Ecuacin diferencial lineal definida porpartes

Ejercicios:

a) + 2 = ( ), (0) = 2,( ) = , 0 < 10, 1Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 33).Empezamos con ( ) = :

Pasos:

I. Forma estndar de la ED a resolver:( ) ( )dy P x y f x

dx

+ 2 = Solo sustituimos en valor de la funcin deentrada ( ).

II. Encontramos el factor integrante: ( ) , = El valor de P(x) en ( ) , es: ( ) = 2 .III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogneo asociado:

2 0dy xydx

= ==Sustituimos en = ( ) , donde:( ) = 2 1 encontrado en el primer paso, ydesarrollamos. Para esclarecer de donde salela frmula x dxc

Py Ce , siga el siguiente

enlace: Solucin del sistema homogneoasociado.

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIN DE ENTRADA y FUNCIN DE SALIDA o RESPUESTA DELSISTEMA, ac utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINMICOS.

IV. Encontramos una solucin particular a partir del sistema LINEAL no homogneo:+ 2 =

= 1 ( )_ _ _ _== 2 12 (2 ) 12_ _ _ _= 12= 12

Para resolverla utilizamos la frmula:

1 ( )P

P

x dxp x dx

e f x dxe

y , donde: ( ) = (obtenido en el punto ii.) y( ) = 2 . obtenido en el punto i. Para verde dnde salen estas siga el enlace siguiente:solucin del sistema no homogeneo.

Por tanto, la solucin general del sistema LINEAL no homogneo: + 2 = , donde sufuncin de entrada es igual a: ( ) = , es:

21 12xCy xe

Ahora encontraremos la solucin general para la funcin de entrada ( ) = 0En este caso podemos notar que nuestra ecuacin se convierte en el sistema homogneo asociadode nuestro caso previo, por lo que ya conocemos la solucin, es decir:Tenemos.+ 2 = 0Donde su solucin general es:

22 1 c xCy x y eY su factor integrante es igual al anterior: =Una vez obtenidas las dos soluciones generales, vamos a encontrar las soluciones particulares pararesolver el problema de valores iniciales que nos piden.Para este propsito, NECESITAMOS seleccionar primero la funcin de entrada que contiene losvalores iniciales, es decir, seleccionamos:

+ 2 =Ya que cuando la funcin de entrada es: ( ) = , los valores iniciales ( (0) = 2) se encuentrandentro de su dominio, como lo podemos ver en:( ) = , 0 < 1De modo que encontraremos la solucin particular o RESPUESTA DEL SISTEMA, para los valoresiniciales: (0) = 2.Solucin del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ecuacin diferencial lineal de 1erOrden dividida en partes.Primero evaluamos cuando ( ) =La solucin del problema del PVI se obtiene al encontrar una solucin especfica que cumpla conlas condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar elvalor de C, de la solucin general, sustituyendo en la solucin general, los valores de x e y,que vienen como condiciones iniciales y despejando C.Los valores iniciales, son:= ; =Por tanto:Si la solucin general del Sistema Lineal no Homogneo, cuando ( ) = , es:( ) = 2 + 12Entonces, sustituyendo los valores iniciales(0) = 2Tenemos:2 = ( ) + 12 2 = 1 + 12 2 12 = = 32

Sustituyendo este ltimo resultado en la solucin general, vemos que UNA solucin particular delsistema Lineal no Homogneo, es: ( ) = 32 + 12Ahora evaluamos cuando ( ) =Ahora, para conocer la solucin particular de la Funcin de Salida anterior, debemos tenerprecaucin, ya que el sistema Lineal cuya funcin de entrada es: ( ) = 0, no est definida paracuando: = 0, segn podemos ver en la definicin de la funcin de entrada, definida por partes:( ) = 0, 1Por lo que para evaluar esta funcin, haremos uso de la DEFINICIN de CONTINUIDAD, comosigue:Tal es el caso en esta ocasin pues podemos ver que cuando el sistema lineal tiene f(x) = 0, eldominio de su variable independiente es: x 1,( ) = , 0 < 10, 1Por lo que no podemos considerar sustituir = 0, en la solucin general obtenida:( ) = , 1Para esta situacin, recurriremos al concepto de CONTINUIDAD.TEOREMA. Continuidad: El lmite de una funcin cuando su variable independiente tiende a unnmero especfico, existe, si el lmite de la funcin, cuando tiende a ese nmero por la derecha esigual al lmite cuando la funcin tiende a ese nmero por la izquierda. Es decir, para este caso:lim ( ) = lim ( ) lim ( ), Donde: = ExisteCon este teorema encontraremos el valor de C, para hallar la Respuesta del Sistema cuando lafuncin de entrada es: f(x) = 0, suponiendo que el lmite existe. Entonces:El lmite por la izquierda:lim ( ) = lim + = ( ) + = + , cuando: 0 < 1Y el lmite por la derecha:lim ( ) = lim = ( ) = , cuando: 1Con la suposicin de que el lmite existe, igualamos los resultados anteriores:

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32e + 12 = eEsto implica:= + ,Por tanto:

( ) = = 32 + 2 = 3 2 + 2De donde, la solucin del Sistema Lineal, dividida en partes, con valores iniciales, es:

( ) = 32 + 12 ; 0 < 13 2 + 2 ; 1

Este resultado es vlido, aparentemente al haber empleado la definicin de Continuidad, sinembargo, habr que verificarlo y lo haremos posteriormente (siga el link), y veremos que no esvlido el resultado por la definicin de SOLUCIN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que lasolucin de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. Eneste caso no es as, puesto que para un mismo punto (punto = 1), tenemos dos funciones.Vemos las grficas para, aclarar cmo se vera la grfica definida en partes y cmo se observa lamisma en el punto de discontinuidad.

La Grfica en negro es la FUNCIN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, para elproblema de valores iniciales; la forma que adquiere esta grfica se puede entender si

sobreponemos sus componentes (las grficas en azul y anaranjado)

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En esta grfica podemos ver que en el punto = , la grfica aparece continua, sinembargo, la derivada de las funciones en ese punto, al sustituirlas en la ED original, no lareducen a la identidad, es decir:Derivando el lado derecho de la funcin de salida y el lado izquierdo.( ) = 32 2 + 12 ( ) = (2 ) + 0 3 y( ) = 3 2 + 1 22 ( ) = (2 ) + 12 (2 ) 3 +

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E igualando los resultados, tenemos:3 2 = 3 2 + 2,0 = 2Por lo que al no obtener una identidad, la ecuacin no es diferenciable en = 1.El cdigo en MATHEMATICA:Utilizaremos el comando DSolve y la funcin Piecewise, la cual tiene la siguiente sintaxis:

Un ejemplo de su utilizacin es:Si tenemos la EDO:

2, 0( )

, 0x xf xx x

Entonces en MATHEMATICA:

2Piecewise[ , 0 , , 0 ]x x x x (0.1)Ejercicio:

II. La segunda funcin es ' 2 0y xy con la restriccin 1x . Cmo sta funcin es lamisma que el sistema homognea de la primera funcin, solo aplicamos el criterio de continuidadde funciones para encontrar el valor de C, como sigue:

Piecewise[{{valor1, condicin1},{valor2, condicion2},}]

Resolver la siguiente EDO lineal con valores iniciales:

2 ( ), (0) 2dy xy f x ydx

Y con las siguientes funciones de entrada:

,0 1( )0, 1x xf x

x

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Ahora utilizamos el cdigo directo de MATHEMATICA.Se puede utilizar este cdigo para corroborar los resultados de la estragtegia 1.

DSolve[ y'[x]+ 2* x* y[x] == Piecewise[ x,0 x 1 , 0, x 1 ], y[0] == 2 , y[x], x] Resultando:

2 2-x x

1 (-1+ e), x > 121{{y[x] e C[1]+ (-1+ e ),0 x 1 }}20,TRUE

Lo que corrobora nuestros resultados.

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