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Fundamentos de las Ciencias de la Administración Curso 2014

Trabajo práctico Nº 1

1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdade ros (para todos los conjuntos A, B y C)?

(a) Si A = B y B = C, entonces A = C

(b) Si A ∈ B y B ∈ C, entonces A ∈ C

(c) Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C

(d) Si A = B y B ∈ C, entonces A ∈ C

(e) Si A ∈ B y B = C, entonces A ∈ C

(f) Si A ∈ B y B ⊆ C, entonces A ∈ C

(g) Si A ⊆ B y B ∈ C, entonces A ∈ C

(h) Si A ⊂ B y B ∈ C, entonces B ⊂ C

(i) Si A ⊂ B y B ⊆ C, entonces A ⊂ C

(j) Si A ∈ B y B ⊂ C, entonces A ∈ C

2. Por cada uno de los enunciados del ejercicio 1 q ue sea falso, dé un ejemplo de conjuntos particular es A, B y C que demuestren que el enunciado no es (en gen eral) verdadero. Si le es posible encontrarlo, dé u n ejemplo en el que en el caso particular de dicho ej emplo el enunciado sí resulte verdadero.

3. Dé un ejemplo de conjuntos A, B, C y D que satis fagan las cuatro siguientes condiciones:

A ⊂ B ; B ∈ C ; C ⊆ D ; D = E

4. ¿En qué consiste el error del siguiente argument o?

Sócrates es un hombre. Los hombres son numerosos. Sócrates es numeroso.

5. ¿En qué consiste el error del siguiente argument o?

Los gatos machos son gatos. Los gatos son una especie. En consecuencia, los gatos machos son una especie.

6. En cada uno de los siguientes ejemplos decida cu ál de los siguientes enunciados son verdaderos:

(i) A ∈ B , (ii) A ⊆ B , (iii) A ⊂ B , (iv) A = B

Ejemplo (A):

A = {1, {1}, Alfonsín, 4}

B = {1, {1}, Alfonsín, Sanguinetti}

Ejemplo (B):

A = el conjunto de todos los números positivos

B = el conjunto de todos los enteros positivos y negativos

Ejemplo (C):

A es el conjunto que consiste de lo siguiente: el número 5, el conjunto consistente en Alfonsín, el conjunto consistente en el conjunto consistente en el número 1

B es el conjunto consistente de lo siguiente: el número 5, Alfonsín, el conjunto consistente en el conjunto consistente en Alfonsín, el número 1

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Ejemplo (D):

A = {1; 3; 4; 2; 9};

B = {1; 2 + 1; 1 + 8; 10; 2 + 0; 1008; 4}

Ejemplo (E): A es el conjunto cuyos elementos son los siguientes: el conjunto de todos los presidentes de la Argentina en el siglo XIX, Perón, Roca, el número positivo más pequeño divisible por 5 que no sea el mismo 5..

B es el conjunto cuyos elementos son los siguientes: el conjunto de todos los presidentes de la Argentina hasta 1990, el número 10.

7. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdade ros para todos los conjuntos? (a) Si A ∉ B y B ∉ C entonces A ∉ C

(b) Si A ≠ B y B ≠ C entonces A ≠ C

(c) Si A ∈ B y B ⊄ C entonces A ∉ C

(d) Si A ⊂ B y B ⊆ C entonces C ⊄ A

(e) Si A ⊆ B y B ∈ C entonces A ∉ C

8. Si A es el conjunto de todos los enteros positiv os, y B es el conjunto de todos los enteros mayores que 10, ¿qué son los siguientes?

A ∪ B A − B A ∩ B B − A

9. Si A es un conjunto cualquiera, ¿qué son los sig uientes?

A ∩ ∅ A − ∅ A ∪ ∅ ∅ − A

10. Dados: A = el conjunto de enteros positivos; B = {3, 5} ; C = {2, 4} ; D = {1, 2}, encuentre lo si guiente:

A − B (B ∪ C) ∩ (B ∪ D)

A − C A − (C ∩ D)

A − D (A − C) ∪ (A − D)

11. Dados:

A = {1, 2}

F = {{1, 3}, 1, 2}

B = {{3, 4}, 1, 7}

G = {{1, 2}, 1, 7}

C = {{3, 4}, 1, 2}

H = {{1, 2}, 1, 2}

D = {{1, 3}, 4, 7}

I = {{1, 2}. {1}, {2}}

E = {{1, 3}, 1, 7}

J = {{1}, {2}}

Encuentre lo siguiente:

A ∩ B A ∩ C

A ∩ D A ∩ E

A ∩ F A ∩ G

A ∩ H A ∩ I

A ∩ J

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12. Determine:

∅ ∩ {∅} { ∅} ∩ {∅} { ∅, {∅}} − ∅ {∅, {∅}} − {∅} { ∅, {∅}} − {{ ∅}}

13. Dados: A = {1}

B = {1, {1}} C = {1, 2}

D = {1, 2, {1}} E = {1, {1, {1}}}

encuentre lo siguiente:

A ∩ B

(C ∪ D) − B

A ∪ B

(A ∩ D) − E

(A ∪ B) ∩ C

{B} ∩ E

{A} ∩ B

({A} ∪ D) ∩ (E − C)

14. Usando los conjuntos del ejercicio anterior (13 ), ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

(a) A ∈ B

(b) A ⊆ B

(c) C ⊆ D

(d) B ∈ E

(e) B ∈ D

(f) B ⊆ E

(g) B − A ∈ D

(h) C ∈ D

(i) E − B ⊆ A

15. Si X = {1, 2, 3, 4, 5}; A = {1, 2}; B = {2, 3}; ¿qué son los siguientes?

AC

AC ∩ BC A − BC

BC

(A ∩ B)C

AC − B

AC − BC

16. Sea X el conjunto de todos los enteros positive s y sean

A = conjunto de todos los enteros positivos,

B = conjunto de todos los enteros positivos impares

C = conjunto de todos los enteros positivos mayores que 10

D = conjunto de todos los enteros positivos menores que 15.

Encuentre:

(a) AC

(b) (A ∪ B)C

(c) (A ∩ B)C

(d) CC

(e) D − C

(f) (D − C)C

(g) C ∪ DC

(h) CC ∩ D

(i) A − CC

(j) (A ∩ D) − EC

(k) A − (CC ∪ D)