EjercicioSi n es un entero mayor que 1, demostrar que Sn es generado por las trans-

posiciones (1; 2) ; (1; 3) ; :::; (1; n) :

Una demostracin, que no usa el hecho de que toda permutacin es pro-ducto de transposiciones, es la siguiente.

Para n = 2 es evidente ya que S2 = fid; (1; 2)g y id = (1; 2) (1; 2) y (1; 2) =(1; 2).

Supongamos que la armacin es cierta para n = k 2.

Sea 2 Sk+1, y sea (k + 1) = l. Consideremos la permutacin =(1; k + 1) (1; l). Es claro que deja jo a k + 1, luego se puede considerarcomo un elemento de Sk. Por la hiptesis de induccin, est en el subgrupohf(1; 2) ; (1; 3) ; :::; (1; k)gi, y como = (1; l) (1; k + 1) se concluye que esten el subgrupo hf(1; 2) ; (1; 3) ; :::; (1; k) ; (1; k + 1)gi.

Prof. Nstor Ral Pachn

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