ejercicio 4 - unidad v - chipana quiñones gherard

8/15/2019 Ejercicio 4 - Unidad v - Chipana Quiñones Gherard

http://slidepdf.com/reader/full/ejercicio-4-unidad-v-chipana-quinones-gherard 1/20

UNIVERSIDADCatólica SEDES

SAPIENTIAE

ESPACIOS conproducto interior

Alumno : Chipana Quiñones GherardAnthony

Docente : César Villa Morocho

Curso : Álgebra Lineal

Carrera : Ingeniería de Sisteas



LIA ! PER"#$%&

UNIDAD V: ESPACIOS CON PRODUCTOINTERIOR

E'ercicio (: e'or apro)imación* m+nimoscuadrados

!" #allar el sistea noral asociado con el sistea linealdado"

a$ Si llaaos al sistea Ax=b % entonces el sisteanoral asociado ser&'

AT Ax= A

T b

[ 1 2 4

−1 3 5 ][1 −1

2 3

4 5 ] [ x1

x2]=[ 1 2 4

−1 3 5] [ 2

−1

5 ]

[

21 25

25 35

] [

x1

x2

]=

[

20

20

] x

1=20

11∧ x

2=−8

11

b$ Si llaaos al sistea Ax=b % entonces el sistea

noral asociado ser&' AT Ax= A

T b

[ 2 3

−1 1

0 2

−1 1

4 2

5 4][2 −1 03 1 2

−1 4 5

1 2 4 ][ x1

x2

x3]=[

2 3

−1 1

0 2

−1 1

4 2

5 4 ][−1

0

1

2 ][

15 −1 5

−1 22 30

5 30 45] x

1

x2

x3

=[−1

9

13 ] x

1=−31

91

∧ x2=

−4

7

∧ x3=

46

65



(" )n cada inciso% encontrar det ( AT A) y aplicando el

teorea *"+",% deterinar si A tiene -ectores colunalinealente independientes"

a$ #allaos la atri.' M = A

T A

M =[−1 2 0

3 1 1

2 3 1] [−1 3 2

2 1 3

0 1 1]

M =[ 5 −1 4

−1 11 10

4 10 14]

det ( M )=0

Veri/caos si los -ectores coluna de A son linealenteindependientes'

A=[−1 3 2

2 1 3

0 1 1]≈ [

1 0 1

0 1 1

0 0 0]

→ Sistema compatible indeterminado

∴ Los vectores columna son linealmente dependiente

b$ #allaos la atri.'



M = AT

A

M =[ 2 0 −1

−1 1 0

3 1 −2

4

−5

3 ][

2 −1 3

0 1 1

−1 0 −2

4 −5 3]

M =[ 21 −22 20

−22 27 −17

20 −17 23 ]

det ( M )=7.1991 e−16

Veri/caos si los -ectores coluna de A son linealenteindependientes'

A=

[ 2 −1 3

0 1 1

−1 0 −2

4 −5 3 ]≈

[1 0 2

0 1 1

0 0 0

0 0 0]→ Sistema compatible indeterminado

∴ Los vectores columna son linealmente dependiente

," )ncontrar la soluci0n por ínios cuadrados del sistealineal Ax=b y hallar la proyecci0n ortogonal de b sobre elespacio coluna de A"

a$ )l sistea noral asociado ser&'

AT

Ax= AT

b

[1 −1 −1

1 1 2 ] [ 1 1

−1 1

−1 2] [ x1

x2]=[1 −1 −1

1 1 2 ][ 7

0

−7]

[ 3 −2

−2 6 ][ x1

x2]=[ 14

−7 ]La soluci0n por ínios cuadrados es'

[ 3 −2−2 6

: 14: −7 ]

≈

[1 00 1

: 5: 1/2]



x1=5∧ x

2=1

2

La proyecci0n ortogonal de b sobre el espacio coluna de Aser&'

[ 1 1

−1 1−1 2] [

5

1/2

]=[ 11/2

−9 /2−4 ]

b$ )l sistea noral asociado ser&'

AT

Ax= AT

b

[ 2 1 3

−2 1 1][2 −2

1 1

3 1 ] [ x1

x2]=[ 2 1 3

−2 1 1 ][ 2

−1

1 ]

[14 0

0 6 ][ x1

x2]=[ 6

−4 ]La soluci0n por ínios cuadrados es'

[14 0

0 6

: 6

: −4 ]≈

[1 0

0 1

: 3

/7

: −2/3] x

1=3

7∧ x

2=−2

3


[2 −2

1 1

3 1 ][ 3/7

−2/3 ]=[ 46/21

−5 /21

13 /21]

c$ )l sistea noral asociado ser&' A

T Ax= A

T b



[ 1 2

0 1

−1 −2

1 1

1 1

0 −1][

1 0 −1

2 1 −2

1 1 0

1 1 −1][ x1

x2

x3

]=[ 1 2

0 1

−1 −2

1 1

1 1

0 −1][

6

0

9

3]

[ 7 4 −6

4 3 −3

−6 −3 6 ] [ x

1

x 2

x3]=

[ 18

12

−9]La soluci0n por ínios cuadrados es'

[ 7 4 −6

4 3 −3

−6 −3 6

:

:

:

18

12

−9]≈ [

1 0 0

0 1 0

0 0 1

:

:

:

12

−3

9 ]

x1=12∧ x

2=−3∧ x

3=9


[1 0 −1

2 1 −2

1 1 0

1 1 −1] [ 12

−3

9 ]=[3

3

9

0]

d$ )l sistea noral asociado ser&' A

T Ax= A

T b

[

2 1

0 −2

−1 2

2 0

−1 1

0 −1

][

2 0 −1

1 −2 2

2 −1 0

0 1 −1

] [ x

1

x2

x3

]=

[

2 1

0 −2

−1 2

2 0

−1 1

0 −1

][

0

6

0

6

][ 9 −4 0

−4 6 −5

0 −5 6 ] x

1

x2

x3

=[ 6

−6

6 ]La soluci0n por ínios cuadrados es'

[

9 −4 0

−4 6 −5

0 −5 6

:

:

:

6

−6

6

]≈

[

1 0 0

0 1 0

0 0 1

:

:

:

14

30

26

]



x1=14∧ x

2=30∧ x

3=26


[2 0 −1

1 −2 2

2 −1 00 1 −1

][14

30

26

]=

[ 2

6

−24

]+" 1eterinar la proyecci0n ortogonal de u sobre elsubespacio de 2, generado por los -ectores -! y -("

a$ u= (2,1,3); v1=( 1,1,0 ) , v

2=(1,2,1 )

v=

[1 1

0 1

2 1]∧u=

[2

1

3] x=inv(v ' ∗v)∗v ' ∗u

x=[1

1]∴ proy=v∗ x

proy=

[2

1

3]b$ u= (1,−6,1 ) ; v

1=(−1,2,1 ) , v

2= ( 2,2,4 )

v=[−1 2

2 2

1 4]∧u=[

1

−6

1 ]

x=inv(v ' ∗v)∗v ' ∗u

x=[−7/3

1/3 ]∴ proy=v∗ x

proy=[ 3

−4

−1]



3" )ncontrar la proyecci0n ortogonal de u sobre elsubespacio de 2+ generado por los -ectores -!% -( y -,"

a$ u=(6,3,9,6); v1=(2,1,1,1) , v2=(1,0,1,1) , v3=(−2,−1,0,−1)

v=

[2 1 −2

1 0 −1

1 1 01 1 −1

]∧u=

[6

3

96

] x=inv(v ' ∗v)∗v ' ∗u

x=[6

3

4]

∴ proy=v∗ x

proy=[7

2

9

5]b$ u=(−2,0,2,4) ;v1=(1,1,3,0) , v2=(−2,−1,−2,1 ) , v3=(−3,−1,1,3)

v=

[1 −2 −3

1 −1 −1

3 −2 1

0 1 3 ]∧

u=

[6

3

9

6] x=inv(v ' ∗v)∗v ' ∗u

x=[−4 /5

−8 /5

8/5 ]

∴ proy=v∗ x

proy=[−12/5

−4 /5

12 /516 /5 ]

*" #allar la proyecci0n ortogonal de u 4 53% *% 6% ($ sobre elespacio soluci0n de sistea lineal hoogéneo"

x1+ x2+ x3=0



2 x2+ x

3+ x

4=0

v=[1

1

1

0

0

2

1

1]∧u=[

5

6

7

2]

x=inv(v ' ∗v)∗v ' ∗u

x=[51]∴ proy=v∗ x

proy=

[

5

7

6

1

]Fórmula 6: [ P]= A( AT

A )−1 A

T

Ejemplo 3En la tabla 5 de la sección 4.2 se demostró que lamatriz estándar para la proyección ortoonal de !3

sobre el plano "y es

#ara darse cuenta de que lo anterior es consistentecon la $ormula %6&' consid(rense los )ectores a lolaro de los ejes " y y positi)os como base para el

plano "y' de modo que

*e deja para el lector comprobar que +, + es laidentidad 2 " 2- as' %6& se simpli/ca a



6" 7sando la 80rula 5*$ y el étodo del e9eplo ,%encontrar la atri. est&ndar de la proyecci0n ortogonal :'2(;2( sobre'a$ el e9e <

Si usaos el -ector (1, 0) coo base para el e9e < y A=[1

0]% tendreos'

[ P ]= A ( AT A)−1 AT

[ P ]=[1

0]([ 1 0 ] [10 ])−1

[ 1 0 ]

[ P ]=[1

0]([ 1 ])−1 [ 1 0 ]

[ P ]=[1

0] [ 1 ] [1 0 ]

[ P ]=[1 0

0 0]

b$ el e9e y

Si usaos el -ector (0, 1) coo base para el e9e < y A=[0

1]% tendreos'

[ P ]= A ( AT A)−1

AT

[ P ]=[0

1]([ 0 1 ][0

1 ])−1

[ 0 1 ]

[ P ]=[0

1]([ 1 ])−1 [ 0 1 ]

[ P ]=

[

0

1

][ 1 ] [ 0 1 ]



[ P ]=[0 0

0 1]

=" :or edio de la 8orula 5*$ y el étodo del e9eplo ,%deterinar la atri. est&ndar de la proyecci0n ortogonal :'2,;2, sobrea$ el plano xz

La matriz de la proyeccinorto!onal de "3sobre el plano xz es

[ P ]=[1 0 0

0 0 0

0 0 1]

→los e#es sobrex y z son positivos entonces :

A=[1 0

0 0

0 1]

→ [ P ]= A AT =[

1 0

0 0

0 1][1 0 0

0 0 1 ]=[1 0 0

0 0 0

0 0 1]$(comprobado)

b$ el plano yz La matriz de la proyeccinorto!onal de "

3sobre el plano xz es

[ P ]=[0 0 0

0 1 0

0 0 1]

→los e#es sobrex y z son positivos entonces :

A=

[0 0

1 00 1]

→ [ P ]= A AT =[

0 0

1 0

0 1][0 1 0

0 0 1 ]=[0 0 0

0 1 0

0 0 1]$(comprobado)

>" Sea ? el plano con ecuaci0n 3< @ ,y . 4 Ba$ )ncontrar una base para ?"



% : 5 x−3 y+ z=0

z=−5 x+3 y

x=t , y=s , z=−5 t +3 s

( x

y z )

=

( t

s−5 t +3 s)

=t

( 1

0−5)

+s

(0

13)

b$ Con la 8orula 5*$% encontrar la atri. est&ndar para laproyecci0n ortogonal sobre ?"

A=[ 1 0

0 1

−5 3]

→ [ P ]=[ 2

7

3

7

−1

7

3

7

26

35

3

35

−1

7

3

35

34

35

]c$ 7sar la atri. obtenida en el inciso b$ para deterinar laproyecci0n ortogonal de un punto :B 5<B% yB% .B$ sobre ?"

´ x=[ 2

7

3

7

−1

7

3

7

26

35

3

35

−1

7

3

35

34

35

][ x0

y0

z0]

´ x=[ 2

7 x0+3

7 y0−1

7 z0

3

7 x

0+

26

35 y

0+

3

35 z

0

−1

7 x

0+

3

35 y

0+

34

35 z

0]



A ´ x=[ 2

7 x0+

3

7 y 0−

1

7 z0

3

7 x

0+

26

35 y

0+

3

35 z

0

−1

7 x

0+

3

35 y

0+

34

35 z

0

] [ 1 0

0 1

−5 3]

A ´ x=[ 2

7 x0+

5

7 z0

3

7 y0−

3

7 z0

3

7 x

0−

5

7 z

0

26

35 y

0+

9

35 z

0

−1

7 x

0−

34

7 z

0

3

35 y

0+

102

35 z

0

]d$ )ncontrar la distancia entre el punto :B5!% (%+$ y el plano?% y coprobar el resultado ediante el teorea !!"‖( 1,−2,4 )− Proy & P‖

Proy& P=[ P ]∗[ 1

−2

4 ]

Proy& P=

[−8

7

−5

7

25

7 ]→‖( 1,−2,4 )−(

−8

7,−

5

7, 25

7)‖=715

282

!B" Sea ? la recta con ecuaciones paraétricas< 4 (t% y 4 t% . 4 +t 5@D E t E D$a$ )ncontrar una base para ?"

x=2 t , y=−t , z=4 t

( x y z)=(2t

−t

4 t )=t ( 2

−1

4 )



b$ :or edio de la 8orula 5*$% encontrar la atri. est&ndarpara la proyecci0n ortogonal sobre ?"

A=[ 2

−1

4 ]

→ [ P ]=[ 4

21

−2

21

8

21

−2

21

1

21

−4

21

8

21

−4

21

16

21]

c$ 7sar la atri. obtenida en el inciso b$ para encontrar la

proyecci0n ortogonal de un punto :B 5<B% yB% .B$ sobre ?"

´ x=[ 4

21

−2

21

8

21

−2

21

1

21

−4

21

8

21

−4

21

16

21

][ x0

y0

z0]

´ x=

[ 4

21 x

0

− 2

21 y

0

+ 8

21 z

0

−2

21 x

0+

1

21 y

0−

4

21 z

0

8

21 x

0−

4

21 y

0+

16

21 z

0 ] A ´ x=

[

4

21 x0−

2

21 y0+

8

21 z0

−2

21 x

0+

1

21 y

0−

4

21 z

0

8

21 x

0−

4

21 y

0+

16

21 z

0

][ 2

−1

4

]=

[−

8

21 x0+

2

21 y0+

32

21 z0

4

21 x

0−

1

21 y

0−

16

21 z

0

16

21 x

0−

4

21 y

0+

64

21 z

0

]d$ #allar la distancia entre el punto :B 5(%!% ,$ y la recta ?"‖( 1,−2,4 )− Proy & P‖

Proy& P=[ P ]∗

[

2

1

−3

]



Proy& P=[ −6

7

3

7

−12

7

]→‖( 1,−2,4 )−(

−6

7,

3

7,−

12

7)‖=293

92

!(" 1eostrar' Si A tiene -ectores coluna linealenteindependientes y si A< 4 b es consistente% entonces lasoluci0n por ínios cuadrados de A< 4 b y la soluci0n

e<acta de A< 4 b son iguales"

Sea A=[1 0

0 1] y b=(1,1)

→ Ax=b

¿[1 0

0 1] x=[1

1] x

1=1 y x

2=1 $ (solucion exacta)

Sea A=[1 0

0 1] y b=( 1,1)

[ A ,b ]=[1 0 1

0 1 1]´ x=inv ( AT ∗ A )∗ A∗b

´ x=

[1

1

]$(minimos cuadrados)

!," 1eostrar' Si A tiene -ectores coluna linealenteindependiente y si b es ortogonal al espacio coluna de A%entonces la soluci0n por ínios cuadrados de A< 4 b es <4 B"

Sea A=[1 0

0 1

] y b=[

0

0

]



→ x=inv ( AT ∗ A )∗ AT ∗b

x=[0

0 ]

!+" Sea :' 2;? la proyecci0n ortogonal de 2 sobre unsubespacio ?"

a$ 1eostrar Fue [ P]2=[ P] "

[ P ]=[ 1 0

0 1

$ 0

$ $

$ $

0 $

$ 0

0 0]

[ P]2=[ P]

[ 1 0

0 1

$ 0

$ $

$ $

0 $

$ 0

0 0] [

1 0

0 1

$ 0

$ $

$ $

0 $

$ 0

0 0]=[

1 0

0 1

$ 0

$ $

$ $

0 $

$ 0

0 0]

[ 1 0

0 1

$ 0

$ $

$ $0 $

$ 00 0 ]

=

[ 1 0

0 1

$ 0

$ $

$ $0 $

$ 00 0 ] sto se cumple por(ue la matriz de proyeccin orto!onal

solotieneelementos nonulos en sudia!onal principal )

b$ Qué indica el resultado de Ha$ con respecto a la

coposici0n PoP J *ndica(ue lamatriz de proyeccin orto!onalelevada ala n

esi!ual ala matrizorto!onalelevadaa la1, esdecir , no≤a+ecta)

[ P]n=[ P]

[1 0 0

0 1 0

0 0 0] [

1 0 0

0 1 0

0 0 0]$ [

1 0 0

0 1 0

0 0 0]=[

1 0 0

0 1 0

0 0 0]

c$ 1eostrar Fue K: es siétrica"



Lamatriz es [ P ] simtrica si y solo si: [ P]=[ P]T

[1 0 0

0 1 0

0 0 0]=[

1 0 0

0 1 0

0 0 0]T

[1 0 00 1 0

0 0 0]=[1 0 00 1 0

0 0 0]d$ Coprobar Fue las atrices en las tablas + y 3 tienen laspropiedades indicadas en los incisos a$ y c$"

ANLA +'• :royecci0n ortogonal sobre el e9e <

[ M ]=[1 0

0 0]a$ [ P]2=[ P]

[ M ]2=[ M ]

[1 0

0 0 ][1 0

0 0]=[1 0

0 0]

[1 00 0 ]=[

1 00 0 ]

c$ [ P]=[ P]T

[ M ]=[ M ]T

[1 0

0 0 ]=[1 0

0 0 ]T

[1 0

0 0 ]=[1 0

0 0 ]• :royecci0n ortogonal sobre el e9e y

[ M ]=[0 0

0 1]a$ [ P]2=[ P]

[ M ]2

=[ M ]



[0 0

0 1 ][0 0

0 1]=[0 0

0 1]

[0 0

0 1 ]=[0 0

0 1 ]

c$ [ P]=[ P]T

[ M ]=[ M ]T

[0 0

0 1 ]=[0 0

0 1 ]T

[0 0

0 1 ]=[0 0

0 1 ]

ANLA 3'• :royecci0n ortogonal sobre el plano <y

[ M ]=[1 0 0

0 1 0

0 0 0]

a$ [ P]2=[ P]

[ M ]2=[ M ]

[1 0 0

0 1 0

0 0 0] [

1 0 0

0 1 0

0 0 0]=[

1 0 0

0 1 0

0 0 0]

[1 0 0

0 1 0

0 0 0]=[

1 0 0

0 1 0

0 0 0]

c$ [ P]=[ P]T

[ M ]=[ M ]T

[1 0 0

0 1 0

0 0 0]=[

1 0 0

0 1 0

0 0 0]T

[1 0 0

0 1 0

0 0 0]=[

1 0 0

0 1 0

0 0 0]



• :royecci0n ortogonal sobre el plano <.

[ M ]=[1 0 0

0 0 0

0 0 1]

a$ [ P]2=[ P]

[ M ]2=[ M ]

[1 0 0

0 0 0

0 0 1] [

1 0 0

0 0 0

0 0 1]=[

1 0 0

0 0 0

0 0 1]

[1 0 0

0 0 0

0 0 1]=[

1 0 0

0 0 0

0 0 1]

c$ [ P]=[ P]T

[ M ]=[ M ]T

[1 0 0

0 0 0

0 0 1]=[

1 0 0

0 0 0

0 0 1]T

[1 0 0

0 0 00 0 1]

=

[1 0 0

0 0 00 0 1]

• :royecci0n ortogonal sobre el plano y.

[ M ]=[0 0 0

0 1 0

0 0 1]

a$ [ P]2=[ P]

[ M ]2=[ M ]

[0 0 0

0 1 0

0 0 1] [

0 0 0

0 1 0

0 0 1]=[

0 0 0

0 1 0

0 0 1]

[0 0 0

0 1 0

0 0 1]=[

0 0 0

0 1 0

0 0 1]



c$ [ P]=[ P]T

[ M ]=[ M ]T

[

0 0 0

0 1 0

0 0 1

]=

[

0 0 0

0 1 0

0 0 1

]

T

[0 0 0

0 1 0

0 0 1]=[

0 0 0

0 1 0

0 0 1]

!3" Sea A una atri. < n con -ectores rengl0nlinealente independiente" )ncontrar una atri. est&ndarpara la proyecci0n ortogonal de 2n sobre el espacio rengl0nde A"

Si A esuna matriz mxn con vectores +ila linealmente independientes ,

→ AT

esuna matriz nxm con vectores columna

linealmente independiente (ueabarcanel espacio+ila de A )

∴ por -rmula ( 6 ) y el.ec.ode (ue ( A

T

)T = A , la matriz est/ndar

parala proyeccin orto!onalde "n enel espacio +ila de A es :

[ S ]= AT ( A A

T )−1 A

ejercicio 4 - unidad v - chipana quiñones gherard

Documents