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PROFESOR JANO MATEMÄ[email protected] – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA

Bachillerato - Universidad

C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 1 -

EJERCICIOS DE EXAMEN DE C�LCULO INTEGRAL2� bachillerato

A continuaci�n se presentan un conjunto de ejercicios de examen de c�lculo integral correspondiente a la asignatura de matem�ticas I de 2� de bachillerato. La correcci�n est� en las p�ginas siguientes.

1�) Encuentra la funci�n primitiva de 2x3x

x)x(f

2

2

que vale 2 en x = 0.

2�) Calcula:

2

0

3 dxxsen

3�) Calcula:

2

02 4xdx

4�) Calcula:

1

0

x2 dxex

5�) Calcula el �rea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x

6�) El rect�ngulo de v�rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el �rea de los dos recintos.

7�) Calcula el valor de A si el �rea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6, siendo A > 0.

8�) Define suma superior y suma inferior de una funci�n en un intervalo y correspondiente a una partici�n. Apl�calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.

RESOLUCIÄNAl principio de cada soluci�n hay unas pistas. Si no sabes c�mo empezar cons�ltalas pero ten en cuenta que eso significa que tienes a�n mucho por estudiar y aprender.Si ya has hecho el ejercicio, es el momento de comprobarlos consultando las respuestas.

1�) Encuentra la funci�n primitiva de 2x3x

x)x(f

2

2

que vale 2 en x = 0.

Se trata de una funci�n que es un cociente de polinomios. Como el grado del numerador es igual al del denominador, primero se efect�a la divisi�n y se aplica la relaci�n que dice que el esa divisi�n es igual al cociente m�s el resto entre el divisor.

A continuaci�n quedar� un fracci�n que habr� que descomponer en otras m�s simples para que su funci�n primitiva sea de tipo logaritmo neperiano.Para terminar habr�a que aplicar el teorema fundamental del c�lculo (Regla de Barrow)




Se efect�a la divisi�n x2 : (x2 + 3x + 2). El cociente es 1 y el resto (-3x-2).

Por lo tanto: 2x3x

2x31

2x3xx

22

2

x2 + 3x + 2 = 0 ]

1x

2x

213

2893

x2

1

2x3x

2x31x2x

2xB1xA1x

B)2x(

A2x3x

2x322

Para X = -1 -1 = B

Para x = - 2 -4 = -A ; A = 4

dx1x

1dx

2x4

dx2x3x

2x3As�

2

La integral pedida ser�: (observa que se ha cambiado el signo del resto, por eso se ha indicado con un signo menos

C1xLn2xLn4xdx1x

1dx

2x4

dxI

Ahora aplicamos las condiciones del problema: para x = 0, I(x) = 2

2 = 0 – 4 . Ln 2 + Ln 1 + C C = 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3

I(x) = x – 4. Ln (x+2) + Ln (x+1) + 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3

2�) Calcula:

2

0

3 dxxsen

Hay varios m�todos para calcular A y B. Uno de ellos es dar tantos valores a “x” como coeficientes haya. Se obtienen as� las ecuaciones suficientes para el c�lculo de A, B, ... Se procura elegir valores que faciliten el c�lculo.

Una integral se puede resolver de varias maneras. Un camino es el de convertir esta integral en inmediata, sabiendo que sen3x = sen2x . sen x.sen2x = 1 – cos2x

La integral resultante se dividir� en dos inmediatas, siendo una de ellas del tipo un.u’.Ya ves que conviene que tengas en la memoria las relaciones trigonom�tricas b�sicas.




dxxcosxsendxxsendxxcos1xsendxxsenI 223

C3

xcosxcos

2

32

32

31

1003

xcosxcos

2

0

2

3�) Calcula:

2

02 4xdx

Se comienza operando para obtener un “1” en vez del 4, para lo que dividimos entre “4” numerador y denominador.

8421

021

1arctg21

2x

arctg21

dx

2x

1

21

21

dx

2x

44

41

4xdx

2

0

2

0

2

2

0

2

02

4�) Calcula:

1

0

x2 dxex

x = u dx = du

e2x.dx = dv

ve

2

1dxe2

2

1dvdxe x2x2x2

1

0

x2x2

1

0

1

0

x2x2x2x2

1

0

x2 e41

e2x

dxe241

e2x

dxe21

e21

xdxex

= 4

1e41

4e

21

121

21

e21

21

xe21 22

x2

1

0

x2

Siempre que veas un x2 en el denominador fuera de una ra�z sumado a un n�mero y otro n�mero en el numerador, tienes que pensar que puede tratarse de un arcotangente. Para ello habr� que operar con constantes hasta llegar a la expresi�n de la integral inmediata.

Se trata de una t�pica integral por partes. En este caso es importante asignar correctamente qu� es lo que hay que derivar y qu� es lo que habr� que integrar de cada parte. Derivaremos “x”, porque si derivamos e2x la expresi�n no se va a simplificar.




5�) Calcula el �rea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x

2x

0x02xx0x2xx2x

x2)x(h

x)x(f

2

1222

1x

0x1xx2x2x2

x2)x(h

x2)x(g

2

122

2

1

0

1

0

32

1

0

221 u

3

1

3

xdxxdxxx2A

2

2

1

322

1

22 u

32

31

138

43x

2x2

dxxx2A

A = 221 u1

3

2

3

1AA

6�) El rect�ngulo de v�rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el �rea de los dos recintos.

Hagamos unos c�lculos previos para poder representar la gr�fica de la par�bola.

M�nimo de f(x)

f’(x) = 2x – A = 0 ; x = A/2 ; 2A

2A

4A

2Af

222

En estos ejercicios es fundamental hacer la representaci�n gr�fica. Para ello hay que calcular los puntos de corte que tendr�n mucho que ver con los l�mites de integraci�n.

En este caso, el �rea resultante habr� que obtenerla calculando �reas parciales y luego operando con ellas para conseguir la superficie pedida.

De nuevo la representaci�n gr�fica es imprescindible y habr� que hacerla en funci�n del par�metro A. No ser� exacta pero si posible. Te recuerdo que cuando una funci�n polin�mica de segundo grado tiene el coeficiente de “x2” > 0, sus ramas est�n hacia arriba. Si es <0, sus ramas estar�n hacia abajo.




Cortes con los ejes (y = 0)

Ax

0xAxxAxx0

2

12

6A

6A3A2

2A

3A

2Ax

3x

Axx0S

33333

A

0

232

1

Como S es un rect�ngulo, para calcular S2 sustraemosS1 al �rea total del rect�ngulo.

Este �rea ser�: S = A . A2 = A3

S = S1 + S2 ; S2 = S – S1 = 233

3 u6A5

6A

A

Seg�n el profesor, igual te pide que S2 lo obtengas tambi�n mediante c�lculo integral. En ese caso:

cqd6A5

6A6A3A2

0A2A

3A

xA2x

A3x

dxAAxxS

3333

333A

0

223

222

7�) Calcula el valor de A si el �rea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6, siendo A > 0.

Vamos a hacer los c�lculos previos para conseguir la aproximaci�n gr�fica.

M�ximo de f(x): f’(x) = 2 – 2x = 0 ;

1x

0x0x12

2

1 ; f(1) = 1 ; M (1, 1)

Cortes con OX: f(x) = 0 2x – x2 = 0

2x

0x0x2x

2

1

De nuevo hay que hacer la gr�fica, s�lo que en este caso es abierta ya que depende del par�metro A. Esto significa que haremos una representaci�n gr�fica posible pero puede que no sea la exacta. Esto no debe preocuparte ya que cuando conozcas el par�metro A podr�s hacer la representaci�n correcta.




Cortes con g(x):

Axy

xx2y 2

Ax =2x – x2

0 = x . (2 – A) – x2

A2x

0xxA2x0

2

1

Por lo tanto, el �rea amarilla pedida ser�:

07A12A6A61

68A12A6A

6A4AA4A8A28

6A2

A4A46

A3A246A4A4

2A

3A2

1A20

2A

3x

1x2x

A3x

x2x

A3x

2x2

dxAxxx2

2323232

222

0

A2

2

0

A2

232

0

A2

2320

A2

2

1 -6 12 -71 1 -5 7

1 -5 7 0 . Por lo tanto A = 1

Se resuelve: x2 - 5x + 7 = 0 ; 2

28255x ... soluciones imaginarias.

La gr�fica corregida es:

Habr�s observado que he puesto como valor del �rea -1/6 y no 1/6. Eso es debido a que tal y como he planteado el dibujo el �rea queda por debajo del eje OX. El dibujo provisional tambi�n ha condicionado el orden de los l�mites de integraci�n.

�C�mo resolver la ecuaci�n de tercer grado?. En primer lugar no asustarse, y en segundo aplicar Ruffini.




8�) Define suma superior y suma inferior de una funci�n en un intervalo y correspondiente a una partici�n. Apl�calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.

[ -3,2] para P = { -3, -1, 1, 2 }

Hallamos el M�ximo y el m�nimo para cada partici�n o subintervalo, fij�ndonos en la gr�fica:

[-3,1] M�x = 5 ; m�n = -3 Suma superior = la suma de los rect�ngulos de base

[-1,1] M�x = -3 ; m�n = -4 la longitud del intervalo y de

[1, 2] M�x = 0 ; m�n = -3 altura el M�ximo

Suma inferior = las alturas el m�nimo

Suma superior = 2.5 + 2.(-3) + 1.0 = 4

Suma inferiror = 2.(-3) + 2.(-4) + 1.(-3) = -17

La definici�n de suma superior e inferior la puedes encontrar en cualquier libro de texto o en internet.

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