Ejercicios sobre gradientes

1.- Determine las derivadas parciales

yw

xw

∂∂

∂∂ y , de las siguientes funciones:

a) ( ) 22

22

,yxyxyxw

−+

=

b) ( ) ( ) xeyyxw yx sincos, = 2.- Dada la función escalar ( ) ( ) ( )yxezxzyxh −+=,, , calcule

a) el módulo de ( )1,1,1h∇

b) ( )1,1,1rd

hd según la dirección indicada por el vector kjiurrrr 22 +−=

c) ¿cuál de los dos apartados anteriores da mayor resultado?

d) determine la dirección, dando un vector unitario, según la cual ( )1,1,1rd

hd es

máxima 3.- Dado el campo escalar ( ) xzyzxyzyx +−=Ψ 2,, .

a) Determine el vector que representa la dirección y la magnitud del máximo incremento del campo escalar, por unidad de longitud, en el punto P (2,-1,0).

b) Determine la variación por unidad de desplazamiento del campo escalar en el punto anterior en la dirección hacia el punto Q (0, 2, 6).

4.- Un campo electrostático, E

r, deriva del gradiente, cambiado de signo, de un potencial

eléctrico dado por la expresión ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

4sin,, 0

yezyx x πϕϕ .

a) Determine el campo eléctrico en el punto (1, 1, 0). b) Determine las líneas del campo eléctrico.

5.- Dado el campo escalar unidimensional ( ) 2/2xkxU = , llamado campo de energía potencial, donde k es una constante y U se mide en Julios,

a) Determine el campo vectorial asociado, Fr

, a través del gradiente cambiado de signo.

b) ¿Qué tipo de magnitud puede asociarse al campo vectorial Fr

? c) Cite algún ejemplo cotidiano que pueda describirse en primera aproximación

por medio del campo anterior. 6.- En la figura se muestran las líneas equipotenciales de un campo escalar, que se mide en Voltios, el cual no cambia en la dirección del eje Z.

( )zyxV ,,

a) Determine el cambio en el campo escalar, por unidad de longitud, cuando nos desplazamos según el eje de abscisas.

b) Determine el cambio en el campo escalar, por unidad de longitud, cuando nos desplazamos según el eje de ordenadas.

c) Encuentre el campo vectorial asociado a dicho campo escalar a través del gradiente cambiado de signo.

d) Halle la expresión de la función que representa el campo escalar dado.

7.- La temperatura de una sala está dada por ( ) ( ) 24 22 zyxrT −+=r . Un mosquito

ubicado en (1, 1, 2) quiere volar en la dirección que le permita calentarse lo más pronto posible. ¿En qué dirección debe volar? 8.- Determine el gradiente de los siguientes campos escalares:

a) ( ) zyzxzyxU 34,, 2 +=

b) ( ) ( ) φρφρ cos12,, 2zzW +=

c) ( ) φθφθ coscos,, 2rrH =