de lageneralizacion, otro mas directo es el criterio de belleza, el cual nos muestra quela dicotomıa entre hecho y valor es un supuesto mas, destinado a solucionar todauna montana de asunciones filosoficas que, a su vez, tambien estan organizadas apartir de otras divisiones teoricas (Putnam, 2002).

Del mismo modo que el criterio de belleza, el etico ofrece el tipo de heurısticaque empleamos cuando conocemos y que nos ayuda a plantear los posibles mun-dos deseables, ası como los que no. Lo que me gustarıa plantear aquı es que estepapel epistemologico, el cual difumina la dicotomıa entre hecho y valor, puedeservir para la cuestion etica a la que nos hemos de encarar en la medida en que lossistemas sean mas afines a nosotros. Mi propuesta es tener en cuenta que la abduc-cion contiene este elemento valorativo que se da en todo tipo de razonamiento yque nos abre las puertas a una forma diferente de entender nuestra aproximacional mundo que nos rodea, esto es, la pragmatista arriba mencionada.

La idea de relacionar la mimesis con la abduccion que he introducido al prin-cipio del texto se desarrolla en la base del modelo eco-cognitivo de Magnani, ac-tualizandolo y permitiendo que se adapte mejor a la realidad en la que vivimos.Como hemos visto, esta propuesta intenta nivelar la manera como los dispositivostecnologicos con cierto grado de inteligencia adquieren “experiencia” a la maneracomo lo hacemos nosotros para, ası, dar cuenta de que nuestro aparato cognoscitivoes altamente distributivo y se moldea en la medida que, interactuando, modifica-mos el entorno. La idea central de esta propuesta es que los dispositivos copienlos elementos simples que conocemos de nuestros procesos cognitivos para vercomo se adaptan a nuestra interaccion cuando, por ejemplo, hacemos intervenirelementos no computables como nuestra memoria, sentimientos, etc. (Magnani,2020).

Ası, tambien es un paso mas en la teorıa epistemologica que subyace en todateorıa sobre la abduccion. Por lo tanto, el problema de no tener en cuenta el factoretico de este razonamiento se inscribe dentro del problema del papel de los valoresen la epistemologıa, pero tambien abre las puertas a considerar una teorıa de cortepragmatista, en la que el problema del valor etico modifica de base la manera comotrabajamos en epistemologıa.

No obstante, al no contener esta propuesta este analisis etico, nos encontramos


con el problema de que los valores que inevitablemente se involucran en la nive-lacion a traves de la mimesis implican que, cuando se quiere usar un sistema paraasuntos que convergen dentro de nuestra vida moral, entonces se comete la falacianaturalista.

Esta es la propuesta de Wam Kim, Donaldson y Hooker (2018), quienes detec-tan que, si se quiere hacer compaginar nuestros valores con los automatismos deuna AI, debemos plantearnos como se dara el mecanismo de nivelacion entre losdos factores. Esta investigacion busca un sistema que pueda inferir las preferenciasde un agente particular racional que se relaciona con el entorno, el cual se inspireen la manera como los seres humanos adquirimos los valores.

Esta propuesta es que la alineacion hecha a partir de procesos mimeticos noshace caer en la falacia naturalista y ofrecen la alineacion hecha a partir de valoresanclados. La propuesta mimetica se basa en procesos de imitacion de los valoresrelevantes de nuestra actividad en relacion a conseguir dicha alineacion. El con-junto de lo valores contiene preferencias, analisis big data del comportamientohumano, expresiones linguısticas, etc. Por otro lado, la propuesta alternativa partede procesos que anclan el entorno de la maquina con valores normativos. Otra al-ternativa es la version hıbrida, la cual incorpora elementos mimeticos, pero que nocae en la falacia naturalista, gracias a la propuesta de anclaje.

La falacia naturalista se da porque el peso de la investigacion recae en la ma-nera en como se debe dar la alineacion, en vez de intentar dar cuenta de lo que esun valor. Este hecho implica que se da mas peso a datos normativos obtenidos poranalisis de preferencias, etc. Por lo tanto, se deriva una prescripcion de una des-cripcion. Como es sabido, la falacia naturalista es el tipo de error logico que se dacuando se quiere sustituir “bueno” por alguna propiedad de un objeto natural, en elsentido de que se considera un elemento descriptivo; hecho que implicarıa podersustituir la Etica por algun sistema de la ciencias naturales o metafısico (Moore,2002, 92).

Ası, como hemos visto, el punto al que ahora llegamos se deriva de la confu-sion entre valores y preferencias del tercer apartado de este texto, la cual esta asu-mida culturalmente, mucho antes de empezar a plantear la posibilidad del sistemadel que se trata en la investigacion que estoy presentando. El punto mas interesantede esta propuesta parte de que se asume la totalidad de la crıtica de Moore y en-tiende “valor” en el sentido intrınseco que el propuso, el cual, entre muchas cosas,trata de eliminar la asuncion mereologica (en su momento, hegeliana) de que latotalidad de un sistema tiene mas valor que la suma de sus partes (Moore, 2002,78). Sin entrar en detalles de que significa “valor intrınseco”, una de las ideas a lasque apunta Moore es que la bondad tiene un valor propio que puede hacer variartodo un conjunto descrito.

Es en este sentido que Kim, Donaldson y Hooker entienden “valor”, a saber,que no se puede capturar con el conjunto de listas de preferencias. Por el contra-rio, mediante la abduccion, proponen los valores eticos en el sentido prescriptivode que son guıas para nuestras acciones. El motivo de usar la abduccion comoherramienta basica para este proposito esta precisamente en el factor ampliativo

7.5. Conclusiones 155

no-clasico que este concepto tiene, pues permite entender que muchas de las apro-ximaciones basicas que hacemos los humanos con el entorno contienen ya unaproyeccion, la cual se manifiesta en lo que escogemos, como nos comportamoscon los objetos que nos rodean, etc. Para su proposito, uno de los factores logicosmas interesantes es que la relevancia de la abduccion en este proceso no guardarelacion con las premisas y conclusiones que se puedan conseguir, sino que sola-mente anclan patrones de accion.

7.5. Conclusiones

En este artıculo he querido mostrar la relevancia de la investigacion sobre elrazonamiento abductivo para dar cuenta de los problemas que estan surgiendo en elambito de la computacion y la AI. A mi entender, no se pueden desligar estas pro-blematicas de las puramente epistemologicas y cognitivas pues, por un lado, sonla base de nuestros modelos de representacion que, despues, usamos para nuestrasmaquinas y, ademas, porque estos dispositivos que creamos son el reflejo de lamanera como nos entendemos. Por lo tanto, corremos el riesgo de cometer erroresque van mas alla de una investigacion aislada.

De hecho, en la medida que la convivencia con dispositivos electronicos con ungrado de inteligencia determinado es ya una realidad, es menester investigar paradar cuenta del problema etico que se nos presenta, el cual, como he mostrado, estaestrechamente relacionado con la manera como nos relacionamos con el mundo.El razonamiento abductivo es una de las claves de este problema filosofico, el cuales actualmente una de las piedras de toque de diversas teorıas. Mi propuesta deimplicar los elementos valorativos de tipo prescriptivo en este razonamiento sepresenta interesante porque ayuda a armonizar los problemas que he presentadode las propuestas mas frutıferas sobre este razonamiento, las cuales permiten estaincorporacion sin perder el valor del trabajo que ya han conseguido.

7.6. Agradecimientos

Quiero agradecer a los miembros del grupo de investigacion TecnoCog i alGEHUCT (Grupo de Estudios Humanısticos sobre la Ciencia y la Tecnologıa) laayuda que me han dado durante todos estos anos de investigacion y camaraderıa.Ademas, este artıculo ha sido posible gracias al proyecto de investigacion “Re-search group Epistemic Innovation: the case of the biomedical sciences” (FFI2017-85711-P) y al programa de contractos predoctorales en formacion de profesoradouniversitario (FPU).

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Robert Brandom, L’articulationdes raisons – L’objectivite et lastructure normative fine de larationalite

Florian Varga162

8.1. Introduccion

La preoccupation centrale qui supporte l’ensemble de la demarche entreprisepar Brandom dans L’articulation des raisons semble pouvoir etre remontee auprobleme, pose pour la premiere fois par Descartes, de la distinction entre l’hommeet l’automate. Ainsi, la distinction entre l’etre pensant et la reaction machinale sevoit etre articulee par la notion de possession d’un concept. Une machine peut etreprogrammee pour avoir une reaction differentielle face a une chose se presentanta elle dans certaines circonstances determinees, comme lorsque le detecteur defumee se met a sonner a partir d’un certain taux de fumee dans l’air. Il en va toutautrement pour la reaction du sujet pensant face a la meme chose, detenant unconcept de la fumee.

En quoi consiste alors cette difference, presentee comme fondamentale? Lepropre de la possession du concept est selon Brandom que son detenteur inscritses reactions dans des reseaux d’inferences, alors que la machine se contenterade toujours sonner de la meme maniere dans les memes circonstances. Ainsi, lesujet pensant est capable, par la possession du concept de fumee, de passer de ((

fumee )) a (( donc non liquide )) a donc (( non-solide par exemple )). Cette capacitea tirer des consequences d’une detection primaire constitue alors l’essence-memede la pensee pour Brandom, caracterisee par la possession de concepts ayant unrole inferentiel. Un concept devient donc, sous la plume de Brandom, un ensemblede consequents et d’antecedents logiques pourvoyant son sens. Le propre de la

162Universite de Lille

159

160 Florian Varga – Robert Brandom, L’articulation des raisons – . . .

pensee se recoupe ainsi avec la necessite pour le sujet de s’engager a tirer desconsequences et assumer des premisses face a la presence d’une chose.

Puisque le sens des concepts est donne par cet engagement, la logique inferen-tialiste de Brandom sert a rendre explicite l’ensemble des engagements inferentielsconstituant les concepts. Aussi, la vie d’un animal inferentiel est representee parBrandom comme un jeu permanent ou se confrontent les demandes et les offresde raisons que sont les engagements inferentiels. C’est donc la capacite a four-nir un maximum de consequences a partir d’une premiere assertion (il y a de lafumee pour reprendre notre exemple), qui temoignera de la verite de l’assertion.Le dernier chapitre de l’ouvrage, dont nous proposons ici la recension, intitule(( l’objectivite et la structure normative fine de la rationalite )), est precisementune presentation de cette these de la naissance de l’objectivite a partir du pointde depart pragmatiste de l’attitude individuelle dans le jeu. Deux grandes notionsvont alors permettre a l’auteur d’elaborer une semantique assertabiliste aspirantveritablement a l’objectivite : l’engagement et l’autorisation, menant a des situa-tions d’incompatibilite entre les phrases, se voyant etre placees au cœur de latheorie de la verite de Brandom. C’est precisement en cela que reside le grandinteret du chapitre, par l’articulation finale des concepts generaux de l’ouvragedans une theorie inferentialiste de l’assertabilisme semantique.

8.2. Assertabilisme semantique et assertabilite

Il faut donc partir de l’assertabilisme semantique pour voir sur quelles basesse deploie le raisonnement de Brandom. Au sein de la these methodologiquepragmatiste considerant que l’association des significations et des expressions estdestinee a expliquer l’usage des expressions, deux positions se distinguent. Lapremiere considere que cette association permet de definir l’usage correct ou ap-proprie des expressions. La seconde (attribuee par Brandom aux behavioristesquiniens) se concentre sur les dispositions permettant cet usage, dans un voca-bulaire restreint aux termes non-normatifs. Cette semantique repose alors sur l’as-sociation de phrases et expressions a des conditions d’assertabilite. En ce sens, lapremiere position, qu’il semble possible de pouvoir qualifier de realiste, s’en remeta l’adequation de l’assertion, alors que la position behavioriste se concentre sur sapossibilite pour fonder sa semantique. Face a ces deux conceptions de l’assertabi-lite, il faudra voir que la position de Brandom se fonde donc sur une approche entermes d’autorisation et d’engagement, faisant dependre l’assertabilite de sa forcea echapper a l’incompatibilite avec d’autres assertions se deployant a partir d’unconcept unique.

Il faut alors preciser cette notion brandomienne d’assertabilite, sous-tenduepar la notion de force assertionnelle, c’est-a-dire ce que veut dire pour un acte delangage d’avoir la signification d’une assertion. L’etude de cette force assertion-nelle se recoupe avec la maniere dont nous distinguons differentes sortes de coupsdans un jeu, l’assertion etant consideree comme une espece de meme genre que

8.3. L’inference materielle dans la structure normative du jeu 161

parier, lancer, miser etc. De plus, dire ce qu’est pour une assertion d’etre appro-priee ou correcte, autorisant ou non le locuteur a la produire, revient a etudier apartir de quel moment certains coups sont permis au sein du jeu. Cette conditionde permission fait alors deja signe vers la notion d’autorisation, apparaissant face al’evaluation de l’assertion dans son role et son engagement au sein de la structuregenerale du jeu.

Le caractere problematique de cette demarche reside alors dans le fait que lesassertions se pretent a deux genres d’estimations essentielles mais fondamentale-ment differentes. Soit on peut se demander si le locuteur est autorise, en vertu deses raisons, a faire une assertion, dans une approche normative de l’usage, soit onpeut poser le probleme de l’assertabilite en termes de verite, comme l’adequationde ce qui est asserte a ce qui est reellement. Cette seconde approche de l’adequationa mene a l’etablissement d’une sorte de condition d’idealite de l’assertion, faisantabstraction des differences des contenus propositionnels dans la pretention a laverite dont ils sont porteurs. Ainsi, les evaluations de la verite s’entendent commedes evaluations d’assertabilite dans des conditions ideales. Brandom considere quecette strategie est sterile et tautologique, et c’est precisement sur le depassementde l’identification des conditions d’assertabilite a des conditions de verite qu’ilfondera par la suite sa these de l’objectivite normative.

8.3. L’inference materielle dans la structure normativedu jeu

La voie portee par Brandom se veut differente en cela qu’elle entend partir desstatuts normatifs concus en termes de coups dans un jeu gouverne par des reglesassociees a des contenus propositionnels objectifs, libres des attitudes des locu-teurs qui les deploient dans des assertions. L’auteur scinde en deux l’assertabilitepour s’en remettre a deux types de statuts normatifs : l’engagement et l’autorisa-tion, issus d’attitudes individuelles, toujours conditionnees par des pratiques so-ciales. Voyons alors comment ceux-ci sont amenes a jouer un role structurant dansl’etablissement du jeu d’offre et de demande de raisons.

Les contenus propositionnels assertables sont susceptibles de croyances et dejugements, eux-memes exprimes par des actes d’assertions. Il semble alors qu’uneexpression linguistique, comprise comme performance, ne peut recevoir la signi-fication d’une assertion que lorsqu’elle est associee a un ensemble de pratiquessociales structurees comme (( un jeu d’offre et de demande de raisons )) (Sellars).Alors, les assertions peuvent aussi bien repondre a des demandes de raisons qu’etreelles-memes des demandes de raisons, c’est-a-dire que les contenus proposition-nels peuvent a la fois etre premisses et conclusions dans des inferences. Brandomappelle cela (( le rationalisme linguistique )), soutenu par une conception toute par-ticuliere de l’inference.

L’inference dont il est ici question ne peut se reduire a une relation logiqueentre deux propositions, au sens que lui donne la logique classique. Tout l’enjeu du


developpement d’une logique inferentialiste semble alors se recouper avec une vo-lonte de depassement de l’implication materielle, comme connexion logique entredeux concepts ou propositions pouvant par ailleurs etre concus independammentl’un de l’autre dans leur existence. Il est ici bien question d’inference materielle,s’affirmant comme un deploiement d’un ensemble de propositions dans le reseauinferentiel se rattachant au concept. En ce sens, inferer (( donc non-solide )) ou ((

donc non-liquide )) a partir du concept de fumee ne s’entend pas comme une rela-tion logique etablie entre l’existence de la fumee et l’existence de la non-soliditeou de la non-liquidite, le sens de ces inferences etant toujours rattache au conceptde fumee et a son inscription dans une assertion particuliere, de la a l’existencedu concept pour un sujet qui le possede. Ramener cela a la distinction entre l’im-plication materielle classique et l’inference materielle assertabiliste revient donc adire que le consequent jouit dans un cas d’une existence independante – existencequi se voit seulement reliee logiquement a l’existence elle aussi independante del’antecedent (implication materielle) – dans l’autre cas seulement d’une existencerelative a l’assertion comprenant son antecedent (inference materielle). L’ambi-tion logique de l’inferentialisme n’est alors autre qu’une explicitation de la struc-ture de l’ensemble des inferences materielles qu’il est possible de deployer a par-tir de l’existence d’un concept dans une assertion. La tache de l’entreprise lo-gique n’est donc plus d’etudier ou de soutenir la validite logique des relations desconsequences au concept, celles-ci ne devant plus etre apprehendees comme desrelations entre deux entites existantes par elles-memes.

Cette theorisation de l’inference materielle semble en quelque sorte necessairea l’apprehension du jeu comme pratique temporelle et sociale, les consequencesn’etant toujours que des prolongements deployes relativement a la performancepremiere de l’assertion. Il a donc d’abord fallu donner au jeu une structure lo-gique generale permettant d’etudier le deploiement de l’inference materielle quielle-meme echappe, en raison de sa relativite, a toute apprehension en termes derelation logique. C’est seulement par-la que peut se mettre en place le versant nor-matif du jeu, soutenu par l’engagement et l’autorisation. Inference materielle etengagement semblent alors indetachables, la premiere permettant au second d’etrevu comme une expression normative de la relativite au coup premier du jeu. Cettenormativite va donc donner sa signification a un jeu qui ne saurait etre constituesans elle. Un ensemble de pratiques ne peut etre reconnu comme un jeu d’offreet de demande de raisons que si sont a la fois reconnus les deux statuts normatifsque sont l’engagement et l’autorisation. Ainsi, les pratiques incorporant ces statutsnormatifs conferent des contenus propositionnels aux expressions linguistiques.

8.4. La signification de l’engagement dans le reseauinferentiel : autorisation et incompatibilite

L’engagement est le propre du jeu inferentiel en cela que le fait de jouer lepremier coup nous engage a etre aussi bien disposes a jouer un autre. Ce type

8.4. La signification de l’engagement dans le reseau inferentiel : autorisation etincompatibilite 163

de regle est qualifie de regle d’engagement consequentiel. Si un coup veut avoirvaleur d’assertion, il doit avoir des consequences sur tout ce qu’il permet de faired’autre selon les regles du jeu. Placer une phrase dans ma liste de croyances et dejugements a forcement des consequences sur les autres phrases qui y resident.

Des lors, comprendre la signification d’une assertion exige que l’on en com-prenne au moins certaines consequences et que l’on sache a quoi d’autre celle-ciengage. (( Pour placer une phrase dans une liste ou dans une boıte, de maniere ace qu’elle soit comprise comme une assertion ou une croyance, il faut au moinsqu’elle engage ou oblige quelqu’un a jouer d’autres coups du meme genre aumoyen de phrases qui (par-la) peuvent etre considerees comme inferentiellementreliees a l’original )) ecrira a ce sujet Brandom (Brandom, 2009, 203). L’engage-ment relie donc la phrase assertee aux autres phrases, permettant ainsi de donnersa structure au jeu d’offre et de demande.

Parmi les engagements de l’interlocuteur, les participants du jeu doivent cepen-dant etre capables de distinguer, au sein de ce systeme inferentiel d’engagements,une (( sous-classe )) a laquelle il est autorise. Ainsi, les raisons donnees a une affir-mation, decoulant de l’engagement inferentiel, doivent habiliter ou autoriser l’in-terlocuteur a faire cette affirmation. Se distinguent alors, parmi les engagementsassertionnels, les engagements autorises et non-autorises. Faute de cette dimen-sion critique, qui evalue le caractere approprie des engagements, la notion memede (( raison )) se voit etre detruite, n’ayant aucune valeur s’il n’est plus possibled’avancer de bonnes ou mauvaises raisons a l’engagement. On voit donc deja quele double statut normatif du jeu inferentiel met a l’ecart les theories classiques del’assertabilisme semantique, cantonnees a l’etude du seul statut normatif qu’estl’engagement. C’est precisement cette dualite qui va permettre de deboucher surla notion d’incompatibilite, veritable condition de possibilite de l’assertabilismenormatif et objectif qu’entend mettre en place Brandom.

Ces deux aspects du statut normatif du jeu inferentiel entrent alors en interac-tion, car les autorisations en question sont bien des autorisations a s’engager. Deslors, deux contenus assertables sont incompatibles lorsque l’engagement a l’egardde l’un exclut l’autorisation a l’egard de l’autre. Ces deux statuts normatifs arti-culent alors la force des assertions, et leur incompatibilite contient une relationinferentielle permettant d’attribuer a une phrase l’ensemble de toutes les phrasesavec lesquelles elle est incompatible. C’est en ce sens qu’il faut comprendre lanotion de (( structure normative de la rationalite )), developpee dans le premier cha-pitre de l’ouvrage, le bon usage des raisons etant toujours celui qui evite l’ecueild’incompatibilite qu’examinent les statuts normatifs de l’engagement et de l’auto-risation.


8.5. Pour une conception inferentialiste de la verite objec-tive

Cette structure pragmatique de la rationalite permet d’obtenir des avanceessemantiques du point de vue des theories assertabilistes, cherchant a comprendreles contenus propositionnels en associant aux phrases des conditions d’assertabi-lite et ainsi faire le lien entre la signification et l’usage. Le probleme principal deces theories pragmatistes, qui a deja ete evoque plus haut, est l’identification troprestreinte des conditions d’assertabilites, liees aux attitudes et pratiques de l’in-terlocuteur, a des conditions de verite. Il convient alors finalement de resoudre leprobleme suivant : comment maintenir l’attitude propre comme point de departtout en transcendant ces attitudes propres dans l’evaluation normative objective?En effet, conditions d’assertabilite et conditions de verite ne sont pas les memes ;par exemple l’assertion (( l’echantillon est rouge )) et l’assertion (( l’affirmation se-lon laquelle l’echantillon est rouge est telle que je peux l’asserter dans le momentpresent )) sont identiques du point de vue de leurs conditions d’assertabilite, enaucun cas du point de vue de leurs conditions de verite (Brandom, 2009, 209). Ilsemble alors que le vocabulaire normatif de l’engagement et de l’autorisation, etpar consequent de l’incompatibilite, permet de resoudre ce probleme. La distinc-tion du statut d’etre assertionnellement engage et d’etre autorise a un tel engage-ment suffit ainsi a distinguer les contenus des affirmations ordinaires de celles desaffirmations concernant ce qui est assertable, plus precisement des affirmationsconcernant ce qui est engage ou autorise a quoi. Ainsi les phrases (( J’ecrirai unlivre sur Hegel )) et (( Je prevois que j’ecrirai un livre sur Hegel )) sont equivalentesdu point de vue des conditions d’assertabilite mais pas de verite. La cle est alorsla suivante : les phrases ainsi que tous les engagements et autorisations qui leurssont associes doivent produire des incompatibilites qui different des affirmationsconcernant qui est engage, autorise ou en position d’asserter pour aspirer a l’ob-jectivite, sorte de principe de non-contradiction inferentialiste.

En quelque sorte et de facon plus generale, il semble finalement possible dedire que l’on ne tire pas des consequences vraies et objectives parce qu’on estpartis d’une assertion vraie en tant que representant adequatement quelque chosede la realite, mais on est parti d’une assertion vraie parce que les consequencesqu’on en a tirees ont ete victorieuses dans le jeu d’offre et de demande de raisonsque nous avons joue, car n’etant pas apparues comme incompatibles avec l’affir-mation de base, son engagement et son autorisation. L’assertion n’est donc jamaisrepresentationnellement vraie, mais toujours vraie parce que inferentiellement vic-torieuse. Il revient donc a l’homme d’endosser le role d’arbitre, ne pouvant seremettre a une quelconque entite metaphysique exterieure dans le constat des in-compatibilites assertionnelles. C’est a l’homme inferentiel seul que revient la tachede determiner ce qu’est un coup gagnant et une victoire dans cet indepassable jeuinferentiel de la pensee.

Bibliographie 165

Bibliographie

Brandom, R. (2009). L’articulation des raisons. Editions du Cerf, Paris.

La Serie Selección de Textos es una producción editorial del Centro de Estudios en Filosofía, Lógica y Epistemología (CeFiLoE), del Instituto de Filosofía de la Universidad de Valparaíso, Chile. Nace en el año 2013 con el propósito de abrir un espacio a los autores para la publicación de libros y capítulos en el área de la losofía y disciplinas anes. Todos los trabajos son sometidos a arbitraje a doble ciego (double blind review). Sus objetivos generales son: ofrecer publicaciones académicas de calidad cientíca; proporcionar a la comunidad de académicos y estudiantes un medio de publicación sin nes de lucro; y publicar libros que sean accesibles para todos, sin un costo asociado ni retención de derechos de autor.

el jardín de senderos que se bifurcan y confluyen ......2.1. introduccion: la completud y el...

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