eksistansi matriks pengganda dan pyatt dan round dekomposisi
TRANSCRIPT
EKSISTENSI MATRIKS PENGGANDA DAN
DEKOMPOSISI MATRIKS PENGGANDA PYATT DAN ROUND DARI SISTEM NERACA SOSIAL EKONOMI∗∗∗∗
Djoni Hartono Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi
Budy P. Resosudarmo
Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi dan
Pasca Sarjana Ekonomi – Universitas Indonesia
Abstracts In the last three decades, Social Accounting Matrix (SAM) has become a very
important data set and analytical tool to analyze the impact of economic policies on income distribution in various countries, particularly in the developing ones.
As an analytical tool, SAM provides a way to calculate the total and decompositional impact of an economic policy on income distribution. Particularly, through the multiplier matrix and its Pyatt and Round decomposition derived from a SAM, one is able to observe the impact of an economic policy on income distribution. Since the multiplier and its Pyatt and Round decomposition matrices are important for income distribution analysis, there is a need to show that from any SAM one should be able to find the multiplier matrix and Pyatt and Round decomposition of the multiplier matrix.
This paper proves that for any SAM there exists a multiplier matrix and a Pyatt and Round decomposition of the multiplier matrix.
∗ Dipublikasikan di Majalah Ekonomi dan Keuangan Indonesia sebagai: Hartono, D. and B.P. Resosudarmo. 1998. “Eksistansi Matriks Pengganda dan Pyatt dan Round Dekomposisi dari Sebuah Sistem Neraca Sosial Ekonomi (Existence of the Multiplier Matrix and the Pyatt and Round Decomposition Matrix for a Social Accounting Matrix).” Ekonomi dan Keuangan Indonesia, 46(4): 473-496.
1. Pendahuluan
Masalah kemiskinan dan pemerataan distribusi pendapatan merupakan
masalah yang teramat penting dalam pembangunan ekonomi di berbagai
negara, khususnya di negara-negara yang sedang berkembang. Sejak tiga dasa
warsa yang lalu berbagai analisa ekonomi dilakukan untuk mengamati apakah
sebuah kebijakan ekonomi dapat mengurangi kemiskinan dan membuat
distribusi pendapatan semakin merata di suatu negara. Social Accounting
Matrix (SAM) atau Sistem Neraca Sosial Ekonomi (SNSE) merupakan salah
satu sistem pendataan dan juga alat analisa penting yang dikembangkan untuk
memantau dan menganalisa berbagai masalah kemiskinan dan distribusi
pendapatan di berbagai negara.
SNSE adalah sebuah neraca ekonomi masukan ganda tradisional
berbentuk matriks partisi1 yang mencatat segala transaksi ekonomi antara agen,
terutama sekali antara sektor-sektor di dalam blok produksi, sektor-sektor di
dalam blok institusi (termasuk di dalamnya rumah tangga), dan sektor-sektor di
dalam blok faktor produksi, di suatu perekonomian.
SNSE merupakan suatu sistem pendataan yang baik karena (1) SNSE
merangkum seluruh kegiatan transaksi ekonomi yang terjadi di suatu
perekonomian untuk sebuah kurun waktu tertentu, dengan demikian SNSE
dapat dengan mudah memberikan gambaran umum mengenai perekonomian
suatu wilayah; (2) SNSE memotret struktur sosial-ekonomi di suatu
perekonomian, dengan demikian SNSE dapat memberikan gambaran tentang
kemiskinan dan distribusi pendapatan di perekonomian tersebut.
SNSE juga merupakan alat analisa yang penting karena (1) analisa dengan
menggunakan SNSE dapat menunjukkan dengan baik dampak dari
suatu kebijakan ekonomi terhadap pendapatan masyarakat, dengan demikian
dapat diketahui dampak dari suatu kebijakan ekonomi terhadap masalah
kemiskinan dan distribusi pendapatan; (2) analisa dengan SNSE relatif
1 Definisi matriks partisi dapat dilihat dalam Searle, S. R. 1982 : Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley
and Sons. New York.
sederhana, dengan demikian penerapannya dapat dilakukan dengan mudah di
berbagai negara2.
Dalam melakukan analisa menggunakan SNSE, perhitungan matriks
pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari suatu SNSE merupakan
suatu teknik/langkah penting. Dengan mendapatkan matriks pengganda dari
suatu SNSE dapat dilihat dampak dari suatu kebijakan terhadap berbagai sektor
di dalam suatu perekonomian, termasuk di dalamnya dampak sebuah kebijakan
terhadap pendapatan masyarakat. Dekomposisi matriks pengganda suatu
SNSE dilakukan untuk memperjelas proses penggandaan dalam suatu
perekonomian; dengan kata lain dekomposisi matriks pengganda dapat
menunjukkan tahapan dampak yang terjadi akibat penerapan sebuah kebijakan
terhadap berbagai sektor di suatu perekonomian. Dari beberapa macam
dekomposisi matriks pengganda, dekomposisi matriks pengganda yang
dikembangkan oleh Pyatt dan Round (1979)3 yang relatif banyak digunakan.
Pada dekomposisi matriks pengganda ini, Pyatt dan Round memecah matriks
pengganda menjadi tiga buah matriks dekomposisi yang disebut matriks
pengganda transfer, matriks pengganda open loop, dan matriks pengganda
closed loop. Secara umum matriks pengganda transfer menunjukkan dampak
langsung aktivitas sebuah sektor terhadap sektor lainnya di dalam blok yang
sama. Matriks pengganda open loop menunjukkan dampak aktivitas sebuah
sektor terhadap sektor-sektor di blok lainnya. Sedangkan matriks closed loop
menunjukkan dampak aktivitas sebuah sektor terhadap sektor lainnya di dalam
blok yang sama setelah terlebih dahulu mempengaruhi sektor-sektor di blok
lain.
Pentingnya matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari
suatu SNSE menuntut kepastian bahwa dari setiap SNSE selalu dapat
diturunkan sebuah matriks pengganda dan beberapa matriks yang merupakan
dekomposisi matriks pengganda. Dengan demikian terjamin bahwa untuk
2 Sebuah SNSE dapat juga dibuat untuk lingkup perekonomian yang lebih kecil dari negara, misalnya untuk
tingkat provinsi, kabupaten, dan bahkan kota. Sebaliknya, sebuah SNSE dapat juga dibuat untuk lingkup yang lebih besar dari negara, misalnya tingkat continental atau bahkan sebuah SNSE dunia.
3 Dekomposisi matriks pengganda diperkenalkan oleh Pyatt dan Round, 1979 : Accounting and Fixed Price Multipliers in a Social Accounting Matrix Framework. Economic Journal 89:850-873.
setiap SNSE, tidak peduli untuk wilayah perekonomian mana, dapat dilakukan
analisa matriks pengganda dan dekomposisinya untuk melihat dampak sebuah
kebijakan ekonomi terhadap aktivitas perekonomian di wilayah tersebut.
Tulisan ini bermaksud membuktikan bahwa dari setiap SNSE akan selalu
dapat diturunkan (1) sebuah matriks pengganda dan (2) dekomposisi matriks
pengganda Pyatt dan Round. Dengan kata lain, tulisan ini akan membuktikan
eksistensi matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda dari suatu
SNSE.
2. Teknik Analisa SNSE
Dalam bagian ini akan diperlihatkan bagaimana SNSE dituliskan dalam
bentuk matriks partisi, yang selanjutnya akan diperlihatkan bagaimana matriks
pengganda diturunkan dari kerangka SNSE dan bentuk dekomposisi matriks
pengganda Pyatt dan Round.
Kerangka Dasar SNSE
SNSE merupakan sebuah matriks yang merangkum neraca sosial dan ekonomi
secara menyeluruh. Neraca-neraca (account) tersebut dikelompokkan menjadi
dua kelompok, yakni kelompok neraca-neraca endogen dan kelompok neraca-
neraca eksogen. Secara garis besar kelompok neraca-neraca endogen dibagi
dalam tiga blok: blok neraca faktor produksi, blok neraca institusi dan blok
neraca aktivitas (kegiatan) produksi. Untuk menyingkat penulisan, ketiga blok
tersebut selanjutnya akan disebut sebagai blok faktor poduksi, blok institusi
dan blok kegiatan produksi. Secara sederhana kerangka dasar SNSE diberikan
di bawah ini.
Gambar 2.1 Kerangka Dasar SNSE
P E N G E L U A R A N
Neraca Endogen Neraca Eksogen
Faktor
Produksi Institusi Kegiatan
Produksi TOTAL
P E
Faktor Produksi
0
0
T13
T14
y1
N E R
Neraca Endogen
Institusi
T21
T22
0
T24
y2
I M A
Kegiatan Produksi
0
T32
T33
T34
y3
A N
Neraca Eksogen
T41
T42
T43
T44
y4
TOTAL
y’1 y’2 y’3 y’4
Sumber: BPS (1993)
Kerangka dasar pembentukan SNSE ini adalah berbentuk matriks partisi
yang berukuran 4 x 4. Baris menunjukkan penerimaan, sedangkan kolom
menunjukkan pengeluaran. Pada gambar 1, submatriks Tij digunakan untuk
menunjukkan penerimaan neraca baris ke-i dari neraca kolom ke-j. Vektor yi
menunjukkan total penerimaan neraca baris ke-i, sebaliknya vektor y′′′′j
menunjukkan total pengeluaran neraca kolom ke-j. Sesuai dengan ketentuan
pada SNSE, vektor yi sama dengan vektor y′′′′j, dengan kata lain y′′′′j merupakan
transpose dari yi, untuk setiap i = j. Untuk dapat dengan mudah mengerti
transaksi-transaksi ekonomi yang dicatat oleh sebuah SNSE, perhatikan
gambar 2.1.
Gambar 2.2 Transaksi Ekonomi Antara Agen di dalam Sebuah Perekonomian
Sumber: Thorbecke (1988)
Gambar 2.2 menunjukkan transaksi ekonomi utama yang tercatat di dalam
sebuah SNSE (tanda panah menunjukkan arus uang). Submatriks T13
menunjukkan alokasi nilai tambah yang dihasilkan oleh berbagai sektor
produksi ke faktor-faktor produksi, sebagai balas jasa dari penggunaan faktor-
faktor produksi tersebut. Misalnya upah dan gaji sebagai balas jasa bagi
penggunaan faktor produksi tenaga kerja. Submatriks T21 menunjukkan
alokasi pendapatan faktor produksi ke berbagai institusi, yang umumnya terdiri
dari rumah tangga, pemerintah, dan perusahaan. Dengan perkataan lain,
matriks ini merupakan matriks yang merekam distribusi pendapatan dari faktor
produksi ke berbagai institusi. Sebagai contoh, sebagian pekerja di sektor
pertanian merupakan anggota dari kelompok masyarakat petani pemilik tanah
kecil. Dengan demikian ada uang yang mengalir dari sektor pekerja tani ke
kelompok masyarakat pemilik tanah pertanian kecil. Submatriks T22
menunjukkan transfer pembayaran antar institusi, misalnya pemberian subsidi
dari pemerintah kepada rumah tangga, pemberian subsidi dari perusahaan
AktivitasProduksi
T33
Institusi(termasukdistrbusi
pendapatanrumah-tangga)
T22
T32 T13
T21
Faktor(distribusi
pendapatan darifaktor produksi)
kepada rumah tangga, atau pembayaran transfer dari rumah tangga ke rumah
tangga yang lain. Submatriks T32 menunjukkan permintaan terhadap barang
dan jasa oleh institusi, dengan kata lain menunjukkan uang yang dibayarkan
pihak institusi ke sektor produksi untuk membeli barang dan jasa yang
dikonsumsi. Submatriks T33 menunjukkan permintaan barang dan jasa antar
industri atau transaksi antar sektor produksi. Selain submatriks-submatriks
tersebut, SNSE juga mencatat submatriks transaksi ekonomi di sektor
perbankan dan transaksi ekonomi dengan pihak luar negeri.
Matriks Pengganda
Matriks Pengganda dalam kerangka SNSE begitu penting, karena matriks
tersebut dapat menangkap seluruh dampak dari perubahan suatu sektor
terhadap sektor lainnya di dalam ekonomi; dan juga digunakan untuk
menjelaskan dampak yang terjadi pada neraca endogen akibat perubahan
neraca eksogen. Berdasarkan Gambar 1. dapat dituliskan suatu matriks partisi
yang berbentuk 4x3 sebagai berikut :
Berdasarkan (1) dapat dituliskan kembali suatu matriks partisi yang juga berbentuk 4x3 :
di mana semua elemen pada setiap submatriks Aij diperoleh dengan
menghitung nilai kecenderungan pengeluaran rata-rata (average expenditure
propensity) yang dinyatakan dalam proporsi (perbandingan). Nilai ini
diperoleh dengan cara membagi masing-masing elemen dari setiap submatriks
(1)
434241
3332
2221
13
���
�
�
���
�
�
=
TTTTT00TT
T00
C
(2)
434241
3332
2221
13
���
�
�
���
�
�
=
AAAAA0
0AAA00
E
Tij dengan nilai total kolom. Dengan perkataan lain dapat dinyatakan sebagai
bentuk :
di mana
Aij adalah submatriks dari E pada baris ke-i, kolom ke-j.
Tij adalah submatriks dari C pada baris ke-i, kolom ke-j.
Yj-1 adalah matriks diagonal yang dibentuk dari nilai-nilai total kolom
yang terdapat pada vektor kolom ke-j.
Selanjutnya, untuk menurunkan matriks pengganda dari kerangka dasar
SNSE, maka perlu didefinisikan terlebih dahulu dua buah vektor sebagai
berikut :
1. mij adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan jumlah baris dari
submatriks Tij untuk i = 1, 2, 3, 4. dan j = 1, 2, 3.
2. xi adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan jumlah baris dari
submatriks Ti4 untuk i = 1, 2, 3, 4.
Sehingga berdasarkan kerangka dasar SNSE, diperoleh bentuk persamaan
sebagai berikut :
Selanjutnya, berdasarkan nilai-nilai pada submatriks Aij dan vektor yj
diperoleh persamaan sebagai berikut :
Berdasarkan bentuk (4) dan (5) diperoleh bentuk persamaan sebagai berikut :
(3) ˆ 1jijij−= YTA
(4)
44342414
333323
222212
1131
��
�
��
+++=++=++=+=
xmmmyxmmyxmmyxmy
(5) ijjij myA =
Bentuk (6) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut :
Dengan memperhatikan bentuk (7) di atas, setiap Aij untuk i,j = 1, 2, 3;
merupakan matriks semi positif4. Selanjutnya bentuk (7) dapat ditulis kembali
sebagai :
Dari bentuk (9) dapat dilihat bahwa nilai y4 dapat diperoleh apabila y1, y2 dan
y3 diketahui. Neraca xi untuk i = 1, 2, 3 dan 4 merupakan neraca eksogen
dalam kerangka SNSE. Selanjutnya bentuk (8) dapat ditulis dalam bentuk :
4 Definisi matriks semi positif dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second
edition. Cambridge University Press. New York.
(6)
43432421414
33332323
22221212
13131
��
�
��
+++=++=++=+=
xyAyAyAyxyAyAyxyAyAyxyAy
(7)
4
3
2
1
3
2
1
434241
3332
2221
13
4
3
2
1
���
�
�
���
�
�
��
�
�
��
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�
�
+=
xxxx
yyy
AAAAA0
0AAA00
yyyy
(9)
(8)
43432421414
3
2
1
3332
2221
13
dan
xyAyAyAy
xxx
yyy
AA00AA
A00
yyy
3
2
1
3
2
1
+++=
��
�
�
��
�
�+
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�=
��
�
�
��
�
�
Di dalam penerapan SNSE, diperoleh kenyataan bahwa matriks A22, A33 dan A
adalah matriks segi5, sedangkan matriks A13, A21 dan A32 tidak selalu matriks
segi6. Jika matriks (I – A) diasumsikan matriks tak singular agar matriks (I –
A) memiliki invers, maka bentuk (10) dapat ditulis kembali sebagai bentuk
dengan Ma = (I – A)-1 yang disebut sebagai matriks pengganda (multiplier
matrix). Bentuk (11) menjelaskan bahwa pendapatan neraca endogen (blok
faktor produksi, blok institusi dan blok kegiatan produksi) akan berubah
sebesar Ma akibat perubahan 1 unit neraca eksogen dengan asumsi bahwa
variabel harga diperlakukan secara tetap dan elastisitas pendapatan
(pengeluaran) dianggap sama dengan satu.
Selanjutnya, matriks pengganda Ma di atas dapat diuraikan menjadi
pengganda transfer, pengganda open loop, pengganda closed loop. Untuk
tujuan penguraian matriks pengganda, Pyatt dan Round (1979) melakukan
dekomposisi terhadap matriks pengganda yang hasilnya adalah :
5 Definisi mengenai matriks segi dapat dilihat dalam Ayres, 1962: Theory and Problems of Matrices. McGraw-Hill,
Inc. New York. 6 Di dalam penerapan SNSE, banyaknya jenis institusi, banyaknya kegiatan produksi, dan banyaknya jenis faktor
produksi tidak harus selalu sama.
(11) a
)(
1
xMyxAIy
xAyy
=⇔−=⇔
+=−
��
�
�
��
�
�=
��
�
�
��
�
�=
��
�
�
��
�
�=
+=
3
2
1
3332
2221
13
3
2
1
dan
dengan
,
(10)
xxx
x
AA00AA
A00A
yyy
y
xAyy
(12) a 1 2 3 MMMM =
dengan
M1 adalah pengganda transfer, yang menunjukkan pengaruh dari satu
blok pada dirinya sendiri.
A1 adalah matriks diagonal dari A
sehingga dalam bentuk matriks:
Dengan pengganda transfer ini dapat diketahui pengaruh injeksi pada
sebuah sektor terhadap sektor lain dalam satu blok yang sama, setelah melalui
keseluruhan sistem di dalam blok tersebut, sebelum berpengaruh terhadap blok
yang lain. Dalam memahami pengganda ini, kita seolah-olah berasumsi
bahwa injeksi pada suatu sektor hanya berpengaruh terhadap sektor-sektor lain
dalam satu blok yang sama, dan tidak terhadap sektor-sektor yang berada pada
blok yang lain.
M2 adalah pengganda open loop atau cross-effect, yang merupakan
pengaruh dari suatu blok ke blok yang lain. Injeksi pada salah
satu sektor dalam sebuah blok tertentu akan berpengaruh
terhadap sektor lain di blok yang lain setelah melalui keseluruhan
sistem dalam blok yang lain tersebut.
Dengan demikian pengganda open loop adalah :
(13) )( 111
−−= AIM
(14) 33
221��
�
�
��
�
�=
A000A0000
A
(15) )(
)(1
33
1221
��
�
�
��
�
�
−−=
−
−
AI000AI000I
M
(16) 2 )AA(IM *2* ++=
(17) *32
**
***
***
2
���
�
�
���
�
�
=IAAAAAIA
AAAIM
2132
132121
133213
dengan
di mana
M3 adalah pengganda closed loop, merupakan pengaruh dari suatu
blok ke blok yang lain, untuk kemudian kembali pada blok
semula.
Dengan demikian pengganda closed loop adalah:
3. Eksistensi Matriks Pengganda dan Dekomposisi Matriks
Pengganda Pyatt dan Round
Pada bagian ini akan dibuktikan eksistensi matriks pengganda dan
memperlihatkan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan Round untuk setiap
SNSE. Untuk membuktikan bahwa matriks pengganda Ma selalu ada, akan
dibuktikan bahwa matriks (I–A) bukan matriks singular. Dengan berhasil
dibuktikannya eksistensi Ma, maka selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Ma
selalu dapat didekomposisi menjadi M3, M2 dan M1.
(22) )( 13*3
−−= AIM
(18) )()( *
*
*
11
1*
1
���
�
�
���
�
�
=−−== −
0A000A
A00AAAIAMA
32
21
13
2
(21) )(
(20) )(
(19)
321
33 *32
211
22 *21
13 *13
AAIA
AAIA
AA
−
−
−=
−=
=
(23) )(
)()(
1*13
*21
*32
1*32
*13
*21
1*21
*32
*13
3
���
�
�
���
�
�
−−
−=
−
−
−
AAAI000AAAI000AAAI
M
Eksistensi Matriks Pengganda
Matriks A yang terdiri dari submatriks A13, A21, A22, A32 dan A33 adalah
matriks semi positif7. Dengan demikian, jika matriks A tidak dituliskan dalam
bentuk (10), maka A dapat dituliskan sebagai A = [aij] ∈ ℜnxn di mana aij ≥ 0
untuk semua i dan j dan aij > 0 untuk beberapa i dan j.
Selanjutnya, dengan memperhatikan setiap submatriks dari A yang
dinyatakan dalam bentuk (3), maka elemen-elemen pada matriks A kurang dari
satu dan dengan adanya neraca eksogen, jumlah elemen dalam tiap kolom
matriks A juga kurang dari satu.
Dengan demikian diperoleh kesimpulan bahwa elemen-elemen pada
matriks A memenuhi dua kondisi di bawah ini,
Selanjutnya, karena matriks A berukuran nxn maka matriks (I–A) juga akan
berukuran nxn dan semua elemen matriks (I–A) yang tidak terletak pada
diagonal utama bernilai tak positif serta semua elemen matriks (I–A) yang
terletak pada diagonal utama bernilai positif, dengan kata lain bahwa (1–aii) >
0, untuk setiap i dan aij ≤ 0, untuk i ≠ j.
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, matriks pengganda diperoleh
dari bentuk (11). Matriks pengganda dapat dijamin eksistensinya dengan
menggunakan dua teorema berikut :
Teorema 1 Jika matriks A = [aij] ∈ ℜnxn dengan elemen-elemennya memenuhi kondisi
(24), maka matriks M yang didefinisikan sebagai (I–A) adalah matriks
diagonal dominan8.
_____________________________________________________________
7. Definisi matriks semi positif dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York.
8. Definisi matriks diagonal dominan dapat dilihat dalam Takayama, Akira 1985: Mathematical Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York.
(24) 1 .2
, 10 .1
1��
�
∀<
∀<≤
�=
n
iij
ij
ja
jia
Bukti : Berdasarkan premis diperoleh n pertidaksamaan sebagai berikut,
Definisikan matriks M = (I–A), maka elemen-elemen matriks M dapat
dituliskan dalam bentuk,
Perhatikan bentuk (25), jika kedua ruas pada pertidaksamaan pertama
dikurangi dengan a11 kemudian kedua ruas pada pertidaksamaan kedua
dikurangi dengan a22, demikian seterusnya hingga pertidaksamaan ke-n,
maka diperoleh n pertidaksamaan yang baru sebagai berikut,
Dengan memperhatikan bentuk (26) dan matriks M, diperoleh kenyataan
bahwa setiap kolom pada matriks M, elemen-elemennya memenuhi kondisi
syarat cukup matriks diagonal dominan apabila dituliskan dalam bentuk,
Dengan demikian pertidaksamaan pertama hingga pertidaksamaan ke-n dalam
(27) tak lain menyatakan bahwa elemen matriks M memenuhi kondisi syarat
cukup matriks diagonal dominan, yaitu:
Sehingga berdasarkan (28), maka matriks M adalah matriks diagonal dominan.
n
(28) ,...,3,2,1 ,�≠
=>ji
ijjj njmm
�≠
=>−ji
ijjj njaa (27) ,...,2,1 ,1
(26) ,...,3,2,1 ; 1 njaa jjji
ij =−<�≠
(25) ,...,3,2,1 ; 11
njan
iij =<�
==
���
��
�
≠−
=−
==
jia
jia
m
ij
ij
ij
,
,1
][M
Teorema 2 Jika A ∈ ℜnxn merupakan matriks diagonal dominan, maka A tak singular. Bukti : Andaikan matriks A matriks singular. Diketahui matriks A adalah matriks
diagonal dominan sehingga ada bilangan positif d1, d2, …, dn yang
berimplikasi bahwa,
Jika bilangan positif d1, d2, …, dn di atas dituliskan sebagai elemen diagonal
utama dari matriks diagonal D yang berukuran nxn, kemudian pilih matriks B
= DA, maka akan diperoleh matriks B mempunyai diagonal dominan. Karena
matriks B mempunyai diagonal dominan maka diperoleh kenyataan bahwa,
Karena matriks A singular maka matriks BT juga matriks singular, sehingga
ada x ≠ 0 sedemikian sehingga BT x = 0. Dari BT x = 0 diperoleh,
atau,
Dengan mengambil J sebagai gugus indeks sedemikian sehingga | xj| ≥ |xi|,
∀ i = 1,2,…,n, j ∈ J, maka diperoleh,
Dari (33) akan diperoleh,
(30) ,...,2,1 ,�≠
=>ji
ijjj njbb
(31) ,...,2,1 ,0�≠
==+ji
ijijjj njbxbx
(32) ,...,2,1 , njbxbxbx ijji
iji
ijijjj =≤= ��≠≠
(33) , J∈≤≤ ��≠≠
jbxbxbx ijji
jijji
ijjj
(34) , J∈≤�≠
jbb ijji
jj
(29) ,...,2,1 ,�≠
=>ji
ijijjj njadad
Dengan demikian terdapat kontradiksi antara (30) dengan (34), maka haruslah
matriks A tak singular. n
Dengan demikian matriks pengganda yang dituliskan dalam bentuk (11) selalu
dapat dijamin eksistensinya dengan kedua teorema di atas.
Dekomposisi Matriks Pengganda Pyatt dan Round Bagian ini akan memperlihatkan dekomposisi matriks pengganda Ma. Dengan
kata lain, akan ditunjukkan bahwa setiap matriks pengganda Ma akan selalu
dapat didekomposisi dalam bentuk dekomposisi yang dijabarkan oleh Pyatt dan
Round atau seperti yang dituliskan dalam persamaan (12).
Perhatikan matriks A dalam (10) seperti yang dituliskan dalam bab
sebelumnya, dapat dituliskan kembali sebagai bentuk :
atau,
A = A1 + A2 (36) Penulisan bentuk matriks A dalam (10) menjadi bentuk (35) dimaksudkan
untuk dapat memisahkan elemen-elemen diagonal, yaitu matriks A22 dan A33
dari elemen-elemen lainnya yaitu A13, A21 dan A32.
Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa matriks pengganda dapat
didekomposisi dalam bentuk (12), perlu dituliskan beberapa definisi dan
teorema sebagai berikut :
1. Definisikan matriks M1 sebagai bentuk :
(35) 32
21
13
33
22
3332
2221
13
��
�
�
��
�
�+��
�
�
��
�
�=
��
�
�
��
�
�
0A000A
A00
A000A0000
AA00AA
A00
(37) )(
1
33
221
11
−
−
��
�
�
��
�
�
−−=−=
AI000AI000I
AIM
2. Definisikan matriks A* sebagai bentuk :
3. Berdasarkan (38), dapat didefinisikan matriks A*2 dan A*3 sebagai bentuk :
4. Definisikan matriks M2 dan M3 sebagai bentuk :
Teorema 3 Misalkan A = [aij] ∈ ℜnxn di mana
maka,
(40)
(39)
***
***
***
*
**
**
**
*
���
�
�
���
�
�
=
���
�
�
���
�
�
=
132132
321321
2132133
2132
1321
32132
AAA000AAA000AAA
A
00AAAA00
0AA0A
321
33 *32
211
22 *21
13 *13
*
*
*
*
)( )(
(38)
mana di
1
AAIA
AAIA
AA
0A000A
A00AMA
32
21
13
2
−
−
−=
−=
=
���
�
�
���
�
�
==
(42) )(
(41) )(
1*
**
3
2
dan−−=
++=
3
2
AIM
AAIM
besar) cukup yang Nuntuk (berlaku dengan
)()(
0
0
11
�
�
=
∞
=
−−
=
−→⇔−→
N
k
kN
kN
k
S
S
A
AIAIA
�=
∀<
∀<≤n
iij
ij
ja
jia
1
1
, 10
Bukti : Misalkan (I – A)-1 ada, maka akan dibuktikan: (�)
(⇐)
(penjelasan lengkap mengenai klaim di atas dapat dilihat dalam Taro Yamane,
1968 : Mathematics for Economists An Elementary Survey. Second Edition.
Prentice – Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, halaman: 497-498)
n Teorema 4
Misalkan A suatu matriks segi dan juga matriks partisi yang berbentuk blok
diagonal, yang dituliskan dalam bentuk:
(jelas) )(
kekenvergen juga bahwa berarti )( kekonvergen
10
1
0−
=
−∞
=
−
=− ��
AI
AAIAN
k
kN
k
k S
1
0
1
0
1
0N
1
N
1
N
1
N
1
N
NN
)( bahwa terbuktijadi
)(
)( limit
)( limit
)( limit
)( limit )()(
limit )(
)( limit . limit
−∞
=
−∞
=
−
=∞→
−
∞→
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∞→∞→
−→
−=⇔
−=⇔
−=⇔
−=⇔
−=−−⇔
=−⇔
=−
�
�
�
AIA
AIA
AIA
AI
AII
IAIAIAI
IAI
IAI
k
k
k
k
N
k
k
N
N
N
N
N
S
S
S
S
S
limit :
))(...()(
...
N
0
0AKlaim
AI
AIAAAIAI
AAAIA
1N
1N
N2
N2
=
−=
−++++=−
++++==
+
∞→
+
=�
N
N
k
kN
S
S
Jika A11 dan A22 tak singular, maka A tak singular dan invers dari A dituliskan
dalam bentuk :
Bukti : Diketahui bahwa A11 dan A22 tak singular, maka A11 ≠ 0 dan A22 ≠ 0.
Berdasarkan kenyataan di atas, maka A= A11A22≠ 0 yang berimplikasi
bahwa A tak singular. Karena A tak singular, maka A memiliki invers.
Selanjutnya, misalkan B adalah invers matriks dari A sedemikian sehingga AB
= BA = I atau,
Karena A11 dan A22 tak singular, maka berdasarkan (45) diperoleh kenyataan
sebagai berikut,
A11-1A11 B11 + A11
-1 0 B21 = A11-1I
⇔ B11 = A11-1 (46)
A11-1A11 B12 + A11
-1 0 B22 = A11-10
⇔ B12 = 0 (47)
A22-10 B11 + A22
-1A22 B21 = A22-10
⇔ B21 = 0 (48)
A22-10 B12 + A22
-1A22 B22 = A22-1I
⇔ B22 = A22-1 (49)
(44) 122
1111
��
���
�= −
−−
A00AA
(43) 22
11��
���
�= A00AA
(45) ���
���=��
���
���
���
�I00I
BBBB
A00A
2221
1211
22
11
Berdasarkan (46), (47), (48) dan (49), diperoleh bentuk,
Berdasarkan (50), terbukti bahwa A tak singular dan invers dari A dituliskan
dalam bentuk (44). n
Teorema 5 Jika matriks B = [bij] adalah matriks nxn sedemikian sehingga bij ≤ 0 untuk i ≠
j, maka kondisi-kondisi berikut setara :
(a) Ada suatu x ≥ 0 sedemikian sehingga Bx > 0
(b) Untuk sembarang c ≥ 0, ada suatu x ≥ 0 sedemikian sehingga Bx = c
(c) Matriks B tak singular dan B-1 ≥ 0
(Bukti lengkap Teorema 5 dapat dilihat dalam Takayama, 1985 : Mathematical
Economics. Second edition. Cambridge University Press. New York, hal.
383: Teorema 4.C.4) n
Teorema 6 Misalkan A ∈ ℜnxn adalah matriks partisi yang dituliskan dalam bentuk (35).
Jika matriks (I–A) tak singular, maka matriks Ma = (I–A)-1 dapat
didekomposisi menjadi bentuk Ma = M3 M2 M1.
Bukti : Misalkan matriks (I – A1)-1 dan matriks (I – A*3)-1 ada.
Akan diperlihatkan bahwa Ma = M3 M2 M1.
Dengan memperhatikan persaman (10) dan (35), maka persamaan (10) dapat
ditulis kembali sebagai bentuk :
(50) 122
111
��
���
�= −
−
A00AB
Jika kedua ruas pada persamaan (51) dikalikan dengan matriks A* dan
melakukan substitusi kembali A*y pada ruas kanan persamaan (51), maka akan
diperoleh bentuk,
Dengan cara yang sama, jika kedua ruas pada persamaan (51) dikalikan dengan
matriks A*2 dan melakukan substitusi kembali A*2y pada ruas kanan persamaan
(52), maka akan diperoleh bentuk,
Selanjutnya, berdasarkan (11) diketahui bahwa,
Dengan demikian berdasarkan kenyataan di atas, bentuk y = (I – A)-1 x = Ma x
dapat dituliskan juga dalam bentuk persamaan (53), sehingga diperoleh
kesimpulan bahwa,
y = Ma x = M3 M2 M1 x (55)
dengan
(52) )( ** xMAIyAy 12 ++=
(53) ))(()(
))(( )(
)(
11
2**13*
11
2**3*
12**3*
xAIAAIAIy
xAIAAIyAI
xMAAIyAy
−−
−
−++−=⇔
−++=−⇔
+++=
(51)
)()(
)(
*
11
xMyAy
xMyAMy
xAIyAAIyxyAyAI
xyAyAy
xAyy
1
121
121
21
21
+=⇔
+=⇔
−+−=⇔+=−⇔
++=⇔
+=
−−
(54) a
)(
1
xMyxAIy
xAyy
=⇔−=⇔
+=−
M3 = (I – A*3)-1
M2 = (I + A* + A*2)
M1 = (I – A1)-1
Jadi terbukti bahwa matriks Ma dapat didekomposisi, yang dituliskan
sebagai bentuk Ma = M3 M2 M1. n
Untuk melengkapi bukti teorema di atas, maka harus ditunjukkan bahwa
matriks (I – A1)-1 dan (I – A*3)-1 ada. Di bawah ini akan ditunjukkan bahwa
kedua matriks tersebut ada.
� Akan ditunjukkan matriks (I – A1)-1 ada.
Perhatikan semua elemen pada diagonal utama matriks (I – A1), di mana
matriks I, (I – A22) dan (I – A33) merupakan matriks segi dengan semua
elemen matriks A22 dan A33 memenuhi kondisi (24). Berdasarkan Teorema 1 (I
– A22) dan (I – A33) adalah matriks diagonal dominan. Selanjutnya,
berdasarkan Teorema 2 matriks diagonal dominan adalah matriks tak singular,
(I – A22)-1 ≥ 0 dan (I – A33)
-1 ≥ 0 (berdasarkan Teorema 3). Kemudian
berdasarkan Teorema 4, matriks (I – A1) tak singular dan inversnya dapat
dituliskan dalam bentuk ,
Bentuk (56) menyatakan bahwa matriks (I – A1)-1 ada. n
� Akan ditunjukkan matriks (I – A*3)-1 ada.
Perhatikan elemen-elemen matriks (I – A*3) yang telah didefinisikan dalam (42), dapat dituliskan dalam bentuk,
( )( )
(56) )(1
33
122
1
���
�
�
���
�
�
−−=−
−
−−
AI000AI000I
AI 1
(57) *13
*21
*32
*32
*13
*21
*21
*32
*13
)( *3
����
�
�
����
�
�
−
−
−
=−=
AAAI00
0AAAI0
00AAAI
AIM 3
Selanjutnya, definisikan matriks P = A*13A*
32A*21, matriks Q = A*
21A*13A*
32
dan matriks R = A*32A*
21A*13. Berdasarkan penjelasan sebelumnya, diketahui
A*13, A*
21 dan A*32 merupakan matriks semi positif, maka matriks P, Q dan R
juga merupakan matriks semi positif. Oleh karena itu matriks (I – P), (I – Q)
dan (I – R) merupakan matriks nxn dengan semua elemen yang tidak terletak
pada diagonal utama bernilai tak positif, sehingga matriks (I – P), (I – Q) dan
(I – R) tak singular, (I – P)-1 ≥ 0, (I – Q)-1 ≥ 0 dan (I – R)-1 ≥ 0 (berdasarkan
Teorema 5). Kemudian berdasarkan Teorema 4, maka matriks (I – A*3) tak
singular dan inversnya dapat dituliskan dalam bentuk,
Bentuk (58) menyatakan bahwa matriks (I – A*3)-1 ada. n
Dengan demikian, Teorema 6 telah membuktikan bahwa matriks
pengganda Ma dapat dinyatakan sebagai bentuk Ma = M3 M2 M1.
4. Penutup
Tulisan ini telah membuktikan bahwa untuk setiap SNSE selalu dapat
diturunkan (1) sebuah matriks pengganda dan (2) dekomposisi matriks
pengganda Pyatt dan Round. Dengan kata lain, tulisan ini telah membuktikan
eksistensi matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan
Round dari suatu SNSE.
Dengan terbuktinya eksistensi matriks pengganda dan dekomposisinya,
maka untuk wilayah perekonomian mana saja akan selalu dapat dilakukan
analisa matriks pengganda dan dekomposisi matriks pengganda Pyatt dan
Round untuk melihat dampak sebuah kebijakan ekonomi terhadap aktivitas
perekonomian di wilayah tersebut.
(58) )(
)()(
)(1
1
1
1*
���
�
�
���
�
�
−−
−=−
−
−
−
−
RI000QI000PI
AI 3
Kepustakaan Anton, Howard. 1993. Aljabar Linear Elementer. Terjemahan Pantur Silaban
dan I Nyoman Susila. Edisi kelima. Erlangga. Jakarta. Ayres, Jr., F. 1962. Theory and Problems of Matrices. McGraw-Hill, Inc.
New York. Ben-Israel, A. & Thomas N. E. Greville. 1974. Generalized Inverses :
Theory and Applications. John Wiley and Sons. New York. BPS. 1996. Sistem Neraca Sosial Ekonomi Indonesia Tahun 1993. BPS.
Jakarta. Golub, G. H. and C. Van Loan. 1989. Matrix Computations. Second
edition. The Johns Hopkins University Press. Baltimore and London. Householder, A. S. 1964. The Theory of Matrices in Numerical Analysis.
Blaisdell. New York. Lancaster, Peter & M. Tismenetsky. 1985. The Theory of Matrices with
Applications. Second edition. Academic Press. San Diego. California. Magnus, J. R. and H. Neudecker. 1988. Matrix Differential Calculus with
Applications in Statistics and Econometrics. John Wiley and Sons Ltd. New York.
Pyatt, G. and Round, J. 1979. Accounting and Fixed Price Multipliers in a
Social Accounting Matrix Framework. Economic Journal 89:850–873. Searle, S. R. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and
Sons. New York. Sutomo, Slamet. 1992. Matriks Pengganda (Multiplier Matrix) Dalam
Kerangka Sistem Neraca Sosial Ekonomi. Ekonomi dan Keuangan Indonesia. Nomor 1. Volume 39:19–50.
Takayama, Akira. 1985. Mathematical Economics. Second edition.
Cambridge University Press. New York. Yamane, Taro. 1968. Mathematics for Economists : An Elementary Survey.
Second edition. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.