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Ejercicios de Física
Cinemática Juan C. Moreno-Marín, Antonio Hernandez D.F.I.S.T.S.
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
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Juan C. Moreno-Marín Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
1. Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas debajo de 20 km/h. Calcular:
a) ¿Cuál es su velocidad media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud?
b) ¿Cuál es su velocidad media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas?
c) ¿Cuál es su velocidad media si emplea doble tiempo en las subidas que en las bajadas?
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Juan C. Moreno-Marín Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
1 2
1 2
1 2
22 8 /+
= = = = =++
subidas bajadastotal
total total
s ss v vsv km hs st t v vv v
1 2 1 2 12.5 /2 2+ +
= = = =total
total
s v t v t v vv km ht t
Cinemática – Movimiento rectilíneo
a) Como es
b) En este caso es
c) Y ahora es 1 2 1 22 2 10 /3 3+ +
= = = =total
total
s v t v t v vv km ht t
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Cinemática – Movimiento rectilíneo
2. Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.
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Cinemática – Movimiento rectilíneo
2. Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.
20
12
= +h v t gt
Tomamos como origen el punto de lanzamiento y sentido positivo hacia arriba:
ec gral: Solución:
214.1 10 9.81− = −t t0.96
3
= −
=
t s
t s
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Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
3. Se lanza un cuerpo hacia arriba verticalmente con una velocidad de 98 m/s, desde el tejado de un edificio de 100 m de altura. Determinar:
(a) La altura máxima que alcanza desde el suelo.
(b) El tiempo cuando pasa por el lugar de lanzamiento.
(c) La velocidad al llegar al suelo.
(d) El tiempo total transcurrido hasta llegar al suelo.
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Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(a)
0 0
0 220 0
0
98 9.80100 11 100 98 9.898 22
v v at v tty
y t te e v t at v
= + = −⎫ = ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟→ = →⎬ ⎬⎜ ⎟
= + −= + + ⎪ ⎪⎜ ⎟=⎝ ⎠ ⎭⎭
En la altura máxima el cuerpo se para, v = 0
2
980 98 9.8 109.8
1100 98 10 9.8 10 590 5902
t t s
y m h m
= − → = =
= + ⋅ − ⋅ = → =
100 m
O
Y
B
A
C
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100 m
O
Y
B
A
C
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(b) En el movimiento de caída las ecuaciones son:
( )
02 20 0
0
1001 1100 100 98 9.8982 2
098 4.9 0
20
ee e v t at t t
v
tt t
t s
=⎛ ⎞= + + → → = + − →⎜ ⎟=⎝ ⎠
=⎧⎪→ − = → ⎨
=⎪⎩
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100 m
O
Y
B
A
C
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(c)
( )
0 98 9.8 20.97 107.5 /
107.53
v v at v m s
hacia abajo
v m s
= + → = − ⋅ = −
= −
Al llegar al suelo es:
( )
02 20 0
0
2
1001 1100 100 98 9.8982 2
0.9798 98 4 4.9 1009.8 20.97
ee e v t at t t
v
t st
t s
=⎛ ⎞= + + → →− = + − →⎜ ⎟=⎝ ⎠
= −± + ⋅ ⋅ − ⎧⎪→ = = → ⎨
=⎪⎩
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Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(d)
20.97totalt s=El tiempo total es:
100 m
O
Y
B
A
C
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Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
4. Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 15 m/s. La piedra llega a una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de la torre. Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento, calcular
(a) la posición y velocidad de la piedra al cabo de 1s y de 4s después de su salida.
(b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida.
(c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto? Considérese g = 10 m/s2
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( )
( )
0 1 0 1
0 2 0 2
; 1 15 10 1 5
; 4 15 10 4 25
v v gt t s v v gt m s
v v gt t s v v gt m s
= − = → = − = − ⋅ =
= − = → = − = − ⋅ = −
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(a)
( )
( )
2 2 20 1 0 1 1
2 2 20 2 0 2 2
1 1 1; 1 15 1 10 1 102 2 2
1 1 1; 4 15 4 10 4 202 2 2
y v t gt t s y v t gt m
y v t gt t s y v t gt m
= − = → = − = ⋅ − ⋅ =
= − = → = − = ⋅ − ⋅ = −
posición:
velocidad:
(el signo – indica que la piedra está cayendo)
(el signo – indica que la piedra está por debajo del origen)
h
O
Y
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( )
0 2
0 0 00
20
2 2200
2
11 22
2 82 2
15 2 10 8 8.06
v v gtv v v v v vt y v gg g gy v t gt
v vgy v v gy y
v m s
= − ⎫⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎪
→ = → = −⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪= −
⎪⎭
= − → = − → = →
→ = − ⋅ ⋅ = ±
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(b)
eliminando t :
la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida.
h
O
Y
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Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(c)
( )2 20
01 10 15 10 02 2 3
sy v t gt y t t t
s⎧⎪
= − → = → − ⋅ = → = ⎨⎪⎩
Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto?
h
O
Y
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Cinemática – Movimiento rectilíneo
5. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ley: .
Si cuando t =2s, encontrar el valor de x cuando t =3s. Encontrar también su aceleración.
3 24 2v t t= + +
4x m=
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Cinemática – Movimiento rectilíneo
5. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ley: .
Si cuando t =2s, encontrar el valor de x cuando t =3s. Encontrar también su aceleración.
3 24 2v t t= + +
4x m=
Siendo
( )
0 0
0
0
4 34 33 2 0 0
0
4 34 30 0
0 0
444 2 2 24 3 4 3
44 2 24 3 4 3
x t
x t
t
t
dxv dx v dt x x dx dx v dtdt
t tt tt t dt t t
t tt tx x t t
= → = ⋅ → − = = = ⋅ =
= + + ⋅ = + + − − −
= + + + − − −
∫ ∫ ∫
∫
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Cinemática – Movimiento rectilíneo
Como es
4 34 30 0
0 044 2 2
4 3 4 3t tt tx x t t= + + + − − −
( )0 02 4 4t s y x m x t= = → =4 3 44 224 3 4t t t+ + + −
( )
3
4 3
42 2 23
4 4424 3 3t tx t t
− − ⋅
= + + −
Por lo tanto es ( ) 81 4 27 443 2 3 47.64 3 3
x t s m⋅= = + + ⋅ − =
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Cinemática – Movimiento rectilíneo
La aceleración del cuerpo es
4 34 30 0
0 044 2 2
4 3 4 3t tt tx x t t= + + + − − −
( )( )
3 22 2
4 23 8 3 27 24 51
d t tdva t t a t s m sdt dt
+ += = = + → = = + =
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Cinemática – Composición de movimientos
6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera que es .
Si la posición es (1, 2) cuando es t=0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria.
34 4 , 4x yv t t v t= + =
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Cinemática – Composición de movimientos
6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera que es .
Si la posición es (1, 2) cuando es t=0, encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria.
34 4 , 4x yv t t v t= + =
Siendo ( )0 0
3 3
4 2 4 20 0 0
4 4 4 4
2 2
x t
x x t
dxv t t dx t t dtdt
x x t t t t
= = + → = +
→ = + + − −
∫ ∫
Sustituyendo 0 1 cuando 0x t s= =
( )24 2 21 2 1x t t t→ = + + = +
Posición: componente x
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Cinemática – Composición de movimientos
Siendo 0 0
2 20 0
4 4
2 2
y t
y y t
dyv t dy t dtdt
y y t t
= = → =
→ = + −
∫ ∫
Sustituyendo 0 2 cuando 0y t s= =
( )2 22 2 2 1y t t→ = + = +
Posición: componente y
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Cinemática – Composición de movimientos
Eliminando el tiempo se obtiene la ecuación de la trayectoria:
( )
( )
222 2
2
2
14
2 42 1
x ty yx y x
y t
⎫= +⎪ ⎛ ⎞→ = = → =⎬ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪= + ⎭ ec. de la trayectoria
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Cinemática – Composición de movimientos
7. Un móvil describe una trayectoria dada por las ecuaciones . Determinar:
(a) Velocidad y aceleración del móvil.
(b) Componentes tangencial y normal de la aceleración.
(c) Radio de curvatura.
212
x pt e y pt= =
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Cinemática – Composición de movimientos
7. Un móvil describe una trayectoria dada por las ecuaciones . Determinar:
(a) Velocidad y aceleración del móvil.
(b) Componentes tangencial y normal de la aceleración.
(c) Radio de curvatura.
(a)
Luego v pi pt j a p j→ = + → =r r rr r
212
x pt e y pt= =
; 0;
; ;
xx x
yy y
dvdxv p adt dt
dvdyv pt a pdt dt
= = = =
= = = =
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Cinemática – Composición de movimientos
(b)
( )2 2 2
2
2 2 2
2 22 2 2 2 2
2 2
1 ;1
0 ;
;1 1
T x y
x y
N T N T
d v dv pta v v v p tdt dt t
a a a p p
p t pa a a a a a pt t
= ≡ = = + = + =+
= + = + =
= + → = − = − =+ +
r
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Cinemática – Composición de movimientos
(c)
( ) ( )32
2 222 2
2
1; 1 1 ;
1N
p tv pa t p tpt
ρρ
+= = → = + = +
+
El radio de curvatura ρ depende del tiempo.
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Cinemática – Movimiento circular
8. Encontrar la velocidad angular de la Tierra con respecto a su eje diametral.
5
21 86400
2 7.27 10 /86400
radd uniformet dia sdt t
rad s
θ πθ θω ω
πω −
=⎛ ⎞= → = → →⎜ ⎟= =⎝ ⎠
→ = = ⋅
pero este resultado no es completamente correcto.
SOL
TIERRA
E
E’P
P’P’’
θ θ
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Cinemática – Movimiento circular
5
222 36586400 86400
7.292 10 /rad s
πππ θ
ω
−
++= = =
= ⋅
Pero este resultado no es completamente correcto. Cuando la Tierra da una vuelta completa sobre su eje, está en P’ y para completar un dia hay que girar de P’ a P’’, falta todavía un ángulo θ. En un dia recorrerá un ángulo 2π+θ = 2π + (2π/365),
SOL
TIERRA
E
E’P
P’P’’
θ θ
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Cinemática – Movimiento circular
9. Un volante gira en torno a su eje a razón de 3000 r.p.m. Un freno lo para en 20s.
(a) Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene.
(b) Supuesto que el volante tiene 20 cm de diámetro, calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto.
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Cinemática – Movimiento circular
(a) Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el número de vueltas hasta que el volante se detiene.
La velocidad angular es: Y la aceleración es: El desplazamiento angular resulta:
23000 10060rad rad ss
πω π= ⋅ =
0 20
100 0 520
ff t rad s
t sω ω π
ω ω α α π− −
= − → = = =
2 20 0
1 1100 20 5 20 10002 2
1000 5002 2
t t rad
n vueltas
ϕ ϕ ω α π π π
ϕ ππ π
= + − = ⋅ − ⋅ =
= = =
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Cinemática – Movimiento circular
(b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto.
El desplazamiento angular es:
Calculamos el tiempo transcurrido:
2 100 2 200n radϕ π π π= ⋅ = ⋅ =
2 20 0
2
1 1100 5 2002 2
37.862.5 100 200 0
2.14
t t t t rad
st t t
s
ϕ ϕ ω α π π π= + − = ⋅ − ⋅ =
⎧⎪→ − + = → = ⎨
⎪⎩
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( )2
22 2 2100 100 5 2.14 0.1 797.5N
va R m sR
ω π π π= = ⋅ = − ⋅ ⋅ =
Cinemática – Movimiento circular
(b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante en tal punto.
La aceleración tangencial es:
La aceleración normal es:
Y la aceleración resultante:
25 0.1 0.5Ta R m sα π π= ⋅ = ⋅ =
2 2 2 2 4 20.25 797.5 2505.4T Na a a m sπ π π= + = + =
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Cinemática – Movimiento circular
10. Un punto material describe uniformemente una trayectoria circular de 1m de radio, dando 30 vueltas cada minuto. Calcular el periodo, la frecuencia, la velocidad angular, la velocidad tangencial, y la aceleración centrípeta.
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Cinemática – Movimiento circular
11. Un vehículo parte del reposo en una via circular de 400m de radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50s. de iniciar su marcha alcanza la velocidad de 72km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar:
a) Aceleración tangencial en la primera etapa.
b) Aceleración normal, aceleración total y longitud recorrida en ese tiempo (50s.)
c) Velocidad angular media y velocidad angular a los 50s.
d) Tiempo que tardará en dar 100 vueltas al circuito.
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Cinemática – Composición de movimientos
12. Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s.
e1
dA
B
O αC
e2
La barca tiene que dirigirse a un punto A para que al ser arrastada por el agua llegue al punto B (a 60 m).
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Cinemática – Composición de movimientos
12. Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es de 3 m/s.
La distancia A-B es: La distancia complementaria es: Y el ángulo con la horizontal:
1 3 15 45e v t m s s m= ⋅ = ⋅ =
2 60 45 15e m m m= − =
1 12 15 30º26
etg tgOC
α − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
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Cinemática – Composición de movimientos
La distancia OA será: Y por lo tanto la velocidad de la barca:
30 215
d mv m st s
= = =
2 15 15 3030º 1 2
ed msen senα
= = = =
A
B
O 30ºC
60m
v0
vTv
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Cinemática – Composición de movimientos
De otra forma: Integrando, y teniendo en cuenta que :
( )0 0 0
0 0 0
coscosx y
T
v v
v v i v sen jv v v v i v sen v j
v v j
α αα α
⎫= + ⎪= + = + +⎬
⎪= ⎭
uur r ruur uur r r r
rr 14 2 43 1 4 2 4 3
( ) ( )0 0, 0,0x y =
( )
0
0
0
3cos26 , 60
15
cos cos
v m sx v tx m y m
y v sen v t t s
x xv y sen v tt t
α
α
αα α
=⎛ ⎞= ⋅ ⎫⎪ ⎜ ⎟= =⎬ ⎜ ⎟= + ⋅ ⎪ ⎜ ⎟⎭ =⎝ ⎠
⎛ ⎞= → = + ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
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Cinemática – Composición de movimientos
0
0
cos cos
60 3 15 1526 26
2630º ; 2cos30º cos30º 15
x xv y sen v tt t
y vty x tg vt tgx
xv m st
αα α
α α
α
⎛ ⎞= → = + ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
− − ⋅= ⋅ + → = = =
→ = = = =⋅ ⋅
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Cinemática – Composición de movimientos
13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal.
a) Encontrar la velocidad y la posición de la bala después de 20s.
b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra.
OX
Y
v0α
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Cinemática – Composición de movimientos
13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal. a) Encontrar la velocidad y la posición de la bala después de 20s. b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario para que la bala retorne a tierra.
0
0
0
200 ; 40º ;
200cos 40º 153.2 ;
200sin 40º 128.6
X
Y
v m s
v m s
v m s
α= =
= =⎧⎪⎨
= =⎪⎩
a)
OX
Y
v0α
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Cinemática – Composición de movimientos
0
2
0
200cos40º 153.2 ; 153.2128.6 4.9128.6 9.81
X X
Y Y
v v m s x ty t tv v gt t
= = =⎧ = ⋅⎪→⎨
= ⋅ − ⋅= − = − ⋅⎪⎩
Después de t = 20s, la velocidad y la posición de la bala son:
( )
( )
( )
( )
20
20
20
220
153.2 ;
128.6 9.81 20 67.4 ;
153.2 20 3064 ;
128.6 20 4.9 20 612 ;
X t
Y t
t
t
v m s
v m s
x m
y m
=
=
=
=
⎧ =⎪⎨⎪ = − ⋅ = −⎩
= ⋅ =
= ⋅ − ⋅ =
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Cinemática – Composición de movimientos
( ) ( )153.2, 67.4 3064,612v m s r m= − =r r
b)
Cuando la bala vuelve a tierra, es y=0:
2 128.6: 0 128.6 4.9 26.244.9
: 153.2 26.24 4020
Tiempo de vuelo y t t t s
Alcance x m
= = ⋅ − ⋅ → = =
= ⋅ =
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Cinemática – Composición de movimientos
14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro?
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Cinemática – Composición de movimientos
14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a 15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que ésta pase por encima del muro?
v0
X
Y
1,5 m
3,5 m5 m
15 m
α =45ºO
P(15,3.5)
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Cinemática – Composición de movimientos
2 20 0
0 0
1 12 2
cos
Y
X
y v t g t v sen t g t
x v t v t
α
α
⎧ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⎪⎨⎪ = ⋅ = ⋅⎩
La piedra tiene que pasar por el punto P(15,3.5)
2 20 0
0 0
13.5 45º 4.92
15 cos45º
Y
X
v t g t v sen t t
v t v t
⎧ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⎪⎨⎪ = ⋅ = ⋅⎩
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Cinemática – Composición de movimientos
00
020
1515 cos 45ºcos 45º
45º3.5 45º 4.9
v t tv
v senv sen t t
= ⋅ → =
= ⋅ − ⋅ =0
15cos 45ºv
⋅2
0
20 0
154.9cos 45º
2205 13.811.5
v
v v m s
⎛ ⎞− ⋅ →⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ = → =
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Cinemática – Composición de movimientos
15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué velocidad debería llevar el mas bajo?
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Cinemática – Composición de movimientos
15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical, siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué velocidad debería llevar el mas bajo?
v10 X
4 y v20
y
v10=v
Y
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Cinemática – Composición de movimientos
Ecuaciones del avión 1:
1 10 10 2
221
141 242
x
y
v v x v t v txy gvv g t y g t
= → = ⋅ = ⋅ ⎫⎪
→ = ⋅⎬= ⋅ → = ⋅ ⎪
⎭
Ecuaciones del avión 2:
2 20 20 2
22202
11 22
x
y
v v x v txy gvv g t y g t
ʹ′= → = ⋅ ⎫⎪
→ = ⋅⎬ʹ′ ʹ′= ⋅ → = ⋅ ⎪
⎭v10 X
4 y v20
y
v10=v
Y
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Cinemática – Composición de movimientos
2
2220
2 2
220
2 220 20
14 2 4
12
4 2
xg vy vxy vgv
v v v v
⋅= → = →
⋅
→ = → =
v10 X
4 y v20
y
v10=v
Y
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Cinemática – Composición de movimientos
16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 720 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b) Distancia horizontal recorrida por la bomba. c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión.
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Cinemática – Composición de movimientos
16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 720 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al suelo. Calcular: a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo. b) Distancia horizontal recorrida por la bomba. c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta que se percibe, en el avión, la explosión.
v0 X
Y
h
B
O A A1
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Cinemática – Composición de movimientos
a) La velocidad de la bomba al llegar al suelo es:
2 2 2 2
720000 2003600 200 2 200 2 9.8 7840 440
2
xx y
y
vv v v v gh m s
v gh
⎡ ⎤= =⎢ ⎥= + → = + = + ⋅ ⋅ =⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
v0 X
Y
h
B
O A A1
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Cinemática – Composición de movimientos
b) Las ecuaciones del movimiento son:
2
2002 2 7840 401 9.8 9.89.8
2
200 200 40 8000
x tyt s
y t
x t m
= ⋅ ⎫⋅⎪
→ = = =⎬= ⋅ ⎪
⎭
= ⋅ = ⋅ =
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Cinemática – Composición de movimientos
c) En el momento de la explosión el avión se encuentra en el punto A, pero cuando reciba el sonido de la explosión se encontrará en A1:
( )
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2
2 2
340
340 200 7840
7840 28.5340 200
40 28.5 68.5
sonido
BA AA AB
v m s
t t
t s
T s s s
− =
=
→ − =
= =−
= + =
v0 X
Y
h
B
O A A1
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Cinemática – Composición de movimientos
17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor.
v0
X
Y
a
O
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Cinemática – Composición de movimientos
17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende con una aceleración de 1m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor.
La posición del suelo del ascensor es: La posición de la lámpara es:
20
12
y v t at= +
20
12
y v t gtʹ′ = −
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Cinemática – Composición de movimientos
Choca con el suelo cuando el suelo recorre 3 m más que la lámpara:
0v t2
012at v t+ = 2
2
1 32
3 62 0.74510.8
gt
t t sa g
− +
⎛ ⎞→ = → = =⎜ ⎟+⎝ ⎠
v0
X
Y
a
O
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Cinemática – Composición de movimientos
18. Desde un plano inclinado con un ángulo β se lanza una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra?
v0
β
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Cinemática – Composición de movimientos
18. Desde un plano inclinado son un ángulo β se lanza una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la piedra?
Sobre la piedra actúa la aceleración de la gravedad g
v0β
RX
Y
(0,0)
g
g senβ
g cosβ
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Cinemática – Composición de movimientos
( )
( )
2
20 0
121cos cos2
X
Y
x g sen tejeX v g sen t
ejeY v v g t y v t g t
ββ
β β
= ⋅= ⋅ ⎫⎪→⎬
= − ⋅ ⎪ = ⋅ − ⋅⎭
La piedra vuelve al plano inclinado cuando es y = 0
2 00
2 20 0
2
210 cos2 cos
2 212 cos cos
vv t g t tg
v v senx g seng g
ββ
ββ
β β
= ⋅ − ⋅ → = →
⎛ ⎞→ = ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Distancia del punto de lanzamiento
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Cinemática – Movimiento circular
19. La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman d y el rayo luminoso es θ.
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Cinemática – Movimiento circular
19. La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que forman la normal d y el rayo luminoso es θ.
x
d
A
B
FFARO
ωθ
Playa
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Cinemática – Movimiento circular
Cuando el faro ha girado un ángulo θ, el punto luminoso ha recorrido sobre la playa la distancia x :
La velocidad del punto será:
La aceleración será:
( ) ( ) ( )2 2
1cos cos
d d tg d tg d tgdx d dv d d ddt dt dt d dt
θ θ θ θ ωω
θ θ θ
⋅ ⋅= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
xtg x d tgd
θ θ= → =
( ) ( )2 2 2
2 3
1 cos 1 cos 2cos cos
d ddv d d d d sena d ddt dt dt d dt
θ θω θ ω θω ω
θ θ θ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
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Cinemática – Movimiento circular
20. Determinar la función horaria de un móvil que recorre una trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial.
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Cinemática – Movimiento circular
20. Determinar la función horaria de un móvil que recorre una trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el instante inicial.
Velocidad y aceleración iguales:
( ) ( )
1 ,
ln ln ,
Tdv dv ds dva v v v v vdt ds dt ds
dv dv ds v s k k cteds
ds ds dss k dt t s k c c ctedt s k s k
= → = ↔ = → =
= → = → = + =
= + → = → = = + − =+ +∫
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Cinemática – Movimiento circular
( ) ( ) ( ) ( )ln ln ln lnt tt c s k c e s k c e s k+ = + → ⋅ = + → ⋅ = +
Siendo s = 0 cuando t = 0, resulta: Y como es La aceleración unitaria permite obtener el valor de la cte k:
( )1tc k s k e→ = → = −
tv s k v k e= + → = ⋅
12
22 22 2 2
4 22
2 2
0 ; ;
41 1 12
T Ndv v dva a a en t v k kdt R dt
k Rk ec bicuadr kR R
⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + → = → = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= + → → = + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
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Cinemática – Movimiento circular
La función horaria s(t) obtenida es:
( ) ( ) ( )122
2
41 1 1 12
t tRs s t k e eR
⎡ ⎤⎛ ⎞= = − = + − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦