Ejercicio 3-31

(Planteamiento)

El cociente V/E esV

E=

V0

1 + r

1

1,2V0=

1

1,2(1 + r)

Se encuentra rm:

1 − V (rm)

E− ρ2

0 = 0

1 − 1

1,2(1 + rm)−(s

rm

)2

= 0

1,2r3m + 0,2r2

m − 1,2rms2 − 1,2s2 = 0

Esta es una ecuacion de tercer grado y rm queda en funcion de s.

Se emplea la siguiente ecuacion (del ejercicio anterior 3-30, donde falta un exponente 2)para encontrar el angulo de dispersion en funcion del parametro de impacto

Θ = π − 4s

∫ 1

0

ρdρ√r2m

(1 − V

E

)− s2(1 − ρ2)2

donde ahorarmr

= 1 − ρ2

Para encontrar la seccion diferencial se debe calcular la derivada de Θ respecto a s. Sea

F (ρ; s) =

√r2m

(1 − V

E

)− s2(1 − ρ2)2

LuegodF (ρ; s)

ds= −s(1 − ρ2)2

F (ρ; s)

EntoncesdΘ

ds= −4

∫ 1

0

ρdρ

F (ρ; s)− 4s

∫ 1

0

− ρdρ

[F (ρ; s)]2dF (ρ; s)

ds

dΘ

ds= −4

∫ 1

0

ρdρ

F (ρ; s)− 4s2

∫ 1

0

ρ(1 − ρ2)2dρ

[F (ρ; s)]3

1

Las dos integrales se pueden resolver numericamente por el metodo de cuadratura deGauss-Legendre de 16 puntos el cual establece que∫ 1

−1

f(x)dx ≈16∑i=1

wif(xi)

Donde los valores de wi y f(xi) vienen dados por la tabla

i wi xi1 0.2715245941175374E-01 -.9894009349916499E+002 0.6225352393864749E-01 -.9445750230732328E+003 0.9515851168249226E-01 -.8656312023878314E+004 0.1246289712555333E+00 -.7554044083550031E+005 0.1495959888165762E+00 -.6178762444026438E+006 0.1691565193950020E+00 -.4580167776572275E+007 0.1826034150449232E+00 -.2816035507792587E+008 0.1894506104550686E+00 -.9501250983763732E-019 0.1894506104550693E+00 0.9501250983763765E-0110 0.1826034150449242E+00 0.2816035507792590E+0011 0.1691565193950039E+00 0.4580167776572276E+0012 0.1495959888165779E+00 0.6178762444026438E+0013 0.1246289712555344E+00 0.7554044083550030E+0014 0.9515851168249294E-01 0.8656312023878316E+0015 0.6225352393864737E-01 0.9445750230732325E+0016 0.2715245941175337E-01 0.9894009349916499E+00

Cambiando los lımites de integracion la suma queda∫ 1

0

f(x)dx ≈ 1

2

16∑i=1

wif

(xi + 1

2

)Se puede solucionar numericamente las integrales haciendo

f(x) =x

F (x; s)y f(x) =

x(1 − x2)2

[F (x; s)]3

Y entonces la seccion eficaz diferencial se encuentra con

σ(Θ) =s

sen Θ∣∣dΘds

∣∣Finalmente, la dispersion presentara arcoiris para aquello valores del parametro de im-

pacto s (que se encuentran numericamente) tales que

dΘ

ds= 0

2