ejercicios resueltos de microeconomía avanzada · , ejercicios del 25 al 28, entre los que se...

Ejercicios resueltos de microeconomía avanzada


Vicente Raúl Pérez Sánchez


© Vicente Raúl Pérez Sánchez

ISBN: 978–84–8454–907–9Depósito legal: A–867–2009

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante)www.ecu.fm

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

ÍNDICE

Capítulo I. La teoría del consumidor ............................................................................... 5

Capítulo II. El equilibrio general en una economía de intercambio ................................ 67

Capítulo III. Teoría de la empresa .................................................................................... 93

Capítulo IV. Equilibrio sin producción ........................................................................... 151

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CAPÍTULO I. La Teoría del Consumidor

Este primer capítulo está destinado a tratar problemas relacionados con la teoría del consumidor. Recordemos que se trata de explicar como el consumidor, basándose en sus preferencias y en su renta limitada, toma decisiones que le conducen a la maximización de su bienestar.

Conlafinalidaddehacerlomássistemáticoposibleeltratamientodelaresolución de los problemas de este primer capítulo, se ha estimado oportuno agruparlos en cuatro bloques. Para ello se ha tenido en cuenta la técnica de resolución utilizada, con el objetivo de que el usuario del libro se enfrente, de manera repetitiva, a ejercicios cuya resolución es similar, permitiéndole esto familiarizarse con la misma. Así pues, encontraremos los siguientes:

Bloque 1, que comprende los ejercicios del 1 al 10, en los cuales se tratan problemas cuyas utilidades vienen representadas por funciones logarítmicas o polinómicas, las cuales al satisfacer monotonía y cuasiconcavidad permiten resolver el ejercicio aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando la no negatividad o la positividad, según los casos, de las variables.

Bloque 2, ejercicios del 11 al 15, en los que se trata la resolución de ejercicios cuya función de utilidad no cumple monotonía y se resolverán utilizando el método gráfico. En esta colección de problemas, es muyimportantelarepresentacióngráficadelconjuntodecurvasdeindiferenciaydel conjunto presupuestario, así como la interacción de ambos conjuntos, de cuyoanálisiseinterpretaciónseobtendrálasoluciónfinaldelproblema.

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V. Raúl Pérez Sánchez

Bloque 3, ejercicios del 16 al 24, en ellos se abordan funciones de utilidad típicas en economía, es decir funciones min y max. En estos casos se efectúa la resolución de los mismos comparando las utilidades que proporcionan las distintas situaciones, cosa que en la mayoría de ejercicios se puede hacer directamente, pero sin embargo, en otros la preparación previa será indispensableparaacometerlasoluciónfinaldelosmismos.

Bloque 4, ejercicios del 25 al 28, entre los que se pueden distinguir dentro de este bloque dos tipos de ejercicios. Un primer tipo en los cuales la función deutilidadeslinealycuyaresoluciónserealizautilizandoelmétodográfico,y otros en los que a pesar de que la función de utilidad puede o no ser lineal, tendrían la consideración de ejercicios atípicos o particulares. Su resolución es inmediata y directa si analizamos la posición del mapa de curvas de indiferencia y del conjunto presupuestario.

Por último, y antes de iniciar el capítulo, se ha de tener presente que en este libro se tratan ejercicios para cuya resolución es indispensable unos conocimientos teóricos que en ninguna parte del mismo el lector encontrará. Con lo cual y antes de abordar la lectura del presente, se considera indispensable la asimilación de la teoría del consumidor para poder comprender el tratamiento económico que se realiza en la resolución de los ejercicios que comprenden este libro.

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Ejercicio 1

Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= (x1)

2x2.

El problema al que se enfrenta el consumidor es:

Max U(x1, x2)= (x1)2x2

s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

(P)

Como la función de utilidad es monótona, la restricción presupuestaria se cumplirá en términos de igualdad, con lo cual el problema inicial (P) se puede transformar en el problema (P´):

Max U(x1, x2)= (x1)2x2

s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

(P´)

Como la función de utilidad es cuasicóncava, un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la no negatividad de las variables.

( ) ( )221122121 ,, xpxpRxxxxL −−+= λλ

02 1211

=−=∂∂ pxxxL λ (1)

0221

2

=−=∂∂ pxxL λ (2)

02211 =−−=∂∂ xpxpRLλ

(3)

Si dividimos (1) entre (2) tendremos

2

112

2

121

21

202

pxpx

pp

xxx

=⇒=−λλ (4)

}

}

8


Sustituyendo (4) en (3) tendremos: 02 2

11211 =

−−

pxppxpR =>

023

11 =− xpR ,yfinalmentellegamosaque1

1 32pRx = y sustituyendo este

valor en (4) obtenemos el valor de 2

2 3pRx =

Luego la solución será :

032

1

*1

≥=pRx

03 2

*2

≥=pRx

RECUADRO I

Una manera de probar la monotonía y cuasiconcavidad de la función de utilidad sería la siguiente:

*Para probar monotonía comprobaremos que:

01

>xU

δδ y 0

2

>xU

δδ

Nótese que en nuestro caso se cumple, ya que 02 211

>= xxxU

δδ

y 02

>xU

δδ 02

11

>= xxU

δδ

*Para probar cuasiconcavidad realizaremos la siguiente transformación: k=(x1)

2x2 despejamos x2 de esta expresión y

obtenemos la siguiente: 21

2 xkx = comprobaremos que se cumple que

0´´

1

2 >xx

δδ

Nótese que en nuestro caso se cumple, ya que 06´´

411

2 >=xk

xx

δδ

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Ejercicio 2

Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= ln[(x1)

3]+ 3ln(x2).

Antes de comenzar nótese que la función de utilidad la podemos reescribir, haciendo uso de las propiedades logarítmicas, de la siguiente manera U(x1, x2)= 3ln(x1)+ 3ln(x2). De este modo, el problema al que se enfrenta el consumidor es:

Max U(x1, x2)= 3ln(x1)+ 3ln(x2) s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 > 0 x2 > 0

(P) 1

Como la función de utilidad es monótona (véase recuadro I), la restricción presupuestaria se cumplirá en términos de igualdad, con lo cual el problema inicial (P) se puede transformar en el problema (P´):

Max U(x1, x2)= 3ln(x1)+ 3ln(x2) s.a. p1x1+p2x2 = R x1 > 0 x2 > 0

(P´)

Como la función de utilidad es cuasicóncava (véase recuadro I), un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la positividad de las variables.

}

}

1 Nótese que dada la forma que tiene la función de utilidad en esta ocasión, en la resolución del problema se ha de forzar la positividad de las variables.

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031

11

=−=∂∂ p

xxL λ (1)

032

22

=−=∂∂ p

xxL λ (2)

02211 =−−=∂∂ xpxpRLλ

(3)


2

112

2

1

2

1 03

3

pxpx

pp

x

x=⇒=−

λλ

(4)

Sustituyendo (4) en (3) tendremos: 02

11211 =

−−

pxppxpR =>

02 11 =− xpR => 1

1 2 pRx = y sustituyendo este valor en (4) obtenemos el

valor de 2

2 2 pRx =

Luego la solución será :

02 1

*1

>=pRx

02 2

*2

>=pRx

Ejercicio 3

Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente

función de utilidad )ln(x)ln(x)x,U(x 2121 += .

Antes de comenzar probemos la monotonía y cuasiconcavidad de la función de utilidad.

*Monotonía:

δU/δx1=1/(2x1[ln(x1)+ ln(x2)]1/2) >0yδU/δx2= 1/(2x1[ln(x1)+ ln(x2)]

1/2) >0, luego la función es monótona y la restricción presupuestaria se satisfará en términos de igualdad.

11


*Cuasiconcavidad:

k=[ln(x1)+ln(x2)]1/2, despejamos x2 y obtenemos δ´x2/

δx1´=(2/x12) >0, la función de utilidad es cuasicóncava.


Max U(x1, x2)= [ln(x1)+ ln(x2)]1/2

s.a. p1x1+p2x2 =R x1 > 0 x2 > 0

(P´)

Resolvemos el problema utilizando el método de Lagrange:


2

112

2

1

1

2 0pxpx

pp

xx

=⇒== (4)


11211 =

−−

pxppxpR => 02 11 =− xpR

=> 1

1 2 pRx = y sustituyendo este valor en (4) obtenemos el valor de

22 2 p

Rx =

}

12


Luego la solución será:

02 1

*1

>=pRx

02 2

*2

>=pRx

Ejercicio 4

Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= (x1)

1/3(x2)2/3.


Max U(x1, x2)= (x1)1/3(x2)

2/3

s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

(P)


Max U(x1, x2)= (x1)1/3(x2)

2/3

s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

(P´)


}

}

13



2

112

2

1

1

2 202 p

xpxpp

xx

=⇒== (4)


2

11211 =

−−

pxppxpR =>

03 11 =− xpR => 1

1 3pRx = y sustituyendo este valor en (4) obtenemos el

valor de 2

2 2 pRx =

Luego la solución será:

02 1

*1

≥=pRx

03 2

*2

≥=pRx

Ejercicio 5

Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)=ln(x1+1)+ln(2x2).


Max U(x1, x2)= ln(x1+1)+ln(2x2) s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 > 0

(P)}

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Max U(x1, x2)= ln(x1+1)+ln(2x2) s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 > 0

(P´)

Como la función de utilidad es cuasicóncava, un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la no negatividad de la variable x1 y la positividad de x2.

01

11

11

=−+

=∂∂ p

xxL λ (1)

012

22

=−=∂∂ p

xxL λ (2)

02211 =−−=∂∂ xpxpRLλ

(3)


( )2

112

2

1

1

2 101 p

xpxpp

xx +

=⇒==+

(4)

Sustituyendo (4) en (3) tendremos: ( ) 01

2

11211 =

+−−

pxppxpR =>

02 111 =−− pxpR => 1

11 2 p

pRx −= nótese que antes de sustituir este valor

en (4) tendremos que discutir los posibles valores que pueda tomar la variable, en función del numerador.

Si ( ) 01 <− pR tenemos que x1<0 y por lo tanto x1*=0, sustituyendo este

valor en (3), obtenemos que 02

*2 >=

pRx

}

15


Si ( ) 01 ≥− pR tenemos que 02 1

1*1

≥−

=p

pRx , sustituyendo este valor en

(4), obtenemos que 02 2

1*2 >

+=

ppRx

Luego la solución será: x*=

2

,0pR

si ( ) 01 <− pR ⇔ 1pR <

+−

2

1

1

1

2,

2 ppR

ppR

si ( ) 01 ≥− pR ⇔ 1pR ≥

Ejercicio 6

Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= x2+ln(x1+1).


Max U(x1, x2)= x2+ln(x1+1) s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

(P)


Max U(x1, x2)= x2+ln(x1+1) s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

(P´)

}

}

16



01

11

11

=−+

=∂∂ p

xxL λ (1)

01 22

=−=∂∂ pxL λ (2)

02211 =−−=∂∂ xpxpRLλ

(3)


1

121

2

1

1 11

pppx

pp

x−

=⇒=+

(4)

Nótese que antes de sustituir el valor de x1 dado por (4) en (3), tendremos que discutir los posibles valores que pueda tomar la variable en función del numerador.

Si ( ) 012 <− pp tenemos que x1<0 y por lo tanto x1*=0, sustituyendo este

valor en (3), obtenemos que 02

*2 ≥=

pRx

Si ( ) 012 ≥− pp tenemos que 01

12*1 ≥

−=

pppx , sustituyendo este valor en

(4), obtenemos que 2

122 p

ppRx +−= , que no sabemos el signo que puede tener,

así que tendremos que volver a discutir el signo en función del

numerador.Si • 0)( 12 <+− ppR tenemos que x2<0 y por lo tanto x2

*=0, sustituyendo

este valor en (3), obtenemos que 01

*1 ≥=

pRx

Si • 0)( 12 ≥+− ppR tenemos que 02

122 ≥

+−=

pppRx y que

01

12*1 ≥

−=

pppx

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