el concepto de varianza

El concepto de varianzay su uso en la estimación estadística

Enrique MorosiniUniversidad Nacional de Asunción

Facultad de Filosofía

Psicología Especialidad Clínica – Cátedra Psicometría Aplicada II

Asunción - 2012

Advertencia

Este material intenta introducir los principios lógico-conceptuales del razonamiento estadístico relacionado con la varianza y los procesos relacionados con la estimación estadística.

Las precisiones técnicas, los aspectos críticos y los planteamientos estadísticos estrictos deben ser consultados en la bibliografía recomendada.

5/7/2012 La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini 2

La varianza

Uno de los conceptos más importantes en el análisis estadístico y el control experimental de variables es la varianza.

En principio, la varianza es una medida de variabilidad que da cuenta del grado de homogeneidad de un grupo de observaciones, la fórmula de cálculoes la siguiente:

2

2 1( )

N

i Xi

X

X

N

µσ =

−=∑

5/7/2012 3La varianza y la inferencia estadística - Enrique Morosini

APROXIMACIÓNCONCEPTUALY ESTADÍSTICA


Características colectivas

Supongamos un grupo de personas que comparten características comunes, obviamente, observaremos también características diferenciales.

Supongamos, además, que estamos realizando la tarea de cuantificar esas respectivas características. Más o menos podríamos representar la situación de la siguiente manera:


Características individuales


Cuantificación de variables

Denominemos estas variables evaluadas o cuantificadas “X”, asignándole valores según un sistema específico de asignaciones.

En la gráfica anterior el grupo de personas se conformaría con asignaciones diferentes de “X”, lo cual podríamos representar de la siguiente manera:


Cuantificación de variables


Medidas “promedio”

El conjunto de medidas podrían ser resumidas mediante promedios o medidas de tendencia central.

En este caso utilizamos la media aritmética (pudo haber sido la mediana o la moda). Ese valor está representado por un valor central y un “caso modelo” que representaría las características promedio del grupo:


La media como referencia


La dispersión de la media

Una vez calculada la medida promedio resulta fácil notar que existe una diferencia (distancia) entre las medidas individuales y el promedio.

Cuanto mayor dispersión se observe (distancia respecto a la media) menos homogéneas son las observaciones.

La dispersión puede cuantificarse calculando la diferencia entre las medidas individuales y el promedio.


La distancia respecto a la media


El cálculo de la varianza

La varianza como medida de dispersión es el promedio de las diferencias cuadráticas de las diferencias individuales respecto de la media (tal como se anticipó).

A partir de las observaciones registradas, se aplica la siguiente fórmula:

2

2 1( )

1

n

ii

X

X XS

n=

−=

−

∑


El cálculo de la varianzaObservaciones

x1 = 19

x2 = 27

x3 = 20

x4 = 22

x5 = 18

x6 = 21

x7 = 27

x8 = 18


El cálculo de la varianzaObservaciones

x1 = 19

x2 = 27

x3 = 20

x4 = 22

x5 = 18

x6 = 21

x7 = 27

x8 = 18

Suma = 172

Promedio = 21,5


El cálculo de la varianzaObservaciones Media Diferencia

x1 = 19 21,5 -2,5

x2 = 27 21,5 5,5

x3 = 20 21,5 -1,5

x4 = 22 21,5 0,5

x5 = 18 21,5 -3,5

x6 = 21 21,5 -0,5

x7 = 27 21,5 5,5

x8 = 18 21,5 -3,5

Suma = 172

Promedio = 21,5


El cálculo de la varianzaObservaciones Media Diferencia

x1 = 19 21,5 -2,5

x2 = 27 21,5 5,5

x3 = 20 21,5 -1,5

x4 = 22 21,5 0,5

x5 = 18 21,5 -3,5

x6 = 21 21,5 -0,5

x7 = 27 21,5 5,5

x8 = 18 21,5 -3,5

Suma = 172 Suma = 0,0

Promedio = 21,5 Promedio = 0,0


El cálculo de la varianzaObservaciones Media Diferencia Cuadrado

x1 = 19 21,5 -2,5 6,25

x2 = 27 21,5 5,5 30,25

x3 = 20 21,5 -1,5 2,25

x4 = 22 21,5 0,5 0,25

x5 = 18 21,5 -3,5 12,25

x6 = 21 21,5 -0,5 0,25

x7 = 27 21,5 5,5 30,25

x8 = 18 21,5 -3,5 12,25

Suma = 172 Suma = 0,0

Promedio = 21,5 Promedio = 0,0


El cálculo de la varianzaObservaciones Media Diferencia Cuadrado

x1 = 19 21,5 -2,5 6,25

x2 = 27 21,5 5,5 30,25

x3 = 20 21,5 -1,5 2,25

x4 = 22 21,5 0,5 0,25

x5 = 18 21,5 -3,5 12,25

x6 = 21 21,5 -0,5 0,25

x7 = 27 21,5 5,5 30,25

x8 = 18 21,5 -3,5 12,25

Suma = 172 Suma = 0,0 94

Promedio = 21,5 Promedio = 0,0 13,43


COMPONENTESDE LA VARIANZA


Varianza conocida

Supongamos que el grupo de personas representado anteriormente pertenecen a un grupo dentro del cual comparten características comunes. Entendemos que estos aspectos comunes hacen que sean más similares entre sí que con otras personas en determinados aspectos.

Teóricamente, si sus características dependieran únicamente de ese factor común las características deberían ser iguales a la media.


Varianza explicada

Supongamos, además, que conocemos otros factores que influyen en las diferencias individuales: el sexo y la edad. Dicho de otro modo, las puntuaciones varían conforme fueran hombres o mujeres, más jóvenes o mayores que la edad promedio.

Estas variables explican parte de las variaciones o desviaciones de la media.


Varianza explicadaAgregar símbolo de la media


Varianza error

Aún conociendo estas variables responsables de la variación, es posible observar que las puntuaciones presentan algunas variaciones respecto a los valores medios o esperados.

Este grado de variación se conoce como varianza error.


Varianza error


DISTRIBUCIÓNDE PROBABILIDADES


Probabilidades

Durante muchos años el azar y la posibilidad de establecer suposiciones que permitan comprender las leyes que le subyacen fueron objeto de interés por científicos y matemáticos.

El concepto que ha permitido acercarse a comprensión del azar es el estudio sistemático de la manera en cómo se distribuyen empíricamente los sucesos y el análisis de las probabilidades de ocurrencia de un fenómeno.


Distribución de probabilidades

La forma en cómo se distribuyen las probabilidades de ocurrencia de un determinado fenómeno ha generado modelos que facilitan mecanismos de estimación.

Uno de estos modelos cuyo uso se ha extendido (en forma peculiar en las ciencias sociales, del comportamiento y la salud) es el de la distribución normal, cuya forma intuitiva se representa a continuación:


La distribución de observaciones


La distribución de observaciones

Aquí se puede observar que la mayoría de los

casos observados presentan valores

cercanos a la media.


La distribución normal


ESTIMACIÓNESTADÍSTICA


Aproximación conceptual

El principio fundamental en el proceso de estimación estadística es la necesidad de conocer los parámetros de una población a partir de las observaciones de valores en una muestra.

Un conjunto de datos obtenidos de una muestra, utilizando el concepto de varianza y la distribución de probabilidad, representa un valor con cierta probabilidad de representar el parámetro de la población.


Aproximación conceptual

Si utilizamos el modelo de distribución normal, que como lo habíamos adelantado es uno de los más utilizados (atendiendo que existen críticas importantes respecto a esta suposición), es posible conocer de antemano la distribución teórica de probabilidades para una distribución similar.


La distribución normal-1,68-1,96-2,58 1,68 1,96 2,58


Error de estimación

Las observaciones distribuidas conforme al modelo de distribución normal, presenta una dispersión cuya unidad de medida es el error de estimación.

Este error de estimación, cuya unidad de medida es sigma (σ), se basa en el cálculo de la raíz cuadrada de la varianza:

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2x x

n nε

σ σσ = =

El proceso de estimación

La estimación propiamente se realiza aplicando un margen de error a la medida muestral objeto de estimación (θ).

El margen de error aplicado es el valor del error de medición multiplicado por el valor z correspondiente a la probabilidad de ocurrencia del suceso, también llamado confianza de estimación.

θ ± σ . z

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