ejercicios relacion entre variables con modellus
DESCRIPTION
Análisis de datos con ModellusTRANSCRIPT
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
1
Siendo sistemáticos, en la realización de los experimentos los datos obtenidos deben estar
lo más ordenados, clara y explícitamente posibles; además, deberán verse allí tanto lasmagnitudes observadas como las incertidumbres y sus unidades. Por ello se sigue un orden
en el registro de los datos, de preferencia en orden creciente; los datos así tabulados
facilitarán la elaboración posterior de gráficas.
Propósito de la experimentación
Todo experimento parte de una cierta idea previa sobre lo que se espera encontrar de
otro modo no se sabría que buscar en los resultados de nuestro experimento; existe por
tanto una fuerte dependencia entre la teoría y el experimento por lo que no son los datos
al ajustarse a un modelo formal característico quien dicta las leyes y teorías sino más
bien la fuerte relación entre las teorías relacionadas con los datos obtenidos y la
plausibilidad de ellos como descripción de situaciones reales.
Uno de los propósitos perseguidos al realizar un experimento es trata de encontrar la
relación entre las variables y parámetros que se han seleccionado del fenómeno. Una
forma de buscar el tipo de relación que podría existir entre dos variables, es la de
marcar en un sistema de ejes coordenados, los valores asignados a la variable
independiente en el eje de las abscisas (eje de las x ), y los valores obtenidos para la
variable dependiente, en el eje de las ordenadas (eje de las y ), obteniendo así una curva
que podría caracterizar la relación buscada.
Toda curva obtenida a partir de los datos experimentales es una relación empírica,
aunque en algunos casos se denomina así a los resultados experimentales que, sin el
apoyo de un modelo teórico, se originan cuando se encuentra que los cambios en una
variable producen efectos diferentes en otra siendo necesario investigar la relación
funcional existente. De este modo, las relaciones empíricas representan el primer paso en
el descubrimiento de una ley.
Universidad Nacional Autónoma de México
Colegio de Ciencias y Humanidades
CCH-Oriente
Laboratorio Asistido por Computadora
Analisis gráficode datos
experimentalescon Modellus
Introducción
La comprensión de las leyes de la naturaleza por lo general se logra
mediante la experimentación donde se busca reproducir de manera
controlada el fenómeno de interés de tal forma que a través de la
observación y el análisis sistemático de los datos obtenidos se puedan comprobar las
conjeturas teóricas o hipótesis planteadas.
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
2
Representación y análisis de los resultados experimentales
La presentación y análisis de estos resultados experimentales es una parte fundamental de
todo experimento: los datos obtenidos se presentan para su visualización generalmente en
una gráfica quedando de esta forma, concentrados los resultados numéricos
correspondientes a las mediciones efectuadas para su apreciación, caracterización y
análisis. En la mayoría de los casos una gráfica es más útil que una tabla de valores, porqueademás, de su análisis, se puede obtener información adicional por extrapolación ,
interpolación , cálculo de pendientes , entre otros; se trata de que la información que se
quiere representar, quede expuesta de una manera lo suficientemente clara y explícita
como para que la representación gráfica “hable por sí sola ”, como se muestra en la figura 1.
Figura 1 Tabulación de valores y su correspondiente gráfica.
Una gráfica debe servir para un posterior tratamiento de los datos, que lleve a inferir las
leyes subyacentes en ellos y profundizar así en las posibles implicaciones y
generalizaciones de los resultados obtenidos en los experimentos. (Gil y Rodríguez, 2001).
Para tal propósito, es necesario comenzar por la identificación de las variables
características cuyo cambio podría ser observado cualitativa y cuantitativamente.El conocimiento de las variables y la forma en que dependen unas de otras, esto es la
relación que existe entre ellas, permite obtener información del proceso para posteriormente
elaborar un modelo de él.
Una gráfica debe construirse sobre la base de una elección adecuada tanto de las variables
como de las escalas de los ejes; de una manera muy general, cuando se estudia la
fenomenología de un sistema cualquiera, se trata de obtener las variaciones o respuestas
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
3
del sistema ante ciertas perturbaciones que podemos aplicarle de manera controlada. La
figura 2 representa esquemáticamente un sistema bajo estudio.
Figura 2 Representación de un sistema al que se estudia las respuestas i y , cuando se varía el conjunto de variables i
x .
Una variable es una cantidad a la cual puede asignársele, durante un proceso, un número
ilimitado de valores. Por otro lado, cuando una cantidad tiene un valor fijo, durante un
proceso, se llama constante. Se distinguen dos tipos de constantes: las absolutas y las
arbitrarias; las primeras tienen el mismo valor en todos los procesos, por ejemplo, π , e, 3, ...
en tanto que las segundas pueden tener un valor diferente en cada proceso particular. En la
física se acostumbra llamar parámetros a estas últimas.
Llamamos x i a las “variables de entrada o independientes”, es decir aquellas que podemos
controlar y variar. Ante los cambios de x i , el sistema exhibe sus características o
comportamientos a través de los cambios que sufren las variables y i , que pueden llamarse
las “variables de salida o dependientes”.
Al estudiar un sistema, es deseable, en la medida de lo posible, aislar las variables en
estudio. Para ello se diseña el experimento de modo tal que solo la variable independientevaríe por vez, manteniendo los restantes parámetros constantes y observando el resultado
en la variable dependiente; lo siguiente es determinar los límites dentro de los cuales se
modificará la variable independiente, así como determinar cuántos valores o qué valores
asignarle, esto es planificar el método a seguir en el estudio de tal fenómeno. De este modo
se puede observar la respuesta de una de las variables de salida ante las variaciones de
solamente una de las variables de entrada.
En resumen, para iniciar un experimento es necesario analizar con detenimiento y
determinar, según sea el objetivo perseguido los siguientes puntos:
1. Las variables a controlar.
2. El intervalo dentro del cual van a variarse dichas variables.
3. El método y los instrumentos para medirlas.
4. El número de puntos experimentales a medir.
5. El número de repeticiones de la medición para cada punto.
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
4
Localización de los valores experimentales en un sistema de coordenadas
rectangulares
Un sistema de coordenadas rectangulares; consta de un par de líneas rectas mutuamente
perpendiculares; a la horizontal se le llama eje x o eje de las abscisas y a la vertical, eje y o
de las ordenadas; al punto donde cruzan ambas se le da el nombre de origen, y a las cuatro
regiones en las cuales los ejes dividen al plano, se les llama: primero, segundo, tercero ycuarto cuadrante respectivamente como se observa en la figura 3.
Figura 3. El sistema coordenado rectangular divide al plano en cuatro cuadrantes.
La localización de puntos sobre los ejes se hace fácilmente al subdividir estos en segmentos
iguales, numerándolos progresivamente desde el origen, y alejándose de él. La dirección
positiva del eje x es hacia la derecha, y la dirección positiva del eje y , hacia arriba. Los
segmentos del eje x no necesariamente deben ser iguales a los del eje y ; por otro lado, elorigen tampoco es siempre el cero, ni las subdivisiones de magnitud unitaria. Figura 4a y 4b
Figura 4ª. Los segmentos en que se subdivide el
eje X no necesariamente deben ser iguales a los
del eje Y.
Figura 4b. Los ejes coordenados no necesariamente
deben iniciar en cero.
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
5
Debido a los sistemas de coordenadas, es posible localizar puntos en el plano, marcando
dos valores obtenidos experimentalmente. En la figura 5 se muestra un sistema coordenado
rectangular, en el cual se identifican los puntos P(3, 2), Q(-1, 4) y H(2, -2). En general,
cualquier punto S , se representa mediante la notación S(x, y) siendo x el valor de la abscisa
e y el de la ordenada; la pareja (x, y) recibe el nombre de coordenadas del punto S . Así pues,
las coordenadas de Q son -1 y 4; el primer número corresponde a la abscisa y el segundo a
la ordenada.
Figura 5. Sistema coordenado rectangular, en el cual se
identifican los puntos P(3, 2), Q(-1, 4) y H(2, -2).
Ejercicio no. 1
Trazar, en un sistema coordenado rectangular, los puntos: A(-1, -1), B(-4, 5), C(2, -5) y D(4, 3).
Indicar en que cuadrante se encuentra cada uno
de los puntos.
A(-1, -1), Cuadrante.........................................
B(-4, 5), Cuadrante..........................................
C(2, -5), Cuadrante..........................................
D(4, 3), Cuadrante............................................
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
6
La utilidad de los sistemas coordenados rectangulares no sólo reside en que permite la
localización de puntos en el plano, sino también en que ayuda al trazado de graficas.
Una gráfica es una línea (recta o curva), constituida por puntos ( x, y ) que satisfacen una
ecuación de tipo y = f(x) .
Esto significa que la línea es el lugar geométrico de los puntos que cumplen con la relación
establecida entre las variables.
Suponiendo la función y = 3x 2 -5 , en ella la variable independiente es x , y como tal pueden
dársele valores arbitrarios, pero y es la variable dependiente cuyos valores resultan de
sustituir los de x en la función; entonces: si x = 0, y = -5; si x = l, y = -2 y así sucesivamente.
Con las parejas de valores obtenidos, se forma una tabulación, en donde se presentan los
valores de cada variable.
Tabla 1 Tabulación y representación gráfica de la función y = 3x-5 sin ser iguales las escalas en ambos ejes.
Esta no es la única tabulación posible, ya que x puede tomar valores negativos,
fraccionarios, muy grandes, etc.; pero siempre dará lugar a un valor para y a través de la
función. Como se ve, la tabulación consiste en parejas ordenadas de valores, que
representar puntos en el plano y por lo tanto pueden trazarse en un sistema coordenado
rectangular.
Interpolación y extrapolación
Al hecho de prolongar en una pequeña cantidad una línea recta o curva por cualesquiera desus extremos se le llama extrapolación y es una técnica que permite obtener coordenadas,
en forma aproximada, propias de la gráfica, que no se tenían inicialmente.
En cuanto a la magnitud de dicha prolongación al decirse que sea pequeña significa que no
vaya más allá de una distancia que comprometa la regularidad o simetría de la curva; la
decisión de llevar, hasta donde se juzgue prudente, una extrapolación; sólo depende de la
habilidad adquirida para apreciar el tipo de curva que se está manejando y el intervalo en
que refleja un comportamiento familiar a través de curvas, representativas de funciones
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
7
algebraicas elementales (parábolas, hipérboles, etc.) o trigonométricas.
Existe también la técnica de interpolación, consistente en obtener una de las coordenadas,
por ejemplo x, fijando la otra, es decir y a través de la correspondencia que se establece
entre ambas en la gráfica en cuestión.
Ejercicio no. 2
Trazar la gráfica cuya tabulación aparece a continuación:
Extrapolar parax = 0 ¿cuánto valey ? ………………………………………………………………….……………….
Por interpolación, ¿Cuál es la ordenada del punto cuyaabscisa corresponde a 10.5? ……………………………
Proporcionalidad entre variables
Muchas de las leyes de la física se expresan mediante funciones del siguiente tipo:n
y Ax B= + , siendo “ A” y “ n ” constantes reales positivas o negativas; esta expresión
significa que “y ” y “ x n ” son proporcionales.
En el caso particular en que n = 1 y B = 0 , la proporcionalidad entre ambas variables es
directa .
Siempre que la n sea negativa, la proporcionalidad será inversa.
A la constante “ A” se le conoce con el nombre de “constante de proporcionalidad”.
A continuación se muestran ejemplos de leyes físicas de distinta proporcionalidad pero que
pueden expresarse como funciones del tipo n y Ax B= + , cuando B = 0 :
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
8
F ma= Proporcionalidad directa, n = 1; constante de proporcionalidad A = m
2
2
gt h =
Proporcionalidad directa al cuadrado n = 2; constante de
proporcionalidad A =
1
2 g
pV k = Proporcionalidad inversa, n = -1; constante de proporcionalidad A = k
2
GMmF
r =
Proporcionalidad inversa al cuadrado, n = -2; constante de
proporcionalidad A = GMm
Tabla 2 Leyes físicas con distintas proporcionalidades del tipo n y Ax B= + para B = 0
Ejercicio no. 3
Escribe en Modellus las ecuaciones de la tabla 2 y obtén la gráfica de cada una de ellas
F ma=
Dibuja su gráfica
2
2
gt h =
Dibuja su gráfica
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
9
pV k =
Dibuja su gráfica
2
GMmF
r =
Dibuja su gráfica
Ejercicio no. 4
Indicar en cada una de las siguientes expresiones, i) cuáles son las variables, ii) cuál es la dependiente, iii)
el tipo de proporcionalidad, iv) el valor de n y v) el valor de la constante de proporcionalidad.
Expresión Variables
Variable
independiente
Tipo de
proporcionalidad Valor de n
Constante de
proporciona-lidad
d vt =
0
1
4F
π
=
∈
5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-relacion-entre-variables-con-modellus
10
0
2
I i
r =
2l
T g
π =
Gráficas de la función n y Ax B= +
De los casos de leyes físicas, o relaciones entre variables, correspondientes a problemas
comunes en la física, se aprecia que, un gran número de ellas las más importantes en un
curso a nivel medio se expresan por funciones del tipo n y Ax B= + ; pero siendo un poco
más riguroso en la observación de dichos casos, se destaca que los valores más frecuentes
de n son: 1, -1, 2, -2 y1
2. Sin embargo, n puede tomar otros valores muy diferentes a éstos.
De manera particular se tienen los siguientes cundo B toma el valor de cero:
Ejercicio no. 5
Obtén en Modellus las gráficas características para cada uno de los siguientes cinco casos:
1. Para n = 1, y Ax= , se trata de una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es
“A”.
2. Para n = 2, 2 y Ax= , se trata de una parábola que pasa por el origen, pero no tiene
pendiente única y el valor de “A” deberá interpretarse de otra manera.
3. Para1
2n = ,
1
2 y Ax−
= , se trata de una parábola que pasa por el origen; pero cuya
concavidad es contraria a la del caso anterior.
Hasta ahora se han visto las gráficas relativas a valores positivos de n ; una característica de
ellas es que siempre pasan por el origen. Enseguida se presentan las gráficas para n < 0.
4. Para n = -1, 1 y Ax
−
= , es decir A
y x
= , se trata de una hipérbola equilátera.
5. Para n= -2, 2 y Ax
−
= , se trata de una hipérbola. Profesor Ramón Pérez