ejercicio 3-19
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Ejercicio 3-19
La ecuacion de Kepler est = e sen
es una funcion de t (donde todo el producto t se toma como una variable), entoncesse puede definir
f(t) = (t) t = e senEn la ecuacion de Kepler, cuando = 0, es obtiene t = 0; cuando = pi, entonces
t = pi. Por lo tanto, se tiene que f(0) = f(pi) = 0. Esto sugiere que el intervalo paraexpandir a f en series de Fourier sera [0, pi].
La expansion en series de Fourier en senos de una funcion es
f(x) =
n=1
bn sen(npixL
)donde
bn =2
L
L0
f(x) sen(npixL
)dx
Reemplazando x = t y L = pi en la ecuacion de los coeficientes se obtiene
bn =2
pi
pi0
f(t) sen (nt) d(t)
Integrando por partes: u = f(t), dv = sen (nt) d(t) se obtiene
bn =2
pi
pi0
cos(nt)
nd[(t)]
Reemplazando t de la ecuacion de Kepler:
bn =2
npi
pi0
cos[n ne sen]d
La integral de Bessel para n no negativo es
Jn(x) =1
pi
pi0
cos(nE x senE)dE
Entonces el coeficiente queda
bn =2
nJn(ne)
1
-
Y la serie de Fourier en senos da
f(t) =
n=1
bn sen (t)
t =n=1
2
nJn(ne) sen (t)
= t+
n=1
2
nJn(ne) sen (t)
Los primeros terminos de la funcion de Bessel (con n entero positivo) son
Jn(x) =1
n!
(x2
)n 1
(n+ 1)!
(x2
)n+2+
1
2(n+ 2)!
(x2
)n+4
De esta forma se puede aproximar de la siguiente forma
t+ sen (t)[2J1(e) + J2(2e) +
2
3J3(3e)
]Realizando las respectivas expansiones de Jn se puede aproximar el valor de por series
de potencias.
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