ejercicios de cálculo
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Pequeños ejercicios de cálculoTRANSCRIPT
MARTÍNEZ RUIZ DANIEL NO. CUENTA: 313247732
GRUPO: 606 FECHA: 03/02/2015
Práctica 1. Gráficas de funciones trigonométricas
Identificación de la relación entre la gráfica de una función
trigonométrica y los valores de cada uno de sus parámetros
Actividades de la práctica
Traza la gráfica de las funciones trigonométricas solicitadas, usa algún programa de
computadora o una calculadora graficadora.
1. Traza la gráfica de f(x) = sen(x). Será la gráfica base que usarás para compararla
con las gráficas que obtendrás al cambiar los valores de los parámetros a, b, c y d.
2.- Análisis del parámetro a. Grafica cada función f(x) = a·sen(x) que se obtiene
cuando a toma los valores 2, 3, 4, 5, 6, 𝟏
𝟐,𝟏
𝟑,𝟏
𝟒,𝟏
𝟓,𝟏
𝟔 (diez gráficas, una por cada
valor de a). ¿Cómo cambia la gráfica si se modifica el valor del parámetro a?
a = 2
a = 3
a = 4
a = 5
a = 6
a = 𝟏
𝟐
a = 𝟏
𝟑
a = 𝟏
𝟒
a = 𝟏
𝟓
a = 𝟏
𝟔
Se puede observar que a modifica a la gráfica en cuestión de su amplitud, es decir
que mientras a tienda a infinito la amplitud de la gráfica también tenderá a infinito y
si a tiende a cero la amplitud tenderá a cero.
3. Análisis del parámetro b. De manera semejante a la actividad 2, grafica las
funciones f(x) = sen (b·x) e indica la forma en que cambia la gráfica cuando se
modifica el parámetro.
b = 2
b = 3
b = 4
b = 5
b = 6
b = 𝟏
𝟐
b = 𝟏
𝟑
b = 𝟏
𝟒
b = 𝟏
𝟓
b =𝟏
𝟔
Se puede apreciar que b modifica la longitud de la gráfica. Cuando b es más
grande la longitud se va a cortando y mientras tienda a cero la longitud tiende a
ser mayor.
4. Análisis del parámetro c. Traza la gráfica de cada una de las funciones f(x)
= sen(x + c) que se obtienen tomando distintos valores de c. ¿En este caso,
cuál es tu conclusión?
c = 2
c= 3
c = 4
c = 5
c = 6
c = 𝟏
𝟐
c = 𝟏
𝟑
c = 𝟏
𝟒
c = 𝟏
𝟓
c = 𝟏
𝟔
C modifica el inicio de la gráfica, si es número positivo se desplazará hacia la
izquierda sin importar que tienda c a infinito o a cero.
5. Análisis del parámetro d. De la misma manera que en las actividades
anteriores, analiza el parámetro d, y proporciona tu conclusión.
d = 2
d = 3
d = 4
d = 5
d = 6
d = 𝟏
𝟐
d = 𝟏
𝟑
d = 𝟏
𝟒
d = 𝟏
𝟓
d = 𝟏
𝟔
El parámetro d modificará dónde iniciará la gráfica en el eje de las ordenadas.
Sin importar si d tienda a cero o a infinito positivo, siempre va a iniciar la
gráfica en las ordenadas positivas.
6. Indica los cambios que se obtienen en la función f(x) = a·sen(b·x+c)+d
cuando se modifica cada parámetro. Explica uno por uno.
Estableciendo todos los parámetros, a excepción de a, igual a 1 y a = 4:
a modificará la amplitud de la gráfica, en este caso a vale 4 por lo que la
amplitud valdrá 4.
Estableciendo todos los parámetros, a excepción de b, igual a 1 y b = 4:
b modificará la frecuencia de la gráfica. A mayor frecuencia menor será
la longitud de la gráfica.
Estableciendo todos los parámetros, a excepción de c, igual a 1 y c = 4:
C modificará el inicio de la gráfica en el eje de las abscisas. En este
caso c vale 4 por lo que la gráfica comenzará en -4.
Estableciendo todos los parámetros, a excepción de d, igual a 1 y d = 4:
d modificará el inicio de la gráfica en el eje de las ordenadas. En este
caso iniciara en y=4.
Notas
1. A f(x) = a·sen (b·x+c)+d se le conoce como una función de tipo senoidal.
2. En f(x) = a·sen (b·x+c)+d, los valores a, b, c y d se llaman parámetros.
3. En algunos sistemas para graficar, la función seno se debe escribir sin.
4. En cálculo los ángulos se miden en radianes, la equivalencia entre grados y
radianes es 180º = 𝜋 radianes.
Para los aventurados
1. ¿Cómo se modifica la gráfica de la función f(x) = a·sen (b·x+c)+d si tiene un
parámetro negativo? (Sugerencia: Construye gráficas para hacer el análisis de
cada parámetro.)
a = -4, -𝟏
𝟒
Cuando a es negativo la gráfica iniciará con un valle en lugar de una
cresta.
b = -4, -𝟏
𝟒
De igual manera que con a, b negativo solo afectará el inicio de la
gráfica comenzando con un valle en lugar de una cresta.
C = 4, -𝟏
𝟒
c negativo desplazará a la gráfica hacia la derecha.
D = -4, -𝟏
𝟒
El parámetro d negativo afectará el inicio de la gráfica en las ordenadas
negativas.
2. Efectúa el análisis de los parámetros (tanto positivos como negativos) de las
funciones coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
i. Coseno
a = 4, -4
a será la amplitud y el signo determinará si comienza con un
valle(positivo) o con una cresta (negativo).
b = 4,-4
b será la frecuencia de la gráfica y esta determinara según su signo si
comienza con un valle o una cresta.
C = 4,-4
c determianra en qué abscisa comienza la gráfica. Si es positiva
comenzará en las negativas y si es negativa lo hará en las positivas.
D = 4,-4
D determinará si empieza en las oredenadas positivas, si es positvo, o
en las ordenadas negativas, si es negativo.
ii. Tangente
a = 4,-4
a determinará si la grafica tangente está más o menos pegada al eje de
las ordenadas y si es positivo a, entonces a las abscisas les
corresponderán ordenadas positivas y de lo contrario les
corresponderán ordenadas negativas.
B = 4,-4
b determinará la frecuencia de la gráfica y si es positiva a las abscisas
les corresponderán ordenadas positivas, pero si es negativa les
corresponderán ordenadas negativas.
C= 4,-4
c determinará en qué abscisa comienza la gráfica, si es positivo la
gráfica comienza en las abscisas negativas y si es negativo en las
positivas.
D = 4,-4
d determinará en qué ordenada iniciarán.
iii. Secante
a = 4,-4
a determinará en qué ordenada comienza la gráfica y que tan abierta
será, y el signo si comienza con un punto mínimo o un máximo.
B = 4,-4
b determinará la frecuencia de la gráfica y no parece afectar el signo de
b
C = 4,-4
c determinará en que abscisa comienza la gráfica; si es positivo,
comienza en las negativas, si es negativo en las positivas.
D = 4,-4
D modifica el inicio en las ordenadas de manera que si es 4 iniciara en
y=5, y si es negativa lo hará en y=-5.
Proverbio chino Un viaje de 20 000 leguas comienza con el primer paso.