el concepto de función a través de la historia
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2.El concepto de función
a través de la historia
2.1. INTRODUCCION
A pesar de los numerosos estudios sobre la historia de las matemáticas,existen pocos trabajos dedicados específicamente al origen del concepto defunción y además las opiniones de sus autores son distintas e incluso contra-dictorias. Así, mientras algunos autores admiten cierto carácter funcional enalgunas operaciones matemáticas de la antigüedad (especialmente en traba-jos de astronomía de los babilonios, de Ptolomeo o de los árabes), otrossit~cimiento junto a la aparici2E.A~J~LgeO.!!letrL~_an~~¡ÜI?j:s~r-tes) y algunós'todavía'sitúariSu auténtica aparición en pleno sigloXIX con la8"-"'-definiciones clásicas de función dadas por Dirichlet y por Lobatchevsky.
Esta aparente disparidad puede entenderse debido al carácter general delconcepto al que nos referimos, el cual junto a otros como el concepto denúmero o de medida, se encuentra en la base de gran parte de las matemáti-cas que el hombre ha desarrollado a lo largo de la historia. Quizá por estarazón, si tuviéramos que fijar un período en el cual situar el nacimiento delconcepto de función, éste se encontraría a mediados del siglo XVII. En efecto,en el siglo de Descart~at, 'Newtony-LeIbñÜzsectañ u~njunto de
. circunstancias que, como veremos más adelante, permiten abordar la idea defunción con suficientegeneralidad como paralo'¡'mülarJas_-prirn~ras defini-cioñeSdef conc~to._ Asimi~m-o,'~~en esta '-época cu~ndo aparece__Q.2T v~~primera el términ~U5.fllnción»y cuando empieza a desarrollarse el análisismatéiñftico~araborda;seIOSconceptos de diferenciación e integración queconstituyen el núcleo fundamental del cálculo infinitesimal. No obstante, laidea de función en el siglo XVII era todavía muy restringida~,nu'§~_S,('treducíaalas funcioñ~~;liticas:-'primero-ra-sqúe'>se-puéd~ñ--;;~p-;esar media~ie-üná'ecuaCIónaIg'ebraica"y-poco después las desarrollables en series de potencias,y no fue hasta el siglo siguiente cuando Euler dio la primera definición defunción; a partir dé-este' mornentóIas .géiierálizaciones se' Sucederán:~omo~~.
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fruto del intento por incluir las cada vez más complejas funciones que vanapareciendo, hasta llegar a las definiciones más recientes que incorporan ellenguaje conjuntista.
En este capítulo vamos a tratar de exponer cuáles han sido los momentosmás importantes, así como las principales contribu.~iones para el ~esarrollodel concepto de función. Se observará una atención acaso excesiva a losperíodos antiguos (Babilonia, Grecia, Edad Media) en comparación con ladedicada a la Edad Moderna, ya que hemos querido señalar con ciertodetalle los obstáculos que en las distintas épocas impidieron desarrollar elconcepto, por la importancia que aquéllos pueden tener en el momento deplantearse el aprendizaje de las funciones, dejando de lado,. o tratan~osuperficialmente, aquellas contribuciones más modernas cuya importanciapara el desarrollo de las matemáticas es evidente, pero que se encuentran yamuy alejadas de los objetivos de este libro. .
Siguiendo el excelente estudio de Youschkevitch (1976), que ha sidonuestra fuente más importante, vamos a distinguir tres grandes períodos:
_ El mundo antiguo, época en la que, a pesar de la existencia de estudiossobre casos particulares de dependencia entre dos cantidades, no aparecennociones generales sobre cantidades variables y fu~cio.nes. Dentro d~, esteperíodo trataremos algunas aportaciones de los babtloll1os~ cuya ,mCnCI?n esimprescindible, pues en ellas se encuentran las referencias ma~ a~~lguasconocidas del estudio de fenómenos de cambio y de la determinación deleyes cuantitativas obtenidas por medio de tablas; también nos referiremos alas matemáticas de los griegos por su importancia y sobre todo por suinfluencia posterior.
_ La edad media, período en el que a pesar de aparecer explícitas ciertasnociones generales, ya sea en forma geométrica o mecánica, cada caso con-creto de dependencia entre dos cantidades variables se expresa mediante unadescripción verbal o a lo sumo mediante un gráfico, quedando todavía m~yrelegada la determinación de leyes cuantitativas de los fenómenos de ca~blOestudiados. Dentro de este período destacaremos por un lado el cambio dementalidad que empezó a producirse en el estudio de los fenómenos natura-les, como por ejemplo el movimiento, en Francia e Inglaterra, y por otro lasaportaciones de Oresme por tratarse de los primeros intentos de representa-ción gráfica de la dependencia entre variables.
_ El período moderno, que se inicia a finales del siglo XVI, y que pode-mos considerar como el de la aparición del concepto de función con aproxi-maciones cada vez más amplias y generales, en el cual el estudio del movi-miento se convierte en un problema esencial, al mismo tiempo que el descu-brimiento de la geometría analítica permite el desarrollo de las expresionesalgebraicas de funciones. Posteriormente, en la segunda .mitad d~l. ~iglo X~II,la expresión de funciones por medio de series de potencias perrmtio ampbar
el campo de las funciones tratadas analíticamente. Fue precisamente el méto-do analítico para introducir las funciones lo que revolucionó las matemáticasy, por su gran eficacia, aseguró un lugar privilegiado al concepto de funcióndentro de las matemáticas. Más tarde, ya en el siglo XVII esta interpretaciónde las funciones como expresiones analíticas resultó demasiado restrictiva,dando lugar a nuevas definiciones del concepto general de función que seránuniversalmente aceptadas en el análisis matemático.
Veamos a continuación con cierto detalle los aspectos más importantesde cada uno de estos períodos.
2.2. LAS BASES PARA LA FORMACION DEL CONCEPTO:EDAD ANTIGUA
Al referirse a la «prehistoria» de un concepto se corre el peligro desituarse en uno de los dos posibles extremos, a saber: el concepto era yaconocido y utilizado mucho antes de lo que afirman algunos autores, o por elcontrario, no es hasta la aparición de las primeras definiciones que pasa aformar parte del cuerpo de conocimientos científicos, olvidando los gérmenesque pudieran existir con anterioridad. Vamos a tratar de situamos en untérmino medio que nos parece el más razonable para abordar los orígenesdel concepto de función. Para ello y dado que en el mundo antiguo dificil-mente puede hablarse de funciones en general, analizaremos algunas ideasque pueden relacionarse con las mismas y que, sin duda, tuvieron relacióncon su aparición.
2.2.1. Las civilizaciones antiguas: Babilonia
Poco podemos decir de las matemáticas de Babilonia y de Egipto, puestoque los documentos conocidos no van más allá de una aritmética y unageometría elementales de carácter empírico, y si bien muestran ingeniososmétodos de cálculo, e incluso interesantes incursiones en el térreno delálgebra en el caso de los babilonios, el hecho de que el material conocido sereduzca casi siempre a tablas de cómputo y a colecciones de problemasresueltos, muchos de ellos de tipo práctico, sin explicitación de métodos nijustificación alguna de los mismos, hace dificil encontrar aspectos relevantesque permitan intuir la existencia de conceptos como variable o función.
Sin embargo, es necesario hacer una excepción para referirse a los cono-cimientos que las civilizaciones antiguas alcanzaron en astronomía, muyespecialmente los babilonios, puesto que el carácter -aesliS'd"i'tos-íTéüe ungran interés para el conocimiento de las funciones, y acaso sea en ellos dondeencontramos el germen más remoto. En efecto, el -papeÍ q~~deserñpefió la •_.........:... __ .~ __ .l_""""--_ -.,.-J
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astronomía para los babilonios, estrechamente ligada a la, astrología ,comopuede observarse en la mezcla de o~servacio~es y profeclas,. l~llevo a latarea fundamental de intentar predecir determl!.l~~~9te.9.ffi.l~QJ9J, para
To cual realiZaron oOservac¡{lñeSSls emáfícas de diversos fenómenos que .serepetían periódicamente, tratan~o de enlaz~rlos a trav.és de ~t-méticas. En este sentido, las tablillas del penodo seleucida muestran algunas
deestas relaciones, como los períodos de visibilidad de un planeta y elángulo que éste forma con el Sol. .' . .
Los originales intentos para aritmetizar observacIOnes,~Ificilm:nte medi-bles, más allá de una simple anotación de resultados empmcos, aSIco~o lasinterpolaciones tanto lineales como geométricas que apa,recen .e~ ~Ierto~documentos, muestran el carácter avanzado de la astronorma babilónica, aSIcomo el predominio de la aritmética, característica comú~ a. toda su mate-mática, que contrasta con el carácter eminent:~ente ~eometnco de.~aastro-nomía prehelénica y en general de la matemática gnega, a excepción de ~aescuela pitagórica. Este hecho es de gran importancia para nuestro est~~1Opor que, como veremos a continuación, el ~~rro!!2_ºe ..l~_m~~matlcagriega, tan importante en casi todos los aspectos co~o por ~Jemplo lacreaci6n del método deductivo, se encon!!:.óCQ.IU:!J!ll...~~ne?e obst~:..ulos-.-~,!~i~Q~L~~oE_!!van~zaLJ'I)~J~..fQrmJ¡l~.ci.ó~_eB'li.~i~~~del_~~nc~P5~~?~~Cabría preguntarse, por el contrano, SIprofundizando en los metodos cuan-titativos desarrollados por los astrónomos babilonios, cut~S documentoscontienen «auténticas» funciones tabuladas, en el sentido ya expresado e nolimitarseaüna táblilacioitde datosempiiTcos sino al uso de interpol~sy ~E.!:..~~l,!~ion~~L~_l~(l.I.l.~s\$l de r~g~la!ida~e~, ,no se podría haberavanzado más rápidamente en el establecimiento de metodos generales quellevaran a una formulación del concepto de función.
concepto de número racional hace que dificilmente pueda considerarse comouna misma cosa la razón 2: 3 y la fracción 2/3, ya que mientras ésta significa,por ejemplo, que una longitud mide dos tercios de otra que se toma comounidad, la primera significa que una longitud mide 2 con relación a otra quemide 3, ambas medidas con una misma unidad.
Aunque no vamos a extendemos en las consideraciones sobre el conceptode número, es preciso destacar que la visión actual que tenemos de losconjuntos numéricos, partiendo de los naturales para ir construyendo sucesi-vamente los enteros, los racionales, los reales, etc., es muy reciente, de formaque durante muchos siglos los únicos números considerados como talesfueron los naturales.
Al parecer son atribuibles a los pitagóricos la determinación de las leyessimples de la acústica que representan un intento para buscar relacionescuantitativas de dependencia entre variables fisicas, como por ejemplo laslongitudes de las cuerdas y los tonos de las notas emitidos al pulsarlas. Estosintentos, no obstante, son poco importantes para el desarrollo posterior de lamatemática griega, comparados, por ejemplo, con la trascendencia que tuvoel uso de las proporciones, ya que al margen de los modelos cinemáticos delsistema del mundo, este aspecto cuantitativo de las leyes de la naturaleza fuepoco desarrollado en la ciencia griega.
Sin embargo, este papel preponderante de las E!0porciones constituyó unserio o15stá~ulo [email protected]:._~van~~~~-!~Pl<ij~-erª(]Flj
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La idea pitagórica de «todo es número», que comporta l~ existenci~ deuna unidad indivisible, empezó a tambalearse con las paradojas de Zenon yse vino abajo con la aparición de la inconmensurabilidad. En efecto, pa~apoder expresar toda razón de magnitudes mediante dos enteros es neces.anoque dadas dos magnitudes sea posible hallar una unidad q~e pueda medIrl~sa las dos y la existencia de segmentos inconmensurables VIene a contradecIreste hecho. Este descubrimiento llevó a una separación entre número ymagnitud: los números o las razones entre enteros p~sit~vos se discret~zanfrente a las magnitudes que permiten expresar la continuidad, l~una clara repercusión sobre la idea de m~,g"g.iJ:1!.dyªIj'!P~L9.~ a partir de estem_o_m_e_n_t_o_~9JJ.9_0ri_r[~iP~~,.~~p.ÚI!l~!~~~T...~s que .en casos parhtic~lares. Será necesario, pues, introducir de nuevo las proporciones, pero a ora
~provistas de su carácter numérico, es decir, fO:~.llj.~s. est~~ct?-m.~nte porrazones entre magnitudes, totalmente sep~das_ d~ ~gl!e!l~s, hasta el punto
--aeqüeEúcIldes ensus Elémeñtos-tratará. números y magnitudes en librosseparados, dando las definiciones correspondientes para cada .uno de ellos, apesar de su similitud. Esto permitirá salvar el problema de. la mconmensura-bilidad, puesto que de nuevo podrán compararse magnitudes aunque nosean medibles, pero reforzará el poder de las proporciones con las repercu-siones antes expuestas para el desarrollo del concepto de función.
Por otro lado, a pesar de que ~~~~:",~~T..?~~~~~~~~ad~ariableno eran ajenas a los riegos, que hablan cónsiderado problemas sOl5re mOVI-~6, contimiíd:id o infinito desde los tiempos de Heráclito y Zenón, y alos cuales dedica Aristóteles buena parte de su física, podemos asegurar queni los aspectos de cambio ni los referidos al movimiento ~on estudiad~<ksde uIÍpunto dé- vlsta- ~iai!t}!a~ty.o~e<i~la _ciéñc@:,&iieg,a, ~ás qu~ enaIgUñüs momentos 'ñiuy~concretos que no pueden ha~~r cambIar. la I~e~general de que el estudio de la matemática pura pre,,:,aleclO sobr~ la cinemati-ea. Esta puede ser ~na .r§lzó~)IIlPortant~ para explicar po~~~~ el conceptode funcíbñ segu~~~c~ep<!Q.p;-r.~c.!.ic~mel2!~_ e~~J2r~~lston~,~ ºnaLc!.e_o qUenemos llamado la edad antigua.
funció~. He~os señalad~ al~unos obstáculos de tipo conceptual como el usod~ propo~clO~ _9 la dlsocIaciónentre'Jlumero' y'''' magúÍtÜd, a'sr~om~--elc~ra~ter eminentemente geoméilico de la matemItiC:i"griega"y a ellos cabríaañadir los p~ debid~~! s~E!.~o, totalmente inexistente por loque. se refiere al. ~a.!2.::~T!.e~to_~_~~P!!sion~.~alg~~~, a excepción delos Illteresa~tes mtentos de DIOfanto, aunque en forma retórica, conceptu~l-mente relacionados con la dependencia funcionaL --
-~ónooóel1o,. POOeiñoS'concluir qu~~Tesi~di~ de fenómenos de cambioe~,a'!.~.!?ut~~cld,9 y que las aproximaciones cuañfitatIvas'y'cüalltátlvás'dedIC~OSfenomenos se hallan todavía totalmente disociadas y por tanto no esposible h.abla~~?~~~~!ón explícita de nociones como variable, depen-dencIa o funcIOno '. ~---- - .' -- .. -- _.0- • -- ... .-,- oO. _ ,'_. "0.r- .-~_..._"~.......4;
2.3. LOS PRIMEROS INTENTOS: EDAD MEDIA
Cualquier consideración sobre las matemáticas en el vasto período queabarca 10. que llamamos Edad Media (desde el final del imperio romanohasta el, SIglo xv) debe iniciarse con una referencia al trabajo desarrolladopor los arabes que: como es b.ien conocido, tomaron el relevo de los griegos~or 10 que al estud.IO den la.s ciencias se refiere y permitieron que el legado deestos llegara a occidente. Sin embargo, en relación con la idea de función apesar del notable incremento en el número de funciones consideradas, queab~rca, entre ot~as, la mayoría de funciones trigonométricas, así como lamejora ~e los metodos de estudio de las mismas, ampliando y perfeccionan-do los SIstemas de interpolación esenciales para la tabulación de funcionesn? podemos hablar de un cambio sustancial en el tratamiento de las mismas'1lI tenemos indicios que nos permitan pensar que los árabes avanzaron haciael .concepto general, por 10 cual, y a pesar de la existencia de algunosresultados concretos importantes, no entraremos en detalles.
2.2.3. Idea general de función en el mundo antiguo2.3.1. Los prolegómenos del cambio:
Las escuelas de Oxford y París
En pocas palabras cabría decir que las pr!mer2-y~el~<:i9n~~~f~~onalesaparec,en en e! ?I_~~~~__~nti~,-:<:>_~~lld~s _~ I?r.?bl~mas l'~!~~le~mentce ..~astrono-rmÍcos en forma tabulada a artir de mterpolaclOnes generalmente lmea es, y
<aiC'a~maYÜr'precisió-n-;~lmagesto de Ptolomeo que l~ega aintroducir con su tabla de cuerdas la función seno. No obstante, m estasfunciones tabuladas ni los trabajos sobre curvas ligados al estudio de lascónicas realizados por los griegos, principalmente por Apolonio, llevaron alparecer' a ningún tipo de consideración general sobre la id~~ de_v~!iable <? de~
Una de las mayores preocupaciones de la Edad Media, nos referimosahora ~a al mundo o~ci?ental, fue el estudio de las cosas sujetas al cambio, yen partIcula.r del mOV?mIento. Preguntas del tipo, por qué sopla el viento, porque la ll~vIa cae mientras el fuego sube o por qué los planetas brillan,aparecen Junto a otras muchas y se pretende hallar un modelo del universoque permita responder a estas preguntas. No obstante, el paso adelante no seproducirá ~r~tando de hallar directamente una respuesta a estos interrogan-tes, SIllOmíciando un nuevo camino consistente en alterar el tipo de pregun-
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ta y plantearse de qué manera suceden estos cambios: en lugar de preguntar-se por qué cae una piedra cuando la echamos al aire, se preguntarán cómocae esta piedra, a qué velocidad. Este cambio, junto a la progresiva apariciónde una ciencia experimental, permitirá un acercamiento entre las matemáti-cas y las ciencias de la naturaleza, y será la base del impulso que la cienciasufrirá a partir del siglo XIV.
Las llamadas escuelas de filosofía natural de Oxford y París son dos delos principales núcleos de desarrollo de la ciencia en este período, quetuvieron su mayor florecimiento durante el siglo XIV, y a ellos vamos adedicar nuestra atención. Para estas escuelas, influenciadas por pensadorescomo Roger Bacon o Robert Grosseteste, las matemáticas griegas son uninstrumento esencial para el estudio de los fenómenos de la naturaleza. Entresus mayores aportaciones destaca el inicio de un estudio cuantitativo delmovimiento local no uniforme, partiendo inicialmente de las doctrinas aris-totélicas. A partir del siglo XIII el estudio cuantitativo de fenómenos adquieregran relevancia. Se analizan cualidades y formas, según la terminología deAristóteles, de fenómenos muy diversos como calor, luz, densidad, velocidad,que pueden poseer varios «grados» de «intensidad» que cambian entre doslímites establecidos; la intensidad se considera en relación a su «extensión»,como el tiempo o la cantidad de materia. En el transcurso de estos estudios,y al margen del valor concreto de cada uno de ellos, empiezan a aparecerconceptos fundamentales como cantidad variable, entendida como un gradode cualidad, velocidad instantánea o puntual, aceleración, todos ellos íntima-mente ligados a la idea de función. A pesar del interés de estos trabajos nopodemos magnificar su importancia; por un lado, el trabajo experimental estodavía prácticamente inexistente y por otro ciertos fenómenos complejoscontinúan siendo descritos cualitativa mente, como es el caso de la escuela deOxford a propósito de la caída de los cuerpos.
tar la velocidad de un móvil a lo largo del tiempo, Oresme traza un segmen-to horizontal cuyos puntos representan los sucesivos instantes de tiempo(longitudes) y para cada instate traza un segmento perpendicular (latitud)cuya longitud representa la velocidad en aquel instante:
•..•.....• ,..............,/
,/.-/
~------
2.3.2. Oresme y las representaciones geométricas
Los extremos superiores de las latitudes determinan una curva, en nues-tro ejemplo una recta, y si el movimiento parte del reposo, la totalidad de laslatitudes cubren un triángulo rectángulo.
La teoría de las latitudes de las formas destaca por el carácter general delos primeros problemas abordados, pero pronto Oresme restringe su campocon la distinción de tres tipos de configuraciones, las uniformementeunifor-mes (de latitud constante y por consiguiente la línea superior o de intensida-des es una recta paralela a la de las longitudes), las uniformemente diformes(la variación de las latitudes da una línea superior o de intensidades igual auna recta) y las diformemente diformes (la línea superior no es una recta),descritas negativamente como las que no pertenecen a ninguna de las confi-guraciones anteriores. Con este tipo de representaciones, que nos recuerdamucho ya lo que llamamos la representación gráfica de una función sobreunos ejes cartesianos, Oresme pretende que se entienda más fácil y másrápidamente la naturaleza de los cambios, ya sean cuantitativos o cualitati-vos, de forma que sea posible dar una representación de todos ellos.
No obstante, no podemos considerar las representaciones de Oresmecomo la expresión de una dependencia en sentido actual; ello sería posible sinos centraramos en la «línea superior o de intensidades» como talo, todavíamejor, con su derivada, es decir en la forma como varía, pero analizando eltrabajo de Oresme se ve como esta línea no aparece aislada sino que elfenómeno se representa a través de toda la figura, por su forma (rectángulo,triángulo rectángulo o trapecio, etc.) y por la superficie que queda bajo lacurva, es decir por la integral de la curva.
Todo hace pensar que el camino estaba preparado. En efecto, la influen-cia de Oresme y de los ingleses en Galileo y en Descartes primero, y enBarrow, Newton o Leibnitz después fue, al parecer, notable, aunque nodispongamos de evidencias demasiado claras. En realidad, si durante el finalde la Edad Media no fue posible avanzar más, ello se debió a la despropor-ción entre el nivel de abstracción de las teorías abordadas y la falta de uncorrecto aparato matemático para su desarrollo.
El principal representante de la escuela francesa es Nicolás Oresme(1323-1382) que continuando el estudio sobre los fenómenos que cambian,abre una nueva vía al proponer una aproximación geométrica, frente a losestudios cinemática-aritméticos desarrollados hasta aquel momento. Espe-cialmente importante es su tratado De configurationibus qualitatum et mo-tuum, en el que desarrolla su teoría sobre las latitudes de las formas, cuyasideas principales vamos a tratar de exponer.
El tratado se inicia con una justificación sobre el uso de segmentosrectilíneos para representar todo lo que varía, ya que todo lo medible puedeimaginarse como una cantidad continua, pasando después a la representa-ción de diversos tipos de cambio. De esta forma, por ejemplo, para represen-
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2.4. EL DESARROLLO DEL CONCEPTO:EDAD MODERNA
nadas con el infinito y que, como ya mencionamos, había llegado a paralizarla especulación de los griegos. Galileo aborda el problema de la correspon-dencia entre conjuntos infinitos y trata cuestiones concernientes al continuo,haciendo referencia a las «heréticas» ideas de Demócrito.Cerca de tres siglos separan la obra de Oresme del siglo XVII, período que
podemos considerar como el más fecundo para la formación del concepto defunción, puesto que en él vivieron entre otros Galileo, Descartes, Fermat,Newton, Leibnitz y Gregory cuya contribución, desde distintos puntos devista, dará lugar nada menos que al nacimiento primero de la geometríaanalítica y luego del cálculo infinitesimal, con el consiguiente progreso parael estudio de las funciones que permitirá la aparición de las primeras defini-ciones así como el término de función.
Diversos factores son la causa que durante un largo período no se puedahablar de un avance, que la obra de Bradwardine y de Oresme podrían hacersuponer: por un lado el declive de los centros que durante la Edad Mediahabían estado al frente del desarrollo de la ciencia (Inglaterra y Francia) y sudesplazamiento a Italia por causas diversas de carácter sociopolítico, y porotro el ya mencionado obstáculo, cada vez más acucian te, de la falta de unsimbolismo matemático adecuado, que se gestará básicamente durante elsiglo XVI con las obras de los algebristas italianos y especialmente de Viéte(1540-1603), cuya contribución al desarrollo del ágebra y en particular a lacreación del álgebra simbólica, o cálculo literal; fue decisiva.
En primer lugar debemos referimos a Galileo (1564-1642) puesto que, sibien su obra como matemático y su contribución directa al desarrollo delconcepto de función no es fundamental, sus avances en el estudio del movi-miento y en general toda su obra científica es de un gran valor, hasta elpunto que, muchas veces, se considera como el punto de arranque de laciencia moderna. En efecto, Galileo estudia el movimiento de una formacuantitativa dando justificaciones experimentales de las leyes establecidas, es
.. decir, describiendo con detalle experimentos en los que usa ingeniosos ins-trumentos para tomar medidas que le permiten establecer leyes entre magni-tudes que son auténticas relaciones funcionales. Esta es la gran diferenciaentre Oresme, para quien el camino de la experimentación era inexistente, yGalileo que en sus trabajos da una gran importancia a las numerosasexperiencias descritas, tratando de mejorar los métodos de medida parapoder determinar, o cuanto menos verificar las leyes establecidas. Por ello,aunque las gráficas utilizadas por Galileo sean parecidas a las de Oresme ylos métodos matemáticos no recojan los últimos avances del álgebra, ya quese basan y se expresan exclusivamente todavía en la clásica teoría griegasobre las proporciones, su concepción sobre la ciencia y en particular sudeseo de establecer relaciones funcionales es decisiva para el establecimientodel concepto matemático de función.
Otro aspecto remarcable de la obra de Galileo se debe al intento porsuperar el «horror» que hasta entonces representaban las cuestiones relacio-
2.4.1. Descartes y la idea de cantidad variable
Hasta el siglo XVII, una función podía introducirse utilizando una expre-sión verbal, una tabla, una gráfica, e incluso en ciertos casos una compara-ción de carácter cinemático. Estos métodos perviven todavía a principios desiglo y una buena muestra de ello la tenemos en la presentación de la funciónlogarítmica, cuyo descubrimiento se debe paralelamente a Bürgi y a Neper.Mientras el primero presenta los logaritmos (1620) por medio de tablas quese obtienen comparando la progresión geométrica de las potencias de unacantidad (a, a", a3
, ••. ) con la progresión aritmética de los exponentes (1 2 3...), Neper entre 1614 y 1619 procede de una forma distinta, comparand~ do~movimientos, uno uniforme y otro tal que su velocidad se supone proporcio-nal a su distancia a un punto fijado; esta idea de introducir los logaritmosmediante la comparación de dos movimientos muestra por una parte unprofundo .se?tido de la continuidad y por otra la estrecha relación que, denuevo, existía entre número y magnitud.
Pocos años más tarde, concretamente en 1637, Descartes publica sucélebre trabajo, La Géométrie, libro que marca el nacimiento y expansión dela geometría analítica, que permitirá, a partir de este momento, interpretarcurvas y superficies por medio de ecuaciones, y que un siglo más tardellevará a la algebrización de la geometría. Esta idea fundamental afectaráigualmente de forma decisiva a las funciones, ya que en este mismo trabajoaparece por vez primera el hecho de que una ecuación en x e y es una formapara expresar una dependencia entre dos cantidades variables, de maneraque, a partir de ella, es posible calcular los valores de una variable quecorresponden a determinados valores de la otra. .
~ara llegar a estas ideas fundamentales que permitirán, con el tiempo,considerar por un lado las funciones como relaciones entre conjuntos denúmeros, más que como entre «cantidades», y por otro representar lasfunciones por medio de fórmulas, se habían producido en el campo de lasmatemáticas dos avances muy importantes en la segunda mitad del siglo XVI,
como son por un lado los progresos realizados en la extensión del conceptode número, con la configuración de los números reales y la primera apariciónde los números imaginarios, y por otro la aparición del álgebra simbólica, enla que cabe destacar la introducción de signos para numerosas operaciones yespecialmente la utilización de letras para representar cantidades desconoci-das y coeficientes arbitrarios distinguiendo claramente una cosa de otra.
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Ya hemos señalado que Descartes consideró solamente las funcionesalgebraicas, excluyendo incluso las curvas mecánicas que no podían sertratadas según su método de análisis, alejando así la vinculación de lasmatemáticas con la fisica, como fruto de su particular visión de aquellaciencia. No obstante, pocos años después, el descubrimiento del desarrollode funciones en series infinitas de potencias, debido entre otros a Newton,redujo notablemente las restricciones de Descartes, haciendo posible la re-presentación analítica de la mayoría de funciones estudiadas en aquellostiempos. El desarrollo en series de potencias de una función tuvo una granimportancia, a partir de la mitad del siglo XVII, hasta el punto que durantemucho tiempo se convirtió en el método fundamental para el estudio de lasfunciones.
Es dificil exponer en pocas palabras las principales contribuciones deNewton (1642-1707) al desarrollo del estudio de las funciones, dada la impor-tancia, complejidad y variedad de sus trabajos. En primer lugar cabe señalarsu interpretación geométrico-cinemática de los conceptos fundamentales delanálisis matemático, siguiendo las ideas de Barrow, en las que tomando eltiempo como argumento analiza las variables dependientes como cantidadescontinuas que poseen una determinada velocidad de cambio. En uno de sus
trabajos principales, el método de fluxiones y series infinitas, escrito en 1671aunque no publicado hasta 1736, en el que expone sus ideas sobre el cálculoinfinitesimal, resulta clara su intención de exponer las ideas básicas a travésde la mecánica, al presentar los dos principales problemas del cálculo infini-tesimal, la diferenciación y la integración, en términos de movimiento, esdecir dada la ley para la distancia determinar la velocidad, para el primercaso, y dada la velocidad determinar la distancia, para el segundo. En efecto,al determinar un movimiento x = f(l) sobre el eje x, en el tiempo 1, lo quecaracteriza dicho movimiento es su velocidad, es decir el valor límite delcociente de diferencias I1xjl1l. Esta velocidad, con la cual varía la variable xen el tiempo, es la que Newton llama «fluxión de x» que representa asimismopor x y que toma como base para todas sus consideraciones. Supone lasvariables x, y dependientes de una variable primitiva 1, el tiempo, de maneraque la derivada de y respecto a x es el cociente de dos fluxiones y/x, lo quenosotros escribiríamos como dyldt : dxjdt.
Contemporáneo y rival de Newton, Gottfried W. Leibnitz (1646-1716) esotro de los matemáticos de la segunda mitad del siglo XVII que contribuyódecisivamente al desarrollo del concepto de función. Al igual que aquél susprimeras obras fueron dedicadas al estudio de series infinitas. Fue hacia 1673cuando, según cuenta él mismo, se dio cuenta que la determinación de latangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordena-das y de las abcisas cuando éstas tienden a cero, así como el cáculo de áreasdepende de la suma de las ordenadas o de los rectángulos cuya abcisa tiendea cero y que ambos son problemas inversos, llegando a la misma conclusiónque Newton que se encontraba ante un método de gran importancia por sugeneralidad. Introdujo las notaciones que todavía perviven para representarlos diferenciales (dx, dy) y para la integral, S, una s estilizada que es la inicialde la palabra suma (recordemos que como la mayoría de sus contemporá-neos escribía en latín) presentando en 1684 su primera exposición sobre elcálculo diferencial. Como indica Boyer en su Historia de la matemática, «lamanera de razonar de Newton estaba mucho más próxima de la fundamen-tación moderna del cálculo que la de Leibnitz, pero la eficacia de la notacióndiferencial y lo plausible de las ideas de Leibnitz provocaban una tendencia aaceptar mejor la idea de diferencial que la de fluxión» (pág. 507).
El término función aparece por vez primera en un manuscrito de Leibnitzde 1673. Si bien inicialmente tiene un significado muy particular, pues serefiere a un problema de cálculo de ordenadas a partir de cierta propiedad delas tangentes, posteriormente en 1694 utiliza la palabra en un sentido másgeneral, aunque todavía poco preciso, y referido como siempre a cuestionesde geometría diferenciaL La correspondencia con Jean Bernoulli (1694-1698)muestra cómo el deseo para expresar mediante una palabra cantidades quedependen de una cierta variable se encuentra todavía restringida a las expre-siones analíticas. En efecto, aunque para Leibnitz, y de modo más preciso
En la introducción del método analítico para expresar las funciones yjunto a Descartes, debemos mencionar a Fermat, el cual en una publicaciónpóstuma de 1679, escrita antes de 1637, expone los principios fundamentalesdel método de las coordenadas. Al igual que Descartes, toma un eje dereferencia y en él un punto fijo, el origen de segmentos variables, a partir decuyos extremos toma otros segmentos variables, generalmente perpendicula-res a aquéllos, de manera que el extremo de este segundo segmento dibujaráuna curva que dependerá de la relación algebraica establecida entre los dossegmentos variables. En esta memoria aparece, de manera más explícita queen Descartes, la ecuación de la recta, siguiendo la notación de Viéte, asícomo las ecuaciones de la circunferencia y de las demás cónicas.
A pesar de que no hemos llegado todavía a una definición general delconcepto de función y de que la geometría analítica creada por Descartessupone, desde una perspectiva moderna, una cierta restricción, al entenderpor ecuación únicamente lo que conocemos por ecuación algebraica, larepresentación de curvas por medio de ecuaciones representa uno de losavances más importantes en el desarrollo de las matemáticas, gracias al cualsu estudio se convertirá desde este momento en la cuestión principal, con laconsiguiente extensión a otras ramas de la matemática, en especial al cálculoinfinitesimaL
2.4.2. Las contribuciones de Newton y Leibnitz
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2.4.3. La evolución del concepto en el siglo XVIII:Jean Bernoulli y Euler
nidas del cálculo integral, incluyendo la integración de ecuaciones diferencia-les, pero sin llegar a determinar claramente cuál es la amplitud del término.
La restricción todavía imperante en esta primera definición dada porEuler desaparecerá unos años más tarde. En efecto, después de importantesestudios, una interesante controversia con D'Alembert sobre el conocidoproblema de las vibraciones de una cuerda fijada en sus dos extremos, en lacual Euler considera que para la solución del problema deben aceptarsecurvas de forma arbitraria, es decir, que no satisfacen ninguna ley analítica,será el germen de una nueva definición, que le llevará a explicitar por vezprimera la noción general de correspondencia entre pares de elementos, cadauno perteneciente al conjunto en el que toman valores las correspondientesvariables. Así en el prefacio de su Institutiones calculi differentialis (publicadoen 1755) aparece la nueva definición, que no mantiene relación con laanterior al desaparecer la idea de expresión analítica: Si x es una cantidadvariable, entonces toda cantidad que dependa de x de cualquier manera oque esté determinada por aquél se llama una función de dicha variable.Como dice F. Klein, a propósito de la definición general dada por Euler, «seve que, para Euler, una función y = f(x) estaba definida cuando, refiriéndolaa un sistema de ejes de coordenadas, x, y, se da trazada una curva cualquiera"libero manus ductu'!» (pág. 299).
La historia del concepto de función no ha hecho más que empezar puestoque, a pesar de la amplitud de la definición dada por Euler, él mismo siguióconsiderando funciones expresables analíticamente, y deberán pasar todavíaalgunos años para dar un significado más tangible a la expresión «de cual-quier manera», que puede recordar la anteriormente citada de Leibnitz yBernoulli, aunque ahora tenga un carácter mucho más general.
Nuestro interés por mostrar cómo poco a poco se va ampliando elconcepto de función, puede esconder en cierto modo cuál era el verdaderoproblema. En efecto, no se trata simplemente de hallar definiciones cada vezmás generales, sino que es necesario que éstas sean opera tivas, que tengansentido en un determinado contexto, que sean aplicables a todas las funcio-nes conocidas en aquel momento y que permitan resolver los problemasplanteados que resultan cada vez más complejos. Estos aparecen, por ejem-plo, en la resolución del problema de la cuerda vibrante, que D. Bernoullihabía resuelto a partir de una serie infinita de funciones trigonométricas,mientras que Euler y D' Alembert lo habían resuelto a partir de funcionesarbitrarias, lo que hizo suponer, en principio, que la solución dada por éstosera más general, hasta que Fourier demostró que no era así (1824). De estaforma, al tratar de hallar métodos para la resolución de ecuaciones diferen-ciales, el auténtico problema surge no con el concepto de función en general,sino con el de función continua o el de función diferenciable. Este hechopermite comprender porqué el propio Euler y posteriormente Lagrangeseguirán refiriéndose casi exclusivamente a funciones analíticas, todas ellas
para lean Bernoulli, una función arbitraria de x es una cantidad formada demanera cualquiera a partir de x y de constantes, esta «manera cualquiera» seentiende como una expresión algebraica o trascendente. No obstante, ycomo añadido a las mencionadas contribuciones de Leibnitz, cabe destacarque parece observarse una superación de la concepción cinemática del térmi-no variable puesto que ésta se considera ya como un elemento genérico deun conjunto numérico cualquiera.
Durante el siglo XVIII el análisis matemático va cobrando cada vez mayorimportancia e independencia como disciplina, perdiendo su carácter geomé-trico y mecánico en favor de la aritmetización o mejor del uso casi exclusivodel álgebra, hasta el punto que podemos hablar casi de una inversión en elsentido que el análisis no sólo se convierte en una disciplina independientesino que la mecánica, de cuyos problemas había partido, llega a ser conside-rada como una parte de aquél. Un ejemplo significativo lo encontramos en elhecho que mientras para Newton una fluxión de una cantidad era la veloci-dad de su cambio, para Lagrange la velocidad era la derivada de la funciónque representa la distancia a partir del tiempo.
La primera definición explícita de función como una expresión analítica,en los términos que acabamos de expresar en la sección anterior, publicadaen 1718, se debe a lean Bernoulli, cuya notación no perduró, correspondien-do a Euler (1740) la notación f(x) utilizada hasta nuestros días. La primeravez que aquél usa el término función (1698) aparece en la resolución de unproblema planteado por su hermano Jacob.
Siguiendo nuestro recorrido por la evolución del concepto de función,hemos llegado ya al gran matemático del siglo XVIII, Euler (1707-1783),quienal inicio de su Introductio in analysis infinitorum (1748) hace un detalladoestudio del concepto y de otros términos relacionados con éste. Al definir lasnociones iniciales se refiere a los términos constante, cantidad definida quetoma siempre un mismo valor determinado, y variable, cantidad indetermi-nada, o universal, que comprende en sí misma todos los valores determina-dos (refiriéndose a los valores del conjunto de los números complejos o aalguno de sus subconjuntos). Al definir función sigue a su maestro leanBernoulli: Una función de una cantidad variable es una expresión analíticaformada de cualquier manera a partir de esta cantidad variable y números ocantidades constantes. Posteriormente aborda el complejo problema de esta-blecer que se entiende por expresión analítica, enumerando en primer lugarlas operaciones algebraicas, luego las trascendentes, como la exponencial y lalogarítmica, para ampliar el campo a una infinidad de otras funciones obte-
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Las aportaciones realizadas durante el siglo XIX escapan en buena partedel interés que para el contenido de este libro tiene la descripción de unproceso tan largo y complejo como el que nos ocupa. Por ello vamos aexponer con mayor brevedad los pasos esenciales.
Hacia el cambio de siglo, Lagrange restringe de nuevo el concepto defunción al limitarlo a las llamadas funciones analíticas que están definidaspor series de potencias. El problema principal de esta restricciones se debe alhecho que dichas funciones están determinadas cuando se conoce su com-portamiento en un entorno infinitamente pequeño de x, lo cual entra encontradicción con el comportamiento arbitrario de una función según ladefinición general de Euler.
Mucho más importantes son las aportaciones de Fourier y de Dirichlet.El primero, con el estudio de las series trigonométricas, conocidas comoseries de Fourier, ya abordado por Daniel Bernoulli, para desarrollar funcio-nes arbitrarias, que supuso una gran revolución en su tiempo al lograrrepresentar por medio de series de funciones analíticas, funciones arbitrariasformadas por leyes analíticas distintas en diferentes intervalos de la variableindependiente. En efecto, como señala Boyer «las representaciones por me-dio de tales series permiten un grado de generalidad mucho mayor, encuanto al tipo de funciones a las que se puede aplicar para estudiadas, que elque permite la serie de Taylor. Incluso si hay muchos puntos en los que noexista la derivada de la función o en los que la función no sea continua, lafunción puede tener aún un desarrollo en serie de Fourier» (pág. 686).
Por su parte Dirichlet, discípulo de Fourier, que aunque casi siempre serefería a funciones continuas o poco discontinuas, hablaba de los desarrollosen serie de funciones completamente arbitrarias, en el mismo sentido deFourier, mostrando que poseía ya el concepto general de función. En 1837propuso una definición muy general en los siguientes términos: si una varia-ble y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que seatribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determi-nado un único valor de y, entonces se dice que y es una función de lavariable independiente x. Para ejemplificar la arbitrariedad de la regla pro-
puso la que se llama función de Dirichlet: sean a y b dos números realesdistintos; entonces si x es racional y = a, mientras que si x es irracional y =b. Esta función es discontinua para todos los valores de x, y por tanto no esdiferenciable para ninguno de ellos. A pesar de que ya no existe ningunaduda sobre la generalidad de su definición, posteriormente, formuló unconjunto de condiciones, conocidas como las condiciones de Dirichlet, quedebían satisfacer las funciones por él consideradas.
Paralelamente, hacia 1830, se desarrolla la teoría de funciones de variablecompleja, debida ante todo a Cauchy, Riemann y Weierstrass; con este pasoal campo complejo vienen a coincidir en cierto modo los conceptos defunción de Lagrange y de Fourier-Dirichlet.
No podemos acabar sin mencionar la generalización que supuso para elconcepto de función la introducción de la teoría de conjuntos. Hasta aquelmomento, una función estaba definida siempre en cada punto del continuode todos los valores reales o complejos, o cuanto menos, en cada punto deun intervalo dado. Pero, al considerar una definición en términos conjuntis-tas, todas las definiciones anteriores corresponden a casos particulares deesta nueva generalización. Así, decimos que dados dos conjuntos arbitrariasA y B una función (o aplicación) de A en B es una ley que a cada elemento xde A hace corresponder un solo elemento y de B; o si se prefiere, una funciónde A en B es un subconjunto F del producto cartesiano A x B tal que si (x,y) Y(x, z) pertenecen a F entonces y = z. Hay que resaltar que se trata deuna última generalización del concepto y que, como tal, pierde muchos delos atributos que tenían las definiciones clásicas, como son la idea de varia-ción, de continuidad, de la variable como parámetro temporal, de dependen-cia, característicos de la mayoría de problemas que generaron la necesidaddel concepto de función. Como ya tendremos ocasión de señalar más adelan-te, considerar que tales definiciones son más simples que las clásicas, cuandoen realidad proceden de sucesivas abstracciones de aquéllas, y que por tantosu introducción en niveles elementales de la enseñanza es recomendable, esdesconocer el largo camino que ha sido necesario recorrer para llegar a ellas,al mismo tiempo que se las despoja de su auténtico significado convirtiéndo-las en instrumentos de escasa validez.
continuas o con un número reducido de discontinuidades, ya que es necesa-rio recordar que el análisis, o estudio de los procesos infinitos, se entendía,desde su creación por Newton y Leibnitz, como referido a las llamadasmagnitudes continuas. Así, el problema de la ampliación del concepto defunción, aparece como algo necesario, aunque todavía controvertido, duran-te' el siglo XVIII y se desarrollará con toda su extensión en el siglo siguientegracias a los trabajos de Fourier, Cauchy y Dirichlet, entre otros.
2.4.4. La última etapa: Del siglo XIX a la teoría de conjuntos