Sucesión Infinita

Encontrar el término general de la sucesión: 310,326,750,982,…

Resolución:

Los numeradores forman una progresión aritmética de diferencia 2. Su término general es an=2n+1

Cada denominador es el cuadrado de su numerador aumentado en una unidad:10 = 32 + 1; 269 = 52 +1; 50 = 72 +1; 82 = 92 + 1

El termino general de la sucesión es:

bn=ana2n+1

= 2n+1(2n+1 )2+1

= 2n+14 n2+4n+2

Límite de una sucesión

Calcular los límites

limn→∞

2n3−3n+24n4−5

limn→∞

2n3−3n+24n4−5

=∞∞

limn→∞

2n3

n4−3nn4

+ 2n4

4n4

n4− 5

n4

=limn→∞

2n− 3n3

+ 2n4

4− 5n4

=04=0

limn→∞

−2n4−3n+24 n3−5

limn→∞

−2n4−3n+24 n3−5

=∞∞

limn→∞

−2n4

n4−3nn4

+ 2n4

4 n3

n4− 5n4

=limn→∞

−2− 3n3

+ 2n4

4n− 5n4

=−24

=−∞

Secesiones crecientes

an=1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,…,nEs creciente.

Está acotada inferiormenteCotas inferiores: 1, 0, -1, ...El mínimo es 1.No está acotada superiormente.Divergente

Sucesiones decrecientes an=−1 ,−2 ,−3 ,−4 ,−5 ,…,−n

Es decreciente.Está acotada superiormenteCotas superiores: -1, 0, 1, ...El máximo es -1.No está acotada inferiormente.Divergente

Series infinitas

Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie ∑ an de término general

an=nk

(n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) sea convergente.

Solución:

Aplicando el criterio logarítmico

limn→∞

log( 1an )log n

limn→∞

log(n+1 ) (n+2 ) (n+3 )

nk

log n

¿ limn→∞

log (n+1 ) (n+2 ) (n+3 )−log nk

log n

¿ limn→∞

log (n3+6n2+11n+6 )−k log nlog n

¿ limn→∞

log ¿¿¿¿¿ limn→∞

3 logn+ log(1+ 6n +11

n2+6

n3 )−k log nlogn

¿ limn→∞

3 log n+log(1+ 6n +

11

n2+6

n3 )log n

=3−k

Para que sea convergente, debe ser 3 – k ¿ 1, y como k debe ser entero, el mayor valor que hace la serie convergente es k = 1