Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS III Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE PLACAS PLANAS RECTANGULARES

POR EL METODO DE GALERKIN Autores:

Ing. Juan Pablo Durruty

-2008-

Estructuras III

Página 1 de 14

METODO DE GALERKIN PARA LA RESOLUCION DE PLACAS PLANAS RECTANGULARES.

EJEMPLO 1: BORDES SIMPLES

Resolver la placa utilizando el método Galerkin, usando como:

wap=α11.x1.y1+α12.x2.y2+α21.x2.y1+α22.x2.y2 Determinar: w, Mx, My en A w, Mx y My en los puntos del 1 al 8 La presentación de los resultados debe ser de la siguiente manera:

w= α.q.a4/N M=β.q.a2

Aplicando la condición de Galerkin:

( ) 0..../,22 =−∇∇∫∫ dydxNqw koa ϕ

ϕk = X(x) . Y(y)

wap=α11.x1.y1 + α12.x1.y2 + α21.x2.y1 + α22.x2.y2

Transformamos las variables tal que varíen entre 0 y 1: 2a

xx = 2b

yy = (1)

7 6 8

4

3

A 5

1 2

b/4 b

a/4 a

µ= 0,3 b/a =1,4 Bordes simples q=cte

Estructuras III

Página 2 de 14

4

4

22

4

4

422

.2

yw

yxw

xww ap ∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

=∇∇

Aplicando (1)

4

4

422

4

224

4

422 16

.3216

yw

byxw

baxw

aw ap

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂=∇∇

jijap yxw ∑= α 96,12

2

==abν

∂∂

+∂∂

∂+

∂=∇∇

4

4

22

4

4

4

2222 1216

yw

yxw

xw

baw ap ν

ν

[ ]IVjiji

IIj

IIijij

IVijiap yxyxyx

aw ∑∑∑ ++=∇∇ α

νααν

ν1216

422

∫∫∫∫ =∇∇ dydxNqdydxw kkap ϕϕ22

( ) dxdyyxN

aqydxdyxyxyxx LkLkIV

jiII

jII

iIV

iij ∫∫∫∑∫−−−−

=++1

1

41

1

1

1

1

1 1612 νν

να

Por ser placa simétrica respecto del eje X y al eje Y.

∫ ∫∫ ∫

∫∑∫∫∑∫

=

++

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

ydxdyxAydxdyxyx

ydxdyxyxydxdyxyx

LkLkIV

ji

LkII

jII

iijLkjIV

iij

ν

ανα

Siendo :

NaqA

16

4ν=

∫∫

∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=

=

ν++να

1

0L

1

0

k

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0L

IVjKiL

IIjk

IIiLjk

IViij

ydyxdxA

ydyyxdxx1ydyyxdxx2ydyyxdxx

Llamando:

∫=1

0

xdxxa jiIV

ij ∫=1

0

ydyyb jIV

iij

∫=1

0

xdxxc jII

iij ∫=1

0

ydyyd jII

iij

Estructuras III

Página 3 de 14

∫=1

0

ydyye jiij ∫=1

0

xdxxf jiij

∫=1

0

xdxg ii ∫=1

0

ydyh ii

Se arman las cuatro ecuaciones K = 1 L =1

∫∫∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

++

1

01

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0111111

12 ydyxdxAydyyxdxxydyyxdxxydyyxdxx IVji

IIj

IIij

IViij ν

να

[ ] [ ]

] ] 112121122121212211211121112121

2111211121111211111111111111

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

K = 1 L= 2

[ ] [ ]

] ] 212221222122212212211221122121

2211221222111212111211121111

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

K = 2 L = 1

[ ] [ ]

] ] 122122212221222221111121112221

2112211221211211121112111211

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

K = 2 L = 2

[ ] [ ]

] ] 222222222222222221111121122221

2212221222211212121212121211

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

Estructuras III

Página 4 de 14

De tabla: 56 24

1 +−= xxx

2462

59

514 xxxx +−=

análogamente para el eje Y 56 24

1 +−= yyy

2462 5

95

14 yyyy +−=

a11 = 76,8 a12 = a21 = 4,39 a22 = 13,312 b11 = 76,8 b12 = b21 = 4,39 b22 = 13,312 c11 = -31,1 c12 = c21 = -1,34 c22 = -0,623 d11 = -31,1 d12 = d21 = -1,34 d22 = -0,623 e11 = 12,6 e12 = e21 = 0,52 e22 = 0,047 f11 = 12,6 f12 = f21= 0,52 f22 = 0,047 g1 = 3,2 g2 = 0,183 h1 = 3,2 h2 = 0,183 Reemplazando en las ecuaciones: con ν=1.96

4324,8.α11 + 189,8.α12 + 212.14.α21 + 9,23.α22 = A.10,24

189,8.α11 + 94,32.α12 + 9,23.α21 + 5,6.α22 = A.0,5856

212,14.α11 + 9,23.α12 + 440,3.α21 + 15,34.α22 = A.0.5856

9,23.α11 + 5,6.α12 + 15,34.α21 + 2,32.α22 = A.0.0335

NaqA

16

4ν=

4324,8.α11 + 189,8.α12 + 212.14.α21 + 9,23.α22 = 20,1.q.a4/16.N

189,8.α11 + 94,32.α12 + 9,23.α21 + 5,6.α22 = 1,15.q.a4/16.N

212,14.α11 + 9,23.α12 + 440,3.α21 + 15,34.α22 = 1,15.q.a4/16.N

9,23.α11 + 5,6.α12 + 15,34.α21 + 2,32.α22 = 0,066.q.a4/16.N

α11= 2.82 . 10-4 q.a4/N α12=1.867. 10-4. q.a4/N

α21=1.4536 . 10-5 .q.a4/16.N α22=1.003.10-4. q.a4/N

x

Estructuras III

Página 5 de 14

)59

514)(

59

514(..10.003,1

)56)(59

514(..10.4536,1

)59

514)(56(..10.867,1

)56).(56(10.82,2

2462464

4

242464

5

246244

4

24244

4

yyyxxxNaq

yyxxxNaq

yyyxxNaq

yyxxN

qawap

+−+−+

++−+−+

++−+−+

++−+−=

−

−

−

−

)( 2

2

2

2

yw

xwNM x ∂

∂+

∂∂

−= µ 2a

xx = 2b

yy =

)(4)

44

( 2

2

2

2

222

2

22

2

yw

xw

aN

by

wax

wNM x∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂−=

νµµ

)(42

2

2

2

2 yw

xw

aNM x

∂

∂+

∂

∂−=

νµ

)1(42

2

2

2

2 xw

yw

aNM y

∂

∂+

∂

∂−= µ

ν

+−+

+−+

++−

+−+

+

+−−+

++−−=∂

∂

−

−

−

−

246244

24244

5

24624

4

2424

42

2

59

514

518

51683010.003,1

)56(5

185

1683010.4536,1

59

514)1212(10.867,1

)56)(1212(.10.82,2

yyyxx

yyxxN

qa

yyyxN

qa

yyxN

qaxw

+−

+−+

−

+−+

+

+−+−+

+−+−=∂

∂

−

−

−

−

518

516830

59

51410.003,1

)1212(59

51410.4536,1

518

516830)56(10.867,1

)1212)(56(.10.82,2

242464

4

22464

5

24244

4

2244

42

2

yyxxxN

qa

yxxxN

qa

yyxxN

qa

yxxN

qayw

Estructuras III

Página 6 de 14

Punto Coordenada

1 (-1/2 : -1/2 ) 2 ( 0 ; -1/2 ) 3 (1/2 ;-1/2 ) 4 (-1/2 ; 0 ) 5 ( 1/2 ; 0 ) 6 (-1/2 ; 1/2 ) 7 ( 0 ;1/2 ) 8 ( 1/2 ; 1/2) A ( 0 ; 0 )

Puntos Coordenadas Wap (qa4/N) 2

2

xw

∂

∂ (qa4/N) 2

2

yw

∂

∂ (qa4/N) Mx

(qa2 ) My

(qa2 )

1, 3, 6 y 8 -1/2 ;-1/2 0.0038 -0.00977 -0.01111 0.046 0.0344 2 y 7 0 ;-1/2 0.0053 -0.0124 -0.0154 0.059 0.0463 4 y 5 -1/2 ; 0 0.00504 -0.01284 -0.014137 0.06 0.04426

A 0 ; 0 0.00705 -0.01666 -0.01356 0.075 0.0477

y

x

7 6 8

4

3

A 5

1 2

Estructuras III

Página 7 de 14

EJEMPLO 2: UN BORDE EMPOTRADO Y TRES SIMPLES

Aplicando la condición de Galerkin:

( ) 0..../,22 =−∇∇∫∫ dydxNqw koa ϕ

ϕk = X(x) . Y(y)

wap=α11.x1.y1 + α12.x1.y2 + α21.x2.y1 + α22.x2.y2

Transformamos las variables tal que varíen entre 0 y 1: 2a

xx = 2b

yy = (1)

4

4

22

4

4

422

.2

yw

yxw

xww ap ∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

=∇∇

Aplicando (1)

4

4

422

4

224

4

422 16

.3216

yw

byxw

baxw

aw ap

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂=∇∇

jijap yxw ∑= α 96,12

2

==abν

∂∂

+∂∂

∂+

∂=∇∇

4

4

22

4

4

4

2222 1216

yw

yxw

xw

baw ap ν

ν

[ ]IVjiji

IIj

IIijij

IVijiap yxyxyx

aw ∑∑∑ ++=∇∇ α

νααν

ν1216

422

7 6 8

4

3

A 5

1 2

B

b/4 b

a/4 a

µ= 0,3 b/a =1,4 q=cte

Estructuras III

Página 8 de 14

∫∫∫∫ =∇∇ dydxNqdydxw kkap ϕϕ22

( ) dxdyyxN

aqydxdyxyxyxx LkLkIV

jiII

jII

iIV

iij ∫∫∫∑∫−−−−

=++1

1

41

1

1

1

1

1 1612 νν

να

Por ser placa simétrica respecto del eje x.

∫ ∫∫ ∫

∫∑∫∫∑∫

−−

−−

=

++

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

2

ydxdyxAydxdyxyx

ydxdyxyxydxdyxyx

LkLkIV

ji

LkII

jII

iijLkjIV

iij

ν

ανα

Siendo :

NaqA

16

4ν=

∫∫

∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

−

− − −

=

=

ν++να

1

1L

1

0

k

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1L

IVjKiL

IIjk

IIiLjk

IViij

ydyxdxA

ydyyxdxx1ydyyxdxx2ydyyxdxx

Llamando:

∫=1

0

xdxxa jiIV

ij ∫−

=1

1

ydyyb jIV

iij

∫=1

0

xdxxc jII

iij ∫−

=1

1

ydyyd jII

iij

∫−

=1

1

ydyye jiij ∫=1

0

xdxxf jiij

∫=1

0

xdxg ii ∫−

=1

1

ydyh ii

Estructuras III

Página 9 de 14

Se arman las cuatro ecuaciones K = 1 L =1

∫∫∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫−− − −

=

++

1

11

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1111111

12 ydyxdxAydyyxdxxydyyxdxxydyyxdxx IVji

IIj

IIij

IViij ν

να

[ ] [ ]

] ] 112121122121212211211121112121

2111211121111211111111111111

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

k = 1 L= 2

[ ] [ ]

] ] 212221222122212212211221122121

2211221222111212111211121111

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

k = 2 L = 1

[ ] [ ]

] ] 122122212221222221111121112221

2112211221211211121112111211

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

k = 2 L = 2

[ ] [ ]

] ] 222222222222222221111121122221

2212221222211212121212121211

hgAbf1dc2eabf1dc2ea

bf1dc2eabf1dc2ea

=

ν++να+

ν

++να+

+ν

++να+ν

++να

Estructuras III

Página 10 de 14

De tabla: 56 24

1 +−= xxx

2462

59

514 xxxx +−=

23 234

1 +−−+= yyyyy

234562 3

431

37

31 yyyyyy +−−+=

a11 = 384/5 a12 = a21 = 768/175 a22 = 34944/(105.25) b11 =288/5 b12 = b21 = 608/105 b22 = 5344/315 c11 = -1088/35 c12 = c21 = -704/(105.5) c22 = 17984/(105.11.25) d11 = -384/35 d12 = d21 = -64/105 d22 = -54528/93555 e11 =1216/(3.105) e12 = e21 = 128/462 e22 = 17728/(3861.105) f11 =3968/(3.105) f12 = f21= 9088/(33.105.5) f22 = 52864/(105.75.143) g1 = 16/5 g2 = 32/175 h1 = 12/5 h2 = 76/315 Reemplazando en las ecuaciones: con ν=1.96

1633,387674.α11+116.8148.α12+78,04487062.α21+5,56753.α22= A.7,68

116,8148.α11+151,8524655.α12+5,567553.α21+6,479681464.α22=A.0,7720635

78,04487062.α11+5,56753.α12+115,7676132.α21+8,126755.α22=A.0.438857142

5,56753.α11+6,479681464.α12+8,126755.α21+2,2733.α22=A.0.044118

NaqA

16

4ν=

1633,387674.α11+116.8148.α12+78,04487062.α21+5,56753.α22 = 15,0528.q.a4/16.N

116,8148.α11+151,8524655.α12+5,567553.α21+6,479681464.α22 = 1,51324446.q.a4/16.N

78,04487062.α11+5,56753.α12+115,7676132.α21+8,126755.α22 = 0,86016.q.a4/16.N

5,56753.α11+6,479681464.α12+8,126755.α21+2,2733.α22 = 0.08647128.q.a4/16.N

α11=0.0089518436.q.a4/16.N α11=5.595.10-4. q.a4/N

α12=0.0028450705.q.a4/16.N α12=1.77816.10-4. q.a4/N

α21=0.0092975826.q.a4/16.N α21=5.811.10-5. q.a4/N

α22=0.0046806643.q.a4/16.N α22=2.9254.10-4. q.a4/N

x

y

Estructuras III

Página 11 de 14

)34

337

31)(

59

514(..10.9254,2

)23)(59

514(..10.811,5

)34

337

31)(56(..10.77816,1

)23).(56(10.595,5

23

4562464

4

2342464

5

23

456244

4

234244

4

yyyyyxxxNaq

yyyyxxxNaq

yyyyyxxNaq

yyyyxxN

qawap

+−−++−+

++−−++−+

++−−++−+

++−−++−=

−

−

−

−

)( 2

2

2

2

yw

xwNM x ∂

∂+

∂∂

−= µ 2a

xx = 2b

yy =

)(4)

44

( 2

2

2

2

222

2

22

2

yw

xw

aN

by

wax

wNM x∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂−=

νµµ

)(42

2

2

2

2 yw

xw

aNM x

∂

∂+

∂

∂−=

νµ

)1(42

2

2

2

2 xw

yw

aNM y

∂

∂+

∂

∂−= µ

ν

+−−+

+−+

++−−+

+−+

+

+−−+−+

++−−+−=∂

∂

−

−

−

−

23

456244

234244

5

23

45624

4

23424

42

2

34

337

31

518

51683010.9254.2

)23(5

185

1683010.811.5

34

337

31)1212(10.77816.1

)23)(1212(.10.595,5

yyyyyxx

yyyyxxN

qa

yyyyyxN

qa

yyyyxN

qaxw

+−++

+−+

−+

+−+

+

+−+++−+

+−++−=∂

∂

−

−

−

−

38228

32030

59

51410.9254.2

)6612(59

51410.811.5

38228

32030)56(10.77816.1

)6612)(56(.10.595,5

2342464

4

22464

5

234244

4

2244

42

2

yyyyxxxN

qa

yyxxxN

qa

yyyyxxN

qa

yyxxN

qayw

Estructuras III

Página 12 de 14

Punto Coordenada 1 (-1/2 : -1/2 ) 2 ( 0 ; -1/2 ) 3 (1/2 ;-1/2 ) 4 (-1/2 ; 0 ) 5 ( 1/2 ; 0 ) 6 (-1/2 ; 1/2 ) 7 ( 0 ;1/2 ) 8 ( 1/2 ; 1/2) A ( 0 ; 0 )

B ( 0 ; 1 ) Puntos Coordenadas Wap

(qa4/N) 2

2

xw

∂

∂ (qa4/N) 2

2

yw

∂

∂ (qa4/N) Mx

(qa2 ) My

(qa2 )

1 -1/2 ;-1/2 0.00356 -0.00936 -0.0137072 0.04583216 0.039206 2 0 ;-1/2 0.00492916 -001123 -0.018822475 0.056444 0.0518892 3 1/2 ; -1/2 0.00356 -0.00936 -0.0137072 0.04583216 0.039206 4 -1/2 ; 0 0.0040202 -0.010411 -0.01014467 0.047855 0.0322 5 1/2 ; 0 0.0040202 -0.010411 -0.01014467 0.047855 0.0332 6 -1/2 ; 1/2 0.002008 -0.00530226 -0.001886 0.0223637 0.0102117 7 0 ; 1/2 0.00277546 -0.006284 -0.0023338 0.026565 0.01230366 8 1/2 ; 1/2 0.002008 -0.005530226 -0.001886 0.0223637 0.0102117 A 0 ; 0 0.005595 -0.01301 -0.014414120 0.0608634 0.04503 B 0 ; 1 0 0 0.04186808 -0.0256335 -0.085445

y

x

7 6 8

4

3

A 5

1 2

B

Estructuras III

Página 13 de 14

TABLA DE INTEGRALES

( )y ó x ==ε

ε1 Polinomios

ε2

ε ε4 26 5− + ε ε ε6 14

54 9

52− +

ε ε4 22 1− + ε ε ε6 4 22− +

ε ε ε ε4 3 23 2+ − − + ε ε ε ε ε6 1

35 7

34 1

33 4

32+ − − +

εε d∫ 21 12,59682539 0,405349206 3,86031746

∫ εεε d21 0,524559884 0,036940836 0,217056277

εε d∫ 22 0,046943278 0,008524808 0,04373911

εεε dII11∫ -31,08571428 -1,219047019 -10,97142857

∫∫ = εεεεεε dd IIII1221 -1,34095238 0 -0,609523805

εεε dII22∫ -0,62282251 -0,11082251 0,582811010

εεε dIV11∫ 76,8 12,8 57,6

∫∫ = εεεεεε dd IVIV1221 4,388571428 1,828571428 5,79047619

Estructuras III

Página 14 de 14

( )y ó x ==ε

ε1 Polinomios

ε2

ε ε4 26 5− + ε ε ε6 14

54 9

52− +

ε ε4 22 1− + ε ε ε6 4 22− +

ε ε ε ε4 3 23 2+ − − + ε ε ε ε ε6 1

35 7

34 1

33 4

32+ − − +

εεε dIV22∫ 13,312 5,485714285 16,96507936

εε d∫ 1 3,2 0,53333333 2,4

εε d∫ 2 0,182857142 0,076190476 0,241269841

Límites de Integración

∫1

0 LKεε ∫1

0 LKεε ∫−1

1 LKεε