ejercicios de informática de matemáticas

7/29/2019 Ejercicios de Informtica de Matemticas

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Ejercicios de Informtica de 1odeMatemticas (201112)

Jos A. Alonso Jimnez

Grupo de Lgica Computacional

Dpto. de Ciencias de la Computacin e Inteligencia Artificial

Universidad de Sevilla

Sevilla, 1 de Octubre de 2011 (Versin de 18 de febrero de 2012)
http://www.cs.us.es/~jalonsohttp://www.cs.us.es/glchttp://www.cs.us.es/http://www.us.es/http://www.us.es/http://www.cs.us.es/http://www.cs.us.es/glchttp://www.cs.us.es/~jalonso


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ndice general

1 Definiciones elementales de funciones (1) 7

2 Definiciones elementales de funciones (2) 133 Definiciones por comprensin (1) 23

4 Definiciones por comprensin (2) 29

5 Definiciones por comprensin (3): El cifrado Csar 39

6 Definiciones por recursin 45

7 Definiciones por recursin y por comprensin (1) 53

8 Definiciones por recursin y por comprensin (2) 69

9 Definiciones sobre cadenas, orden superior y plegado 81

10 Definiciones por plegado 99

11 Codificacin y transmisin de mensajes 107

12 Resolucin de problemas matemticos 113

13 Demostracin de propiedades por induccin 12514 El 2011 y los nmeros primos 133

15 Listas infinitas 141

16 Ejercicios de exmenes del curso 2010-11 149

A Exmenes 155A.1 Examen 1 (26 de Octubre de 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155A.2 Examen 2 (30 de Noviembre de 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3


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4 ndice general

A.3 Examen 3 (25 de Enero de 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


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Introduccin

Este libro es una recopilacin de las soluciones de ejercicios de la asignatura deInformtica (de 1o del Grado en Matemticas) correspondientes al curso 201112.

El objetivo de los ejercicios es complementar la introduccin a la programacinfuncional y a la algortmica con Haskell presentada en los temas del curso. Los apuntes

de los temas se encuentran en Temas de "Programacin funcional1.

Los ejercicios sigue el orden de las relaciones de problemas propuestos durante el

curso y, resueltos de manera colaborativa, en la wiki del curso2.

1h t t p : / / w w w . c s . u s . e s / ~ j a l o n s o / c u r s o s / i 1 m - 1 1 / t e m a s / 2 0 1 1 - 1 2 - I M - t e m a s - P F . p d f

2h t t p : / / w w w . g l c . u s . e s / ~ j a l o n s o / e j e r c i c i o s I 1 M 2 0 1 1 G 1

5
http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-11/temas/2011-12-IM-temas-PF.pdfhttp://www.glc.us.es/~jalonso/ejerciciosI1M2011G1http://www.glc.us.es/~jalonso/ejerciciosI1M2011G1http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-11/temas/2011-12-IM-temas-PF.pdfhttp://www.glc.us.es/~jalonso/ejerciciosI1M2011G1http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-11/temas/2011-12-IM-temas-PF.pdf


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6 ndice general


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Relacin 1

Definiciones elementales de funciones

(1)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - I n t r o d u c c i n - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E n e s t a r e l a c i n s e p l a n t e a n e j e r c i c i o s c o n d e f i n i c i o n e s

- - e l e m e n t a l e s ( n o r e c u r s i v a s ) d e f u n c i o n e s p a r a e j e r c i t a r l a

- - i n t r o d u c c i n a H a s k e l l p r e s e n t a d a e n e l t e m a 2 y c u y a s

- - t r a n s p a r e n c i a s s e e n c u e n t r a n e n

- - h t t p : / / w w w . c s . u s . e s / ~ j a l o n s o / c u r s o s / i 1 m - 1 1 / t e m a s / t e m a - 2 t . p d f

- - P a r a s o l u c i o n a r l o s e j e r c i c i o s p u e d e s e r t i l e l " R e s u m e n d e

- - f u n c i o n e s d e H a s k e l l " q u e s e e n c u e n t r a e n

- - h t t p : / / w w w . c s . u s . e s / ~ j a l o n s o / c u r s o s / i 1 m - 1 1 / d o c / r e s u m e n _ H a s k e l l . p d f

- - E n c o n c r e t o , s e e s t u d i a n f u n c i o n e s p a r a c a l c u l a r

- - * l a m e d i a d e 3 n m e r o s ,

- - * l a s u m a d e e u r o s d e u n a c o l e c c i n d e m o n e d a s ,

- - * e l v o l u m e n d e l a e s f e r a ,

- - * e l r e a d e u n a c o r o n a c i r c u l a r ,

- - * l a i n t e r c a l a c i n d e p a r e s ,

- - * l a l t i m a c i f r a d e u n n m e r o ,

- - * l a r o t a c i n d e l i s t a s ,

- - * e l r a n g o d e u n a l i s t a ,

- - * e l r e c o n o c i m i e n t o d e p a l n d r o m o s ,

- - * l a i g u a l d a d y d i f e r e n c i a d e 3 e l e m e n t o s ,

- - * l a i g u a l d a d d e 4 e l e m e n t o s ,

- - * e l m x i m o d e 3 e l e m e n t o s ,

7


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8 Relacin 1. Definiciones elementales de funciones (1)

- - * l a d i v i s i n s e g u r a y

- - * e l r e a d e u n t r i n g u l o m e d i a n t e l a f r m u l a d e H e r n .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 . D e f i n i r l a f u n c i n m e d i a 3 t a l q u e ( m e d i a 3 x y z ) e s

- - l a m e d i a a r i t m t i c a d e l o s n m e r o s x , y y z . P o r e j e m p l o ,

- - m e d i a 3 1 3 8 = = 4 . 0

- - m e d i a 3 ( - 1 ) 0 7 = = 2 . 0

- - m e d i a 3 ( - 3 ) 0 3 = = 0 . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

m e d i a 3 x y z = ( x + y + z ) / 3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 2 . D e f i n i r l a f u n c i n s u m a M o n e d a s t a l q u e

- - ( s u m a M o n e d a s a b c d e ) e s l a s u m a d e l o s e u r o s c o r r e s p o n d i e n t e s a

- - a m o n e d a s d e 1 e u r o , b d e 2 e u r o s , c d e 5 e u r o s , d 1 0 e u r o s y

- - e d e 2 0 e u r o s . P o r e j e m p l o ,

- - s u m a M o n e d a s 0 0 0 0 1 = = 2 0

- - s u m a M o n e d a s 0 0 8 0 3 = = 1 0 0

- - s u m a M o n e d a s 1 1 1 1 1 = = 3 8

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s u m a M o n e d a s a b c d e = 1 * a + 2 * b + 5 * c + 1 0 * d + 2 0 * e

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- - E j e r c i c i o 3 . D e f i n i r l a f u n c i n v o l u m e n E s f e r a t a l q u e

- - ( v o l u m e n E s f e r a r ) e s e l v o l u m e n d e l a e s f e r a d e r a d i o r . P o r e j e m p l o ,

- - v o l u m e n E s f e r a 1 0 = = 4 1 8 8 . 7 9 0 2 0 4 7 8 6 3 9 1

- - I n d i c a c i n : U s a r l a c o n s t a n t e p i .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

v o l u m e n E s f e r a r = ( 4 / 3 ) * p i * r ^ 3

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- - E j e r c i c i o 4 . D e f i n i r l a f u n c i n a r e a D e C o r o n a C i r c u l a r t a l q u e

- - ( a r e a D e C o r o n a C i r c u l a r r 1 r 2 ) e s e l r e a d e u n a c o r o n a c i r c u l a r d e

- - r a d i o i n t e r i o r r 1 y r a d i o e x t e r i o r r 2 . P o r e j e m p l o ,

- - a r e a D e C o r o n a C i r c u l a r 1 2 = = 9 . 4 2 4 7 7 7 9 6 0 7 6 9 3 8

- - a r e a D e C o r o n a C i r c u l a r 2 5 = = 6 5 . 9 7 3 4 4 5 7 2 5 3 8 5 6 6


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9

- - a r e a D e C o r o n a C i r c u l a r 3 5 = = 5 0 . 2 6 5 4 8 2 4 5 7 4 3 6 6 9

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a r e a D e C o r o n a C i r c u l a r r 1 r 2 = p i * ( r 2 ^ 2 - r 1 ^ 2 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . D e f i n i r l a f u n c i n i n t e r c a l a q u e r e c i b a d o s l i s t a s x s e

- - y s d e d o s e l e m e n t o s c a d a u n a , y d e v u e l v a u n a l i s t a d e c u a t r o

- - e l e m e n t o s , c o n s t r u i d a i n t e r c a l a n d o l o s e l e m e n t o s d e x s e y s . P o r

- - e j e m p l o ,

- - i n t e r c a l a [ 1 , 4 ] [ 3 , 2 ] = = [ 1 , 3 , 4 , 2 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

i n t e r c a l a [ x 1 , x 2 ] [ y 1 , y 2 ] = [ x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ]

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- - E j e r c i c i o 6 . D e f i n i r l a f u n c i n u l t i m a C i f r a t a l q u e ( u l t i m a C i f r a x )

- - e s l a l t i m a c i f r a d e l n m e r o x . P o r e j e m p l o ,

- - u l t i m a C i f r a 3 2 5 = = 5

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u l t i m a C i f r a x = r e m x 1 0

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- - E j e r c i c i o 7 . D e f i n i r l a f u n c i n r o t a 1 t a l q u e ( r o t a 1 x s ) e s l a l i s t a

- - o b t e n i d a p o n i e n d o e l p r i m e r e l e m e n t o d e x s a l f i n a l d e l a l i s t a . P o r

- - e j e m p l o ,

- - r o t a 1 [ 3 , 2 , 5 , 7 ] = = [ 2 , 5 , 7 , 3 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

r o t a 1 x s = t a i l x s + + [ h e a d x s ]

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- - E j e r c i c i o 8 . D e f i n i r l a f u n c i n r o t a t a l q u e ( r o t a n x s ) e s l a l i s t a

- - o b t e n i d a p o n i e n d o l o s n p r i m e r o s e l e m e n t o s d e x s a l f i n a l d e l a

- - l i s t a . P o r e j e m p l o ,

- - r o t a 1 [ 3 , 2 , 5 , 7 ] = = [ 2 , 5 , 7 , 3 ]

- - r o t a 2 [ 3 , 2 , 5 , 7 ] = = [ 5 , 7 , 3 , 2 ]

- - r o t a 3 [ 3 , 2 , 5 , 7 ] = = [ 7 , 3 , 2 , 5 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


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r o t a n x s = d r o p n x s + + t a k e n x s

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 9 . D e f i n i r l a f u n c i n r a n g o t a l q u e ( r a n g o x s ) e s l a

- - l i s t a f o r m a d a p o r e l m e n o r y m a y o r e l e m e n t o d e x s .

- - r a n g o [ 3 , 2 , 7 , 5 ] = = [ 2 , 7 ]

- - I n d i c a c i n : S e p u e d e n u s a r m i n i m u m y m a x i m u m .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

r a n g o x s = [ m i n i m u m x s , m a x i m u m x s ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 0 . D e f i n i r l a f u n c i n p a l i n d r o m o t a l q u e ( p a l i n d r o m o x s ) s e

- - v e r i f i c a s i x s e s u n p a l n d r o m o ; e s d e c i r , e s l o m i s m o l e e r x s d e

- - i z q u i e r d a a d e r e c h a q u e d e d e r e c h a a i z q u i e r d a . P o r e j e m p l o ,

- - p a l i n d r o m o [ 3 , 2 , 5 , 2 , 3 ] = = T r u e

- - p a l i n d r o m o [ 3 , 2 , 5 , 6 , 2 , 3 ] = = F a l s e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p a l i n d r o m o x s = x s = = r e v e r s e x s

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- - E j e r c i c i o 1 1 . D e f i n i r l a f u n c i n t r e s I g u a l e s t a l q u e

- - ( t r e s I g u a l e s x y z ) s e v e r i f i c a s i l o s e l e m e n t o s x , y y z s o n

- - i g u a l e s . P o r e j e m p l o ,

- - t r e s I g u a l e s 4 4 4 = = T r u e

- - t r e s I g u a l e s 4 3 4 = = F a l s e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

t r e s I g u a l e s x y z = x = = y & & y = = z

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- - E j e r c i c i o 1 2 . D e f i n i r l a f u n c i n t r e s D i f e r e n t e s t a l q u e

- - ( t r e s D i f e r e n t e s x y z ) s e v e r i f i c a s i l o s e l e m e n t o s x , y y z s o n

- - d i s t i n t o s . P o r e j e m p l o ,

- - t r e s D i f e r e n t e s 3 5 2 = = T r u e

- - t r e s D i f e r e n t e s 3 5 3 = = F a l s e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


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11

t r e s D i f e r e n t e s x y z = x / = y & & x / = z & & y / = z

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 3 . D e f i n i r l a f u n c i n c u a t r o I g u a l e s t a l q u e

- - ( c u a t r o I g u a l e s x y z u ) s e v e r i f i c a s i l o s e l e m e n t o s x , y , z y u s o n

- - i g u a l e s . P o r e j e m p l o ,

- - c u a t r o I g u a l e s 5 5 5 5 = = T r u e

- - c u a t r o I g u a l e s 5 5 4 5 = = F a l s e

- - I n d i c a c i n : U s a r l a f u n c i n t r e s I g u a l e s .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c u a t r o I g u a l e s x y z u = x = = y & & t r e s I g u a l e s y z u

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 4 . D e f i n i r l a f u n c i n m a x T r e s t a l q u e ( m a x T r e s x y z ) e s

- - e l m x i m o d e x , y y z . P o r e j e m p l o ,

- - m a x T r e s 6 2 4 = = 6

- - m a x T r e s 6 7 4 = = 7

- - m a x T r e s 6 7 9 = = 9

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

m a x T r e s x y z = m a x x ( m a x y z )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 5 . D e f i n i r l a f u n c i n d i v i s i o n S e g u r a t a l q u e

- - ( d i v i s i o n S e g u r a x y ) e s x / y s i y n o e s c e r o e y 9 9 9 9 e n c a s o

- - c o n t r a r i o . P o r e j e m p l o ,

- - d i v i s i o n S e g u r a 7 2 = = 3 . 5

- - d i v i s i o n S e g u r a 7 0 = = 9 9 9 9 . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

d i v i s i o n S e g u r a _ 0 = 9 9 9 9

d i v i s i o n S e g u r a x y = x / y

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 6 . E n g e o m e t r a , l a f r m u l a d e H e r n , d e s c u b i e r t a p o r

- - H e r n d e A l e j a n d r a , d i c e q u e e l r e a d e u n t r i n g u l o c u y o l a d o s

- - m i d e n a , b y c e s l a r a z c u a d r a d a d e s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) d o n d e s e s e l

- - s e m i p e r m e t r o

- - s = ( a + b + c ) / 2


12/162


- - D e f i n i r l a f u n c i n a r e a t a l q u e ( a r e a a b c ) e s e l r e a d e u n

- - t r i n g u l o d e l a d o s a , b y c . P o r e j e m p l o ,

- - a r e a 3 4 5 = = 6 . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a r e a a b c = s q r t ( s * ( s - a ) * ( s - b ) * ( s - c ) )

w h e r e s = ( a + b + c ) / 2


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Relacin 2

Definiciones elementales de funciones

(2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - I n t r o d u c c i n - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E n e s t a r e l a c i n s e p r e s e n t a n e j e r c i c i o s c o n d e f i n i c i o n e s e l e m e n t a l e s

- - ( n o r e c u r s i v a s ) d e f u n c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l t e m a 4 c u y a s

- - t r a n s p a r e n c i a s s e e n c u e n t r a n e n

- - h t t p : / / w w w . c s . u s . e s / ~ j a l o n s o / c u r s o s / i 1 m - 1 1 / t e m a s / t e m a - 4 t . p d f


- - * e l m d u l o d e u n v e c t o r ,

- - * e l c u a d r a n t e d e u n p u n t o ,

- - * e l i n t e r c a m b i o d e c o o r d e n a d a s ,

- - * e l p u n t o s i m t r i c o ,

- - * l a s r a c e s d e l a s e c u a c i o n e s c u a d r t i c a s y

- - * l a d i s y u n c i n e x c l u y e n t e ,

- - * l o s f i n a l e s d e u n a l i s t a ,

- - * l o s s e g m e n t o s d e u n a l i s t a ,

- - * e l m e d i a n o d e 3 n m e r o s ,

- - * l a d i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s ,

- - * l o s e x t r e m o s d e u n a l i s t a ,

- - * e l p u n t o m e d i o e n t r e o t r o s d o s ,

- - * l a p e r m u t a c i n c c l i c a d e u n a l i s t a ,

- - * e l m a y o r n m e r o d e 2 c i f r a c o n d o s d g i t o s d a d o s ,

- - * l a p r o p i e d a d t r i a n g u l a r ,

- - * l a f o r m a r e d u c i d a d e u n n m e r o r a c i o n a l ,

13


14/162


- - * l a s u m a d e d o s n m e r o s r a c i o n a l e s ,

- - * e l p r o d u c t o d e d o s n m e r o s r a c i o n a l e s ,

- - * l a p r o p i e d a d d e i g u a l d a d d e n m e r o s r a c i o n a l e s ,

- - * l a s u m a d e d o s n m e r o s c o m p l e j o s ,

- - * e l p r o d u c t o d e d o s n m e r o s c o m p l e j o s y

- - * e l c o n j u g a d o d e u n n m e r o c o m p l e j o .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 . D e f i n i r l a f u n c i n m o d u l o t a l q u e ( m o d u l o v ) e s e l

- - m d u l o d e l v e c t o r v . P o r e j e m p l o ,

- - m o d u l o ( 3 , 4 ) = = 5 . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

m o d u l o ( x , y ) = s q r t ( x ^ 2 + y ^ 2 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 2 . D e f i n i r l a f u n c i n c u a d r a n t e t a l q u e ( c u a d r a n t e p ) e s

- - e s c u a d r a n t e d e l p u n t o p ( s e s u p o n e q u e p n o e s t s o b r e l o s

- - e j e s ) . P o r e j e m p l o ,

- - c u a d r a n t e ( 3 , 5 ) = = 1

- - c u a d r a n t e ( - 3 , 5 ) = = 2

- - c u a d r a n t e ( - 3 , - 5 ) = = 3

- - c u a d r a n t e ( 3 , - 5 ) = = 4

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c u a d r a n t e ( x , y )

| x > 0 & & y > 0 = 1

| x < 0 & & y > 0 = 2

| x < 0 & & y < 0 = 3

| x > 0 & & y < 0 = 4

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 3 . D e f i n i r l a f u n c i n i n t e r c a m b i a t a l q u e ( i n t e r c a m b i a p )

- - e s e l p u n t o o b t e n i d o i n t e r c a m b i a n d o l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o p . P o r

- - e j e m p l o ,

- - i n t e r c a m b i a ( 2 , 5 ) = = ( 5 , 2 )

- - i n t e r c a m b i a ( 5 , 2 ) = = ( 2 , 5 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

i n t e r c a m b i a ( x , y ) = ( y , x )


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15

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 4 . D e f i n i r l a f u n c i n s i m e t r i c o H t a l q u e ( s i m e t r i c o H p ) e s

- - e l p u n t o s i m t r i c o d e p r e s p e c t o d e l e j e h o r i z o n t a l . P o r e j e m p l o ,

- - s i m e t r i c o H ( 2 , 5 ) = = ( 2 , - 5 )

- - s i m e t r i c o H ( 2 , - 5 ) = = ( 2 , 5 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s i m e t r i c o H ( x , y ) = ( x , - y )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . ( R a c e s d e u n a e c u a c i n d e s e g u n d o g r a d o ) D e f i n i r l a

- - f u n c i n r a i c e s d e f o r m a q u e ( r a i c e s a b c ) d e v u e l v e l a l i s t a d e l a s

- - r a i c e s r e a l e s d e l a e c u a c i n a x ^ 2 + b x + c = 0 . P o r e j e m p l o ,

- - r a i c e s 1 ( - 2 ) 1 = = [ 1 . 0 , 1 . 0 ]

- - r a i c e s 1 3 2 = = [ - 1 . 0 , - 2 . 0 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - 1

a

s o l u c i n

r a i c e s _ 1 a b c = [ ( - b + d ) / t , ( - b - d ) / t ]

w h e r e d = s q r t ( b ^ 2 - 4 * a * c )

t = 2 * a

- - 2

a

s o l u c i n

r a i c e s _ 2 a b c

| d > = 0 = [ ( - b + e ) / ( 2 * a ) , ( - b - e ) / ( 2 * a ) ]

| o t h e r w i s e = e r r o r " N o t i n e r a i c e s r e a l e s "

w h e r e d = b ^ 2 - 4 * a * c

e = s q r t d

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 6 . L a d i s y u n c i n e x c l u y e n t e x o r d e d o s f r m u l a s s e v e r i f i c a

- - s i u n a e s v e r d a d e r a y l a o t r a e s f a l s a .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 6 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n x o r _ 1 q u e c a l c u l e l a d i s y u n c i n

- - e x c l u y e n t e a p a r t i r d e l a t a b l a d e v e r d a d . U s a r 4 e c u a c i o n e s , u n a p o r

- - c a d a l n e a d e l a t a b l a .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x o r _ 1 : : B o o l - > B o o l - > B o o l


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x o r _ 1 T r u e T r u e = F a l s e

x o r _ 1 T r u e F a l s e = T r u e

x o r _ 1 F a l s e T r u e = T r u e

x o r _ 1 F a l s e F a l s e = F a l s e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


- - e x c l u y e n t e a p a r t i r d e l a t a b l a d e v e r d a d y p a t r o n e s . U s a r 2

- - e c u a c i o n e s , u n a p o r c a d a v a l o r d e l p r i m e r a r g u m e n t o .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


x o r _ 2 T r u e y = n o t y

x o r _ 2 F a l s e y = y

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- - e x c l u y e n t e a p a r t i r d e l a d i s y u n c i n ( | | ) , c o n j u n c i n ( & & ) y n e g a c i n

- - ( n o t ) . U s a r 1 e c u a c i n .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


x o r _ 3 x y = ( x | | y ) & & n o t ( x & & y )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


- - e x c l u y e n t e a p a r t i r d e d e s i g u a l d a d ( / = ) . U s a r 1 e c u a c i n .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


x o r _ 4 x y = x / = y

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- - E j e r c i c i o 7 . D e f i n i r l a f u n c i n f i n a l e s t a l q u e ( f i n a l e s n x s ) e s l a

- - l i s t a f o r m a d a p o r l o s n f i n a l e s e l e m e n t o s d e x s . P o r e j e m p l o ,

- - f i n a l e s 3 [ 2 , 5 , 4 , 7 , 9 , 6 ] = = [ 7 , 9 , 6 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

f i n a l e s n x s = d r o p ( l e n g t h x s - n ) x s


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17

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- - E j e r c i c i o 8 . D e f i n i r l a f u n c i n s e g m e n t o t a l q u e ( s e g m e n t o m n x s ) e s

- - l a l i s t a d e l o s e l e m e n t o s d e x s c o m p r e n d i d o s e n t r e l a s p o s i c i o n e s m y

- - n . P o r e j e m p l o ,

- - s e g m e n t o 3 4 [ 3 , 4 , 1 , 2 , 7 , 9 , 0 ] = = [ 1 , 2 ]

- - s e g m e n t o 3 5 [ 3 , 4 , 1 , 2 , 7 , 9 , 0 ] = = [ 1 , 2 , 7 ]

- - s e g m e n t o 5 3 [ 3 , 4 , 1 , 2 , 7 , 9 , 0 ] = = [ ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s e g m e n t o m n x s = d r o p ( m - 1 ) ( t a k e n x s )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 9 . D e f i n i r l a f u n c i n m e d i a n o t a l q u e ( m e d i a n o x y z ) e s e l

- - n m e r o m e d i a n o d e l o s t r e s n m e r o s x , y y z . P o r e j e m p l o ,

- - m e d i a n o 3 2 5 = = 3

- - m e d i a n o 2 4 5 = = 4

- - m e d i a n o 2 6 5 = = 5

- - m e d i a n o 2 6 6 = = 6

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

m e d i a n o x y z = x + y + z - m i n i m u m [ x , y , z ] - m a x i m u m [ x , y , z ]

- - O t r a s o l u c i n e s

m e d i a n o ' x y z

| a < = x & & x < = b = x

| a < = y & & y < = b = y

| o t h e r w i s e = z

w h e r e a = m i n i m u m [ x , y , z ]

b = m a x i m u m [ x , y , z ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 0 . D e f i n i r l a f u n c i n d i s t a n c i a t a l q u e ( d i s t a n c i a p 1 p 2 )

- - e s l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s p 1 y p 2 . P o r e j e m p l o ,

- - d i s t a n c i a ( 1 , 2 ) ( 4 , 6 ) = = 5 . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

d i s t a n c i a ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) = s q r t ( ( x 1 - x 2 ) ^ 2 + ( y 1 - y 2 ) ^ 2 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 1 . D e f i n i r l a f u n c i n e x t r e m o s t a l q u e ( e x t r e m o s n x s ) e s


18/162


- - l a l i s t a f o r m a d a p o r l o s n p r i m e r o s e l e m e n t o s d e x s y l o s n f i n a l e s

- - e l e m e n t o s d e x s . P o r e j e m p l o ,

- - e x t r e m o s 3 [ 2 , 6 , 7 , 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 9 , 2 , 3 ] = = [ 2 , 6 , 7 , 9 , 2 , 3 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e x t r e m o s n x s = t a k e n x s + + d r o p ( l e n g t h x s - n ) x s

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 2 . D e f i n i r l a f u n c i n p u n t o M e d i o t a l q u e ( p u n t o M e d i o p 1 p 2 )

- - e s e l p u n t o m e d i o e n t r e l o s p u n t o s p 1 y p 2 . P o r e j e m p l o ,

- - p u n t o M e d i o ( 0 , 2 ) ( 0 , 6 ) = = ( 0 . 0 , 4 . 0 )

- - p u n t o M e d i o ( - 1 , 2 ) ( 7 , 6 ) = = ( 3 . 0 , 4 . 0 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p u n t o M e d i o ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) = ( ( x 1 + x 2 ) / 2 , ( y 1 + y 2 ) / 2 )

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- - E j e r c i c i o 1 3 . D e f i n i r u n a f u n c i n c i c l o q u e p e r m u t e c c l i c a m e n t e l o s

- - e l e m e n t o s d e u n a l i s t a , p a s a n d o e l l t i m o e l e m e n t o a l p r i n c i p i o d e l a

- - l i s t a . P o r e j e m p l o ,

- - c i c l o [ 2 , 5 , 7 , 9 ] = = [ 9 , 2 , 5 , 7 ]

- - c i c l o [ ] = = [ 9 , 2 , 5 , 7 ]

- - c i c l o [ 2 ] = = [ 2 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c i c l o [ ] = [ ]

c i c l o x s = l a s t x s : i n i t x s

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 4 . D e f i n i r l a f u n c i o n n u m e r o M a y o r t a l q u e

- - ( n u m e r o M a y o r x y ) e s e l m a y o r n m e r o d e d o s c i f r a s q u e p u e d e

- - c o n s t r u i r s e c o n l o s d g i t o s x e y . P o r e j e m p l o ,

- - n u m e r o M a y o r 2 5 = = 5 2

- - n u m e r o M a y o r 5 2 = = 5 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

n u m e r o M a y o r x y = a * 1 0 + b

w h e r e a = m a x x y

b = m i n x y


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19

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 5 . L a s l o n g i t u d e s d e l o s l a d o s d e u n t r i n g u l o n o p u e d e n

- - s e r c u a l e s q u i e r a . P a r a q u e p u e d a c o n s t r u i r s e e l t r i n g u l o , t i e n e q u e

- - c u m p l i r s e l a p r o p i e d a d t r i a n g u l a r ; e s d e c i r , l o n g i t u d d e c a d a l a d o

- - t i e n e q u e s e r m e n o r q u e l a s u m a d e l o s o t r o s d o s l a d o s .

- -

- - D e f i n i r l a f u n c i n t r i a n g u l a r t a l q u e ( t r i a n g u l a r a b c ) s e v e r i f i c a

- - s i a , b y c c o m p l e n l a p r o p i e d a d t r i a n g u l a r . P o r e j e m p l o ,

- - t r i a n g u l a r 3 4 5 = = T r u e

- - t r i a n g u l a r 3 0 4 5 = = F a l s e



- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

t r i a n g u l a r a b c = a < b + c & & b < a + c & & c < a + b

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 6 . L o s n m e r o s r a c i o n a l e s p u e d e n r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e

- - p a r e s d e n m e r o s e n t e r o s . P o r e j e m p l o , e l n m e r o 2 / 5 p u e d e

- - r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e e l p a r ( 2 , 5 ) .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 6 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n f o r m a R e d u c i d a t a l q u e

- - ( f o r m a R e d u c i d a x ) e s l a f o r m a r e d u c i d a d e l n m e r o r a c i o n a l x . P o r

- - e j e m p l o ,

- - f o r m a R e d u c i d a ( 4 , 1 0 ) = = ( 2 , 5 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

f o r m a R e d u c i d a ( a , b ) = ( a ` d i v ` c , b ` d i v ` c )

w h e r e c = g c d a b

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 6 . 2 . D e f i n i r l a f u n c i n s u m a R a c i o n a l t a l q u e

- - ( s u m a R a c i o n a l x y ) e s l a s u m a d e l o s n m e r o s r a c i o n a l e s x e y . P o r e j e m p l o ,

- - s u m a R a c i o n a l ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) = = ( 3 , 2 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s u m a R a c i o n a l ( a , b ) ( c , d ) = f o r m a R e d u c i d a ( a * d + b * c , b * d )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 6 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n p r o d u c t o R a c i o n a l t a l q u e


20/162


- - ( p r o d u c t o R a c i o n a l x y ) e s e l p r o d u c t o d e l o s n m e r o s r a c i o n a l e s x e

- - y . P o r e j e m p l o ,

- - p r o d u c t o R a c i o n a l ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) = = ( 5 , 9 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p r o d u c t o R a c i o n a l ( a , b ) ( c , d ) = f o r m a R e d u c i d a ( a * c , b * d )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 6 . 4 . D e f i n i r l a f u n c i n i g u a l d a d R a c i o n a l t a l q u e

- - ( i g u a l d a d R a c i o n a l x y ) s e v e r i f i c a s i l o s n m e r o s r a c i o n a l e s x e

- - y s o n i g u a l e s . P o r e j e m p l o ,

- - i g u a l d a d R a c i o n a l ( 6 , 9 ) ( 1 0 , 1 5 ) = = T r u e

- - i g u a l d a d R a c i o n a l ( 6 , 9 ) ( 1 1 , 1 5 ) = = F a l s e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

i g u a l d a d R a c i o n a l ( a , b ) ( c , d ) =

f o r m a R e d u c i d a ( a , b ) = = f o r m a R e d u c i d a ( c , d )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 7 . L o s n m e r o s c o m p l e j o s p u e d e n r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e

- - p a r e s d e n m e r o s c o m p l e j o s . P o r e j e m p l o , e l n m e r o 2 + 5 i p u e d e

- - r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e e l p a r ( 2 , 5 ) .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 7 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n s u m a C o m p l e j o s t a l q u e

- - ( s u m a C o m p l e j o s x y ) e s l a s u m a d e l o s n m e r o s c o m p l e j o s x e y . P o r

- - e j e m p l o ,

- - s u m a C o m p l e j o s ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) = = ( 7 , 9 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s u m a C o m p l e j o s ( a , b ) ( c , d ) = ( a + c , b + d )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 7 . 2 . D e f i n i r l a f u n c i n p r o d u c t o C o m p l e j o s t a l q u e

- - ( p r o d u c t o C o m p l e j o s x y ) e s e l p r o d u c t o d e l o s n m e r o s c o m p l e j o s x e

- - y . P o r e j e m p l o ,

- - p r o d u c t o C o m p l e j o s ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) = = ( - 8 , 2 7 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p r o d u c t o C o m p l e j o s ( a , b ) ( c , d ) = ( a * c - b * d , a * d + b * c )


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21

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- - E j e r c i c i o 1 7 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n c o n j u g a d o t a l q u e ( c o n j u g a d o x ) e s

- - e l c o n j u g a d o d e l n m e r o c o m p l e j o z . P o r e j e m p l o ,

- - c o n j u g a d o ( 2 , 3 ) = = ( 2 , - 3 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c o n j u g a d o ( a , b ) = ( a , - b )


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Relacin 3

Definiciones por comprensin (1)

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- - I n t r o d u c c i n - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E n e s t a r e l a c i n s e p r e s e n t a n e j e r c i c i o s c o n d e f i n i c i o n e s p o r

- - c o m p r e n s i n c o r r e s p o n d i e n t e s a l t e m a 5 c u y a s t r a n s p a r e n c i a s s e

- - e n c u e n t r a n e n

- - h t t p : / / w w w . c s . u s . e s / ~ j a l o n s o / c u r s o s / i 1 m - 1 1 / t e m a s / t e m a - 5 . p d f


- - * l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l o s n p r i m e r o s n m e r o s ,

- - * l i s t a s c o n u n e l e m e n t o r e p l i c a d o ,

- - * t e r n a s p i t a g r i c a s ,

- - * n m e r o s p e r f e c t o s ,

- - * p r o d u c t o c a r t e s i a n o ,

- - * p o s i c i o n e s d e u n e l e m e n t o e n u n a l i s t a ,

- - * p r o d u c t o e s c a l a r y

- - * l a s o l u c i n d e l p r o b l e m a 1 d e l p r o y e c t o E u l e r .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 . D e f i n i r , p o r c o m p r e n s i n , l a f u n c i n

- - s u m a D e C u a d r a d o s : : I n t e g e r - > I n t e g e r

- - t a l q u e ( s u m a D e C u a d r a d o s n ) e s l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l o s

- - p r i m e r o s n n m e r o s ; e s d e c i r , 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + . . . + n ^ 2 . P o r e j e m p l o ,

- - s u m a D e C u a d r a d o s 3 = = 1 4

- - s u m a D e C u a d r a d o s 1 0 0 = = 3 3 8 3 5 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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24 Relacin 3. Definiciones por comprensin (1)

s u m a D e C u a d r a d o s : : I n t e g e r - > I n t e g e r

s u m a D e C u a d r a d o s n = s u m [ x ^ 2 | x < - [ 1 . . n ] ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 2 . D e f i n i r p o r c o m p r e n s i n l a f u n c i n

- - r e p l i c a : : I n t - > a - > [ a ]

- - t a l q u e ( r e p l i c a n x ) e s l a l i s t a f o r m a d a p o r n c o p i a s d e l e l e m e n t o

- - x . P o r e j e m p l o ,

- - r e p l i c a 3 T r u e = = [ T r u e , T r u e , T r u e ]

- - N o t a : L a f u n c i n r e p l i c a e s e q u i v a l e n t e a l a p r e d e f i n i d a r e p l i c a t e .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

r e p l i c a : : I n t - > a - > [ a ]

r e p l i c a n x = [ x | _ < - [ 1 . . n ] ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 3 . 1 . U n a t e r n a ( x , y , z ) d e e n t e r o s p o s i t i v o s e s p i t a g r i c a

- - s i x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 . U s a n d o u n a l i s t a p o r c o m p r e n s i n , d e f i n i r l a

- - f u n c i n

- - p i t a g o r i c a s : : I n t - > [ ( I n t , I n t , I n t ) ]

- - t a l q u e ( p i t a g o r i c a s n ) e s l a l i s t a d e t o d a s l a s t e r n a s p i t a g r i c a s

- - c u y a s c o m p o n e n t e s e s t n e n t r e 1 y n . P o r e j e m p l o ,

- - p i t a g o r i c a s 1 0 = = [ ( 3 , 4 , 5 ) , ( 4 , 3 , 5 ) , ( 6 , 8 , 1 0 ) , ( 8 , 6 , 1 0 ) ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p i t a g o r i c a s : : I n t - > [ ( I n t , I n t , I n t ) ]

p i t a g o r i c a s n = [ ( x , y , z ) | x < - [ 1 . . n ] ,

y < - [ 1 . . n ] ,

z < - [ 1 . . n ] ,

x ^ 2 + y ^ 2 = = z ^ 2 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 3 . 2 . D e f i n i r l a f u n c i n

- - n u m e r o D e P a r e s : : ( I n t , I n t , I n t ) - > I n t

- - t a l q u e ( n u m e r o D e P a r e s t ) e s e l n m e r o d e e l e m e n t o s p a r e s d e l a t e r n a

- - t . P o r e j e m p l o ,

- - n u m e r o D e P a r e s ( 3 , 5 , 7 ) = = 0

- - n u m e r o D e P a r e s ( 3 , 6 , 7 ) = = 1

- - n u m e r o D e P a r e s ( 3 , 6 , 4 ) = = 2

- - n u m e r o D e P a r e s ( 4 , 6 , 4 ) = = 3


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25

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n u m e r o D e P a r e s : : ( I n t , I n t , I n t ) - > I n t

n u m e r o D e P a r e s ( x , y , z ) = s u m [ 1 | n < - [ x , y , z ] , e v e n n ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 3 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n

- - c o n j e t u r a : : I n t - > B o o l

- - t a l q u e ( c o n j e t u r a n ) s e v e r i f i c a s i t o d a s l a s t e r n a s p i t a g r i c a s

- - c u y a s c o m p o n e n t e s e s t n e n t r e 1 y n t i e n e u n n m e r o i m p a r d e n m e r o s

- - p a r e s . P o r e j e m p l o ,

- - c o n j e t u r a 1 0 = = T r u e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c o n j e t u r a : : I n t - > B o o l

c o n j e t u r a n = a n d [ o d d ( n u m e r o D e P a r e s t ) | t < - p i t a g o r i c a s n ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 3 . 4 . D e m o s t r a r l a c o n j e t u r a p a r a t o d a s l a s t e r n a s

- - p i t a g r i c a s .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - S e a ( x , y , z ) u n a t e r n a p i t a g r i c a . E n t o n c e s x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 . P u e d e n d a r s e

- - 4 c a s o s :

- -

- - C a s o 1 : x e y s o n p a r e s . E n t o n c e s , x ^ 2 , y ^ 2 y z ^ 2 t a m b i n l o

- - s o n . L u e g o e l n m e r o d e c o m p o n e n t e s p a r e s e s 3 q u e e s i m p a r .

- -

- - C a s o 2 : x e s p a r e y e s i m p a r . E n t o n c e s , x ^ 2 e s p a r , y ^ 2 e s i m p a r y

- - z ^ 2 e s i m p a r . L u e g o e l n m e r o d e c o m p o n e n t e s p a r e s e s 1 q u e e s i m p a r .

- -

- - C a s o 3 : x e s i m p a r e y e s p a r . A n l o g o a l c a s o 2 .

- -

- - C a s o 4 : x e y s o n i m p a r e s . E n t o n c e s , x ^ 2 e y ^ 2 t a m b i n s o n i m p a r e s y

- - z ^ 2 e s p a r . L u e g o e l n m e r o d e c o m p o n e n t e s p a r e s e s 1 q u e e s i m p a r .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 4 . U n e n t e r o p o s i t i v o e s p e r f e c t o s i e s i g u a l a l a s u m a d e

- - s u s f a c t o r e s , e x c l u y e n d o e l p r o p i o n m e r o .

- -


26/162


- - D e f i n i r p o r c o m p r e n s i n l a f u n c i n

- - p e r f e c t o s : : I n t - > [ I n t ]

- - t a l q u e ( p e r f e c t o s n ) e s l a l i s t a d e t o d o s l o s n m e r o s p e r f e c t o s

- - m e n o r e s q u e n . P o r e j e m p l o ,

- - p e r f e c t o s 5 0 0 = = [ 6 , 2 8 , 4 9 6 ]

- - I n d i c a c i n : U s a r l a f u n c i n f a c t o r e s d e l t e m a 5 .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - L a f u n c i n f a c t o r e s d e l t e m a e s

f a c t o r e s : : I n t - > [ I n t ]

f a c t o r e s n = [ x | x < - [ 1 . . n ] , n ` m o d ` x = = 0 ]

- - L a d e f i n i c i n e s

p e r f e c t o s : : I n t - > [ I n t ]

p e r f e c t o s n = [ x | x < - [ 1 . . n ] , s u m ( i n i t ( f a c t o r e s x ) ) = = x ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . L a f u n c i n

- - p a r e s : : [ a ] - > [ b ] - > [ ( a , b ) ]

- - d e f i n i d a p o r

- - p a r e s x s y s = [ ( x , y ) | x < - x s , y < - y s ]

- - t o m a c o m o a r g u m e n t o d o s l i s t a s y d e v u e l v e l a l i s t a s d e l o s p a r e s c o n

- - e l p r i m e r e l e m e n t o d e l a p r i m e r a l i s t a y e l s e g u n d o d e l a

- - s e g u n d a . P o r e j e m p l o ,

- - g h c i > p a r e s [ 1 . . 3 ] [ 4 . . 6 ]

- - [ ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) ]

- -

- - D e f i n i r , u s a n d o d o s l i s t a s p o r c o m p r e n s i n c o n u n g e n e r a d o r c a d a u n a ,

- - l a f u n c i n

- - p a r e s ' : : [ a ] - > [ b ] - > [ ( a , b ) ]

- - t a l q u e p a r e s ' s e a e q u i v a l e n t e a p a r e s .

- -

- - I n d i c a c i n : U t i l i z a r l a f u n c i n p r e d e f i n i d a c o n c a t y e n c a j a r u n a

- - l i s t a p o r c o m p r e n s i n d e n t r o d e l a o t r a .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - L a d e f i n i c i n d e p a r e s e s

p a r e s : : [ a ] - > [ b ] - > [ ( a , b ) ]

p a r e s x s y s = [ ( x , y ) | x < - x s , y < - y s ]


27/162

27

- - L a r e d e f i n i c i n d e p a r e s e s

p a r e s ' : : [ a ] - > [ b ] - > [ ( a , b ) ]

p a r e s ' x s y s = c o n c a t [ [ ( x , y ) | y < - y s ] | x < - x s ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 6 . E n e l t e m a s e h a d e f i n i d o l a f u n c i n

- - p o s i c i o n e s : : E q a = > a - > [ a ] - > [ I n t ]

- - t a l q u e ( p o s i c i o n e s x x s ) e s l a l i s t a d e l a s p o s i c i o n e s o c u p a d a s p o r

- - e l e l e m e n t o x e n l a l i s t a x s . P o r e j e m p l o ,

- - p o s i c i o n e s 5 [ 1 , 5 , 3 , 5 , 5 , 7 ] = = [ 1 , 3 , 4 ]

- -

- - D e f i n i r , u s a n d o l a f u n c i n b u s c a ( d e f i n i d a e n e l t e m a 5 ) , l a f u n c i n

- - p o s i c i o n e s ' : : E q a = > a - > [ a ] - > [ I n t ]

- - t l q u e p o s i c i o n e s ' s e a e q u i v a l e n t e a p o s i c i o n e s .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - L a d e f i n i c i n d e p o s i c i o n e s e s

p o s i c i o n e s : : E q a = > a - > [ a ] - > [ I n t ]

p o s i c i o n e s x x s =

[ i | ( x ' , i ) < - z i p x s [ 0 . . n ] , x = = x ' ]

w h e r e n = l e n g t h x s - 1

- - L a d e f i n i c i n d e b u s c a e s

b u s c a : : E q a = > a - > [ ( a , b ) ] - > [ b ]

b u s c a c t = [ v | ( c ' , v ) < - t , c ' = = c ]

- - L a r e d e f i n i c i n d e p o s i c i o n e s e s

p o s i c i o n e s ' : : E q a = > a - > [ a ] - > [ I n t ]

p o s i c i o n e s ' x x s = b u s c a x ( z i p x s [ 0 . . ] )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 7 . E l p r o d u c t o e s c a l a r d e d o s l i s t a s d e e n t e r o s x s y y s d e

- - l o n g i t u d n v i e n e d a d o p o r l a s u m a d e l o s p r o d u c t o s d e l o s e l e m e n t o s

- - c o r r e s p o n d i e n t e s .

- -

- - D e f i n i r p o r c o m p r e n s i n l a f u n c i n

- - p r o d u c t o E s c a l a r : : [ I n t ] - > [ I n t ] - > I n t

- - t a l q u e ( p r o d u c t o E s c a l a r x s y s ) e s e l p r o d u c t o e s c a l a r d e l a s l i s t a s

- - x s e y s . P o r e j e m p l o ,

- - p r o d u c t o E s c a l a r [ 1 , 2 , 3 ] [ 4 , 5 , 6 ] = = 3 2


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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p r o d u c t o E s c a l a r : : [ I n t ] - > [ I n t ] - > I n t

p r o d u c t o E s c a l a r x s y s = s u m [ x * y | ( x , y ) < - z i p x s y s ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 8 ( P r o b l e m a 1 d e l p r o y e c t o E u l e r ) D e f i n i r l a f u n c i n

- - e u l e r 1 : : I n t e g e r - > I n t e g e r

- - ( e u l e r 1 n ) e s l a s u m a d e t o d o s l o s m l t i p l o s d e 3 5 m e n o r e s q u e

- - n . P o r e j e m p l o ,

- - e u l e r 1 1 0 = = 2 3

- -

- - C a l c u l a r l a s u m a d e t o d o s l o s m l t i p l o s d e 3 5 m e n o r e s q u e 1 0 0 0 .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e u l e r 1 : : I n t e g e r - > I n t e g e r

e u l e r 1 n = s u m [ x | x < - [ 1 . . n - 1 ] , m u l t i p l o x 3 | | m u l t i p l o x 5 ]

w h e r e m u l t i p l o x y = m o d x y = = 0

- - C l c u l o :

- - g h c i > e u l e r 1 1 0 0 0

- - 2 3 3 1 6 8


29/162

Relacin 4

Definiciones por comprensin (2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - I n t r o d u c c i n - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E n e s t a r e l a c i n s e p r e s e n t a n m s e j e r c i c i o s c o n d e f i n i c i o n e s p o r

- - c o m p r e n s i n c o r r e s p o n d i e n t e s a l t e m a 5 c u y a s t r a n s p a r e n c i a s s e

- - e n c u e n t r a n e n


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n a p r o x E t a l q u e ( a p r o X E n ) e s l a

- - l i s t a c u y o s e l e m e n t o s s o n l o s t r m i n o s d e l a s u c e s i n ( 1 + 1 / m ) * * m

- - d e s d e 1 h a s t a n . P o r e j e m p l o ,

- - a p r o x E 1 = = [ 2 . 0 ]

- - a p r o x E 4 = = [ 2 . 0 , 2 . 2 5 , 2 . 3 7 0 3 7 0 3 7 0 3 7 0 3 7 , 2 . 4 4 1 4 0 6 2 5 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a p r o x E n = [ ( 1 + 1 / m ) * * m | m < - [ 1 . . n ] ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 . 2 . C u l e s e l l m i t e d e l a s u c e s i n ( 1 + 1 / m ) * * m ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E l l m i t e d e l a s u c e s i n e s e l n m e r o e .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n e r r o r E t a l q u e ( e r r o r E x ) e s e l

29


30/162


- - m e n o r n m e r o d e t r m i n o s d e l a s u c e s i n ( 1 + 1 / m ) * * m n e c e s a r i o s p a r a

- - o b t e n e r s u l m i t e c o n u n e r r o r m e n o r q u e x . P o r e j e m p l o ,

- - e r r o r A p r o x E 0 . 1 = = 1 3 . 0

- - e r r o r A p r o x E 0 . 0 1 = = 1 3 5 . 0

- - e r r o r A p r o x E 0 . 0 0 1 = = 1 3 5 9 . 0

- - I n d i c a c i n : E n H a s k e l l , e s e c a l c u l a c o m o ( e x p 1 ) .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e r r o r A p r o x E x = h e a d [ m | m < - [ 1 . . ] , a b s ( ( e x p 1 ) - ( 1 + 1 / m ) * * m ) < x ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 2 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n a p r o x L i m S e n o t a l q u e

- - ( a p r o x L i m S e n o n ) e s l a l i s t a c u y o s e l e m e n t o s s o n l o s t r m i n o s d e l a

- - s u c e s i n

- - s e n ( 1 / m )

- - - - - - - - - -

- - 1 / m

- - d e s d e 1 h a s t a n . P o r e j e m p l o ,

- - a p r o x L i m S e n o 1 = = [ 0 . 8 4 1 4 7 0 9 8 4 8 0 7 8 9 6 5 ]

- - a p r o x L i m S e n o 2 = = [ 0 . 8 4 1 4 7 0 9 8 4 8 0 7 8 9 6 5 , 0 . 9 5 8 8 5 1 0 7 7 2 0 8 4 0 6 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a p r o x L i m S e n o n = [ s i n ( 1 / m ) / ( 1 / m ) | m < - [ 1 . . n ] ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 2 . 2 . C u l e s e l l m i t e d e l a s u c e s i n s e n ( 1 / m ) / ( 1 / m ) ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E l l m i t e e s 1 .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 2 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n e r r o r L i m S e n o t a l q u e

- - ( e r r o r L i m S e n o x ) e s e l m e n o r n m e r o d e t r m i n o s d e l a s u c e s i n

- - s e n ( 1 / m ) / ( 1 / m ) n e c e s a r i o s p a r a o b t e n e r s u l m i t e c o n u n e r r o r m e n o r

- - q u e x . P o r e j e m p l o ,

- - e r r o r L i m S e n o 0 . 1 = = 2 . 0

- - e r r o r L i m S e n o 0 . 0 1 = = 5 . 0

- - e r r o r L i m S e n o 0 . 0 0 1 = = 1 3 . 0

- - e r r o r L i m S e n o 0 . 0 0 0 1 = = 4 1 . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


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31

e r r o r L i m S e n o x = h e a d [ m | m < - [ 1 . . ] , a b s ( 1 - s i n ( 1 / m ) / ( 1 / m ) ) < x ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 3 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n c a l c u l a P i t a l q u e ( c a l c u l a P i n ) e s

- - l a a p r o x i m a c i n d e l n m e r o p i c a l c u l a d a m e d i a n t e l a e x p r e s i n

- - 4 * ( 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + . . . + ( - 1 ) * * n / ( 2 * n + 1 ) )

- - P o r e j e m p l o ,

- - c a l c u l a P i 3 = = 2 . 8 9 5 2 3 8 0 9 5 2 3 8 0 9 5 6

- - c a l c u l a P i 3 0 0 = = 3 . 1 4 4 9 1 4 9 0 3 5 5 8 8 5 2 6

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c a l c u l a P i n = 4 * s u m [ ( - 1 ) * * x / ( 2 * x + 1 ) | x < - [ 0 . . n ] ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 3 . 2 . D e f i n i r l a f u n c i n e r r o r P i t a l q u e

- - ( e r r o r P i x ) e s e l m e n o r n m e r o d e t r m i n o s d e l a s e r i e

- - 4 * ( 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + . . . + ( - 1 ) * * n / ( 2 * n + 1 ) )

- - n e c e s a r i o s p a r a o b t e n e r p i c o n u n e r r o r m e n o r q u e x . P o r e j e m p l o ,

- - e r r o r P i 0 . 1 = = 9 . 0

- - e r r o r P i 0 . 0 1 = = 9 9 . 0

- - e r r o r P i 0 . 0 0 1 = = 9 9 9 . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e r r o r P i x = h e a d [ n | n < - [ 1 . . ] , a b s ( p i - ( c a l c u l a P i n ) ) < x ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 4 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n s u m a t a l ( s u m a n ) e s l a s u m a d e l o s

- - n p r i m e r o s n m e r o s . P o r e j e m p l o ,

- - s u m a 3 = = 6

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s u m a n = s u m [ 1 . . n ]

- - O t r a d e f i n i c i n e s

s u m a ' n = ( 1 + n ) * n ` d i v ` 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 4 . 2 . L o s t r i n g u l o a r i t m t i c o s e f o r m a n c o m o s i g u e

- - 1


32/162


- - 2 3

- - 4 5 6

- - 7 8 9 1 0

- - 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

- - 1 6 1 6 1 8 1 9 2 0 2 1

- - D e f i n i r l a f u n c i n l i n e a t a l q u e ( l i n e a n ) e s l a l n e a n - s i m a d e l o s

- - t r i n g u l o s a r i t m t i c o s . P o r e j e m p l o ,

- - l i n e a 4 = = [ 7 , 8 , 9 , 1 0 ]

- - l i n e a 5 = = [ 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

l i n e a n = [ s u m a ( n - 1 ) + 1 . . s u m a n ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 4 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n t r i a n g u l o t a l q u e ( t r i a n g u l o n ) e s

- - e l t r i n g u l o a r i t m t i c o d e a l t u r a n . P o r e j e m p l o ,

- - t r i a n g u l o 3 = = [ [ 1 ] , [ 2 , 3 ] , [ 4 , 5 , 6 ] ]

- - t r i a n g u l o 4 = = [ [ 1 ] , [ 2 , 3 ] , [ 4 , 5 , 6 ] , [ 7 , 8 , 9 , 1 0 ] ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

t r i a n g u l o n = [ l i n e a m | m < - [ 1 . . n ] ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . L a b a s e s d e d a t o s s o b r e a c t i v i d a d e s d e p e r s o n a s p u e d e n

- - r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e l i s t a s d e e l e m e n t o s d e l a f o r m a ( a , b , c , d ) ,

- - d o n d e a e s e l n o m b r e d e l a p e r s o n a , b s u a c t i v i d a d , c s u f e c h a d e

- - n a c i m i e n t o y d l a d e s u f a l l e c i m i e n t o . U n e j e m p l o e s l a s i g u i e n t e q u e

- - u s a r e m o s a l o l a r g o d e e s t e e j e r c i c i o ,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p e r s o n a s : : [ ( S t r i n g , S t r i n g , I n t , I n t ) ]

p e r s o n a s = [ ( " C e r v a n t e s " , " L i t e r a t u r a " , 1 5 4 7 , 1 6 1 6 ) ,

( " V e l a z q u e z " , " P i n t u r a " , 1 5 9 9 , 1 6 6 0 ) ,

( " P i c a s s o " , " P i n t u r a " , 1 8 8 1 , 1 9 7 3 ) ,

( " B e e t h o v e n " , " M u s i c a " , 1 7 7 0 , 1 8 2 3 ) ,

( " P o i n c a r e " , " C i e n c i a " , 1 8 5 4 , 1 9 1 2 ) ,

( " Q u e v e d o " , " L i t e r a t u r a " , 1 5 8 0 , 1 6 5 4 ) ,

( " G o y a " , " P i n t u r a " , 1 7 4 6 , 1 8 2 8 ) ,

( " E i n s t e i n " , " C i e n c i a " , 1 8 7 9 , 1 9 5 5 ) ,

( " M o z a r t " , " M u s i c a " , 1 7 5 6 , 1 7 9 1 ) ,


33/162

33

( " B o t t i c e l l i " , " P i n t u r a " , 1 4 4 5 , 1 5 1 0 ) ,

( " B o r r o m i n i " , " A r q u i t e c t u r a " , 1 5 9 9 , 1 6 6 7 ) ,

( " B a c h " , " M u s i c a " , 1 6 8 5 , 1 7 5 0 ) ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n n o m b r e s t a l q u e ( n o m b r e s b d ) e s

- - l a l i s t a d e l o s n o m b r e s d e l a s p e r s o n a s d e l a b a s e d e d a t o s b d . P o r

- - e j e m p l o ,

- - g h c i > n o m b r e s p e r s o n a s

- - [ " C e r v a n t e s " , " V e l a z q u e z " , " P i c a s s o " , " B e e t h o v e n " , " P o i n c a r e " ,

- - " Q u e v e d o " , " G o y a " , " E i n s t e i n " , " M o z a r t " , " B o t t i c e l l i " , " B o r r o m i n i " , " B a c h " ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

n o m b r e s : : [ ( S t r i n g , S t r i n g , I n t , I n t ) ] - > [ S t r i n g ]

n o m b r e s b d = [ x | ( x , _ , _ , _ ) < - b d ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . 2 . D e f i n i r l a f u n c i n m u s i c o s t a l q u e ( m u s i c o s b d ) e s

- - l a l i s t a d e l o s n o m b r e s d e l o s m s i c o s d e l a b a s e d e d a t o s b d . P o r

- - e j e m p l o ,

- - g h c i > m u s i c o s p e r s o n a s

- - [ " B e e t h o v e n " , " M o z a r t " , " B a c h " ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

m u s i c o s : : [ ( S t r i n g , S t r i n g , I n t , I n t ) ] - > [ S t r i n g ]

m u s i c o s b d = [ x | ( x , m , _ , _ ) < - b d , m = = " M u s i c a " ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n s e l e c c i o n t a l q u e ( s e l e c c i o n b d m )

- - e s l a l i s t a d e l o s n o m b r e s d e l a s p e r s o n a s d e l a b a s e d e d a t o s b d

- - c u y a a c t i v i d a d e s m . P o r e j e m p l o ,

- - g h c i > s e l e c c i o n p e r s o n a s " P i n t u r a "

- - [ " V e l a z q u e z " , " P i c a s s o " , " G o y a " , " B o t t i c e l l i " ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s e l e c c i o n : : [ ( S t r i n g , S t r i n g , I n t , I n t ) ] - > S t r i n g - > [ S t r i n g ]

s e l e c c i o n b d m = [ x | ( x , m ' , _ , _ ) < - b d , m = = m ' ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . 4 . D e f i n i r , u s a n d o e l a p a r t a d o a n t e r i o r , l a f u n c i n


34/162


- - m u s i c o s ' t a l q u e ( m u s i c o s ' b d ) e s l a l i s t a d e l o s n o m b r e s d e l o s

- - m s i c o s d e l a b a s e d e d a t o s b d . P o r e j e m p l o ,

- - g h c i > m u s i c o s ' p e r s o n a s

- - [ " B e e t h o v e n " , " M o z a r t " , " B a c h " ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

m u s i c o s ' : : [ ( S t r i n g , S t r i n g , I n t , I n t ) ] - > [ S t r i n g ]

m u s i c o s ' b d = s e l e c c i o n b d " M u s i c a "

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 5 . 5 . D e f i n i r l a f u n c i n v i v a s t a l q u e ( v i v a s b d a ) e s l a

- - l i s t a d e l o s n o m b r e s d e l a s p e r s o n a s d e l a b a s e d e d a t o s b d q u e

- - e s t a b a n v i v a s e n e l a o a . P o r e j e m p l o ,

- - g h c i > v i v a s p e r s o n a s 1 6 0 0

- - [ " C e r v a n t e s " , " V e l a z q u e z " , " Q u e v e d o " , " B o r r o m i n i " ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

v i v a s : : [ ( S t r i n g , S t r i n g , I n t , I n t ) ] - > I n t - > [ S t r i n g ]

v i v a s p s a = [ x | ( x , _ , a 1 , a 2 ) < - p s , a 1 < = a , a < = a 2 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 6 . D e f i n i r , p o r c o m p r e n s i n , l a f u n c i n

- - s u m a C o n s e c u t i v o s : : [ I n t ] - > [ I n t ]

- - t a l q u e ( s u m a C o n s e c u t i v o s x s ) e s l a s u m a d e l o s p a r e s d e e l e m e n t o s

- - c o n s e c u t i v o s d e l a l i s t a x s . P o r e j e m p l o ,

- - s u m a C o n s e c u t i v o s [ 3 , 1 , 5 , 2 ] = = [ 4 , 6 , 7 ]

- - s u m a C o n s e c u t i v o s [ 3 ] = = [ ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

s u m a C o n s e c u t i v o s : : [ I n t ] - > [ I n t ]

s u m a C o n s e c u t i v o s x s = [ x + y | ( x , y ) < - z i p x s ( t a i l x s ) ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 7 . L a d i s t a n c i a d e H a m m i n g e n t r e d o s l i s t a s e s e l n m e r o

- - d e p o s i c i o n e s e n q u e l o s c o r r e s p o n d i e n t e s e l e m e n t o s s o n

- - d i s t i n t o s . P o r e j e m p l o , l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g e n t r e " r o m a " y " l o b a "

- - e s 2 ( p o r q u e h a y 2 p o s i c i o n e s e n l a s q u e l o s e l e m e n t o s

- - c o r r e s p o n d i e n t e s s o n d i s t i n t o s : l a 1

a

y l a 3

a

) .

- -

- - D e f i n i r l a f u n c i n


35/162

35

- - d i s t a n c i a : : E q a = > [ a ] - > [ a ] - > I n t

- - t a l q u e ( d i s t a n c i a x s y s ) e s l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g e n t r e x s e

- - y s . P o r e j e m p l o ,

- - d i s t a n c i a " r o m a n o " " c o m i n o " = = 2

- - d i s t a n c i a " r o m a n o " " c a m i n o " = = 3

- - d i s t a n c i a " r o m a " " c o m i n o " = = 2

- - d i s t a n c i a " r o m a " " c a m i n o " = = 3

- - d i s t a n c i a " r o m a n o " " r o n " = = 1

- - d i s t a n c i a " r o m a n o " " c a m a " = = 2

- - d i s t a n c i a " r o m a n o " " r a m a " = = 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

d i s t a n c i a : : E q a = > [ a ] - > [ a ] - > I n t

d i s t a n c i a x s y s = s u m [ 1 | ( x , y ) < - z i p x s y s , x / = y ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 8 . L a s u m a d e l a s e r i e

- - 1 / 1 ^ 2 + 1 / 2 ^ 2 + 1 / 3 ^ 2 + 1 / 4 ^ 2 + . . .

- - e s p i ^ 2 / 6 . P o r t a n t o , p i s e p u e d e a p r o x i m a r m e d i a n t e l a r a z c u a d r a d a

- - d e 6 p o r l a s u m a d e l a s e r i e .

- -

- - D e f i n i r l a f u n c i n a p r o x i m a P i t a l q u e ( a p r o x i m a P i n ) e s l a a p r o x i m a c i n

- - d e p i o b t e n i d a m e d i a n t e n t r m i n o s d e l a s e r i e . P o r e j e m p l o ,

- - a p r o x i m a P i 4 = = s q r t ( 6 * ( 1 / 1 ^ 2 + 1 / 2 ^ 2 + 1 / 3 ^ 2 + 1 / 4 ^ 2 ) )

- - = = 2 . 9 2 2 6 1 2 9 8 6 1 2 5 0 3 0 5

- - a p r o x i m a P i 1 0 0 0 = = 3 . 1 4 0 6 3 8 0 5 6 2 0 5 9 9 4 6

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a p r o x i m a P i n = s q r t ( 6 * s u m [ 1 / x ^ 2 | x < - [ 1 . . n ] ] )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 9 . U n n m e r o n a t u r a l n s e d e n o m i n a a b u n d a n t e s i e s m e n o r

- - q u e l a s u m a d e s u s d i v i s o r e s p r o p i o s . P o r e j e m p l o , 1 2 y 3 0 s o n

- - a b u n d a n t e s p e r o 5 y 2 8 n o l o s o n .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 9 . 1 . D e f i n i r l a f u n c i n n u m e r o A b u n d a n t e t a l q u e

- - ( n u m e r o A b u n d a n t e n ) s e v e r i f i c a s i n e s u n n m e r o a b u n d a n t e . P o r

- - e j e m p l o ,

- - n u m e r o A b u n d a n t e 5 = = F a l s e

- - n u m e r o A b u n d a n t e 1 2 = = T r u e


36/162


- - n u m e r o A b u n d a n t e 2 8 = = F a l s e

- - n u m e r o A b u n d a n t e 3 0 = = T r u e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

d i v i s o r e s : : I n t - > [ I n t ]

d i v i s o r e s n = [ m | m < - [ 1 . . n - 1 ] , n ` m o d ` m = = 0 ]

n u m e r o A b u n d a n t e : : I n t - > B o o l

n u m e r o A b u n d a n t e n = n < s u m ( d i v i s o r e s n )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 9 . 2 . D e f i n i r l a f u n c i n n u m e r o s A b u n d a n t e s M e n o r e s t a l q u e

- - ( n u m e r o s A b u n d a n t e s M e n o r e s n ) e s l a l i s t a d e n m e r o s a b u n d a n t e s

- - m e n o r e s o i g u a l e s q u e n . P o r e j e m p l o ,

- - n u m e r o s A b u n d a n t e s M e n o r e s 5 0 = = [ 1 2 , 1 8 , 2 0 , 2 4 , 3 0 , 3 6 , 4 0 , 4 2 , 4 8 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

n u m e r o s A b u n d a n t e s M e n o r e s : : I n t - > [ I n t ]

n u m e r o s A b u n d a n t e s M e n o r e s n = [ x | x < - [ 1 . . n ] , n u m e r o A b u n d a n t e x ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 9 . 3 . D e f i n i r l a f u n c i n t o d o s P a r e s t a l q u e ( t o d o s P a r e s n )

- - s e v e r i f i c a s i t o d o s l o s n m e r o s a b u n d a n t e s m e n o r e s o i g u a l e s q u e n

- - s o n p a r e s . P o r e j e m p l o ,

- - t o d o s P a r e s 1 0 = = T r u e

- - t o d o s P a r e s 1 0 0 = = T r u e

- - t o d o s P a r e s 1 0 0 0 = = F a l s e

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

t o d o s P a r e s : : I n t - > B o o l

t o d o s P a r e s n = a n d [ e v e n x | x < - n u m e r o s A b u n d a n t e s M e n o r e s n ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 9 . 4 . D e f i n i r l a c o n s t a n t e p r i m e r A b u n d a n t e I m p a r q u e c a l c u l e

- - e l p r i m e r n m e r o n a t u r a l a b u n d a n t e i m p a r . D e t e r m i n a r e l v a l o r d e

- - d i c h o n m e r o .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

p r i m e r A b u n d a n t e I m p a r : : I n t

p r i m e r A b u n d a n t e I m p a r = h e a d [ x | x < - [ 1 . . ] , n u m e r o A b u n d a n t e x , o d d x ]


37/162

37

- - S u c l c u l o e s

- - g h c i > p r i m e r A b u n d a n t e I m p a r

- - 9 4 5

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 0 . 1 . ( P r o b l e m a 9 d e l P r o y e c t o E u l e r ) . U n a t e r n a p i t a g r i c a

- - e s u n a t e r n a d e n m e r o s n a t u r a l e s ( a , b , c ) t a l q u e a < b < c y

- - a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 . P o r e j e m p l o ( 3 , 4 , 5 ) e s u n a t e r n a p i t a g r i c a .

- -

- - D e f i n i r l a f u n c i n

- - t e r n a s P i t a g o r i c a s : : I n t e g e r - > [ [ I n t e g e r ] ]

- - t a l q u e ( t e r n a s P i t a g o r i c a s x ) e s l a l i s t a d e l a s t e r n a s p i t a g r i c a s

- - c u y a s u m a e s x . P o r e j e m p l o ,

- - t e r n a s P i t a g o r i c a s 1 2 = = [ ( 3 , 4 , 5 ) ]

- - t e r n a s P i t a g o r i c a s 6 0 = = [ ( 1 0 , 2 4 , 2 6 ) , ( 1 5 , 2 0 , 2 5 ) ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

t e r n a s P i t a g o r i c a s : : I n t e g e r - > [ ( I n t e g e r , I n t e g e r , I n t e g e r ) ]

t e r n a s P i t a g o r i c a s x = [ ( a , b , c ) | a < - [ 1 . . x ] ,

b < - [ a + 1 . . x ] ,

c < - [ x - a - b ] ,

a ^ 2 + b ^ 2 = = c ^ 2 ]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E j e r c i c i o 1 0 . 2 . D e f i n i r l a c o n s t a n t e e u l e r 9 t a l q u e e u l e r 9 e s p r o d u c t o

- - a b c d o n d e ( a , b , c ) e s l a n i c a t e r n a p i t a g r i c a t a l q u e a + b + c = 1 0 0 0 .

- - C a l c u l a r e l v a l o r d e e u l e r 9 .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e u l e r 9 = a * b * c

w h e r e ( a , b , c ) = h e a d ( t e r n a s P i t a g o r i c a s 1 0 0 0 )

- - E l c l c u l o d e l v a l o r d e e u l e r 9 e s

- - g h c i > e u l e r 9

- - 3 1 8 7 5 0 0 0


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39/162

Relacin 5

Definiciones por comprensin (3): El

cifrado Csar

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - I n t r o d u c c i n - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - E n e l t e m a 5 , c u y a s t r a n s p a r e n c i a s s e e n c u e n t r a n e n


- - s e e s t u d i , c o m o a p l i c a c i n d e l a s d e f i n i c i o n e s p o r c o m p r e n n s i n , e l

- - c i f r a d o C s a r . E l o b j e t i v o d e e s t a r e l a c i n e s m o d i f i c a r e l p r o g r a m a

- - d e c i f r a d o C s a r p a r a q u e p u e d a u t i l i z a r t a m b i n l e t r a s

- - m a y s c u l a s . P o r e j e m p l o ,

- - * M a i n > d e s c i f r a " Y t i t U f w f S f i f "

- - " T o d o P a r a N a d a "

- - P a r a e l l o , s e p r o p o n e l a m o d i f i c a c i n d e l a s f

ejercicios de informática de matemáticas

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