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IN172 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1

Material de TrabajoCiclo 2016 – 0

Profesores:

Fernando Bresciani [email protected] Eloy Marcelo [email protected]

Enero 2016

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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2IN172 - Investigación de Operaciones 1

ÍNDICE

Problemas para resolver en clase capítulo 1 .......................................................................................................................... 3

Problemas para resolver en clase capítulo 2 ....................................................................................................................... 14





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PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE CAPÍTULO 1

Modelos de producción de un solo periodo

1.

Una empresa produce dos tipos de productos, uno para el mercado nacional y el otro para exportación. Sequiere determinar la mezcla de producción óptima para el siguiente mes. El producto que se elabora parael mercado nacional usa en su producción 7 unidades de la materia prima 1, 18 unidades de la materiaprima 2 y 11 horas de mano de obra. El producto que se exporta utiliza en su elaboración 8 unidades de lamateria prima 1, 11 unidades de la materia prima 2 y 23 horas de mano de obra.

Por política de la compañía la producción de ambos productos deben utilizar por lo menos 56 unidades dela materia prima 1 y hasta 198 unidades de la materia prima 2.

Por motivos de la situación actual el número de horas con las que se cuenta mensualmente ha ido variandoen los últimos meses y para este mes se prevé que se podrá contar con un máximo de 253 horas de manode obra en la planta de producción.

Además se presenta la siguiente restricción: cuatro veces la producción del producto para exportación nodebe ser mayor que nueve veces la producción del producto para el mercado nacional más 36 unidades.

Tomando en cuenta el precio de venta y los costos de todo aquello utilizado en la producción de ambosproductos se ha llegado a establecer que la utilidad por unidad del producto en el mercado nacional es de$ 200 y que la utilidad de un producto que se exporta es de $ 500. Elabore un modelo de programaciónlineal para este caso.

2. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos A, B, C y D. Cada producto debe ser procesado demanera secuencial por el taller 1, luego por el taller 2 y finalmente por el taller 3. El tiempo que requiereuna unidad de producto en cada uno de esos talleres, el costo por hora, la cantidad de horas mensualesdisponibles que tendrá cada taller, la producción mínima que asegura la rentabilidad de negocio y elprecio de venta de cada tipo de producto se muestra en la siguiente tabla. Formule un modelo deprogramación lineal que permita maximizar la utilidad total. La demanda no representa un factor limitantepara la venta. No es obligatorio que la producción sea un número entero.

TallerTiempo requerido(minutos / unidad)

Costo deproducción

($/hora)

HorasmensualesdisponiblesA B C D

1 32 151 72 118 89 1602 39 147 61 126 81 1603 46 155 57 121 84 160

Producción mínimamensual (unidades)

40 25 20 20

Precio de venta($/unidad)

200 190 170 180

3.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos A, B, C y D. Cada producto puede ser llevado a cabo encualquiera de los tres talleres que dispone. El tiempo necesario para completar cada producto en cada unode esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este

mes aparecen en la siguiente tabla. Formule un modelo de programación lineal que permita cumplir con lademanda mensual al mínimo costo posible. No es obligatorio que la producción en cada taller sea unnúmero entero.

TallerTiempo requerido(minutos / unidad)

Costo deproducción

($/hora)

HorasmensualesdisponiblesA B C D

1 32 151 72 118 89 1602 39 147 61 126 81 1603 46 155 57 121 84 160

Demanda mensual(unidades)

80 50 40 40

4.

La empresa "Triturados y Derivados S.A." (TRIDESA), desea producir tres diferentes tipos de block deconcreto I, II, III. En la tabla mostrada a continuación, se proporcionan las estimaciones que TRIDESA haelaborado del requerimiento necesario de cada elemento, para fabricar cada uno de los tipos de block, sudisponibilidad, así como de la utilidad unitaria que obtiene en la venta de los mismos.


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Requerimiento unitarioBlock(tipo)

Cemento(kg)

Arena(kg)

Grava(kg)

Agua(litros)

Horasmáquina

Utilidad($/unidad)

IIIIII

1.501.200.80

0.800.601.00

0.400.600.80

0.300.400.50

0.0040.0020.010

689

Disponibilidad 12000 kg 8000 kg 600 kg 400 litros 300 horas

Además, se sabe que se debe producir como mínimo 100 bloques de cada tipo, con el fin de asegurar larentabilidad del negocio. Formule un modelo de programación lineal para determinar el número de blocks afabricar diariamente que maximice la utilidad. Todo lo que se produzca se venderá.

5.

El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan nacional deenergía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de cinco fuentes: carbón, gasnatural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. Los datos sobre los recursos de energía,las capacidades de generación medidas en megawatt-horas (MW-hr), y los costos unitarios de generación sedan en la siguiente tabla:

Fuente deenergía

Capacidad total(MW-hr)

Costo de generación($/MW-hr)

Carbón 45000 6.0Gas natural 15000 5.5

Nuclear 45000 4.5Hidroeléctrica 24000 5.0

Petróleo 48000 7.0

Lilliput necesita 50,000 MW-hr de energía de uso doméstico, y el país tiene un compromiso para producir10,000 MW-hr para exportación. Más aún, a fin de conservar los recursos de energía y proteger elambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones:

La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía totalgenerada por Lilliput.

Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón. La cantidad de energía generada a partir del gas natural debe ser al menos 30% de la generada a

partir del petróleo. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la siguiente tabla:

Contaminante ( g / MW-hr)

Fuente de energíaDióxido de

azufreMonóxido de

carbonoPartículas de

polvoDesechossólidos

Carbón 1.5 1.2 0.7 0.4Gas Natural 0.2 0.5 --- -----Nuclear ----- 0.1 0.2 0.7Hidroeléctrica ----- ---- ----- ----Petróleo 0.4 0.8 0.5 0.1Kg. máximos permitidos 75 60 30 25

Formule un programa lineal para determinar un plan de energía a costo mínimo.

6. Rylon Corporation fábrica los perfumes Brute y Chanelle. Se pude comprar la materia prima que se necesitapara producir cada tipo de perfume a 3 dólares/libra. Para procesar 1 lb. de materia prima, se necesita 1hora de trabajo en el laboratorio. Cada libra de materia prima procesada produce 7 onzas de perfume entotal distribuidos de la siguiente forma: 3 oz. de Perfume Brute Regular, y 4 oz. de perfume ChanelleRegular.

Se puede vender Brute Regular a 7 dólares/oz., y Chanelle Regular a 6 dólares /oz. Rylon tiene también laopción de seguir procesando Brute Regular y Chanelle Regular para producir Brute Luxury, vendido a 18dólares/oz., y Chanelle Luxury, vendido a 14 dólares/oz.

Cada onza de Brute Regular necesita 3 horas adicionales de laboratorio y causa 4 dólares extra de costosde producción, para producir 1 oz. de Brute Luxury. Cada onza de Chanelle Regular necesita 2 horas

adicionales de laboratorio y causa 4 dólares extra de costos de producción para producir 1 oz. deChanelle Luxury. Cada año, Rylon dispone de 6000 horas de laboratorio y puede comprar hasta 4000 lb.de materia prima. Formule un modelo de Programación Lineal que se pueda utilizar para determinar cómo


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puede maximizar Rylon sus ganancias. Supóngase que los costos de laboratorio son fijos y que todo lo quese produzca se venderá.

7. Birdeyes Real Estate Co. Posee 800 acres de tierra de primera clase, pero no urbanizada, en un lagoescénico en la parte central de las montañas. En el pasado, se aplicaba poca o ninguna regulación a nuevasurbanizaciones en torno al lago. Las orillas del lago ahora están alineadas con residencias vacacionalesagrupadas. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desagüe por alcantarillado, se utilizan muchos

tanques sépticos, la mayoría instalados en forma inadecuada. Con el paso de los años, la filtración de lostanques sépticos ha provocado un severo problema de contaminación del agua.

Para controlar la degradación más profunda en la calidad del agua, los funcionarios del municipiopresentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicados a todas las urbanizaciones a futuro:

Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares constituyen cuandomenos el 50% del total.

Para limitar el número de tanques sépticos, se requieren tamaños de lote mínimos de 2, 3 y 4 acrespara casas de una, dos y tres familias.

Se deben establecer áreas de recreo de 1 acre cada una a razón de un área por cada 200 familias.

Para preservar la ecología del lago, no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el

jardín.El presidente de la compañía estudia la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía en el lago.La nueva urbanización incluirá casas para una, dos y tres familias. El estima que el 15% del terreno seutilizará en la apertura de calles y vías de acceso para servicios. También calcula que los siguientes seránsus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales:

Unidadeshabitacionales

Sencilla Doble Triple

Ingreso neto porunidad ($)

10000 15000 20000

El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyan.Sin embargo, la comunidad estipula que se deberá colectar un mínimo de $ 100000 para que el proyectosea económicamente factible. Además, la expansión del sistema acuífero más allá de su capacidad actual

está limitada a 200000 galones por día durante periodos de consumo máximo, pico. Los datos que siguenresumen el costo de la conexión del servicio de agua y también del consumo de agua suponiendo unafamilia de tamaño medio:

Unidad habitacional Sencilla Doble Triple RecreoCosto del servicio de agua

por unidad ($)1000 1200 1400 800

Consumo de agua porunidad (gal./día)

400 600 840 450

Formule el modelo de programación lineal correspondiente.

Modelos de Horarios de trabajo

8.

Cierto restaurante atiende al público los siete días de la semana. La administración ha contratadocamareros para que trabajen seis horas diarias. En el contrato firmado con el sindicato se estipula que cadauno de ellos debe trabajar cinco días consecutivos y descansar dos. Todos los camareros perciben el mismosalario. En la siguiente tabla aparecen los requerimientos de personal. Suponga que este ciclo derequerimientos se repite indefinidamente y pase por alto el hecho de que la cantidad de camareroscontratados tiene que ser un número entero. La gerencia desea encontrar un programa de empleo quesatisfaga estos requerimientos a un costo mínimo. Formule este problema como modelo de PL.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Horas camarerorequeridas

150 200 400 300 700 800 300


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Modelos de Transporte

9. Una empresa desea programar el transporte de su producto principal que se elabora en 4 plantas condestino a 3 almacenes. Se conoce la demanda de los almacenes, la capacidad de producción de las plantasy el costo de transporte por unidad de transporte de una planta a un almacén.

PlantasAlmacenes ($ / Unid) Capacidad

(unidades)1 2 31 3 2 4 9502 2 4 3 11503 3 5 3 10004 4 3 2 900

Demanda(unidades)

1200 900 500

Elabore un modelo de programación lineal que permita hallar el plan óptimo de transporte.

10. Una compañía tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un máximo de 100unidades y la segunda un máximo de 200 del mismo producto. El potencial de ventas del primer almacén esde 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Los precios de venta en cada uno de los tres almacenes

son: $12 en el primero, $ 14 en el segundo y $15 en el tercero. En la siguiente tabla se muestra el costo dela manufactura en la planta i y del transporte al almacén j. La compañía desea determinar cuántasunidades debe transportar de cada planta a cada almacén para maximizar sus utilidades.

Costos de manufactura y transporte ($ / unidad)

Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 31 8 10 122 7 9 11

Modelos de Transbordo

11.

Una empresa extrae roca de 2 minas. Una vez que levanta el material del suelo y lo carga en un camión, loenvía a una de 2 plantas para ser procesado. Luego, la roca procesada se envía a una de 3 tiendas demateriales para construcción, donde se vende para propósito de arreglo de jardines. El costo detransportación, las existencias disponibles en cada mina, los costos y la capacidad de procesamiento encada planta se dan en la tabla siguiente:

A la planta de procesamiento ($ / t) Suministrodiario (t)De la mina 1 2

A 6 8 320B 7 10 450

Costo de procesamiento($ / t)

22 18

Capacidad deprocesamiento (t / día)

500 500

El costo de envío de cada planta de procesamiento a cada tienda y la demanda diaria son como sigue:

Hacia la tienda ($ / t)De la planta 1 2 3

1 13 17 202 19 22 21

Demanda diaria (t) 200 240 330

Formule el programa lineal que pueda utilizarse para determinar cómo satisfacer las demandas de las 3tiendas al mínimo costo.


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Modelos de la dieta

12.

El Battery Park Stable alimenta y aloja los caballos utilizados para tirar carruajes llenos de turistas por lascalles del histórico distrito ribereño de Charleston. El propietario del establo reconoce la necesidad dediseñar una dieta nutricional para los caballos a su cuidado. Al mismo tiempo quiere mantener al mínimo elcosto diario de alimentación.

Las mezclas disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano altamenteenriquecido y un producto mineral. Cada una de estas mezclas contiene una cierta cantidad de 5ingredientes requeridos diariamente para mantener saludable al caballo. Los requerimientos mínimos, lasunidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimentos y los costos de las 3 mezclas se muestran acontinuación:

Mezcla de alimento (unidades / libra) Requerimientodiario mínimo

(unidades)IngredientesProducto de

avenaGranos

enriquecidosProductosminerales

A 2 3 1 6B 0.5 1 0.5 2C 3 5 6 9D 1 1.5 2 8E 0.5 0.5 1.5 5

Costo ($ / libra) 0.09 0.14 0.17

Además, el propietario determina que 6 libras de alimento por día es lo máximo que un caballo necesita.

Modelos de Mezclas

13. La administración de un viñedo desea combinar cuatro cosechas distintas para producir tres tipos de vinos enforma combinada. Las existencias de las cosechas y los precios de venta de los vinos combinados semuestran en la siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en la composiciónde las tres mezclas. En particular, las cosechas 2 y 3 en conjunto deberán constituir cuando menos 75 % dela mezcla A y cuando menos 35 % de la mezcla C. Además, la mezcla A deberá contener cuando menos 8% de la cosecha 4, mientras que la mezcla B deberá contener por lo menos 10% de la cosecha 2 y a losumo 35 % de la cosecha 4. Se podrá vender cualquier cantidad que se elabore de las mezclas A, B y C.

Formule un modelo de PL que aproveche en la mejor forma las cosechas disponibles.

MezclaCosecha Precio de venta

($ / galón)1 2 3 4

A *cuanto menos 75% 2 y 3en cualquier proporción

cuanto menos8%

80

B *cuanto menos

10%*

cuanto mucho35%

50

C *cuanto menos 35% 2 y 3en cualquier proporción

* 35

Existencias(galones) 130 200 150 350

* Indica que no existe restricción alguna.

14. La SAVE-IT COMPANY opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de material de desecho sólidoy los trata para amalgamarlos en un producto comercializable (el tratamiento y el amalgamado son dosprocesos diferentes). Se pueden hacer tres grados diferentes de este producto (ver la primera columna dela tabla 1), según la mezcla de materiales que se use. Aunque existe una flexibilidad para esta mezcla encada grado, los estándares de calidad especifican una cantidad mínima y una máxima para la proporciónde los materiales permitidos en ese grado (esta proporción es el peso del material expresado como unporcentaje del peso total del producto de ese grado). Para los dos grados más altos se especifica unporcentaje fijo de uno de los materiales. Estas especificaciones se dan en la tabla 1 junto con el costo deamalgamado y el precio de venta de cada grado.


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Tabla 1

Grado EspecificaciónCosto de

amalgamado($ /libra)

Precio de venta($ / libra)

A

Material 1: no más del 30% del totalMaterial 2: no menos del 40% del total

Material 3: no más del 50% del totalMaterial 4: exactamente el 20% del total

3.00 8.50

BMaterial 1: no más del 50% del totalMaterial 2: no menos del 10% del totalMaterial 4: exactamente el 10% del total

2.50 7.00

C Material 1: no más del 70% del total 2.00 5.50

El centro de reciclado recoge los materiales de desecho sólido de ciertas fuentes habituales por lo que casisiempre puede mantener una tasa de producción estable para tratarlos. En la tabla 2 se dan las cantidadesdisponibles para la recolección y tratamiento semanal, al igual que el costo del proceso para cada tipo dematerial.

La Save-it Co. es propiedad de Green Earth, una organización dedicada a asuntos ecológicos, por lo quelas ganancias se usan para apoyar las actividades de Green Earth. Esta organización ha logrado

contribuciones y apoyos por la cantidad de $ 30000 semanales, que deben usarse exclusivamente paracubrir el costo del tratamiento completo de los desechos sólidos. El consejo directivo de Green Earth hagirado instrucciones a la administración de la Save-it para que divida este dinero entre los materiales demanera tal que al menos la mitad de la cantidad disponible de cada tipo de material sea recolectada ytratada. Estas restricciones adicionales se numeran en la tabla 2.

Tabla 2

MaterialLibras por semana

disponibles

Costo delTratamiento($ por libra)

Restricciones Adicionales

1 3000 3.00 1.- Para cada material deben recolectarse ytratarse al menos la mitad de las librasdisponibles por semana

2.- Deben usarse $ 30000 semanales paratratar estos materiales.

2 2000 6.00

3 4000 4.00

4 1000 5.00

Dentro de las restricciones especificadas en las tablas 1 y 2, la administración desea determinar la cantidadque debe producir de cada grado y la mezcla exacta de materiales que debe usar para cada uno, demanera que maximice la ganancia semanal total.

15.

Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando tres tiposde petróleo crudo (1, 2 y 3). En la tabla siguiente se muestran los precios de venta por barril de lasgasolinas y los precios de compra, por barril, del petróleo crudo. Sunco puede comprar hasta 5000 barrilesde cada tipo de petróleo crudo diariamente.

Gasolina Precios de venta por barril ($) Crudo Precio de compra por barril ($)

Gasolina 1 70 Crudo 1 45



Los tres tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleocrudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un índice de octano promedio de por lomenos 10 y a lo más 1% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo más 2% de azufre.

La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene que tener un índice de octanopromedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre.

El índice de octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petróleo se dan en la tabla que sigue acontinuación. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 4 dólares, y larefinería se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina.


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Crudo ndice de octano Contenido de azufre

Crudo 1 12 0.5%

Crudo 2 6 2.0%

Crudo 3 8 3.0%

Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: gasolina 1,

3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compañía se siente comprometida acumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediantela publicidad. Cada dólar invertido diariamente en el publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta lademanda diaria de este tipo de gasolina en 10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente20 dólares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en20(10)=200 barriles. Formule un modelo de Programación Lineal que permita a Sunco a maximizar susganancias diarias (ganancias = ingreso – costos).

Modelos de Inventarios

16. Sailco Corporation tiene que determinar cuántos veleros hay que producir en cada uno de los cuatrotrimestres. La demanda durante cada uno de los siguientes cuatro trimestres es: primer trimestre, 40 veleros;

segundo trimestre, 60 veleros; tercer trimestre, 75 veleros; cuarto trimestre, 25 veleros. Sailco tiene quecumplir a tiempo con las demandas.

Al principio del primer trimestre, Sailco tiene un inventario de 10 veleros. Durante cada trimestre, Sailcopude producir hasta 40 veleros, en el tiempo regular de trabajo, a un costo total de 400 dólares porvelero. Sailco puede producir más veleros, al hacer que trabajen tiempo extra los empleados durante untrimestre, a un costo total de 450 dólares por velero. El costo de inventario por cada velero es de $ 20.Utilice la programación lineal para determinar un programa de producción e inventario para Sailco.

17. Gandhi Co. fabrica camisas y pantalones. La demanda en los próximos 3 meses, la cual se debe cumplir atiempo, es la siguiente:

Mes 1 Mes 2 Mes 3Camisas 10 12 14

Pantalones 15 14 13Durante cada mes, cuesta $4 elaborar una prenda cualquiera en turno normal y cuesta $8 en turno extra.La capacidad mensual de producción en turno normal es 25 prendas y la capacidad mensual de producciónen turno extra es ilimitada. Es posible almacenar prendas, a un costo de inventario mensual de $3 porprenda. Al inicio del mes 1, en el almacén hay una camisa y 2 pantalones.

Cada camisa requiere 2 yardas2 de tela y cada pantalón requiere 3 yardas2 de tela. Lo máximo de telaque se puede comprar y el costo de compra se muestran a continuación:

Mes 1 Mes 2 Mes 3Máximo a comprar (yardas2) 10 12 14Costo ($/yarda2) 2 1.5 1.8

Es posible almacenar tela en cada mes, con un costo de almacenamiento despreciable. Elabore un modelode programación lineal que permita satisfacer la demanda al mínimo costo total.

18. La empresa Body Cycling se dedica a la fabricación y ensamblaje de bicicletas para la exportación; posee3 líneas de bicicletas: MTB, ATB y BMX, las cuales poseen tiempos de producción diferentes, como se muestraen la siguiente tabla.

LíneaTiempo de producción

(horas)MTB 6ATB 5BMX 4

La demanda de cada tipo de bicicletas para los próximos seis meses, en unidades, se proporciona en la

siguiente tabla.


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Demanda

MES ENE FEB MAR ABR MAY JUNMTB 1000 500 250 250 200 200ATB 500 200 150 150 120 150BMX 250 120 50 50 60 60

La planta cuenta con 30 operarios, los cuales deben permanecer en forma constante trabajando 8 horasdiarias, 4 semanas al mes y 5 días por semana. Sin embargo es posible trabajar horas extras, hasta unlímite de 40% respecto a las horas normales de trabajo.

El almacén tiene capacidad para 1000 bicicletas, indistintamente del modelo o tamaño y se han establecidolos siguientes costos:

Mano de obra regular: $3200 al mes, para un total de 160 horas mensuales. Mano de obra extra: $25 por hora adicional. Mantenimiento de Stock: $5 por unidad almacenada.

El inventario inicial de cada tipo de bicicletas para el mes de Enero aparece en la siguiente tabla:

Línea StockMTB 400

ATB 150BMX 50

Formule un modelo de programación lineal para el programa de producción de la empresa que tome encuenta satisfacer la demanda mensual (no se aceptan ventas pendientes).

19.

CLS es una cadena de tiendas de servicio para computadoras. El número de horas de reparaciónespecializada que requiere CLS durante los próximos cinco meses, se da a continuación:

Horas de reparación requeridas mensualmenteMes 1 (enero) 6000Mes 2 (febrero) 7000Mes 3 (marzo) 8000Mes 4 (abril) 9500Mes 5 (mayo) 11000

Al principio de enero, 50 técnicos especializados trabajan para CLS. Cada técnico especializado puedetrabajar hasta 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas, hay que capacitar a nuevos técnicos. Lacapacitación de un nuevo técnico dura un mes. Un técnico experimentado tiene que supervisar al aprendizdurante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada técnico experimentado se le pagan mensualmente$2000 (aunque no trabaje las 160 horas). Durante el mes de entrenamiento, se paga al aprendiz $1000 almes. Al final de cada mes, 5% de los técnicos experimentados de CLS, cambian de trabajo, para irse conPlum Computers. Formule un modelo de Programación Lineal cuya solución permita a CLS minimizar loscostos de trabajo que se presentan al cumplir con los requerimientos de servicio durante los próximos meses.

Modelos de Planificación financiera

20.

Una compañía debe establecer su estrategia de inversiones durante los siguientes 3 años. En la actualidad(tiempo 0) hay $100000 disponibles para invertir en cinco opciones A, B, C, D y E. El flujo de efectivorelacionado con la inversión de $1 en cada opción se muestra a continuación:

AñoOpciones de inversión 0 1 2 3

A -1 0.5 1 0B 0 -1 0.5 1C -1 1.2 0 0D -1 0 0 1.9E 0 0 -1 1.5

Por ejemplo, $1 invertido en la opción B, requiere una salida de efectivo en el año 1 y da un rendimiento

de $0.5 en el año 2 y $1 en el año 3. La compañía requiere que se asigne no más de $75000 para cadaopción de inversión. Además de dichas opciones de inversión, la compañía puede ganar 8% de interés


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anual por mantener el efectivo sin invertir en el banco. El rendimiento de las inversiones se puede volver ainvertir de forma inmediata (por ejemplo, el flujo de efectivo positivo recibido de la opción C en el año 1podría ser reinvertido inmediatamente en la opción B). Finalmente, la compañía no puede pedir fondosprestados, así que el efectivo disponible para inversión en cualquier año está limitado al efectivo disponibleque se posea en ese momento. Plantee un modelo de programación lineal que permita maximizar elefectivo disponible al final del año 3.

Modelos de Programación entera – binaria

21.

El Departamento de Investigación ha identificado seis proyectos en los que la compañía High Tech puedeelegir invertir o no. Cada proyecto ha sido evaluado para determinar la cantidad de capital que debeinvertirse, la rentabilidad esperada y también un factor de riesgo usando un algoritmo patentado. Estosdatos se resumen en la siguiente tabla:

ProyectoCapital requerido

($)Rentabilidad

(% respecto al capital requerido)Riesgo

1 100 000 10 0.502 400 000 5 0.40

3 170 000 20 0.704 250 000 15 0.655 200 000 7 0.456 250 000 30 0.80

Los socios generales han acordado que el riesgo total, obtenido añadiendo los factores de riesgo paracada proyecto respaldado, no debe exceder de 3, y que no deben emprenderse más de dos proyectos conun factor de riesgo mayor a 0.6. Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar larentabilidad total.

22. Un inversionista dispone de $ 20000, los cuales desea destinarlos a la compra de paquetes de acciones ydispone de 10 alternativas. Los costos y la rentabilidad de cada paquete de acciones, así como el rubro alque pertenecen las compañías que ofrecen las acciones se presentan en la siguiente tabla:

Rubro Construcción Minería AgriculturaPaquete deacciones

A B C D E F G H I J

Costo ($) 3500 2900 4000 3800 4200 3600 3200 3000 3700 3300

Rentabilidad (%) 9.2 10.0 8.4 8.6 8.2 9.2 9.6 9.9 8.9 9.4

El inversionista sólo puede adquirir un paquete por cada tipo de acción, y por recomendación de un expertoen finanzas:

A lo más debe adquirir 2 paquetes de acciones en total por cada rubro.

Si invierte en el paquete A, entonces debe invertir en el paquete de acciones B.

Si invierte en el paquete D, entonces no debe invertir en el paquete E.

Formule el modelo de programación lineal binaria que permita determinar qué paquetes de acciones sedeben adquirir.

23.

Sobre el caso anterior, ahora el inversionista ya no tiene restricciones respecto al número de paquetestotales adquiridos por cada rubro. En lugar de ello, considere que a lo más puede invertir en 2 rubrosdistintos.


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24. Una empresa desea programar el transporte de su producto principal que se elabora en 4 plantas condestino a 3 almacenes. Se conoce la demanda de los almacenes, la capacidad de producción de las plantasy el costo de transporte por unidad de transporte de una planta a un almacén.

PlantasAlmacenes ($ / Unid) Capacidad

(unidades)1 2 31 3 2 4 950

2 2 4 3 11503 3 5 3 10004 4 3 2 900

Demanda(unidades)

1200 900 500

Se estima un costo fijo de operación para cada planta.

Planta 1 2 3 4Costo fijo de operación ($) 600 900 200 800

Asimismo, se debe tener en cuenta que si trabaja la planta 1, no debe trabajar la planta 2; y si trabaja laplanta 3, entonces debe trabajar la planta 4.

Formule el modelo de programación lineal entera binaria que permita determinar desde que plantas

realizar los envíos, así como el número de unidades a enviar desde cada una de las plantas seleccionadashacia cada uno de los almacenes.

Otros modelos

25. Una compañía de inversiones tiene actualmente $ 10 millones para la inversión. La meta que se ha trazadoconsiste en maximizar la retribución esperada durante el siguiente Año. Sus 4 posibles posibilidades deinversión se presentan resumidas en la siguiente tabla. Además, la compañía a especificado que cuantomenos 30 % de los fondos tendrán que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la tesorería y que nomas del 40 % del dinero deberá invertirse en fondos de mercado y títulos municipales. Se invertirá latotalidad de los 10 millones actualmente a la mano. Formule el modelo de PL que indique a la empresa

cuánto dinero debe invertir en cada instrumento.

Posibilidad deinversión

Retribuciónesperada (%)

Inversión máxima(millones de $)

Bonos de la Tesorería 8 5Acciones ordinarias 6 7Mercado de dinero 12 2Títulos municipales 9 4

26.

Una empresa de servicios públicos de electricidad está planeando la expansión de su capacidadgeneradora para los siguientes cinco años. Su capacidad actual es de 800MW, pero con base en elpronóstico de la demanda se requerirá capacidad adicional tal como se muestra en la tabla # 1. La

empresa puede aumentar su capacidad instalando generadores de 10, 50 y 100 MW. El costo deinstalación de un generador depende de su tamaño y del año en que se instala. Véase tabla # 2. Una vezque se pone en funcionamiento un generador, su capacidad está disponible para hacer frente a lademanda de años posteriores. Formule un programa de programación lineal entera que minimice el costode poner en funcionamiento los generadores al mismo tiempo que se satisfagan los requisitos mínimos decapacidad.

Tabla # 1

Año Capacidad Mínima (MW)1 8802 9603 10504 1160

5 1280

Tabla # 2

Tamaño delGenerador

Año1 2 3 4 5

10MW $300 $250 $208 $173 $14550MW $670 $558 $465 $387 $322100MW $950 $791 $659 $549 $458


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27. Una empresa produce rollos de papel con un ancho estándar de 20 pies de ancho cada rollo. Esta empresaatiende pedidos de los clientes, los cuales le solicitan rollos de papel de distintos anchos: rollos de 5 pies,rollos de 7 pies y rollos de 9 pies. El día de hoy esta empresa tiene que atender lo siguientes pedidos: 150rollos de 5 pies de ancho, 200 rollos de 7 pies de ancho y 300 rollos de 9 pies de ancho. Para atender lospedidos, esta empresa debe cortar los rollos de ancho estándar.

En la práctica, se surte un pedido ajustando las cuchillas a los anchos deseados. En general, hay varias

maneras de cortar un rollo de ancho estándar para surtir un determinado pedido. Por ejemplo:

De un rollo de ancho estándar se pueden obtener un rollo de 7 pies y un rollo de 9 pies, generando undesperdicio de 4 pies de ancho.

De un rollo de ancho estándar se pueden obtener dos rollo de 5 pies y un rollo de 7 pies, generando undesperdicio de 3 pies de ancho.

Se pide determinar cómo debe llevarse a cabo el corte de los rollos de ancho estándar de tal manera quese puedan atender los pedidos de hoy día minimizando el desperdicio total.


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1.

La empresa Cosmética S.A. fabrica dos tipos de productos. Para producir una unidad del producto dirigidoal mercado tipo A se necesitan 15 unidades de materia prima, 20 horas de máquina y 9 horas de mano de

obra. Para producir una unidad del producto dirigido al mercado tipo B se necesitan 23 unidades demateria prima, 14 horas de máquina y 4 horas de mano de obra. La demanda total del producto dirigidoal mercado tipo B no es mayor de 14 unidades y la demanda para el producto dirigido al mercado tipo Ano debe exceder de 10 unidades. Por políticas de la empresa son severas y establecen: La producción delproducto dirigido al mercado tipo A no debe exceder a 12 unidades más 4 veces la producción delproducto dirigido al mercado tipo B. También se deben utilizar por lo menos 36 horas hombre en laproducción total de la empresa. Además se requiere que la producción del producto dirigido al mercadotipo B no exceda a cuatro veces la producción del producto dirigido al mercado tipo A más doce unidades.La empresa cuenta con un máximo de 345 unidades de materia prima y con una disponibilidad máxima de280 horas de máquina.

Se sabe que el precio de venta del producto dirigido al mercado tipo A es de 400 dólares y los costosinvolucrados en la producción de este tipo de producto suman 100 dólares. El precio de venta del productodirigido al mercado tipo B es de 500 dólares y los costos involucrados en la producción de este tipo de

producto suman 200 dólares.Se pide lo siguiente:

a) Formule un modelo de programación lineal para el caso de la empresa Cosmética S.A.

b) Encuentre, empleando el método gráfico, la solución óptima y el valor óptimo.

c) ¿Cuánto es lo máximo que puede aumentar el precio de venta del producto dirigido al mercado tipo Apara que el programa de producción no cambie?

d) ¿Qué sucede con la solución óptima si el costo de producción del producto dirigido al mercado tipo B sedisminuye en 25%?

e)

El mercado para el producto tipo A ha disminuido por efectos de las condiciones económicas delentorno. Esto hace ver que la demanda del producto dirigido al mercado tipo A se verá recortada.¿Cuánto es lo máximo que se puede reducir la demanda del producto dirigido al mercado tipo A paraque no cambie el punto solución óptima?

2.

La empresa Hoja Verde se dedica a la producción de tomate y de duraznos enteros enlatados. El gerentegeneral ha citado al gerente de producción para precisar ciertos puntos para la próxima campaña.

En el departamento de operaciones de la empresa se ha determinado lo siguiente: para producir mil cajasde tomate en lata se requieren 7 horas máquina y para producir mil cajas de duraznos en lata se necesitan14 horas máquina, por ser un producto más delicado. Para el siguiente periodo de producción, eldepartamento de mantenimiento ha informado que se tendrán 980 horas máquina disponibles.

Por especificaciones de cada producto, se conoce que para producir mil cajas de tomate en lata senecesitan 12 horas hombre y para mil cajas de durazno en lata se requieren de 8 horas hombre. Para elperiodo siguiente se tendrán 960 horas hombre disponibles en la planta.

El departamento de marketing ha pronosticado la demanda del durazno en lata y ha determinado que

para el siguiente periodo se podrán vender como máximo 68000 cajas del producto, por la reducción delmercado de este producto. Por el contrario, para los tomates en lata se ha presentado una oportunidad enel mercado y el departamento de marketing ha determinado que hay que producir por lo menos 40000cajas.

En cuanto a la materia prima para la producción se ha determinado lo siguiente: Para el periodo siguientese tendrán disponibles un máximo de 200000 kilos de tomate y 450000 kilos de duraznos. Porespecificaciones de diseño para producir mil cajas de tomate en lata se necesitan 2000 kilos de materiaprima y para producir mil cajas de durazno en lata se requieren 3000 kilos de materia prima.

El departamento de ventas le ha enviado la siguiente información al gerente de producción: la utilidad queobtiene la empresa por mil cajas de tomates en lata es de $200 y por cada mil cajas de duraznos en lataes de $500.

El gerente general le pregunta al gerente de producción lo siguiente:

a)

¿Cuál es la utilidad máxima que podríamos ganar?


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b) ¿Cuántos miles de cajas de cada producto estaremos produciendo este periodo?

c) ¿Cuáles son los recursos más importantes para la producción?

d) ¿Qué sucede si contratamos 10% más de horas hombre?

e) ¿Qué sucede si adquirimos 20% más de horas máquina?

f)

¿Qué sucede si se malogra el 15% de los tomates disponibles?g) ¿Qué sucede si podemos contar con 20% más de disponibilidad de duraznos?

h) ¿Cuánto estamos usando de cada uno de nuestros recursos?

i) ¿Nos sobra algún recurso?

j) ¿Qué deberíamos hacer para elevar nuestras utilidades?

k)

¿Resultaría importante elevar la demanda de los duraznos en lata?

Utilizando el modelo de programación lineal y resolviéndolo usando el método gráfico, responda laspreguntas planteadas por el gerente general.

3. La empresa ROBOTICS Inc. se dedica a ensamblaje de micro componentes electrónicos para ser usados enteléfonos celulares. Dentro de los muchos productos que ensambla, tiene dos que están dirigidos a los nuevos

teléfonos celulares. Los productos RS109 y KL345 son los productos que la empresa debe posicionar bien enel mercado.

El gerente de operaciones desea optimizar el ensamblaje diario de los dos productos mencionados. Amboscomparten ciertos componentes en su ensamblaje y desea hacer mejor uso de estos recursos. Para lograreste objetivo se ha propuesto la creación de un modelo matemático que proporcione un mejor uso de laslimitaciones de la empresa.

Para el ensamblaje de una unidad de RS109 se necesitan: 31 componentes tipo 1, 23 componentes tipo 2,21 componentes del tipo 3 y 1 componente del tipo 5. Además este producto requiere de 11 horas detrabajo. Para el ensamblaje de una unidad de KL345 se necesitan: 22 componentes tipo 1, 29 componentestipo 2, 40 componentes del tipo 3 y 1 componente del tipo 4. Además este producto requiere de 5 horas detrabajo.

Por disponibilidad de nuestro proveedor solo se pueden contar con 682 unidades del componente del tipo

1, 19 unidades del componente 4 y 14 unidades del componente 5. El componente tipo 2 es importado, elgobierno tiene por política no permitir el ingreso de no más de 667 unidades por día.

Por capacidad del almacén, este no permite almacenar más de 840 unidades del componente tipo 3 pordía.. La empresa, con el objetivo de mantener a su personal ocupado plantea que las horas hombre que seusen en el ensamblaje de ambos productos deben ser por lo menos 55 por día. Además, para mantenercierta relación entre el ensamblaje de ambos productos se plantea que dos veces la producción del RS109no debe ser mayor que 7 veces la producción del KL345 más 14 unidades.

Después de hacer un análisis de costos y el precio de venta de cada uno de los productos, se ha llegado adeterminar que la utilidad que se tiene por la venta de un RS109 es de $900 y mientras que la utilidad porla venta de un producto KL345 se calcula en $800.

a)

Elabore un modelo matemático de programación lineal para este caso.

b) Utilizando el método gráfico, resuelva el modelo planteado en el inciso anterior.

c)

El proveedor que nos suministra el componente 1 ha invertido en mejorar la tecnología de sus procesosproductivos. Esta mejora le proporciona una mayor capacidad de producción lo que hace que nospueda ofrecer 15% más de lo que hasta ahora nos proporciona. ¿Acepta Ud. El incremento delsuministro de componente 1 que propone el proveedor? ¿Cuánto es lo máximo que podría incrementarla disponibilidad del componente 1?

d) El gobierno está estudiando una norma que liberaría la cantidad máxima diaria de importación delcomponente 2. Ahora, como ya no habría restricción a la cantidad disponible del componente 2¿Cuántas unidades deberíamos comprar del componente 2 para mejorar las utilidades?

e)

La utilidad unitaria que representa la venta de un producto KL345 se ha elevado en 18%. Haciendouso del análisis de sensibilidad del método gráfico, determinar si el punto solución óptima cambia coneste incremento.

4.

La empresa LIVES S.A. produce dos tipos de productos para el mercado nacional. La gerencia deoperaciones se ha propuesto para el próximo mes elaborar un modelo matemático de programación lineal


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que ayude a tomar mejores decisiones y que permita manejar las operaciones de forma óptima. Cadaproducto debe pasar por tres máquinas en forma secuencial para ser elaborados.

Se ha logrado recopilar la siguiente información acerca de la producción de los dos productos. El productotipo 1 requiere de 19 unidades de materia prima, 21 horas de trabajo, 6 horas de trabajo en máquina 1,10 horas en máquina 2, y 14 horas de máquina 3. El producto tipo 2 requiere de 15 unidades de materiaprima, 13 horas de trabajo, 8 horas de trabajo en máquina 1, 6 horas en máquina 2, y 3 horas de máquina

3.La empresa dispone de 285 unidades de materia prima, 273 horas de trabajo para la producción deambos productos. Por políticas de la compañía se ha establecido que la máquina 1 debe trabajar por lomenos 48 horas, la máquina 2 debe trabajar por lo menos 60 horas y la máquina 3 debe trabajar por lomenos 42 horas. Además se ha establecido que la demanda del producto tipo 1 no debe exceder de 10unidades y que la demanda del producto tipo 2 no deberá exceder de 16 unidades.

El costo incurrido para la producción del un producto tipo 1 es de $5 y de $4 para un producto tipo 2.

a)

Elabore un modelo matemático de programación lineal para el caso.

b)

Usando el método gráfico, resuelva el modelo planteado en a).

c)

El encargado del almacén nos ha informado que algunas de las unidades de materia prima en almacénse han malogrado. ¿Cuánto es lo máximo que se puede reducir la disponibilidad de materia prima

para que el punto solución óptima no cambie?d) Se han incrementado en 25% los costos de producción del producto 2. Utilizando el análisis de

sensibilidad del método gráfico determine si este cambio en los costos cambia también el punto soluciónóptima.

5.

Una empresa que fabrica alimentos balanceados, debe determinar la cantidad de insumo X e Y que debecontener una bolsa de alimento light para perros. La composición de minerales, vitaminas, oligoelementos ygrasa que contiene cada kilogramo de insumo se muestra a continuación.

InsumoMinerales

(mg)Vitaminas

(mg)Oligoelementos

(mg)Grasa

(g)X 0.9 0.2 0.1 300Y 0.2 0.3 0.3 600

La bolsa de alimento debe contener por lo menos 3.6 mg de minerales, 3.6 mg de vitaminas y 2.4 mg deoligoelementos.

Sabiendo que se quiere un alimento con el menor contenido de grasa posible, se pide lo siguiente:

a) Defina las variables de decisión y en qué unidades se expresan.

b)

Escriba el modelo de programación lineal.

c) Determine gráficamente la región factible, la solución óptima y el valor óptimo. Presente los valores dela solución óptima y del valor óptimo.

d) ¿Entre qué valores puede variar el contenido de grasa del insumo Y sin que varíe la cantidad deinsumos X e Y en el alimento? Muestre su procedimiento.

e) Se ha comprobado en el laboratorio que la cantidad de oligoelementos por kilogramo de insumo Y esen realidad 0.4 mg. ¿La solución óptima se modifica? Justifique su respuesta. Si la respuesta esafirmativa, determine gráficamente la solución óptima.

6. Una planta produce energía eléctrica a partir de la combustión de carbón. Esta planta emplea dos tipos decarbón A y B, cuyas características se muestran a continuación:

Emisión de contaminantes por toneladade carbón que se utiliza

Horas necesarias paraquemar una tonelada

de carbón

Cantidad de vapor quegenera una tonelada de

carbónTipo de carbón Azufre CenizaC1 1800 PPM 0.5 kg 1.5 horas 24 000 librasC2 3800 PPM 1 kg 1 hora 20 000 libras

La faja transportadora, que lleva el carbón hacia el caldero, puede transportar como máximo 20toneladas. En el caldero, el carbón es quemado con el fin de generar vapor. Se sabe que el caldero puedetrabajar no más de 24 horas.

Finalmente, el Ministerio de ambiente ha impuesto las siguientes condiciones:


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No se debe emitir más de 12 kg de ceniza en total.

No se debe emitir más de 3000 PPM de azufre en promedio. (El promedio, es un promedio ponderadoen función de las cantidades de carbón C1 y C2 que se utilizan)

Sabiendo que se desea generar la máxima cantidad posible de vapor, se pide lo siguiente:

a) La definición de las variables de decisión y el modelo de programación lineal que permita resolver elproblema.

b) Aplique el método gráfico para resolver el modelo. Presente su procedimiento y coloree la regiónfactible. Determine gráficamente la solución óptima y calcule el valor óptimo.

c) Informan que el motor que mueve la faja transportadora no está funcionando debidamente; por ello lafaja sólo podrá transportar hasta 16 toneladas ¿Se verá afectada la generación de vapor? Justifiquesu respuesta.

d) A partir del modelo original: El jefe de operaciones afirma que si se compra un caldero que puedatrabajar más de 24 horas, se podría aumentar la generación de vapor. ¿Está usted de acuerdo?Justifique su respuesta. Si su respuesta es afirmativa, determine cuál es la cantidad máxima posiblede vapor que se podría generar. Presente su procedimiento.

e) Cuál es la máxima y la mínima cantidad de vapor que puede generar una tonelada de carbón C1 sin

que cambie la solución óptima.


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1.

Una empresa ensambladora de automóviles presenta el siguiente modelo para optimizar su plan deproducción. El modelo tiene como objetivo la maximización de las utilidades de la compañía, y presenta lassiguientes variables:

C: Número de autos compactos a ensamblar

S: Número de autos supercompactos a ensamblar.

Max 6740C + 5100S

st

200C + 150S


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Reporte LINDO:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 9105.883

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 105.882355 0.000000X2 0.000000 0.196078

X3 100.000000 0.000000

X4 388.235291 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 0.627451

3) 0.000000 9.411765

4) 268.235291 0.000000

5) 0.000000 -11.843137

6) 94.117645 0.000000

7) 120.000000 0.000000

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 16.000000 16.000000 1.000000

X2 18.000000 0.196079 INFINITY

X3 12.000000 11.843137 INFINITY

X4 16.000000 1.066667 0.208334

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 1400.000000 149.999985 168.7500003 1000.000000 180.000000 159.999985

4 120.000000 268.235291 INFINITY

5 100.000000 57.446808 51.063828

6 200.000000 INFINITY 94.117645

7 120.000000 INFINITY 120.000000

Tomando en cuenta los resultados obtenidos al correr el modelo de programación lineal de la empresa en elLINDO responder las siguientes preguntas:

a) Después de obtener los resultados del LINGO, el gerente de producción se le acerca y le dice que porcontrato con uno de los clientes más importantes de la empresa debemos entregar a fin de esta semana200 unidades del producto 2. ¿Qué sucedería con la utilidad de la empresa?

b) Nuestro proveedor de materia prima ha bajado su precio y la empresa ha adquirido 200 unidades

más de materia prima de lo previsto por el modelo. Con los resultados que tiene Ud. en la mano,¿cuánto incrementarán las utilidades de la empresa esta semana?

c)

Por las actuales condiciones del mercado, la demanda del producto 3 ha aumentado en 25%. ¿Cuál esel efecto de este aumento en las utilidades de la compañía?

d) El gerente de producción de la empresa quiere aumentar la utilidad, le ha encargado a Ud. quedetermine las formas de poder hacerlo y cuánto es lo máximo que podría elevarla.

e)

Por razones de escasez de materia prima el precio del producto 3 se ha incrementado en 18%. ¿Cómoafecta esto a las utilidades de la empresa?

f) Si se pudiera incrementar la disponibilidad de la mano de obra en 50 horas y la disponibilidad de lamateria prima en 100 unidades, ¿se puede determinar la nueva utilidad óptima a partir del reporte deresultados mostrados líneas arriba? Justifique y en caso se pueda, calcule la nueva utilidad,

g)

Si se pudiera incrementar la disponibilidad de la mano de obra en 50 horas y decrementar ladisponibilidad de la materia prima en 100 unidades, ¿se puede determinar la nueva utilidad óptima a


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partir del reporte de resultados mostrados líneas arriba? Justifique y en caso se pueda, calcule lanueva utilidad.

h) Si se pudiera incrementar la utilidad unitaria del producto 3 en $6 y la utilidad unitaria del producto 4en $1, ¿se puede determinar la nueva utilidad óptima a partir del reporte de resultados mostradoslíneas arriba? Justifique y en caso se pueda, calcule la nueva utilidad,

3.

Dado el siguiente modelo de programación lineal y su solución en el LINDO. Min X1+X2+X3+X4+X5+X6

subject to

2X2 + 2X3 + 4X4 + X5 >= 150

X1 + X2 + 2X5 >= 200

X1 + X3 + 2X6 >= 300

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 262.5000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 0.125000

X2 0.000000 0.125000

X3 25.000000 0.000000

X4 0.000000 0.000000

X5 100.000000 0.000000

X6 137.500000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 -0.250000

3) 0.000000 -0.375000

4) 0.000000 -0.500000

NO. ITERATIONS= 3

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 1.000000 INFINITY 0.125000

X2 1.000000 INFINITY 0.125000

X3 1.000000 0.000000 0.500000

X4 1.000000 INFINITY 0.000000

X5 1.000000 0.250000 0.750000

X6 1.000000 0.200000 0.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 150.000000 INFINITY 50.000000

3 200.000000 100.000000 200.000000

4 300.000000 INFINITY 275.000000

a)

¿Qué tipo de solución presenta el problema? Sustente.

b)

¿La solución presenta óptimo alternativo? Sustente.

c)

¿Cuánto sería el valor objetivo si X1 fuese igual a 4.5?

d)

¿Qué sucede con el valor objetivo si aumentamos 5 unidades el lado derecho de la restricción

designada por la fila 4?


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e) ¿Qué sucede con la solución óptima si el coeficiente de la variable X3 en la función objetivo se reduceen 0.4999?

f) ¿Qué sucede con la solución óptima si el lado derecho de la primera restricción fuese 99.999?

g)

¿Qué sucede con la solución óptima si a la vez cambiamos el lado derecho de la tercera restricción a200 y el coeficiente de la variable X1 en la función objetivo a 1.124999?

4.

La empresa PRODUCTOS SINTÉTICOS S.A. tiene en el mercado nacional cinco productos a partir de un solotipo de materia prima. Se está elaborando el plan de producción para el próximo mes. La información quese ha logrado obtener sobre los cinco productos es la siguiente:

PRODUCTO 1

Precio de venta: 200 dólares por unidad

Costo de materia prima: 50 dólares por unidad

Costo de horas hombre: 20 dólares por unidad

Costo de horas Máquina: 10 dólares por unidad

Consumo de materia prima: 12 unidades de materia prima por unidad de producto

Consumo de horas hombre: 1.5 horas hombre por unidad de producto

Consumo de horas máquina: 3 horas máquina por unidad de producto

PRODUCTO 2






Consumo de horas hombre: 2.8 horas hombre por unidad de producto Consumo de horas máquina: 3.2 horas máquina por unidad de producto

PRODUCTO 3






Consumo de horas hombre: 2 horas hombre por unidad de producto Consumo de horas máquina: 3 horas máquina por unidad de producto

PRODUCTO 4







Consumo de horas máquina: 2.9 horas máquina por unidad de producto


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PRODUCTO 5







Consumo de horas máquina: 3 horas máquina por unidad de producto

Se sabe además, que la disponibilidad de materia prima para el mes será de 15000 unidades; ladisponibilidad de horas hombre será de 1200 horas efectivas, y la disponibilidad de horas máquina seráde 1400 horas.

Por política de la empresa se requiere que tres veces la producción del producto 1 más dos veces laproducción del producto 2, más cuatro veces la producción del producto 4 más una vez la producción delproducto 5 sea por lo menos 100 unidades.

Formule un modelo de programación lineal, utilizando el LINDO resuelva el caso y responda las siguientespreguntas sustentándolas únicamente a partir del reporte de la solución óptima y de los rangos desensibilidad:

a) La empresa acaba de recibir dos pedidos especiales: Un pedido de 4 unidades del producto 1 y unpedido de 20 unidades del producto 4. Si el gerente debe atender solamente uno de los dos pedidos,¿cuál pedido le convendría atender? ¿Cuánto sería el nuevo valor óptimo?

b) El gerente de mantenimiento nos da la noticia que hay 3 máquinas que deben ir al mantenimientocorrespondiente. Suponiendo que cada máquina aporta a la producción 140 horas, ¿cuántas de las tresmáquinas pueden ir sin afectar la utilidad óptima de la empresa?

c)

El proveedor de materia prima nos piensa entregar 100 unidades más de materia prima para elevarnuestras utilidades. ¿Cuál es el efecto real?

d)

La utilidad unitaria del producto 1 se ha incrementado en 10% por razones de un proceso de mejoracontinua seguido en la producción de la empresa. ¿Cómo afecta esto al modelo?

e) Se quiere incrementar la utilidad de la empresa en 25% ¿Cómo recomendaría que se logre esteobjetivo?

5.

La Arizona Air Conditioning inc. (AAI) desea comenzar la producción de dos nuevos tipos de aireacondicionado, utilizando el exceso de tiempo disponible en tres líneas de producción. Esas líneas ejecutansu proceso por pasos secuenciales. Cada uno de los dos aires acondicionados tienen que pasar por las treslíneas para que el producto sea completo. El primer aire acondicionado requiere 4, 8, y 6 horas para serprocesado en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. El segundo aire acondicionado requiere de 4, 10 y 12horas para ser procesado en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. El exceso de tiempo disponible es de 120,240 y 360 horas en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. La utilidad unitaria para primer aire acondicionadoes de $100 y para el segundo es de $150. El objetivo de la AAI es maximizar las utilidades.

El modelo de programación lineal para la AAI y los reportes de la solución óptima y rangos de sensibilidadse muestran a continuación:


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Max 100 A1 + 150 A2

Subject to

4 A1 + 4 A2


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Asimismo, la empresa necesita producir semanalmente por lo menos 1600 Kg. del compuesto medicinal.

El siguiente diagrama ilustra el caso:

Proceso P1

Proceso P2XB2

XA1

XB1

XA2

0.015 XA1

0.02 XB1

0.017 XA2

0.0185 XB2

CompuestoMedicinal

( ≥ 1600 kg )

Árbol A(Disponibilidad:

38000 kg)

Árbol B(Disponibilidad:

50000 kg)

Capacidad:40000 kg

Capacidad:50000 kg

Las variables de decisión son:

Xij: kg de corteza extraída del árbol i que pasa por el proceso j (i = A, B; j = 1, 2)

El modelo de programación lineal que permite resolver el problema es el siguiente:

MIN = 1.35 XA1 + 1.05 XA2 + 1.5 XB1 + 1.2 XB2 (Costo total)

XA1 + XA2


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Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 38000.00 12000.00 1513.514

3 50000.00 INFINITY 1400.000

4 40000.00 INFINITY 3400.000

5 50000.00 18666.67 3675.676

6 1600.000 28.00000 732.0000

a) ¿Qué sucedería con el valor de la función objetivo si se decidiera destinar 2000 Kg. de corteza deárbol A al Proceso 1?

b)

Si en lugar de tener la necesidad de producir por lo menos 1600 Kg. de compuesto medicinal; ahorasolo se debe producir por lo menos 1580 Kg., ¿cuál sería el nuevo valor de la función objetivo? Sustentesu respuesta.

c) Un proveedor le ofrece al administrador de la empresa, suministrarle corteza adicional de cualquierade los tipos de árbol. Si, usted como administrador se decidiera por la compra de alguno de los tiposde corteza, ¿por cuál se decidiría?, ¿cuántos Kg. podría adquirir sin que la base óptima se modifique?Sustente su respuesta.

d)

¿Cuál de los procesos trabaja a toda su capacidad? ¿Cuál puede ser la máxima capacidad de dichoproceso a fin de que la base actual no cambie?

e) Debido a que las máquinas del proceso P1 pasarán a mantenimiento, la capacidad de dicho procesose verá reducida en 8%, ¿se verá afectada la producción óptima del compuesto medicinal?. Justifiquesu respuesta.

f) ¿Entre qué valores puede variar el costo de procesamiento de la corteza del árbol B en el proceso 1 sinque la solución óptima cambie?

7.

Un fundo posee tres parcelas para cultivar cuatro tipos de cultivo. El modelo lineal que maximiza la utilidadtotal (en US$) del fundo, posee las siguientes variables de decisión:

X IJ: Cantidad de hectáreas a cultivar del cultivo I en la parcela J (I = 1, 2, 3, 4; J = 1, 2, 3)

A continuación se muestra el modelo lineal y el reporte de la solución óptima que arroja el software LINDO:

MAX 4896X11 + 4004 X12 + 4920 X13 + 7480 X21 + 6000 X22 + 5460 X23

+ 3840 X31 + 2400 X32 + 2240 X33 + 5976 X41 + 6328 X42 + 5632 X43

3400 X11 + 2600 X12 + 3000 X13


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Global optimal solution found.

Objective value: 574216.0

Variable Value Reduced Cost

X11 1.000000 0.000000

X12 0.000000 892.0000

X13 24.00000 0.000000X21 25.00000 0.000000

X22 0.000000 600.0000

X23 0.000000 284.0000

X31 10.00000 0.000000

X32 15.00000 0.000000

X33 0.000000 904.0000

X41 0.000000 2160.000

X42 30.00000 0.000000

X43 0.000000 1624.000

Row Slack or Surplus Dual Price

2) 4600.000 0.000000

3) 0.000000 2.2000004) 0.000000 1.800000

5) 0.000000 2.260000

6) 4.000000 0.000000

7) 1.000000 0.000000

8) 0.000000 24.00000

9) 0.000000 4896.000

10) 0.000000 -1920.000

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable

Variable Coefficient Increase Decrease

X11 4896.000 24.00000 892.0000X12 4004.000 892.0000 INFINITY

X13 4920.000 INFINITY 24.00000

X21 7480.000 INFINITY 371.3846

X22 6000.000 600.0000 INFINITY

X23 5460.000 284.0000 INFINITY

X31 3840.000 INFINITY 640.0000

X32 2400.000 480.0000 1808.000

X33 2240.000 904.0000 INFINITY

X41 5976.000 2160.000 INFINITY

X42 6328.000 INFINITY 1421.000

X43 5632.000 1624.000 INFINITY

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2) 80000.00 INFINITY 4600.000

3) 85000.00 13600.00 85000.00

4) 68000.00 3200.000 800.0000

5) 84000.00 2800.000 84000.00

6) 40.00000 INFINITY 4.000000

7) 46.00000 INFINITY 1.000000

8) 24.00000 1.000000 4.000000

9) 25.00000 1.352941 1.000000

10) 25.00000 0.2500000 1.333333


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Responda las siguientes preguntas mostrando el procedimiento que justifique sus respuestas

a)

¿En qué unidades se expresan los costos reducidos del modelo y en qué unidades se expresan los preciosduales de las cuatro primeras restricciones?

b) Si un proveedor le ofrece al dueño del fundo plantones adicionales de los 4 tipos de cultivo, ¿a cuál de ellosle conviene elegir? Justifique su respuesta con los datos del reporte de solución y rangos de sensibilidad.

c)

Se desea modificar la última restricción del modelo ¿Cree usted que una reducción de las 25 hectáreas quese deben cultivar como mínimo del cultivo 3 es conveniente para el fundo? Justifique su respuesta con losdatos del reporte de solución y rangos de sensibilidad.

d) ¿Qué valor debe tener como mínimo la utilidad por sembrar una hectárea del cultivo 2 en la parcela 2 paraque sea conveniente su producción?

e) Se le ha presentado al dueño del fundo la oportunidad de ampliar las hectáreas de la parcela 3, la cualcolinda con el terreno de otro fundo cuyo dueño quiere vender sus tierras a un precio por hectárea de $20.¿Le conviene comprar? Justifique su respuesta. Si la respuesta anterior es afirmativa, determine cuántashectáreas puede comprar como máximo sin que varíe la base óptima y calcule la nueva utilidad óptima.


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1.

Dada la siguiente tabla de transporte se pide:

1 2 3 Oferta

A 10 8 4 45

B9 5 7

50

C3 6 9

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50

a) La solución Inicial Factible, utilizando el método de la esquina noroeste

b) La solución Inicial Factible, utilizando el método de Aproximación de Vogel

c)

Determine la solución óptima, utilizando el método de pasos secuenciales.

2. Dada la siguiente tabla de transporte se pide:

1 2 3 Oferta

A41 45 40

500

B31 29 38

400

C46 36 35

600

Demanda 600 700 200

a)

La solución Inicial Factible, utilizando el método de la esquina noroesteb) La solución Inicial Factible, utilizando el método de Aproximación de Vogel

c) Determine la solución óptima, utilizando el método de pasos secuenciales.

3. La empresa donde Ud. trabaja, lo ha nombrado asistente de logística. Su primer trabajo en el nuevo puestoserá elaborar el programa de envíos de productos terminados a los tres almacenes que la empresa poseeen el territorio nacional.

La empresa posee cuatro plantas de producción en diferentes lugares del país (P1, P2, P3, P4). Lascapacidades de producción de las diferentes plantas son: 400, 250, 250 y 300 unidades mensualesrespectivamente. Las demandas en los tres almacenes (A1, A2, A3) son: 250, 350 y 600 unidades mensualesrespectivamente.

Los costos de transporte se presentan en la siguiente tabla:

1 2 3P1 5.7 4.4 6.2P2 1.2 5.9 6.7P3 9.9 6.6 5.4P4 4 2.7 6.5

Se pide lo siguiente:

a) Encuentre el costo óptimo del envío.

b)

Según las últimas noticias, la carretera que une el origen 1 con el destino 3 ha sufrido un gran daño porun derrumbe. Con esta información adicional, ¿cuál sería el nuevo programa de envíos?, ¿cuántoaumentaría el costo de la empresa?


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4. Una empresa posee 3 plantas, las cuales deben surtir a 3 almacenes de un cierto producto. Los costos deenvío y los costos de producción se presentan en la siguiente tabla:

Costo de envío a cada almacén($ / tonelada)

Planta A1 A2 A3Capacidad

(toneladas)

Costo deproducción

($ / tonelada)P1 40 50 30 300 10P2 60 60 40 500 15P3 70 60 50 200 10

Demanda(toneladas)

250 300 420

Debido a que esta empresa está interesada en hallar el plan de transporte que minimice el costo total, sepide lo siguiente:

a) Halle la solución factible inicial empleando el Método de Vogel. ¿Es la solución factible halladaanteriormente la solución óptima? En caso que no lo sea, encuentre la solución óptima y el costo totalóptimo, mostrando ordenadamente su procedimiento y sus cálculos.

b)

Un puente ubicado en la ruta de la planta P2 hacia el almacén A3 se ha derrumbado, quedandoinhabilitada dicha ruta. ¿Cuál sería el nuevo plan de transporte óptimo y en cuánto se incrementará elcosto total?

5.

Steelco fabrica 3 tipos de acero en diferentes plantas. El ritmo de producción en cada planta, la capacidaddisponible en cada planta y los costos de producción se muestran a continuación:

Costo de producción ($ / tonelada) Ritmo deproducción

(minutos/tonelada)

Capacidaddisponible

(horas)Planta Acero tipo 1 Acero tipo 2 Acero tipo 3

1 60 40 28 20 402 50 30 30 16 403 43 20 20 15 40

Cada semana debe producirse 100 toneladas de cada tipo de acero.a) Encuentre el plan óptimo de producción. Presente ordenada y detalladamente su procedimiento.

6. La empresa TXW está abriendo cuatro sucursales y se requiere de un administrador en cada sucursal. Hansido preseleccionados el Sr. Reyes, El Sr. García, el Sr. Rodríguez, el Sr. Guerrero y el Sr. Vásquez. Despuésde evaluar el costo de asignación (en $) para cada posible candidato en cada sucursal Ud. ha obtenido lasiguiente información:

Sucursales1 2 3 4

Reyes 400 600 700 300García 600 550 650 450

Rodríguez 700 650 750 800Guerrero 750 900 800 900Vásquez 850 1000 850 400

Determinar el plan de asignación óptima.

7. Un socio de la Foot, Thompson y Mcgrath, agencia de publicidad, trata de decidir cual de cuatro ejecutivosde contabilidad debe asignar a cada uno de cuatro clientes mayores. En la siguiente tabla se presentan loscostos estimados de la asignación de cada ejecutivo. Use el método húngaro para encontrar la soluciónóptima del problema. Establezca el valor óptimo de la función objetivo.

CuentaEjecutivo 1 2 3 4

A 15 19 20 18B 14 15 17 14


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C 11 15 15 14D 21 24 26 24

8. La empresa TXW está abriendo nuevas posiciones de trabajo al interior de seis sucursales. La condición esque deben ser cubiertas por personal de confianza. Han sido seleccionados el Sr. Reyes, El Sr. García, el Sr.

Rodríguez, el Sr. Guerrero y el Sr. Vásquez. Después de evaluar el costo de asignación para cada posiblecandidato en cada sucursal Ud. ha obtenido la siguiente información:

Posiciones1 2 3 4 5 6

Reyes 40 60 70 30 20 40García 60 55 65 45 30 35Rodríguez 70 65 75 80 50 60Guerrero 75 90 80 90 40 70Vásquez 85 100 85 40 20 50

Además, se sabe que el Sr. Rodríguez no puede ser asignado a la posición 3, el Sr. Reyes no puede serasignado a la posición 6 y que el Sr. Guerrero no puede ser asignado a la posición 2. Se pide determinarla asignación y el costo óptimos.

9.

En la gerencia de producción de una empresa metal-mecánica se desea realizar la programación de lasoperaciones para el mes de Marzo. Para obtener un mayor rendimiento el ingeniero Giancarlo, Gerente deproducción, debe asignar 4 operarios a cuatros máquinas. Los costos de asignación en unidades monetariasse dan en la siguiente tabla. Además se sabe que el operario 1 no puede ser asignado a la máquina 3 y eloperario 3 no puede ser asignado a la máquina 4. Obtener la asignación óptima.

MáquinaOperario 1 2 3 4

1 5 5 ----- 22 7 4 2 33 9 3 5 ------4 7 2 6 7

10. El municipio de un distrito tiene cuatro camiones para recoger la basura. El recorrido de todo el distrito selleva a cabo en cuatro rutas. Los costos de operación dependen del camión y de la ruta que recorra:

Camión Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 41 $ 4000 $ 5000 ----- -----2 ----- $ 4000 ----- $ 40003 $ 3000 ----- $ 2000 -----4 ----- ----- $ 4000 $ 5000

Por ejemplo: El camión 1 no puede operar en las rutas 3 y 4.

a)

Suponga que a cada camión se le debe asignar solamente una ruta. Utilice el Método Húngaro para

minimizar el costo del municipio de recorrer las 4 rutas.b) Suponga que a cada camión se le puede asignar hasta dos rutas como máximo. Plantee únicamente la

tabla inicial de asignación que permitirá aplicar el Método Húngaro para encontrar la solución óptima(no se pide resolver).


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1. Modelación de metas con ponderación. MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C,que son vendidos respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A serequieren 0.5 minutos del tiempo del procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado.Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de laproducción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere de 1 onza de material de soldar. El costo seestima en $3, $4 y $4 por pie de tubos A, B y C respectivamente.

Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se disponen de 40horas de tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5500 de onzas de material desoldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda.

No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de lasinstalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunos deestos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie de tubo A, $6 por pie detubo B y $7 por pie de tubo C. Supóngase que la compañía se ha establecido una meta de ganancia

de $55,000 y desea que los costos de importación no superen los $40,000. Formule este modelocomo un problema de metas, sabiendo que la meta de ganancia es dos veces más importante quela meta de costos de importación.

TIPO

PRECIODE

VENTAS($/ft)

DEMANDA(ft)

TIEMPO DEMÁQUINA

(min/ft)

MATERIALPARA

SOLDAR(oz/ft)

COSTO DEPRODUCCIÓN

($/ft)

COSTO DECOMPRA

($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 3 6

C 9 5000 0.6 1 4 7

Cantidad disponible 40 hr 5500 oz

2. Modelación de metas. El departamento de nutrición del Hospital General Mountain View estápreparando un menú de comida que será servido un día cada mes. El departamento ha determinadoque esta comida deberá proporcionar 63000 miligramos (mg) de proteína, 10 mg de hierro, 15 mg deniacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Para lograr este objetivo, la comida debe consistir enuna cierta cantidad de espagueti, carne de pavo, papas gratinadas, espinaca y pastel de manzana. Enla siguiente tabla se indica la cantidad que proporcionan de cada nutriente (en mg.) y el costo (enUS$), por cada 100 gramos, para cada uno de dichos alimentos:

PROTEINAS HIERRO NIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA COSTO

Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000 0.15

Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000 0.80

Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900 0.12

Espinaca 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300 0.20

Pastel deManzana

4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300 0.51


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El departamento sabe que debe presentar una comida bien balanceada que guste al paciente. Coneste objetivo en mente, el departamento no servirá más de 300 gramos de espagueti, 300 gramos depavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Comodirector del departamento de nutrición, usted desea determinar la composición de una comida quesatisfaga los requerimientos nutricionales y cumpla 2 metas:

1)

El costo del menú no debe superar los US$ 22) El contenido de grasa máximo por menú debe ser de 55000 mg.

Xi: cantidad de porciones de 100gr., de la comida i, a servir por día.

3. Modelación de metas. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y

D), mediante dos procesos (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1, este entrega 400 kg deA, 100 kg de B y 100 kg de C. El proceso 2 entrega 100 kg de A, 100 kg de B y 100 kg de D porhora. El departamento de marketing de la compañía ha especificado que la producción diaria debe serno más de 500 kg de B y 300 kg de C, y al menos 800 kg de A y 100 kg de D. Una corrida delproceso 1 tiene un costo de 500 $/hr, y una corrida del proceso 2 tiene un costo de 100 $/hr. Supongaque 1 kg de cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 $ respectivamente, y que lasventas del proceso 1 son de 1400 $/hr y y del proceso 2 son de 1000 $/hr, así como también las

ganancias del proceso 1 son de 900 $/hr y del proceso 2 son de 900 $/hr. Formule un modelo deprogramación lineal para alcanzar las siguientes metas: que los costos se encuentren por debajo de30,000 $, que las ventas superen 100,000 $ y que las ganancias mínimas sean 200,000 $.

Xi: cantidad en kgs. del producto químico i, producido mediante el proceso j.

4. Modelación de metas. En una planta se pueden fabricar dos productos diferentes (1 y 2). El tiempoque cada producto requiere en cada una de las dos máquinas es el mostrado en el cuadro anexo.Cada máquina está disponible 220min. para cada producto. Formule un modelo de programaciónlineal para alcanzar las siguientes metas:

1)

Producción total: 14 unidades2) Del producto 1: 8 unidades

3)

Del producto 2: 9 unidades

Máquina (minutos)

Producto 1 2

1 20 15

2 14 18

Tiempo disponible (min) 220 220

Nota: Por cada meta se identifica una función objetivo o viceversa.

5.

Modelación de metas con ponderación. Una compañía está considerando unos nuevos productos. Seestá buscando determinar la mezcla óptima de los productos considerando 3 factores:a) Mantener el nivel actual de empleo de 400 trabajadores.b) Sostener la inversión de capital a menos de 60 millones de US$.c) Alcanzar una utilidad de por lo menos 120 millones de US$.

Ante la duda de no poder alcanzar las metas se establecen las siguientes penalizaciones: 5 si no llegana la meta de utilidad (por millón de US$ menos); 2 por sobrepasar la meta de empleo (por cientrabajadores); 4 por quedar por debajo de la misma meta; 3 por exceder la meta de inversión de

capital (por millón de US$ de más). La contribución de cada producto a la utilidad, nivel de empleo einversión se presenta en la siguiente tabla:


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P1 P2 P3

Utilidad a largo plazo (US$) 12 9 15 Al menos 120.000.000

Nivel de empleo (N° de trabajadores) 5 3 4 Mantener 400

Inversión de capital (US$) 5 7 8 Menos de 60.000.000

6. Modelación de metas con ponderaciones. Un inversor está dispuesto a invertir un capital de $ 80,000en seleccionar una cartera de inversiones en base a 2 tipos de acciones (US OIL y HUB properties).

El inversor ha identificado 2 objetivos para su selección de cartera:

- 1° Objetivo: Asumir un riesgo inferior a un Índice de Riesgo de la cartera de 700 puntos

- 2° Objetivo: Obtener un rendimiento anual mínimo de $9,000

La tabla siguiente resume los datos de precio y de rendimiento anual en S por acción y además sedetalla el índice de riesgo que posee cada tipo de acción:

Acciones Precio $/acción Rend. anual $/acción Índice de Riesgopuntos/acción

US Oil $25 $3 0.50

HUB Properties $50 $5 0.25

Además, se consultó al inversor y se obtuvieron los siguientes coeficientes de penalización:

a) Cada desvío correspondiente a un punto de riesgo superior es penalizado con un parámetro iguala 30.

b) Cada desvío correspondiente a un $ de rendimiento anual menor es penalizado por un coeficienteigual a 15.

Elabore y resuelva gráficamente el modelo.

Graficar


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7. Modelación de metas con ponderaciones. Una agencia publicitaria se plantea determinar un planpublicitario en la TV abierta, para la empresa Nevel S.A. que está preparando el próximo lanzamientode un nuevo modelo de automóvil.

La empresa Nevel S.A. tiene 3 objetivos para su pauta publicitaria:

- 1° Objetivo: Al menos 42 mil hombres de altos ingresos (HAI)

- 2° Objetivo: Al menos 60 mil personas de nivel de ingresos medios (NIM)

- 3° Objetivo: Al menos 40 mil mujeres de altos ingresos (MAI)

La agencia puede comprar 2 tipos de pautas publicitarias: pautas en programas deportivos y pautasen programas de entretenimiento musical. Se dispone de un presupuesto publicitario de $ 600,000.

La tabla siguiente resume los datos de costos y de audiencia potencial, en miles de personas, por minutode pauta:

Pauta Publicitaria HAI NIM MAI Costo

Sport 7 10 5 $ 100,000

Musical 3 5 4 $ 60,000

También es necesario identificar un costo asociado a los desvíos de cada uno de los objetivos entérminos de costo de oportunidad para la empresa Nevel S.A. Para este fin el departamento comercialde Nevel S.A. estimó los siguientes costos de oportunidad que servirán de base a la determinación delos coeficientes de penalización:

a) Cada desvío correspondiente a 1000 personas del Objetivo 1 representa un costo de oportunidadestimado de $ 200 mil.

b)

Cada desvío correspondiente a 1000 personas del Objetivo 2 representa un costo de oportunidadestimado de $ 100 mil.

c) Cada desvío correspondiente a 1000 personas del Objetivo 3 representa un costo de oportunidadestimado de $ 50 mil.

8. Modelación de metas con prioridades absolutas. La Gerencia de A.F. Co ha establecido metas para

los porcentajes de mercado que desea capturar para cada uno de los dos nuevos productos de lacompañía en sus respectivos mercados. En particular, desea que el producto A capture al menos 15%de su mercado (Meta 1) y el producto B al menos 10% (Meta 2).Se han planificado tres campañas de publicidad para el logro de estas metas. La primera está dirigidaal producto A, la segunda al producto B y la tercera intenta hacer hincapié en la imagen general de lacompañía y sus productos.

Sean x1, x2, x3 el presupuesto asignado (en miles de dólares) a las respectivas campañas. El porcentajede mercado para los dos productos se estima como:

% mercado de A = 0.5 x1 + 0.2 x3 % mercado de B = 0.3 x2 + 0.2 x3

Se dispone de US$ 55 mil para las tres campañas, y la gerencia ha dispuesto que se dedique al menosUS$ 10 mil a la tercera. Si no se puede lograr las 2 metas de parte de mercado de A y B, ladisminución en 1% de cada una de las metas se le adjudica la misma importancia.Se quiere establecer la asignación más efectiva del presupuesto global destinado a las campañas paraalcanzar los objetivos establecidos.

9. Modelación de metas con prioridades absolutas. La Gerencia de la empresa SOS & C° haestablecido cuotas mensuales para cada tipo de clientes que serán contactados por la compañía. La

estrategia de contacto con clientes de SOS C° consiste en que para las próximos 4 semanas, la fuerzaGraficar

Graficar


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de venta debe efectuar 200 contactos con clientes que hayan adquirido productos de la empresa en elpasado, y además deben realizar 120 contactos con nuevos clientes.La fuerza de venta está constituida por 4 empleados. Tomando en cuenta los tiempos de viaje y deespera, así como el tiempo de venta y demostración, SOS C° asigna 2 hs de esfuerzo para cadacontacto con clientes anteriores. Los contactos con nuevos clientes tienden a demorar más y requieren 3hs cada uno. Normalmente, un vendedor trabaja 40 hs a la semana, es decir 160 hs en un horizonte de

planificación de 4 semanas. En un programa de trabajo normal, los 4 vendedores disponen de 640 hs(4*160) de fuerza de venta para contacto con cliente

ejercicios iop1

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