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ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (E.P.E.) CLCULO 2

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD 2

TEMA: FUNCIONES REALES DE R2 EN R: DOMINIO-CURVAS DE NIVEL-DERIVADAS PARCIALES

1. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

a. Si ( ) xeyyxfz 2; == entonces xx yeeyyxf 2);( 2 += .

Solucin.

Falso, pues; ( ) ( ) ( ) ( )xxxx yeeyyey

x

eyyxf 2;;; 222

=

= .

b. Las familias de curvas de nivel de la superficie: 223

2 yzx =+ son elipses.

Solucin.

Falso, pues; despejando la variable z de la ecuacin tenemos: ( ) 2222 6323 xyxyz == y haciendo kz = (constante) obtenemos una familia de hiprbolas: 1

63

22

=

kx

ky

.

c. El gradiente de la funcin ( ) )ln(; xyyxf = en el punto (-1;-1) es el vector (-1;-1).

Solucin.

Verdadero, pues;

De ( ) ( ) ( )

=

=yxy

xyx

xyyxf 1;1ln;ln; y evaluando en ( ) ( )1;1; =yx , obtenemos

( ) ( )1;11

1;

111;1 =

=f .

2. Determine el dominio de la funcin ( ) ( )22 99ln; yxyxf = en forma analtica y grficamente. Solucin.

Analticamente:

( ){ }099/; 222 >= yxRyxDomf Geomtricamente:

Frontera: 099 22 = yx o 119

22

=+yx

cuya grafica es una elipse.

Regin: veamos si ( ) Domf0;0 .

2

00*909 22 > cumple la desigualdad por tanto la regin es el interior de la elipse.

3. Determine el dominio de la funcin analticamente y grficamente:

( ) ( )1ln4, 22 += yyxyxf . Solucin.

Analticamente:

( ){ }0104/; 222 >= yyxRyxDomf . Grficamente:

( ){ }14/; 222 >+= yyxRyxDomf .

I

4. Determine y grafique tres curvas de nivel de la funcin ( ) 22, xyyxf = Solucin.

Curvas de nivel: kxy = 22 222 kxy =

k=1: 122 = xy

k=2: 222 2= xy

k=3: 222 3= xy

k=3 k=2

k=1

x

y

x x

x

y y y

(0;2)

(2;0) (0;1)

X

Y

(3;0)

(0;1)

3

5. Determine y grafique tres curvas de nivel de la funcin ( ) 22, yxyxf = Solucin.

Curvas de nivel: kyx = 22 222 kxy =

k=1: 122 = yx

k=2: 222 2= xy

k=3: 222 3= xy

6. Aplique la regla de la cadena para hallar t

z

y determine su valor para s = 1; t = -1; siendo

( )xysenyxz 32 23 += , adems stx = 2 ; tsy += 2 . Solucin.

dtdy

yz

dtdx

x

z

t

z

+

=

( )( )[ ] ( )( )[ ]yxyyxtyxyxyt

z 33cos4233cos6 32 +++=

Para :1;1 == ts Tenemos 1,0 == yx

Luego:

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] 510cos)0(4)1(230cos1*06 3 =+++=

t

z

7. Aplique regla de la cadena y calcule el valor de t

z

, para s= 0 , t = 2

siendo 223 2;;)3ln( tsysexademasyxxz t ==+= .

Solucin.

dtdy

yz

dtdx

x

z

t

z

+

=

( )tyx

seyx

xx

t

z t 23

33

23 222

++

+=

Para :2;0 == ts Tenemos 4,0 == yx

Luego: 1=

t

z

k=1 k=2 k=3

x

y

4

8. Halle ( )2 ;2yxf , si ( ) yxeyxyxf = 3; 2 .

Solucin.

Hallando:

( ) yxyxy exexf +== 313 22 , luego yxyx exf += 32 .

Por tanto ( ) 72;2 =yxf

9. Dada la funcin )xy(sene y)y;x(f xy += , calcule las siguientes derivadas parciales: , , , ,x y xy xx yyf f f f f

Solucin.

( ) ( )xyyeyxyyyyef xyxyx coscos 2 +=+= ,

( ) ( )xyxxyeexyxxyeef xyxyxyxyy coscos ++=++= ,

( ) ( )xyxysenxyexyyef xyxyxy ++= cos2 2 , ( )xysenyeyf xyxx 23 = y finalmente

( )xysenxyexxef xyxyyy 222 += .

10. Determine st

f

2, si )3ln();( 23 tstsf =

Solucin.

=

23

2

33

ts

s

s

f

( )22322

318

ts

ts

s

ftst

f

=

=