FORMULACIN DE LAGRANGE 1.Considrese un sistema con Ngrados de libertad descrito por el conjunto de coordenadas generalizadas {qi} (i=1,...,N), cuyas energas cintica y potencial, T y V, vienen dadas por ( ) ( )iNii i iNiiq V V q q f T = == =121, &Demustrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los distintos grados de libertad no estn acoplados y redzcase el problema a cuadraturas. A partir de la lagrangiana, L = T V, calculemos las derivadas 2i iif qqL&&= 2dd2dd2i iiiiif qqfqqLt& & &&+ = dddd 2iiiiiiqVqqfqL = & As pues la ecuacin de Lagrange para cada grado de libertad qi es 0 =dd2dd 2iii i iiiqVq f qqf+ + & & &que como vemos slo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los distintos grados de libertad estn desacoplados y cada cual evoluciona independientemente de los dems. En particular, la energa contenida en cada grado de libertad 2i i i iV q f E + = &se conserva constante durante la evolucin como es fcil ver, pues dddd 2iiiiiiiqVqqfqE+ = & 2i iiif qqE&&= resultando que = 2 +dddddddddd 3i i i iiiiii iii iii i iq q f qqVqqftqqEtqqEtEtE& & & & &&&+ = + + = 0 = 2 +dddd=2+i iiiiiiiq fqVqqfq & & & &3Aspues,lasenergasEisonconstantesdeterminadasporlascondicionesiniciales, ,{ }0 0,i iq q &( ) ( ) 020 0 i i i i i iq V q q f E + = &de manera que la evolucin de cada grado de libertad viene dada por la integral tfV Eq qtii ii id00 = ---------------------------------------------- 2.Un punto de masa M describe, en el plano 0XY, una curva dada por la ecuaciny = f(x)cuando est sometida a un potencial que slo depende de y. Si v0 es la proyeccin de la velocidad sobre el eje 0X, se pide:a)hallar una expresin general del potencial en funcin de f.b)Apliquelaexpresinobtenidaenelapartadoanterioralcasodequela ecuacin de la curva seaay2 = x3. a)Sea V(y) el potencial pedido. La lagrangiana de la masa puntual ser ( ) ( ) y V y xML + =2 22& &de donde se obtienen las ecuaciones de Lagrange ( )( ) ==yVy Mtx Mtdddd0dd&& Integrando dos veces la primera ecuacin se obtiene que la proyeccin del movimiento sobreeleje0Xesunmovimientouniformeconvelocidad 0v x = & .Laintegraldela segunda ecuacin con respecto de y determina el potencial = y y M C V d & &donde C es una constante arbitraria. Como por otra parte ( ) ( )( )200 ddv x f yv x f x xxfy = = =& && & la expresin del potencial es ( ) y x f Mv C V d20 =y, para realizar la integral, hay que sustituir.) (1y f x=4b)Paraelcasoparticularenquelafuncines axy3= ,lafuncininversaes, de manera que( )3 / 12ay x =( )( )3 / 13 / 24343 23 = = = ya axx faxx f Sustituyendoenlaecuacindelapartadoanterioryrealizandolaintegralsellegaal resultado. ------------------------------------------------- 3.Considrese una transformacin desde un sistema estacionario de ejes cartesianos Oxyz a otro Oxyz que gira con velocidad angular constante alrededor del eje Oz. Transforme la lagrangiana de una partcula considerada libre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Oxyz, e identifique en esta ltima los trminos que corresponden a las fuerzas de Coriolis y centrfuga. La transformacin de Oxyz a Oxyz es: t x t y yt y t x x sincossincos + = = La energa cintica de la partcula viene dada por: ) (~21) (~) (21) (212 2 2 2 2 2 2 2 2y x m y x y x m z y x m z y x m T + + + + + = + + = & & & & & & & &Laexpresin queapareceenlasecuacionesdeLagrangepuedeconsiderarse comounafuerzaficticiaqueaparecedebidaalaspeculiaridadesdelsistemade coordenadas. En nuestro caso: iq T /x m y mxT + = 2 ~ ~ &, con una expresin similar para iy T / (la correspondiente parcial con respecto a zes nula). Los dos trminos de la expresin anterior pueden identificarse como las componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrfuga, respectivamente. La otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del trmino iqTdtd&de las ecuaciones de Lagrange. ------------------------------------------ 5 4.Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor de su dimetro vertical con velocidad angular . Para una velocidad angular mayor que un cierto valor crtico c, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecnico estable en una posicin dada por un ngulo 0 respecto de la vertical. Se pide:a)Encontrar c y 0 ;b)Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeas oscilaciones alrededor de 0 y encontrar su periodo. a)La energa cintica de la cuenta y el Lagrangiano son: 2 2 2 2) sen(2121 a m ma T + =&. cos sin mga ma ma L + =2 2 2 2 22121& donde es el ngulo que forma la posicin de la masa con el eje vertical de giro, correspondiendo0 =con la partcula en la posicin ms baja en el alambre. La ecuacin de Lagrange nos lleva a: 0 sencos sen 2= + a g a& & En el punto de equilibrio,0 = & &, g = a 2 cos ,.: 2 = g/(a cos ). Esta ltima ecuacin tiene una solucin para slo si 2 g/a, con lo que la velocidad angular crtica es agC= y el ngulo de equilibrio es =20cos arcag b) Si la cuenta efecta pequeas oscilaciones alrededor de 0, podemos describir el movimiento en trminos de un pequeo parmetro = 0. La ecuacin del movimiento se transforma en 0 ) ( sen) ( cos ) ( sen 0 020= + + + + a g a & & 6Parapequeosvaloresde,1 cos y sen .Teniendoencuentaestoyelvalor obtenido de 0, la ecuacin anterior queda en 0 14 222= + ag& &La frecuencia de oscilacin ser: 4 221ag = --------------------------------------------- 5.Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de la forma 22 1212) ( dq q a dq ds + =Se pide:a)La ecuacin que cumplen las lneas geodsicas de la superficie b)Demostrar que las curvascte.2 = qson geodsicas c)Qudependenciaconeltiempotiene,enelcasocontempladoenb),la coordenada?(Nota:lasgeodsicassonlastrayectoriasquesigueunpunto sobre la superficie en ausencia de toda fuerza). 1q a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1, ( )22 121) (21q q a q T L & & + = =La coordenadaes cclica; luego 2q2 12) ( q q a CqT&&= =(1) donde C es una constante. Por otra parte, la energa total: ( )22 121) (21q q a q E & & + = (2) estambinunaconstantedelmovimiento.Eliminandodtde(1)y(2),seobtieneuna ecuacin diferencial entre las coordenadas y que es precisamente la ecuacin de las geodsicas. Integrando dicha ecuacin se obtiene: 1q2q=) ( 1) ( 212112q aCq a Edqq 7b) Las curvas, recorridas con la ley horariacte.2= q E t q E q 2 , 21 1= = & , son soluciones de las ecuaciones (1)y(2). c)De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona segn un movimiento uniforme. 1q----------------------------------------------- 6.Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esfrica uniforme de partculas slidas, los objetos en el sistema solar experimentaran una fuerza gravitatoria total que sera brrkFr =2 Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es dbil ) (3r k b >m, quedando: lgLg 2 2y ----------------------------------------- 18. Una partcula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY, se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y est sometida a la fuerza que deriva del potencial V(x,y). El potencial es analtico cerca del origen, admitiendo el desarrollo ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21,3222 222 232r Oy x VxyyV yxV xyVyxVx r O V V y x V + + + + + + + = r r Estdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuaciones de Lagrange en torno a la condicin inicial. Resulvanse estas ecuaciones suponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de la forma ( ) ( ) 5 4 3 2t O t t t t + + + = c b a r , y determnense los vectores constantes a, b y c. Calclese, as mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresin de la lagrangiana. LalagrangianadelapartculaesL=TV,siendo( )2 221 221y x T & & + = = v .Aspues, cerca del origen, se tiene ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 ;0 0 0 ; 222222 = = = =y xVxyVyyVyLyyLy xVyxVxxVxLxxL &&&& lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 00 0 0

222222 = =y xVxyVyyVyy xVyxVxxVx & && & con las condiciones iniciales ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 = = = = y x y x & &Por otra parte, segn el enunciado, se tiene 24( )12 6 23 2t O t t + + + = c b a r& &Sustituyendoryenlasecuacionesdelmovimientoeigualandolaspotenciasdel mismo orden en t, se obtienen los vectores buscados: && r( ) 021 xVax =0 =xb( ) ( ) ( ) ( )+ = 0 0 0 0241 222y xVyVxVxVcx Haciendoenestasexpresioneselintercambioxy,seobtienenlascomponentesy correspondientes. Paracalcularlatrayectoria,x=x(y),hayqueeliminareltiempotentrelas componentes x e y de la ley de movimiento r(t). Para ello invertimos la serie de una de lascomponentes,lacomponentexporejemplo,suponiendoparatundesarrollodela forma ( ) 2 2 / 3 2 / 1x O x x x t + + + = de manera que ( )22 2 / 3 2 2x O x x t + + = ( )M 2 2 / 3 3 3x O x t + = Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene: ( ) ( )22 2 / 3 2x O x x a xx+ + = de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientes del desarrollo de t, , 0 = ,2 / 1K =xalo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = ayt2 + ..., proporciona la trayectoria pedida ( ) // 20x O xx Vy Vyx+ == que puede calcularse consecutivamente a todos los rdenes --------------------------------------- 19. Considrese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por una varilla rgida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girar libremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas. Este punto est forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determnense las coordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del 25sistema y calclese la expresin de su lagrangiana, si la gravedad es la nica fuerza presente. Escrbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes y disctase el movimiento del sistema. z y x g Paraespecificarelmovimientodelsistema,lomsconvenienteesdarlaposicindel centrodemasasyreferirastelasposicionesdelasdosesferas.Comoelcentrode masas est forzado a moverse sobre una circunferencia, su posicin queda determinada dando el ngulo que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como estn unidas porunabarrargida,ladistanciaquelasseparaesfijaybastaconespecificarlos ngulos polares esfricos (,) que determinan la orientacin de la barra en el espacio. As,comocoordenadasgeneralizadasdelsistemapuedentomarselostresngulos (,,). Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de la circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son: coscoscos 111+ =+ == l Rsen zsen lsen R ylsen x

coscoscos 222 = = = l Rsen zsen lsen R ylsen xCalculandoporderivacintemporallasvelocidadesrespectivas,resultanlassiguientes expresiones para las energas cinticas: ( ) [ ] sen sen sen sen sen Rl R sen l lmm Tcos cos cos 22212 2 2 2 2 2 221 1&&&& & &&+ + + + == v ( ) [ ] sen sen sen sen sen Rl R sen l lmm Tcos cos cos 22212 2 2 2 2 2 222 2&&&& & &&+ + + + + == v de modo que la energa total del sistema es ( ) ( ) ( ) [ ]2 222 1 & &&R sen l l m T T T + + = + =Por otra parte, las energas potenciales de las esferas y la energa potencial total son 26( ) cos1 1l Rsen mg mgz V + = =( ) cos2 2l Rsen mg mgz V = = mgRsen V V V 22 1= + =A partir de la lagrangiana, L T V, calculemos las derivadas === 2 222222sin&&&&&&mlLmlLmRL===0222 2 LmlLmgRLcos sincos&

La ecuacin asociada al grado de libertad , ( ) 0 cos 2 2dd2= mgR mRt&estdesacopladadeyde.Estaecuacinesprecisamentelaecuacindelpndulo simple, cosgR = &&demaneraqueelcentrodemasasdelasesferasejecutaunmovimientopendular independientemente de como estn girando las esferas. Es decir, el sistema en conjunto secomportacomounpndulodemasa2mcondosgradosdelibertadinternosque determinan el movimiento relativo de las dos esferas respecto de su centro de masas. Porotraparte,lacoordenadaescclicademaneraqueunaconstantedel movimiento es C sen mlL= = 2 22 && de donde, despejando, se obtiene 22 2sen ml C= &La ecuacin para es ( ) 0 cos 2 2dd2 2 2= sen ml mlt&& es decir, sustituyendo el resultado anterior, 22 2cot02 sinCml = && que es la ecuacin que determina el movimiento relativo de las esferas. ----------------------------------------- 2720. Una partcula de masa m se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.a) Calclese su lagrangiana e identifquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento.b) Hllese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y disctase el tipo de rbitas. Tomemosunsistemadecoordenadascartesianascentradoenlaesfera,talcomose indica en la figura R m Utilizando coordenadas esfricas, la posicin y velocidad de la partcula vendrn dadas por =+ = ==== sencos sen sen cossen sen cos coscossen sencos sen&&&&&&&&R zR R yR R xR zR yR x de manera que las energas cintica y potencial de la partcula son, respectivamente, ( ) ( )sen212121 2 2 2 2 2 2 2 2 &&& & & + = + + = = mR z y x m m T v cos0 0mgR V mgz V V + = + =A partir de la lagrangiana, L = T V, las ecuaciones correspondientes a los ngulos de orientacin son 0dd= L Lt& 0dd= L Lt & Como la coordenada es cclica su momento conjugado se conserva constante, lo que traducelaconservacindelacomponentecorrespondientedelmomentoangular,es decir, 28sen2 2l mR = &y la ecuacin para se escribe como: sencossen3 32 mRlmg mR + =& & Definiendo el potencial efectivo ( )sen 2cos 12 22mRlmgR Vef+ + =la ecuacin para queda en la forma dd1

2efVmR =& & Una grfica de Vef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de rbitas. 012345 /2Vef (R/g) En la figura se ha representado la funcin (R/g)Vef para el caso particular. Lacurvaatrazoscorrespondealtrminogravitatorioylacurvaatrazosypuntosal trminocentrfugo.Lasumadeamboseslacurvacontinua.Comopuedeverse,las rbitasposiblescorrespondenatrayectoriasacotadascomprendidasentredosvalores, unomximoyotromnimo,delnguloquedependendelaenergatotaldela partcula,laotraconstantedelmovimiento.Paraelvalordestacorrespondienteal mnimo de la curva de V23 2 2gR m l =ef, los dos valores de colapsan y la trayectoria corresponde a una circunferencia horizontal. --------------------------------------------- 21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimiento no se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una funcin homognea 29de grado m de las coordenadas:( ) ( ) (nr r r Vmnr r r Vnr r r V , ,2,1, ,2,1, ,2,1K K K = = ) . Si se reescala simultneamente el tiempo (por un factor: =tt') y las coordenadas espaciales(pordichofactor: =ll,consealandounacoordenadacon dimensionesdelongitud),unaeleccinapropiadadeambosfactorespuede tener como efecto neto el de multiplicar el lagrangiano por una constante. la) Cul es la relacin entre ypara que as suceda? b)Unavezobtenidastaderiveapartirdeella,comofuncindem,las relacionesentre llycadaunodelasreescalamientossiguientes:tiempos( tt), velocidades (vv), energa (EE') y momento angular (JJ ). c) Obtenga de las relaciones del apartado b) lo siguiente: -la tercera ley de Kepler,-la relacin cuando el potencial gravitatorio se aproxima por mgh ( )2constante t l =-la independencia del perodo con la amplitud en el oscilador armnico a) Si el potencial reescalacomo, la energa cintica lo hace como m22. Para sacar factor comn a ambos trminos del lagrangiano=2 2 m, o ( ) 2 1 m = b) las relaciones solicitadas son:21; ;2;21mllJJmllEEmllvvmlltt+= = = = c)-Enelpotencialgravitatorio1 = m .Sustituyendoenlaprimerarelacinenb), obtenemos( ) ( )3 2l l t t = , que es la ley de Kepler (las distintas rbitas se transforman unas en otras mediante reescalamientos en el tiempo y el la longitud) -Enelcasodelpotencialmgh,1 = m ,encontramoslaclsicarelacinparablica entre distancia y tiempo. -Aqu. El perodo debe ser independiente de la amplitud.2 = m 22. Considrese un circuito clsico( inductor-condensador) sin generador, estudiado en Fsica General. Recordando que la energa almacenada en el inductor es LC2L21I , siendoI la corriente que circula por l, y que la almacenada en el condensador es CQ221, establezca una analoga entre estos conceptos elctricos y los correspondientes de un sistema mecnico simple.A continuacin plantee el Lagrangiano del sistema y obtenga la ecuacin diferencialy la frecuencia intrnseca de este circuito resonante. C L30 El problema es muy simple. La analoga puede establecerse de la siguiente forma: Posicin carga Velocidad corriente Fuerza diferencia de potencial Masa inductancia L Constante del muelle inversa de la capacitancia 1/C La energa almacenada en el inductor 221LIpuede asociarse formalmente a un trmino de energa cintica. Por su parte, la energa almacenada en el condensador es asimilable, tambin desde un punto de vista formal, al trmino de energa potencial de un muelle. En definitiva: ( )221 2211Q L QCV T L = =& de la que se obtiene la ecuacin:( ) 0L1= + QCQ& &,de la que sigue fcilmente la frecuencia.--------------------------------------------- 23. Una esfera uniforme de masaMy radioR se halla encastrada en un agujero practicado en una fina lmina plana infinita, con una masa por unidad de rea de valor ,de forma a que el plano de la lmina coincida con el plano ecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masase mueve sin rozamiento a lo largo del eje z (vase figura), perpendicular a la lmina y que pasa por el centro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema m

Z La dificultad en este problema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la partcula. Una vez obtenido ste, la construccin del Lagrangiano es inmediata. Consecuentemente, nos concentraremos nicamente en el primer objetivo. Para ello, separamos las contribuciones del plano y de la esfera. Esta ltima es inmediata: simplemente, a una distanciadel centro de la esfera, a lo largo del ejez z ,2zGM31La contribucin del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de radio , alrededor del centro de la esfera.. Por razn de simetra, slo tendremos que calcular la componentezdel campo producido por el anillo a la misma distancia anteriorz . En definitiva, ( )( )( )2 22 22 ++zzzd G El campo total producido por el plano resultar de integrar la expresin para el anillo en el intervalo[ :) , R2 22R zz G+ --------------------------------------------- 24. Sabemos que el oscilador armnico tiene como parmetro caracterstico la frecuencia, que es independiente de las condiciones iniciales. Por el contrario, su amplitud mxima A s que depende de estas ltimas. Sin embargo, existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud mxima se invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condicin inicial y, al contrario, la amplitud mxima convertirse en un parmetro caracterstico del sistema, independiente de la condicin inicial. Un caso semejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales estn unidas por un eje rgido de masa nula. cada una de las masas se mueve sin rozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, bien sea el x, bien sea ely.Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que lo aseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de la condicin inicial, mientras que su amplitud mxima es siempre la misma. xyA Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geomtricas, el lagrangiano y la energa cintica coinciden: son iguales a la energa cintica que tienecualquiera de las partculas, en el instante en que pasa por el origen y la otra est en su posicin de equilibrio, ( )22 22 222umx Ax mAL ==&(1) donde es la velocidad de una partcula cuando pasa por el origen. Ordenando de nuevo trminos en la ecuacin (1), llegamos a: u > 02 222 2 2 2 2 2 2u xAux u A x u x A = + = + & & 32La ecuacin final expresa la conservacin de la energa de un oscilador armnico cuya frecuencia y amplitud mxima son, respectivamente, uA y. El movimiento es el de oscilador armnico, pero en el cual la frecuencia depende de la condicin inicial (a travs deu ), mientras que la amplitud mxima es siempre constante.A--------------------------------------------- 25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene dado por =2 22121e kq q mtL &.a)Escriba la ecuacin del movimiento. A qu sistema corresponde? b)Existe alguna constante del movimiento? c)Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada,, dada porSqtS =2exp. d) Escriba la ecuacin del movimiento. A qu sistema corresponde? e)Existe alguna constante del movimiento? f)Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles g)Cmo pondra en relacin ambas descripciones? Nota aclaratoria. En el enunciado propuesto en la hoja de examen se desliz un error. Se sugera el cambio( ) t q S exp =en lugar del que aparece en el presente enunciado.Est claro que con este ltimo cambio el resultado carece de inters conceptual, tal como ha podido constatar la mayora de los alumnos. La correccin, evidentemente, se ha hecho segn el enunciado del examen, y no con el que aparece aqu. Sin embargo, s que da inters al problema el cambio propuesto aqu, por lo que ser aqul sobre el que elaboraremos. Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del buen cambio. As lo han hecho constar en el examen a ttulo de comentario y su iniciativa ha sido debidamente valorada a la hora de calificar. a) La ecuacin de Lagrange lleva a: ( ) 0 = + + kq q m q m et& & & , o 0 = + + qmkq q & & & , b) Aparentemente, podramos contestar que no existe constante del movimiento al dependerLexplcitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada. Veamos por qu. En un sistema mecnico, podemos disponer, en principio, de funciones que permanecen constantes a lo largo del movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento o integrales primeras. Sin embargo, la definicin de estas cantidades es ms general, englobando una posibles dependencia explcita del tiempo, de forma que: = constante. Nada , en principio, excluye la existencia de este ltimo caso de constante del movimiento, aunque, bueno es decirlo, se piensa en la primera forma al hablar de ( ) ( ) ( t q t q F & , )( ) ( ) ( ) t t q t q F , , &33constante del movimiento. Lo que s queda claro es que, si existe( ) ( ) ( ) t t q t q F , , &= constante, no es aparente. Sigamos la evolucin del problema para aclarar este extremo. c) Para una solucin general del tipo, obtenemos la ecuacin caractersticate q02= + +mk con soluciones mk =22 2 Las distintas posibilidades de movimiento nos vendrn dadas por el valor del discriminante mk = 22, siempre que0 > . Primer caso:. En este caso, la solucin general queda como un movimiento oscilatorio amortiguado 0 < ( ) t B t A e qt + =sen cos2 Segundo caso:. Movimiento puramente amortiguado0 = 20te q q=Tercer caso:. Movimiento tambin puramente amortiguado0 > ( )t ttBe e A e q + =2 d) Escribimos el lagrangiano en funcin de la nueva variable 22212121kS S S m L = &, del que se obtiene la siguiente ecuacin del movimiento 202kS Sm + = &&. e) Ahora, s que podemos hablar de una constante del movimiento. La ecuacin anterior es la del oscilador armnico, que tiene formalmente la constante22 2cte2kS Sm + = & Llegados a este punto, enlazamos con el apartado b). La expresin anterior, una vez desecho el cambio, nos proporciona la contestacin a la pregunta que nos hacamos ah.S q f) Es fcil responder a este apartado manejando el signo de2 m k , al igual que hicimos en el apartado c). Sin embargo,a la hora de hacer un anlisis completo no deber olvidarse el factor exponencial en la definicin de.S 34g)Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La nica diferencia es que en la segunda se enmascara el factor exponencial que no por ello ha desaparecido- pudindose con ello poner en evidencia la constante del movimiento cosa que no era trivial en la primera descripcin. --------------------------------------------- 26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un crculo de radio, tal como indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial m b( ) ( ) + + = e e e , ,0V Vlos ngulos de separacin , ,son medidos en radianes.Cuando 32 = = = , el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las frecuencias de los modos normales del sistema para pequeos desplazamientos del equilibrio (ngulos3 2 1, , ilustrados en la figura de la derecha) Los ngulos ,y , en trminos de 2 1, y 3 , son: 1 232 + = , 2 332 + = , 3 132 + = . Por su parte, el potencial queda: + + =3 1 2 3 1 2 320 e e e e V VHabida cuenta de que estamos hablando de pequeos valores de 2 1, y 3 , esta expresin del potencial puede aproximarse por ( ) ( ) ( [3 1 2 3 1 23203 e V V )( ) ( ) ( ) + + +23 122 321 2212121 La energa cintica va a ser dependiente de las velocidades lineales de las tres partculas. Como el radiobes constante, stas sernb , para i&3 , 2 , 1 = i . En definitiva, el lagrangiano quedar 35( )232 2 2 2 230 1 2 3 1 2 2 31132iiL mb V e3 1 == + + + &, con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange ( )2231 0 1 2 32 0 mb V e + =&& ( )2232 0 2 3 12 0 mb V e + =&& ( )2233 0 3 1 22 0 mb V e + =&& Proceder en el anlisis de modos normales es relativamente trivial, por lo que se dejan los detalles como ejercicio. La ecuacin caracterstica resulta ser 222 2 2303 0 mb V e mb + = con soluciones =303 10emVb siendo la segunda degenerada.--------------------------------------------- 27.- En un sistema dinmico de 2 grados de libertad la energa cintica es 222222121) ( 2q qbq a qT &&++= , y la energa potencial esta dada por 2dq c U + = , con a, b, c y d constantes. Mostrar que en funcin del tiempo es una ecuacin de la forma con h, k y constantes. 2q2022 2) ( ) 2 )( ( t t h k q k q = + 0tNOTA:bx abbx abx axdx+ =+ 23) 2 ( 2 Dado que la energa cintica y la potencial no dependen ni del tiempo ni de la coordenadatenemos 2 constantes del movimiento: 1q V T E + =y 1qL& , es decir: cte pbq aqqL= =+=1211&& c dq q q bq apdq c q qbq a qE V T + + + + = + + ++= = +22222 2212222222121) (2 21) ( 2& && que podemos rescribir como: 2 2 12222C q C q q = &con y constantes:,. 1C2C d b p C 221 1 = c a p E C 2 221 2 =Y de ah integrar:36222 1 2 22qq C Cq+= &02 1 22 2t t dtq C Cdq q = =+ 2 1 2212 1 203) 2 ( 2q C CCq C Ct t + = que conduce directamente a la ecuacin que queremos encontrar con 12CCk =y 149C h = . --------------------------------------------- 28.-Una partcula de masay cargaese mueve bajo la influencia de campos elctrico y magntico uniformes, mutuamente ortogonales. En un sistema de ejes cartesianos, estos campos son mj Er rE =yk Br rB = . Encuentre las ecuaciones de movimiento y la trayectoria en el caso en el que la partcula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas. Las relaciones siguientes le pueden servir de ayuda ( ) ( A v v vA BAE = =) =e m Lt21 Los potenciales escalar y vectorial que dan los campos correctos, son Ey = ( ) j i A x y B + =21 El correspondiente lagrangiano queda ( ) ( ) x y y x eB eEy z y x m L & & & & & + + + + =21212 2 2 Las ecuaciones de Lagrange correspondientes quedan 0 mx eBy = && &eE x eB y m = + & & &0 = z m& &Queda claro de la tercera ecuacin y de las condiciones iniciales( ) 0 0= zy, que el movimiento est confinado al plano ( ) 0 0= z&xy . Las ecuaciones para ex yson lineales, por lo que podemos considerar una solucin general del tipo( ) t exp , quedando la ecuacin caracterstica como 02 2 2 4 2= + B e mcon autovalores 22 222 , 1, 0mB e = Con estos resultados en mano, podemos escribir la solucin para la trayectoria de la partcula 37 = tmeBeBmEtBEx sen2 = tmeBeBmEy cos 12 Es fcil dibujar la correspondiente trayectoria. Es un cicloide con cspides sobre el eje , separadas por una distanciax22 eB mE . Esta distancia es la velocidad promedio en la direccin ,x B E , multiplicada por el perodo,eB m 2 , de los trminos sinusoidales. x y E --------------------------------------------- 29.- Raznese si la siguiente afirmacin es verdadera o falsa: a) Las lagrangianas y) , , (1t q q L & t t q A t q q L L + = ) , ( ) , , (1 2&son equivalentes, esto es, proporcionan las mismas ecuaciones de movimiento. a) La eleccin del Lagrangiano de un sistema nunca es nica y dada una funcin lagrangiana, cualquier funcin de la forma) , , (1t q q L & dt t q dF t q q L L ) , ( ) , , (1 2+ = & , tambin lo es (Seccin 1.4 Goldstein, puede mostrarse por sustitucin directa en las ecuaciones de Lagrange de y de 2LtFqqFdtdF+= & ). Por tanto para que sea cierto en el caso que preguntado tendra que cumplirse que la funcin aadida solo dependiera del tiempo: .) (t A--------------------------------------------- 30. Suponga por un momento que no sabe usted qu forma tiene la energa cintica y desconoce tambin las Leyes del movimiento de Newton. Le dicen a usted que el punto de partida para describir el movimiento de una partcula viene dado por las ecuaciones de Lagrange, cuya forma le dan, especificndole, sin ms detalles, que el lagrangiano es un funcional de la forma) , , ( t q q L Li i& = . Le piden que con estos datos descubra usted las leyes del movimiento de la partcula libre en coordenadas cartesianas. Usted sabe que sta es una partcula en el espacio vaco sin fuerzas actuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y el principio de relatividad de Galileo. 1. Explique por qu el lagrangiano no puede ser funcin de z, y, x , ni de cada una de las componentes de la velocidad,, , por separado. Tampoco del tiempo. Sobre qu propiedades del espacio se basar su argumentacin? xvyvzv38Usted llega a la conclusin de que, donde) (2v L vr es la velocidad de la partcula en un sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma un segundo sistema inercial K que se mueve con velocidad constante infinitesimalmente pequea respecto de K . 2. Pruebe queL _(a constante). Le puede ayudar hacer una expansin en serie de Taylor, despreciar los trminos cuadrticos en _ y recordar la propiedad de invariancia bajo transformacin 2av L =dtdFL L + ' L . 3. Pruebe que es una eleccin consistente para el lagrangiano en cualquier sistema K que se mueva con velocidad finita 2' ' v L =0Vrrespecto de K ; es decir, se satisface el principio de relatividad de Galileo. Los datos del problema son: A) El Lagrangiano es funcional de la forma:) , , ( t q q L Li i& = . B) Ecuaciones de Lagrange: 0 =i iqLdtdqL&. C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una partcula libre permanecer en reposo o en movimiento rectilneo uniforme por tiempo ilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogneo e istropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definir un sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropa por ejemplo, que con una partcula de velocidad inicial no nula es imposible definir una direccin privilegiada del espacio, dado que sea cual sea la direccin inicial de la partcula el tipo de comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales en todos ellos. D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K se desplaza con velocidad infinitesimal respecto a otro sistema inercial K nos informa que si la partcula libre se mueve con velocidadvr en el sistema K lo har con velocidad r r ven el sistema K. 1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusin de una dependencia explicita respecto a las coordenadas o al tiempo implicara que las ecuaciones del movimiento no respetaran la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a una direccin privilegiada, como sera una dependencia de la direccin del vector velocidad, no respetara la isotropa del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede depender del mdulo de la velocidad, es decir: .) (2v L L = 2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para el sistema K: ) ( 2 ) ( ) 2 ( ) ' (222 2 2 2 O vvLv L v v L v L + = + =r r r r, 39y de la ltima afirmacin de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que dtdFv L v L + = ) ( ) ' (2 2 y para que esto se cumpla en la ecuacin anterior tenemos que cte avL= =2, de modo quea r F r r2 = , donderres el vector posicin de la partcula. 3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que ) 2 ( ) ( 2 ) ( ' ) ' ( '20 02 20 02 202 2t V V rdtdv L V V v v V v v v L + + = + = = =rrrrrr que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles. --------------------------------------------- 31. Una partcula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ngulo (ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre. a)Calclese su lagrangiana e identifquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento. b)Hllese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y disctase el tipo de rbitas c)Qu velocidad inicial ha de imprimirse a la partcula para que la rbita sea circular? d)Suponga la masamen una rbita circular tratada en el apartado anterior. Suponga que se le imprime un muy pequeo impulso en direccin contraria al vrtice del cono. Qu tipo de trayectoria piensa usted que seguir el sistema despus de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en la composicin de la trayectoria circular original y de una pequea oscilacin alrededor de sta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequea amplitud en torno a la rbita circular. Hgalo slo en el caso en que piense que esta trayectoria tiene sentido. a) Siguiendo la figura, tenemos: mzyx R ,, sin, cosz zR yR x=== como la partcula tiene que moverse en la superficie del cono, tenemos una ligadura expresada por la ecuacin: 40ZRz hR== tandnde definimosz h Z = , siendo h la distancia del origen al vrtice del cono. Elegimos como coordenadas generalizadas a Z (que slo tendr sentido para) y y definiendo 0 Z tg obtenemos ,), cos sin () sin cos (Z zZ Z yZ Z x&&& &&& && =+ = = con lo que el lagrangiano tiene la forma ( ) ( ) mgZ Z Z m L + + + =2 2 2 2 2121 & &, en que la coordenada es cclica y el correspondiente momento conjugado se conserva &&2 2mZLp ==que corresponde a la componente vertical del momento angular. Como la lagrangiana no depende del tiempo, tambin se conserva la energa. b) Si sustituimos la ecuacin anterior en la ecuacin del movimiento para la otra variable tenemos ( ) ) ( 12 2g Z m Z m + = + & & & Distinguimos ahora dos casos: 1)Inicialmente el momento angular es nulo,0 =p , bien por estar situados en el vrtice del cono,, o por no tener velocidad inicial en el plano xy,. En este caso el problema se reduce al movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado. La ecuacin anterior se simplifica a 0 = Z 0 = &( ) 12+=gZ& &, es decir es un movimiento uniformemente acelerado en la coordenada Z. El potencial efectivo es:Z g ZgVeff22cos1=+= . 2)Si podemos despejar de la ecuacin del momento angular0 p2 2mZp=&, que introducimos en la ecuacin para la variable Z ++=2 3 22211 Z mpg Z& &, y si tomando como potencial efectivo la funcin tal que ZVZeff =& &, obtenemos += gzZ m pVeff2 2 2222 11 . Si dibujamos este potencial obtenemos una funcin montonamente decreciente como la siguiente: 41 con en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para la variable Z corresponder a un movimiento acelerado, independientemente de las condiciones iniciales la masa tender a caer hacia Z cada vez mayores, que corresponden a z cada vez ms negativos en la variable original. Por tanto el movimiento ser una composicin de un giro en el plano xy, dado por la variable effV , que por conservacin del momento angular tendr cada vez menor velocidad angular a medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la direccin del eje negativo de la variable z. c) Con el potencial calculado no pueden existir rbitas circulares dado que nunca alcanza un mnimo. El nico equilibrio que puede alcanzar la partcula vendra de considerarla en reposo sobre el vrtice del cono. Tambin podemos darnos cuenta de esto al intentar calcular el valor de Z que anula effVZVeff, obtendremos slo valores de Z negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son vlidas. d) Si consideramos la partcula sobre el vrtice del cono cualquier pequea perturbacin la sacar de su equilibrio inestable para producir un movimiento de cada acelerado como los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeas oscilaciones para potenciales sin mnimos. --------------------------------------------- 32.Consideremos la definicin general de sistema conservativo. A saber, aquel que cumple las siguientes tres condiciones: 1) es vlida la forma estndar (holnoma o no holnoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es funcin explcita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma ( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se0l k kka dq = l ta42expresa en la forma estndar holnoma y la energa cintica es una forma cuadrtica homognea de las jq& s, un sistema conservativo es adems natural. a) Demostrar que la definicin anterior de sistema conservativo lleva a la conservacin de la llamada funcin energa: jjjLqqL&& (integral de Jacobi), que se reduce a la energa total en el caso de un sistema natural. b)Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular de radio r (vase figura). El tubo gira alrededor de su dimetro vertical (eje Z) con una velocidad angular constante .En las coordenadas polares de la figura, compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro que gira con el tubo, respectivamente. En cul de los dos es este sistema simplemente conservativo y en cul es tambin natural? Justifique su respuesta. c)Describa el sistema anterior en coordenadas esfricas. Es el sistema ahora conservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, cul es la razn fsica para ello? z Or m Si, entonces 2 1 0L T T T V = + + 2 0 jjjLh q L T TqV= = +&&. Si reagrupamos trminos: {2 0Vh T V T T V == + = +Todo el truco del problema reside en manejar apropiadamente los trminos en el Lagrangiano. Empecemos con los trminos T y V en polares 2 2 2 2 212( secosT m r rV mgrn ) = +=& dando el lagrangiano en sistema laboratorio 2 2 2 2 212( sen ) L m r r mgr cos = + & (1) Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La integral de Jacobi es: 2 2 2 2 212( sen ) h m r r mgr cos = +& , que NO ES la energa total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma queL T V = con 2 212 22 2 20cos senT T mrV V T mgr r = = = = & 43T es la energa cintica relativa a un sistema que gira con el tubo. La energa potencial V incluye el trmino gravitacional y el trmino 0T que tiene en cuenta la fuerza centrfuga. En este caso nuestro sistema es natural yh T V = + , la energa total (cuidado, no en el sistema inercial!) En el caso de coordenadas esfricas( ) , , r tenemos 2 2 2 2 212( secosT m r rV mgrn ) = +=& & con la ligadura0 d dt = . El sistema en esta representacin NO ES conservativo ya que0k ta = . Adems, la expresin de Jacobi (T V + , en este caso) no es constante ya que la ligadura efecta trabajo sobre el sistema. ---------------------------------------------- 33. Un bloque de masa M2 desliza sobre otro de masa M1 que, a su vez, desliza sobre un plano horizontal (Vase figura). Usando las coordenadas X1 y X2 de la figura, obtenga las ecuaciones diferenciales del movimiento a travs de la formulacin de Lagrange. Asuma ausencia de rozamientos. X2 X1 M2 M1 La coordenada 1xes el desplazamiento absoluto de, mientras que 1m2xes el desplazamiento de con respecto a Para obtener la velocidad absoluta de, usamos la ley del coseno para sumar la velocidad de y la velocidad de respecto de. Obtenemos: 2m1m2v2m1m2m1m2 2 22 1 2 1 22 cos v x x xx = + & & & &siendo el ngulo formado por el plano con la horizontal. Por lo tanto, ( )2 2 21 1 2 1 2 1 21 12 cos2 2T m x m x x xx = + + & & & & &En presencia del campo gravitatorio, los cambios en energa potencial proceden de cambios en el valor de 2x : 2sen V mgx = De aqu ( )2 2 21 1 2 1 2 1 2 21 12 cos sen2 2L m x m x x xx mgx = + + + & & & & &Las ecuaciones correspondientes: ( )1 1 2 1 2cos 0 m x m x x + = && && &&442 2 2 1 2cos sen 0 m x m x m g && && = ---------------------------------------------- 34.- Un modelo simple, y de gran utilidad, de molcula triatmica lineal es el de la figura. Vamos a examinar el caso en el que M>m. Plantee el problema en las coordenadas definidas por los desplazamientos de las tres masas de su posicin de equilibrio, con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange. Intente una solucin 0i tx x ei i= , siendo una frecuencia de modo normala)Cuntas frecuencias independientes hay y cules son stas?b)A qu movimiento corresponde la menor de ellas? mMM kk X1 1 2 3 ( ) ( )2 22 2 21 2 3 2 1 31 1 1 1 12 2 2 2 22L T V Mx mx Mx k x x k x x = = + + & & &Ecuaciones : ( )( ) ( )( )1 1 21 2 1 2 33 3 2000Mx k x xmx k x x k x xMx k x x+ =+ + =+ =&&&&&& El determinante para las frecuencias 22202 00k M kk k m kk k M =con soluciones+ = = =mMMkMk 21 03 2 1 , , Para 10 = , los desplazamientos son 1 2 3x x x = = , dando a entender que el conjunto de las tres masas se mueve como un slido rgido, sin oscilaciones internas. ---------------------------------------------- 4535. La transformacin entre coordenadas cartesianas y polares viene dada por sen r x = , cos r y = , siendo lo vectores unitarios en polares: j i uj i u cos sensen cos+ =+ =r A diferencia de i y j,y no son constantes. Puede observar, por ejemplo, que ruuuu=ddr y rdduu = y x ( ) , rurrurtrayectoria Rr 1)Sabido esto, calcule las componentes en coordenadas polares de la aceleracin y acto seguido planteelas ecuaciones de Newton correspondientes.2)Exponga la formulacin lagrangianapara el problema y compare la forma anterior de obtencin de las ecuaciones del movimiento con la que le ofrece sta. u uuuuuRvdtdrdtdrdtdddrdtdrdtdrdtdrdtdrrrrr+ = + = + = = r rrrrrdtdrdtdrdtddtdrdtr ddddtddtdrdtdrdtddtdrdtddddtdrdtr ddtddtdrdtdrdtddtdrdtddtdrdtr ddtdu u u uuu uuuuu uuuva22222222222222

+ + =+ + + + =+ + + + = = Con lo que encontramos 22 22 22rr rdr d dr d dr rdt dt dt dt dtF Fm = + + = +a uFu u= u 4636. Considere la mquina de Atwood de la derecha, en la que la nica fuerza presente es la de la gravedad.a) Cuales son las ligaduras del sistema?b) Escriba el lagrangiano considerando las posiciones de las masas y como coordenadas generalizadas. 1m3mc) Obtenga las ecuaciones del movimiento de estas masas y determine la aceleracin de y. 1m3m m4 m3 m2 m1 a)Las cuerdas tienen una longitud fija y, por tanto, hay dos ligaduras holnomas. Tomando coordenadas xi para cada masa i, todas con origen en el punto de suspensin de la polea superior: 1 2 1 3 4 2 2, 2 x x a cte x x x a ct + = = + = = eb)El sistema tiene dos grados de libertad, elegimos como coordenadas generalizadas 1xy 3x . El lagrangiano sin ligaduras tiene la formula 4 421 12ii ii imiL x m g= == + & xy a partir de las restricciones, 2 1x x = & &y 4 3 2 3212 x x x x x = + = & & & & & , el lagrangiano se escribe ( )( ) ( )2 2 2 3 3 1 21 1 3 3 1 3 3 1 1 12 1 1 3 3 4 2 1 3 1, , , ( 2 )2 2 22 2m m m mL x x x x x x x x m gxm g a x m gx m g a a x x+= + + + ++ + + + & & & & & & c)Y las ecuaciones de Lagrange ( ) ( )( ) ( )1 2 4 1 4 3 1 2 41 13 4 3 4 1 3 43 34 2 22 .d L Lm m m x m x m m m gdt x xd L Lm m x m x m m gdt x x = + + + = = + + = && &&&&& &&&, y de esta ltima ecuacin obtenemos ( )3 4 433 42m m g m xxm m =+&&&&1 y a partir de ella despejamos en la otra ( )( ) ( )( )( )1 2 3 4 4 1 2 331 2 3 4 3 42 24m m m m m m m mx gm m m m m m+ =+ + +&& 37. Sobre un anillo uniforme de radio R y masa M desliza sin rozamiento una cuenta de masa m. El anillo rota libremente, sin rozamiento, en torno al eje horizontal x que coincide con un diametro del anillo. El momento de inercia del anillo en torno al eje es 22 I MR = . Utilizando como coordenadas generalizadas los ngulos , que indica la posicin de la cuenta respecto al eje de giro, y , que indica la posicin del plano del anillo respecto al eje vertical z:(Vase la figura en la que se muestran el sistema para dos ngulos diferentes ). 47a)Obtngase el Lagrangiano para el sistema . b)Obtnganse las ecuaciones de Lagrange del sistema. c)Seale la/s cantidad/es conservada/s del sistema. g a) 212anilloT I =& 2 2 2 21 1( )2 2cuentaT mR mRsen = +& & ( ) cos( )cuentaV mgRsen = 2 2 2 2 21 1 1( ) ( ) cos( )2 2 2L I mR mRsen mgRsen = + + +& & & b) 2 2LmR =&& 2 2( ) cos( ) cos( ) cos( )LmR sen mgR = +&= 2 2 2( ) cos( ) cos( ) cos( ) 0 mR mR sen mgR && & 482 2( )LI mRsen = +& && 2 2 2( ) 2 ( ) cos( ) ( ) ( ) 0 I mRsen mRsen mgsen sen + + && && & &= c)Calculando el hamiltoniano, ser independiente del tiempo y se conservar la energa. El resto de momentos respecto a las vairables, x, y ,z, no se conservan ya que el sistema no es invariante ante traslaciones, ni tampoco ante rotaciones. No hay coordenadas cclicas en ninguno de los sistemas de coordenadas. ------------------------------------------- 38.- El movimiento de una partcula de masa m est restringido, en el plano (x,y), a la parbolaa x y2= . La accin de la gravedad acta en el sentido y negativo. Utilizando el formalismo lagrangiano, resuelva los siguientes apartados: a) Escriba la ecuacin para pequeas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. b) Resuelva la ecuacin obtenida en el apartado a) a) ( )+ =+ =+ = + =2222222 2 241211212121axx mdxdyx m xdxdyx m y x m T & & & & & &axmg mgy V2= =axmgaxx m V T L222224121+ == = &Y la ecuacin de Lagrange queda 0 24 4122 22= + ++axg xaxxax& & &El punto de equilibrio corresponde a (0,0), correspondiente al mnimo de potencial.Para oscilaciones pequeas suponemos que despreciables los trminos de orden superior a uno en x, obteniendo 0 2 = +axg x& &a)La ecuacin obtenida corresponde a un movimiento oscilatorio del tipo con) sin( ) cos( ) ( wt B wt A t x + =agw2= , dependiendo A y B de las condiciones iniciales. ------------------------------------------- 39. Sea un sistema mecnico de n+m grados de libertad caracterizado por dos conjuntos de variables: n coordenadas qi y m coordenadas Qi. Con un lagrangiano de la forma ( )1 1 1, , ; , , , , ,n nL q q q q Q Q& && & K K Km, es decir, las m coordenadas Qi no aparecen explcitamente en el funcional.49a)Cuntas cantidades conservadas independientes puede tener este sistema? b)Recordemos que mediante un cambio de coordenadas del lagrangiano similar al que da lugar al hamiltoniano pero nicamente sobre las coordenadas cclicas se obtiene el routhiano. Cul es la forma genrica de este routhiano R cuando los momentos asociados a las coordenadas cclicas tienen valor inicial Mi, es decir, ( )itiiMQLt P == ==00&? c)Supongamos que se construye un nuevo lagrangiano, L,a partir del anterior tomando( )( )1 1 1 11' , , ; , , , ' , , ' , ,mn n m i iinL L q q q q Q Q q q == & && & K K K K en el que ( )1' , ,i i iQ Q q q = +& &Kn y las ( )nq q , ,K1 son funciones generales. Qu se puede decir de las cantidades conservadas de este nuevo sistema?Dar el nuevo routhiano, R,cuando los momentos asociados a las coordenadas cclicas tienen ese mismo valor inicial Mi, es decir, ( )itiiMQLt P == ==00'''&.d)Cunto han de valer las constantes ipara que ambos routhianos R y R sean iguales? Qu relacin habr entonces entre la dinmica, las ecuaciones del movimiento, de los sistemas L y L? e)Supongamos una partcula de masa unidad, m=1, en un potencial ' ) ' , ( a rra r W& & =31, y lagrangiano en polares ( ) ) ' , (', ' a r Wa rr a r L&&& + =2 212 22. Dar las trayectorias de este sistema por el mtodo apuntado en los apartados anteriores en funcin de las soluciones de una partcula en un potencial central gravitatorio , ( )ra rr a r L12 212 22+ + =&&, a)En principio podra haber hasta m+n cantidades conservadas en un sistema mecnico de m+n grados de libertad. Con la forma dada para el lagrangiano sabemos que tiene al menos m momentos conservados, por las m coordenadas cclicas Qi, ms la energa, ya que es independiente del tiempo.50b)Los momentos asociados a las coordenadas cclicas se conservan por lo que iiiMQLP ==& para todo tiempo. Por tanto . ( )m n nmii iQ Q q q q q L M Q R&K&&K&K&, , , , , ; , ,1 1 11 ==c)Se aplica lo comentado en el apartado a) y b) sin cambios. ( ) = = + + + =min i i m m n nmii iq q Q Q q q q q L M Q R11 1 1 1 11, , , , , , , ; , , ' ' K&K&& K & K& ( ) d)Si comparamos los dos routhianos obtenemos ( ) = = = = = + = mii i imii imii imii iM L M Q L M Q R R1 1 1 1 ' '& & con lo que es evidente que si i iM = ambos routhianos son idnticos. Por tanto, para las condiciones iniciales dadas en el enunciado se pueden relacionar las ecuaciones del movimiento de ambos sistemas. Si( ) ( ) ( ) ( ) { } t Q t Q t q t qm n, , , , , K K1 1es una solucin de L, el conjunto( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } dt q q t Q dt q q t Q t q t qn m m n n, , , , , , , , , K K K K1 1 1 1 1 es una solucin de L. Dado que las funciones( )n iq q , ,K1son completamente arbitrarias esto permite relacionar problemas aparentemente diferentes resolviendo nicamente las ecuaciones ms sencillas para L. ------------------------------------------- 40. En algunos problemas de mecnica es interesante conocer el movimiento en la vecindad de un punto de equilibrio. Tal cuestin se suele abordar con ayuda de la aproximacin lineal al problema, en la forma de un sistema dX AXdt=en el cual el vectorXsimboliza una pequea perturbacin alrededor del punto de equilibrio 0XyA es la denominada matriz jacobiana. Suponga un sistema mecnico caracterizado por dos variables (cuidado! dos variables, no dos grados de libertad), que denominaremos 1 2x yx. Nuestro problema lineal se reduce a estudiar las distintas clases de movimientos alrededor del origen y que dependern del carcter y signo de los valores propios de la matrizA. Sean estos ltimos1 2y a) Considere los distintos casos posibles de movimiento segn el carcter real o complejo, positivo o negativo, de los valores de 1y2 . Considere slo aquellos casos en los que 1 y2 son distintos.b) Dibuje en el plano ( )1 2, x xlas trayectorias correspondientes a los casos estudiados en el apartado anterior. a) y b) 51dX AXdt= , es una ecuacin diferencial ordinaria de orden 1 y adems autnoma, esto es, no depende del tiempo. SiX es la perturbacin alrededor del punto de equilibrio, entonces: ( ) ( )( ) ( )01 1 102 2 2x t x x tx t x x t= += + Puesto que es un sistema lineal su solucin pasa por hallar los valores propios de la matriz Jacobiana, esto es: 11 12 11 1221 22 21 220a a a aAa a a a = = Cuya solucin es: ( )( ) ( ) ( )211 22 12 21 11 22 11 22 12 210 ; 0 a a aa a a aa a a = + + = 11 22 11 22 12 21Si T a a y aa a a = + = Finalmente: 242T T =Por tanto, la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales es: ( )( )1 21 21 1 22 3 4t tt tx t c e c ex t c e c e = += + Dondeson constantes que dependen de las condiciones iniciales y 1 2 3 4, , c c c y c1 2y los autovalores de la matrizA, Jacobiano de la transformacin.Segn el enunciadono tenemos en cuenta los valores degenerados, esto es, los valores en los que 1 2 = . Entonces los casos posibles de movimiento segn los autovalores a la vista de las soluciones del sistema seran: 1.Si 1y2 son autovalores reales negativos tenemos un nodo estable, el estado generado por la perturbacin es asintoticamente estable. ( )( )1 21 21 1 22 3 4t tt tx t c e c ex t c e c e = += + 52 1x 2x 2.Si 1y2 son complejos con parte real negativa, tambin tenemos un estado asintoticamente estable, con un foco muy estable. ( )( ) ( ) ( )( )Re Im Im1 2t itxt e c e c e = +it2 1x 2x 3.Si 1y son complejos con parte real positiva, tambin tenemos un estado inestable, generndose un foco muy inestable. ( )( ) ( ) ( )( )Re Im Im1 2t itxt e c e c e = +it 531x 2x 4.Si 1y2 son imaginarios puros de diferente signo, el estado generado es estable y tendramos un centro. ( )( ) ( )( )Im Im1 2it itxt c e c e = + 1x 2x 5.Si 1y2 son reales positivos se genera un estado inestable. Aparece un nodo inestable. ( )( )1 21 21 1 22 3 4t tt tx t c e c ex t c e c e = += + 541x 2x 6.Si 1y2 son reales de distinto signo, el estado tambin es inestable. Tendramos un punto silla. ( )( )1 21 21 1 22 3 4t tt tx t c e c ex t c e c e = += + 1x 2x Podemos decir que es condicin necesaria y suficiente para la estabilidad que todas las partes reales de los valores propios sean negativas. Basta con que uno de los valores propios tenga parte real positiva para que tengamos una solucin inestable. 55Extremos condicionados de funciones. Multiplicadores de Lagrange. Resulta ms sencillo entender primero el significado de los extremos condicionados sobre las funciones que estamos acostumbrados a manejar. Ejemplo. Encontrar los extremos de la funcin( )2 2y x y x f + = ,sujeta a la restriccin 0 1= + y x y x : ) , ( . Es decir, en lugar de optimizar sobre todo el plano (x,y) nos limitamos a una curva, unidimensional, sobre ese plano. Es evidente que el modo ms sencillo de resolver este problema es reducir el problema al mnimo de una funcin con una sola variable: x x y = 1 ) ( , que sustituyendo en f,( )221 x x y x f + = ) , ( , y podemos derivar y calcular el extremo:( ) 0 1 2 2 = = x xdxdf, 21210 0= = y x , . Aunque el mismo proceso sera aplicable en funciones dependientes de un mayor nmero de variables, una manera de sistematizarlo es aplicar los multiplicadores de Lagrange: Construimos una nueva funcin) , ( ) , ( ) ; , ( y x y x f y x + =que comparte los extremos con f en la regin que nos interesa,0 = ) , ( y x . El extremo de dicha funcin viene dado por un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas .,,000==+==+=y yfyx xfx que, teniendo en cuenta y x y x = =+= = 0 0 &las dos primeras ecuaciones se reducen a0 =+=y x & , es decir al mismo problema de antes. 1PRINCIPIOS VARIACIONALES 1.Dados dos puntos O y A en un plano vertical, y en presencia de un campo gravitacional vertical, hallar la curva que los une para que una partcula, que la recorra, tarde el mnimo tiempo posible en ir de un punto a otro, partiendo del reposo. Sea0XZelplanoverticalquecontienelosdospuntos,OyA, y hagamos coincidir el origen con el punto O O xx=f(z) Az Si v es la velocidad de la partcula a lo largo de la curva y s el arco, serv = ds/dt, de modo que hay que minimizar la integral tsv OA d Conlaeleccindeorigenycomolapartculapartedelreposo,suenergainicialesnula.Luego,dela conservacin de la energa, resulta 120 22mv mgz v gz , es decirSustituyendoenlaintegralyteniendoencuentaqueelelementodiferencialdearcoenelplanoes d d d s x z +2 2, se obtiene tgxzzOA+1212& ddondehemostomadozcomovariableindependientey& / x x z d d .LaecuacindeEuler-Lagrange del problema es dd z xxz && 102+

_,

LuegoeltrminoentreparntesisnodependedezypodemosponerloigualaunaconstanteC. Efectuando la derivada con respecto a& x, se obtiene la ecuacin diferencial ( )&&xz xCxzC zC z 1 12 2+ es decirdd La curva pedida ser xC zC zzz120 ddonde, al integrar, ya hemos impuesto la condicin de que la curva ha de pasar por el punto O=(0,0). Para calcular la integral, hagamos el cambio C z sen2 con ello se obtiene, fcilmente, ( ) xC 122 sen2Porlotanto,teniendoencuentalarelacintrigonomtricasencos2212 ,lacurvapedidaviene dada, de forma paramtrica, por( )( )x rz r ' sencos 1 donderC122.Estaesprecisamentelaecuacinparamtricadelacicloidedesarrolladaporuna circunferenciaderadior.Elvalordersedeterminadaimponiendoquelacicloidehadepasarporel punto A = (xA,zA). Por ejemplo, dividiendo las ecuaciones paramtricas de la curva y particularizando en A, resulta xzAAA AA sencos 1 que es una ecuacin transcendente para A. Por ltimo, utilizando una de las ecuaciones paramtricas se encuentrarzAA 1 cos Ntese que necesariamente el punto inicial O, desde el que se suelta la partcula, ha de ser un extremo de la cicloide, tal como hemos esquematizado en la figura. ------------------ 2.Como ejemplo de aplicacin del clculo de variaciones tenemos el siguiente problema. Sea un muro rectilneo, de longitud 2a. Deseamos instalar una alambrada de longitud L, que partiendo de un extremo del muro, termine en el otro extremo de ste Cul debe ser la forma dada al recorrido de la alambrada para que el rea encerrada sea mxima? El rea encerrada por la alambrada esydxaa , mientras que la longitud de la alambrada es 12+ y dx Laa. La ecuacin de Lagrange se transforma en: 1102+

_,

ddxyy Integrando y despejando y , queda: ( );) (2121C xC xy+ + que, integrado a su vez da: ( )2212C C x y + + Las constantesC C1 2y se hallan con las condiciones de contorno de la alambrada, quedando: y x a 2 2 2 2. Para determinar volvemos a la condicin 12+ y dx Laa que nos lleva a: ( ) a L12 sen Para hacer posible una solucin de esta ltima ecuacin trascendental, escojamosL a , para lo cual a y a x e 2 2. Para esta elecciny x ( )es un semicrculo centrado en el origen; solucin que podamos esperar intuitivamente. FORMULACINHAMILTONIANA: ECUACIONES 1.El punto de suspensin de un pndulo simple de masay de longitudl est obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y est conectado a un punto de la periferia de un volante de masa mM y de radio. El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton. a cossin cos 2l yl a x =+ =

lsin yl asin x=+ = cos 2 ( )( )||.|

\| =+ |.|

\|+ + = == = = = == + =

A ,21cos cos sin 2 sin 22 2cos412 221cos sin 2 sin 222 2 2 2 22 2 40222 2 2 2 2Lmgl alm m aIlmLmgl VMR l a M l a r rdr l II Talm m a lmTaDp 48 2cos2sin2 2 24 )2sin24 (212cos sin 2cos sin 22sin24 ) 1 () 1 (212sin24 cos sin 2cos sin 22m l a m a I mlml almal m a ITTPPm a I almalm ml + ||.|

\| += =||.|

\| =||.|

\|=||.|

\|+ =AP A PA PA

cos cos sin 42 2 2)2sin24 (21mgl P P alm P ml P m a I H ((

+ + += No hay ninguna que sea obviamente cclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explcitamente del tiempo. Las ecuaciones de Hamilton son: PH HPPH HP= == = ;; ------------------------------------------- 2.La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma ] ) ( ) cos [(22 2t qsin t q t sin qmL + + = Cul es la Hamiltoniana correspondiente?Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada t qsin Q = , hallar la Lagrangiana en funcin deQ y su derivada, y tambin lacorrespondiente HamiltonianaH .Se conserva H ? 49| |2 2) cos () ( ) cos (22 2 2 22 2mq t sin qmHL q p Ht q t sin q t msinqLpt qtsin t q t sin qmL = =+ ==+ + =

donde t sint qt msinpq 1) cos ( = Entonces laHamiltonianaes: 2) cos (22 2 2mq t qt msinp mH =No se conserva al depender del tiempo. 2 2 21 112 2 212121) (2cosQ m PmHQ m P Q QmLt q t sin q Qt qsin Q == + =+ ==

S, se conserva. ----------------------------------------- 3.Considrese un cilindro de radio R, libre de girar respecto de su eje de simetra, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje esI . Sobre la superficie lateral del cilindro est fija rgidamente una espira uniforme pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un punto material de masa. El ngulo formado por la hlice respecto de la vertical es tal que desciende una altura m 2por cada vuelta que se da alrededor del cilindro. Supngase que la partcula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partcula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprtense todas las variables cclicas del sistema. 50 =+ = + =zr y r x ) sin( ; ) cos( siendo la constante de la espiral: 2 = L| |2 2 2 2) ( (21

+ + = R m Tparticula 221

I Tcilindro = mg V =| | mga I R m L + + + + + =2) 2 (2122 2 2 2 2

||.|

\|||.|

\|=||.|

\|||.|

\|++=

A ) , (21 ) () , (212 22 2 2I mR mRmR R mT||.|

\| =||.|

\|2121

App ( )||.|

\|||.|

\|+ +=212 2 22 22 1) (,21ppR m mRmR I mRp p T siendo 4 2 2 2 2) )( ( R m mR I R m + + = pero es cclica de modo quees constante:2p .2const p = = Lo que equivale a la conservacin del momento angular total. De hecho, como el sistema parte del reposo 0 = , . 0 ) (2 2= + + I mR mREntonces,. ) (21212p I mR T +=51Definiendo +I mR21, mgpH =221 Las ecuaciones de movimiento son: 1pH=

; =Hp1

1p=

; mg p =1

) 0 ( ; ) (0 1= = = = t mg t t mg pen. 0 = t202tmg + =24 2 2 2 220) )( ( 2tR m mR I R mI mR mg + +++ = Movimiento uniformemente acelerado: mg= ;I mRmR mg+=22 ---------------------------------------- 4.Una Hamiltoniana de un grado de libertad tiene la forma | | k be e bqpqbept q p Ht t t+ + + = ) (2 2) , , (2 2 en dondeb , yson constantes.ka)Hallar la Lagrangiana asociada a esta Hamiltoniana. b)Obtener una Lagrangiana equivalente que no dependa del tiempo explcitamente, explicando someramente la base del procedimiento seguido. c)Escribir la Hamiltoniana correspondiente a esta segunda Lagrangiana y explicar su relacin con la Hamiltoniana anterior. 222 2q pqpH+ = con k be e b bet t t+ + ) ( ; H p q q q L = ) , (qppH =q= 52Entonces, 2 22 2q pL =Sustituyendo el p: 2 22) (2) , ( q q q q q L + =Recurdese que por el origen variacional de las ecuaciones de Lagrange L es equivalente al Lagrangiano dtdFL L + 1 siendo F arbitrario. Ntese que = te qdtd 2. 22 t te q e q q Resulta inmediato ver que ,2 2) (22 2 21qkq e qdtdL Lt =

de modo que el Lagrangiano equivalente es el del oscilador armnico: 2 212 2qkq L = y el Hamiltoniano asociado es: .2 22 21qkq H + = ---------------------------------------- 5.Dos masas puntuales y estn unidas por una cuerda de longitud constante. La primera partcula puede moverse libremente sin rozamiento sobre un plano horizontal, mientras la segunda cuelga verticalmente de la cuerda que pasa por un orificio practicado en dicha superficie. Obtener el Lagrangiano, tambin el Routhiano correspondiente, y el Hamiltoniano. Reducir el problema a una cuadratura. 1m2ml 1.Lagrangiano. Usamosz y como coordenadas. 531x cos ) ( z l = , entonces cos sin ) (1z z l x

= sin ) (1z l y =,entonces sin cos ) (1z z l y

=2 2 1 2 2 1 222121 1) (2 2 21) (21

z lmzm mz m y x m T ++= + + =gz m V2 =gz m z lmzm mL22 2 1 2 2 1) (2 2+ ++=

Ntese que es coordenada cclica: . 0 =LEl correspondiente momento conjugado es constante . ) (21 2 = = == const z l mLp

2.Routhiano. Es V z lmzm mz l m L p p p z R + + = =2 2 1 2 2 1 2 21 2 2 1) (2 2) ( ) ; , (

Finalmente: 21) ; , (2 1= p p z R2 2 1221222 ) (zm mgz mz l mp

+ Las correspondientes ecuaciones de Lagrange tienen un solo grado de libertad,z , puesto que.2 = = const pEl potencialefectivo es.) ( 22122z l mgz m+ . 0 = |.|

\|zRzRdtd

Entonces, ).) ( 2( ) (21222 2 1z l mpgz mzz m m= +Naturalmente, una primera integral de la ultima ecuacin es la ecuacin de la energa: const Ez l mpgz m zm m= =+ +212222 2 1) ( 2 2

Despejandoz , se obtiene la solucin para: ) (t z ++= =212222 1) ( 2) (z l mpgz m Em mzdzt zdzdt

54Para la coordenada cclica) (t tenemos: | |,) (212dtt z l mpd = lo que reduce la solucin a dos cuadraturas. El Hamiltoniano es trivial de obtener al ser diagonal la matriz a invertir: 2 112 1 1; ) (m mpz z m mzLp+= + ==

212 21 2) (; ) (z l mpz l mLp= ==

T=21222 121) ( 2 ) ( 2 z l mpm mp++ = + = V T H gz mz l mpm mp221222 121) ( 2 ) ( 2++ EvidentementeH es tambin cclico en. 0 :2 = = =const pH Ntese que la existencia de una coordenada cclica reduce en dos(no en uno) el orden del sistema a integrar, al desaparecer tanto la coordenada como su momento conjugado del problema diferencial. Ello no era obvio en los ejemplos anteriores en los que usamos el formalismo lagrangiano en vez del hamiltoniano. ------------------------------------------ 6.ApartirdelaformulacindeLagrangeparaunsistemadescritoporn coordenadas generalizadas q :ia)constryase una funcin( ) t p q Gi i, ,

i pi, anloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean qy.b)Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento. a)Apartirdelalagrangiana,construimoslafuncin( t q q Li i, ,) ( ) t p qi i, ,G mediante una transformacin de Legendre: ( ) t q q L p q Gi i i i, , = . Diferenciando esta expresin se obtiene: ttLqqLqqLq p p q Giiiii i i id d d d d d + =

55Aqu,elsegundoyeltercertrminoseanulanenvirtuddelaecuacindeLagrange, ,mientrasquedeladefinicindemomentogeneralizado, resulta: i ip q L= /i iq L p = / ,ttLq p p q Gi i i id d d d =DeformaqueladiferencialdelanuevafuncinGexpresadaenfuncindet como variables independientes. i ip q , y b) Para obtener las ecuaciones de movimiento, comparamos el resultado anterior con la forma general de la diferencial de( ) t p q Gi i, ,, ttGppGqqGGiiiid d d d++=

, obtenindose iipGq = , iiqGp = , tLtG =, que son las ecuaciones del movimiento pedidas. ------------------------------------- 7.En un sistema de n grados de libertad el clculo de 2n constantes del movimiento del tipo fi(q1,..., qn, p1,...,pn, t),i = 1,...,2n, permite, en principio, integrar el problema. Considrese una partcula de masa m que se mueve en un plano vertical cartesiano (q1, q2) bajo la accin de la gravedad. Sin recurrir a la integracin de las ecuaciones de Hamilton, sino utilizando stas en la ecuacin general de una constante del movimiento, encontrar cuatro constantes del movimiento de forma a recuperar a partir de ellas la conocida solucin general: q1 = c1 + c2t ; q2 = c3 + c4t gt2/2. (Nota):busquesolucionesalaecuacinenderivadasparcialesparauna constantedelmovimientoquedependanalternativamentedeunparde variablesconjugadas:primero,slode(q1,p1);segundo,slode(q2,p2). Combnelas despus con otras constantes del movimiento triviales para dar el resultado pedido). Tomando q1 como la coordenada espacial horizontal y q2 la vertical, la hamiltoniana de la partcula es 2 222221mgqmpmpH + + 56de modo que , 0 , ,2 12211mgqHqHmppHmppH= = = = y las ecuaciones de Hamilton son ====mg ppmpqmpq212211 0

Mientras que la condicin para que una funcin f(q1, q2, p1, p2, t) sea una constante del movimiento es 022112= + + + tfqfmpqfmppfmg Busquemos una solucin a esta ecuacin del tipo f(q1, p1, t). Una simple inspeccin de la ecuacin permite ver que 111cmt pq = es una solucin. Procediendo de forma equivalente, podemos ver que 2 1mc p = 23222cgtmt pq = 4 2mc mgt p = +sontambinsoluciones.Combinandotodasellas,encontramoslatrayectoriadeltiro parablico. ----------------------------------------- 8.La ecuacin de movimiento de una masa que se desliza sin rozamiento bajo la influencia de la gravedad, a lo largo de un cable cuya forma es la de una curva suave m) (x f y = , viene dada por: 0 h cosh senh cosh2 2= + + x gsen x x x x x. a) Demostrar que la simple definicinx m p=lleva a una representacin de la ecuacin de movimiento anterior en variablesque( , ) x p no es hamiltoniana.b) Encontrar la buena definicin del momento conjugado a la posicin x que s lleva a una representacin hamiltoniana. c)Encuentre el hamiltoniano. a)Haciendo la transformacinp x m =, la ecuacin del movimiento se reduce a: 57xHxxmg xmpppHmpx = == =coshtanhtanh,2

Queda claro que, con estas ecuaciones, no se cumplep x H x p H 2 2=. No pueden, por lo tanto, derivar de un formalismo hamiltoniano. b)LaenergapotencialesV ) ( ) , ( x f mg mgy y x = = .Mientras,lacinticavienedada por: ( )2 2 2 2 2) (2) (2x f x xmy xmT + = + =Una vez construido el lagrangiano, llegamos a la siguiente ecuacin de Lagrange: ( ) | |( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 1) ( ) ( 122= + + += + +x f mg x f x f x x m x f x mx f mg x f x mdtd

Identificando trminos con los de la ecuacin del enunciado: x x fx x x f x fx x fsenh) (; coshsenh) ( ) ( 2; cosh ) ( 12 2= = = + De lo que deducimos fcilmente que: x x f cosh ) ( =Dicho todo lo anterior, es fcil ver que: ( )( ) x mpx x x mxLp22senh 1; senh 1+= + = = c) ( )( )x mgx mpx mg x x m p x L p x Hcoshsenh 1 21cosh senh 121222 2++= + + = = ------------------------------------------- 9.Obtengaelhamiltonianodeunmvil,sometidoaunpotencialV,quese desplazasobreundiscohorizontalquegiraconunavelocidadangular constante . Hgalo en los sistemas de referencia del laboratorio y del disco y establezcalarelacinentreamboshamiltonianos.Utilicelanotacin( ) paralascoordenadasenelsistemalaboratorioyparalas correspondientes en el sistema que gira con el disco. lab lab, y x( y x,)58Lo importante aqu, es tener en cuenta que, para la construccin del hamiltoniano, T y Vtienen que ser evaluadas en el sistema inercial (laboratorio). ( )lab lab2lab,2y x V vmL =Las ecuaciones que relacionan las coordenadas del sistema laboratorio y las del sistema no inercial giratorio, son: sen cossen coslablabx y yy x x+ = = Si el disco gira, por ejemplo, en el sentido contrario a las agujas del reloj, la diferenciacin con respecto al tiempo de las ecuaciones (cont =) ( )( ) sen cos sen coscos sen sen coslab ,lab ,y x v v vy x v v vx y yy x x + + =+ = Un simple clculo nos lleva a: ( )2 2 2 2 2lab2 r y v x v v v vx y y x + + =( )2 2 2y x r + = .Sustituyendo la expresin anterior en el lagrangiano inicial, obtenemos su representacin en las coordenadas del sistema giratorio. El paso siguiente es el de la obtencin de los momentos en el sistema giratorio. ( )( ) x v mvLpy v mvLpyyyxxx+ == == El hamiltoniano en el sistema no inercial se construye de la forma usual L v p v p Hy y x x + = = ( )( ) ) , (22 2y x V xp ypmp py xy x+ ++Finalmente, la relacin entre ambos hamiltonianos se obtiene teniendo en cuenta que el correspondientealsistemainercialseraqulqueresultadehacernulalavelocidad angular en la ecuacin anterior: zl H H == 0 0 ------------------------------------------- 10.La relacin entre los hamiltonianos de una partcula movindose en un potencial V, definidos, respectivamente,en un sistema inercial y en un sistema no inercial que gira alrededor del eje z con velocidad angular constante , es 59z inercial inercial nol H H = (l es la componente correspondiente del momento angular definido en el sistema no-inercial). Haciendo uso de esta ltima relacin demuestre el Teorema de Larmor, que asegura que puede eliminarse el efecto de un campo magntico estacionario uniforme sobre una partcula cargada en movimiento colocndose el observador en un sistema de referencia giratorio. Halle la frecuencia con la que debe girar el sistema de referencia no inercial (frecuencia de Larmor).z+ceAyuda: Recuerde que el lagrangiano de una partcula cargada en un campo electromagntico viene dado porA vcee mv L

+ =221. Recuerde tambin que la ecuacin( r B A )

=21 define un campo magntico uniforme. Por ltimo, tome el eje z como direccin del campo uniformeB

y como eje de giro del sistema giratorio. Dado el lagrangiano del enunciado del problema es fcil obtener el momento conjugado y el hamiltoniano (recuerde que estamos en un sistema inercial). Son, respectivamente, + |.|

\| = = e AcepmH A v m pinercial221,

Hesconstanteslosiloscampossonestacionarios.Enelcampomagnticode caractersticas impuestas en el enunciado campo magntico uniforme en la direccin zy( r B A )

=21el hamiltoniano se transforma en: ( )2 22 21222 4 22x yp e eBH B ezinercialm mmc+ = + + | | |\ .lc) Podemos,ahora,invocarelproblema9.Esposibleestablecerunacomparacinconla relacindelenunciadositenemosclaroquelacomponentedelmomentocintico cannicoenelsistemainercialyenelno-inercial.Estosiemprepuedecomprobarse aplicando una transformacin del sistema de coordenadas del laboratorio,(1 1, x y , a las del sistema giratorio( ) , XY : 1 11 1sin sin ,sin sinX x u wt y wtY y u wt x wt= += . UnavezcomprobadoestoesinmediatoencontrarlafrecuenciadeLarmoryel hamiltoniano en el sistema giratorio: mceBL2 = + |.|

\|+ = e B rmcempgiratorioH2 24122222 Vemos que el trmino lineal en B est ausente. Esto indica que, si el campo es pequeo, la dependencia en ste es despreciable (en trminos de segundo orden).60------------------------------------------- 11.Sabemos que no existe una forma estndar de obtener una funcin generatriz que lleve a una formulacin ms conveniente. Sin embargo, el empleo de las propiedades que deseamos en la formulacin de destino, permite obtenerla fcilmente. Un ejemplo clsico es el de la funcin( ) t Q q F , ,1 en el caso de la cada libre de un cuerpo en un campo gravitatorio. Queremosque en la nueva formulacin, el Hamiltoniano, mgqK , sea slo funcin de la coordenada,Q , y que se cumpla la equivalencia entrelos dos momentos,p P = . Obtenga a partir de estos requisitos la forma de la funcin( ) t , Q q F ,1.(Recuerde queq F p = 1, Q F P =1 yt F H K + =1) Partimos de la expresinH K = , que se traduce en el contexto presente en () mgqmpQ + =2f2, entendindose que fexpresa la forma de() Q K . De esta ltima expresin obtenemos () | |2122 f 2 gq m Q m p =Podemos hacer uso del requisito dado por la identificacin de ambos momentos QFqFP p == =1 1 Se desprende que() mgQ Q = f . Finalmente, la funcin generatriz resulta de la integracin de la ecuacin ( ) | |qFq Q g m p= =1 2 212dando ( ) ( ) | |23221231, q Q g mg mQ q F =------------------------------------------- 12.Un cuerpo, de masa m=1, se mueve en un campo en el cual la energa potencial es, siendo g la aceleracin de la gravedad. Se sabe que la ecuacin del movimiento es g f x ( )0 ) ( ) ( ) ( = + + x gC x x B x x A, siendoA(x), B(x) y C(x) tres funciones continuas. Si ,axaaxaaxa x A4 -e243 -e282 -e24 1 ) ( + + =a.- Cul es la expresin de la energa potencial?; Dibjela; b.- Cul es la expresin del hamiltoniano?; c.- Cul es la frecuencia de las pequeas oscilaciones alrededor del equilibrio? Sea V la energa potencia. La ecuacin de Lagrange es:f(x) ) , ( g gy y x = =( ) ( ) 0 f f f 2 f 12= + + + g x x x , con dxdff = . Comparando con la ecuacin0 ) ( ) ( ) ( = + + x gC x x B x x A, identificamos612f 1 ) ( + = x ASiA x ( ) es la expresin dada en el enunciado, tendremos: 2axe 1 faxe 1axae 2 fax 4e24ax 3e28ax 2e242f|.|

\| = |.|

\| = += a a a a) La energa potencial es V y su grfica es: 2axe 1 |.|

\| = g b) El hamiltoniano es, con:V T H + =( ) ( )( )( )2ax2 ax 4 2 ax 3 2 ax 2 2 22 2 2 2 2e 1); (2e 4 e 8 e 4 12f2 2 == + += + = + =g Vx A xma a a xmx xmy xmT c) La frecuencia de las pequeas oscilaciones alrededor del equilibrio (x=0) vendr dada a partir del desarrollo de V para pequeos desplazamientos: ( ) ) ( e 13 2 22axx O x ga g V + = quedndonos con el trmino cuadrtico, obtenemos el potencial de un oscilador armnico, de frecuencia: mga2= ------------------------------------------- 13.- Encontrar el Lagrangiano y el Hamiltoniano de un pndulo que consta de una masa m unida a una vara rgida y sin masa AB de longitud l,libre de moverse en el plano vertical. El extremo A de la vara slo puede moverse en la direccin vertical y de modo que su desplazamiento respecto al origen de coordenadas O esta fijado por una funcin del tiempo) (t . La gravedad acta verticalmente y hacia abajo. b)Mostrar que la aceleracin vertical del punto A,) (t , tiene el mismo efecto sobre la ecuacin del movimiento que una campo gravitacional dependiente del tiempo.Se conserva el Hamiltoniano? Es el Hamiltoniano igual a la energa total del sistema? 62 a) Tomando como coordenada la variable de la figura tenemos lsen x =, cos l z = , cos l x

= lsen z

+ =( )2 2 21 122 2T mv ml l sen2 = = + + ;( ) = cos l mg V , ( ) ( )2 2 212 c2L ml l sen mg l os = + + + ; sen l m l m pL

+ = =2 2mlsen l m p

= V mmlsen ml pL p H + = =22221 ) (21

b) cos2

ml sen ml mlLdtd+ + =; mglsen mlL =cos

0 cos cos2= + + + mglsen ml ml sen ml ml

.) ( senlt gsenlglsen = = dnde+ = g t g ) ( . Dado que el Hamiltoniano depende del tiempo, a travs de (t), no es una cantidad conservada. La ecuacin que define la coordenada , z txtg=) ( , tambin depende del tiempo por lo que la Hamiltoniana no representa la energa total del sistema (puede comprobarse directamente sobre la expresin calculada). ------------------------------------------- 14. Raznese si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) una cantidad dinmica que depende explcitamente del tiempo podra ser constante del movimiento. ) , , ( t p q Fb) El sistema dinmico 2 1 222 121 1;2x x x x xxax x = = , es un sistema hamiltoniano. a) No existe ninguna condicin que exija que una constante del movimiento no dependa del tiempo, siempre y cuando cumpla la condicin: 63| |tFF H= , . b) Para que un sistema sea hamiltoniano tiene que existir una matriz H tal que el sistema tenga la siguiente estructura 1221;xHxxHx == y esto solo se cumplir si 21 21 1 2 2x x Hx x x x = = y fcilmente vemos que no se cumple para el sistema propuesto. ------------------------------------------- 15. A partir de la formulacin de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas: iq1. Constryase una funcinGanloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes seanqy. ) , , ( t p qi i i ip2. Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento. Realicemos una transformacin de Legendre para y diferenciemos dicha expresin que, reorganizando queda Por otro lado, teniendo en cuenta la forma funcional requerida para su diferencial total debe ser Igualando ambas expresiones diferenciales y reorganizando Debido a la independencia de variables ha de cumplirse 64 Teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange obtenemos con lo que las ecuaciones del movimiento con la nueva funcional G sern ------------------------------------------- 16. En el sistema representado en la figura, el cilindro se mueve por rodadura sobre una superficie lisa, la varilla del pdulo es rgida y muy ligera y la bola del pndulo es pequea. (ver figura al inicio de la solucin). Se pide: 1 - Hallar el lagrangiano , el hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento suponiendo que la unin entre el pndulo y el cilindro es rgida. 2 - Hallar lo mismo que en el apartado anterior pero suponiendo que la unin entre el pndulo y el cilindro es articulada y sin rozamiento. 3 - En el caso anterior, hallar la reaccin a la que est sometida la unin pndulo-cilindro. 4 - Hallar las frecuencias de oscilacin para pequeas desviaciones de la posicin de equilibrio. Discutir los lmites para M J Por tanto si el movimiento esta limitado, la variable0 < E esta acotada superior e inferiormente. Si la variable0 E aumenta indefinidamente. iiSi la grfica del potencial efectivo tiende a menos infinito en el origen 22 J70 Por lo que si0 < Eel movimiento esta acotado. 71 TRANSFORMACIONES CANNICAS, CORCHETES DE POISSON Y ECUACIN DE HAMILTON-JACOBI 1.En un Hamiltoniano de dos grados de libertadindependiente del tiempo nos basta encontrar otra constante del movimiento para poder decir que el problema est integrado. Si esta segunda constante, I(p,q),es a su vez independiente del tiempo, debe satisfacer la condicin: [I ,H ] = 0. Supongamos una partculade masa unidad movindose en un potencial bidimensional . Hallar: la constante ms simple de la forma , donde e y f son funciones a determinar, y unaforma correspondiente delpotencial V ,para poder asegurar que el problema est integrado. Cul es elsignificado fsico de I ?Con lo que usted sabe de mecnica, hay una forma consistente de hallar la forma general del potencial sin resolver ecuacin alguna? ) , (2 1q q V2 1) ( ) ( ) ( p f p e I q q q p, + = Si insertamos H e Ien la condicin[I ,H ] = 0, e igualamoslos coeficientes de los trminos en los momentos, encontramos: . 0 , 0, 0 , 02 1 2 1 2 1= + = + = =qVfqVeqeqfqfqe De las tres primeras ecuaciones podemos obtener, por ejemplo: 1 2 , q f q e = =. La constante es entonces: 1 2 2 1p q p q I = , que no es otra cosa mas que el momento angular. Es razonable pensar que el potencial es un potencial central, ) (2221q q V V + = , enteramente consistente con la cuarta ecuacin en derivadas parciales. -------------------------------- 2.En el caso de un sistema unidimensional con la hamiltoniana 22212 qpH =determnense las funciones f(q,p) y g(q,p) de manera que ( ) ( )t p q g p q f D , , + =sea una constante del movimiento. La funcin D debe ser solucin de: 73[ ], D HtD= lo que, utilizando la forma de D, lleva a la ecuacin +Htg H f Hg tqgpHqfp p q p q Igualando los coeficientes de t, se llega a las ecuaciones =0 = qg H g H p p q gqfpHpfqH= Laprimerecuacinmuestraqueg=Hessolucin.Utilizandoesteresultadoenla segunda, sta queda 2121 223qpqfppfq = con lo que 2;2pqf qpf = = es decir: 2pqf =-------------------------- .Sean qy p la coordenada y el momento generalizados de un sistema material terminarQ de la forma ms general posible, de modo que la b)ra Pla solucin general ------------ 3de un grado de libertad; sean Qy P funciones de qy ptales que P = q + p. Sepidea) Detransformacin de(q,p) a(Q,P) sea cannica;Demostrar que cualquiera que sea la expresin paviene dada por ) , ( ) ( p q g P f Q + =donde g(q, p)es solucin particular de la ec acin [Q,P] = 1. ara que la transformacin sea cannica debe cumplirse uP1 =p q q pQ P Q P 74Si P = p + q, la condicin anterior queda como: . 1 = p q Q Q Lasolucindelaecuacinanterioressumadelacorrespondientealaecuacin homogneaydeunasolucinparticulardelaecuacincompleta.Laintegraldela ecuacin homognea es de la forma: ) (homq p f Q + =siendofuna funcin arbitraria. Por otra parte, Q = q es una solucin particular de la ecuacin inhomognea, luego la solucin general es: ) ( q p f q Q + + =Para el caso general en que P es una funcin cualquiera de p y q, la solucin a la ecuacin homognea, [P,Q] = 0, es de la formaQ ,como puede verificarse por 4.Una masa m est conectada a un resorte de constante k1 y oscila armnicamente sin rozamiento con una amplitud inicialA1. Se reduce la uy despacio) ) (homP fsimple sustitucin. ----------------------------------- constante del resorte de modo adiabtico (equivalente a hacerlo mde forma constante hasta llegar a un valor k2(suponga, por ejemplo, que calentamos el resorte). Calclese la nueva amplitud de oscilacin.I.NOTA: Si p y q son el momento y la posicin de la masa, la cantidad = 2pdqIdonde la integral se define a lo largo de una sola oscilacin completa, es lo que sellamauninvarianteadiabtico.Elloquieredecirque,aunquelaenegadel oscilador vare, I permanece constante cuando la constante del resorte se reduce adiabticamente.Utilceseestehechopararesponderalproblema.Tambin podr resultarle de utilidad saber que: + = 2 sen 1sen2xx dx x . 2 4 Parasolucionarelproblemahemosderecordarque,segnelteoremadeStokesel varianteadiabticoItambinpuedeescribirsecomolaintegraldereasobrela perficie encerrada por la trayectoria de una oscilacin completa en el espacio de fases: insu = 2dpdqIPara el oscilador armnico la ecuacin de la trayectoria en el espacio de fases es la elipse 75E q m p = +2 2 21 1m 2 2con un rea encerrada dada por 2E/. Por lo tanto el invariante adiabtico es I = E/. La condicin de invariancia adiabtica viene dada por: 2211 E E=Si escribimos la expresin anterior en trminos de amplitudes de oscilacin, la amplitud final puede expresarse como: 4 11 k21 2=kA A----------------------------------- 5.La transformacin desd o a otro mvil es , siendola distancia entre los orgenes (siendo t el tiempo). a) la transfpardel hamiltoniano en variables , cuando su representacin en e un sistema de referencia fij) (t D q Q = D t ( )Encuentre:ormacin a los momentos generalizados; b) la forma) , ( P Qvariables( , ) p qes) ( 22q V m p + ;c)las ecuaciones del movimiento en variab ) , P .les (Q )La funcin generatriz para la transformacin a ) (t D q Q = , es, tal que:) , (2q P FpqQP = 2 2;F F= Si, tendremos( ) ) (2t D q P F = PqFp = =2. El nuevo hamilt b) oniano ser: D P D Q VmPD P q Vmpt q P Ftt p q H t P Q K , , (&& + += += + =) (2) (2) , , ( ) , , ( )222 c) Las ecuaciones del movimiento son: 76) ( D Q VQPDmPPKQ+ = = =&& &

Combinndolas: D m D Q VQQ m& & & & + = ) ( ------------------------------------------- 6.Supongamos que en el problema de una partcula, de masa m, en cada libre en un campo gravitatorio, queremos efectuar una transformacin cannica, , quenos permita escribir el hamiltoniano en la nuevas variables como. Demuestre que la correspondiente funcin generatriz,, viene dada por:) , ( ) , ( Q P q p mgQ K =) , (1Q q F( ) ( ) g m q Q g m F22 3213 2 = . DeseamospasardemgqmpH + =22amgQ K = .Delaidentificacindeambas expresiones, obtenemos: ( )qFmgq mgQ m p12 1 2 1) 2 ( = = , en dondees la funcin generatriz problema. Integrando la ecuacin anterior,F1( ) ( ) ( )2 3222 1 2 11231~ ~) 2 ( q Q g mg mq d q mg mgQ m Fq = =. ---------------------------------- 7.Dada la transformacin) , ( ); , ( p q P P p q Q Q = =para un problema mecnico unidimensional, demostrar que la condicin simpltica para que sta sea cannica se reduce a que una cierta funcin escalar tome un determinado valor(cul?). Para el caso unidimensional, la condicin simpltica es: == J MJMp pq qp qp qTP QP QP PQ Q0 11 0 77siendo. Es pues necesario y suficiente que el determinantesea la unidad. q p p qP Q P Q -------------------------------- 8.Dadas las siguientes transformaciones) , ( ); , ( p q P P p q Q Q = = , determinar cuales son y cuales no son cannicas. Para aqullas en las que la transformacin contiene parmetros libres, determnense las condiciones que stos deben verificar para que la transformacin sea cannica. Raznense las respuestas en cada caso. a) i i i ip Q q P = =;b) i i i ip Q q P = = ;c) j ij i j ij ip b Q q a P = =;d) j ij i j ij iq B Q p A P = =;e), dondees una funcin arbitraria deq1) / ( ; ) (= = dq df p P q f Q ff)q P p Q cos ; sin = =a) cannica; b) NO; c) cannica si 1 = a b%, siendobla matriz transpuesta deb%d) cannica si 1 = B A ;e) cannicaf) no cannica ----------------------------------- 9.Para qu valores de los parmetros y representan las ecuaciones p q Pp q Qsincos== una transformacin cannica? Cul es la forma de la funcin generatriz? 3F Para un sistema unidimensional la condicin simplctica se reduce a que el determinante pPqPpQqQ sea la unidad. En nuestro caso: p q p qp q p q cos sinsin cos11= 1 2 = qDeber ser cierto que, lo que exige que11 2= q 782 ;21= = La transformacin es: p q Pp q Q2 sin2 cos== adems,qFppFq = =3 3; y ) , (3 3Q p F F =Rescribiendo las variables P y q en funcin de p y Q: p Qtg PpQq 2 ;2 cos2= =de modo que pFpQ =322 cos yQFp Qtg =32Las dos ultimas ecuaciones se integran inmediatamente a ) ( 2223p p tgQF + =donde) ( p =constante de modo que,salvo una constante irrelevante se verifica finalmente que 2) , (23Qp Q F = p tg2 .------------------------------------------- 10. Resuelva el problema de Hamilton-Jacobi para una partcula que se mueve en un plano vertical sobre la parbola. 2ax z =) 4 1 (212 ; ) (212 2 2 2 2x a x m T x ax z z x m T + = = + = & & & & &2mgax mgz V = = 2 2 2 2) 4 1 (21mgax x a x m L + = & Solo un grado de libertad,x .Para obtener el Hamiltoniano , 2 2(1 4 )Lp mx axx= = +& , y: .4 1 2122 22mgaxx apmH ++= 79La ecuacin de Hamilton-Jacobi se obtiene de substituir por ipiqF2en la expresin 0 ) , , (2=+tFt q p Hi i , de modo que: ) 4 1 ( 212 2x a m+02 222=+ + tFmgaxxF(Ecuacin de Hamilton-Jacobi). Puesto que H no depende explcitamente de t,t W F =2 donde const = ,y = + +222 2) 4 1 ( 21mgaxxWx a m, que admite una integral inmediata, ya que ) 4 1 )( ( 22 2 22x a mgax mxW+ = + = xx a xmgadx m W02 2 2) 4 1 )( 1 ( 2 . La determinacin det W F =2 queda pues reducida a una cuadratura. -------------------------------- 11. Dado el Hamiltoniano, encontrar la transformacin cannica qu