Petra Šešelja i Kristina Gligoriæ

Eksperimentalnoutvrðivanje haosa ukretanju fizièkog klatna saoscilujuæom taèkomvešanja

U radu je prikazano kako je moguæe eks-perimentalno ustanoviti haos u jednostavnomfizièkom sistemu klatna sa oscilujuæom taèkomvešanja. Izlo�en je detaljan opis aparature kojaje korišæena. Merenja su vršena tako što je am-plituda oscilovanja varirana za razlièite pa-rametre koji su prethodno odreðeni simula-cijom. Klatno je snimano za razlièite setoveparametara, a zatim su snimci komjuterski obra-ðeni. Podaci su tumaèeni na osnovu faznihdijagrama pomoæu kojih je potvrðena pretpo-stavka o javljanju haosa u ovom sistemu.

Uvod

Teorija haosa prouèava nelinearne dinamièkesisteme. Osnovna osobina ovih sistema je velikaosetljivost na poèetne uslove, usled koje neline-arni sistemi mogu ispoljiti osobine determini-stièkog haosa. To podrazumeva da se, iako supoznati zakoni po kojima se sistem menja tokomvremena, kao i poèetni uslovi, ponašanje sistemane mo�e predvideti jer je poèetne uslove nemo-guæe odrediti dovoljno precizno. S obzirom da jesistem nelinearan, mala greška u poèetnim uslo-vima raste eksponencijalno tokom vremena.Upravo zbog toga, iako je dinamika determini-stièkih sistema u potpunosti odreðena, nije mo-guæe predvideti stanje sistema tokom vremena.Deterministièki haos opisuje kompleksne si-steme poput meteoroloških i ekonomskih, ali ijednostavnije dinamièke sisteme.

Jedan od najjednostavnijih primera za izu-èavanje deterministièkog haosa je klatno èijataèka vešanja osciluje periodièno. Ovaj sistemsaèinjen je od kuglice koja je okaèena o neisteg-ljivu nit zanemarljive mase, pri èemu taèka ve-šanja osciluje po horizontalnoj ravni (slika 1).Sistem je opisan jednaèinom (Salom 1999):

dd

dd

2��

��

�� �

t tgl

Al

t22

0� � � �sin sin cos

gde je � ugao otklona niti u trenutku t, � koefi-cijent prigušenja, l du�ina niti, A amplituda osci-lovanja taèke oslonca i �frekvencija oscilovanja(slika 1).

U ovom radu prouèavan je prelazak sistema uhaotièan re�im kretanja. Konstruisana je apara-tura koja je aproksimacija ovog sistema, a koja jespecifièna je zbog mehanizma koji obezbeðujeperiodièno oscilovanje oslonca. Zatim su pomoæu

ZBORNIK RADOVA 2013 FIZIKA • 55

Petra Šešelja (1996), Novi Sad, Kru�na 2,uèenica 2. razreda Gimnazije „JovanJovanoviæ Zmaj” u Novom Sadu

Kristina Gligoriæ (1995), Novi Sad, Do�aÐerða 19, uèenica 4. razreda Gimnazije„Jovan Jovanoviæ Zmaj” u Novom Sadu

MENTORI:

Stevan Radanoviæ, Seven Bridges Genomics,Beograd

Mario Cekiæ, Prirodno-matematièki fakultetUniverziteta u Novi Sadu

Slika 1. Klatno èija taèka vešanja oscilujeperiodièno.

Figure 1. Pendulum whose pivot point oscillatesperiodically.

56 • PETNIÈKE SVESKE 72 DEO I

programa uraðenog u programskom paketu Ma-thematica, pronaðeni parametri pri kojima bi se uovom sistemu trebao javiti haos. Neki parametrisu fiksirani – koeficijent prigušenja (�) i frek-vencija oscilovanja (�), dok su neki parametrivarirani – du�ina niti (l) i amplituda oscilovanja(A).

Oscilovanje klatna je snimano i vršena je ob-rada snimaka. Iscrtavani su grafici uz pomoækojih je bilo moguæe odrediti da li sistem prelaziu haotièan re�im kretanja.

AparaturaAparatura je sastavljena od kuglice (1), niti

(2), mehanizma za pretvaranje kru�nog kretanjamotora u linearno oscilovanje oslonca (3), flopidiska koji u sebi ima Holov senzor i izvora napa-janja(slika 2). Tehnièki najte�e ostvariv deo apa-rature je mehanizam za oscilovanje oslonca.

Mehanizam funkcioniše tako što se motor (2)postavi na podlogu i na deo motora koji rotira seprièvrsti vertikalna šipka (4) (slika 3). Iznad mo-tora se postavi dašèica sa prorezom za šipku (3),koja klizi izmeðu šina (1) dok se motor vrti.Jedan kraj dašèice koja klizi izmeðu šina je du�i ina njemu je okaèena kuglica. Šine prièvršæene zapodlogu, pa dašèica za koju je okaèeno klatno nemo�e da se pomera kru�no zajedno sa motorom,nego se pomera samo u jednoj dimenziji, od-nosno linearno. Promenom napona na izvoru semenja frekvencija motora. Na izvoru se pomoæu

Holovog senzora, ugraðenog u motor, oèitavaugaona frekvencija motora, koja je jednakaugaonoj frekvenciji oscilovanja taèke osloncaklatna.

Klizaè i šine su prvo bili napravljeni od me-tala. Meðutim, motor koji je korišæen je motor odflopi diska, snage 5 W. Takav motor nije bio do-voljno sna�an da pokrene mehanizam sa delo-vima od metala. Zatim je le�aè napravljen odplastike, ali u takvom mehanizmu je trenje bilopreveliko i motor opet nije mogao da ga pokrene.U postavci aparature koja je korišæena, klizaè jebio napravljen od drveta, da bi bio dovoljno lak,ali je bio oblepljen trakama aluminijuma da seumanji trenje.

Zbog pomenutih problema, pre poèetka me-renja je analizirano oscilovanje taèke oslonca saokaèenom kuglicom, kako bi se potvrdilo da jeono dovoljno blizu sinusoidnom. Taèka vešanjaje bila obele�ena kontrastnom bojom u odnosuna zastor i oscilovanje je snimano kamerom. Izsnimaka je programskim putem iscrtavan polo�ajtaèke vešanja tokom oscilovanja (slika 4a). Zaiscrtavanje grafika je korišæen programski paketMatlab. Mehanizam je potom poboljšan tako štoje klizaè oblepljen aluminijumom kako bi sesmanjilo trenje i šine su bolje prièvršæene. Zatimje vršena nova analiza. Sa slike 4b se vidi da jeoscilovanje oslonca periodièno.

Slika 2. Korišæena aparatura: 1 – kuglica, 2 – nit, 3 –mehanizam koji pretvara kru�no kretanje u linijsko.

Figure 2. Apparatus used in the experiment. Itconsists of a ball (1), thread (2) and the mechanismthat converts circular into linear motion.

Slika 3. Skica mehanizma koji pretvara kru�nokretanje u linijsko: 1 – šine, 2 – motor, 3 – dašèicakoja klizi po šinama i za koju je okaèeno klatno, 3 –šipka prièvršæena za motor.

Figure 3. Scheme of the mechanism that convertscircular into linear motion. It consists of tracks (1),motor (2), slider to which the pendulum is attached(3) and a small rod that is attached to the motor.

Zatim je snimano kretanje kuglice i kretanjeoslonca. Kao i taèka oslonca, kuglica je bila mar-kirana kontrastnom bojom u odnosu na zastor.Vršena je obrada snimaka na osnovu èega su do-bijene koordinate taèke oslonca i koordinatekuglice u zavisnosti od vremena. Program fun-kcioniše tako što se snimak podeli na slike i nasvakoj slici se pronalazi centar kuglice i sredinaoslonca. Na osnovu njihovih koordinata se ra-èuna ugao otklona kuglice u odnosu na verti-kalnu osu.

Metod

Pre izvoðenja eksperimenta, bilo je neop-hodno pronaæi parametre pri kojima sistem pre-lazi u haotièan re�im kretanja. U programskompaketu Mathematica simulirana su dva klatnaèije kretanje opisuju jednaèine sa istim para-metrima, s tim da postoji mala razlika u poèetnimuslovima, odnosno u poèetnom uglu otklona �0 .Zbog velike osetljivosti na poèetne uslove kojakarakteriše haos, ta razlika pri odreðenim para-metrima raste eksponencijalno tokom vremena,dok ekstremi funkcije zavisnosti log �� od vre-mena rastu linearno.

Da bi se pronašli parametri pri kojima sistemprelazi u haotièan re�im kretanja, vrednosti pa-rametara su varirane u odreðenim okvirima i nalogaritamskoj skali iscrtavani su grafici zavis-nosti razlike ugla otklona za dve simulacije. Pa-rametri koje je bilo moguæe varirati su du�inaklatna, amplituda oscilovanja taèke oslonca, ko-eficijent prigušenja (koji zavisi od mase kuglice)i frekvencija oscilovanja taèke oslonca. Od tih

parametara, frekvencija oscilovanja taèke os-lonca i koeficijent prigušenja su fiksirani, dok sudu�ina klatna i amplituda oscilovanja taèke os-lonca varirani. U eksperimentu su korišæenisetovi parametara za koje je zavisnost ekstremapribli�no linearna.

Merenja su vršena za šest razlièitih setova pa-rametara dobijenih simulacijom. Konstantniparametri za sva merenja su bili � = 0.0024 s–1 i�= 12.4 s–1. Du�ina klatna je bila razlièita zarazlièite setove parametara. Merenja su vršenatako što su za jedan set parametara svi parametribili fiksni osim amplitude oscilovanja taèke os-lonca, koja je bila varirana. Oèekivano je dapoveæavanjem amplitude sistem prelazi iz peri-odiènog u haotièni re�im tako što se periodiudvostruèavaju, to jest dolazi do bifurkacija. Pr-vim udvostruèavanjem perioda nastaje bifur-kacija prvog reda, odnosno sistem osciluje sa dvaperioda. Sledeæim udvostruèavanjem dolazi dobifurkacije drugog reda i sistem osciluje sa èetiriperioda. Bifurkacija treæeg reda podrazumevaoscilovanje sa osam perioda i tako dalje, dok sene dostigne kritièna amplituda pri kojoj sistemprelazi u haotièan re�im (Taylor 2005).

Kretanje ovog sistema je sagledano kroz gra-fike ugla otklona u zavisnosti od vremena i faz-nih dijagrama. Sa grafika zavisnosi ugla otklonaod vremena se ne mo�e uoèiti da li je u pitanjuperiodièno oscilovanje ili haotièni re�im, ali akoje u pitanju bifurkaciono kretanje, mo�e se za-kljuèiti kog je reda bifurkacija. U faznom pros-toru su iscrtana sva moguæa stanja nekog sistemai jedna taèka faznog prostora odreðuje jednostanje sistema. Ako se taèka nakon odreðenogvremena ponovo naðe na mestu u kom je bilaranije, ona mora da nastavi da se kreæe po istojputanji, odnosno periodièno. U suprotnom bi bionarušen determinizam, to jest bilo bi nemoguæeodrediti sledeæe stanje sistema ako je poznatoprethodno.

Simulacijom faznog prostora za parametrekoji su korišæeni u eksperimentu mo�e se uoèitida se putanje u faznom dijagramu seku. To setumaèi time što svaka taèka na grafiku zavisnostiugaone brzine klatna od vremena ne oznaèavajednoznaèno jedno stanje klatna. Naime, moguæeje da se desi da su za kuglicu u dva razlièita tre-nutka ugao otklona u odnosu na vertikalnu osu iugaona brzina klatna jednaki, ali da polo�aj

ZBORNIK RADOVA 2013 FIZIKA • 57

Slika 4. Grafik zavisnosti amplitude taèke oslonca odvremena za: a) prvu aparaturu, b) drugu aparaturu.

Figure 4. Graph representing the dependence of theamplitude of the pivot point on time for: a) the firstapparatus, b) the second apparatus.

58 • PETNIÈKE SVESKE 72 DEO I

Slika 5.Dijagrami faznog prostora (levo) i grafici zavisnosti ugla otklona od vremena (desno) za prvu du�inu klatna.

Figure 5.Phase portraits (left) and graphs representing dependency of inclination angle of the pendulum on time (right)for the first length of the pendulum.

ZBORNIK RADOVA 2013 FIZIKA • 59

Slika 6.Dijagrami faznog prostora (levo) i grafici zavisnosti ugla otklona od vremena (desno) za drugi set parametara.

Figure 6. Phase portraits (left) and graphs representing dependency of inclination angle of the pendulum ontime (right) for the second length of the pendulum.

60 • PETNIÈKE SVESKE 72 DEO I

kuglice nije isti zbog oscilovanja oslonca taèkeoslonca. Fazni dijagrami dobijeni analizom sni-maka su zbog toga tumaèeni tako što je po-smatrano da li postoje periodièna ponavljanjaveoma bliskih putanja, bez obzira na to da li seputanje seku ili ne.

Rezultati i diskusija

Predstavljeni su oni rezultati koji najboljeprikazuju prelazak sistema iz periodiènog u ha-otièni re�im kretanja. Za sva merenja odr�avanisu konstantnaim frekvencija oscilovanja taèkeoslonca �= 12.4 s–1 i koeficijent prigušenja � == 0.0024 s–1. Varirane su du�ina klatna i ampli-tude oscilovanja taèke oslonca, tako da su zasvaku du�inu klatna vršena po tri merenja, zavrednosti amplitude od 2.7 cm, 3.9 cm i 5.1 cm.

U prvom merenju du�ina niti je (slika 5). Prvigrafik predstavlja ravnomerno periodièno osci-lovanje. Ekstremi ugla otklona ne uzimaju istevrednosti zbog nesavršenosti aparature (5b).Poveæavanjem amplitude dolazi do udvostru-èavanja perioda. Klatno tada osciluje sa osamperioda, to jest donji ekstrem ugla otklona cik-lièno uzima osam razlièitih vrednosti, tako da jeu pitanju bifurkacija treæeg reda. To se vidi sagrafika 5d jer se osam razlièitih ekstrema peri-odièno ponavljaju. Daljim poveæavanjem ampli-tude sistem prelazi u haos zato što ne postojeperiodièna ponavljanja u faznom dijagramu (5e).

Slika 6 predstavlja fazne dijagrame i grafikezavisnosti ugla od vremena kada je l = 0.55 m. I uovom sluèaju, broj perioda se poveæava s pove-æavanjem amplitude. Na grafiku 6a je prikazanabifurkacija drugog reda. Donji ekstrem cikliènouzima èetiri razlièite vrednosti (6b). Sa grafika6c i 6d se vidi da sistem osciluje sa puno perioda.Grafici 6e i 6f predstavljaju haotièni re�im.

Na graficima periodiènog i bifurkacionogkretanja javljaju se odstupanja, zbog nesavrše-nosti aparature. Najveæi nedostatak aparature ješto je oscilovanje oslonca aproksimacija si-nusnog oscilovanja. Veliku smetnju predstavlja itrenje unutar mehanizma – trenje izmeðu šina idašèice, dašèice i šipke, itd. Rezultati bi moglibiti precizniji kada bi mehanizam bio napravljenveoma precizno i od materijala koji bi smanjiotrenje.

ZakljuèakU ovom radu je vršeno eksperimentalno do-

kazivanje haosa u kretanju sistema klatna sa os-cilujuæom taèkom vešanja. Aparatura, koja sesastojala od mehanizma za pretvaranje kru�nogkretanja u translatorno i klatna, napravljena je najednostavan naèin i kretanje klatna je snimano.Obradom snimaka je pokazano prisustvo haosana korišæenoj aparaturi. Mehanizam korišæen zapretvaranje kru�nog kretanja u translatorno fun-kcioniše po vrlo jednostavnom principu, usledèega mo�e biti od velike koristi u sliènim sitau-cijama.

Aparatura mo�e biti poboljšana preciznijomizradom i redukcijom trenja. Takoðe, amplitudubi se mogla varirati sa manjim korakom. Tada bise mogle koristiti i druge metode prouèavanjahaosa, poput prouèavanja dijagrama bifurkacija ilogistièkih mapa.

Zahvalnost. Zahvaljujemo se mentoru, Ma-riju Cekiæu, kao i saradnicima na programu fi-zike Vladanu Pavloviæu i Stevanu Radanoviæu navelikoj podršci i korisnim savetima. Zahvalju-jemo se i Miroslavu Bogdanoviæu za ideje pri ko-nstruisanju aparature.

Korišæena literatura

Jeong J., Kim S-Y. 1999. Bifurcations in aHorizontally Driven Pendulum. Journal of theKorean Physical Society, 35 (5): 393.

Koláø M., Gumbs G. 1992. Theory for theexperimental observation of chaos in a rotatingwaterwheel. Physical Review A, 45 (2): 625.

Salom S. 1999. Haos pri pobuðenom iprigušenom kretanju fizièkog klatna. UPetnièke Sveske, 49 (ur. B. Saviæ). Valjevo:Istra�ivaèka stanica Petnica, str. 55-68.

Taylor J. 2005. Classical Mechanics.University Science Books

Petra Šešelja and Kristina Gligoriæ

Experimental Determination ofChaos in a Damped DrivenPendulum

This paper presents a way of experimentaldetermination of chaos in a simple dynamicalsystem. It is a system of a pendulum with an os-cillating pivot. The apparatus used in the experi-ment consists of the pendulum, the mechanismthat converts circular into linear motion and amotor that oscillates in a circular motion. Mecha-nism, although simple, was not easy to createwith the materials available, and problems ap-peared which were eventually overcome.

After assembling the apparatus, parametersin which the movement of the system would turn

chaotic was supposed to be found. A program inMathematica was used, which simulated twopendulums with almost exact beginning parame-ters except for one (inclination angle). For cer-tain parameters, that one small difference was thecatalyst for the system to turn chaotic. Those pa-rameters were later on used in the experiment.Measuring was done by varying the amplitude ofoscillation for those predetermined parameters.It was expected that increasing the oscillatingamplitude would lead to a transition from a peri-odic to a chaotic regime, throughout bifurca-tions, until the critical amplitude is reached. Thesystem was then filmed, and those videos wereanalyzed. The data was interpreted using phaseportraits and graphs representing dependency ofthe inclination angle of the pendulum on time(Figures 5 and 6). The hypothesis was confirmedand it was proven that with this apparatus, cha-otic movement did appear.

ZBORNIK RADOVA 2013 FIZIKA • 61